Quelques situations relativistes

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Clémence St-Germain
il y a 8 ans
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1 Quelques situations relatiistes 1 ère partie : Comment les muons peuent-ils traerser l atmosphère? Le muon est une partiule qui porte la même harge életrique que l'életron, mais ae une masse 07 fois plus grande, 'est pourquoi on l'appelle aussi életron lourd. Les muons sont produits par l interation entre les rayons osmiques émis par le Soleil et la haute atmosphère de la Terre, à une altitude d eniron 10 km. Un muon au repos se désintègre en moyenne au bout d une durée de aleur =, µs. Les muons émis dans la haute atmosphère le sont ae une itesse égale à 99,8 % de la élérité de la lumière dans le ide. On onsidère souent que le fait de pouoir déteter des muons à la surfae de la Terre est une preue expérimentale de la dilatation des durées. Cette partie propose de omprendre ette affirmation. 1. Caluler la distane parourue par un muon pendant, µs.. Pourquoi le fait que des muons pariennent à la surfae de la Terre est-il une preue expérimentale de la dilatation des durées? 3. En tenant ompte de la dilatation des durées, aluler la distane que parourt, en moyenne, un muon, aant de se désintégrer. On prendra bien soin de définir les éénements onsidérés et durée propres et durée mesurée depuis la Terre. Montrer que e alul permet d interpréter le fait de pouoir déteter des muons à la surfae de la Terre. ème partie : «sans la relatiité, pas de GPS!» Le système de positionnement GPS (global positioning system) repose sur un prinipe que l on peut résumer ainsi : Des satellites en orbite irulaire graitent autour de la Terre à plus de ingt mille kilomètres d altitude, à une itesse d eniron quatorze mille kilomètres par heure. Chaque satellite possède une horloge atomique embarquée et émet des signaux életromagnétiques qui ontiennent des informations sur la position et la date exate où ils ont été émis. Un réepteur GPS, au sol, doit reeoir au moins quatre signaux de quatre satellites différents pour pouoir se loaliser. Alors la omparaison de la date de réeption et de la date d émission permet au réepteur de aluler la distane qui le sépare de haque satellite. Grâe à un alul appelé «triangulation», il peut ainsi déterminer sa position sur le sol terrestre. Questions : 1. Estimer un ordre de grandeur de la préision ae laquelle un GPS permet de se loaliser.. Le mouement du satellite n étant pas retiligne, on admettra que le temps propre est défini par l horloge embarquée à bord du satellite. Expliquer omment la relatiité préoit que l horloge atomique embarquée à bord du GPS retarde par rapport à la même horloge restée au sol. 3. Caluler le retard aumulé en une journée terrestre par l horloge embarquée à ause de l effet relatiiste éoqué à la question préédente. 4. Caluler l erreur d faite par le réepteur GPS s il alule la distane qui le sépare du satellite sans tenir ompte du retard pris par son horloge au bout d une journée. À otre ais, peut-on onsidérer d omme «négligeable»? 1

2 5. Einstein a publié, en 1915, la relatiité générale. Cette théorie, omme son nom l indique, généralise la relatiité restreinte à toutes les situations. En partiulier ette théorie montre que le hamp de pesanteur terrestre est lui aussi responsable d un déalage entre l horloge embarquée et elle restée au sol. Ce déalage est ontraire à elui dû à la itesse du satellite (alulé en ()). On montre que le hamp de pesanteur terrestre est responsable haque jour d une aane de 45 µs de l horloge embarquée par rapport à elle restée au sol. En tenant ompte des deux effets relatiistes, aluler le déalage temporel total entre les deux horloges aumulé en une journée. En déduire l erreur dtot ommise par le réepteur GPS s il ne tient pas ompte des effets relatiistes. Montrer que e alul justifie la néessité de prendre en ompte la relatiité pour oneoir un réepteur GPS.

