Chapitre 11 : (Cours) Cinématique newtonienne

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1 Chpitre : (Cours) Cinémtique newtonienne I. Présenttion de l cinémtique I.. Définitions L cinémtique est l étude du mouvement indépendmment des cuses qui le provoquent. On étudier des systèmes de petites dimensions ssimilés à un point (système ponctuel). On considèrer implicitement le mouvement de leur centre de grvité. Le mouvement d'un objet est défini pr : ) le référentiel d'étude 2) l trjectoire de l objet 3) son vecteur-vitesse en chque instnt 4) son vecteur-ccélértion en chque instnt Chque terme est défini pr l suite. I.2. Référentiel d étude Référentiel géocentrique et référentiel terrestre Le référentiel est un endroit de référence pr rpport uquel on étudie le mouvement d un mobile. A chque référentiel est ssocié : un repère d espce pour quntifier l position ; un repère de temps (une horloge) pour ssocier une e à chque position. Remrques : Le repère lié u référentiel est constitué de trois vecteurs unitires orthogonux et d'un point origine O. Ex : le repère crtésien R orthonormé : ( O, i, j, k ) Ne ps confondre le référentiel terrestre immobile à l surfce de l Terre (ex : rbre) et le référentiel géocentrique plcé u centre de l Terre. II. Vecteur-position (et trjectoire d un objet) L position d un mobile M dns un repère ( O, i, j, k ) est donnée pr son vecteur-position OM : xt () OM ( t) y( t) zt () OM ( t) x( t) i y( t) j z( t) k L ensemble des points occupés successivement pr le mobile M u cours du temps est ppelé trjectoire. En effet, lorsqu un mobile se déplce sur s trjectoire, s position chnge u cours du temps. A chque position OM est donc ssociée une e t. O y OM Trjectoire M (x, y, z) x Chpitre Mécnique newtonienne (Cours) Cinémtique newtonienne Pge

2 L position étnt donc fonction du temps, on l noter : OM () t x(t), y(t) et z(t) sont les coordonnées du point M. Elles dépendent du temps t. III. Vecteur-vitesse III.. Définition Le vecteur-vitesse vt () crctérise l vrition du vecteur-position en fonction du temps. Il s exprime donc comme l dérivée pr rpport u temps de son vecteur position. Le vecteur-vitesse instntnée u point M i s écrit donc : t en s dom vt OM en m v en m.s v( t) v ( t) i v ( t) j v ( t) k x i y j z k x y z dx dy dz Nottion : vx () t x ; vy () t y ; vz () t z III.2. Crctéristiques Les crctéristiques du vecteur-vitesse sont les suivntes : direction : tngent à l trjectoire vt sens : celui du mouvement vleur (norme) : v v vx vy v z En prtique : Pour des points M i, M i et M i+ suffismment proches, dns l espce et dns le temps, on fit l pproximtion qu ils sont prtiquement lignés (voir schém). Donc, le vecteur-vitesse s écrit : dom OM OM i+ OM i Mi+M i vmi t ti ti ti ti Mi+Mi S norme s écrit : vmi ti ti Si τ est l intervlle de temps entre 2 points successifs, lors l reltion devient : i i+ v M i M M 2 Exemple : pour trcer v () t on mesure le segment M 3 2M 4, on clcule l norme du vecteur en divisnt cette longueur MM 2 4 pr l intervlle de temps qui s est écoulé. Soit, v3 2 Enfin, on trce le vecteur (direction, sens) en tennt compte de l échelle (vleur). Chpitre Mécnique newtonienne (Cours) Cinémtique newtonienne Pge 2

