Produit scalaire (corrigé niveau 1).

Transcription

1 Produ scre corrgé veu ercces gééru sur e produ scre Rppe : s o pr d ue me e ue combso ére des veceurs de me e peu ds ous es cs comporer qu u ombre de coeces o us Aureme d morer qu ue me e es bre es équve à morer que oue sous-me e es bre So ors F ue me orhoorme de veceurs de e so ue sous-me de F Aors cee me es bre pusque s : λ λ vec : λ λ K ors : λ λ λ λ λ λ b S o repred démosro précédee ee s dpe vec pour chgeme ds derère ge : λ O dsgue esue deu cs : s me e compore ps e veceur u ors o peu cocure à : λ e me es bre s me compore e veceur u ors ee es ée Cocuso : ue me orhogoe es bre s e seueme s ee e compore ps e veceur u Toues es propréés pour re de cee ppco u produ scre orsque o psse de C [] à se démore de même ço su e crcère dé de orme proposée ee oco ue sur [[ e v e : es coue pr morceu de [] ds doc ppre à es o ue e pour : d Doc o obe ps u produ scre sur Les mrces é crrées e réees ϕ dé be ue ppco de M ds Pus : A B M ϕ A B r A B r A B r B ϕ B e ϕ es symérque L éré de rce e de rsposo more éré de ϕ pr rppor à B j j O pr eurs : A M ϕ A u vu de derère epresso ϕ e s ue que s A es ue Doc ϕ dé u produ scre sur M b Appquos égé de Cuchy-Schwrz à A e I pour : A M Aors : ϕ I r I r ϕ I I ϕ A r I r A r A es cs d égé correspode u cs d égé ds égé de Cuchy-Schwrz ureme d s e seueme s A e I so ées I é o ue c es ecore équve u que A es ue mrce scre so : λ A λi 4 O peu écrre : g g e doc : g g Doc : g g e pr comprso de ocos posves g es égrbe sur I b es cus ds C qu es u -espce vecore L oco ue es coue de ds e es évdemme de crré égrbe sur I Pour : e : λ oco : λ λ es égrbe sur I doc λ es de crré égrbe sur I : g g g g PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu - -

2 e comme somme de ocos égrbes sur I e g es de crré égrbe sur I Feme es u sous espce vecore de C c L ppco proposée es be dée sur d près queso e es évdemme symérque bére e posve pusque : d comme égre covergee d ue oco posve I I s : d ors es ue cr es coue e posve sur I Feme : g g d dé be u produ scre sur I 5 O peu écrre : u v u v e doc : u v u v Doc : u v u v e pr comprso de sére à ermes poss u v coverge Pus es cus ds e es o vde pusque sue ue es ds sue pour : λ e : u sére λ u es évdemme covergee pour : u v u v u v u v e sére u v coverge comme somme de ros séres covergees Doc es u sous-espce vecore de b L ppco : u v u v es be dée sur d près queso De pus ee es évdemme symérque e bére e posve cr : u u comme somme d ue sére à ermes poss e : s : u ors : u doc : u e : u Doc o dé be s u produ scre sur 6 es cus ds C qu es u -espce vecore pour es os hbuees De pus es o vde pusque oco ue sur es creme ds s e g so ds ors : m m g g g PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu - - O oe ors : m e pour : λ µ o : g λ µ g C g g m λ µ g λ m µ m g comme somme de produs de ocos qu ede vers e cr : < e : < O cose s que es sbe pr combso ére ce qu e u sous-espce vecore de C doc u -espce vecore b L ppco proposée es dée sur ee vec es mêmes oos : g g e g g [ ][ g ][ e ] e : m g e pusque es ros ermes qu pprsse u-dessus ede vers e Pus ee es symérque pr évdece e bére pr éré de égre : e d pr posvé de égre e s o : e d ors oco sous égre é coue e posve sur o e dédu que : [ e doc : e : c I es mméd que s e cos so ds vec : g

