Probabilités 5 : Loi normale centée réduite N (0 ; 1)

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1 «I» : Théorème définiion / Théorème admis Probabiliés 5 : Loi normale cenée réduie N ( ; ) La foncion f définie sur R par f ()= π e es une densié de probabilié sur R Il es clair que f es coninue e posiive Par conre, on ne connaî pas de primiive de f sur R e on adme que l'aire sous la courbe vau ua, c'es à dire que lim π e d+ lim + π e d= / Définiion On appelle loi normale cenrée réduie e on noe N ( ; ) la loi de probabilié sur R de densié de probabilié la foncion f définie sur R par f ()= π e «II» : Calcul d' une probabilié avec N ( ; ). Pour calculer des probabiliés avec N ( ; ), il es rès efficace e vivemen conseillé de s'appuyer sur la représenaion graphique de f. / Calculs à la calcularice de p( [c ; d] ) Avec une Casio Graph 35+ ou plus :. Taper sur la ouche «OPTN» Puis dans l'ordre : «STAT» «DIS» «NORM» «NCD» Puis: Saisir NormCD(c,d,,) Avec TI-83 Plus Taper sur les ouches " nde " e "VAR/Disrib" puis saisir normalfréq(,5,,) Avec TI-83 Plus Taper sur les ouches " nde " e "VARS/Disrib" puis saisir normalcdf(,5,,) Eemples p( < X < 5),7 p( < X <,5), 499 p(x < -,5) = p(- 99 < X < -,5),385 / Calculs à la calcularice de p(x < a) ou p(x > a) Pour calculer p(x < a) ou p(x > a) on peu fier une seconde borne d'un inervalle à une valeur rès grande en valeur absolue par eemple 99 e uiliser que par eemple p(x < a) p(- 99 < X < a) Lycée de Fon Romeu SC

2 3/ Déerminaion à la calcularice du nombre réel a pour lequel p(x < a) es connu Casio : on uilise «STAT» «DIS» «NORM» puis «invn» (p,,) pour rouver a el que p(x < a) = p Teas : " nde " e "VAR/Disrib" puis saisir FracNormale(p,,) pour rouver a el que p(x < a) = p Eercice X sui la loi normale cenrée réduie N ( ; ). Uiliser la calcularice pour déerminer / p(x =,5), p(x <,5), p(x > -,5) e p(-,5 < X <,5) / Les nombres a e b els que p(x < a) =,375 e p(x > b) =,347 / p(x =,5) =, p(x <,5),69, p(x > -,5),933 e p(-,5 < X <,5),888 / p(x < a) =,375 pour a -,39 p(x > b) = - p(x < b) donc - p(x < b) =,347 ou p(x < b) =,653 e b,393 «III» : Espérance e variance d' une variable aléaoire qui sui la loi N ( ; ). / Définiion Soi X une variable aléaoire coninue qui sui N ( ; ), par définiion, l'espérance de X sur R es / Théorème E ( X )= lim.f ()d+ lim +.f ( )d= lim L'espérance de la loi normale cenrée réduie N ( ; ) es. On adme que la variance es En effe E X = lim E X = lim Donc [ e. e ] lim E X = = d lim. [ e. e d= lim ] = lim π e d+ lim + [ e. π e.e d lim ] lim e d «IV» : Éude de la densié de probabilié de la loi normale cenrée réduie N ( ; ) / Remarques.e d La foncion f es une densié, elle es donc coninue e posiive sur R La foncions f = e es paire sur R ( e - on la même image) donc sa courbe représenaive dans un repère orhogonal adme l'ae des ordonnées comme ae de symérie. On va donc éudier la foncion sur [ ; + [, e obenir le rese par symérie auour de l'ae des ordonnées. / Éude de f définie sur [ ; + [ par f = e f ()= π,4 e lim + f ()= car lim + = Lycée de Fon Romeu SC

