Caractérisation vectorielle de convertisseurs statiques matriciels

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1 BREVES Caratérisatin vetrielle de nvertisseurs statiques matriiels Déterminatin des degrés de liberté d une mmande Éri S Christian Rmbaut 2 L2EP, Labratire d Életrtehnique et d Életrnique de Puissane de Lille EriS @univ-lillefr L2EP, Université de Lille, Bât P2, F Villeneuve d Asq Cedex 2 L2EP, ENSAM Centre de Lille, 8 Bd Luis XIV, F Lille Cedex RÉSUMÉ Une aratérisatin vetrielle de nvertisseurs statiques matriiels est prpsée Elle généralise le frmalisme des phaseurs mplexes et permet de dégager ertaines prpriétés intrinsèques du nvertisseur Cette aratérisatin est mise à prfit pur déterminer le nmbre de degrés de liberté pur le ntrôle d une harge plyphasée Une représentatin graphique dans le as de l nduleur de tensin triphasé deux niveaux est présentée ABSTRACT A vetrial haraterizatin f stati nverters is prpsed It generalizes the mplex phasr frmalism and allws t highlight intrinsi prperties f nverter These haraterizatin is used t determine the number f freedm s degrees fr the ntrl f a plyphase lad A graphi representatin in the ase f the tw levels vltage inverter is expunded MOTS-CLÉS : frmalisme, phaseur mplexe, veteur d espae, nduleurs, plyphasé KEY WORDS: frmalism, mplex phasr, spae vetr, inverters, plyphase Revue Internatinale de Génie Életrique Vlume X n X/2000, pages XXX à XXX

2 2 Revue Internatinale de Génie Eletrique Vlume X - n X/2000 Intrdutin Pur la mmande des nvertisseurs n dispse essentiellement du frmalisme matriiel [HAU 99] et de elui des phaseurs mplexes [VAS 88] Ce dernier, dnt le aratère graphique permet d utiliser des nnaissanes élémentaires de gémétrie, est bien adapté aux systèmes triphasés usuels Ntre démarhe [SEM 00] nsiste à élabrer, pur l étude des systèmes plyphasés, un frmalisme qui généralise la ntin de phaseur mplexe en bénéfiiant des utils de la gémétrie vetrielle 2 Caratérisatin vetrielle du nvertisseur statique matriiel Le nvertisseur que nus nsidérns nnete k sures de tensins à p sures de urants à l aide d interrupteurs suppsés idéaux (vir Figure ) On utilise pur aratériser l état du nvertisseur les fntins de nnexin f rs Pur l nduleur de tensin triphasé deux niveaux qui sert de supprt pur les représentatins graphiques, p = 3, k = 2, v t = E et v t2 = - E Afin de mettre en exergue la méthde d étude prpsée nus nus intéressns seulement à l interatin entre le nvertisseur et la sure de urant, mpsée de p bbines uplées en anneau k s u re s d e t e n si n Référene de ptentiel i t i t2 i tk v v v 3 v v t v t2 v tk i i 3 i f f 2 f 3 f p f 2 f 22 f 23 f 2p f k f k2 f k3 f kp Cellule de mmutatin i u - u u p sures de urant uplées en anneau u Figure Représentatin du nvertisseur matriiel f rs = si l interrupteur qui lie la r ième sure de tensin à la s ième sure de urant est fermé, 0 s il est uvert

