LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications.

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "LEÇON N 67 : Formules de Taylor. Applications."

Transcription

1 LEÇON N 67 : Formules de Tylor. Applictions. Pré-requis : Théorème de Rolle, théorème des Accroissements Finis ; Intégrtion pr prties ; Nottions de Lndu. 67. Résultts globux 67.. Formule de Tylor-Lgrnge Théorème : Soient n N, f : [, b] R de clsse C n telle que f (n) soit dérivble sur ], b[. Alors il existe c ], b[ tel que (b ) k f(b) = + (b )n+ f (n+) (c). démonstrtion : On définit l fonction ϕ sur [, b] pr ϕ(x) = f(b) (b x) k f (k) (x) A (b x) n+, où A est un réel tel que ϕ() = 0. ϕ est donc dérivble sur ], b[ et vérifie ussi ϕ(b) = 0. Pr le théorème de Rolle, il existe donc un réel c ], b[ tel que ϕ (c) = 0. Or, pour tout x ], b[, on ϕ (x) = = k= n (b x) k (k )! f (k) (x) (b x) k f (k+) (x) = (b x)n (b x) k f (k+) (x) + A (n + )(b x) n (b x) k f (k+) (x) + A (n + )(b x) n f (n+) (c) + A (n + )(b x) n, donc puisque ϕ (c) = 0, cette dernière églité ppliquée à x = c nous donne f (n+) (c) = A (n + ) A = f(n+) (c), et le théorème est démontré.

2 2 Formules de Tylor Définition : L quntité définie dns l églité ci-dessus, c est-à-dire est ppelée reste de Lgrnge. (b ) n+ f (n+) (c), Remrques :. Le réel c n est ps forcément unique. En effet, il provient du théorème de Rolle, et considérnt pr exemple l fonction sin sur [0, 2π], on voit bien effectivement que sin (π/2) = sin (3π/2) = Si l on pose h = b et c = + θ h vec θ ]0, [, le théorème donne l églité qui est ussi souvent utilisée. f(b) = h k + f(n+) ( + θ h) h n+, 3. Si = 0, cette formule est usi ppelée formule de Mc-Lurin, et il en ser de même pour toutes les formules qui suivront Formule de Tylor vec reste intégrl (ou Tylor-Lplce) Théorème 2 : Soient n N, f : [, b] R de clsse C n+. Alors (b ) k f(b) = + (b x) n f (n+) (x) dx. démonstrtion : On effectue une récurrence sur l entier n N. Initilistion : Si n = 0, l églité ci-dessus devient f(b) f() = f (x)dx, issue du théorème fondmentl de l nlyse. Hérédité : On suppose f de clsse C n+2 sur [, b]. On veut montrer que le résultt est encore vri u rng n +, le supposnt vri u rng n, en procédnt à une intégrtion pr prties. On pose u(x) = f (n+) (x) qui est donc de clsse C sur [, b], et v (x) = (b x)n v(x) = (b x)n+, vec v qui est lors ussi de clsse C sur [, b]. Pr intégrtion pr prties, (b x) n f (n+) (x) = = ] b (b x)n+ [ f (n+) (x) (b )n+ f (n+) () + + (b x) n+ (b x) n+ f (n+2) (x)dx f (n+2) (x)dx. Cette dernière églité chève notre récurrence.

3 Formules de Tylor Applictions Ordonner une fonction Exercice : Ordonner l fonction x x 3 9x 2 + 7x + 5 suivnt les puissnces de (x 2). Solution : On pplique l formule de Tylor-Lgrnge sur l intervlle ]2, + [, en notnt que f (4) 0 sur cet intervlle : f(x) = f(2) + f (2)(x 2) + f (2) (x 2) 2 + f(3) (2) (x 2) 3 2 3! = 7(x 2) 3(x 2) 2 + (x 2) 3. On urit ussi pu poser f(x) = (x 2) 3 + b(x 2) 2 + c(x 2) + d, développer f(x) et fire une identifiction des coefficients (c est certinement l méthode qui urit été utilisée en Terminle), mis cette méthode est beucoup plus rpide (puisque même les dérivées sont fcilement clculbles!). Approximtion d une fonction pr un polynôme Si f est une fonction de clsse C n+ sur [,x] pour R fixé et x R, lors f(x) (x ) k x n+ M, où M = sup f (n+) (t). t [,x] Exemple : Pour = 0 et x R, on, vec l fonction exp, x k ex xn+ ex n 0. Exercice : Soit n N. Montrer que pour tout réel x 0, e x x k x = + (x t) n e t dt, et en déduire l encdrement ci-dessous : 0 +! + + e +! Solution : Pour montrer l églité, il suffit l formule de Tylor vec reste intégrl à l fonction exp en 0 à l ordre n sur l intervlle [0, x]. En ppliqunt cette églité à x =, on obtient lors e = + ( t) n e t dt. 0 L intégrle est clirement une quntité positive (puisque t [0, ]), ce qui suffit à justifier l première inéglité. Pour montrer l seconde, on v montrer que ( t) n e t. Posons f(t) = ( t) n e t définie sur [0, ], de sorte qu elle y soit dérivble. On insi f (t) = e t ( t) (n ) (n + t). On constte que f est négtive sur [0, ], donc f y est décroissnte. Or f(0) =, ce qui implique que tout x [0, ] vérifie f(x). Pr suite, e = et le résultt est insi démontré. + ( t) n 0 e t dt + 0 n dt = +,

