Debruitage par seuillage des coefficients d'ondelettes

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1 Dbruitag par suillag ds cofficints d'ondltts Rakotomalala M. A., Rakotomiraho S., Randriamitantsoa A. A. 3 Laboratoir d élécommunication, d Automatiqu, d Signal t d Imags (ASI) Départmnt élécommunication - Ecol Supériur Poltchniqu d Antananarivo Univrsité d Antananarivo BP 500, Ankatso - Antananarivo 0 - Madagascar rakotomamialain@ahoo.fr, rakotomiraho@gmail.com, 3 andriau@hotmail.com Résumé Ds travau sur l un ds applications d la transformé n ondltts dans l domain du traitmnt d imags ont été ffctués n utilisant l suillag ds cofficints d ondltts. C travail contint ds élémnts concrnant ls bass d ondltts t un application d la transformés n ondltts «l débruitag par suillag ds cofficints d ondltts». Ls imags puvnt êtr contaminés par ds bruits d différnts origins durant lur acquisition ou lur transmission, d où la dégradation d lurs qualités. En utilisant l procssus d débruitag par suillag ds cofficints d ondltts par suillag dur ou par suillag dou ds cofficints d ondltts t avc un bon choi du suil t d l ondltt utilisés, on arriv à aprcvoir ds informations dans un imag bruité. Ls msurs utilisés pour évalur la qualité d l imag débruité sont l PSNR (Pak Signal to Nois Ratio) t l indic d similarité structurll SSIM (structural similarit). En débruitant un imag bruité avc un bruit d écart tp σ =300, avc l utilisation du suil vérifiant = σ log ( N ) t l ondltt d Haar, on obtint un PSNR d t d SSIM d Mots-clés Ondltts, ransformé n Ondltts, Suillag, Imag, Débruitag, Similarité Structurll. Abstract Dnoising b thrsholding wavlts cofficints Works on applications of th wavlts transform in th ara of th imag procssing using th thrsholding wavlts cofficints hav bn undrtakn. his work contains lmnts concrning th wavlt transform and a wavlt transform application dnoising b thrsholding wavlts cofficints. Imags can b contaminatd b nois thm of diffrnt origins during thir acquisition or thir transmission, whr th dgradation of thir qualitis. B using th procss of dnoising b thrsholding wavlts cofficints b hard or soft thrsholding and with a good choic of th thrshold and th wavlt usd, on arrivs to s information in an imag noisd. h masurs usd to stimat th qualit of imag dnoisd ar th PSNR (Pak Signal to Nois Ratio) and th SSIM (structural similarit). With using a thrshold chcking = σ log ( N ) and Haar wavlt, dnoising a noisd imag withσ =300, w obtain a PSNR of and a SSIM of Kwords Wavlts, Wavlts transform, hrsholding, Imag and Dnoising, Structural Similarit. 0

