() f. p (resp. par la j ème colonne de A, il existe une unique application linéaire u
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- Joel Rochefort
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1 Chae 0 APPLICATIONS LINÉAIRS : MATRICS ASSOCIÉS I. MATRIC D UN APPLICATION LINÉAIR Gééalés a) Défo Soe e F deux ev ( e e.. e) base de = ( f f.. f ) base de e u (F) La mace de u a ao aux bases e es défe a : Ses coloes veceus ue ( ) das la base. oa A cee mace o a doc a défo : C so les comosaes des u ( e ) a f lle es oée M () u éléme de ( ). C es la mace de la famlle ( u( e ).. u( e )) das la base. b) xemles : So f : [ X] 3[ X] défe a : f( P) XP P e 3 ( XX ) ( X X X ) les bases caoques esecves de [ X ] e 3 [ X ] M () f. c) Noao : Das le cas où = F u es u edomohsme e o chos ès souve =. La mace de u das la base es alos oée smleme : M ( u ) d) Le maces alcaos léaes : So A ( a )( ) u éléme quelcoque de ( ) Récoqueme : S es u ev de dmeso aoé à ue base e F u ev de dmeso. aoé à ue base o eu déf ue uque alcao léae de das F do A es la mace das les bases e. (Rael : ue alcao léae es eèeme déemée a l mage d ue base) Défo Assocao caoque : oa ( e.. e ) (es. ) la base caoque de [] f le veceu de de das e) xemle : So A = (es. ) e ou ou doé das a la ème coloe de A l exse ue uque alcao léae u elle que : [] u ( e ) f. u es de caoqueme assocée à A. 5 3 ( ) 3( ). L alcao u caoqueme assocé à A de das es défe a : u ( 0 0) () u (0 0) ( ) u (0 0) (5). L mage d u veceu x ( x x x 3) quelcoque es : y u( x) u( x( 0 0) x(0 0) x 3(0 0)) x() x( ) x 3(5) x x 5 x3 x x x 3. f) Cas élémeaes : P La mace de l alcao léae ulle de das F das des bases e quelcoques es 0. P La mace de l alcao deé de de dmeso das oue base de es : M ( d ) I P3 Ue homohée h de ao base de : M ( h ) I das u esace de dmeso ossède la même mace das oue 97
2 Fomules macelles fodameales a) Théoème Soe e F deux ev aoés à des bases ( e e.. e ) e ( f f.. f ). Pou u (F) o oe A sa mace das les bases e. Pou ou x e y de F o oe : X M ( x) Y M () y x s éc : x y F y = u(x) Y AX x x e e y s éc : y y f. L égalé y = u(x) se adu a : y f u x e x u( e ) x a f a défo de la mace A. échagea les : [] y f a x f o obe a ucé des coodoées les égalés : y a x. Cela s éc macelleme : Y b) xemle : (coexe ex. ) S 0 0 b c 0 c a 0 0 b b 0 0 a a c) Théoème bs (Récoque) : y a x y a x P ax bx c alos so mage f(p) a ou comosaes das : 3. O a doc : f( P) b ( c a) X bx ax Avec les mêmes hyohèses su e F e les mêmes oaos macelles ou les veceus x e y o cosdèe u (F) e A ue mace das ( ). S ou ou X ( ) l égalé y u( x ) se adu a : Y = AX alos A es la mace de u das les bases e. effe ou ou [] la mace coloe AX assocée au veceu e das la base es 0 lge 0 L mage ue ( ) a ou comosaes das le veceu coloe A qu es exaceme la ème coloe de A. d) Pooso Soe e F deux esaces vecoels de dmesos esecves e aoés à des bases e. L alcao Cela se adu a : : ( F ) ( ) es u somohsme d esaces vecoels. u M ( u) * Pou ou u v (F) : M ( u v) M ( u) M ( v ) ** Pou ou u (F) e ou ou : M ( u) M ( u ) (La mace d ue combaso léae d alcaos léaes es la combaso léae des maces d celles) dm( ( F)) e e acule : dm( ( )) # La dmeso d u esace vecoel de maces es égale au ombe de coeffces de cee mace. La dmeso de l esace des alcaos léaes (dm() = dm(f) = ) es égale au odu. 98