3 O peu rouver ue bse orhoorme de Vec s cos e pos : s pus : cos λ s e o déerme λ vec codo : s [cos s ] λ e d érs e e pss e epoeees o : s cos s Im Im e e d e d e d 5 cos s Re Re e e d e d e d O chos doc : λ e : cos s o ccue es ormes de ces veceurs : 5 e d s e d doc o pose : g s 5 [cos s cos s ] e d e d 4 e d so doc : g [cos s] e g g es ue bse orhoorme de Vec s cos 7 I su pour : C [ b ] srceme posve sur [ b ] d ppquer égé de Cuchy-Schwrz u ocos e e : b d b d d b b b d b d e de psser u crré sch que oues es qués ds égé so posves I y égé s e seueme s es deu ocos e so ées e pusque es ocos so o ues ce s écr ecore : λ λ so : λ Cocuso : y égé s e seueme s es cose e srceme posve 8 S o use e produ scre coque ds C [] ors pour : C [] e : g égé de Cuchy-Schwrz doe : d g d d d g d d so égé demdée 9 O use e produ scre coque ds C [ b ] Aors égé de Cuchy-Schwrz ppquée à e ' doe : Or : b b b ' d d ' d b ' d b b doc o e dédu égé demdée 5 PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu - -

4 Cherchos ou d bord coére à doc de orme : µ Aors es souo s e seueme s : µ λ doc y ue uque souo qu es : λ Me ds es souo s e seueme s : λ ou ecore : Cocuso : es souos so es veceurs de orme : y Rsoos pr doube mpco : s e y so orhogou ors : λ s : λ Ds ce cs o e dédu que : - s : λ > - s : λ < doc eme : y y Vec λ y λ y λ y ors e pss u crré e e déveopp : d où e résu λ y λ y y λ y e e s edre λ vers o dédu que : y y λ y e e s edre λ vers o e dédu que : y Remrque : o peu uss repredre e prcpe de démosro de égé de Cuchy-Schwrz e écr d bord e cs où : y e ds ce cs : y e : y e ds e cs res e rôme res pos so dscrm es ég où u ce qu redoe : y spces vecores eucdes O peu peser à user e procédé de Grm-Schmd ou procéder de proche e proche ee e veceur : e es ééme de H S o cherche u veceur e ds H orhogo à e o es meé à résoudre : e : ce qu perme de proposer : e Supposos ors cosrus des veceurs e e p pour : p es que : p e se rouv e pce e Trouver e p ds H orhogo à ous ces veceurs reve à résoudre : p p p e : e o peu proposer : e p p L me e e es ors ue me orhogoe de veceurs de H doc c es ue me bre pusqu ee e compore ps e veceur u e comme H es u hyperp de me es ue bse orhogoe de H I su de dvser ors chque veceur pr s orme pour ober ue bse orhoorme de H ce qu doe : p e p p p p Noos ou d bord que es be ue ppco ére de ds Pus : F Vec b S λ es ors ue veur propre de e u veceur propre ssocé o : λ O peu ors dscuer deu cs : s : λ ors espce propre cherché s es veur propre de es ker e : ker b b b b Vec pusque e b é ures e orhogou s orme ue me bre Doc es veur propre de s e seueme s : dm e ds ce cs espce propre ssocé es Vec b qu es de dmeso : PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu - 4 -

5 s : λ ors : Vec b λ O cherche ors es veceurs propres ssocés u veurs propres éveuees o ues de e pos : β b vec : β e e ccu : β b b β b b β b b β b b β b e doc ou veceur o u de Vec b es veceur propre de ssocé à veur propre es doc veur propre de O peu oer u pssge que es dgosbe 4 So : k Aors : e k ek e ek e doc ous es crrés é poss s so us k O ve de morer que : k e e me es orhogoe Les veceurs é de pus ures me es orhoorme F e pour ce so : F b Moros que : { } Aors : e Doc o e dédu be : Feme : F F { } 5 Morer que : S : Doc : e k pusque é orhogo à F es orhogo à ous es e pus : { } F e e e comme bse de F es ue bse de F G F G e : F G ors : F F e de mère symérque : O ve de morer que : S : F G F G y y y pusque : y F G F G F G F G ors : y z F G G d où : F G y z y z d où : PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu F G O ve de morer que : F G F G Feme o be égé e c es vbe ds ou espce préhbere e sue o commece pr sger que ds u espce eucde ou sous-espce vecore V vére : V V Pus vec ce qu précède : Doc : F G F G F G so be ce que o vou démorer F G F G F G Procédé de Grm-Schmd dsce à u sous-espce vecore 6 O pose : e u 4 e v λe e o déerme λ vec : e e λ so : λ pus : e e v λ e µ e e es codos d orhogoé doe : e e λ so : λ 4 8 e e µ so : µ e doc : e O orme esue es veceurs e o obe me : ε ε ε 6 6 6

