Cinématique du point. Les vecteurs position, vitesse et accélération

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1 Cinématique du point Leçon n 2 PHR 004 Les vecteus position, vitesse et accéléation 1 - Généalités su le mouvement d'un point La cinématique du point est l'analyse du mouvement en ignoant ses causes. Le mouvement d'un point est connu losque qu il est possible d associe chaque instant avec un point de la tajectoie: Mouvement = Tajectoie + Equation hoaie Note espace physique, celui dans lequel on existe, pésente tois dimensions. Une tajectoie dans cet espace, est epésentée pa 2 égalités: tajectoie f (x, y,z) = 0 g(x, y,z) = 0 Chacune d ente elles est l équation d une suface. En effet la tajectoie est une coube définie comme l intesection de deux sufaces. L équation hoaie est founie pa la valeu de l abscisse cuviligne en fonction du temps: s = s(t), qui mesue la longueu du chemin pacouu su la tajectoie (le compteu de distance de vote véhicule mesue une abscisse cuviligne). Mouvement connu = tajectoie + équation hoaie L expession de la tajectoie de la coube: C f (x, y,z) = 0 g(x, y,z) = 0 1

2 nécessite la pésence d un système d axes tiectangles, les équations spatiales sont ici expimées avec les coodonnées catésiennes: x, y, z, pojections othogonales su chacun des axes. L équation hoaie implique la pésence d une hologe qui founit la vaiable tempoelle t encoe nommée "date". z' s(0) t = 5 z(5) H 0 s(5) M y(5) y' x(5) x' P C Figue:1 Le epèe constitué pa les tois axes O x y z attachés à un obsevateu, muni d une hologe, constituent un éféentiel (ou système éféentiel). 2

3 2 - Vecteu position Le epèe set à défini la position du point. Le vecteu position est pa définition le vecteu: = OM où O est l'oigine du epèe et M le point à epée. Avec un même epèe, plusieus systèmes de coodonnées peuvent ête envisagés. Le choix des coodonnées sea gouvené pa les syméties des poblèmes taités. Dans la patique les coodonnées othogonales seont les seules utilisées. Pami celles-ci les plus couantes sont: les coodonnées catésiennes, polaies, cylindiques et sphéiques. Donnons quelques éléments su leu popiétés: 2.1. Coodonnées catésiennes z' H z(t) K M J k (t) I O j y(t) y' i x(t) x' P Figue: 2 3

4 Le vecteu position est pa définition: = OM = xi + y j + z k [2.1] La position du point M, à chaque instant, sea expimée à l aide des coodonnées: x = x(t) ; y = y(t) ; z= z(t) ou bien avec la tajectoie et l équation hoaie: f(x, y, z) = 0 ; g(x, y, z) = 0 et s = s(t) 2.2. Coodonnées polaies y' u J I u y M j O i ϕ x x' Figue: 3 Dans le système de coodonnées polaies, le point M est pafaitement epéé si - on connaît la distance OM = - l'angle que fait le segment (OM) avec l'axe (Ox) Le point coespond au pôle (d'où l'appellation coodonnées polaies) La longueu du segment = coodonnée adiale (comme ayon) 4

5 Dans le système de coodonnées polaies, un même et unique point peut avoi une infinité de coodonnées Il suffit juste d'ajoute un tou complet (2π). Pou expime le vecteu position OM, on intoduit une nouvelle base othonomée ( u,u ) - u -u = vecteu unitaie suivant la diection de OM = vecteu unitaie u et on a : OM = u [2.2] Les vaiables catésiennes s obtiennent pa la tansfomation ponctuelle: x= cos y = sin [2.3] La tansfomation invese s écit: 2 2 = x + y y ϕ= Ac tan( ) x [2.4] Pou les vecteus u = cos i + sin j u = sin i + cos j Tansfomation invese ( u = cos i + sin j ) sin ( u = sin j + cos j ) cos 5

6 cos u = cos sin i + sin² j cos u = sin cos i + cos² j sin u + cos u = (sin² + cos² ) j Pa conséquent : j = sin u + cos u [2.5] On détemine le vecteu i ( u = cos i + sin j ) cos ( u = sin i + cos j ) sin cos u = cos² i + sin cos j sin u = + sin² i sin cos j D où : i = cos u sin u [2.6] 6

7 2.3. Coodonnées cylindiques z M k u u ρ x i k O j m u u y figue: 4 Si le point doit ête epéé dans l'espace, on utilisea les coodonnées cylindiques on complète le système de coodonnées polaies pa un toisième axe : OM = OP + PM = u + z u z [2.7] Les vaiables catésiennes s obtiennent pa la tansfomation ponctuelle: x= cos y = sin z = z [2.8] Là aussi, comme pou les polaies, la tansfomation invese s écit: = x + y + z y = Ac tan ( ) x z = z [2.9] 7