4 4 Formules de Tylor 67.2 Résultt locux Formule de Tylor-Young Théorème 3 : Soient I un intervlle, f : I R une fonction n fois dérivble sur I, et I. On suppose f de clsse C n u point. Alors, u voisinge de, f(x) = (x ) k + o ( (x ) n). démonstrtion : Procédons pr récurrence sur l entier n N. Initilistion : Pr continuité de f en, on l églité f(x) f() = o(), qui correspond exctement à l églité du théorème pour n = 0. Hérédité : Supposons le résultt vri jusqu u rng n. Soit f dérivble n fois en. Alors f est (n ) fois dérivble en, et on peut lui ppliquer l hypothèse de récurrence : f (x) = n On définit lors l fonction Ψ sur I pr f (k ) () Ψ(x) = f(x) (x ) k + o ( (x ) n ). (x ) k, et l on remrque déjà que Ψ() = 0. Ψ est dérivble sur I et d près ce qui précède, Ψ (x) = f (x) (k )! (x )k = o ( (x ) n ). Pr définition, cel revient à écrire que pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que x < η Ψ (x) ε x n. Ψ vérifie donc les hypothèses du théorème des ccroissements finis, que l on pplique insi sur [, x] : x < η Ψ(x) = Ψ(x) Ψ() sup Ψ x ε x n, I ce qui prouve que Ψ(x) = o ( (x ) n) et chève insi notre récurrence. Notons que l condition x < η montre bien que cette formule est locle. Exercice : Redémontrer cette formule en utilisnt celle de Tylor-Lgrnge. On suppose lors dns l intérieur de I. Il existe lors h, k > 0 tels que [, + h[ I et ] k, ] I. On ne risonne que sur l intervlle [, + h[, l utre se tritnt de mnière bsolument identique. Soit lors x [, + h[, qui nous permet d ppliquer l formule de Tylor-Lgrnge sur l intervlle [, x] [, + h[ : Cette églité est équivlente à n c x ], x[ f(x) = ( (x ) n f(x) (x ) k + f(n) (c x) (x ) k ) (x ) n. = f(n) (c x) f (n) ().

5 Formules de Tylor 5 En pssnt à l limite lorsque x tend vers, le réel c x tend vers (cr c x ], x[), et le membre de droite tend vers 0 pr continuité de f (n) en (hypothèse du théorème). On en déduit lors que f(x) (x ) k = o ( (x ) n), et le résultt est insi démontré Applictions Développements limités Définition 2 : Soient I un intervlle, f : I R et x 0 I. On dit que f dmet un développement limité à l ordre n N u point x 0 s il existe 0,..., n R tels que pour tout x I on it f(x) = k (x x 0 ) k + o ( (x x 0 ) n). L fonction polynomile P(x) = n k(x x 0 ) k est ppelée prtie principle du développement limité de f à l ordre n en x 0. Pr cette définition, on constte fcilement que l formule de Tylor-Young fournit des développements limités pour des fonctions de clsse C n définies sur un intervlle contennt x 0, outil surtout utilisé pour des fonctions dont les dérivées ne sont ps dures à clculer. On donne comme exemple les développements limités suivnt (on pourr vérifier en exercice leur exctitude...) à l ordre n N u point 0 (α R) : e x = + x + x2 2 + x3 3! + + xn + o(xn ) ; cos(x) = x2 2 + x4 x2n + + ( )n 4! (2n)! + o(x2n ) ; ln( + x) = x x2 2 + x3 xn + + ( )n 3 n + o(xn ) ; ( + x) α α(α ) (α k + ) = + x k + o(x n ). k= Recherche de limites ou d équivlents Exercice : Clculer l limite en 0 de f(x), et donner un équivlent à l infini de g(x) (on rppelle qu une fonction h est dite équivlente à g en l infini si leur limite y tend vers ), où f(x) = 2 cos(x) 2 ( ) x 2 x et g(x) =. x 2 x +

6 6 Formules de Tylor Solution : Pour le clcul de cette limite, on ur besoin du développement limité du cosinus à l ordre 2 en 0. Comme vu plus hut, on cos(x) = x2 2 + o(x2 ), et pr suite, 2cos(x) 2 x 2 = 2 ( x o(x2 ) ) 2 x 2 = x2 + o(x 2 ) + o() x 2 = lim f(x) =. x 0 Pour l équivlent, on remrque que ce qui est équivlent en l infini à g(x) = e x2 ln( x+ x ) = e x2 ( x 2x 2 +o( x 2 )), e x2 ( x 2x 2 ) = e x+/2 = e x e.

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE

EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE EB - INTEGRALES DEPENDANT D UN PARAMETRE Définition 1 Soit (f x ) x A une fmille de fonctions continues à vleurs dns C, définies sur un intervlle [, b[ de R. On considère l intégrle impropre g(x) = que

Plus en détail

APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE

APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE APPROXIMATION DE FONCTIONS DÉRIVABLES PAR UNE FONCTION POLYNOMIALE Définition. Soit I R un intervlle ouvert et soit f : I R une fonction. () Si f est continue, on dit que f est de clsse C 0. (2) Si f est

Plus en détail

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers

Chapitre 5. Intégration. 5.1 Intégration des fonctions en escaliers Chpitre 5 Intégrtion Nous llons construire l intégrle pr un procédé de pssge à l limite. D bord on définit l intégrle des fonctions en escliers, ensuite on psse à l limite pour intégrer des fonctions plus

Plus en détail

Développements limités. Généralités. Définitions usuelles

Développements limités. Généralités. Définitions usuelles Développements limités I Générlités I.A Définitions usuelles.......................... I.B Formules de Tylor.......................... I.C Développements limités usuels.................... 4 I.D Eemples

Plus en détail

Exercices du chapitre 7 avec corrigé succinct

Exercices du chapitre 7 avec corrigé succinct Eercices du chpitre 7 vec corrigé succinct Eercice VII. Ch7-Eercice Montrer qu une fonction constnte sur [,b] est étgée. Si f est une fonction constnte sur [,b], lors il eiste bien une subdivision de [,b],

Plus en détail

Mathématiques Différentielle - Intégrale

Mathématiques Différentielle - Intégrale Mthémtiques Différentielle - Intégrle F. Richrd 1 1 Institut PPRIME - UPR 3346 CNRS Déprtement Fluides, Thermique, Combustion Frnce Institut des Risques Industriels Assurntiels et Finnciers IRIAF F. Richrd

Plus en détail

CALCUL INTEGRAL. Ph DEPRESLE. 29 juin Intégrale d une fonction continue et positive sur un segment 2

CALCUL INTEGRAL. Ph DEPRESLE. 29 juin Intégrale d une fonction continue et positive sur un segment 2 CALCUL INTEGRAL Ph DEPRESLE 9 juin 5 Tble des mtières Intégrle d une fonction continue et positive sur un segment Primitives d une fonction sur un intervlle. Primitives, définition...................................