3 f es dérivable sur [ ; + [ e f ' ( )= π ( )e (remarque f ' ( )= f () ) π > e < donc f '() e f es sricemen décroissane sur [ ; + [. Tableau de variaions f() = = = π e π e π e,4 + f '() f() π π e 3/ Courbe représenaive de la foncion f sur R (courbe en cloche) «V» : Uilisaion de la courbe pour le calcul de p(x < a) ou p(x > a) /Uilisaion de la courbe pour le calcul de p(x < a) ou p(x > a) En uilisan les propriéés de la courbe représenaive de f sur R, on peu remarquer que : / a < D'après la figure e en uilisan que l'aire sous la courbe pour < es,5 : Si a < alors p(x < a) =,5 - p([a ; ]) e p(x > a) =,5 + p([a ; ]) / a > De même d'après la figure e en uilisan que l'aire sous la courbe pour > es,5 : Si a > alors p(x < a) =,5 + p([ ; a]) e p(x > a) =,5 - p([ ; a]) 3 Lycée de Fon Romeu SC

4 Eercice X sui une loi normale cenrée réduie. Calculer p(x < -,34) e p(x <,79) p(x < -,34) ) =,5 p([-,34 ; ]) =,5,33 =,3669 p(x <,79) =,5 + p([ ;,79]) =,5 +,4633 =,9633 Eercice 3 X sui une loi normale cenrée réduie. Eprimer p(x > -) ; p(x < -) e p(- < X < ) en foncion de p(x < ) Pour des raisons de symérie p(x > -) ) p(x < ) e p(x < -) ) = p(x > ) = - p(x < ) p(- < X < )= p( X < ) + p( X < - ) = p( X < ) + p( X > ) = p( X < ) + - p( X < ) = p( X < ) + «VI» : Résulas à connaîre / Propriéé Si X sui la loi N ( ; ) Alors pour ou α ] ; [, il eise un unique réel posiif u α el que p (- u α X u α ) = α Démonsraion eigible bac. Soi g la foncion définie sur [ ; + [ par g() = p (- < X < ) g() = p ( < X < ) = g() = car f ( ) d e lim g = lim f ( ) d f d= car l'aire sous la courbe es La foncion f ( ) d es la primiive de f () qui s'annule pour =. Donc g es dérivable e a pour dérivée f(). Or f() > donc g es sricemen croissane sur [ ; + [ D'après le héorème des valeurs inermédiaires appliqué à la foncion g coninue car dérivable e sricemen croissane, ou nombre < k < ici k = α adme un unique anécéden u α par g dans ] ; + [. u α + g ' () + g() En conclusion : Pour ou nombre α de l'inervalle ] ; [, - α es aussi dans l'inervalle ] ; [ e il eise un unique u α dans ]; + [ el que g(u α ) = - α ou p (- u α < X < u α ) = α α Eercice 4 Uiliser la courbe e la calcularice pour déerminer u,7 ; u,5 e u, On cherche u,7 el que p (- u,7 < X < u,7 ) =,7 =,3 Pour des raisons de symérie de la courbe, p (- u,7 < X < u,7 ) = p ( < X < u,7 ) En uilisan que l'aire sous la courbe vau ou que l'aire sous la courbe pour < vau,5 on peu écrire que p ( < X < u,7 ) = p ( X < u,7 ),5 donc p ( < X < u,7 ) =(p ( X < u,7 ),5) = p ( X < u,7 ) On cherche donc u,7 el que p ( X < u,7 ) =,3 ou p ( X < u,7 ) = +,3 ou p ( X < u,7 ) =,3 ou pour finir p ( X < u,7 ) =,65 A la calcularice on rouve u,7,385 4 Lycée de Fon Romeu SC

5 On cherche u,5 el que p (- u,5 < X < u,5 ) =,5 =,95 On procède comme précédemmen e on arrive à p ( X < u,5 ) =,95 ou p ( X < u,5 ) =,95 A la calcularice on rouve u,5,96 On cherche u,5 el que p (- u, < X < u, ) =, =,99 On procède comme précédemmen e on arrive à p ( X < u, ) =,99 ou p ( X < u, ) =,99 A la calcularice on rouve u,,58 / Valeurs à connaîre Pour α =,5 Il eise un unique réel posiif u,5 el que p (- u,5 X u,5 ) =,5 =,95 Pour α =, Il eise un unique réel posiif u, el que p (- u, < X < u, ) =, =,99 C'es à dire : C'es à dire u,5,96 u,,58 p (-,96 X,96),95 p (-,58 < X <,58),99 Environ 95% des valeurs de X se rouven enre Environ 99% des valeurs de X se rouven enre -,96 e,96,58 e,58 Eercice 5 Soi X une variable aléaoire qui sui la loi normale cenrée réduie. Déerminer le réel maimal el que la probabilié p( < X < + ) soi maimale Graphiquemen il s'agi de rouver l'aire maimale sous la courbe sur un inervalle d'ampliude. Il es clair que c'es enre - e donc pour = - Par une éude de foncion : On considère la foncion g() = p( < X < + ) = + π e d =F( + ) F() g a donc pour dérivée f ( + ) f() or f (+) f ( )= π e (+) π e soi f (+) f ( )= π e ( + 4+4) π e = π e (e ) g a donc pour dérivée f() (e ) qui es du signe de e puisque f() >. e > pour e > ou e > e ou - > ou < - La foncion g es croissane pour < - e décroissane pour >-. le maimum es donc aein pour = - 5 Lycée de Fon Romeu SC

