SECTION TRON COMMUN LMD LMD : 1 IÈRE ANNÉE Cours Physique 2 : Electricité et Magnétisme. Electrostatique

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1 FCULTÉ DS SCINCS D L INGÉNIUR SCTION TRON COMMUN LMD LMD : 1 IÈR NNÉ Cous Physique : lecticité et Magnétisme Chapite I lectostatique I Phénomène d'électisation I 1 Intoduction Tous les cops s'électisent, on dispose de plusieus moyens pou le faie: - pa fottement; - pa contact avec un cops déjà électisé; - en eliant le cops à une bone d'un généateu électiques Des expéiences montent que l'on peut ange les cops schématiquement en deux classes: - ceux pou lesquels l'électisation este localisée au point où l'a appote ( pa fottement pa exemple) isolants ou diélectiques xemple: vee, nylon, matièes plastiques 1

2 - ceux pou lesquels l'électisation se épond en tous les points du cops électisé conducteus xemple : métaux, cops humain, tee, eau I Les deux sotes d'électicité xpéience Vee Vee Polystyène Vee mbe mbe Vee Polystyène Polystyène mbe Polystyène mbe Répulsion ttaction Répulsion ttaction Répulsion Répulsion Le compotement de l'mbe est le même que celui du polystyène Nous dions que l'électisation de l'mbe et du polystyène est de même natue On est amené à admette l'existence de deux sotes d'électicité: l'une viteuse ou positive et l'aute ésineuse ou négative Pa ailleus, un cops non électisé est dit neute I 3 Intepétation, stuctue de la matièe Il est admis qu'un atome neute compend: - un noyau constitué de Z potons (de chage +e) et de N neutons (neute électiquement et de même masse que les potons) - Z électons: paticule de chage e et dont la masse est 1836 fois plus faible que celle des nucléons Ils gavitent autou du noyau Conducteus Ils sont constitués d'un éseau igide d'ions positifs: ce sont des atomes ayant pedu un ou plusieus électons La neutalité est assuée pa ces électons qui peuvent cicule plus ou moins libement dans le éseau (électons libes) Losqu'on pélève des électons libes su le conducteu neute (pa fottement pa exemple), un déséquilibe est céé en cet endoit Ce déséquilibe est comblé pa le déplacement

3 d'ensemble des autes électons libes: l'électisation (+) appaaît patout De même, losqu'on appote des électons su un conducteu neute, ils se épatissent su tout le cops qui devient électisé ( ) Isolants Dans un isolant, les électons ne peuvent se déplace d'un atome à un aute: tout déséquilibe de chage este localisé L'électisation n'appaaît qu'à l'endoit où elle a été appotée lectisation pa fottement lle s'explique pa l'aachement mécanique des électons de l'un des cops neute fottés et pa leu tansfet su l'aute Le sens du tansfet dépend de l'affinité électonique elative des deux cops On peut classe les cops dans un ode tel que, losqu'on fotte l'un su l'aute, deux ente deux, celui qui pécède l'aute su la liste s'électise positivement Ces séies sont appelées "séie tiboélectiques" xemples: Poil de Lapin, Vee, Mica, Poil de Chat, Soie, ois, mbe, Résine, Soufe, bonite, Celluloid On voit pa exemple que, fotte su la Laine ou de la Soie, le Vee s'électise positivement, l'bonite négativement II Loi de Coulomb dans le vide Soient deux chage ponctuelles q et q' sépaées pa une distance Coulomb, pa analogie avec la loi d'attaction univeselle, a poposé: = 1 q q' q q' u = K u F q ' q 4πε 0 u q q F qq' F q ' q avec K 1 9 = = 9 10 N mc 4πε 0 On peut en tie désomais une définition du coulomb: C'est la chage d'un point électisé qui, placé à un mète d'une chage identique, subit de sa pat une foce de Nécessité d'utilise des sous multiples du coulomb mico C ( 1µC = 10 6 C ); nano C ( 1nC = 10 9 C ) ; pico C ( 1pC = 10 1 C ) 3