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Etude de suites récurrentes

Etude de suites récurrentes [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 5 mi 06 Enoncés Etude de suites récurrentes Exercice [ 0304 ] [Correction] u 0 = R et n N, + = u n ) Justifier que l suite ( ) est bien définie et n N, [ ; ] b)

Plus en détail

Chapitre 6. Primitive et Intégrale. 6.1 Primitive Rappels

Chapitre 6. Primitive et Intégrale. 6.1 Primitive Rappels Chpitre 6 Primitive et Intégrle 6. Primitive 6.. Rppels Définition 6... Si f est une fonction définie sur un intervlle I, une primitive de f sur I est une fonction F telle que pour tout x dns I, F (x)

Plus en détail

Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes

Petit supplément sur les fonctions à valeurs complexes Petit supplément sur les fonctions à vleurs complexes Jen-Pul Vincent 2008 1 Fonctions à vleurs complexes Limites et continuité Definition Une fonction à vleurs complexes est une fonction dont l imge est

Plus en détail

Intégrabilité d une fonction à valeurs réelles ou complexes

Intégrabilité d une fonction à valeurs réelles ou complexes Cours de Mthémtiques ntégrtion sur un intervlle quelconque Prtie : Fonctions intégrbles à vleurs complexes Fonctions intégrbles à vleurs complexes Dns ce prgrphe, est un intervlle de R, et K désigne R

Plus en détail

Nous admettrons et utiliserons souvent le théorème suivant:

Nous admettrons et utiliserons souvent le théorème suivant: < 20 Intégrtion: fonction réelle d une vrile réelle. Définition 2.5. (Intégrilité u sens de Riemnn) Une fonction réelle f: [, ] R est dite intégrle sur [,], si ǫ > 0, f 1, f 2 : [, ] R fonctions en escliers

Plus en détail

Définition Propriétés de d intégrale Intégrale fonction de sa borne supérieure Méthodes d intégration. Calcul Intégral

Définition Propriétés de d intégrale Intégrale fonction de sa borne supérieure Méthodes d intégration. Calcul Intégral Clcul Intégrl christophe.profet@univ-evry.fr http://www.mths.univ-evry.fr/pges_perso/cprofet/ Amphi n 1 Jnvier 214 Objectifs du cours 1 donner une définition de l intégrle f (x)dx qui permet de comprendre

Plus en détail

Rappels et compléments sur l intégrale de Riemann

Rappels et compléments sur l intégrale de Riemann Chpitre Rppels et compléments sur l intégrle de Riemnn Commençons pr un rppel. Théorème.. (Théorème fondmentl du clcul intégrl) Soit f :[, b]! R une fonction continue. Pour tout x 2 [, b], posons F (x)

Plus en détail

L1MI - Mathématiques: Analyse

L1MI - Mathématiques: Analyse Université de Metz (UFR MIM) Année universitire - Déprtement de Mthémtiques Dérivtion et Dérivée Exercice Clculer l dérivée des fonctions suivntes (x) = x + ln(x + x + ), LMI - Mthémtiques: Anlyse b(x)

Plus en détail

Calcul intégral. Mathématique. Sylvie Jancart. Octobre 2015

Calcul intégral. Mathématique. Sylvie Jancart. Octobre 2015 Mthémtique Sylvie Jncrt sylvie.jncrt@ulg.c.be Octobre 2015 Introduction L notion d intégrle répond à deux problèmes de nture différente: l une lgébrique, l utre géométrique. Une fonction étnt donnée, existe-t-il

Plus en détail

7. Applications du théorème des

7. Applications du théorème des 67 7. Applictions du théorème des résidus. Évlution d intégrles réelles impropres Une ppliction importnte de l théorie des résidus est l évlution de certins types d intégrles définies et d intégrles impropres

Plus en détail

Intégration des fonctions continues par morceaux

Intégration des fonctions continues par morceaux Chpitre 4 Intégrtion des fonctions continues pr morceu 4.1 Introduction Dns cette section, on fie < deu réels, on note I = [, ] et on considère f : I R une ppliction continue. On suppose en outre que f

Plus en détail

Intégrale de Riemann cours et exercices de Licence, L1, PC, S2

Intégrale de Riemann cours et exercices de Licence, L1, PC, S2 Intégrle de Riemnn cours et exercices de Licence, L1, PC, S2 H. Le Ferrnd Jnury 29, 2010 Contents 1 Des premières méthodes 2 2 Sommes de Drboux 2 3 Fonction intégrble u sens de Riemnn 3 3.1 Qu est-ce qu

Plus en détail

Intégration Primitives

Intégration Primitives Intégrtion Primitives Christophe ROSSIGNOL Année scolire 2015/2016 Tble des mtières 1 Rppels et compléments 3 1.1 Rppels de dérivtion.......................................... 3 1.1.1 Dérivtion en un point......................................

