Chapitre 8 : La mécanique de Newton

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1 Chap 8 Chapite 8 : La mécanique de Newton I Desciption d un mouvement ) Le éféentiel Losque l on taite un execice de mécanique, on commence pa choisi le éféentiel adéquat. Le mouvement d un cops doit ête décit pa appot à un solide de éféence appelé éféentiel. On le choisit abitaiement mais on péfèe choisi un type de éféentiel appelé éféentiels galiléens : Un éféentiel est galiléen si dans celui-ci le pincipe d inetie est véifié. Dans nos études, on utilise des éféentiels teestes, ils sont liés à n impote quels objets posés su tee et considéés comme galiléen. ) Les epèes d espace et de temps Le epèe d espace est un système d axes dont l oigine O est un point fixe du éféentiel. On utilisea un epèe othonomé (O,,, (x,y,z) telles que = x + y + z Le vecteu position (tout comme x, y, z) dépend du temps. On appelle tajectoie l ensemble de toutes les positions successives de M au cous du temps. Le epèe de temps pemet de décie un mouvement il en fonction de la date t. Elle coespond à l intevalle de temps ente l instant de date t et un instant pis comme oigine t = 0. ) Le système mécanique Le système est un objet ou ensemble d objets que l on va étudie. ou détemine son mouvement, il faut faie le bilan de toutes les foces extéieues agissant su lui. Le système possède un point paticulie appelé cente d inetie G ayant la paticulaité d avoi un mouvement plus simple que les autes points du système. C est pouquoi on étudiea le mouvement de ce point. 4) Le vecteu vitesse : On sait que la vitesse instantanée en un point est appoximativement égale à la vitesse moyenne ente deux positions tès poches de ce point su la tajectoie. En patique, su une chonophotogaphie, nous calculons le vecteu vitesse instantanée à la date t en utilisant les points M et M de la tajectoie espectivement aux dates t et t : On peut donc écie : v v = ) dans lequel un point M aua les coodonnées M M t - t MM = = = t - t t - t t Remaques su l appoximation éalisée. Remaque : la vitesse calculée, avec cette méthode, sea d autant plus poche de la vaie vitesse instantanée en t, que l intevalle de temps (ente t et t ) sea petit. (cf. l exemple ci-dessous) Remaque : on confond la longueu de l ac M M avec celle du segment M M. M (t ) M (t ) M (t ) M (t ) v(t ) M (t ) M (t ) est la vaiation du vecteu position pendant l intevalle de temps t, aussi petit que possible entouant la date t étudiée. En théoie, le calcul donne effectivement le vecteu vitesse instantané, losque t tend ves 0. On a donc v = lim t 0 = t d

2 Ainsi, dans un éféentiel donné, le vecteu vitesse d un point mobile M est la déivée pa appot au temps du vecteu position. Remaques su le vecteu vitesse : Remaque : À un instant considéé t, le vecteu vitesse d un point M a pou caactéistiques : Diection : la tangente à la tajectoie au point occupé pa le point M à l instant t. Sens : le sens du mouvement à cet instant t. Nome : la valeu de la vitesse instantanée à l instant t. Remaque : = x.i + y.j + z.k donc pa déivation on obtient dx dy dz v =.i +.j +.k = x.i & + y.j & + z.k & Ca les axes du epèe sont fixes dx dy dz Le vecteu vitesse a donc pou coodonnées ( ; ; ), notées aussi (v x ; v y ;v z ) ou encoe ( x &; y; & z& ;) O j v y(t ) y M (t ) M (t ) i v x(t ) x v(t ) M (t ) II Les lois de Newton ) Effet d une foce su le mouvement d un objet Demande aux élèves des exemples illustant l effet d une foce su le mouvement d un objet et tie les conclusions suivantes : - Une foce peut contibue à mainteni un objet en équilibe - Une foce s exeçant su un objet peut le mette en mouvement - Une foce peut modifie le mouvement d un objet (vitesse ou tajectoie ou les deux) ) emièe loi de Newton Dans un éféentiel galiléen, si le vecteu vitesse du cente d inetie d une solide ne vaie pas, la somme des foces extéieues qui s execent su ce solide est nulle et écipoquement : v G = 0 ΣF ext = 0 Conséquences diectes : Un solide qui n est soumis à aucune foce (isolé) ou à des foces qui se compensent (pseudo-isolé) est soit au epos, soit en mouvement ectiligne unifome. Si le cente d inetie d un solide est soit au epos, soit en mouvement ectiligne unifome, il n est soumis à aucune foce (isolé) ou à des foces qui se compensent (pseudo-isolé). Ce pincipe ne s applique que dans les éféentiels galiléens. ) oisième loi de Newton A et B étant deux cops, soit A/B la foce execée pa A su B, et B/A la foce execée pa B su A. Quel que soit l état de mouvement de A pa appot à B, on a toujous l égalité vectoielle A/B = B/A. Ces deux foces ont la même doite d action et sont diectement opposées. 4) Deuxième loi de Newton a) Vecteu accéléation Définition Dans un éféentiel donné, le vecteu accéléation a d un point mobile M est la déivée pa appot au temps du vecteu vitesse v de ce point mobile. G d ag = soit a =

