3 Produit vectoriel. 3.1 Construction. Définition géométrique du produit vectoriel de deux vecteurs. Liens hypertextes

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1 ProduitVectoriel-Determinnt.n 15 3-ème nnée, mthémtiques niveu vncé 3 Produit vectoriel Edition Liens hypertextes Produit sclire 3D: Supports de cours de mthémtiques, niveu secondire II (pge mère): Construction Définition géométrique du produit vectoriel de deux vecteurs Etnt donné deux vecteurs,, on ppelle produit vectoriel des vecteurs, de l mnière suivnte: le vecteur c, noté c, défini dns le cs où, ne sont ps colinéires, l direction de c est définie pr c et c ; le sens de c est tel que que le triplet,, c est direct, c'est-à-dire oéit à l règle de l min droite; l norme de c est égle à l'ire du prllélogrmme sous-tendu pr,, c'est-à-dire c h sinφ où φ, ; c φ h dns le cs où, sont colinéires, on 0, 0 ou sinφ 0; c'est pourquoi on pose c 0.

2 ProduitVectoriel-Determinnt.n 16 Propriétés Première propriété Il découle de l définition que, pour tout vecteur, on 0 Deuxième propriété ntisymétrie Troisième propriété Pour toute se orthonormée directe i, j, k, on i j k, j k i, k i j règle des permuttionscycliques k i j En cominnt les propriétés 2 et 3, on otient j i k, k j i, i k j

3 ProduitVectoriel-Determinnt.n 17 Qutrième propriété Λ Λ Dns le cs où Λ 0, l direction et le sens des deux expressions précédentes sont les mêmes; pour l norme, lorsqu'on multiplie le côté pr Λ, l'ire du prllélogrmme est multilpliée pr Λ (dns l figure, Λ 1.6): Λ Λ Lorsque Λ 0, les sens des deux memres sont inversés; en effet, pour le memre de guche, si,, c est direct, c'est lors,, c qui est direct (dns l figure, Λ 1.6): Λ Λ D'une mnière nlogue, on montre que Μ Μ

4 ProduitVectoriel-Determinnt.n 18 Cinquième propriété Démontrons l propriété dns le cs prticulier où les vecteurs 1, 2, sont coplnires. j h 2 h 1 h 2 i h 1 1 Dns une se orthonormée directe i, j, k dont les deux premiers vecteurs sont dns le pln de l figure, les produits vectoriels sont des multiples de k. Pour le cs de figure représenté, h 1 h 2 h 1 h Il y d'utres cs de figures à envisger: il est possile que les deux ires doivent se soustrire, mis l démonstrtion demeure semlle. Qunt u cs où les trois vecteurs ne sont ps coplnires, nous renonçons à donner une démonstrtion, mis nous effectuerons des vérifictions u 3.2. On regroupe les propriétés 4 et 5 en disnt que le produit vectoriel est ilinéire.

5 ProduitVectoriel-Determinnt.n 19 Expression nlytique du produit vectoriel (ou définition lgérique du produit vectoriel) En utilisnt les propriétés précédentes, nous pouvons exprimer le produit vectoriel en composntes dns une se orthonormée directe i, j, k. Pour 1 i 2 j 3 k 1 2 ; 1 i 2 j 3 k on 1 i 2 j 3 k 1 i 2 j 3 k 1 1 i i 1 2 i j 1 3 i k 2 1 j i 2 2 j j 2 3 j k 3 1 k i 3 2 k j 3 3 k k k 1 3 j 2 1 k i 3 1 j 3 2 i i j k Voir Formulireset tles 3.2 Vérifictions Puisque, dns l'étlissement de l formule du produit vectoriel, nous vons suté une démonstrtion, effectuons des vérifictions. L'expression nlytique du produit vectoriel possède les 5 propriétés du 3.1 Ces vérifictions sont lissées u soin du lecteur. L'expression nlytique du produit vectoriel vérifie l définition géométrique Direction c Donc c D'une mnière nlogue c. Retenons le résultt: et