3 3 Mace de la comosée des alcaos léaes a) Théoème Soe F e G os esaces vecoels aoés à des bases 3. Pou ou u (F) e v (FG) o a : M ( v u) M 3 ( v) M 3 ( u ) ( e e.. e ) ( f f.. f q ) 3 ( g g.. g ) A M () u B M () v C M 3 ( v u ) 3 O ose ou ou x das : y u( x) z v u( x) v( y) avec X M () x Y M () y Z M () z. D aès le héoème : Y AX e Z BY e auss Z CX. emlaça e délaça les aehèses : Z B( AX) ( BA) X. O coclu à l ade du héoème bs que : C = BA. b) Théoème 3 Soe e F deux ev de même dmeso aoés à des bases e e u (F). u es becve s e seuleme s M () u es vesble e das ce cas : M ( u ) M ( u ) M ( u ) M ( u ) M ( u u ) M ( d ) I. M () u es vesble e so vese es F So M = M () u vesble a hyohèse. O déf l alcao léae v de F das do la mace das les bases e es M.O véfe alos: M ( v u ) M M I M ( d ) e M ( u v ) M M I M ( d ) ce qu eaîe v u d u v d. u es doc becve e u v F F M ( u ). 4 Maces d edomohsmes a) Le ee ( ) e () : () es u esace vecoel su de dmeso somohe à ( ) sable a comoso 0 L ( ) éa l éléme eue de l addo e b) Poéés élémeaes d celu de la comoso. Les égalés vues das la ooso s écve : [ M ( u v) M ( u) M ( v ) M ( u) M ( u ) M ( v u) M ( v) M ( u ) ]. Cee deèe se ologe losque u = v a : k u () k M ( u ) M ( u ) k (La démosao se fa a écuece su k). II. CHANGMNT D BASS Maces de chageme de bases a) Défo 3 : Soe ( e e.. e ) e ( e e.. e ) deux bases d u esace vecoel. O aelle mace de assage de la base à la base oée ( ) ou ou ( ) la mace caée do les coloes so les comosaes des e das la base. ( ) = M ( ) C es la mace de la famlle das la base. b) Pooso ulsa les mêmes oaos : ( ) = M ( Id ) ( ) es vesble e Avec ue aue base de : ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 99
4 So Id : ( ) ( ). Sa mace es fomée e coloes des comosaes des d( e ) e das la base c es-à-de exaceme la mace de assage de à. M ( ) es vesble ca c es la mace de l deé qu es becve. Pa le héoème 3 : ( ) M ( d ) M ( d ) ( ) comosa les deés : ( ) M ( Id ) M ( Id ) M ( Id ) ( ) ( ) ffe du chageme de base su les veceus a) Pooso 3 (oaos sadad) Pou u veceu x de o oe : X M ( x ) e X M () x e ou smlfe : P ( ) X PX ou D aès le héoème alqué à X X P X (chosssez celle que vous voulez ee) Id : ( ) ( ) o éc : M ( x) M ( Id ) M ( x) so PX. O eu auss le usfe deceme su les comosaes des veceus. b) Remaque méhodologque : La mace P fou les «acees» coodoées e foco des «ouvelles». Pou calcule les «ouvelles» e foco des «acees» l fau calcule P e alque : X P X. c) xemle : So la base caoque de e ( u u ) avec u () e u ( ). es ue base e la mace de assage de à es P. O obe a calcul : P P e les fomules de chageme de base ou u veceu s écve : x ( x x ) x ( x x ) 3 ffe du chageme de base su les alcaos léaes a) Théoème 4 Soe e F deux ev. e so deux bases de e o oe P ( ). e so deux bases de F e o oe Q ( ). Pou u (F) o oe : A M () u e A Q AP A M () u. Pou ou x de o oe u() x y e les maces coesodaes : X M () x X M () x Y M () y e Y M () y. alqua les ésulas de la ooso 3 e du h. o a les égalés : X PX Y QY Y AX Y A X. O e dédu : QY Y AX APX e doc Y ( Q AP) X. Pa ucé de la mace de u das les bases e Q AP es la mace A. b) Remaque : Das l écue ecadée la mace à gauche de A das la fomule (Q ) coesod au chageme de base das l esace d avée la mace à doe de A das la fomule (P) coesod au chageme de base das l esace de déa. c) Théoème 4 bs (cas des edomohsmes) So u esace vecoel aoé à deux bases e ( ) P ; u es u edomohsme de e o oe : A M ( u) e A M ( u). A P AP 00
5 d) Alcao : La elao B P AP mlque a écuece smle su k : k k B P A P. S les ussaces de A so facles à calcule (oamme losque A es dagoale) la elao écédee eme le calcul des ussaces de la mace B. xemle : 3 B 0 3 P 4 k P A. A 0 e doc 4 B P A P 3 ( ) 3 3( ) 3 ( ) 3 3( ) III. RANG D UN MATRIC Noyau e mage d ue mace a) Défo 4 So A ( ). S u es l alcao léae caoqueme assocée à A o aelle oyau e mage de A esecveme le oyau (sev de ) e l mage de u (sev de ). Noaos : Ke(A) Im(A). b) Ieéao d u sysème léae (S) es u sysème de équaos à coues éc macelleme sous la fome : AX So u caoqueme assocée à A b ( b b.. b ) e x ( x x.. x ). Le sysème d éc : u( x) c) Pooso 4 So(S) u