Calcul matriciel. I. Vecteurs-lignes et vecteurs-colonnes 1) vecteur ligne

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Franck Desroches
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1 Clcul mtriciel Commentires du progrmme officiel I Vecteurs-lignes et vecteurs-colonnes ) vecteur ligne )Définition : on ppelle «vecteur ligne» tout tleu à une ligne de m nomres insi représenté : (,,,, m ) le nomre m s ppelle l dimension de l ligne () est un vecteur ligne de dimension ; (, ) est un vecteur ligne de dimension ; ( π,, ) est un vecteur ligne de dimension etc )Somme de deux vecteurs lignes On ne peut jouter que des vecteurs lignes de même dimension Pour jouter deux vecteurs lignes de dimension m, on joute deux à deux les nomres occupnt l même position Pr exemple (, ) + (, ) (, ) Remrque importnte : on ne peut ps multiplier deux vecteurs lignes de dimension supérieure ou égle à c)produit d un réel pr un vecteur ligne On multiplie ce réel pr tous les nomres de l ligne Ainsi : k (,,,, m ) (k, k, k,, k m ) pr exemple (,, ) (,, 8 ) ) vecteur colonne )Définition

2 Un «vecteur colonne» est un tleu à une colonne de m nomres insi représenté : m Le nomre m s ppelle l dimension de l colonne (8), sont des vecteurs colonnes, etc )Somme de deux vecteurs colonnes Comme pour les vecteurs-lignes, on ne peut jouter que des vecteurs colonnes de même dimension, et pour jouter deux vecteurs colonnes de dimension m, on joute deux à deux les nomres occupnt l même position Pr exemple : + De même que pour les vecteurs lignes, on ne peut ps multiplier deux vecteurs colonnes de dimension supérieure ou égle à c)produit d un réel pr un vecteur ligne On multiplie ce réel pr tous les nomres de l colonne : Pr exemple m k m k k k ) Produit d un vecteur ligne pr un vecteur colonne Cette opértion n est possile que pour des vecteurs de même dimension n Le résultt est lors un réel L formultion peut prître un peu complexe : ) ( ),,,, ( n n n n Il est préférle de retenir qu on joute horizontl verticl Attention : le produit d un vecteur colonne pr un vecteur ligne est plus compliqué et ne donne ps du tout le même résultt!

3 II Mtrices ) Définition Une mtrice est un tleu rectngulire de nomres On le représente usuellement entre deux prenthèses (ou deux crochets) Pour n lignes et p colonnes, on prle d une mtrice de dimension n,p () est donc une mtrice, Tout vecteur ligne de dimension p est une mtrice, p Tout vecteur colonne de dimension n est une mtrice n, est une mtrice de dimension, est une mtrice de dimension, 8 est une mtrice de dimension, ) Somme de deux mtrices Cette opértion n est possile qu entre deux mtrices ynt l même dimension On joute lors entre eux les nomres occupnt l même position Pr exemple + ) Produit d une mtrice pr un réel On multiplie tous les nomres de l mtrice pr ce réel Ainsi pr exemple : 9

4 ) Produit de deux mtrices On ne peut multiplier une mtrice A de dimension n,p que pr une mtrice B de dimension p,q Le résultt ser lors une mtrice de dimension n,q, noté A B ou AB Ainsi,le produit A B de deux mtrices A et B n est possile que si le nomre de colonnes de l première est égl u nomre de lignes de l seconde L règle est lors simple : Posons M A B Le nomre m i, j est le nomre se situnt à l ligne i et à l colonne j de l mtrice M,il s otient en multiplint l ligne i de l mtrice A pr l colonne j de l mtrice B En résumé m i, j L i C j Un exemple pour comprendre : Soit A et B 8 deux mtrices A est de dimension, et B de dimension, donc l mtrice produit A B est ien définie et elle est de dimension, Posons A B M c à d : 8 m, m, m, m, m, m, Clculons les coefficients de M : m, L C ( ; ; ; ) m, L C m, L C m, L C 8 m, L C m, L C Donc 8 8 Dns l prtique on dopte l disposition suivnte : A B 8 8 AB Exercice :

5 Soit A et B ) Justifier que A B est ien défini ) Compléter et donner A B ) Peut on clculer B A? si oui l clculer Exercice : Soit A et B 8 ) Justifier que A B est ien défini ) Compléter et donner A B 8 ) Peut on clculer B A? si oui l clculer Remrques: si on peut multiplier une mtrice A pr une mtrice B, il n est ps toujours possile de multiplier B pr A! Le produit des mtrices n est donc ps du tout symétrique, contrirement à l multipliction de deux réels