4 III Odes de Gandeu des foces électostatiques u niveau micoscopique - nvisageons le cas d'un poton et d'un électon qui dans un atome d'hydogène s'attient selon une foce coulombienne: Q= 1, C, = m=0,5 Å alos F=10 7 N - Compaons avec la foce d'attaction gavitationnelle qui s'exece ente ces deux paticules me M p F = k, k= , m e = Kg, M p =1850 m e alos F= N - Considéons enfin le poids de ces paticules (c a d la foce de gavitation que la tee exece su elles lecton: m e g= N; Poton : M p g= N De ces exemples, on peut immédiatement conclue que dans les poblèmes d'inteaction ente paticules, on poua systématiquement néglige leu poids et leu inteaction gavitationnelle, ceci au mois en pemièe appoximation 4

5 FCULTÉ DS SCINCS D L INGÉNIUR SCTION TRON COMMUN LMD LMD : 1 IÈR NNÉ Cous Physique : lecticité et Magnétisme Chapite e II Champ et Potentiel lectique I Rappel su le champ et potentiel gavitationnel Champ Il est bien établi qu'une masse m, située à une distance du cente de la tee, est soumise à une foce coespondant à son poids Cette foce est donnée pa: M m P = k u (k= SI) Il est possible aussi, d'écie cette même foce, sous la fome: P = m g u P m n intoduisantt le vecteu champ de gavitation g M 5

6 donné pa: M = k g u Ce vecteu décit l'état gavitationnel de chaque point de l'espace indépendamment de la masse m qui peut y ête placée u g S M Potentiel Une masse m, située en un point S dans le champ de pesanteu teeste, possède une énegie potentielle p Une foce déive d'un potentiel si le tavail w de cette foce est indépendant du chemin suivi w F = F dl = p ( x, y, z ) p ( x, y, z ) C'est le cas du poids d'un cops P L'énegie potentielle gavitationnelle P se calcule pa : d P = dw = P dl Mm Mm = k u dl = k d Mm = k + cte que l'on peut l'écie p = mu M avec U = k + cte' ( potentiel) La elation ente g et U est donnée pa: du = g dl ou encoe g du = dl c'est à die g = gadu II Champ et Potentiel céés pa des chages électiques II1 Chage ponctuelle unique Considéons une chage ponctuelle Q immobile, dans son voisinage, toute chage q subit une foce : 6

7 Q q F = k u ( loi de Coulomb) Les chages peuvent ête positives ou négatives Deux chages positives (ou négatives) se epoussent, deux masses s'attient, ce qui explique la difféence de signe pa appot à la loi de Newton Comme dans le cas du phénomène de gavitation, nous pouvons pa similitude défini les gandeus suivantes: Foce électique: Q q = k u F F = q F F q + q - q + q - F Q>0 Q>0 Q<0 Q<0 F Champ électique, Potentiel électique: F q + V> 0 p > 0 F q - V> 0 p < 0 F q + V< 0 < 0 p q - F V< 0 p > 0 Q>0 Q>0 Q<0 Q<0 Q = k u F = q Q V = k + cte qv p = Remaque Q Le vecteu champ électique = k u est défini comme la foce agissant su la chage unité placée en un point 7

8 Q Le potentiel électique V = k + cte est défini comme l'énegie d'une chage unité placée en un point II Cas de deux chages ponctuelles (Pincipe de supeposition) Considéons le cas de deux chages ponctuelles fixes q 1 et q agissant su une toisième chage q L'action conjuguée de q 1 et q su q est la somme des actions de q 1 et q agissant sépaément F = F + F 1 q1 q = k u = q( + ) = q q q + k u Le champ céé en un point M pa deux chages ponctuelles est la somme des deux champs 1 et céés pa chacune des chages q 1 et q q (-) q 1 (+) q (-) q 1 (+) u 1 u F F q(+) Composition des foces M Composition des champs F 1 1 Le potentiel en M se calcule en additionnant les potentiels céés en ce point pa chacune des chages q 1 et q : V=V 1 + V Une chage q placée en M possède une énegie potentielle p =qv=q(v 1 + V ) II3 Généalisation Cas de n chages ponctuelles q 1, q, q 3, q n n qi Le champ se calcule pa : = k u i i= 1 i Le potentiel est donné pa : V n q = k i=1 i i + cte Cas d'une distibution continue de chages épaties en suface ou en folume cas d'une suface si dq σ = i ds (densité supeficielle de chage), alos: 8