2 . Introduction MADA-EI, ISSN , Vol., 00 Partout autour d nous il a toujours d signau qui rquièrnt d'êtr analsés. Ls trmblmnts sismiqus, l discours humain, ls vibrations d motur, ls imags médicals, ls donnés financièrs, la musiqu, t baucoup d autrs tps d signau doivnt êtr traités fficacmnt, comprimés, nttoés n haut, rconstruits, décrits, simplifiés, modélisés, distingués ou situés pour êtr intrprétés[4]. Ls ondltts ont apporté un souffl nouvau dans l domain du traitmnt d signal t du traitmnt d imags dpuis son apparition. Ells prmttnt n fft d'analsr t d rpérr ls discontinuités d'un signal à un ou à du dimnsions, t à ds échlls différnts. Ctt caractéristiqu st utilisé pour l débruitag ds imags. Or l'œil humain a du mal à intrprétr ls imags bruités; d où la nécssité du débruitag ds imags n général. L débruitag d un imag a pour but d nlvr ls bruits provnant d différnts sourcs t aussi d pouvoir trair ls informations jugés prtinnts dans la mêm imag qui dépndnt d l application [4]. Dans l domain d l imagri médical, l débruitag chrch à pouvoir discrnr ls informations utils dans l domain médical comm la form, l contour Par suillag ds cofficints d'ondltts, on put débruitr un imag par élimination ds détails ls plus fins. Ct articl présnt l problèm du débruitag par suillag. Puis ds méthods d détrmination du suil t l'influnc d la bas d'ondltts utilisé sront montrés. Ds résultats obtnus par simulation d débruitag d imag sront présntés n drnièr parti d c mêm articl.. Méthodologi. Princip général du débruitag par suillag ds cofficints d ondltts En général, il st possibl d réalisr un décomposition n ondltts d'un imag puis d rconstruir ctt imag à partir d ss cofficints d'ondltts. Pourtant, ctt tchniqu n'aurait pas grand intérêt si on n modifiait pas cs cofficints car on obtindrait un imag final idntiqu à l'imag initial [][9]. Ls cofficints d'ondltts marqunt ls discontinuités qui intrvinnnt dans l'imag. Ils corrspondnt donc au détails. Si, maintnant, on suill cs cofficints, cla rvint à éliminr ls détails ls plus fins d l'imag. Il n découl donc du grands applications d ctt tchniqu d suillag ds cofficints d'ondltts : la comprssion t l débruitag ds imags [6]. Pour l débruitag (ou "dnoising") qui nous intérss : on n gard qu ls cofficints ls plus grands t on mt ls autrs à zéros puis on rconstruit l imag []. L bruit corrspond n général à ds détails faibls donc il st éliminé par c suillag ds cofficints d'ondltts. Nous obtnons alors un imag plus "liss" donc débruité.. Suillag dans un bas Dans un bas B={g m } 0 m< N, un stimatur diagonal d f à partir d X=f+W s écrit : avc d m : fonction d suillag. X B [m] = N m = 0 ( X [ m] ) F ~ = DX = d g (0) X, g m, W B [m] = g m On suppos qu W st un bruit blanc gaussin d variancσ. m B m W, t F B [m] = F, g m (0)

3 .3 Débruitag d un imag MADA-EI, ISSN , Vol., 00 Ls imags obtnus par ls différnts tchniqus d'acquisition (radar, satllits, scannr, échographi, tc ) sont souvnt très bruités. Nous pouvons formulr cci d'un point d vu mathématiqu n écrivant : X=f+W (03) avc X : l'imag obtnu, f : l'imag d départ t W : l bruit. On chrch alors l'opératur d débruitag D qui prmttra d'stimr l'imag dans l bruit W. Nous aurons dans un bas orthogonal d ondltts B= { gm}, l'prssion : d m s'appll un suillag..3. Différnts tps d suillag N m= 0 ( X [ m] ) DX = d g (04) m B Il ist plusiurs tps d'stimaturs par suillag. Nous pouvons d'abord distingur ls suillag dur t suillag dou..3.. Suillag dur ou "hard thrsholding" L suillag dur st clui qui st l plus "intuitif". On s fi un suil >0. On n consrv qu ls cofficints d'ondltts supériurs à t on mt à zéro ls autrs [][3][4]. d m si > ( ) = ρ ( = (05) 0 si m ) Nous aurons donc l suillag suivant : ρ () - - Figur 0 : Courb du suillag dur