6 Remrque : es produs scres u ε v ε w so ous srceme poss ε 7 Le que Å e S soe suppémeres ds M es u résu cssque De pus : A S Å S ϕ A S r A S r A S e : ϕ S r S r S r A S Ms ces deu qués é uss éges pr symére de ϕ o e dédu que : ϕ A S Å e S so doc be orhogou b O se souve que : j k j k δ j k Doc : j k j k δ k j Pus : k ϕ r j k j k e : k j j k j ϕ j k r j pusque e es ps sur dgoe e e : k j j k j j ϕ j k r j j Doc bse coque de M es orhoorme pour ce produ scre c I u doc rouver projeco orhogoe ds M de M sur S Pour ce o se souve que : M M M M M es décomposo de M seo somme drece orhogoe S Å Doc projeco orhogoe de M sur S es M M e : dm S M M M M M 4 O ccue ors : M M A e : A ϕ A r A r 4 Feme : dm S ϕ A 8 ppqu e procédé de Grm-Schmd ss ormer es veceurs o obe d bord : P P P 6 O ccue ors es ormes de ces veceurs : P P bse orhoorme : Q Q Q 56 6 P 8 e o e dédu b O commece pr erpréer qué cherchée Pour ce : b ² b² d b vec orme ssocée e : ² b² d P d b R² [ ] P R [ ] O s ors que cee dsce es ee pour u uque poyôme projeco orhogoe de sur [] e comme o dspose d ue bse orhoorme de [] o s de pus que : p Q Q Q Q PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu - 6 -

7 I su de ccuer ors : Q d e : Q d e : 6 p 6 6 dsce cherchée vu : d [ ] 6 d e eme : ² b² d d b R² [ ] 8 9 L ppco proposée es dée sur [] ee s : P Q [] ors oco sous égre proposée es dée coue sur [ e : P Q e ed vers e héorème des crossces comprées Doc égre correspode es covergee e es réee pusque P e Q so à veurs réees L symére es pr eurs mméde s que éré pr rppor à Q oues es égres qu pprsse pr déveoppeme coverge L ppco es de pus posve cr s : P [] ors P es posve sur e es e dée cr s pour : P [] o : P e d oco : P e é posve e coue sur o e dédu qu ee es ue sur [ e doc P uss Comme poyôme P dme ors ue é de rces e es doc e poyôme u b O commece pr : e d [ e ] e d e d égro pr pres é uorsée pusque deuème égre coverge O e dédu pr récurrece que : e d! e d! Pr coséque : p q p q p q! c O pose : P qu es déjà ormé pusque :! pus : P e o ccue pour que : P P! O pred doc : so : P : P b e o cherche e b pour que : P P b!! b b e : P P b b 4 e o chos doc : 4 b so : P 4 O orme pour r es veceurs e pour ce : P P doc P es ormé P P 4 e o predr doc : P d I su de rouver projeco orhogoe de sur : F Vec pusque ce qu o cherche c es d F Cee projeco es e veceur : p F P P P P P P Après ccu des produs scres : p F 6 P 8 P 8 P e doc : b c R b c d p F O ccue cee derère qué e déveopp e à de des égres de queso b O obe : b c d 6 b c R PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu - 7 -

8 S o mu de so produ scre coque ors o veu mmser Y Z où : Y y y e : Z bu b b b orsque : b Doc o cherche : Y Z Z P où : P Vec U P es be u p cr es é dscs deu à deu e U e so ps coéres b L bore éreure es ee e u uque veceur Z qu es projeco orhogoe de Y sur P S o oe : Z b U ors Z es crcérsé pr : Y Z e : Y Z U Cec codu u sysème : Y Z ou : y b U b e : Y U Z U ou : y U b U U b Le déerm de ce sysème vu : U U U U U U U cr o recoî epresso ds égé de Cuchy-Schwrz e es o u cr es veceurs so o coéres Doc y ue souo ce que o sv déjà pr projeco orhogoe Remrque : droe obeue s ppee droe des modres crrés Projeceurs orhogou O peu rer es deu quesos e même emps So : D Vec Aors D dme pour bse orhoorme : e e doc : p D e e où o oé p D projeco orhogoe sur D So esue H u hyperp de de veceur orm Aors : H Vec e ou veceur de se décompose e : ph pd où p D es projeco orhogoe sur H Doc : ph pd O déerme d bord ue bse orhogoe du p e pos u premer veceur du p : u e e cherch : u y z e que : y z e : u u y so pr eempe : u O orme ors ces veceurs pour ober bse cherchée : ε ε b O peu ors déermer cee projeco p so pr s mrce ds bse coque so pr epresso de mge d u veceur u quecoque de e pr eempe : y y z u y z p u ε u ε ε u ε y z y z y z so : p u PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu - 8 -