3 CORRECTION DES QUESTIONS 1 ère partie : Comment les muons peuent-ils traerser l atmosphère? 1. Caluler la distane parourue par un muon pendant, µs. d = = 0,998 = 659 m. Pourquoi le fait que des muons pariennent à la surfae de la Terre est-il une preue expérimentale de la dilatation des durées? Les muons sont produits à au moins 10 km de la surfae de la Terre. La distane moyenne qu ils parourraient par rapport à la terre, si, dans le référentiel terrestre, leur durée de ie moyenne alait, µs est de 659 m. Or des muons pariennent à la surfae de la Terre, don franhissent une distane beauoup plus éleée : ela est ompatible ae l idée selon laquelle, us de la Terre, leur durée de ie moyenne, lorsqu ils sont en mouement, se dilate. 3. En tenant ompte de la dilatation des durées, aluler la distane que parourt, en moyenne, un muon, aant de se désintégrer. On prendra bien soin de définir les éénements onsidérés et de distinguer durée propre et durée mesurée depuis la Terre. Montrer que e alul permet d interpréter le fait de pouoir déteter des muons à la surfae de la Terre. On étudie les éénements «prodution d un muon» et «désintégration du même muon». La durée propre qui sépare es deux éénements est, en moyenne, la durée de ie moyenne d un muon au repos, soit : tp =, µs Lorsque les muons sont en mouement, leur durée de ie moyenne mesurée depuis la Terre se dilate et aut : tp, tm 35 µs 1 0,998 1 La distane moyenne parourue par le muon entre son émission et sa désintégration aut don, mesurée depuis la Terre : d = tm = 0,998 tm = 1,0 104 m = 10 km Cette distane permet d interpréter que les muons peuent franhir une distane assez grande dans l atmosphère pour que nous puissions les déteter au sol. ème partie : «sans la relatiité, pas de GPS!» 1. À partir de os onnaissanes ourantes sur le GPS, indiquer un ordre de grandeur de la préision ae laquelle un GPS permet de se loaliser. Un GPS embarqué en oiture permet de déterminer une position à la rue près : ela montre qu il nous loalise à moins de 10 m près.. Le mouement du satellite n étant pas retiligne, on admettra que le temps propre est défini par l horloge embarquée à bord du satellite. Expliquer omment la relatiité préoit que l horloge atomique embarquée à bord du GPS retarde par rapport à la même horloge restée au sol. Considérons deux éénements loalisés en un même point du satellite, séparés par une durée propre de aleur tp, mesurée par l horloge embarquée. La durée entre es mêmes éénements mesurée par une horloge liée au sol terrestre aut : tp tm 1 3

4 Don t t 1 t p m m La durée mesurée par l horloge embarquée est don plus faible : elle retarde par rapport à elle restée au sol. 3. Caluler le retard aumulé en une journée terrestre par l horloge embarquée à ause de l effet relatiiste éoqué à la question préédente. est la différene entre tp et tm, soit : tp tm tm 1 1 AN : - tm est la durée du jour terrestre : = s. - est la itesse du satellite par rapport au sol : = 1, km s 1 D où : = 4 1, = 3, m s 1 3 3, ,3 10 s 8 3,00 10 L horloge embarquée retarde de 7,3 µs par jour. (oir les remarques en fin de orretion) 4. Caluler l erreur d faite par le réepteur GPS s il alule la distane qui le sépare du satellite sans tenir ompte du retard pris par son horloge au bout d une journée. À otre ais, peut-on onsidérer d omme «négligeable»? L erreur ommise par le réepteur s il ne tient pas ompte de la dilatation des durées est la distane parourue par le signal pendant 7,3 µs. Or les signaux sont de nature életromagnétique, don se propagent ae la même élérité que la lumière dans le ide. L erreur de distane aut don : d = = 3, , =, 10 3 m. L erreur ommise si on ne tient pas ompte des effets relatiistes est don de plus de km! Or omme nous l aons indiqué en (b), la préision du GPS est de quelques mètres : on ne peut don en auun as négliger d. 5. En tenant ompte des deux effets relatiistes, aluler le déalage temporel total entre les deux horloges aumulé en une journée. En déduire l erreur dtot ommise par le réepteur GPS s il ne tient pas ompte des effets relatiistes. Montrer que e alul justifie la néessité de prendre en ompte la relatiité pour oneoir un réepteur GPS. Le déalage temporel entre les deux horloges, aut, au total : T = 45 7,3 = 38 µs L erreur totale ommise sur un alul de distane aut don : dtot = = 3, = 1, m = 11 km 11 km est une erreur olossale, u la préision attendue d un GPS (à peine quelques mètres, omme nous l aons indiqué en (a)). ei onfirme que les orretions relatiistes sont indispensables à la réalisation du système GPS. Remarque : utilisation de la alulatrie dans le alul 3 3, ,

5 La préision des alulatries standard n est pas toujours suffisante pour obtenir un résultat signifiatif. Pour ous en onainre, il suffit d en tester plusieurs. Emulateur TI : ROMs TI : Par ailleurs, on montre en mathématiques (déeloppements limités) que, pour ε petit, 1 1. Ainsi, 1 1 et le alul préédent deient 3 3 3, , , ,

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