ENS PSI 2004 LADARVISION 4000

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1 ENS SI 4 LADARVISIN 4 Q oduits cocialisés : luntts, lntills d contact Q Fonction d svic FS : Sufac l stoa conén Q Diaga FAST : Q4 Diaga SADT A : Q5 Ls hothèss d l énoncé (l diaèt du ccl ciconscit au faiscau st égal au diaèt d la uill, I i si l faiscau i tavs colètnt ou atillnt la uill) iliqunt, dans l cas où l cnt d la uill coïncid avc l intsction ds diagonals du caé, qu ls vaiabls I i soint touts vais (c qui nd cuiu la fin d l énoncé d la qustion 6) Si ls quat intnsités sont nulls ndant l éta 4, cla signifi qu la distanc nt l cnt d la uill t l intsction ds diagonals st tès iotant (ann d la chaîn d action, délant d l œil avc un vitss ou un alitud anoal) ou qu l catu st défaillant D où l intution d l éta 4 ag

2 Q6 L schéa ci-cont t d visualis l état ds vaiabls binais I i n fonction d la osition du oint dans l lan ( 4,, ) Ls 4 vaiabls binais I i ttnt d détin dans laqull ds nuf zons Z A, Z, Z C, Z D, Z A, Z C, Z CD, Z DA t Z E st situé l oint Ells n ttnt as d détin ls signs d 4 t 4 Q7 Dans l cas où la distanc nt 4 t st tès tit a aot à d, s situa incialnt dans ls zons Z A, Z C, Z CD t Z DA st dans la zon Z A si I A, I, I C, I D ZA ZD A 4 Z DA D ZA Z CD Z C C Z Z C d ZE Si st dans l ccl cnté n A d aon d, I A sinon I A Il sait ossibl d tt n lac un coand où sait iloté un délant d 4 «d un as» suivant ls ositifs losqu st dans la zon Z C (suivant ls ositifs losqu st dans la zon Z A, ) avc d aids itéations Cla iliqu d tt n œuv ds actionnus «as à as» ttant un otation ds iois d tès faibl alitud Q8 L énoncé sbl suggé l abandon d la coand séquntill ci-dssus au bénéfic d un assvissnt Q9 L scond odèl t la su d la osition d lutôt qu sa sil localisation dans un zon Q Si l diaèt d la uill st inconnu tois catus suffisnt Si l diaèt d la uill a été sué éalablnt du catus suffisnt N as aoch la configuation où ls catus sont alignés (du solutions ossibls, auvais écision) Q Equations du otu à couant continu coandé a l induit : Equation écaniqu : C (t)-bω (t)j dω (t) Equation élctiqu : u (t)ri (t)+ (t)+l dt di (t) dt Equations d coulag : (t) ω (t) C (t) i (t) La ésntation gahiqu d la tansfoé d Lalac dans ls conditions d Havisid d cs équations donn l schéa-bloc : ( ) Ω + br U JL () JR + bl br + br ag

3 Q Aès coction d l énoncé (voi cicont) : 4 htan(α ) L dévlont au i od donn : 4 hα dα (t) D aut at ω(t) dt Aès tansfoation d Lalac dans ls conditions d Havisid : 4() h Ω () Q L énoncé suggè qu oil Si tl st l cas (R oil -µ)sin(θ ) dθ (t) L dévlont au i od donn : (R oil -µ)θ D aut at ω oil(t) dt Aès tansfoation d Lalac dans ls conditions d Havisid : () Roil µ Ω oil() Q4 Fonction d tansft n boucl ouvt : + br h FT() C JR + bl JL br br ω ω h c + br JR + bl avc ω + br JL JL br Roil µ H () avc oil R µ oil oil Q5 Mag d gain (n d) : M logft( jω ) M g oil ( ) + avc ω tl qu Ag(F(jω )) π logft jω log Ici ω ω t donc ( ) g ω M g 6d c qui assu un bonn stabilité Q6 Ecat statiqu n osition : ε ( (t) (t)) s li 4 ou un échlon (t) u(t) n t nté Avc un fonction d tansft n boucl ouvt d class, l écat statiqu st nul Q7 Nous allons calcul la éons toll du sstè à un échlon d alitud La fonction d tansft n boucl fé st : X 4() H() avc FT() / X () + ag