9 ds = k σ u V S k = σ S i i ds cas d'un volume i + c dq si ρ = i dv dv = k ρ u v (densité volumique de chage), alos: i i V dv = k ρ + cte v i II4 Passage du champ au potentiel et du potentiel au champ chaque point de l'espace M(x, y, z) sont associés deux fonctions, l'une vectoielle et l'aute scalaie, qui pemettent de décie l'espace électique: Le champ = ( x, y, z) ; le potentiel V = V ( x, y, z) On sait que: dv = dl = x dx + y dy + z dz cela pemet de calcule V à pati du champ dv V = x V dx + y V dy + z dz Pa identification: x V V =, y =, x y z V = z On écit sépaément: = gad V II5 xemple de calcul de champ et de potentiel électique Champ et potentiel céé ciconféence unifomément électisé Soit une chage q unifomément épatie, avec une densité linéiqueλ, su une ciconféence de cente O et de ayon a Un élément dl de ciconféence 9

10 d = kdq = k λ dl x + y y en aison de la symétie su oy le champ total céé pa la ciconféence d d y et y = d y = = d cosθ cosθ = y ( x + y ) 1/ O a dl x = πa k λ y dl k y λ πa = ( a + y ) 3 / 0 ( a + y ) 3 / on sait que q = λ π a alos, = k q y ( a + y ) 3 / V V V = gad V = i + j + k x y z ou = y, une seule composante y dv = = dy V = dv = dy k a y y = dy = k a + dy 3 / 3 / ( a y ) ( a + y ) V k q V = + cte 1/ ( a + y ) Champ et potentiel céé pa un disque ciculaie unifomément électisé Champ Un élément de suface ds, centé en P, pote chage: dq = σ ds d y d Cet élément de suface céé au point M, situé su l'axe, M Un champ d donné pa: 1 d = 4πε 0 σ ds Ce champ est poté pa PM, mais le champ total, P α O R pa aison de symétie, est poté pa Oy n conséquence: 10

11 y = d = d cosα Soit une couonne ciculaie compise ente les cecles de ayon x et x+dx et potant la chage: dq = σ π x dx d y d Cette chage constitue un champ: M d d y y σ π x dx = k cosα = σ y = ε 0 x dx ( x + y ) 3 / 1 4πε 0 σ π x dx y α dx x O On obtient, en sommant d y pou toutes les valeus de x compises ente O et R = R x= R σ y x dx σ y = = ( + ) = 1/ σ y x y 1 ε ( + ) 3 / 0 0 x y ε 0 ε x= 0 0 y R d y 0 Cas paticulie ( ) 1/ R + σ Si le point M est au cente du cecle: = ε 0 Si R, le disque devient un plan de dimension infinie et quelque soit la position de M, le champ et constant : = σ ε 0 Potentiel La couonne cée en M un potentiel : C'est à die : x= R V = k x= 0 σ π x dx ( x + y ) dq dv = k σ = ε Il est possible d'en déduie le champ pa: x= R [( x + y ) ] 1/ σ x= 0 = ( R + y ) 1/ 0 dv σ ( ) y = = 1 1/ dy ε 0 R + y ε 0 [ y ] 1/ 11

12 III Dipôle électique III1 Définition Il est constitué pa l'aangement de deux chages ponctuelles égales de signes difféents Le moment électique dipolaie est défini pa: p p = q a a -q +q Cette étude paticulièe est justifiée, ca on enconte ce cas de figue dans cetaines molécules (x: HCl, H O, CO, etc ) + - H Cl p + - C p O Moment dipolaie de cetaines molécules polaies Molécule - O + H H + p (Cm) HCl 3, H, HI 1, CO 0, H O 6, H S 5, SO 5, NH 3 5, C H 5 OH 3, p 1 p p = p 1 + p 1

13 III Potentiel et Champ céés pa un dipôle à gande distance Le potentiel au point M dû au dipôle s'écit: M q q 1 V = k = kq 1 1 Si la distance est gande pa appot à a, 1 on peut écie: cosθ et 1 a 1 et l'on aua: -q a cosθ cosθ cosθ V = kq = k qa = k p ( p = qa) - 1 a θ +q Le champ est donné pa: dv = dl On fea les calculs en coodonnées polaies pende en considéation que le gadient d'une fonction f s'expime pa: n coodonnées catésiennes: f f f gad f = i + j + k x y z M n coodonnées polaies: gad f Il vient θ f e 1 f + e θ = θ dl = d dl dl θ = dθ f + k z θ -q +q dv = dl dv = ( d + θ dθ ) V V dv = d + dθ θ 13