3 IV. Vecteur-ccélértion IV.. Définition Le vecteur-ccélértion t () crctérise l vrition du vecteur-vitesse en fonction du temps. Il s exprime donc comme l dérivée pr rpport u temps du vecteur-vitesse. Le vecteur-ccélértion u point M i s écrit donc : 2 t en s dv d OM t 2 v en m.s -2 en m.s ( t) ( t) i ( t) j ( t) k v i v j v k x i y j z k Nottion : x y z x y z 2 dvx d x x () t x ; De même pour 2 y et z IV.2. Crctéristiques Les crctéristiques du vecteur-ccélértion sont les suivntes : direction : celle du vecteur vt t sens : celui du vecteur vt v vleur (norme) : x y z t En prtique : Comme précédemment, on peut écrire : M S norme s écrit : i vm vm ( ) v Mi i t ti ti vm ( ) Mi 2 + Exemple : pour trcer le vecteur 4 u point M 4, on trce déjà le vecteur-vrition de vitesse v4 v5 v3 u point M 4, puis pour trouve l vleur de l ccélértion 4 en divisnt l norme v4 pr l intervlle de temps. v4 Soit, 4 2 Enfin, on trce le vecteur (direction, sens) en tennt compte de l échelle (vleur). V. Inertie d un système V.. Rppels et définitions Le mouvement d un mobile est défini pr : s trjectoire s vitesse Chpitre Mécnique newtonienne (Cours) Cinémtique newtonienne Pge 3

4 Une force exercée pr un objet sur un utre objet peut : modifier son mouvement (trjectoire ou vitesse) déformer l objet Rem : Un système est dit pseudo-isolé lorsque l somme des forces extérieures qui s ppliquent sur lui est nulle : F 0 ext V.2. Le principe d inertie Le principe d inertie constitue l première loi de l dynmique (première loi de Newton). Enoncé pr Newton en 686, il précise : «Tout corps persévère dns son étt de repos ou de mouvement rectiligne uniforme si les forces qui s exercent sur lui se compensent». Il fut jouter que : - le principe d inertie s pplique u centre de grvité (centre d inertie) du solide ; - le principe d inertie s pplique dns les référentiels que l on ppelle gliléens (ex : référentiels terrestre, géocentrique, héliocentrique, ) VI. Quelques mouvements VI.. Le repère de Frénet Jen-Frédéric Frénet (86 900) étit un mthémticien, stronome et météorologue frnçis. Appelé prfois «le génie des courbes», il conçu un repère privilégié pour étudier les mouvements curvilignes et circulires. On retiendr l expression de l ccélértion dns le repère de Frénet : T ut N un ; vec T dv v² et N R Trjectoire R M Sens de prcours de l trjectoire ut est le vecteur unitire tngent à l trjectoire. courbure de cette trjectoire u point considéré. un est le vecteur unitire norml à l trjectoire et R le ryon de Il est lors commode de définir le repère (M ; u T ; u N ) de Frénet, un repère mobile lié u mouvement du point M. VI.2. Le mouvement rectiligne uniforme Un mouvement est rectiligne uniforme si le vecteur-vitesse est constnt : v cte Il grde même direction, même sens, et même vleur u cours du temps. Il est donc crctérisé pr une ccélértion nulle ( N = T = 0) cr le vecteur-vitesse est constnt. T N T ut N un 0 Chpitre Mécnique newtonienne (Cours) Cinémtique newtonienne Pge 4

5 Exemple : 3t 5 OM 2t 3 v VI.3. Le mouvement rectiligne ccéléré Un mouvement est rectiligne vrié (ccéléré ou décéléré) si l ccélértion normle est nulle ( N = 0) et l ccélértion tngentielle est non nulle ( T 0). T N T ut 0uN T ut T u N u T D une mnière générle, le mouvement rectiligne implique une ccélértion normle nulle. VI.4. Le mouvement circulire uniforme Un mouvement est circulire uniforme si l trjectoire est un cercle quelconque, et si l norme de l vitesse est constnte. Il est crctérisé pr une ccélértion normle non nulle ( N 0) et une ccélértion tngentielle nulle ( T = 0) 0u u u N T N T N N N N Ex : mouvement des plnètes dns le référentiel héliocentrique (pproximtion) u T u N D une mnière générle, le mouvement uniforme implique une ccélértion tngentielle nulle. VI.5. Le mouvement circulire vrié u T Un mouvement circulire est vrié si l trjectoire est un cercle quelconque, et si l norme de l vitesse vrie. Il est crctérisé pr une ccélértion normle et une ccélértion tngentielle non nulles. ( T 0 et N 0) Ex : mouvement de l msse d un pendule dns le référentiel terrestre. L trjectoire et le mouvement d un mobile dépendent du référentiel choisi. Pr exemple, le mouvement de l Terre dns le référentiel héliocentrique est circulire uniforme lors qu il est immobile dns le référentiel géocentrique. u N T N Biln : T = 0 : mouvement rectiligne ou curviligne uniforme N = 0 : mouvement curviligne uniforme ou vrié Chpitre Mécnique newtonienne (Cours) Cinémtique newtonienne Pge 5