Plus en détail

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

PRIMITIVES ET INTÉGRALES Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot PRIMITIVES ET INTÉGRALES Les fonctions de ce chpitre sont des fonctions d une vrible réelle à vleurs réelles ou complexes. Primitives. Définition Définition. Primitive

Plus en détail

CHAPITRE 17 : CALCUL D INTEGRALES - INTEGRATION PAR PARTIES

CHAPITRE 17 : CALCUL D INTEGRALES - INTEGRATION PAR PARTIES Clcul d intégrles - Intégrtion pr prties Cours CHAPITRE 7 : CALCUL D INTEGRALES - INTEGRATION PAR PARTIES Dns ce cours, nous disposons de trois techniques de clcul d intégrles : ) primitivtion pr lecture

Plus en détail

Filière MP MATHÉMATIQUES Épreuve commune aux ENS de Paris et Cachan Durée : 4 heures

Filière MP MATHÉMATIQUES Épreuve commune aux ENS de Paris et Cachan Durée : 4 heures SESSION 2003 Filière MP MATHÉMATIQUES Épreuve commune ux ENS de Pris et Cchn Durée : 4 heures L usge de clcultrices électroniques de poche à limenttion utonome, non imprimntes et sns document d ccompgnement,

Plus en détail

MT91 P2010 Médian - f(x) = α + x + βx 2.

MT91 P2010 Médian - f(x) = α + x + βx 2. MT9 P Médin - Corrigé Eercice. α et β sont deu prmètres réels tels que α >. On définit f) = α + + β. Ecrire le développement limité de f, à l ordre, en.. Utiliser l question précédente pour étudier l brnche

Plus en détail

Comparaison de fonctions, développements limités

Comparaison de fonctions, développements limités I Comprison de fonctions Définitions Comprison de fonctions, développements limités Négligeble Définition Soient f et g deu fonctions définies sur un même ensemble D et à vleurs dns R. Soit R tel que f

Plus en détail

Cours de Terminale S /Intégration. E. Dostal

Cours de Terminale S /Intégration. E. Dostal Cours de Terminle S /Intégrtion E. Dostl Février 26 Tble des mtières 9 Intégrtion 2 9. Intégrles............................................. 2 9.. Aire sous une courbe...................................

Plus en détail

Chapitre 1 Suites de fonctions

Chapitre 1 Suites de fonctions Université de Bourgogne Déprtement de Mthémtiques Licence de Mthémtiques Résumé du cours Compléments d Anlyse Chpitre Suites de fonctions. Suites de nombres, suites de fonctions Dns tout ce chpitre, l

Plus en détail

Primitives et Calcul d une intégrale

Primitives et Calcul d une intégrale Primitives et Clcul d une intégrle I) Primitive ) Définition : Soit f une fonction définie sur un intervlle I. On ppelle primitive de f sur I, toute fonction F dérivle sur I dont l dérivée F est égle à

Plus en détail

Comparaison des fonctions au voisinage d un point

Comparaison des fonctions au voisinage d un point DOCUMENT 29 Comprison des fonctions u voisinge d un point Pour tout 0 R on pose : V 0 = {] 0 η, 0 + η[ η > 0} si 0 R; V 0 = {], + [ R} si 0 = + et V 0 = {], [ R} si 0 =. Un élément de V 0 est ppelé un

Plus en détail

Calcul Intégral - Equations Différentielles M211-1

Calcul Intégral - Equations Différentielles M211-1 /46 Clcul Intégrl - Equtions Différentielles M11-1 Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.mth.univ-toulouse.fr/ fournie/ /46 Introduction Tble des mtières 1 Introduction Préliminires, Rppels

Plus en détail

Licence de Mathématiques Fondamentales Calcul Scientifique feuille de TD 3

Licence de Mathématiques Fondamentales Calcul Scientifique feuille de TD 3 Licence de Mthémtiques Fondmentles Clcul Scientifique feuille de TD 3 Intégrtion numérique Soit f : [, b] R une fonction continue On cherche à clculer numériquement l intégrle f(x) dx Pour cel, on subdivise

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. Session Pondichéry (avril 2010) MATHÉMATIQUES (obligatoire) Correction. Série : S

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. Session Pondichéry (avril 2010) MATHÉMATIQUES (obligatoire) Correction. Série : S BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session Pondichéry vril ) MATHÉMATIQUES obligtoire) Correction Série : S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 EXERCICE PARTIE A Soient et b deux réels tels que < b. Soient

Plus en détail

Espaces vectoriels normés ; espaces de Banach

Espaces vectoriels normés ; espaces de Banach Chpitre 7 Espces vectoriels normés ; espces de Bnch Un espce vectoriel normé complet est ppelé un espce de Bnch On note K pour R ou C 71 Exemples d espces vectoriels normés 711 Normes sur K n Sur K n,

Plus en détail

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S

Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S Clmths.fr - Les Roc en Terminle S CONTENTS ROC - exigibles... 2 Roc 1 Théorème de comprison pour les suites... 2 Roc 2 Limite de qn lorsque q > 1... 2 Roc 3 Unicité de l fonction exponentielle... 3 Roc

Plus en détail

TS 2, Correction Bac Blanc n o 2

TS 2, Correction Bac Blanc n o 2 TS, Correction Bc Blnc n o Exercice Nouvelle-Clédonie, mrs extrit) points Restitution Orgnisée de Connissnces On utiliser le résultt suivnt : les solutions de l éqution différentielle E ) y = y où R sont

Plus en détail

Série n 6 : Interpolation et méthodes des moindres carrés

Série n 6 : Interpolation et méthodes des moindres carrés Université Clude Bernrd, Lyon I 43, boulevrd du 11 novembre 1918 696 Villeurbnne Cedex Licence Sciences & Technologies Spécilité Mthémtiques UE : Clcul Scientifique 009-010 Série n 6 : Interpoltion et

Plus en détail

Théorème de la bijection : exemples de rédaction

Théorème de la bijection : exemples de rédaction ECE-B 5-6 Théorème de l bijection : eemples de rédction Le but de cette fiche est de fire un point sur le théorème de l bijection. Après un retour sur l énoncé et s démonstrtion, on illustrer l utilistion

Plus en détail

Cours Intégrales Primitives 1 / 7 A Chevalley

Cours Intégrales Primitives 1 / 7 A Chevalley A 17 Primitives Intégrles Aleth Chevlley 1. Intégrle d une fonction continue 1.1. Définition Soit C l coure représenttive de f dns un repère orthonorml. L intégrle de à de l fonction f est l ire du domine

Plus en détail

Propriétés de l'intégrale.