14 Pa identification, on aua: θ V = V 1 V = θ Positions paticulièes: M 1 cosθ = k p = θ V = k p cosθ = 3 1 V k psinθ = = 3 θ k p ( θ π ) 3 θ = = -q +q M k p = = ( θ = 0) 3 IV Flux du champ électique: Théoème de Gauss IV1 Repésentation d'une suface On décompose (S) en élément ds tès petits; chaque élément ds est epésenté pa un vecteu ds : appliqué su ds de gandeu ds diigé selon la nomale au plan ds ds S ds' su une diection abitaie qui sea consevée pou tous les éléments de S insi : S = ds IV ngle solide ngle dans le plan ab : longueu de l'ac ab a' b' α = = est indépendant de ' au maximum : [ α ] = adian : ad π α = = π O a b a' ' b' 14

15 ngle solide Pa analogie avec ce qui pécède, on définit l'angle solide Ω comme ayant pou mesue la suface S intepétée su la sphèe de ayon unité [ Ω ] = stéadian: st S u S cosα Ω = = Pou une suface d'oientation nomale: S Ω = ( α = 0) Cette définition conduit au ésultat suivant : u α S S 4π pou tout l'espace : Ω = = = 4π st Une calotte sphéique de cente O de ayon a une suface telle que : Ω Si l angle solide est petit : Ω Soit une suface s appuyant, autou de M, su le même angle solide Ω, et dont le plan fait un angle θ avec celui de ds, on a θ Ω θ IV 3 Flux du vecteu champ électostatique ds ds ' S On appelle flux de à taves ds, élément de S, la quantité scalaie positive ou négative : Φ ds Le flux total de à taves S est l intégale su toute la suface : Remaque Φ dφ ds Dans le cas généal, vaie d une suface élémentaie à l aute 15

16 IV 4 Théoème de Gauss Le flux du champ électique à taves une suface femée entouant des chages q i est : ds : epésente la somme algébique des chages intéieues IV pplications xecice 01 Calcule le champ électique céé pa une chage ponctuelle q en un point distant de pa appot à celle ci xecice 0 tudie le champ électique céé pa une chage distibuée unifomément su un plan infini σ est la densité supeficielle de cette chage xecice 03 tudie le champ électique céé pa une distibution sphéique de chages On penda en considéation le cas d une sphèe de ayon a et de chage totale Q la distibution de chage est soit supeficielle (σ=cte) ou volumique (ρ=cte) xecice 04 On définit tois sphèes concentiques de ayons «a», «b» et «c», tels que a<b<c La sphèe de ayon «a» est chagée en suface avec une épatition sufacique constante «σ» Le volume compis ente les sphèes de ayons «b» et «c» est chagé en volume avec une épatition volumique constante «ρ» 1 Calcule le champ électique céé en tout point de l espace en fonction du ayon ( vaiant de 0 à l infini) Tace l allue de en fonction de Rq : on penda 3σ a ρ = pou tout l execice 3 b ρ c b a 0 σ 16

17 FCULTÉ DS SCINCS D L INGÉNIUR SCTION TRON COMMUN LMD LMD : 1 IÈR NNÉ Cous Physique : lecticité et Magnétisme C Chapite III Conducteus électiques I Conducteus en équilibe électostatique I1 Définition Un conducteu est un cops à l intéieu duquel les chages libes peuvent se déplace Un conducteu est dit en équilibe électostatique si toutes ses chages sont immobiles ; c'est à die que les chages intéieues ne sont soumises à aucune foce I Popiétés des conducteus en équilibe a Le champ électique est nul à l intéieu d un conducteu en équilibe Si n était pas nul, chaque chage libe seait soumise à une foce, et se déplaceait : le conducteu ne seait plus en équilibe 17

