Techniques de calcul intégral

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1 Tble des mtières Techniques de clcul intégrl Intégrles de polynômes trigonométriques Intégrles de frctions rtionnelles. Frctions rtionnelles Clcul de l intégrle Frction sns élément simple de deuxième espèce Frction vec un pôle d ordre élevé Frction vec un élément simple de deuxième espèce Quelques stuces prtiques Intégrles se rmennt à une I.P.P Rppel Exemples Intégrle du produit d un polynôme et d une exponentielle Exercices Clculs de primitives 4 5 Mple 5 Intégrles de polynômes trigonométriques Il s git de clculer sin p (t)cos q (t)dt ; on procède comme suit : si p est pir et q impir, on effectue le chngement de vrible u = sin(t) ; exemple : π/ sin 4 (t)cos(t)dt = u 4 du = /5 si p est impir et q pir, on effectue le chngement de vrible u = cos(t) ; exemple : π/3 sin 3 (t)cos 4 (t)dt = / [ u u 4 ( u 5 )du = 5 u7 7 ] / = 6 96 = si p et q sont impirs, on effectue l un ou l utre des deux chngements de vrible précédent ; il est plus mlin de le fire vec l fonction dont l exposnt est le plus petit ; si p et q sont pirs, on remplce sin (t) et cos (t) pr leurs expressions en fonction de cos(t), et on recommence. Intégrles de frctions rtionnelles L objectif de cette prtie est d expliquer comment clculer coefficients réels. dt, où A et B sont deux polynômes à B(t)

2 . Frctions rtionnelles Définition : une frction rtionnelle est une expression de l forme A, où A et B sont deux polynômes, à B coefficients dns R ou dns C, vec B. Définition : une frction rtionnelle est réduite si le numérteur et le dénominteur n ont ucun fcteur commun ; ceci revient à dire qu ils n ont ucune rcine commune. Observons que le progrmme de PCSI comporte l lgorithme de l division euclidienne (qui v servir bientôt), mis ps celui du PGCD de deux polynômes. Nous supposerons que B est fctorisé (ou fcilement fctorisble), et qu ucune de ses rcines n est rcine de A. Ceci permet de nous plcer dns l sitution où l frction est réduite. Le polynôme B est scindé sur C, mis il est à coefficients réels. Donc ses rcines sont, soit réelles, soit complexes, deux à deux conjuguées. L écriture générle de B est donc : B = i r (X x i ) αi j s (X + v j X + w j ) βj où les x j sont les rcines réelles, et les polynômes X + v j X + w j regroupent les complexes, deux à deux conjuguées. Un pôle de l frction est une rcine de son dénominteur. L théorie de l décomposition en éléments simples sur C d une frction rtionnelle énonce le résultt suivnt : si l frction A B est réduite, lors on peut écrire A B = Q + (X z i ) k, où : i r k α i Q est l prtie entière de F, c est-à-dire le quotient dns l division euclidienne de A pr B ; les z i sont les pôles de F ; les λ i sont les ordres de multiplicté des pôles. L expression k α i (X z i ) k est l prtie polire reltive u pôle z i. Définition : soit z i un pôle de F. Le résidu reltif à z i est le coefficient qui pprît u numérteur dns l λ i, frction. X z i En prtique, nous n urons ffire qu à des frctions rtionnelles dns lesquelles A et B sont à coefficients réels. Nous nous plçons donc dns cette sitution. L théorie nous dit que l frction peut s écrire : dns lquelle : A B = R + i p k α i Q est l prtie entière de F (cf. plus hut) ; les x i sont les pôles réels de F ; (X x i ) k + k β j les pôles complexes (s il y en) sont deux à deux conjugués. γ j,kx + δ j,k (X + v j X + w j ) k Définition : L prtie polire ssociée u pôle x i, de degré α i, est l quntité k α i (X x i ) k. Définition : L prtie polire ssociée u couple de pôles complexes conjugués z j et z j, de même degré β j, est γ j,kx + δ j,k l quntité (X + v j X + w j ) k. k β j