3 Caratérisatin vetrielle d un nvertisseur 3 2 Espae vetriel et famille assiés à la sure de urant Le nvertisseur impse p tensins à la sure de urant Vu de ette dernière, nus assins dn au nvertisseur un espae de dimensin p, nté E, espae muni d une base rthnrmée direte B Définissns alrs le veteur tensin : v = v x + v x + + v x ave B = { x, x,, x } Les règles de mpatibilité des sures impliquent par ailleurs une ntrainte pur haque ellule de mmutatin à savir : r k = f r= s {,,p}, rs = Il vient qu il y a k mbinaisns pssibles pur haque ellule On en déduit, pur le mdulateur qui mprte p ellules, le nmbre pssible de mbinaisns et dn de veteurs : H = k p (2 3 = 8 pur nduleur de tensin triphasé «lassique» à 3 ellules de mmutatin de 2 interrupteurs) On rée ainsi une famille de H veteurs v ( 0 r ( H ) r ), aratéristique du nvertisseur Psns OM r = vr Les pints M r définissent alrs les smmets d un plyèdre Dans ntre exemple, e snt les 8 smmets d un ube (vir Figure 2) M 5 x 3 M 4 (-E,E,E) M3p (-E,E,-E) x p M2p (E,E,-E) M 6 M M 0 x (a) M 7 x M 3 (-E,E,-E) M 2 (E,E,-E) M4p M7p M0p (-E,E,E) M5p (-E,-E,E) x3p (b) xp Mp (E,-E,-E) M6p (E,-E,E) Figure 2 Caratérisatin de l nduleur de tensin triphasé deux niveaux (a) Par l apprhe prpsée (b) Par les phaseurs mplexes 22 Cas d un nvertisseur pilté aux valeurs myennes Rappelns qu aux instants kt d éhantillnnage la valeur myenne glissante du veteur tensin impsé à la sure de urant par le nvertisseur s exprime : r = N kt t r v (kt) = v = (k )T (t) dt vr ave T = r = N t r et T r = T r = t r durée est la durée pendant laquelle est ativé le veteur v r En psant OM = v (kt), il vient : = r= N t r OM OM r r= T

4 4 Revue Internatinale de Génie Eletrique Vlume X - n X/2000 M est dn le baryentre des N pints M r ave les rdnnées baryentriques psitives t r /T Par nséquent, M appartient au plyèdre défini par l ensemble des pints M r Ce ne snt plus uniquement les smmets de e plyèdre qui aratérisent le nvertisseur mais sn vlume Dans l exemple traité est dn le ube 3 Déterminatin des degrés de liberté d une mmande Les relatins 2 qui existent entre les tensins u k aux brnes de la harge et elles v k impsées par le nvertisseur définissent une appliatin linéaire A Ntns KerA sn nyau et OrKe, un espae rthgnal à KerA tel que E est smme de es deux sus espaes Tut veteur v se démpse alrs de façn unique en un veteur de KerA et un autre v de OrKe Pur btenir v, il suffit de prjeter v sur OrKe parallèlement à KerA Puisque tut veteur appartenant au nyau a une image nulle par A, seule l image de v a un effet pur la sure Pur aratériser le nvertisseur du pint de vue de la sure, il suffit de ne nsidérer que la prjetin de tut veteur de E sur OrKe Nus en déduisns que la dimensin du nyau KerA furnit le nmbre de degrés de liberté pur la mmande du nvertisseur Dans le as triphasé, OrKe est un plan et la prjetin du ube est l hexagne lassiquement nsidéré par la thérie des phaseurs mplexes (vir Figure 2) Le nyau est une drite de veteur direteur x + x 2 + x 3, n dispse dn d un degré de liberté dnt l explitatin mène aux mmandes ave injetin d harmnique tris 4 Cnlusin Nus avns présenté une aratérisatin vetrielle de nvertisseur qui généralise, pur l étude des systèmes plyphasés, la méthde des veteurs d espae La ntin d appliatin linéaire qui nus a permis de définir le nmbre de degrés de liberté nduit plus généralement à une méthde de synthèse de mmande 5 Bibligraphie [HAU 99] HAUTIER JP, CARON J P, Cnvertisseurs statiques : méthdlgie ausale de mdélisatin et de mmande, Éditin Tehnip, Paris, 999 [SEM 00] S E, Outils et méthdlgie d étude des systèmes életriques plyphasés Généralisatin de la méthde des veteurs d espae, Thèse de dtrat, Université des Sienes et Tehnlgies de Lille, u = v -v ; u = v -v 3 ; ; u k = v k -v k+ ; ; u - = v - -v ; u = v -v

5 Caratérisatin vetrielle d un nvertisseur 5 [VAS 88] VAS P, Vetr ntrl f AC mahines, Clarendn Press, Oxfrd, 988