8 2.4. Coodonnées sphéiques Z u u ϕ M uϕ u uϕ X i k O j m u Y Figue 5 C'est un système de coodonnées qui généalise les coodonnées polaies du plan. Un point dans l'espace est epéé pa la distance à un pôle et deux angles. Le pemie pa appot à un axe hoizontal (ox) et le deuxième pa appot à un axe vetical (oz) Les vaiables catésiennes s obtiennent pa la tansfomation ponctuelle : x = sin ϕ cos y = sin ϕ sin z = cos ϕ [2.10] 8

9 et pou la tansfomation invese : y = tg y = atg x x z = cos ϕ = acos z ϕ x² + y² + z² 2 = x² + y² + z² = x² + y² + z² 3. Vecteu vitesse 3.1. Vecteu vitesse moyenne Soit un mobile M se déplaçant su une tajectoie (C). Le même déplacement de M ente deux positions peut se faie pendant des duées difféentes. Pou caactéise un mouvement, il peut ête intéessant de connaîte la distance pacouue pa unité de temps, c'est-à-die la vitesse moyenne. Si la position du point M à l instant t 1 coespond au point M(t 1 ) = M 1 et à l instant t 2 au point M(t 2 ) = M 2, le vecteu vitesse moyenne se définit pa : M1M2 OM2 OM1 Vm = = Δt Δt [2.11] Exemple : Un cycliste conduit son vélo su 200 m, puis evient su son chemin su 40 m. S il a mis 60 s pou effectue son pacous, touvez sa vitesse moyenne V m. Solution La distance totale pacouue Δd = = 240 m Le temps de pacous : Δt = 60 s La vitesse moyenne : 9 V m Δ d 240 = = = 4 m.s Δ t 60 1

10 3.2. Vecteu vitesse instantané Losqu on considèe une duée Δt infiniment petite, le mobile passe d un point M à un point M infiniment poche. La vitesse moyenne tend ves la vitesse instantanée losque Δt tend ves zéo. Le vecteu position OM = OM () t est une fonction du temps et la vitesse instantanée coespond alos à la déivée pa appot au temps du vecteu position : V t () OM ( t +Δt) OM ( t) dom = lim = Δt 0 Δt dt [2.12] Losque le point M tend ves le point M, la code MM tend ves la tangente à la tajectoie au point M. Le vecteu vitesse est donc un vecteu tangent à la tajectoie au point considéé (Figue. 6) z' O k M M(t) M(t+dt) j s(t) dm s(t+dt)=s(t)+ds T v y' i x' Figue. 6 Nous désigneons pa : T= T(t) ; T = 1 Le vecteu unitaie tangent à la tajectoie à chaque instant : T = V V 10

11 Expession en coodonnées catésiennes A pati de l expession du vecteu position [2.1] et de la définition du vecteu vitesse [2.12], on obtient : d = v = x i + y j + z k [2.13] dt Remaque : la base ( i, j,k ) est une base fixe dans le temps di = dj = dk = 0 dt dt dt La valeu V de la vitesse coespond à la nome de ce vecteu : V= v = x + y + z [2.14] Expession en coodonnées polaies Losque le point M est en mouvement, l angle polaie = (t) est une fonction du temps. Le vecteu unitaie u toune et est donc fonction du temps pa l intemédiaie de l angle. La base ( u,u ) est une base mobile dans le éféentiel d étude, puisque la diection des vecteus de base dépend du point considéé su la tajectoie. A pati de l expession du vecteu position [2.2] et de la définition du vecteu vitesse [2.12], on obtient : dom d d du v = = ( u) = u + dt dt dt dt [2.15] Pou déive le vecteu u pa appot au temps, il faut applique les ègles de déivation des fonctions composées. Dans note cas : du du d = = du dt d dt d [2.16] 11

12 La quantité caactéise la vaiation de l angle polaie au cous du temps et coespond à la définition de la vitesse angulaie. Elle est souvent notée ω et s expime en ad.s -1. Dans le epèe choisi : du u = cos i + sin j = sin i + cos j = u d Pa conséquent : v= u + u = v u + v u [2.17] v et v sont espectivement les composantes adiales et othoadiales du vecteu vitesse dans la base polaie. La nome de ce vecteu est : 2 2 v = v = + [2.18] Expession en coodonnées cylindiques Les coodonnées cylindiques coespondent aux coodonnées polaies dans le plan (o, x, y) auxquelles on ajoute une coodonnée z suivant un axe pependiculaie au plan. La base et du vecteu u z (3eme vecteu de associée est donc composée de la base tounante ( u,u ) la base catésienne qui est un vecteu fixe dans le éféentiel d étude. En déivant le vecteu position [2.7], on obtient : dom d v = = u + zu dt dt ( z) [2.19] En tenant compte des ésultats du paagaphe pécédent, l équation [2.19] peut s écie sous le fome de : 12

