Exercices sur la géométrie plane

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1 Eercces sur la géoétre plane Sot un trangle équlatéral et M un pont ntéreur au trangle n note H, K, L les projetés orthogonau respectfs de M sur les tros côtés éontrer que la soe MH + MK + ML est constante Le plan P est un d un repère orthonoré,, j ' À tout réel, on fat correspondre les drotes et d équatons cartésennes respectves y 5 0 y 0 et ) a) éontrer que toutes les drotes passent par un pont fe b) éontrer que toutes les drotes passent par un pont fe ' ) éterner l écart angulare des drotes et ) Pour tout réel, on note K le pont d ntersecton des drotes éterner l enseble des ponts K ' et ' Rappel : défnton de l écart angulare de deu drotes et ' du plan u u ' rcco s où u et u ' sont des vecteurs drecteurs respectfs de et ' u u ' n déontre que cette défnton est ndépendante des vecteurs drecteurs choss pour chacune des deu drotes ) Résoudre dans l équaton 0 ) En dédure l enseble E de tous les ponts dont les affes sont solutons des équatons décrvant 0, 4 ) éterner l enseble des ponts M du plan coplee dont l affe est telle que e e ) éterner l enseble des ponts M du plan coplee dont l affe est telle que e e 5 Théorèe de Napoléon ans le plan coplee un d un repère orthonoré drect, u, v, on consdère un trangle équlatéral drect sur lequel on construt etéreureent tros trangles équlatérau, et n note P, Q et R les centres de gravté respectfs de, et Pour la fgure, l est nutle de fare fgurer le repère ) n note a, b, c, a, b, c, p, q, r les affes respectves des ponts,,,,,, P, Q, R a) Tradure, avec les affes des ponts concernés, que est l age de par la rotaton de centre et d angle b) éontrer que l on a : a' b' c' a b c ) En dédure que l on a : p q r a b c ) éontrer à l ade des relatons étables précédeent que les trangles, et PQR ont le êe centre de gravté q p b' c c a' a b r p a c b a' c' b 4 ) éontrer que l on a : et 5 ) éontrer que l on a : a c e b' c ; b a' e c a' ; c' b e a b 6 ) édure des questons précédentes que le trangle PQR est équlatéral 6 Le plan coplee P est un d un repère orthonoré drect, u, v n note le pont d affe À tout pont M de P, d affe, on fat correspondre le pont M d affe ' éterner l enseble E des ponts M du plan P tels que les ponts, M, M soent algnés 7 Le plan P est un d un repère orthonoré,, j À tout réel, on fat correspondre la drote d équaton cartésenne y 4 0 éontrer qu l este un pont dont la dstance à ces drotes sot constante En dédure que toutes les drotes sont tangentes à un cercle dont on précsera le centre et le rayon 8 ans le plan P est un d un repère orthonoré,, j, on donne les ponts (4, ) et (0, ) éterner un équaton cartésenne de la bssectrce ntéreure de l angle 9 ans le plan orenté P un d un repère orthonoré drect,, j cos polare cos sn ) éterner le doane de défnton de ) éterner la nature et tracer cos ) Mêes questons avec la courbe ' d équaton polare cos sn 0 Notatons e n pose j n rappelle que : n notera auss que e j j 0 j, on consdère la courbe d équaton ans le plan orenté, on consdère tros trangles équlatérau de sens drect, et Le but de l eercce est de déontrer que les leu U, V et W respectfs des segents [], [] et [] sont les soets d un trangle équlatéral Pour cela, on un le plan d un repère orthonoré drect d orgne n note a, b, c les affes respectves des ponts,, et a, b, c les affes respectves des ponts, et ) Eprer a en foncton de a, b en foncton de b, c en foncton de c n utlsera le nobre j dont on a rappelé la défnton ) En dédure l affe u de U en foncton de a et b, l affe v de V en foncton de b et c, l affe w de W en foncton de a et c ) onclure ans le plan un d un repère,, j, on consdère la drote d équaton cartésenne + 4y + = 0 et le vecteur u (, ) Pour tout pont M(, y) du plan, on note M(, y) le projeté de M sur dans la drecton de la drote u Eprer et y en foncton de et y