Propriétés de l'intégrale. Propriétés de l'intégrle. I Résultts sur l'intégrle. Interversion des bornes. { et b des réels, Soit f une fonction continue sur un intervlle contennt et b. = b Linérité de l'intégrle. {, b, α et β des

Plus en détail

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Intégrales simples

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Intégrales simples Cours de remise à niveu Mths 2ème nnée Intégrles simples C. Mugis-Rbusseu GMM Bureu 116 cthy.mugis@ins-toulouse.fr C. Mugis-Rbusseu (INSA) 1 / 47 Pln 1 Définitions 2 Propriétés des fonctions intégrbles

Plus en détail

Hachurer légèrement la zone délimitée par les quatre droites, (Ox), et (AB).

Hachurer légèrement la zone délimitée par les quatre droites, (Ox), et (AB). Vdouine Terminle S Cpitre 4 Intégrtion Définition Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle I contennt et deu nomres tels que. L représenttion grpique est trcée dns un repère ortogonl O;;

Plus en détail

Intégration, cours, terminale S

Intégration, cours, terminale S Intégrtion, cours, terminle S Intégrtion, cours, terminle S F.Gudon http://mthsfg.net.free.fr 3 vril 2017 Intégrle d une fonction continue sur un intervlle Intégrle d une fonction continue sur un intervlle

Plus en détail

Cours de Mathématiques 2

Cours de Mathématiques 2 Cours de Mthémtiques 2 première prtie : Anlyse 2 DEUG MIAS 1 e nnée, 2 e semestre. Mximilin F. Hsler Déprtement Scientifique Interfcultire B.P. 7209 F 97275 SCHOELCHER CEDEX Fx : 0596 72 73 62 e-mil :

Plus en détail

Chapitre 6. Calcul intégral. OJ = j. Aire(rectangle OIKJ)= 1 u.a. 1 u.a. D = {M(x ; y) P tels que a x b et 0 y f(x)}

Chapitre 6. Calcul intégral. OJ = j. Aire(rectangle OIKJ)= 1 u.a. 1 u.a. D = {M(x ; y) P tels que a x b et 0 y f(x)} Chpitre 6 Clcul intégrl Intégrle et ire. Intégrle d une fonction continue positive sur un intervlle [ ; ] Définition : L unité d ire Soit P un pln muni d un repère orthogonl (O ; ı, j ). Soient I, J, et

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable e x 2 x dx 6) (**) +

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable e x 2 x dx 6) (**) + Eo7 Intégrtion Eercices de Jen-Louis Rouget. Retrouver ussi cette fiche sur www.mths-frnce.fr * très fcile ** fcile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournble Eercice

Plus en détail

Primitives Calcul intégral

Primitives Calcul intégral Primitives Clcul intégrl Christophe ROSSIGNOL Année scolire 2009/200 Tble des mtières Primitives 2. Définition, premières propriétés..................................... 2.2 Primitives des fonctions usuelles....................................

Plus en détail

1. Notion d intégrale Interprétation graphique

1. Notion d intégrale Interprétation graphique Clcul intégrl TS 1. Notion d intégrle Interpréttion grphique Le pln étnt muni du repère orthogonl ( O,I, J ) l unité d ire ( u. ) est l ire du rectngle âti à prtir des points O, I, J. on ppelle domine

Plus en détail

Intégrales et primitives

Intégrales et primitives Chpitre 3 Intégrles et primitives 3.1 Définitions Soit f(x une fonction continue définie sur l intervlle [, ]. L intégrle de f sur l intervlle [, ] est un nomre réel noté qui est défini de l fçon suivnte

Plus en détail

Le Calcul de Primitives

Le Calcul de Primitives Le Clcul de Primitives MPSI Prytnée Ntionl Militire Pscl Delhye 25 octobre 27 ϕ(x) f(u) du = f(ϕ(t) )ϕ (t) }{{}}{{} u du Résultts préliminires Définition : Primitives Soit deux fonctions f et F définies

Plus en détail

CHAPITRE 7. Rappel sur l intégrale simple.

CHAPITRE 7. Rappel sur l intégrale simple. CHPITRE 7 Rppel sur l intégrle simple. Les prochins chpitres triteront de l intégrtion. Dns un premier temps, nous rppellerons ce qu est l intégrle simple (l intégrtion pour les fonctions d une seule vrible

Plus en détail

Intégration. Intégrale d une fonction. II - Interprétation graphique : calcul d aire. 1) Aire d une fonction positive. T ale STI

Intégration. Intégrale d une fonction. II - Interprétation graphique : calcul d aire. 1) Aire d une fonction positive. T ale STI Intégrtion T le STI I - Intégrle d une fonction Définition Soit F une primitive de l fonction f sur [; ], lors, on note Exemple : Clcul de Clcul de 4 (3x ) dx = = [F(x)] = F() F() xdx : Une primitive de

Plus en détail

Analyse 2 - Résumé du Cours

Analyse 2 - Résumé du Cours UFR de Mthémtiques Université de Lille Licence sciences et technologies A - S MASS Anlyse - Résumé du Cours Tble des mtières Prtie I : Intégrtion. Introduction : Premières remrques sur les primitives et

Plus en détail

Intégration numérique

Intégration numérique Chpitre 5 Intégrtion numérique 5.1 Introduction Dns ce chpitre, on s interesse u clcul numérique d intégrles. Plus précisément, on considère une fonction f continue et une fonction w continue et positive

Plus en détail

Convergence dominée et conséquences.