6 ProduitVectoriel-Determinnt.n 20 Sens Pour l se cnonique i, j, k, l vérifiction de l troisième propriété étlit que le sens est correct. Nous reprlerons du cs générl dns le 4 en utilisnt le critère du déterminnt. Norme Nous llons démontrer que sin 2 φ En effet, d'une prt D'utre prt, sin 2 φ cos 2 φ cos φ ce qui étlit l'églité suivnte dns lquelle φ désigne l'ngle entre les vecteurs et : sin φ Voir Formulireset tles Géométriquement, l norme du produit vectoriel représente l'ire du prllélogrmme sous-tendu pr les vecteurs,, ce que nous notons comme suit: Aire prllélogrmme, Cs prticulier de deux vecteurs colinéires Si, pr exemple, Λ, lors Λ 3 3 Λ 2 3 Λ 1 1 Λ Λ 2 2 Λ 1

7 ProduitVectoriel-Determinnt.n 21 Applictions du produit vectoriel Aire d'un tringle Géométriquement l'ire du tringle sous-tendu pr les vecteurs, est égl à l moitié de l'ire du prllélogrmme sous-tendu pr les vecteurs, Aire tringle, 1 2 Distnce d'un point à une droite Soit C un point de l'espce et d une droite dont un point d'ttche est A et un vecteur directeur est d. Notons distc, d l distnce du point C à l droite d. P Q A C d Introduisons les points P et Q définis pr d AP CQ. L'ire du prllélogrmme APQC est égl, d'une prt à d ; d'utre prt à d AC. Donc d AC d Voir Formulireset tles

8 ProduitVectoriel-Determinnt.n 22 4 Déterminnt Définition du déterminnt (ou produit mixte) Le produit mixte suivnt est ppelé déterminnt det,, c c Voir Formulireset tles Interpréttion géométrique du déterminnt Interprétons d'ord l vleur solue du déterminnt: det,, c c cos φ h où φ désigne l'ngle entre et c tndis que h c cosφ représente l huteur du prllélépipède dont l'ire de l se est : c φ L vleur solue du déterminnt représente le volume du prllélépipède sous-tendu pr les vecteurs,, c, ce que nous notons comme suit: Vol prllélépipède,, c det,, c Interprétons mintennt le signe du déterminnt: det,, c 0 cos(φ) > 0 l se,, c est directe (c'est-à-dire oéit à l règle de l min droite); det,, c 0 cos(φ) < 0 l se,, c est rétrogrde; det,, c 0 0 ou c 0 ou cosφ 0,, c est un système linéirement dépendnt.

9 ProduitVectoriel-Determinnt.n 23 det,, c 0 0 ou c 0 ou cosφ 0,, c est un système linéirement dépendnt. Plus rigoureusement, on étlit d'ord que les ses se sudivisent en deux clsses disjointes, selon leur orienttion. L règle de l min droite permet ensuite de sélectionner l clsse des ses directes. Propriétés du déterminnt Les propriétés suivntes découlent de l définition, plus prticulièrement des propriétés du produit vectoriel et du produit sclire: det,, c c,, c est linéirementdépendnt det,, c 0 det,, c 0,, c est une se Le déterminnt est multilinéire, c'est-à-dire qu'il est linéire pour chcun de ses rguments: det Λ,, c Λ det,, c, det, Μ, c Μ det,, c, det,, Ν c Ν det,, c det 1 2,, c det 1,, c det 2,, c det, 1 2, c det, 1, c det, 2, c det,, c 1 c 2 det,, c 1 det,, c 2 Le déterminnt est lterné, c'est-à-dire si on permute deux vecteurs-colonnes, le signe du déterminnt est inversé: det,, c det,, c, det, c, det,, c, Le déterminnt est normé, c'est-à-dire que le déterminnt d'une se orthonormée directe vut 1: sii, j, k est une se orthonormée directe, det i, j, k 1 Expression nlytique du déterminnt Pr rpport à une se orthonormée directe i, j, k, introduisons les nottions: det,, c det 1 2 3, 1 2 3, c 1 c 2 c 3 det 1 1 c c c c c c 3 Au moyen des propriétés précédentes, exprimons le déterminnt en fonction des composntes des vecteurs:

10 ProduitVectoriel-Determinnt.n c c 2 det 1 i 2 j 3 k, 1 i 2 j 3 k, c 1 i c 2 j c 3 k 3 3 c 3 1 det i, 1 i 2 j 3 k, c 1 i c 2 j c 3 k 2 det j, 1 i 2 j 3 k, c 1 i c 2 j c 3 k 3 det k, 1 i 2 j 3 k, c 1 i c 2 j c 3 k 1 det i, 2 j 3 k, c 2 j c 3 k 2 det j, 1 i 3 k, c 1 i c 3 k 3 det k, 1 i 2 j, c 1 i c 2 j 1 2 det i, j, c 2 j c 3 k 1 3 det i, k, c 2 j c 3 k 2 1 det j, i, c 1 i c 3 k 2 3 det j, k, c 1 i c 3 k 3 1 det k, i, c 1 i c 2 j 3 2 det k, j, c 1 i c 2 j 1 2 c 3 det i, j, k 1 3 c 2 det i, k, j 2 1 c 3 det j, i, k 2 3 c 1 det j, k, i 3 1 c 2 det k, i, j 3 2 c 1 det k, j, i 1 2 c c c c c c c c c c c c 1 Le résultt otenu peut s'exprimer u moyen de l règle de Srrus (Voir Formulires et tles): 1 1 c c c 3 1 c 2 3 c c 1 3 c 2 1 c c 3 Déterminnt de l mtrice trnsposée On ppelle mtrice 3 3 un tleu de nomres réels formé de 3 lignes et 3 colonnes: 1 1 c c c 3 On ppelle trnsposée d'une mtrice l mtrice otenue en échngent les lignes et les colonnes 1 1 c c c 3 tr c 1 c 2 c 3 On vérifie isément l'églité suivnte: le déterminnt de l mtrice trnsposée est égl u déterminnt de l mtrice: c 1 c 2 c c c c 3 Développements en mineurs On pourr vérifier que les expressions suivntes sont égles (développement selon l première colonne)

11 ProduitVectoriel-Determinnt.n c c c c 2 3 c c 1 3 c c 1 2 c 2 (Voir Formulires et tles). De même pour le développement selon l première ligne 1 1 c c c c 2 3 c c 2 3 c 3 c Applictions du déterminnt Eqution crtésienne du pln L'éqution crtésienne du pln défini pr le repère A, u, v où Ax 1, y 1, z 1, u u 1 u 2 u 3, v v 1 v 2 v 3 peut être clculée u moyen du déterminnt. Le point Px, y, z pprtient u pln si et seulement si AP r u s v, c'est-à-dire si et seulement si les vecteurs u, v, AP sont colinéires: v sv A P u ru Pr suite, le point Px, y, z pprtient u pln si et seulement si det u, v, AP 0 u 1 v 1 x x 1 u 2 v 2 y y 1 0 u 3 v 3 z z 1 u v AP 0 Dns le cs d'un pln défini pr 3 points Ax 1, y 1, z 1, Bx 2, y 2, z 2, Cx 3, y 3, z 3, il suffit de sustituer u AB, v AC, dns les formules précédentes AB AC AP 0

12 ProduitVectoriel-Determinnt.n 26 n C A P B Dns n AB AC, on reconnîtr un vecteur norml du pln cherché. On retrouve insi l formule n AP 0 que nous vions étlie à l pge 11. Volume du prisme à se tringulire Le volume du prisme à se tringulire sous-tendu pr les vecteurs,, c est égl à prllélépipède sous-tendu pr les vecteurs,, c. Donc 1 2 du volume du c Vol prisme,, c 1 2 det,, c Volume du tétrèdre

13 ProduitVectoriel-Determinnt.n 27 c Le volume du tétrèdre sous-tendu pr les vecteurs,, c est égl à 1 3 du volume du prisme à se tringulire sous-tendu pr les vecteurs,, c. Donc Vol tétrèdre,, c 1 6 det,, c Orienttion Pour déterminer l'orienttion d'une se, on peut étudier le signe de son déterminnt; pr exemple, det,, 2 0 Donc, si le produit vectoriel n'est ps nul, on est ssuré que,, est une se directe.