sysème de équaos à coues s écva : AX B u caoqueme assocé à A. (S) comable B Im(A) P u es ecve Ke(A) = {0 } (S) ossède ue soluo au lus. P u es suecve Im(A) = (S) ossède au mos ue soluo. Pou = : P3 u es becve A vesble AX B se adu doc a u( x) (S) ossède ue soluo uque. b. L exsece d u el x équvau à b Im(u). Reve aux défos de l ecvé de la suecvé e de la becvé d ue alcao. B b Rag d ue mace a) Défo 5 So A ( ). O aelle ag de A le ag de l alcao léae u caoqueme assocée qu es auss celu de la famlle des veceus coloes de A : g(a) = g( u( e ).. u( e )) g( c c.. c ) (( e.. e ) base caoque de ( c c.. c ) veceus de ). C es doc la dmeso de Im(A). Cee ouvelle défo es ou à fa équvalee à celle vue das le chae 8! b) Maoaos du ag (déà vues) S A ( ) alos g(a) e g(a). c) Théoème 5 So u : F léae avec dm() = e dm(f) =. So A la mace de u das des bases doées. g( A) g( u) u suecve g(u) = g(a) = u ecve g(u) = g(a) = 0
6 O oe : = ( e.. e ) ue base de e = ( f f.. f ) ue base de F. So : défe a (.. ) e e : F défe a (.. ) f. O avalle ou les alcaos e das les bases caoques esecves de becves e alcao de la ooso 7 du chae 8. O déf alos : v e. Les alcaos e so u. Pa cosuco la mace de v das les bases caoques es A. D aès le héoème 8 du chae 8 e éa becves : g( v) g( u ) g( u) e a défo : g(v) = g(a). e s e déduse gâce au héoème du ag. d) Coollae du héoème 5 (RAPPL d u ésula du chae 3) So u esace vecoel de dmeso e = ( u.. u ) ue famlle de veceus de. O oe A la mace de la famlle das ue base quelcoque de. es lbe das g(a) = es gééace de g(a) = es ue base de e) Théoème du ag (Nouvelle écue) = e g(a) = A vesble So A ( ). dm(ke( A)) g( A) désge ouous la dmeso de l esace de déa de l alcao léae caoqueme assocée à A c es le ombe de coloes de A. 3 Maces vesbles a) Théoème 6 (Taduco macelle du héoème écaulaf su les edomohsmes du chae 8) So A ( ). A vesble Ke(A) = {0 } g(a) = b) Pooso 5 (Taduco macelle du héoème 8 du chae 8) A q ( ) B q ( ) g( AB) g( B ) e g( AB) g( A ) A ( ) B ( ) vesble g( AB) g( A ) A ( ) vesble B ( ) g( AB) g( B ) c) Coollae (Le ésula a éé vu ou les oéaos su les coloes) Deux maces équvalees a lges o le même ag Les oéaos su les lges so eéseées a des mullcaos à gauche a des maces caées vesbles ce qu e modfe as le ag. 4 Maces de même ag a) Défo 6 e désge des ees auels o uls u ee auel quelcoque el que : f( ). O ose : J 0 0 e ou f( ) la mace J de.g. ( ) de ye avec : [] e ou ous les aues coules () 0. 0
7 b) Tyes de maces J : c) Poéés mmédaes : * f( ) g( J ) J J. d) Pooso 6 So A ( ). g(a) = P GL ( ) Q GL ( ) A QJ P P e Q so vesbles d aès la ooso 8 : g( A) g( QJ P) g( J P) g( J ) So u caoqueme assocée à A das les bases caoques oées e. D aès la défo g(u) =. ulsa la fomule du ag : dm(ke( u )) ; o désge a ( e.. e ) ue base de Ke(u). O eu la comlée a ue base ( e e.. e ) d u sulémeae 0 de Ke(u) ou fome ue base de oée ( e e.. e ). ( e e.. e ) es ue base de 0 e u du u somohsme de 0 su Im(u). O oe alos ou []: u( e ) f. ( f f.. f ) es doc ue base de Im(u) e doc ue famlle lbe das ; elle es comléée avec ( f.. f ) e ue base ( f f.. f ) de. La mace de u das les bases e es J a cosuco. O oe : P ( ) e Q ( ). O a : J Q AP e a coséque : A QJ P e) Théoème 7 So A ( ). g( A) g( A ) NFIN! So le ag de A. Il exse P e Q vesbles elles que : A QJ P. Pa asoso : A P J Q. O J J e P P e Q Q so vesbles ; o eu doc éce : A P J Q e comme J es auss de ag o e dédu : g( ) f) Coséqueces aques esseelles : Le ag d ue mace es auss celu de ses veceus lges (qu so defés à des fomes léaes!). Le ag d u sysème comable es égal au ag de la mace du sysème. Le calcul du ag d ue mace eu s effecue a vo su les coloes ou les lges (ou les deux). A 03
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