4 L opératur D dans l équation précédnt st alors un projctur non linéair dans la bas B. L risqu d c suillag st : N r t ( f ) = r( D, f ) = E f B [ m] ρ ( X B [ m ] ) = (06) m Suillag dou ou "soft thrsholding" Dans l cas du suillag dur, on mt toujours à zéro ls cofficints infériurs à un suil. Par contr, pour cu supériurs à, on atténu l'amplitud ds cofficints par la valur du suil afin d s'assurr d'avoir nlvr l'fft du bruit mêm pour ls forts cofficints [][3][4]. d m sign ( ) si > ( ) = ρ ( ) = (07) 0 si Dans c cas, la fonction d suillag ρ st continu : ρ () - - Figur 0 : Courb du suillag dou L suil st généralmnt choisi pour êtr avc un probabilité just au dssus du nivau maimum ds cofficints W B [ m] du bruit. La réduction d d l amplitud d tous ls cofficints bruités prmt d s assurr qu ls amplituds ds cofficints stimés sont plus ptits qu clls ds cofficints d origin. Dans un bas d ondltts où ls cofficints d grand amplitud corrspondnt à ds variations transitoirs du signal, cla signifi qu l stimation n consrv qu ds transitions du signal d origin, sans n ajoutr d autrs dus au bruit. L cofficint suillé sra donc plus ptit qu l cofficint du signal. C tp d suillag garantit qu l signal obtnu sra toujours plus régulir qu l signal d départ. Cs tchniqus donnnt ds résultats qui dépndnt ds suils choisis t ds imags qu l'on prnd. En fft, quand on suill ls cofficints d'ondltts pour nlvr l bruit, on prd aussi qulqus caractéristiqus d l imag. 3

5 Il arriv après l débruitag qu : - Ls cofficints gardés continnnt du bruit. - On a supprimé ls ptits cofficints qui définissnt u aussi la singularité. En fft, la mis à zéro ds cofficints f, gm soustrait gm gm f, d f. Cci introduit ds oscillations dès qu f, gm n'st pas négligabl. L'rrur n suillag dou st, n général, plus grand qu'n suillag dur. Il ist donc ds méthods pour tntr d trouvr un suil adapté à chaqu imag t c'st c qu nous allons voir par la suit..4 Choi du suil L suillag, comm nous vnons d l voir, st un tchniqu d'stimation d'un signal ou d'un imag. En général il n'st pas possibl d calculr l'stimatur qui minimis l risqu d'écart au signal, n l rchrchant parmi tous ls stimaturs possibls. Dans un prmir tmps, l choi l plus classiqu était d s limitr au opératurs linéairs. Il a à pin un dizain d'annés, Donoho t Johnston ont fait un prcé fondamntal n montrant qu ds stimaturs par suillag avaint un risqu proch d la born infériur [8]..4. Risqu Un signal f[n] d taill N st contaminé par l addition d un bruit. L bruit st modélisé comm la réalisation d un procssus aléatoir W[n], dont la distribution d probabilité st connu. Ls donnés msurés sont : X[n]=f[n]+W[n] (08) L signal f st stimé n transformant ls donnés bruités X à l aid d un opératur d décision D. L stimatur résultant st : F ~ =DX (09) L risqu d l stimatur F ~ d f st calculé n monn par rapport à la distribution d probabilités du bruit W [3][4]: r(d,f)=e{ f-dx ²} (0).4. héorèm d Donoho-Johnston On fait l'hpothès qu l bruit st un bruit blanc gaussin d varianc σ. Donoho t Johnston ont alors montré qu l risqu induit par un suillag (dur ou dou) sur ls cofficints d'ondltts pouvait êtr ncadré par ds valurs prochs d la born infériur obtnu avc ds stimaturs d'oracl. Notons : N m= 0 r ( f ) = min( f [ m ], σ ) () p b l risqu obtnu avc un stimatur d'oracl (c'st à dir un stimatur construit connaissant l signal rchrché), t r t (f) l risqu obtnu par un suillag d suil. héorèm : [][3][4], N st la taill du signal. 4