2 Sot et deu ponts fés du plan euclden P éterner les lgnes de nveau de l applcaton f : P sans utlser un repère M M M Sot et deu ponts fés du plan euclden P éterner les lgnes de nveau de l applcaton f : P M M M 4 ans le plan un d un repère orthonoré,, j, on consdère le cercle d équaton cartésenne y 6 y 0 éontrer que est stué à l etéreur de ; déterner une équaton des tangentes à passant par 5 Sot et deu drotes sécantes du plan es deu drotes partagent le plan en quatre quadrants Sot et deu ponts stués dans un êe quadrant n appartenant n à n à éterner un pont M de et un pont M de tel que la longueur du trajet «MM» (c est-à-dre la soe M + MM +M ) sot nale ' ' Indcaton : ntrodure et S S ' 6 Le problèe du pont Sot et deu drotes strcteent parallèles du plan Sot un pont appartenant au de-plan ouvert de frontère et ne contenant pas et un pont appartenant au de-plan de frontère ne contenant pas Sot P et Q deu ponts respectveent sur et sur tels que (PQ) Indcaton : ntrodure ' t et coparer les trajets «QP» et «Q» PQ 7 Parte Théorèe de Johnson n consdère cercles,, tros cercles de êe rayon et de centres respectfs,, qu passent tous par un êe pont M Sot le deuèe pont d ntersecton des cercles et, le deuèe pont d ntersecton des cercles et, le deuèe pont d ntersecton des cercles et Le but de l eercce est de déontrer que les ponts,, sont sur un êe cercle qu a le êe rayon que les tros cercles de départ ) Que représente M pour le trangle? ) éontrer que les segents,, ont le êe leu (on cherchera des losanges sur la fgure) ) onclure en consdérant une syétre centrale Parte n consdère antenant quatre cercles,,, 4 de centres respectfs,,, 4, ayant tous le êe rayon R et passant tous par un êe pont M Les cercles et se recoupent en, et en, et 4 en, 4 et en 4 éontrer que 4 est un parallélograe (n pourra utlser le résultat de la parte ) 8 ans le plan P un d un repère orthonoré,, j, on consdère une drote de repère, u Sot M un pont quelconque du plan det, M éontrer que d M, u où est une base orthonorée de l enseble des vecteurs du plan u Indcaton : calculer det, M u en ntrodusant le pont H, projeté orthogonal de M sur 9 Le plan coplee P est rapporté à un repère orthonoré drect, u, v Pour tout nobre coplee, on note M, M et M les ponts d affes respectves, et ) éterner l enseble E des ponts M de P tels que sot le centre du cercle crconscrt au trangle MM M ) éterner tel que sot le centre de gravté du trangle MM M 0 Le plan P est un d un repère orthonoré,, j Sot a et b deu réels non nuls n note M le pont de coordonnées (a, b), le pont de coordonnées (a, 0) et le pont de coordonnées (0, b) ) alculer les coordonnées du pont H, projeté orthogonal de M sur la drote () ) alculer les coordonnées du pont K, projeté orthogonal de sur la drote () Rappel de défnton Sot une drote du plan et u un vecteur non nul qu n a pas la êe drecton que n appelle syétre oblque par rapport à parallèleent à u l applcaton du plan P dans lu-êe qu à tout pont M du plan fat correspondre le pont M vérfant les deu condtons suvantes : le leu I de MM ' appartent à la drote le vecteur MM' est colnéare à u Le plan P est un d un repère,, j ) Pour tout pont M(, y) du plan, on note M (, y ) l age de M par la syétre oblque s par rapport à (y) j parallèleent à Eprer et y en foncton de et y ) n note la courbe d équaton y ln n note la parte de la courbe pour > 0 et la parte de la courbe pour < 0 éontrer que s( ) = Mêe queston avec la courbe d équaton y e Le plan coplee P est un d un repère orthonoré drect, u, v Sot f l applcaton qu à tout pont M de P, dstnct de, d affe, fat correspondre le pont M d affe ' ) Sot et deu nobres coplees non nuls éontrer que f f ) éterner l enseble E des ponts M tels que f s et seuleent s ou Indcaton : utlser le ) en rearquant que f f 4 ) Pour tout nobre coplee, on pose Z éterner l enseble E des ponts M du plan coplee d affe tels que Z sot agnare pur ) Résoudre dans l équaton a a 0 (E) où a est un réel éontrer que les ages des solutons de (E) appartennent à E