3 vg est donc la vecteu vitesse instantanée à la date t et s expime en m.s -. a G est le vecteu accéléation qui s expime en m.s -. Il s en suit donc que sont fixes dx dy d z x y z a=. i +. j +.k =.i +.j +.k = && x.i + && y.j + && z. k Ca les axes du epèe x y z Le vecteu accéléation a donc pou coodonnées ( ; ; ), notées aussi ( v & x ; v& y; v& z) ou encoe( & x ;&& y; & z ). La valeu de l accéléation s expime en m.s dans le système intenational d unités. Détemination gaphique du vecteu accéléation A la date t pa exemple, le vecteu accéléation a d un point mobile est constuit de la manièe suivante : 4 v4 - v a = t -t ou cela, on constuit les vecteus vitesse et, puis la vaiation =. Le vecteu accéléation a même diection et même sens que le vecteu. La valeu du vecteu accéléation s obtient en divisant la valeu de pa t = t 4 t. Cette constuction sea d autant plus poche du vai vecteu accéléation instantanée que le t sea petit b) Enoncé de la ème loi de Newton Dans un éféentiel galiléen, la somme des foces extéieues appliquées à un solide est égale au poduit de sa masse pa l accéléation de son cente d inetie : Σ F = m. ext a G Σ ext s expime en Newton(N), m s expime en kilogamme(kg) et a G en mète pa seconde caé(m.s ). b) Conséquences - à Σ ext égales, plus la masse du système est gande, plus son accéléation sea faible (exemples à donne pa les élèves) - le vecteu Σ ext et le vecteu accéléation sont colinéaies et toujous dans le même sens (exemples à donne pa les élèves) - Le vecteu vitesse et le vecteu accéléation ne sont pas focément colinéaies et pas focément dans le même sens (exemples à donne pa les élèves)

4 III Les foces usuelles ) oids d un objet Le poids d un solide ou foce de pesanteu est la foce d attaction execée pa la ee su la solide. C est une foce à distance épatie dans tout le volume. Notation : Caactéistiques : - auteu : la ee - point d application : G, cente d inetie du solide - diection : veticale - sens : ves le bas - valeu : = m.g avec g intensité de la pesanteu : g =9,8 N.kg - ee ) ension d un fil su un solide C est une foce de contact localisée. Notation : Caactéistiques : - auteu : le fil - point d application : le point d accochage du fil - diection : celle du fil tendu - sens : ves l extéieu du solide - valeu : ee ) ension d un essot C est une foce de contact localisée. Notation : Caactéistiques : - auteu : le essot - point d application : le point d accochage du essot - diection : celle de l axe du essot - sens : opposé à la défomation du essot - valeu : = k. l = k. l l 0 (l : longueu du essot défomé ; l 0 : longueu à vide) avec k constante de aideu du essot en N.m - l l 0 l