6 Soit : = σ log ( N ) (I) l risqu r t (f) d'un suillag dur ou dou vérifi pour tout N supériur ou égal à 4 : [ rp ( ) ] r ( f ) ( log N + ) σ f (3) t + L factur.log (N) st optimal parmi ls stimaturs diagonau dans la bas d'ondltts B. L problèm résid alors dans la détrmination d la varianc σ du bruit. On pourrait égalmnt montrr qu l maimum d l'amplitud du bruit a un très fort probabilité d'êtr just n dssous d = σ log ( N ) c qui pliqu pourquoi l théorèm choisit ctt valur. D'autr part, l fait qu l suil augmnt avc la taill du signal st dû à la distribution gaussinn qui cré ds cofficints d bruits d plus n plus grands lorsqu l nombr d cofficints augmnt. C suil n'st cpndant pas optimal t n pratiqu, on put utilisr ds suils bin plus faibls pour réduir l risqu. Un suillag dou avc c suil produit d'aillurs souvnt un risqu plus grand qu'un suillag dur. Pour obtnir un risqu d mêm ordr pour un suillag dou t un suillag dur, il faut souvnt utilisr un suil du fois plus ptit pour un suillag dou..4.3 Estimation d la varianc du bruit N étant la taill du signal obsrvé X, clui-ci possèd N/ cofficints d'ondltts à l'échll la plus fin l = N -. L cofficint <f, ψ > st faibl lorsqu f st régulièr t donc <X, ψ l, m > <W, ψ l, m >, t élvé si f l, m vari brutalmnt sur l support dψ cofficints rlativmnt au N/ [4]. l, m. Un signal qui st régulir par morcau génèr donc pu d grands A l'échll la plus fin, la composant du signal n'influnc donc qu'un ptit nombr d cofficints <X, ψ l,m > d grand amplitud. Ls autrs sont donc égau à <W, l, m ψ > d variancσ. Un stimatur robust d σ st donc obtnu à partir d la valur médian ds valurs absolus d cs cofficints. Si M st la valur médian d <f, ψ > 0 m < N / alors on put montrr qu E{M}=0,6745σ. On put donc stimr σ par: l, m ~ M σ = (4) 0, 6745 Pour ls imags, on procèd à un évaluation d la médian sur ls trois carrés d l'imag corrspondants au cofficints d'ondltts, puis on n fait la monn avant d'obtnir un stimation d σ par la formul ci-dssus..4.4 Suillag dur ou dou Si l on prnd l suil = σ log ( N ), un suillag dou assur avc un fort probabilité qu : 5

7 ~ ψ = ρ ψ ρ ψ (5) F, j, m X, j, m f, j, m L stimatur F ~ aant ds cofficints d ondltts plus ptits qu cu d f, il st nécssairmnt aussi au moins régulir. Cci n st pas vrai pour l stimatur par suillag dur, qui laiss intact ls cofficints au dssus d, t qui puvnt donc êtr plus grand qu cu du signal à caus d la composant du bruit additif [][3][4][8]. 3. Résultats du débruitag par suillag ds cofficints d ondltts 3. Evaluation d la qualité du dbruitag par PSNR L rapport crêt signal sur bruit, ou PSNR «Pak Signal to Nois Ratio» prmt d stimr la qualité d un imag rconstruit Y par rapport à l original X. Donc au liu d msurr la distorsion, il msur la fidélité du sstèm d traitmnt puisqu'll st proportionnll à la qualité. piqumnt, chaqu pil d un imag monochrom st codé sur 8 bits, soit 56 nivau d gris allant d 0 à 55 d où l PSNR s écrit sous la form : Avc ( 55 ) PSNR = 0Log0 ( db ) (6) MSE M N MSE = ( X( i, j ) Y ( i, j )) (7) MN i= j= X : imag original Y : imag rconstruit MSE : (Man Squar Error) Un imag parfaitmnt rconstruit a un PSNR infini t un rrur quadratiqu monn ou MSE null. 3. Estimation d la qualité d imag par l utilisation d la similarité structurll 3.. Présntation La majorité ds modèls mathématiqus d l'stimation d la qualité prçu proposés sont suivis d'un stratégi d modification du MSE msuré afin qu ls rrurs soint pénalisés conformémnt à lur visibilité. Nous évaluons alors un nouvau paradigm pour l stimation d la qualité ds imags, précisémnt ls imags obtnus après débruitags; basé sur l'hpothès qu l sstèm pscho-visul humain (HVS) st très adapté pour trair ls informations structurlls [5]. Comm un mpl spécifiqu, nous dévloppons un msur d la similarité structurll qui compar ds modèls locau d'intnsités d pils qui ont été normalisés pour la luminanc t l contrast. 3.. Estimation d la Qualité d l Imag Ls signau naturls d l'imag sont très structurés : Lurs pils présntnt d forts dépndancs, surtout quand ils sont spatialmnt très prochs. Cs dépndancs comportnt ds informations importants à propos ds structurs ds objts dans la scèn visull. Bin qu la plupart ds msurs d la qualité sont basés sur la snsibilité d l'rrur t décomposnt ls signau d l'imag n utilisant ds transformations linéairs, lls n'nlèvnt pas ls forts dépndancs. 6