Convergence dominée et conséquences. Chpitre 3 Convergence dominée et conséquences.. nterversion ite-intégrle............................................................2 / Le cs d une CU sur un segment..................................................

Plus en détail

Analyse numérique : Intégration numérique

Analyse numérique : Intégration numérique Anlyse numérique : Intégrtion numérique Pgor 1A Chpitre 4 8 février 11 mrs 2013 Anlyse numérique (Pgor 1A) Intégrtion numérique 8/02-11/03/2013 1 / 67 Pln 1 Introduction 2 Intégrtion pr méthode de Monte-Crlo

Plus en détail

Chapitre 19 Intégration sur un segment

Chapitre 19 Intégration sur un segment Chpitre 19 ntégrtion sur un segment Dns tout ce chpitre, suf mention contrire,, b désignent deux réels tels que < b et un intervlle de R contennt u moins deux points. - Construction de l'intégrle.1 - Continuité

Plus en détail

Chapitre 1 Équations et Inéquations du 2nd degré

Chapitre 1 Équations et Inéquations du 2nd degré Cours de Mthémtiques Première S Chpitre 1 : équtions et inéqutions du second degré Chpitre 1 Équtions et Inéqutions du nd degré A) Les Polynômes 1) Définitions On ppelle monôme une expression de l forme

Plus en détail

Intégrale de Riemann et Intégrale de Lebesgue INTEGRALE DE RIEMANN

Intégrale de Riemann et Intégrale de Lebesgue INTEGRALE DE RIEMANN Intégrle de Riemnn et Intégrle de Lebesgue Jen Gounon http://dm.ens.fr/culturemth Définitions INTEGRALE DE RIEMANN Dns tout le chpître, b et f est une fonction réelle bornée sur [,b] = I Définition. Un

Plus en détail

Développements limités

Développements limités Développements limités Vidéo prtie. Formules de Tylor Vidéo prtie. Développements limités u voisinge d'un point Vidéo prtie 3. Opértions sur les DL Vidéo prtie 4. Applictions Fiche d'eercices Développements

Plus en détail

Chapitre 11 : Calcul intégral

Chapitre 11 : Calcul intégral Cpitre 11 : Clcul intégrl I Intégrle d une fonction positive I.1 Définition Définition ( 1. Dns un repère ortogonl O; i ; ) j, on ppelle unité d ire l ire du rectngle de côtés [OI] et [OJ]. 2. Soient f

Plus en détail

Chapitre 6 Suites et séries de fonctions

Chapitre 6 Suites et séries de fonctions Chpitre 6 Suites et séries de fonctions Semine 1 : Etude des prgrphes 1 et 2. Fire les exercices d pprentissge 6.1 6.10. Semine 2 : Etude du prgrphe 3. Fire les exercices d pprofondissement 6.11 6.24.

Plus en détail

CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.

CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL. CHAPITRE : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.. Fonction népérien (logrithme d une fonction composée). Théorème Si u est une fonction strictement positive et dérivble sur un intervlle I ouvert,

Plus en détail

Intégration I Licence de mathématiques, 4 e semestre Université Aix-Marseille 1

Intégration I Licence de mathématiques, 4 e semestre Université Aix-Marseille 1 ntégrtion Licence de mthémtiques, 4 e semestre Université Ai-Mrseille J-Y. Briend Fscicule de résultts ntégrbilité, intégrle Définition.. Soit = [,b] un intervlle compct. Une subdivision pointée P de est

Plus en détail

Chapitre 1 Le Second Degré

Chapitre 1 Le Second Degré Cours de Mthémtiques Première STID Chpitre 1 : Le second degré Chpitre 1 Le Second Degré A) Résolution de l'éqution du second degré 1) Définitions On ppelle polynôme de second degré l expression x² x c

Plus en détail

11 Fonctions numériques - continuité

11 Fonctions numériques - continuité 11 Fonctions numériques - continuité 11.1 Ensemble des fonctions à vleurs réelles 11.1.1 Fonctions numériques Soit E un ensemble non vide. On note E l ensemble des pplictions de E dns. On définit les opértions

Plus en détail

Chapitre 7 Intégrale et primitive. Table des matières. Chapitre 7 Intégrale et primitive TABLE DES MATIÈRES page -1

Chapitre 7 Intégrale et primitive. Table des matières. Chapitre 7 Intégrale et primitive TABLE DES MATIÈRES page -1 Chpitre 7 Intégrle et primitive TABLE DES MATIÈRES pge - Chpitre 7 Intégrle et primitive Tble des mtières I Exercices I-................................................ I- Clcul pproché d une intégrle

Plus en détail

Calcul différentiel et intégral 2 (M-1.1)

Calcul différentiel et intégral 2 (M-1.1) Clcul différentiel et intégrl (M-.) Cdre : dns l suite on considère une fonction numérique f définie sur un intervlle I et un réel I I. Dérivée d'une fonction Définition du nomre dérivé : l fonction f

Plus en détail

Variables aléatoires à densité

Variables aléatoires à densité Vribles létoires à densité Rppels : Une vrible létoire réelle (VAR) est une ppliction X : Ω R où (Ω,A,P) est un espce probbilisé. Lorsque X(Ω) est un ensemble discret on dit que X est une VAR discrète.

Plus en détail

Contenus Capacités attendues Commentaires. Déterminer des primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées.