3 5 ans le plan orenté P un d un repère orthonoré drect,, j, on consdère deu drotes et d équatons rédutes respectves y p et y ' p ' Sot u et u ' des vecteurs drecteurs respectfs de et n note une esure en radans de l angle orenté u, u ' ' éontrer que, s et ne sont pas orthogonales, on a : tan ' pplcaton : éterner une valeur approchée de la esure en degré de l angle agu foré par les drotes et d équatons rédutes respectves y et y = + 6 ans le plan un d un repère orthonoré R =,, j, on consdère la courbe d équaton cartésenne y y 0 ) n pose I j et J j ttenton erreur j a dû ntervertr I et J Vérfer que R =, I, J est un repère du plan éterner une équaton cartésenne de dans le repère R ; déterner ) éterner l enseble des couples (, n) d enters relatfs solutons de l équaton dophantenne n n 7 ans le plan un d un repère orthonoré R =,, j y n pose I j et J j Vérfer que R =, I, J est un repère orthonoré du plan éterner une équaton cartésenne de dans le repère R ; déterner 8 ans le plan orenté P un d un repère orthonoré drect,, j d équatons polares respectves cos sn et cos cos sn ) éterner le doane de défnton de ) éterner la nature de et tracer ) éterner la nature de et tracer, on consdère la courbe d équaton cartésenne, on consdère les courbe et 9 ans un trangle, on note I le leu de [] Une drote varable passant par I, dstncte de (), non parallèle à () et à (), coupe () et () respectveent en et E Quel est le leu du pont d ntersecton J des drotes (E) et ()? Indcaton : n pourra consdérer le repère I, I, I 0 Sot et deu cercles etéreurs de rayons respectfs R et R et de centres respectfs et eu ponts M et M décrvent respectveent et de telle sorte que la tangente à en M et la tangente à en M soent orthogonales Le but de l eercce est de déterner le leu du pont I, leu de [MM ] n orente le plan et on se place dans un repère orthonoré drect,, j où est le leu de [ ] et ' ' n note a et a les abscsses de et dans ce repère (a > 0) Sot M un pont quelconque de ; on pose, ΩM () Sot M 'et M ' les ponts de tels que, Ω'M ' () et, Ω'M ' () éontrer que ce sont les deu ponts de en lesquels la tangente est orthogonale à la tangente en M à alculer les coordonnées cartésennes des ponts I et I leu respectfs des segents [MM ] et [MM ] En dédure la réponse à la queston posée 6 Le plan orenté P est un d un repère orthonoré drect,, j ) onner une équaton polare d une drote strcteent parallèle à l ae des abscsses et d une drote strcteent parallèle à l ae des ordonnées ) Que peut-on dre de deu ponts M et M adettant pour systèes de coordonnées polares (, ) et ;? 7 Le plan P est un d un repère orthonoré,, j ) Sot une drote de repère, u Pour tout pont M du plan, on note M son syétrque par rapport à M u éontrer que, pour tout pont M du plan, on a : M ' M u u ) ans cette queston, a pour équaton cartésenne 4y + = 0 alculer les coordonnées (, y ) de M en foncton des coordonnées (, y) de M 8 Sot un trangle quelconque éterner et représenter l enseble des ponts M du plan qu ont les êes coordonnées dans le repère,, et dans le repère,, 9 Sot un cercle de centre et un quadrlatère nscrt dans le cercle tel que ne sot pas un trapèe La perpendculare à () passant par le leu P de [] coupe () en P La perpendculare à () passant par le leu Q de [] coupe () en Q La perpendculare à () passant par le leu R de [] coupe () en R La perpendculare à () passant par le leu S de [] coupe () en S ) éontrer que les drotes (PP ) et (QQ ) sont sécantes Sot I leur pont d ntersecton ) éontrer que l on a : I ) éontrer que les drotes (PP ), (QQ ), (RR ) et (SS ) sont concourantes en I

