3 ème Chapitre G 2 TRIGONOMETRIE ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE. I) Relations trigonométriques dans le triangle rectangle.

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Nicole Savard
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1 ème hpitre G TRIGONOMETRIE I) Reltions trigonométriques dns le tringle rectngle. ) Définitions. Il existe trois reltions entre les côtés d un tringle rectngle, et un de ses ngles igus. Nous vons déjà vu en 4 ème le cosinus d un ngle igu. Soit un tringle B rectngle en et un de ses ngles igus, c osinus de l ngle igu c : cos c = côté djcent à c vec 0 < cos c < hypoténuse ( L hypoténuse étnt toujours plus grnde que le côté djcent, le cosinus d un ngle igu dns un tringle rectngle ne dépsse ps ) Sinus de l ngle igu c : sin c = côté opposé à c vec 0 < sin c < hypoténuse ( L hypoténuse étnt toujours plus grnde que le côté djcent, le sinus d un ngle igu dns un tringle rectngle ne dépsse ps ) Tngente de l ngle igu c : Tn c = côté opposé à c vec tn c > 0 côté djcent à c ( l tngente d un ngle igu peut être supérieure à )

2 ème hpitre G TRIGONOMETRIE B ôté opposé à c Hypoténuse ôté djcent à b ôté ôté opposé à b djcent à c Sur l figure ci-dessus : cos b = B B cos c = B sin b = B sin c = B B tn b = B tn c = B Exemple : M 6 P 8 0 N cos m = MP MN = 6 0 = 0.6 tn n = MP NP = 8 6. sin m = PN MN = 8 0 = 0.8 ) ngles complémentires. Puisque B est un tringle rectngle en, c et b sont deux ngles igus complémentires. ( c + b = 90 ). On remrque que cos b = sin c, sin b = cos c, tn b = inverse de tn c = tn c

3 ème hpitre G TRIGONOMETRIE Prop : Le cosinus d un ngle igu est égl u sinus de son complémentire. L tngente d un ngle igu est égle à l inverse de celle de son complémentire. Exemples : Si cos 60 = 0.5 lors sin 0 = 0.5 Si tn = 4 lors tn ( 90 ) = 4 = 0.5 R 5 S T 9 sin R = cos S = TS RS = 9 5 = 5 = 0.6 tn S = 9 = 4 donc tn R = 4 = 0.75 ) vec l clcultrice : Il fut bien vérifier que l clcultrice est en mode degré. On peut déterminer une vleur pprochée soit du sinus, du cosinus ou de l tngente d un ngle donné : si = 50 lors sin =? on tpe sin 5 0 exe l clcultrice ffiche donc une vleur pprochée à 0.0 près de sin est sin 0.77 soit de l mesure de l ngle igu dont le sinus, le cosinus ou l tngente sont donnés. si tn = lors =? on tpe shift tn l clcultrice ffiche ou nd donc une vleur pprochée de l ngle à 0. près est

4 ème hpitre G TRIGONOMETRIE cos sin tn ) Exemples d ppliction. ) lcul d un ngle igu dns un tringle rectngle. M 8 cm 7 cm Dns le tringle rectngle MON, ( je connis l longueur MO du côté opposé à N, et l longueur MN de l hypoténuse, donc je peux utiliser le sinus de l ngle N.) O? N sin N = OM MN N = sin ( 8 7 ) sin N = 8 7 N 8.07 E 5 cm Dns le tringle rectngle EST, ( je connis l longueur ES du côté opposé à T, et l longueur ST du côté djcent de T donc je peux utiliser l tngente de l ngle T.)? tn T = ES ST tn T = 5 7 T = tn ( 5 7 ) T 65 P S? 7 cm 9 cm T I Dns le tringle rectngle PIE, (je connis l longueur PI du côté djcent de P et l longueur PE de l hypoténuse, je peux donc utiliser le cosinus de l ngle P.) 5 cm E cos P = PI PE cos P = 9 5 P = cos ( 9 5 ) P 40.54