9 O peu uss e dédure mrce de p ds bse coque qu vu : O peu ccuer cee mrce ds ue bse dpée pus user u chgeme de bse O peu uss déermer ue bse orhoorme de F qu es u p comme erseco de deu hyperps o prèes e remrqu que : F Vec e cee bse é orhogoe su de ormer es veceurs so : ε ε O ccue ors es mges des veceurs de bse coque à de de ε ε pr eempe : ε ε ε ε de même pour es ures veceurs e eme : m B b Cee dsce s obe à de de projeco orhogoe du veceur sur F qu vu : 4 e : d4 F O ccue mmédeme : A A doc p es u projeceur Pusque : r o e dédu que : rg p e que p es ue projeco sur u p P O déerme ce p comme mge de p e : P Vec 5 j k j k dreco de projeco es doée pr e oyu de p qu o déerme e résov e sysème : A qu doe : ker p Vec j k o vére que Im p e ker p so orhogou e ccu : 5 j k j k 5 4 j k j k 4 p es be projeco orhogoe de sur P Mrces symérques réees 5 L mrce A es symérque réee doc o peu dgoser pr ermédre d ue mrce orhogoe So poyôme crcérsque vu : χ A L espce propre de edomorphsme u coqueme ssocé A pour veur propre es e p d équo : y z e ceu correspod à veur propre es droe drgée pr e veceur Is so be orhogou pour e produ scre coque de O chos ors ue bse orhogoe de chcu des sous-espces propres : pour droe u premer veceur ds e p e u ure vér : y z e : y so pr eempe e veceur réuss ces deu bses o obe ue bse orhogoe de espce qu su de ormer pour ober ue bse orhoorme B de ormée de veceurs propres de u PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu - 9 -

10 6 O pose ors : P mrce orhogoe comme mrce de pssge ere deu 6 6 bses orhoormes de bse coque e bse B e : P A P D 6 L mrce é symérque réee oues ses veurs propres so réees s doc que oues es rces de so poyôme crcérsque Doc : de A I χ A e mrce A I es versbe 7 Soe B ue bse orhoorme de e U e V es mrces représeves de u e de v ds B U e V so ors symérques Pus : uov symérque m B uov U V es symérque U V U V V U V U u e v commue 8 c So : M M symérque e à veurs propres posves Morer qu ese : A M ee que : M A A Comme A es réee mrce A A es ue mrce réee e : A A A A Doc A A es symérque e ses veurs propres so réees De pus so : λ Sp e : M ee que : A λ Aors : A λ ce qu s écr ecore : pour e produ scre coque ds ou ds M PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu - - A λ A O e dédu é o u que : λ b Commeços pr remrquer que : de A λ de de de I y doc équvece ere : A es ps versbe de A λ Sp ue des veurs propres de A A es ue Comme o s déjà que ces veurs propres so oues posves o e dédu équvece vouue λ L O O M c O s qu ese : P O e : D ees que : M P D P M O O L λ e où es veurs λ so posves λ L O O M O pose esue : pus : A P P M O O L λ O cose ors que : A A P P P P P P P D P M

11 e us e que es dgoe doc ége à s rsposée 9 B é creme réee e symérque ses veurs propres so réees O oer pr eurs pus grde veur propre de B e β pus pee b O cose que : M A e doc : A A A D où : B A A A c symérque réee o peu dgoser B pr ermédre d ue mrce orhogoe P Doc : D Dg P B P D Aors : M A B P D P S o oe : Y P o : P D P Y D Y λ y e doc : y λ y β y où o oé λ λ es veurs propres de B so ecore es éémes dgou de D : y Y Y P P pusque P es orhogoe Feme o be : A β d So e λ ue veur propre réee de A e u veceur propre ssocé ds M o u Aors : A λ λ λ L doube égé précédee se réécr ors e : λ β dvs pr o cocu que : λ [ β ] So : M O évdemme : A A A Récproqueme s : A A ors e mup pr o obe : A A A A A où désge orme coque ds ou M Doc : A e mpco récproque es démorée b L équvece précédee es e : M ker ker A doc : ker ker A O e dédu que : rg dmker dmker A rg A Remrque : es cour de rempcer pe à pe es edomorphsmes de pr eur mrce coqueme ssocée B es symérque réee doc dgosbe S D désge ue mrce dgoe sembbe à B ors pusque B vére ue reo du ype : k k B mrce D vére ee uss : D k Or es éémes dgou de D so es éémes dgou de D éevés à pussce k s so ous us e D es mrce ue coséquece o uss : B d où : A A e A es symérque A é symérque réee ee es dgosbe ds M e ses veurs propres so réees k De pus o dspose d u poyôme ueur pour A à svor e es veurs propres de A so rces de ce poyôme doc so des rces de ué Or es seus rées qu so des rces de ué so e Doc A es sembbe à ue mrce dgoe D do es éémes dgou so ± Pr coséque D vére : D I e A vére même reo PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu - -

12 domorphsmes orhogou Pour : F o : y F y e doc : u u y Doc : z uf y F z uy e : u z doc : u u F O ve de morer que : u F u F De pus u é u edomorphsme orhogo es bjec e coserve dmeso des sous-espces vecores rsorme oue me bre e ue me bre doc : dm u F dm F dm dm F e dm u F dm dm u F dm dm F L cuso précédee e égé des dmesos perme de cocure à égé : u F u F b Moros mpco [] e pour ce supposos F sbe pr u Pusque u es u edomorphsme orhogo coserve dmeso e : dm u F dm F Comme de pus : u F F o e dédu que : u F F Aors : F z F y F z uy e : u z u u y y Doc : u F e F es be sbe pr u pour mpco récproque [ ] : s F es sbe pr u ors : F F es sbe pr u vec ce qu éé démoré ds mpco drece 4 O commece pr remrquer que sous hypohèse e sur o : y Doc : y y y y y y y y y y So me : ker e : z Im Aors : Doc : y z y e : z y y y ker Im e e héorème du rg doe : dmker dm dmim dmim Doc : ker Im e comme es de dmeso e : ker Im 5 Soe : y ker d e : z Im d Aors : z d e : y y Doc : y z y y y y y cr es u edomorphsme orhogo e coserve e produ scre O e dédu que es espces ker d e Im d so orhogou doc e somme drece De pus : dmker d dmim d dm Cocuso : s so be suppémeres orhogou ds 6 I es mméd que es oujours ére Pus : β o β β β β comme es ure : o β β β β β b So : O ors : e doc es coére à Pour : λ o cose que : λ Doc : s : o : λ e doc es jecve doc bjecve s : ors : λ λ e pr doube cuso : ker Vec Ds ce derer cs es doc ps jecve doc ps jecve e o be équvece : PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu - -

13 bjecve c Pour : λ e : o u o : λ λ O dsgue à ouveu deu cs : s : ors : λ es seue veur propre possbe de es comme ds ce cs : d es eecveme veur propre de e so espce propre ssocé es s : ors : - s : λ ors es coére à e e o : µ o cose que : µ µ ureme d es veur propre de e so espce propre ssocé es Vec - s : λ ors : Aureme d pour : es veur propre de e so espce propre ssocé es Vec 7 O v rsoer pr doube mpco S es ue symére orhogoe ors : d e doc es dgosbe pusque es ueur pour scdé à rces smpes S es à os orhogo e dgosbe ors so : λ Sp e u veceur propre ssocé O : λ doc : λ λ e é o u o e dédu : λ Les seues veurs propres possbes de so doc e e mrce D de ds ue bse de veceurs propres es dgoe Pusque ses éémes dgou ve ou o : es doc ue symére Soe me : ker d e : y ker d Aors : y y D I cr es orhogo ms uss : y y y cr : e : y y O e dédu que : y e e y so orhogou e vére uss : d Les deu espces qu désse symére so doc orhogou e symére es orhogoe Mrces orhogoes 8 O coî orme des mrces orhogoes cos θ s θ Prm es mrces de roo de orme : A es mrces symérques so s θ cos θ cees pour esquees : s θ s θ ureme d cees ees que : s θ doc : θ π I y e doc deu qu so I e I cos θ s θ Les mrces de symére : A so ees oues symérques s θ cos θ Prm es mrces de roo es mrces symérques so cees pour esquees : cos θ π ureme d cees ees que : θ π I y e deu qu so e cos θ s θ Prm es mrces de symére : A cees qu so symérques so cees ees s θ cos θ que : s θ s θ e : cos θ so ees que : s θ cos θ doc y e ps PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu - -

14 9 remrque prémre o v er ds ue bse orhoorme : B j Pour : O o oe : M m B Aors : C A O A M M A Pus e produ de deu mrces de roo doe : cos θ s θ θ θ ' s o oe : A θ ors : A θ A θ ' A θ θ ' A θ ' A θ s θ cos θ Doc deu mrces de roo commue oujours Pour deu mrces de symére o : cos θ s θ θ θ ' s o oe : B θ ors : B θ B θ ' A θ θ ' s θ cos θ Doc ees commue s e seueme s : A θ θ ' A θ ' θ so : θ θ ' π ou : θ θ ' π Comme ce es ps oujours e cs ucue mrce de symére e commue vec oues es ures Doc ue mrce orhogoe qu commue vec oues es ures es ue mrce de roo e produ d ue mrce de roo e d ue mrce de symére doe : θ θ ' A θ B θ ' B θ ' θ e : B θ ' A θ B θ ' θ Doc A θ commue vec oues es mrces B θ ' s e seueme s : θ ' B θ ' θ B θ ' θ so : θ ' θ θ ' θ π ou ecore : θ π Doc es seues mrces orhogoes qu commue vec oues es ures so I e I reve u edomorphsmes o e dédu que : C { d d } 4 S A es rgure supéreure e orhogoe oos C k ses cooes Aors pour e produ scre coque ds ou M o : C doc : ± e : C C ± doc : Pus : C e comme : o e dédu que : ± e : C C ± doc : Pr récurrece o more ors que : j j e : j j j ± Aureme d mrce A es dgoe vec comme éémes dgou des ou Récproqueme de ees mrces so be rgures supéreures e orhogoes I y e doc 4 o e veceur proposé o : A Y vec : y k k e : A vec : k j ureme d : A j k j j b Appquos me égé de Cuchy-Schwrz u veceurs e A ds espce M mu de so produ scre coque Aors : A A A Or A é ue mrce orhogoe e u beso e reve à edomorphsme u coqueme ssocé qu es u edomorphsme orhogo de mu de s srucure eucdee coque o : e : A d où o dédu : PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu k k j j Isoméres e dmeso produ vecore 4 Pour es qure mrces proposées o peu ccuer es produs A A B B C C ou D D ou vérer que es veceurs cooes orme ue bse orhoorme de mu de s srucure eucdee

15 coque O cose s que es ros mrces so orhogoes de A e A représee doc ue roo u de mu de s srucure eucdee coque e de so oreo coque L e de cee roo correspod u veceurs vrs pr u qu so doés pr : A Après résouo du sysème o rouve : Vec4 L ge θ de u es doé pr : cos θ r u r so : cos θ doc : θ π Doc u es u dem-our ou reoureme e y ps eu de précser c e ses u es uss ue symére orhogoe pr rppor à e u es dgosbe cr A es symérque réee de B e B représee composée d ue roo u pr rppor à u e e de symére orhogoe pr rppor à : P L e correspod u veceurs chgés e eur opposé qu so doés pr : Après résouo du sysème o rouve : Vec B 5 5 L ge θ de roo es doé pr : cos θ r u r B so : cos θ ou : θ rccos 6 6 e ses de roo es déermé pr eempe à de d u veceur de : P qu e sub que roo pr eempe vec : e 4 L mge de e vu : u e e : e ue qu es évdemme sur S doc o oree vec ce derer veceur ou e veceur qu es coére e de même ses ors P es coqueme oreé e roo ds P se ds e ses pos de C e C représee ue roo u de L e de cee roo correspod u veceurs vrs pr u doés pr : C Après résouo du sysème o rouve : Vec π L ge θ de roo es doé pr : cos θ r u r C so : cos θ e : θ e ses de roo se déerme vec u veceur orhogo à pr eempe : e L mge de e vu : u e e : e ue qu es évdemme sur S doc o oree vec ce derer veceur ou e veceur qu es coére e de même ses ors P es coqueme oreé e roo ds P se ds e ses pos de D e D représee ue roo u de L e de roo correspod u veceurs vrs e vu : Vec π L ge θ es doé pr rce e vu : θ Le ses de roo se déerme e chosss u veceur orhogo à pr eempe : e L mge de e vu : u e e : e ue L roo se doc ds e ses pos du p s o chos e veceur pour oreer 4 Puseurs méhodes so possbes : - user projeco orhogoe à de d ue bse orhoorme de P e e dédure symére orhogoe cherchée - rouver mrce de symére ds ue bse dpée e e dédure à de de ormues de chgeme de bse mrce cherchée Pr eempe ue bse orhogoe de P es pr eempe oure vec : P o cherche : y z P orhogo u précéde doc vér : y z e : y PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu - 5 -