5 4) oussée d Achimède Soit un solide S immegé dans un fluide et en équilibe pa appot à celui-ci. Chaque petit élément plan de suface s est soumis à une foce élémentaie de pession. La ésultante des foces de pession s exeçant su les éléments de suface de S est appelée poussée d Achimède. C est une foce de contact épatie qui a tendance à faie monte le solide à la suface. On peut facilement démonte, dans le cas d un liquide immobile, que le poids de n impote quel volume d eau doit ête stictement égale à la poussée d Achimède (sans quoi, le liquide ne seait plus immobile). Notation : Caactéistiques : - auteu : le liquide - point d application : le cente de gavité du liquide déplacé (quasiment confondu au cente de gavité du solide). - diection : veticale - sens : de bas en haut - valeu : = ρ. V.g avec ρ : masse volumique du fluide dans lequel le solide est immegé (en kg.m - ) V : volume du solide immegé (en m ) g intensité de la pesanteu : g = 9,8 N.kg - 5) Réaction d un suppot plan C est une foce de contact épatie. Elle est de natue électique. C est une foce qui a deux composantes : - une composante nomale R N de diection pependiculaie à la suface de contact, et qui s oppose à la pénétation du solide dans le suppot. - une composante tangentielle R contenue dans la suface de contact et appelée pafois foce de fottement. Elle s oppose au déplacement du solide ou à la mise en mouvement du solide. R N I R R Notation : R = R N + R Caactéistiques : - auteu : le suppot - point d application : un point I à la suface de contact - diection : pependiculaie à la suface de contact pou la composante nomale ( R N ) et pependiculaie à la suface pou la composante tangentielle ( R ) - sens : du suppot ves le solide pou R N, opposé à la mise en mouvement (ou au mouvement) du solide pou R - valeu : pas d expession généale simple.

6 Réféentiels galiléens : Définition : les éféentiels dans lesquels les lois de Newton s appliquent, sont des éféentiels galiléens. Remaques : a) Un éféentiel animé d un mouvement ectiligne unifome pa appot à un éféentiel galiléen est lui-même galiléen. out éféentiel accéléé pa appot à un éféentiel galiléen n est pas galiléen. b) La ee peut ête considéée comme un éféentiel appoximativement galiléen, pou les expéiences couantes à la suface du globe. En fait tout est une question de duée de l expéience : Le epèe du éféentiel héliocentique a pou oigine le cente du Soleil et ses axes sont diigés ves étoiles fixes. Le epèe du éféentiel de Copenic a pou oigine le cente d Inetie du système solaie, ses axes sont diigés ves étoiles fixes. On peut assimile éféentiel de Copenic et Réféentiel héliocentique. Le éféentiel eeste est le éféentiel immobile pa appot à la ee. Le epèe du éféentiel géocentique a pou oigine le cente de la ee, ses axes estent paallèles à ceux du epèe héliocentique. Dans l unives le mouvement, du éféentiel eeste, dont la constante de temps est la plus faible est la otation de la ee su elle-même : = 4 h. Ainsi si une expéience a une duée tès inféieu à 4 h on poua considée que le éféentiel eeste est galiléen. Dans l unives le mouvement, du éféentiel Géocentique, dont la constante de temps est la plus faible est la otation de la ee autou du Soleil : = 65,5 jous. Ainsi si une expéience a une duée tès inféieu à 65,5 jous on poua considée que le éféentiel Géocentique est galiléen. Dans l unives, l unives étant justement en expansion accéléé, le Soleil n a pas un mouvement ectiligne unifome. Ce sea lui aussi un éféentiel galiléen pou des expéiences pas top longues. (?) c) Relativité des mouvements. On a dit : «Losqu un solide est isolé ou pseudo-isolé son cente d inetie G est, dans un éféentiel galiléen : - soit au epos, s il l était initialement ; - soit en mouvement ectiligne unifome.» Mais aussi : «Un éféentiel animé d un mouvement ectiligne unifome pa appot à un éféentiel galiléen est lui-même galiléen.» On compend bien pouquoi il y a une équivalence, en mécanique, ente un mouvement ectiligne unifome, et un mouvement immobile. D une pat un mouvement immobile est un mouvement ectiligne unifome avec V G = 0. Mais sutout, il y aua toujous un éféentiel galiléen dans lequel un mouvement ectiligne unifome sea un mouvement immobile. a conte, pou un mouvement non ectiligne unifome (accéléé ou coube ou coube et accéléé) il est impossible de touve un éféentiel galiléen tel que le mouvement soit immobile. Si on touve un éféentiel dans lequel le mouvement de l objet est immobile, c est que ce éféentiel est non-galiléen.