Contenus Capacités attendues Commentaires. Déterminer des primitives des fonctions usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées. Chpitre 7 Intégrtion Contenus Cpcités ttendues Commentires Intégrtion Définition de l intégrle d une fonction continue et positive sur [;] comme ire sous l coure. Nottion f(x) dx. Théorème : si f est une

Plus en détail

Résumé de cours sur les intégrales dépendant d un paramètre

Résumé de cours sur les intégrales dépendant d un paramètre Résumé de cours sur les intégrles dépendnt d un prmètre On v considérer une fonction à deux vribles ' puis on étudier l existence, l continuité, dérivbilité,...de l fonction F dé nie pr x! F (x) = F est

Plus en détail

Feuille d exercices 2 : Analyse Intégrale

Feuille d exercices 2 : Analyse Intégrale Université Denis Diderot Pris 7 (3-4) TD Mths, Agro www.mth.jussieu.fr/ merle Mthieu Merle : merle@mth.univ-pris-diderot.fr Feuille d eercices : Anlyse Intégrle Eercice Trouver une primitive de f : rccos()

Plus en détail

Corrigé du TD 3 : Limites

Corrigé du TD 3 : Limites Corrigé du TD 3 : Limites Eercice : Fonction réciproque. Cs f() = + L fonction f est définie sur R et à vleurs dns I = [,+ [. Elle est pire donc en prticulier pour tout réel, on f( ) = f() et en prticulier

Plus en détail

CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN

CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN CHAPITRE III. CONSTRUCTION DE L INTÉGRALE DE RIEMANN 1. Fonctions en esclier. Le but de l construction de l intégrle d une fonction f : [, b] R étit, initilement, de définir rigoureusement l ire de l figure

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue 29 Chpitre 2 Intégrle de Lebesgue 2.1 Rppels sur l intégrle de Riemnn Soit f bornée sur un intervlle [,b] fini de IR, et soit x 1,...,x n un ensemble fini de points de [,b] tels que = x 0 < x 1

Plus en détail

CALCUL INTEGRAL ET SERIES

CALCUL INTEGRAL ET SERIES Université Blise Pscl, U.F.R. Sciences et Technologies, Déprtement de Mthémtiques et Informtique Licence de mthémtique, deuxième nnée, S3, U.E. 2MM3, nnée 26-27 CALCUL INTEGRAL ET SERIES Notes de cours

Plus en détail

COURS TERMINALE S LE CALCUL INTEGRAL

COURS TERMINALE S LE CALCUL INTEGRAL COURS TERMINALE S LE CALCUL INTEGRAL A. Notion d'intégrle. Aire sous l coure On définit le domine pln, qu'on ppeller ire sous l coure C représenttive d'une fonction positive f sur un intervlle [; ], l

Plus en détail

R.O.C. Nombres complexes. Pondichéry Enseignement spécifique. Exercice 4 Enoncé Restitution organisée de connaissances

R.O.C. Nombres complexes. Pondichéry Enseignement spécifique. Exercice 4 Enoncé Restitution organisée de connaissances Nombres complexes R.O.C. Pondichéry 22. Enseignement spécifique. Exercice 4 Prtie A Restitution orgnisée de connissnces Soit z uombre complexe. On rppelle que z est le conjugué de z et que z est le module

Plus en détail

Calcul intégral. Catherine Decayeux. Catherine Decayeux () Calcul intégral 1 / 23

Calcul intégral. Catherine Decayeux. Catherine Decayeux () Calcul intégral 1 / 23 Clcul intégrl Ctherine Decyeux Ctherine Decyeux () Clcul intégrl 1 / 23 I-Introduction Le clcul intégrl s est développé u XVIIe siècle vec les trvux de Bonvntur Cvlieri, Isc Newton, Leibniz... mis les

Plus en détail

Primitives et intégrales

Primitives et intégrales Primitives et intégrles 19 mrs 14 Introduction Chercher une primitive et clculer une intégrle n est ps tout à fit l même chose. Une primitive d une fonction f, c est une fonction F qui, lorsqu on l dérive,

Plus en détail

Dérivation. Accroissements finis

Dérivation. Accroissements finis 19 Cours - Dérivtion. Accroissements finis.nb 1/5 Dérivtion. Accroissements finis nombre dérivé, fonction dérivée, f ' HL, f ', dérivée n ième, f HnL, fonction de clsse C n (C 0, C ), formule de Leibniz,

Plus en détail

Calcul de primitives. Chapitre Calcul pratique de primitives Primitives usuelles à connaître par coeur

Calcul de primitives. Chapitre Calcul pratique de primitives Primitives usuelles à connaître par coeur Chpitre 21 Clcul de primitives 21.1 Clcul prtique de primitives On note f(x une primitive de l fonction f sur l intervlle I. Cette nottion désigne une fonction, à ne ps confondre vec une intégrle définie

Plus en détail

Limite d une fonction à l infini

Limite d une fonction à l infini CHAPITRE 3 LIMITES DE FONCTIONS ET DE SUITES Limite d une fonction à l infini et s courbe repré-. Limite finie d une fonction à l infini Soit f une fonction définie sur un intervlle [ ; + [ senttive. L

Plus en détail

1. Fonctions fortement piquées. La fonction delta de Dirac. (x) ρ n. n = 8. Figure 1

1. Fonctions fortement piquées. La fonction delta de Dirac. (x) ρ n. n = 8. Figure 1 31 3. Fonction de Dirc 1. Fonctions fortement piquées. fonction delt de Dirc 1.1. Exemple en électrosttique ρ n (x n = 8 n = 4 n = 2 n = 1-1/2 O 1/2 x Figure 1 Considérons, sur une droite, une suite de

Plus en détail

Formules de Taylor. Applications.