5 ème hpitre G TRIGONOMETRIE 5 b) lcul de l longueur d un des côtés de l ngle droit. T 5 cm? 4 H Dns le tringle rectngle THE, ( je connis l mesure de l ngle T, l longueur TE de l hypoténuse, et je cherche l longueur du côté djcent de T, donc je peux utiliser le cosinus de l ngle T.) E cos T = TH TE cos 4 = TH 5 TH = 5 cos 4 TH.8 cm c) lcul de l longueur de l hypoténuse. R 9 cm? Dns le tringle rectngle RIZ, ( je connis l mesure de l ngle Z, l longueur RI du côté opposé à Z et je cherche l longueur RZ de l hypoténuse, donc je peux utiliser sinus de l ngle Z.) I Z sin Z = RI RZ 9 sin = RZ RZ sin = 9 RZ = 9 sin RZ 6.98 cm d) Problème de synthèse. B 5 cm ) lculer BH ) lculer B ) lculer. H 8 cm

6 ème hpitre G TRIGONOMETRIE 6 ) lcul de BH Dns le tringle BH rectngle en H, j pplique le théorème de Pythgore : B ² = BH ² + H ² BH ² = ² = BH ² + 8 ² BH ² = 6 BH ² = 5 ² 8 ² BH = 6 BH,7 cm ) lcul de BH puis de B Dns le tringle BH rectngle en H, cos BH = H BH = cos ( 8 B 5 ) cos BH = 8 5 BH 58 Dns le tringle B, rectngle en B, les ngles igus sont complémentires, donc B + B = 90 donc B donc B ) lcul de : Dns le tringle rectngle B, sin B = B sin = 5 = 5 sin 8, cm

7 ème hpitre G TRIGONOMETRIE 5) Reltions entre sinus, cosinus et tngente d un ngle igu dns un tringle rectngle. 7 ) Reltion entre sinus et cosinus. B Nous nous proposons de montrer que quel que soit l ngle igu, sin ² + cos ² = Dns le tringle B rectngle en sin B = B B et cos B = B donc sin ² B + cos ² B = ( B ) ² + ( B B ) ² = ² B ² + B ² B ² ² + B ² = B ² or dns le tringle rectngle B, je peux ppliquer le théorème de Pythgore : ² + B ² = B ² donc sin ² B + cos ² B = B ² B ² donc sin ² B + cos ² B =, ceci quel que soit B compris entre 0 et 90 Prop : Dns un tringle rectngle ynt un ngle igu, sin ² + cos ² = b) Reltion entre sinus cosinus et tngente. Nous nous proposons de montrer que quel que soit l ngle igu sin cos = tn Dns le tringle B rectngle en,

8 ème hpitre G TRIGONOMETRIE sin B cos B = B B B = B B B = B = tn B 8 Prop : Dns un tringle rectngle ynt un ngle igu, sin B cos B = tn B Exemple d ppliction : On donne cos = 0.6 en déduire sin et tn sns clculette. Je sis que quel que soit l ngle igu lph, sin ² + cos ² = donc sin ² ² = donc sin ² = 0.6² = 0.6 = 0.64 donc sin = 0.64 = 0.8 Je sis que tn = sin B cos B 0.8 donc tn = 0.6 = 8 6 = 4 6) ngles remrqubles. Soit un tringle B équiltérl de côté, et s huteur [H] Soit un tringle rectngle isocèle MNP de sommet M, vec MN = NP = M P B H N