4 t Donc X 4() 4(t) ou t> + L ts d éons st la dat ou laqull 4(t) - 4 (t),5µ -,5µ,5µ t ln ou t 8,s t donc ( ) t t Q8 L sstè sbl satisfaisant n t d stabilité (ag d gain d 6d) t n t d écision (écat statiqu nul) a cont il st baucou to lnt Q9 Un coctu ootionnl t d aélio la aidité du sstè (gain suéiu à un) n détéioant cndant la stabilité La ag d stabilité étant tès iotant c choi sbl tinnt Un coctu à action intégal n st as justifié, la class du sstè non coigé assuant un écision suffisant (écat statiqu nul) La ag d gain du sstè non coigé étant d 6 d, la ag d gain visé ou l sstè coigé étant d d, l gain du coctu doit êt d 47d co 4 Q L gain d la fonction d tansft n boucl ouvt coigé st c co 4s - L ts d éons st alos :,5µ t ln ou t,7 - s c Ls tis sont ffctués à la féqunc d 6,5Hz, soit un éiod d,6 - s (inféiu à t ) La écision n sa as suffisant, si l œil s délac d un échlon d alitud nt du tis Q FT : Ajust la longuu ACD au diaèt d la uill FT : Modifi la longuu ACD FT : lac 4 n FT : Modifi la osition d 4 Q n not : A,, C ls ositions ds oints A,, C à la dat t cosondant au début d la su la osition d à la dat t cosondant au font dscndant d I A la osition d A à la dat t cosondant au font ontant d I A la osition d à la dat t cosondant au font ontant d I C 4 la osition d C à la dat t 4 cosondant au font dscndant d I C Ls coodonnés d un oint dans l è (,, ) sont notés : t L cnt d la uill st l intsction ds bissctics ds sgnts [A ] t [ C 4 ] A + + C4 Donc t ag 4

5 En utilisant ls lvés, on déduit qu : A A,8a,,75a,,a, C,55a C 4 n ut alos dédui : (-a+,55a)/,75a t (a-,75a)/,5a,85 t,75 Mais il st du tavail avant d constui un algoith colt ttant la détination d la osition Q L diaèt D ut a l êt déduit d la distanc nt t avc donc D ( ) + ( ) a d a d + +,75a, t,97 + D 8,66 Q4 Du cas sont à évit : l cas où un faiscau st dans la uill, l cas où un faiscau st hos d la uill L i cas st l lus stictif (il l st aticuliènt ou ls gands uills ( ) La zon ci-cont cosondant au ositions ossibls d st toujous inclus dans ctt zon si la distanc st inféiu à,6 Q5 soin satisfait a l écanis : délac la tabl su laqull st allongé l atint ω z v Q6 V ( v / ) ( t / ) v t z V t ωv π Q7 Notons q( v) (M) qn(m) + qt (M) la dnsité sufaciqu d action écaniqu d l écou su la vis n M Dans l énoncé, st utilisé la notation dn q (M) ds t dt q (M) ds n La coosant noal d la dnsité sufaciqu d action écaniqu d l écou su la vis n M st oté a z q (M) q (M) z avc q n (M) < (contact su la fac suéiu du filt) n n t v ag 5