4 40 Sot un trangle du plan éontrer que sn sn sn s et seuleent s le trangle est rectangle 4 Le plan P est un d un repère orthonoré,, j À tout pont M a ; b de P on fat correspondre les ponts P et Q, projetés orthogonau respectfs de M sur l ae des abscsses et sur l ae des ordonnées S M est dstnct de, on assoce à M le pont M, projeté orthogonal de sur la drote (PQ) ans le cas où M =, P et Q sont confondus avec, on assoce à M le pont M tel que M = Sot l applcaton de P dans P ans défne ; on notera M ' M ) éterner les coordonnées de M en foncton de celles de M ) éontrer que pour tout pont M de P on a : M ' M ) Sot M n la sute de ponts ans défne : 0 éterner l M n n 4 ) éterner l age par : d une drote passant par l orgne ; d une drote parallèle à l un des aes de coordonnées M P et pour tout enter naturel n, on a : M M n n 4 Théorèe de Napoléon n consdère un trangle quelconque sur lequel on construt etéreureent tros trangles équlatérau, et n note P, Q et R les centres de gravté respectfs de, et n pose : = a, = b, = c n note,, les esures respectves en radans des angles,, ) Justfer chacune des égaltés suvantes : Q b ; R c ; RQ En dédure que l on a : RQ b c bccos bc sn ) Eprer cos en foncton de a, b, c éontrer que RQ a b c S où S désgne l are du trangle 6 ) éontrer que le trangle PQR est équlatéral 4 Sot M un pont ntéreur à un trangle La drote (M) coupe () en ' ; la drote (M) coupe () en ' ; la drote (M) coupe (M) en ' M M M n pose S et on se propose de déterner un pont M pour lequel la soe S est nale M' M' M' n rappelle que pour tout pont M ntéreur au trangle, on peut trouver des réels strcteent postfs,, tels que M sot le barycentre de ( ; ), ( ; ), ( ; ) ) En dédure qu alors M M' ) éontrer que l on a : S ) éontrer que pour tout réel strcteent postf on a : ; précser le cas d égalté 4 ) a) édure des questons précédentes que : «S est nale» équvaut à b) En dédure alors la poston du pont M pour que S sot nale 44 Le plan coplee P est rapporté à un repère orthonoré drect, u, v Sot f l applcaton qu à tout pont M de P d affe non nulle assoce le pont M d affe : ' ) éterner les ponts nvarants par f ) n note et les ponts d affes respectves et Sot M un pont dstnct des ponts, et a) éontrer que, pour tout nobre coplee dfférent de 0, et, on a : ' ' M ; M en foncton de b) En dédure une epresson de M' M en foncton de M' M et de M' ; M' ) Sot la édatrce du segent [] éontrer que s M est un pont de dstnct du pont, alors M est un pont de 4 ) Sot le cercle de daètre [] a) éontrer que s le pont M appartent à alors le pont M appartent au segent [] b) Tout pont de la drote () a-t-l un antécédent par f? 45 Le plan P est un d un repère orthonoré,, j Pour tout pont M du plan, on note M son syétrque par rapport à la drote Eprer les coordonnées (, y ) de M en foncton des coordonnées (, y) de M 46 Le plan P est un d un repère orthonoré,, j Sot la drote d équaton cartésenne y + = 0 Sot et les drotes d équatons cartésennes respectves + y + = 0 et y = 0 éterner une équaton cartésenne de la drote age de dans la syétre orthogonale par rapport à 47 ans le plan orenté P un d un repère orthonoré drect,, j polare cos sn ) éterner le doane de défnton de ) éterner la nature de et tracer 48 ans le plan orenté P un d un repère orthonoré drect,, j polare cos sn éterner la nature de et tracer 49 Le plan P est un d un repère orthonoré,, j, on consdère la courbe d équaton, on consdère la courbe d équaton ) Sot f l applcaton de P dans P qu à tout pont M(, y) assoce le pont M (, y ) défn coe sut : s H est le projeté orthogonal de M sur la drote d équaton =, alors M est le pont de (H) ayant êe abscsse que M Eprer et y en foncton de et y n ) Pour tout enter naturel n non nul, on note n la courbe d équaton y ln a) éontrer que f ( n ) = n+ b) éontrer que s deu ponts ont la êe ordonnée sur n alors leurs ages sont algnées avec c) éontrer que s M 0 est un pont dfférent de à tangente horontale, alors son age M 0 par f et telle que (M 0) est tangente en M 0 à n+