8 La motivation d ctt approch st d trouvr un façon plus dirct pour comparr ls structurs ds signau d référnc t ds signau déformés..3 La nouvll Philosophi La nouvll concption d msur d qualité d l imag st basé sur la supposition qu l sstèm visul humain st très adapté pour trair ls informations structurlls du champ visul. La msur d changmnt ds informations structurlls put fournir un bonn approimation d la distorsion d l'imag prçu. L approch d la snsibilité ds rrurs stim ls rrurs prçus pour quantifir ls dégradations d l'imag [0]. Alors qu la nouvll philosophi considèr ls dégradations d l'imag comm ds changmnts prçus dans ls informations structurlls. Pour un imag bruité, on a prdu ds informations structurlls d l'imag original. Par conséqunt, on doit obtnir un faibl scor d qualité. La nouvll philosophi n prmt pas d prédir la qualité d l imag n accumulant ls rrurs associs avc ds modèls simpls t pscho-phsiqumnt clairs, mais ll propos l évaluation dirct ds changmnts structurlls ntr du signau d structurs compls L indic d la Similarité Structurll ou structural similarit (SSIM) La luminanc d la surfac d'un objt qui st obsrvé st l produit d l'illumination t d la réflion. Mais ls structurs ds objts dans la scèn sont indépndants d l'illumination. Par conséqunt, pour plorr ls informations structurlls dans un imag, nous souhaitons éliminr l'influnc d l'illumination. On défini, donc, ls informations structurlls dans un imag comm cs attributs qui rprésntnt ls structurs ds objts. Puisqu la luminanc t l contrast puvnt varir à travrs un scèn, nous avons utilisé la luminanc t l contrast locau pour notr définition. L diagramm proposé du sstèm d l stimation d la qualité d imag st montré dans la Figur 03. Figur 03 : Diagramm du sstèm d msur d la similarité structurll (SSIM) L sstèm compos la tâch d msur d la similarité n trois comparaisons [0] : Luminanc. Contrast. 7

9 Structur. MADA-EI, ISSN , Vol., La comparaison d la luminanc, st détrminé par l prssion suivant : Avc µ µ + C l(, ) = (8) µ µ + C + intnsité monn du signal : N µ = i N (9) i= C = (K*L)² K << t L st l rang dnamiqu ds valurs ds pils (55 pour un imag à 8 bits). - La fonction d comparaison d contrast prnd la form suivant : σ σ C(, ) = (0) σ + σ + C Avc Écart tp (la racin carré d varianc) du signal original : σ / = ( µ ( ) µ ) () - La fonction d comparaison d structur st défini comm suit : σ + C3 cov(, ) + C3 S(, ) = = () σ σ + C σ σ + C Avc 3 Covarianc du coupl (, ). cov(, ) = µ µ µ (3) Intnsité monn du produit * N i= 3 µ = (4) Donc la combinaison d cs trois comparaisons détrmin l Indic d similarité structurll (SSIM) ntr du signau t (on prnd C3=C/ pour simplifir l prssion) : ( µ µ + C )( σ + C ) SSIM(, ) = (5) ( µ + µ + C )( σ + σ + C ) i i 3..5 chniqu d msur d la qualité d l imag par l utilisation d l indic SSIM Pour l application, on ig un sul msur total d la qualité d tout l imag ; d où un indic SSIM mon (MSSIM) pour évalur la qualité total d l imag st détrminé par : M MSSIM (, ) = SSIM( i, i ) (6) M i= Où X t Y sont rspctivmnt ls imags d référnc t dégradé i t i sont ls contnus ds imags au i - ièms fnêtrs local. 8