6 Eercice 6 Pour k réel, on pose π(k) = p(x < k). Le ableau ci-après donne les valeurs de π () pour de à 3,59 avec un pas de, / Uiliser la able e la courbe représenaive de la foncion de répariion de la loi normale cenrée réduie pour déerminer : p(x < ) ; p(x <,6) ; p(x >,5) p(,5 < X < ) ; p (X > ) (X < 3) / Uiliser la able pour déerminer le réel el que p(x < ) / p(x < ),977 e p(x <,6),9474 En uilisan la symérie de la courbe : p(x >,5) = p(x <,5) =,695,3 En uilisan la courbe : p(,5 < X < ) = p(x < ) - p(x <,5),943,695 donc p(,5 < X < ),498 p (X > ) (X < 3) = p(< X <3) = p( X >) p( X <3) p( X <) p( X <),9987,977,5,977,8,943 / Par lecure du ableau p(x < ),8456 pour, 6 Lycée de Fon Romeu SC

7 «VII» : Théorème de Moivre-Laplace Soi X n une variable aléaoire qui sui une loi binomiale B (n ; p) On a vu dans le chapire «Lois à densié» que que si l'on fiai la valeur de p e que l'on faisai augmener la valeur de n, l' hisogramme représenan la loi de probabilié de X n semblai se rapprocher d'une courbe en cloche (représenée en ver sur les deu schéma ci-dessous.) On remarque que si on change la valeur de p, la courbe en cloche change de caracérisique (haueur e éalemen). On considère la variable aléaoire cenrée réduie Z n = X E X n n = X n associée à X n σ X n σ On s aperçoi que quelle que soi la valeur de p choisie, l' hisogramme représenan la loi de probabilié de Z n se rapproche d'une seule e même courbe en cloche représenée en jaune sur les deu schémas ci-dessous. Cee courbe en cloche es la représenaion graphique de la foncion densié de probabilié f définie sur R par f ()= π e de la loi normale cenrée réduie. Z n = X E X n n = X n σ X n σ es appelée variable aléaoire cenrée réduie associée à X n Ainsi pour de grandes valeurs de n, la loi de probabilié de la variable aléaoire cenrée réduie associée à la loi binomiale B (n ; p) peu êre approchée par la loi normale cenrée réduie N ( ; ). C'es le héorème de Moivre-Laplace énoncé ci-dessous. Théorème (admis) Soi X n la variable aléaoire discrèe qui sui une loi binomiale B (n ; p) Si Z n es la variable cenrée réduie associée à X n, c'es à dire si Z n = X E X n n X n Alors la limie de p(a Z n b) es l'aire sous la courbe enre a e b de la densié de probabilié de la loi normale cenrée réduie N ( ; ) c'es à dire lim n p a Z n b = a b e d Eercice 7 X sui la loi binomiale B ( ;,6). Déerminer après jusificaion une valeur approchée de la probabilié d'avoir enre 5 e 5 succès, d'avoir, plus de 65 succès e d'avoir moins de 55 succès. es une grande valeur de n e on considère la variable aléaoire Z = X 6 d'après le héorème de 4 Moivre-Laplace, Z sui la loi normale cenrée réduie. P(5 < X < 5) = p 35 Z 4 4, p(x > 65) = P(65 < X ) = p(x < 55) = P( X < 55) = 5 p 4 p 6 5 Z 4 4,54 Z 4 4,5 7 Lycée de Fon Romeu SC