5 50 Le plan P est un d un repère orthonoré,, j n note la drote passant par le pont ( ; ) et adettant le vecteur u ( ; ) pour vecteur drecteur Pour tout pont M du plan, on note M son projeté orthogonal sur la drote Eprer les coordonnées (, y) de M en foncton des coordonnées (, y) de M 5 Sot et deu parallélograes tels que [] et [] éontrer que les drotes (), () et () sont concourantes ou parallèles n prendra (,, ) coe repère affne n notera a l abscsse de et b l ordonnée de 5 Sot un parallélograe Sot E, F, G, H des ponts appartenant respectveent au segents [], [], [] et [] tels que l on at : (EG) / / () et (FH) / / () éontrer que les drotes (EF), (GH) et () sont concourantes ou parallèles n prendra (,, ) coe repère affne n notera a l abscsse de H et b l ordonnée de E 5 ans le plan un d un repère, on consdère les drotes,, d équatons cartésennes respectves + y + = 0, + y 4 = 0, a + y 5 = 0 où a est un réel éterner a tel que,, soent concourantes 54 éontrer que dans le plan un d un repère orthonoré la courbe d équaton du repère pour ae de syétre 55 éontrer que dans le plan un d un repère orthonoré la courbe d équaton y seconde bssectrce du repère pour ae de syétre 56 Le plan coplee P est un d un repère orthonoré drect, u, v y adet les bssectrces adet la Sot f l applcaton qu à tout pont M de P d affe fat correspondre le pont M d affe ' Sot un cercle de centre et de rayon R > 0 ) éontrer que f ( ) est un cercle ) éterner R tel que f ( ) = 57 Sot I le pont de coordonnées ( ; ) n note le cercle de centre I, tangent en à () et en à (y) ) éterner une équaton cartésenne de ) Sot M( 0, y 0) un pont quelconque de dstnct de et de, dont l abscsse est dfférente de et dont l ordonnée est dfférente de La tangente en M à coupe () en P et (y) en Q alculer les coordonnées de P et Q en foncton de 0 et y 0 ) éontrer que (P), (Q) et (M) sont concourantes en un pont N alculer les coordonnées de N 59 n consdère le cercle d équaton cartésenne y 4 y 8 0 ) Vérfer que le pont ( ; ) appartent à ) Écrre une équaton cartésenne de la tangente à en Utlser la règle de dédoubleent des teres 60 ) Sot une drote de repère (, u ) Sot M un pont quelconque du plan n note H le projeté orthogonal de M sur M u éontrer que l on a : H u u ) Sot un rectangle n pose = a et = b n note H le projeté orthogonal de sur () et K le projeté orthogonal de sur () Eprer HK en foncton de a et b 6 Un théorèe de Newton Sot un pont du plan et un cercle de centre n construt un quadrlatère convee EHFG crconscrt au cercle et on note,, et les ponts de tangence n note I et J les leu respectfs de [EF] et [GH] n prend coe unté de esure des longueurs le rayon du cercle et on consdère un repère orthonoré, u, v n appelle alors a, b, c et d les affes respectves des ponts,, et n appellera par alleurs T, T, T et T les tangentes respectveent en,, et au cercle ) Sot M un pont d affe a) éontrer que M T s, et seuleent s, l este k tel que a = k a b) éontrer que M T s, et seuleent s, a a ) n appelle E le pont d'ntersecton de T et T En utlsant ) d), déontrer que l'affe E est égale à ab a b ) n appelle F le pont d'ntersecton de T et T éterner l'affe de F, pus l affe I, du leu I de [EF] 4 ) n appelle antenant H le pont d'ntersecton de T et T et G le pont d ntersecton de T et T a) éterner l'affe J du pont J leu de [GH] I b) éontrer que (a + d)(b + c)(a + b)(c + d) est réel En dédure que est réel J Que peut-on en dédure concernant la drote (IJ)? 6 Sot et deu drotes sécantes en Sot un pont de, dstnct de, et un pont de, dstnct de Sot M un pont quelconque de la drote () Le pont M se projette en P sur () parallèleent à et en Q sur () parallèleent à P Q éontrer que l on a : 6 Sot un parallélograe Une drote passant par dstncte () et de () coupe () en E et () en F éontrer que l on a : E F 64 Sot un carré de côté a n note E le leu de [] alculer le rayon du cercle crconscrt au trangle E