18 Pou la même aison, le champ à la suface du conducteu doit ête pependiculaie à cette suface, ca s il y avait une composante paallèle, les chages libes migeaient su la suface du conducteu b Le conducteu en équilibe constitue un volume équipotentiel n effet, la difféence de potentiel (ddp) ente deux points quelconques M et M est définie pa, o =0 pou un conducteu en équilibe V=cte Comme le potentiel est le même en tous les points du conducteu, la suface extene est une suface équipotentielle On etouve bien que le champ est nomal à cette suface c La chage est nulle en toute égion intene au conducteu La chage est localisée en suface Le champ est nul en tout point M intéieu au conducteu, le flux Φ est donc nul à taves toute suface femée intéieue au conducteu et entouant M D apès le théoème de Gauss, la chage intéieue à cette suface est nulle Les chages se épatissent donc uniquement su la suface du conducteu (en éalité une suface occupant une épaisseu de quelques couches d atomes) Remaque Les mêmes ésultats sont encoe valables pou un conducteu ceux Le champ est nul dans le conducteu et la cavité qui constitue un même volume équipotentiel Les chages sont localisées à la suface extene du conducteu σ =0 V=k =0 V=k σ=0 d Relation ente le champ au voisinage immédiat d un conducteu et la chage électique supeficielle Le flux électique se compose de 3 temes : Flux à taves la suface latéale (nul) ( ) Flux à taves la base intéieue (nul) (=0) 18

19 =0 Conducteu Seule subsiste le flux à taves la base extéieue : Φ Pa ailleus, si σ est la densité supeficielle de chage, la chage contenue dans le cylinde est : n appliquant le théoème de Gauss : σ 0 Intéieu 0 xtéieu e Pession électostatique Couche supeficielle Les chages à la suface d un conducteu sont soumises à des foces épulsives de la pat des autes chages La foce execée pa unité de suface, ou pession électostatique, peut se calcule en multipliant le champ électique moyen su la suface du conducteu pa la chage pa unité de suface Le champ électique moyen est d apès ce qui pécède : La pession électostatique vaut : I 3 Capacité pope d un condensateu seul dans l espace Su un conducteu isolé dans l espace, déposons une chage q : il en ésulte en tout point de l espace une chage q =αq, on aua en tout point de l espace, un champ α, puisque et q sont popotionnels et ceci est vai en paticulie su le conducteu dont le potentiel est V On écit ceci sous la fome : 19

20 Q=C V La constante de popotionnalité C est appelée capacité pope du condecteu isolé : =Faad Le faad est une unité tès gande, on utilise des sous multiples : xemple le micofaad : 10 6 F (µf) le nanofaad : 10 9 F (nf) le picofaad : 10 1 F (pf) Calcul de la capacité pope d un conducteu sphéique Soit une sphèe de ayon R n un point quelconque situé à une distance du cente, le potentiel est donné pa : Su la suface de la sphèe (=R), Ode de gandeu πε La capacité de la tee (R=6400Km) est c=710 µ F d où 4πε Une sphèe de 10 cm de ayon, potée à un potentiel de 1000 V pa appot au sol, emmagasine une chage de 10 nc (sa capacité étant de 10 pf) I4 negie intene d un conducteu chagé seul dans l espace Soit C la capacité pope du condensateu, Q sa chage et V son potentiel dans un état d équilibe donné L énegie intene est mesuée pa le tavail qu il faut founi pou chage le conducteu Ou bien pa le tavail des foces électostatiques mis en jeu au cous de la déchage du conducteu Ou encoe, elle epésente la somme des vaiations d énegie potentielle subies pa toutes les chages au cous de la chage du conducteu Patant de l énegie potentielle élémentaie donnée ; Il s ensuit donc que : (Cette énegie est positive >0) 0

21 II Condensateus Un condensateu de capacité C est maintenu à un potentiel constant V (V>0 pa exemple) Il pote, donc, une chage Q, telle que Q=C v V ppochons de un conducteu maintenu à un potentiel constant (0 pa exemple) influence su le quel appaaissent des chages négatives Ces chages <0 influencent à leus tou le conducteu su lequel de nouvelles chages >0 appaaissent b a Il n y a pas eu, popement palé, céations de chages su, c est le généateu qui en a assué le tanspot insi, à l équilibe, du fait de la pésence de, le conducteu pote plus de chage que losqu il était seul Il y a eu condensation de l électicité su et sa capacité a augmenté On obtient donc un condensateu (fomé des condensateus et ), epésenté schématiquement pa : b a n patique, on éalise un condensateu en utilisant conducteus en influence totale Les chages Q a et Q b sont égales et de signe contaie chage du condensateu () () Q - Q + Si V est la difféence de potentiel ente et, on peut monte que Q=C V (Capacité du condensateu) 1