13 dom v = = u + u + z uz [2.20] dt Et : V= v = + + z [2.21] 3.3. Vecteu vitesse angulaie En physique, et plus spécifiquement en mécanique, la vitesse angulaie ω, aussi appelée féquence angulaie ou pulsation, est une mesue de la vitesse de otation. Elle s'expime dans le système intenational en adians pa seconde (ad.s -1 ) ; elle este de manièe couante donnée en tous pa minute (t/min). Une évolution complète est égale à 2π adians, donc : d 2π ω = = = 2π f dt T [2.22] T est la péiode de otation (en s) et f est la féquence (en s -1 ou Hz). L'utilisation de la vitesse angulaie au lieu de la féquence odinaie est patique dans maintes applications ca elle pemet d'évite l'appaition excessive de π. Elle est utilisée, ente autes, dans de nombeux domaines de la physique comme la mécanique quantique et l'électomagnétisme. Le vecteu vitesse angulaie est un vecteu : nomal au plan de otation, oienté de sote que le mouvement se fasse dans le sens positif, dont la nome vaut ω. On a donc : ω =ω u =u z z [2.23] 13

14 4. Vecteu déplacement élémentaie A pati de la elation [2.12], on peut défini le vecteu déplacement élémentaie dom= dl, en coodonnées catésiennes, pa : V t dt d l dx u dy u dz u () = = x + y + z Pou obteni l expession du vecteu déplacement en coodonnées polaies, on epend l expession [3.7] : dl d d = u + u dl = d u + d u dt dt dt 5 - Vecteu accéléation 5.1. Définition La vitesse évalue la vaiation de la position pa appot à celle du temps. De la même façon, la vaiation de la vitesse pa appot au temps est nommée accéléation: 2 def d dv a = = = = v 2 dt dt [2.24] 5.2. Expession en coodonnées catésiennes En coodonnées catésiennes le vecteu accéléation s'écit : a = x i + y j+ z k [2.25] 5.3. Expession en coodonnées polaies A pati de l expession du vecteu vitesse en coodonnées polaies [3.10] et de la définition du vecteu accéléation a on obtient : dv d d du a u u u u u u = = + = + = + + u+ u + dt dt dt dt 14

15 Rappelons que, comme u, le vecteu unitaie u toune et qu il est fonction du temps pa l intemédiaie de l angle. Pou le déive pa appot au temps, il faut applique les ègles de déivation des fonctions composées. Dans note cas : du du d du = = dt d dt d Dans le epèe choisi : du u = sin i + cos j = cos i sin j d du = ( cos i + sin j) = u d Pa conséquent : du a u u = + + u + u + dt a u u = + + u+ u u L expession finale de a est : 2 a u 2 u = + + u = au + a u [2.26] Le pemie teme 2 a = coespond à la composante adiale de l accéléation, le second a = 2 + à l accéléation othoadiale. 15

16 5.4. Expession en coodonnées cylindiques A pati de l expession [2.10] du vecteu vitesse et des ésultats obtenus en coodonnées polaies [2.17], on touve : 2 dv d a u u z u z u = = + + = + 2 u+ u + z uz dt dt [2.27] 5.5. Vecteu accéléation et la base de Fenet Tiède de Seet-Fenet Dans le cas d un mouvement plan, et en définissant en tout point M un vecteu unitaie T tangent à la tajectoie et oienté comme celle-ci, le vecteu vitesse, lui-même tangent à la tajectoie au point M (Figue. 7) peut s écie : V t = v T avec V = v () [2.28] La notation v coespond à la valeu algébique de la vitesse. Le signe de v indique dans quel sens le point M se déplace su la tajectoie : v est positif pou un déplacement dans le sens positif et négatif dans le sens contaie. Pou obteni une nouvelle base dans le plan, il suffit de défini un vecteu unitaie N pependiculaie à T et toujous touné ves la concavité (Figue 7). z' plan osculateu ϖ M N T a(t) k (t) v(t) O j y' i tajectoie x' C Figue 7 16

17 ( N, T ) s appelle la base de Fenet. Elle est mobile dans le éféentiel d étude puisque la diection des vecteus de base dépend du point considéé su la tajectoie Expession du vecteu accéléation dans la base de Fenet En tenant compte de la figue. 8, expimons T et N en fonction de i et j : T = cos( Φ ) i + sin( Φ) j N = sin( Φ ) i + cos( Φ) j y ρ dφ B dφ N A T Φ j O i x Figue. 8 La déivée du vecteu vitesse dans cette base conduit à : dv d( VT) dv dt a = = = T+ V dt dt dt dt [2.29] Déteminons ensuite dt : dt dt dφ dφ dt dφ = sin Φ i + cosφ j = N dt d t dt d t dt [2.30] 17

18 En combinat les équations [2.29] et [2.30], on touve : dv dφ a = T+ V N dt dt En se déplaçant du point A au point B, le mobile a pacouu une cetaine distance l, ce qui se taduit aussi pa une vaiation angulaie dφ. Appelons ρ le ayon de coubue de la tajectoie. dφ dφ dl = dt dl dt La vaiation de dφ étant infiniment petite, on peut donc écie que : dl dφ 1 tgφ= dφ = ρ dl ρ D où l expession de l accéléation dans la base de Fenet : 2 dv V a = T + N dt ρ at an La composante a t est la composante tangentielle et a n est la composante nomale centipète. 18