6 TD pge 8 9 pour trviller sur le sens ) Règles de clculs Soit A, B et C trois mtrices de dimension n, p, k et k' deux réels On : A + B B + A ( A + B ) + C A + ( B + C ) A + B + C k ( A + B ) k A + k B Rem : L'ddition est commuttive ( églité ) et ssocitive ( églité ) M + O O + M M ( où O est l mtrice nulle de dimension n, p ) ( k + k' ) A k A + k' A k ( k' A ) k k' A Soit A, B et C trois mtrices permettnt les clculs indiqués, et k un réel On : A ( B C ) ( A B ) C A B C ( A + B ) C A C + B C A ( B + C ) A B + A C ( k A ) B k ( A B ) A ( k B ) k AB Rem : L multipliction est distriutive sur l ddition En générl AB BA ( l multipliction n'est ps commuttive ) ) Mtrices crrées ) Définition Qund une mtrice le même nomre de lignes et de colonnes, on l ppelle mtrice crrée Il y donc des mtrices crrées,, des mtrices crrées,, etc Pr us de lngge on dir mtrice crrée de «dimension n» «dimension n, n» ou encore d ordre n u lieu de On peut toujours multiplier deux mtrices crrées de même dimension ) Mtrices identités ( ou unités) Une mtrice crrée est ppelée «mtrice identité», si elle ne possède que des sur l digonle descendnte de guche à droite, et des zéros prtout illeurs est l mtrice identité, On l note I est l mtrice identité, On l note I Propriétés : Soit A une mtrice crrée de dimension n A I n A et I n A A c) Puissnce d un mtrice crrée Si A est une mtrice crrée, on convient lors de poser A I A A A A A A A A A etc

7 d) Notion de mtrice inverse Définition : Soit A une mtrice crrée d'ordre n et I n l mtrice digonle d'ordre n Dire que l mtrice crrée B d'ordre n est l'inverse de A revient à dire que AB I n L'inverse de A est notée A Rem : On dmettr que l condition "AB I n " est équivlente à l condition " BA I n " ( De fçon générle, on rppelle qu on n' ps AB BA ) Si l mtrice B est l'inverse de l mtrice A, lors l mtrice A est l'inverse de l mtrice B On dit que les mtrices A et B sont inverses l'une de l'utre On A A A A I n Une mtrice n'dmet ps forcément d'inverse Dns ce cs on dit qu'elle n'est ps inversile Si une mtrice est inversile, lors l'inverse est unique Ex : Démontrer que les mtrices A 8 et B,8,,, sont inverses l'une de l'utre En effet on remrque que : AB 8,8,,, I RECHERCHE DE L'INVERSE D'UNE MATRICE Soit M On cherche une mtrice N telle que MN I On pose N c d On MN c d + c + d c d Ainsi, MN I + c + d c d + d c d Le système précédent se rmène ux deux systèmes suivnts : ( S ) + c c et ( S ) + d d + c Ces deux systèmes dmettent pour solution,, c et d On vérifie lors que On en déduit que l mtrice M est inversile et M

8 8 Rem : Soit A c d une mtrice crrée d'ordre - A est inversile si, et seulement si d c - Si A est inversile, on démontre fcilement que A d c d c L pluprt des clcultrices fournissent l'inverse d'une mtrice qund elle existe ( vous pouvez ussi utiliser un tleur ou un logiciel de clcul formel ) Seuls les logiciels de clcul formel fournissent des vleurs exctes III) APPLICATION A LA RESOLUTION D'UN SYSTEME ) ECRITURE MATRICIELLE D'UN SYSTEME LINEAIRE Soit le système ( S ) x + y x y Posons M, X x y et C On : MX x + y x y Ainsi, MX C x + y x y x + y x y On peut donc écrire le systéme ( S ) sous l forme MX C De l même fçon, on peut écrire tout système linéire sous forme mtricielle ) RESOLUTION D'UN SYSTEME On vu que l mtrice M est inversile et que son inverse est M D'utre prt, on : M X C En multiplint à guche les deux memres de cette églité pr M, on otient : M ( M X ) M C (M M ) X M C I X M C X M C On en déduit que : x y x y Ainsi x et y

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