3 . Clcul de l intégrle Soit à clculer B(t) dt, où A et B sont deux polynômes à coefficients réels, l frction A B réduite. L démrche à suivre est : étnt supposée effectuons l division euclidienne de A pr B ; nous obtenons un quotient Q et un reste R ; le degré de ce dernier est strictement inférieur u degré de B ; nous vons lors B(t) dt = Q(t)dt + R(t) B(t) dt Le clcul de l première intégrle est immédit ; le polynôme Q est l prtie entière de l frction rtionnelle..3 Frction sns élément simple de deuxième espèce 6t t Nous clculons (t + )(t + )(t + 4) dt. L frction rtionnelle ssociée est 6X X (X + )(X + )(X + 4). L théorie nous dit que l décomposition en éléments simples de notre frction s écrit X + + b X + + b X + 4. L méthode des coefficients indéterminés consiste à multiplier les deux membres pr (X + )(X + )(X + 3), puis à identifier les deux polynômes insi obtenus. Une utre méthode consiste à clculer le résidu reltif à chque pôle simple ; pr exemple, le résidu reltif u pôle est obtenu en multiplint les deux membres pr X + et en évlunt en ; il vient =. Nous obtenons de même b = 5/ et c = 33/..4 Frction vec un pôle d ordre élevé X + Nous clculons (X + ) 3. Nous pourrions procéer pr identifiction, comme ci-dessus ; mis nous (X + ) llons plutôt utiliser l méthode du développement limité. Multiplions l frction pr (X + ) 3, et notons h = X + : nous obtenons G(h) = h h 3 (h + ). Clculons le développement limité de h3 G(h), à l ordre et u voisinge de zéro : h 3 G(h) = + h + h = ( + h)( h + h + o(h ) ) = + 3h 3h + o(h ) L prtie polire reltive u pôle est donc (X + ) (X + ) 3. L prtie polire reltive u X + pôle s obtient pr identifiction : multiplier les deux membres pr X +, puis remplcer X pr. Au finl, l intégrle vut 9 6ln() + 3ln(3). 8.5 Frction vec un élément simple de deuxième espèce 3t Nous clculons (t + )(t dt. L théorie nous dit que l décomposition en éléments simples de l frction + ) 3X (X + )(X + ) s écrit X + + bx + c X. Multiplions les deux membres pr X +, et évluons en : il vient + = ; multiplions les deux membres pr x + et évluons en i: il vient b = et c =..6 Quelques stuces prtiques Si l frction est pire (resp. impire), le clcul s en trouve simplifié. Lorsque l on utilise l méthode des coefficients indéterminés, il peut être intéressnt d observer l limite de F(x) lorsque x tend vers l infini. 3

4 3 Intégrles se rmennt à une I.P.P. 3. Rppel Soient u et v deux fonctions de clsse C sur l intervlle [,b]. Alors u (t)v(t)dt = [ u(t)v(t) Oubliez définitivement les formules fumeuses qui trînent dns certins mnuels de terminle. 3. Exemples ] b u(t)v (t)dt. Exemple : clculons J = rctn(t) dt. Nous commençons pr écrire cette intégrle J = rctn(t) dt. } {{ } Notons u(t) = t et v(t) = rctn(t) ; ces deux fonctions sont de clsse C, ce qui justifie le clcul suivnt : J = [ t rctn(t) ] t [ ln( + t + t dt = rctn() ) ] = π 4 ln() Exemple : nous clculons J = t e t dt. Notons u(t) = t et v(t) = et ; ces deux fonctions sont de clsse C, ce qui justifie le clcul suivnt : ] J = [t et e t [ e e t ] dt = = e 4 e = e Intégrle du produit d un polynôme et d une exponentielle Ce sujet été bordé lors de l étude des suites récurrentes linéires du deuxième ordre; il relève églement de l lgèbre linéire. Soient P un polynôme de degré n et α R ; nous voulons clculer l intégrle P(t)e αt dt. Il suffit d exhiber un polynôme Q tel que d ( Q(t)e αt) = P(t)e αt ; il est clir que ce polynôme doit être de degré n exctement. dt L méthode des coefficients indéterminés s pplique isément. L méthode s étend u cs du produit d un polynôme à coefficient complexe et d une exponentielle e αt vec α complexe. 3.4 Exercices Clculez les intégrles π/ de tourner en rond. Réponses : Clculez l intégrle ln( + t) t e t sin(t)dt et e π/ + π/ et eπ/ dt. Réponse : 3ln() 3 ln(3 Avec le chngement de vrible u = π t, clculez l intégrle x Clculez l intégrle x dt. Réponse : π/4. + x 4 Clculs de primitives Exemple : explicitons une primitive de x e t cos(t)dt. Indiction : effectuez deux IPP successives, et évitez. π e x e x + dx. Avec le chngement de vrible u = ex, nous obtenons : J = t sin(t) + cos (t) dt. Réponse : π /4. e x + e x. Multiplions hut et bs pr ex, il vient J = du u + = ( u ) rctn = ( e x ) rctn 4

5 x + Exemple : explicitons une primitive de x. Observons que cette fonction est définie sur x 5x + 6 ],[ ]3,+ [. L quntité sous le rdicl est x 5x+6 = (x 5/) /4, ce qui incite à poser t = x 5. Alors x + x 5x + 6 = (t + 9)/ t dt = x 5x ln x 5 + x 5x + 6 Exemple 3 : explicitons une primitive de x e x. Nous effectuons le chngement de vrible t = ex e x = t +, vec t et tdt = e x dx tdt = dx. Il vient : + t ex t (t dx = t + t dt = + )) + t dt = t rctn(t) + K = e x rctn ( e x ) + K 5 Mple Pour décomposer une frction rtionnelle en éléments simples, Mple propose l option prfrc de l fonction convert ; exemple : F := (6*X^-X-)/(X+)/(X+)/(X+4); convert(f,prfrc,x); Le résultt ffiché est : X + 5 X Le troisième rgument X est indispensble : pensez u cs où l frction comporte une indéterminée (disons X) et un prmètre (disons ). X+ FIN [ClculIntegrl] Version du 3 juin 9 5