10 M : l nombr total d fnêtrs locals dans l imag. Ls valurs du MSSIM posnt un millur consistanc avc l apparnc visull qualitativ. Un imag parfaitmnt rconstruit a un SSIM mon égal à. 3.3 Résultats avc l utilisation d l ondltt d Haar Dans c paragraph, nous présntons ls résultats par simulation sous matlab [7] corrspondant à différnts tps d paramètrs d ntré (ablau 0). Caractéristiqus Entré Entré Entré 3 Entré 4 Entré 5 Imag Zaza.jpg Zaza.jpg Zaza.jpg Zaza.jpg Zaza.jpg Ecart tp du bruit Suil Ondltt Haar Haar Haar Haar Haar Nivau d 4 3 décomposition Entré ablau 0 : Différnts tps d paramètrs d ntré Ct mpl montr l débruitag d un imag bruité par un bruit gaussin d écart tp 0 (Figur 04), l suil =00 st conform à l équation = σ log ( N ) avc N= 5*5 pour ctt imag. L ondltt utilisé pour la décomposition st l ondltt d Haar, nivau d décomposition, l résultat st satisfaisant puisqu l bruit st assz faibl. L PSNR t l SSIM obtnus sont : - Pour un suillag dur, l PSNR st d t l SSIM st d Pour un suillag dou, l PSNR st d t l SSIM st d Figur 04 : Débruitag d l imag bruité par un bruit gaussin d écart tp 0 9

11 Figur 05 : Débruitag d l imag bruité par un bruit blanc d écart tp 40 avc un nivau d décomposition par l ondltt d Haar Figur 06 : Débruitag d l imag bruité par un bruit blanc d écart tp 40 avc un nivau d décomposition 4 par l ondltt d Haar Entré Si l imag st plus bruité avc un nivau d bruit σ =40, on obtint un résultat déjà bon (Figur 05) avc ls mêms paramètrs qu l cas précédnt mais avc un valur d égal à Pour un suillag dur, l PSNR st d 3,4648 t l SSIM st d

12 - Pour un suillag dou, l PSNR st d,7889 t l SSIM st d Entré 3 Si on augmnt l nivau d décomposition, on a l résultat sur la Figur 06. Dans c cas, on obtint un imag plus liss après débruitag illustré sur la Figur 06. L imag dvint plus liss avc c nivau d décomposition parc qu il a filtrag pass bas d l approimation à chaqu nivau d décomposition. On obtint l PSNR t SSIM suivant : - Pour un suillag dur, l PSNR st d 3,09 t l SSIM st d Pour un suillag dou, l PSNR st d,4 t l SSIM st d Entré 4 Si notr imag st fortmnt bruité avc un bruit d écart tp σ =00 on a l résultat suivant (Figur 07): Figur 07: Débruitag d l imag bruité avc un bruit d écart tp00 avc un nivau d décomposition On voit qu on a du mal à idntifir c qu contint l imag bruité avc σ =00. Avc un bon choi du suil, on put obtnir l résultat suivant. l PSNR t SSIM obtnus sont : - Pour un suillag dur, l PSNR st d 8,543 t l SSIM st d Pour un suillag dou, l PSNR st d 8,547 t l SSIM st d Entré 5 On put améliorr l résultat n augmntant l nivau d décomposition, par mpl on augmnt l nivau d décomposition à «3»l résultat st décrit sur la Figur 08.

13 Figur 08 : Débruitag bruité d écart tp 00 avc un nivau d décomposition 3 Si l imag st noé dans un bruit d écart tp σ =300, on n rconnaît pas l contnu d l imag, après débruitag, on a l résultat sur la Figur 09. La valur du suil utilisé st d 500, t l ondltt utilisé pour la décomposition st l ondltt d «Haar» avc un nivau d décomposition «3». L PSNR t SSIM obtnus sont : - Pour un suillag dur, l PSNR st d t l SSIM st d On obtint ls mêms PSNR t SSIM pour l suillag dou. Figur 09 : Débruitag d l imag bruité d écart tp 300