16 O peu s proposer : 65 O orme ces veceurs e o peu proposer comme bse de P : 6 5 ε ε O cherche ors ue bse orhoorme de P pr eempe : ε Ds bse ε ε ε mrce de symére vu : A ' O pose ors : Q e mrce cherchée es : A 6 e us : A Q A' Q Q A' Q O peu oer qu o obe be ue mrce orhogoe c es mrce d ue somére e ee es symérque réee doc dgosbe 44 O commece pr déermer mrce de cee roo r ds ue bse dpée Pour ce o chos u veceur u orhogo à w e de orme pr eempe : u j O cose que e veceur w es ormé e o ccue : v w u qu perme d ober vec u v w ue bse orhoorme drece de Après ccu o rouve : v 4 S o oree : Vecw vec w ors : P es oreé posveme vec u v O obe s : 4 m u v w r e s o oe : Q cherchée es : m 8 6 B r Q A Q Q A Q ors mrce 45 O v puô morer que ppco r dée pr éocé es be roo océe Pour ce o cose que r es be ére c es mméd pr béré du produ scre e du produ vecore Cherchos ors mrce de r ds ue bse be chose e pour ce soe v u veceur de orme e orhogo à θ e : w u v Aors me u v w es be bre doc es ue bse de e : r u cos θ u cos θ u s θ u u u r v cos θ u cos θ v s θ u v cos θ v s θ w r w cos θ u cos θ w s θ u w cos θ w s θ v PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu - 6-4

17 e mrce de r ds bse u v w es : cos θ s θ s θ cos θ r es doc be roo d ge θ d e drgé e oreé pr θ 46 L edomorphsme ror ' or es ue somére de comme composée d soméres De pus : de ror ' or de rde r' de r doc c es ue roo de qu o v oer R Pus s o oe w ' u veceur qu drge e oree e de r ' ors o : R r w' ror' or r w' ror' w' r w' e e veceur r w' es vr pr roo R doc drge e de R : r R r ror' or r r' S ors o oe θ θ ' Θ es ges de r r' R ors : cos Θ cos θ ' e : θ ' Θ Doc R es roo d ge θ ' uour de : vec r w' O peu égeme précser e ses de cee roo : pour ce o oe u ' v' w' ue bse orhoorme drece de obeue e compé w ' e ue bse orhoorme drece de cos θ ' s θ ' Ds cee bse mrce de r ' vu : m u ' v' w' r' s θ ' cos θ ' Doc : R r u' ror' or r u' ror' u' rcos θ ' u' s θ ' v' cos θ ' r u' s θ ' r v' R r v' s θ ' r u' cos θ ' r v' Or me r u' r v' r w' es ue bse orhoorme drece de pusque r es ue roo Doc roo R s eecue ds e ses pos s o oree so e vec w ' 47 O peu oer que es évdemme u edomorphsme de Pus : λ λ λ Or e veceur λ es s à os coére e orhogo à doc es u O e dédu que : λ e doc ou rée λ dsc de es ps veur propre de Pus pour : λ o : Vec Cocuso : es seue veur propre de e espce propre ssocé es : Vec b So : B j k ue bse orhoorme drece de O oe pr eurs : u v j w k e : ' u' v' j w' k Aors : ' v w' v' w w u' w' u j u v' u' v k pus ' pour coordoées : v u v' u' v w wu ' w' u u u u' u v v' u w w' u w v ' v' w u u v' u' v ' v v' seo j e : u w u' w' u v v w' v' w ' w w w' seo k O e dédu be que : ' ' ' u' seo PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu v w u' ' u c O commece pr ccuer : e doc : Pus : ce qu doe :

18 PSI Dupuy de Lôme Chpre : Produ scre ercces : corrgé veu O use ors es reos : e : pour ober : Feme : e doc : d ce qu our e poyôme ueur pour : P O rerouve e que : P doc que es rce de P : P Ds ous es cs es seue rce réee de P pusque es o u e c es seue veur propre possbe de