6 65 «Le théorèe des d leu» n consdère un repère orthonoré et 5 ponts,,, et E dont les coordonnées sont des nobres enters n trace ensute tous les segents dont les deu etrétés sont choses par ces ponts éontrer que le leu d'un de ces segents est à coordonnées entères 66 Sur la fgure c-dessous, on consdère tros cercles ayant tous le êe rayon a > 0 et tangents etéreureent La drote est tangente au cercle de centre La drote coupe le cercle de centre en deu ponts et Eprer la dstance en foncton de a 67 Sot M, M,, M 0 d ponts du plan deu à deu dstncts et stués dans un êe carré de côté de longueur a > 0 éontrer qu l este un couple (, j),,,0 a tel que 0 MM j 68 Le plan P est un d un repère orthonoré,, j le pont M de coordonnées (, y) avec ' e et y ' e y éterner l age d une drote parallèle au aes et d un cercle de centre 69 Le plan P est un d un repère orthonoré,, j À tout pont M du plan de coordonnées (, y), on assoce Sur une feulle à part, placer les ponts ;, ( ; ) et H(0 ; ) Pler la feulle pour aener sur l ae des abscsses et sur l ae des ordonnées en des ponts noés U et V en arquer le pl épler la feulle Tracer la drote, trace de la plure Placer le leu P de [U] et le leu R de [V] n note u l abscsse de U et v l ordonnée de V alculer la longueur VH U j V

7 Réponses n utlse les ares ) a) (, 4) b) 5, 4 4 ) écart angulare = 4 k: y k k ; est la drote d équaton 5 6 () ( ;) avec ( ; 0) y y y 0 y = 0 7 ; équdstant à d ; Tracer 0,, 8 : y = 4 k avec k 7 Parte ttenton : L heagone n est pas réguler Parte Soluton leandre Mana (9 octobre 0) Pour déontrer que 4 est un parallélograe, déontrons que M M4 ns, on n utlsa pas la parte (par égalté des vecteurs dans les losanges) 9 ; \ { ; } avec orgne et ( ; ) a b 0 ) H ; a b a b ' ) ) y ' y ab a b ) K ; a b a b 0 ) Sot R la rotaton de centre et d angle R a ' donc a ' e ' donc b ' e b ' donc c' e c e a b e b c e c a ) u ; v ; w ) w u e v u u eu e j a b j b c j c a j ; u ; v ; w 4 4 ' y 9 y ' y ; w u j v u 4 ) éontrons que s est soluton de (E), alors M() E est soluton de (E) 5 n a : tan, u a a 0 a a a a a Z ; tan u, u ' pplcaton : tan = ; 7,57 X Y X Y 6 n a : n a y X Y y X Y X X X Y X X Y X X X Y 0 sn u, u ' det u, u ' cos u, u ' u u '

8 X X ou Y 0 y ou y 7 ) y X y Y 8 ) cos sn ) 9 ) XY = ; y ; y prvé de? y y ; 0 I 0 ; 0 ; ; 0 ; 0 prvé de? () : y ; () : y ; : y ; ; E y y (E) : ; () : 0 J, donc le leu des ponts J est la drote d équaton M, utre éthode : : cos sn y 0 ; J tan, ; ; y prvée des ponts M, et X y 8 Forules de changeent de repère Y y L enseble des ponts cherché est la drote d équaton y ; l s agt de la édane ssue de dans le trangle 9 40 cos cos cos 0 cos cos cos 0 cos cos cos 0 4 cos cos cos 0 4cos cos cos 0 4 Le théorèe de Napoléon a b c S 6 Retenr que le côté du trangle PQR vérfe l égalté ' y y ' y : y y 6 ' 6 4y 4 y ' ( éthodes : systèe ou prendre la drote (MM ) en paraétrques) R cos R'sn Rsn R 'cos R cos R 'sn Rsn R' cos 0 I ; I ; R R ' I r cos ; r sn et I r cos ; r sn avec r ; Sot un réel tel que cos R ; sn R ' R R ' R R ' Le leu des ponts I est le cercle de centre et de rayon r 7 ) Le pont ( ; ) appartent à la drote Le vecteur u (4 ; ) est un vecteur drecteur de y ' y ' ou (n vérfe que est nvarant dans ces forules) y ' y y 6 y ' ( ) : b y b 0 ; ( ) : ay a 0 b b b b a a a a 0 b a a b b b L L + L étal pour les équatons de drotes : y ( ) : ; b y b 0 b ( ) : y a ; ay a 0 ; ( ) : a ; b b a y a b 0 ; ( ) :

9 a y b 0 b a y b a y a b b a y a b ( ; 0), (0 ; ), ( ; ), H(a ; 0), E(0 ; b), F(a ; ) et G( ; b) (EF) : b ay ab 0 ; () : y 0 ; (GH) : b a y ab 0 S S S y0 S y0 S 0S y0s y S 0 0 N ; y S n vérfe que N (M) b a ab b a ab b a ab Q M 5 a ; (, 6) L L L I 56 ) R + R R + R 0 R R 0 58 ) Il faut utlser la forule de dédoubleent des teres pour trouver une équaton de tangente à un cercle Equaton de la tangente : y y y ) P y ; 0 0 y 0 ; y0 P 0 0 Q ) (P) : y 0 y0 y0 (Q) : y y 0 0 (M) : y0 0 y 0 M u ) Il faut dstnguer le cas a > b et le cas b < a H n pose S 0 y0 0 Sy S S y0 y S K n note le déternant du systèe b n utlse les forules de raer H a