14 En général, ls imags sont portuss d informations. Ls bruits vnant d différnts sourcs ont apporté ds dégradations au nivau d la qualité d un imag, d où on a du mal à appréhndr cs informations. En imagri médical on débruit un imag pour pouvoir trair ds informations utils dans l domain médical comm l contour ou la form par mpl. Pour l débruitag d un imag par suillag ds cofficints d ondltts, l résultat dépnd du choi du tp d suillag, du choi du suil utilisé, du choi d l ondltt utilisé t aussi d l écart tp du bruit. Plus l écart tp du bruit st grand, plus l imag st détruit. Dans un bas d ondltts, un stimatur par suillag fait un lissag du signal bruité. Pour qu ls cofficints d grand amplitud corrspondnt à ds variations du signal, on utilis ds ondltts qui ont ds supports plus grands. Dans la simulation, si on prnd comm ondltt d décomposition l ondltt d «Haar», c st l cas l plus défavorabl, avc un suillag dou ou un suillag dur ds cofficints d ondltts t avc un suil vérifiant = σ log ( N ), on arriv à obtnir ds informations dans un imag bruité par un bruit d écart tp allant jusqu à 300 avc un PSNR d t d SSIM d Variation du PSNR t SSIM mon n fonction du nivau d décomposition 3.4. PSNR, SSIM n fonction du nivau d décomposition 0 Courb obtnu avc suillag dou 8 6 PSNR n db haar db sm bior coif Nivau d décomposition Figur 0 : PSNR n fonction du nivau d décomposition n utilisant différnts ondltts (Haar, db, bior.3, sm3, coif3) t l suillag dou 0 Courb obtnu avc suillag dur 8 6 PSNR n db haar db sm bior coif Nivau d décomposition Figur : PSNR n fonction du nivau d décomposition n utilisant différnts ondltts (Haar, db, bior.3, sm3, coif3) t l suillag dur 3

15 Courb obtnu par suillag dur bior haar db coif sm SSIM Nivau d décomposition Figur : SSIM n fonction du nivau d décomposition n utilisant différnts ondltts (Haar, db, bior.3, sm3, coif3) t l suillag dur Courb obtnu par suillag dou bior haar db coif sm SSIM Nivau d décomposition Figur 3 : SSIM n fonction du nivau d décomposition n utilisant différnts ondltts (Haar, db, bior.3, sm3, coif3) t l suillag dou Ls courbs dans Figur 0 t Figur décrivnt la variation du PSNR n fonction du nivau d décomposition. Ls ondltts utilisés sont issus d différnts famills (Haar,db,bior,sm,coif). Pour ls Figur t Figur 3, ls courbs décrivnt la variation du SSIM mon n fonction du nivau d décomposition n utilisant ds ondltts vnant d différnts famills (Haar,db,bior,sm,coif). D après cs courbs, d un manièr général, l nivau d décomposition «4» prmt d obtnir un PSNR l plus élvé. Pour l SSIM, l nivau d décomposition «4 ou 5» prmt d obtnir l plus grand SSIM mon pour l suillag dur ou pour l suillag dou. 4

16 L nivau d décomposition pour obtnir un PSNR ou un SSIM mon maimal st 4 ou 5 ; cci s pliqu par l fait qu un augmntation du nivau d décomposition corrspond à un lissag d l approimation c'st-à-dir à un filtrag pass bas. Si l nivau d décomposition dépass cs valurs, l imags dbruité dvint trop liss ou flou PSNR, SSIM n fonction du suil utilisé 0 Courb obtnu avc suillag dur PSNR n db 5 0 db haar coif sm bior suil utilisé Figur 4 : PSNR n fonction du suil utilisé n utilisant différnts ondltts (Haar, db, bior.3, sm3, coif3), l suillag dur t l nivau d décomposition 4 0 Courb obtnu avc suillag dou PSNR n db db haar coif sm bior suil utilisé Figur 5 : PSNR n fonction du suil utilisé n utilisant différnts ondltts (Haar, db, bior.3, sm3, coif3), l suillag dou t l nivau d décomposition 4 5