6 VII. Conservtion de l quntité de mouvement VII.. Définition de l quntité de mouvement Le vecteur «quntité de mouvement» p d un point mtériel est égl u produit de s msse m pr son vecteurvitesse v : p s'exprime en kg.m.s p mv m s'exprime en kg v s'exprime en m.s Le vecteur-quntité de mouvement et le vecteur-vitesse ont toujours même sens et même direction. VII.2. Conservtion de l quntité de mouvement L loi de l conservtion de l quntité de mouvement vectorielle est une loi fondmentle de l mécnique qui permet d étudier un système (déformble ou non) pseudo-isolé constitué de plusieurs corps (n corps). Dns un référentiel gliléen, le vecteur quntité de mouvement d un système pseudo-isolé est constnt : p p p... p p cte système 2 n n i Remrque : le principe d inertie est un cs prticulier de cette loi, qund l msse m du système est constnte. VII.3. Appliction à l propulsion Pour bien comprendre cette notion de quntité de mouvement, prenons l exemple du cnon qui propulse un boulet. Essyons de comprendre pourquoi, lors de l expulsion du boulet à grnde vitesse, le cnon v subir un léger recul. Avnt l expulsion du boulet, l ensemble {cnon + boulet} est immobile : ptotle 0 Après l expulsion du boulet, l ensemble {cnon + boulet} est en mouvement : p' totle p cnon p boulet L sitution est schémtisée sur le schém ci-contre : y Après expulsion, le boulet une msse m et une vitesse v. Le cnon une msse M et une vitesse V. V v x Le système {cnon + boulet} est pseudo-isolé cr les deux forces extérieures qui s ppliquent sur lui (le poids P et l réction du sol R se compensent). On pplique l loi de conservtion de l quntité de mouvement. Alors : p totle p ' totle 0 pcnon pboulet p p cnon boulet En projetnt l reltion sur l xe horizontl : p p cnon boulet Chpitre Mécnique newtonienne (Cours) Cinémtique newtonienne Pge 6

7 mv. M. V MV. v m On peut déterminer pr exemple l vitesse à lquelle le boulet est éjecté. En effet, si : M = 2,5 t ; m = 25 kg ; V =,5 m.s Alors, 3 MV. 2,5.0,5 50. v m s m 25 Conclusions : - L quntité de mouvement est une grndeur qui permet de tenir compte de l msse dns le mouvement. - En effet, le cnon étnt beucoup plus lourd que le boulet, c est le boulet qui v être éjecté à grnde vitesse, lors le cnon ser lui ussi «éjecté» (repoussé) vec une vitesse très fible. - On peut ppliquer ce théorème pour expliquer l propulsion pr réction. L exemple du cnon (ci-dessus) et l exemple de l fusée Arine (ci-contre) sont expliqués insi. Dns l exemple de l propulsion d Arine, les gz (très légers pr rpport à l fusée) sont expulsés vers l rrière à très grnde vitesse, donc l vitesse de l fusée est ssez élevée églement (bien que plus fible que celle des gz). Il y propulsion (cr l fusée se déplce) pr réction cr les gz (l fusée régit à l éjection des gz). ****************************************************************** Notions et contenus Dynmique newtonienne Description du mouvement d un point u cours du temps : vecteurs position, vitesse et ccélértion. Référentiel gliléen. Conservtion de l quntité de mouvement d un système isolé. Compétences exigibles Choisir un référentiel d étude. Définir et reconnître des mouvements (rectiligne uniforme, rectiligne uniformément vrié, circulire uniforme, circulire non uniforme) et donner dns chque cs les crctéristiques du vecteur-ccélértion. Définir l quntité de mouvement p d un point mtériel. Mettre en œuvre une démrche expérimentle pour interpréter un mode de propulsion pr réction à l ide d un biln qulittif de quntité de mouvement. Chpitre Mécnique newtonienne (Cours) Cinémtique newtonienne Pge 7