10 60 ) La tangente à en a pour équaton y + 9 = 0 Utlser la règle de dédoubleent des teres 64 ercle crconscrt E I n note J le pont d ntersecton de la de-drote [E) Le théorèe de la drote des leu dans le trangle EJ donne J = I 66 8 a 5 67 En découpant le carré en 9 cases, chacun des sous-carrés a une dagonale valant oe l y a 0 ponts, on utlse le prncpe de rchlet pour conclure a 69 n epre la colnéarté des vecteurs U et V ans que l orthogonalté de svectuers PR et U (en notant P et R les leu respectfs de U et e V) n trouve VH a 5 tan cos 5 E = a 5 EI 4 5a cos utre éthode : I E J

11 Questons de cours Forules de changeent de repère par rotaton pour des repères orthonorés Fare la déonstraton n pourra écrre ces forules atrcelleent onner la forule donnant la dstance d un pont à une drote dans le plan un d un repère orthonoré et fare la déonstraton onner une équaton polare d une drote dans le plan orenté un d un repère polare lorsque cette drote passe par l orgne lorsque cette drote ne passe pas par l orgne Fare la déonstraton 4 Équaton cartésenne d une drote ; équatons paraétrques d une drote dans le plan un d un repère quelconque 5 Prncpe du repérage polare dans le plan orenté Le plan orenté P est un d un repère orthonoré drect,, j ) onner la défnton d un couple de coordonnées polares ( ; ) d un pont M du plan Illustrer le cas où > 0 et le cas où < 0 onner tous les couples de coordonnées polares de M ) Sot M un pont dstnct de l orgne n pose = M onner les deu falles de coordonnées polares du pont M ) Sot M et M deu ponts dstncts de adettant pour systèes de coordonnées polares ( ; ) et ( ; ) aractérser M = M 4 ) onner la relaton entre coordonnées polares et coordonnées cartésennes 5 ) Qu appelle-t-on équaton polare d une courbe? éterner la nature de la courbe d équaton y a by c 0 dans le plan un d un repère orthonoré (a, b, c sont tros réels donnés) rentaton du plan éfnton du déternant de deu vecteurs Epresson dans une base orthonorée drecte Forule de l are d un parallélograe à l ade d un déternant Noton d are algébrque NS d algneent de tros ponts dans le plan (à l ade d un déternant d ordre ) 4 Paraétrsaton ratonnelle d un cercle (par ntersecton d une drote avec le cercle) Paraétrsaton trgonoétrque d un cercle 5 NS pour que tros drotes du plan soent parallèles ou concourantes 6 Lgnes de nveau 7 Règle de dédoubleent des teres pour trouver une équaton d une tangente à un cercle as d un cercle donné par une équaton norale as d un cercle donné par une équaton développée rédute 8 NS pour que 4 ponts soent cocyclques grâce à leurs coordonnées dans un repère orthonoré Les quatre ponts de coordonnées ( ; ), ( ; 5), (5 ; ) et (5,5 ; 0,5) sont-ls stués sur un êe cercle? Quelques réponses 6 onner une équaton polare d un cercle passant par l orgne du repère de centre l orgne du repère dans le plan orenté d un repère polare Refare la déonstraton y y y 0 7 Équatons paraétrques d un cercle dans le plan un d un repère orthonoré 8 éternant de deu vecteurs dans une base des vecteurs du plan : défnton, proprétés n suppose que le plan est orenté et un d un repère orthonoré drect éonstraton de det u, u ' u v sn où u et u ' sont deu vecteurs non nuls, une esure en radans de l angle orenté u, u ' et une base orthonorée drecte de l enseble des vecteurs du plan aractérsaton de la colnéarté de deu vecteurs à l ade du déternant 9 Équaton norale d une drote 0 Que sgnfe ( ; ) est un systèe de coordonnées polares du pont M dans le repère polare ;? 7 a y b R ; tangente : 8 M ; y, M ; y, M ; y, M ; y a a y b y b R y y y y y y y y 0

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