17 0.64 Courb obtnu avc suillag dou SSIM sm coif haar db bior suil utilisé Figur 6 : SSIM n fonction du suil utilisé n utilisant différnts ondltts (Haar, db, bior.3, sm3, coif3), l suillag dou t l nivau d décomposition Courb obtnu avc suillag dur SSIM sm coif haar db bior suil utilisé Figur 7 : SSIM n fonction du suil utilisé n utilisant différnts ondltts (Haar, db, bior.3, sm3, coif3), l suillag dur t l nivau d décomposition 4 Ls Figur 4 t Figur 5 nous donnnt ls courbs du PSNR n fonction du suil utilisé n utilisant différnts ondltts (Haar, db, bior.3, sm3, coif3), l nivau d décomposition st 4, l imag traité st toujours l imag zaza.jpg. Ls Figur 6 t Figur 7 décrivnt l SSIM mon n fonction du suil utilisé n utilisant différnts ondltts aussi (Haar, db, bior.3, sm3, coif3), l nivau d décomposition st 4, l imag traité st toujours l imag zaza.jpg. 6

18 Pour l suillag dur, l SSIM l plus élvé corrspond au suil qui s trouv autour d 000 conform à la rlation = σ log ( N ). Pour l suillag dou l SSIM maimal st obtnu avc un suil légèrmnt plus bas par rapport au suil = σ log ( N ). Pour l suillag dur, l suil utilisé pour obtnir un PSNR l plus élvé s trouv autour d 000 qui vérifi la condition = σ log ( N ). Pour l suillag dou, on utilis un suil approimativmnt du fois plus ptit qu pour l suillag dur pour obtnir l mêm PSNR. Un suillag dou calculé pour = σ log ( N ) produit souvnt un risqu plus grand qu avc un suillag dur. Un suillag dou réduit prsqu à zéro l amplitud ds cofficints just au dssus d ou just au dssous d, alors qu un suillag dur ls laiss tls quls. Pour obtnir un risqu d mêm ordr pour un suillag dou t un suillag dur, il faut souvnt utilisr un suil du fois plus ptit pour un suillag dou c qui pliqu cs résultats. 4. Conclusion Nous avons présnté dans ct articl un ds applications d l anals n ondltts qui st l débruitag par suillag ds cofficints d ondltts. L résultat obtnu dépnd : du tp d suillag utilisé : suillag dur ou suillag dou. du choi du suil utilisé : dans ct articl l suil utilisé vérifi la rlation = σ log ( N ). d la bas d ondltt utilisé lors d la décomposition, si l ondltt d Haar st utilisé, c st l cas l plus défavorabl. 5. Référncs [] A. Cohn, «Ondltts t traitmnt numériqu du signal», Edition Masson, Paris, 99. [] D. L. Donoho & I.M. Johnston, «Idal Dnoising in an orthonormal basis chosn from a librar of bass, Dpartmnt of Statistics», Stanford Univrsit, 994. [3] D. L. Donoho, «D-Noising B Soft-hrsholding», IEEE ransactions on Information hor, 994 [4] S. Mallat, «Un ploration ds signau n ondltts», Editions d l Ecol Poltchniqu, Franc, 000 [5] J. P. Mnu t C. Corb, «Stimulus visul t différnts fonctions visulls», Edition tchniqu Enccl. Md. Chir., ophtamolgi, 99, p6, 99. [6] Y. Misiti, G. Oppnhim, J. M. Poggi, «Ls ondltts t lurs applications», Hrmès, Paris, 003 7

19 [7] Y. Misiti, G. Oppnhim, J.M Poggi, «Wavlt oolbo For Us with MALAB copright» h MathWorks Inc, [8] C. Stin, «Estimation of th man of multivariat normal distribution», Annals of statistics, 9:95-, 994. [9] F. ruchtt, «Ondltts pour l signal numériqu», Edition Hrmès, Paris, 998 [0] Z. Wang, A.C. Bovik, H.R. Sikh, t E.P. Simonclli, «Imag qualit assssmnt : from visibilit to structural similarit», IEEE ransaciations on Imag Procssing, volum 3,