6 Q8 L contact n M d noal z t d éci : v(m v / t)z C qui vint à éci : v(m v / t) u + v a coosition d vitss : v(m v / t) v(m v / ) v(m t / ) Avc Q6 u + v ωvo + v tz En ojtant ctt équation su z on obtint l équation v t ωvoo tan(i) qui t d touv l équation d la qustion 6 En ojtant su on obtint u La vitss v(m v / t) st donc bin colinéai à En ojtant su ωvoo on obtint v ωvoo cos(i) + v t sin(i) d où v> cos(i) D aès ls lois d Coulob la coosant tangntill d la dnsité sufaciqu d action écaniqu d l écou su la vis n M, q t (M), t la vitss d glissnt n M, v(m v / t), sont alignés t d sns contais Donc qt (M) qt (M) avc q t (M)< qt (M) D aès ls lois d Coulob < f donc q qn ( M) t (M)fq n (M) La dnsité sufaciqu d action écaniqu d l écou su la vis n M s écit donc : v (M) q (M)(z + f ( ) ) q n Q9 Résultant d l action d l écou su la vis : R( v) q( v) (M) ds Z z R( v) z q M filt ( v) (M)ds ( cos(i)cos( α) fsin(i) ) q(m) ds v + M filt Z A q(m)ds avc A cos(i)cos( α) + fsin(i) v M filt M filt Q Mont n d l action d l écou su la vis : M( v) M q( v) (M) ds N v z M ( v) M filt z ( M q( v) (M)ds ) o ( fcos(i) cos( α)sin(i) ) q(m) ds M filt M filt N q(m)ds avc ( fcos(i) cos( )sin(i) ) o α v M filt N v tan( Φ) tan(i) Q o otan( Φ i) Z + tan( Φ)tan(i) v N v Raqu : ou un liaison afait Φ t otan(i) Z π Q L sstè vis-écou st iévsibl si un action écaniqu aliqué à l écou n st as caabl d suscit son ouvnt (sans qu un action soit aliqué à la vis) Etudions l cas où l sstè vis-écou, constitué d la vis (v) d l écou () t du bâti (), t d st à la liit du glissnt L écou st souis à un glissu d suot ( ) v z ag 6

7 ésultant R ( t ) Rz avc R< L ésultat d la qustion st dans cs conditions toujous licit Du FS aliqué à la vis uis à l écou st déduit : Z v R t N v Un sstè vis-écou st donc à la «liit d l iévsibilité» si tan( Φ i) c st-à-di si Φ i L sstè sa donc iévsibl ou un factu d fottnt suéiu : Φ i Q Mont d inti, a aot à son a, d un clind d aon o t d ass v : vo I I84,5 g Q4 Théoè du ont dnaiqu, n, n ojction su z, aliqué au solid vis+oto (v) : z δ ( v /R ) zm ( v) + zm ( s v) + zm ( v) I + J) ω& + + N ( v v Avc la qustion 6 : π ω & v v & t Avc la qustion (l énoncé indiqu qu touts ls liaisons sont suosés afaits, cndant, tout laiss à coi qu la liaison vis-écou st «à at» ) : N tan( Φ i) Z v o v π π tan(i) n n déduit : Z v (I J) v& t (I J) v& + + t otan( Φ i) tan( Φ i) Ctt action écaniqu st idntiqu ou ls quat sstès vis-écou Théoè d la ésultant dnaiqu, n ojction su z, aliqué au solid tabl+atint (t) : z R t /R z R t + z R s t + z R v ( ) ( ) ( ) ( ) d i t i - Mv& t Mg 4Z v π tan(i) En éliinant Z v dans cs du équations M 4(I + J) v& t Mg tan( i) Θ Mg v& t A constant A-,4s - π tan(i) M 4(I + J) tan( Φ i) Raqu : ou un liaison glissiè hélicoïdal afait ( Φ ) l ésultat st iédiatnt touvé n aliquant l théoè d l éngi cinétiqu à l nsbl ds iècs obils Vi Q5 En intégant : v t At+V i donc l ts d aêt st t a t a 5 s A At a Vi Distanc d aêt : d + V it a d,5 A ag 7

8 Q6 La écision st just suffisant Q7 Voi qustion Q8 Avc la loi d coand oosé : & ωa θ t ou [,t ] θ t t ω ( T t ) Q9 Théoè du ont dnaiqu n n ojction su Z aliqué au solid S{ioi+oto} : δ v /R ZM S + ZM s S + ZM Mot S ( ) ( ) ( ) ( ) Z C & θ + + C donc & θ & + a C C f a + Alication nuéiqu : La notic constuctu donn C N t J9 g Mass du ioi ρ Ll v,5g Mont d inti C + -6 g & θ 4,88 ad s a En utilisant ls ésultats d la qustion écédnt : ωa t t & θ,s a θ ω T t θ f,48 ad (ou Ts) f a ( ) a Délant d 4 (voi qustion ) : 4 hθ f J n ai as touvé la valu nuéiqu d h Q4 Evolution d 4 : Q4 ou l ti (voi ci-dssus) la distanc nt t 4 st d 55 µ La écision dandé d,5µ st loin d êt attint Q4 La féqunc la lus «énalisant» sbl êt la féqunc d élaboation ds consigns ELEV t AZIM Q4 A vos iaginations ag 8