Formules de Taylor. Applications. CAPES 27 Décembre 27 Oral Analyse Formules de Taylor. Applications. Remarques Le niveau naturel de cette leçon est celui du Deug. Pré-requis. Continuité, dérivabilité, inégalité des accroissements finis,

Plus en détail

Résumé 07 : Intégrales généralisées

Résumé 07 : Intégrales généralisées Résumé 07 : Intégrles générlisées Dns tout ce chpitre, K ser le corps R ou C 1 INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 1 Convergence d une intégrle impropre Dns cette section, f ser ici indifféremment à vleurs dns R ou

Plus en détail

1. Intégrale d une fonction continue et positive

1. Intégrale d une fonction continue et positive hpitre 6 : Intégrtion T-ES, 206-207. Intégrle d une fonction continue et positive.. Unité d ire ssociée à un repère du pln Définition. Dns une repère orthogonl (O,I,J), on ppelle unité d ire (notée u..)

Plus en détail

Le but du calcul intégral, que nous ne développerons pas ici, est d identifier cette quantité b

Le but du calcul intégral, que nous ne développerons pas ici, est d identifier cette quantité b Clcul de Primitives Pré-requis : svoir reconnître des formes (somme, produit, composée) connître sns hésittion les formules sur les dérivées (y compris celles introduites u chpitre précédent) svoir clculer

Plus en détail

Cours d Analyse Semestre 2. Stéphane Attal

Cours d Analyse Semestre 2. Stéphane Attal Cours d Anlyse Semestre 2 Stéphne Attl 2 Contents 1 Développements limités 5 1.1 Comprison de fonctions.................... 5 1.2 Equivlence de fonctions..................... 7 1.3 Dérivées successives........................

Plus en détail

La formule de Simpson avec reste intégral Jean-François Burnol, septembre 2016

La formule de Simpson avec reste intégral Jean-François Burnol, septembre 2016 L formule de Simpson vec reste intégrl Jen-Frnçois Burnol, septembre 1 On cherche à pprocher l intégrle b f (t)dt pr une combinison linéire λf () + µf ( + b ) + νf (b) On v tout d bord prendre = et b =

Plus en détail

Chapitre 8 Le calcul intégral

Chapitre 8 Le calcul intégral Cours de Mthémtiques Terminle STI Chpitre 8 : Le Clcul Intégrl Chpitre 8 Le clcul intégrl A) Intégrle d une fonction dérivle sur un intervlle 1) Définition Soit f une fonction dérivle sur un intervlle

Plus en détail

f 1 f = f n f 1(t). f (t) = f n(t) le vecteur tangent au point f(t). Pour une courbe dérivable on a par définition de la dérivée f(t + h) f(t) h o(h)

f 1 f = f n f 1(t). f (t) = f n(t) le vecteur tangent au point f(t). Pour une courbe dérivable on a par définition de la dérivée f(t + h) f(t) h o(h) Chpitre 2 Courbes dns R n 2.1 Courbes dérivbles Définition. Soit I R un intervlle. Une courbe (ou un chemin) est une ppliction continue f : I R n. Une courbe est donnée pr un n-tuplet de fonctions continues

Plus en détail

EILCO : Analyse Numérique Chapitre 2 : Quadrature H. Sadok

EILCO : Analyse Numérique Chapitre 2 : Quadrature H. Sadok Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites Méthode de Guss EILCO : Anlyse Numérique Chpitre : Qudrture H. Sdok Introduction Construction de formules élémentires Formules Composites

Plus en détail

Exercices - Capes première épreuve : corrigé

Exercices - Capes première épreuve : corrigé Avertissement : Ceci n est ps une correction in extenso du problème de cpes Il s git plutôt d une lecture personnelle des questions, vec des indictions, des idées de preuve, des mises en grde d erreurs

Plus en détail

INTÉGRALES. I Définition. Définition. Remarques. Exemple. Exercice 01 (voir réponses et correction)

INTÉGRALES. I Définition. Définition. Remarques. Exemple. Exercice 01 (voir réponses et correction) INTÉGRALES I Définition Définition Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [; ]. Soit (C) s coure représenttive dns un repère orthogonl (O; i, j). On ppelle intégrle de à de l fonction

Plus en détail

5. Intégration complexe

5. Intégration complexe 49 5. Intégrtion complexe 1. Intégrles définies d une fonction complexe d une vrible réelle Les intégrles sont extrêmement importntes dns l étude des fonctions d une vrible complexe. Nous étblirons l équivlence

Plus en détail

1. Intégrale de Riemann des fonctions réglées.

1. Intégrale de Riemann des fonctions réglées. Agrégtion de Mthémtiques 2012-2013 CMI Université d Aix-Mrseille Résumé du cours d Intégrtion 1. Intégrle de Riemnn des fonctions réglées. Fonctions réglées. f : [, b] C est dite réglée si et seulement

Plus en détail

Limites de Fonction. 1 Limites d une fonction et asymptotes 1.1 Limite en l infini. 1.2 Limite en un réel a Asymptotes...

Limites de Fonction. 1 Limites d une fonction et asymptotes 1.1 Limite en l infini. 1.2 Limite en un réel a Asymptotes... Lycée Pul Doumer 203-204 TS Cours Limites de Fonction Contents Limites d une fonction et symptotes. Limite en l infini....................................2 Limite en un réel..................................

Plus en détail

LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS

LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot LIMITE ET CONTINUITÉ DE FONCTIONS Soit R. Dns tout ce chpitre, on dir qu une fonction f de domine de définition D f est définie u voisinge de s il existe un réel

Plus en détail

Cours d harmonisation en mathématiques. Bérangère Delourme-Jose Gomez

Cours d harmonisation en mathématiques. Bérangère Delourme-Jose Gomez Cours d hrmonistion en mthémtiques Bérngère Delourme-Jose Gomez septembre 206 2 Tble des mtières Trigonométrie et nombres complexes 7. Trigonométrie élémentire...............................................

Plus en détail