9 ème hpitre G TRIGONOMETRIE 9 Dns le tringle équiltérl B, les trois ngles vlent chcun 60, donc B = 60. Dns le tringle BH rectngle en H, les ngles igu sont complémentires, donc BH = 90 BH = = 0 De plus, je sis que l huteur d un tringle équiltérl de côté vut, donc H =. Dns le tringle MNP isocèle rectngle, les ngles igus vlent chcun 45 De plus je sis que l digonle d un crré de côté vut donc NP = lculer le cosinus, le sinus et l tngente des trois ngles remrqubles : 0, 45, et 60. Dns le tringle BH rectngle en H, cos BH = H B cos 0 = cos 0 = cos 0 = Je sis que tn 0 = tn 0 = sin 0 cos 0 tn 0 = Dns le tringle rectngle isocèle MNP, sin BH = BH B sin 0 = sin 0 = sin 0 = tn 0 = tn 0 = tn 0 = cos MNP = NM NP cos 45 =

10 ème hpitre G TRIGONOMETRIE 0 cos 45 = cos 45 = cos 45 = Je sis que le sinus d un ngle igu est égl u cosinus de son complémentire. 45 pour complémentire 45. Donc cos 45 = sin 45 = Je sis que tn 45 = sin 45 cos 45 tn 45 = sin 45 sin 45 tn 45 = Je sis que le sinus d un ngle igu est égl u cosinus de son complémentire. 60 est le complémentire de 0. Donc cos 60 = sin 0 donc cos 60 = sin 60 = cos 0 donc sin 60 = je sis que deux ngles complémentires ont leurs tngentes qui sont l inverse l une de l utre, donc tn 60 = inv tn 0 tn 0 = tn 60 = inv TBLEU REPITULTIF : sinus cosinus tngente

11 ème hpitre G TRIGONOMETRIE II) ngle inscrit et ngle u centre dns un cercle. ) Définitions. ) ngle inscrit dns un cercle. Df : Un ngle inscrit dns un cercle est un ngle dont le sommet est situé sur le cercle, et dont les côtés coupent cercle. B B est un ngle inscrit dns le cercle. O est l rc intercepté pr l ngle inscrit B. b) ngle u centre dns un cercle. Df : Un ngle u centre dns un cercle est un ngle dont le sommet est le centre du cercle, et dont les côtés coupent le cercle. O O O et O sont des ngles u centre dns le cercle. O intercepte l rc O intercepte l rc

12 ème hpitre G TRIGONOMETRIE ) Propriétés. ) ngle inscrit et ngle u centre interceptnt le même rc. B O D B OB est un tringle isocèle de sommet O OB = 80 BO OB = 80 OB OB = 80 ( 80 BO ) OB = BO BO = 80 BO B O = 80 BO B O = 80 ( 80 BO ) B O = BO OB + B O = BO + OB = ( BO + OB ) O = B Prop : Dns un cercle, un ngle u centre mesure le double d un ngle inscrit interceptnt le même rc. b) ngles inscrits interceptnt le même rc. Deux ngles inscrits interceptnt le même rc qu un ngle u centre, vlent chcun l moitié de cet ngle u centre, donc ils sont égux. Sur l figure du ) : D = O et B = O donc D = B Prop : Dns un cercle, deux ngles inscrits interceptnt le même rc sont égux.

13 ème hpitre G TRIGONOMETRIE ) Exemples d ppliction. T T,E et S sont lignés. P,E et R sont lignés. SPE = 6, SER = 00. lculez ERT. E R PES et SER sont supplémentires, donc PES = 80 SER = P S PES = 80 L somme des ngle d un tringle vut 80, donc dns le tringle ESP, ESP = 80 PES EPS = ESP = 64 donc TSP = 64 PST et PRT sont deux ngles inscrits interceptnt le même rc, donc ils sont égux. Donc PRT = 64 donc ERT = 64 P E lculez l mesure de l ngle ER, schnt que O est le centre du cercle, les points P, O et R sont lignés, et OP = 0. O OR = OP + POR = OR = 00 R ER est un ngle inscrit interceptnt le même rc sue l ngle u centre OR, donc il vut l moitié de OR. Donc ER = OR = 00 Donc ER = 00

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