22 II 1 Calcul de la capacité d un condensateu Méthode Calcule le champ en tout point intéieu au condensateu Déduie, pa ciculation du champ, la difféence de potentiel ente les condensateus ffectue le appot xemples a Condensateu plan Il est constitué théoiquement de deux conducteus dont les faces en egad sont des plans paallèles indéfinis en influence total n patique, il suffia que l épaisseu e, soit petite pa appot à la dimension des plaques σ ε (théoème de Gauss, suface ) σ σ ε ε e 0 x b Condensateu cylindique Il est composé de deux cylindes coaxiaux, ayons R 1 et R avec R >R 1 est la suface de gauss, est un cylinde de ayon avec R 1 <<R Théoème de gauss : φ R R 1 φ φ φ, φ : flux dans la suface de base φ : flux dans la suface latéale L φ φ Suface de gauss : V

23 La capacité est donnée pa D aute pat, on sait que R R 1 =e, puisque e est tès faible, on peut admette que R R 1 =R Il vient : = 1 tant donné que 1 et 1, S= : la suface de l amatue, il vient Remaque Deux conducteus en influence (condensateu) ont une capacité plus gande qu un conducteu de suface équivalente L exemple suivant pouve cette affimation : Cas a Cas b b q b Q + Q - b V V a Cas (a) Une sphèe de ayon b, potée à un potenetiel V pa appot au sol, pote une chage : 4 4 3

24 Cas (b) Condensateu sphéique ( b<< a ) V, pis identique au cas (a), est donné pa : insi, avec un même généateu de tension, la chage Q emmagasinée su le condensateu est supéieu à celle de la sphèe seule et ceci d autant plus que les conducteus et sont plus appochés II3 negie électique d un condensateu lle se calcule de la même manièe que dans le cas des conducteus II4 ssociations de condensateus II41 ssociation en paallèle Tous les condensateus sont soumis à la même ddp :V, ils potent alos les chages Q 1 =C 1 V, Q =C V, Q n =C n V =, tout se passe comme si on avait un seul condensateu de capacité é V a V a et qui emmagasineait une chage é C 1 C C n C éq Q 1 Q Q n II41 ssociation en séie Il appaait su chaque condensateu une chage Q et pa suite, on peut écie Q=C 1 V 1 V 1 =Q/C 1 Q=C V V =Q/C V b V b 4

25 Q + Q - Q + Q - Q + Q + Q - Q=C n V n V n =Q/C n V= V 1 + V + V n = Q (1/ C 1 +1/ C + 1/ C n ) = Q/C éq C 1 C C 3 V C n t pa suite : é Q + Q - C éq V III pplication xecice Un condensateu plan a des amatues de suface «S» et distance «e» On applique ente les deux plaques une difféence de potentiel V 0 =500 V en intecalant ente les deux plaques une lame d un diélectique de pemittivité ε, la ddp passe à V 1 =100 V 1 Calcule la capacité du condensateu apès intoduction du diélectique puis en déduie la valeu de ε Détemine la chage q i induite su chacune des faces du diélectique On donne : S=400 cm et e=5 mm 5

26 FCULTÉ DS SCINCS D L INGÉNIUR SCTION TRON COMMUN LMD LMD : 1 IÈR NNÉ Cous Physique : lecticité et Magnétisme C Chapite IV lectocinétique, conduction électique I Intoductionn au couant électique I1 Ruptue d un équilibe électostatique, couant électique Soient deux conducteus et en équilibe électostatique Soient V a et V b leus potentiels (V a >V b ) Q a et Q b leus chages Si on elie les conducteus et à l aide d un fil conducteu, l ensemble, et le fil constitue un conducteu unique, pou lequel l état pécédent n est plus en état d équilibe V a Déplacement des chages V b 6

27 Sous l influence du champ électostatique qui ègne dans le fil, les chages se mettent en mouvement Il y a donc appaition d un couant électique qui cesse de cicule (s annule) une fois l équilibe est atteint I Obtention d un égime pemanent Pou enteteni ce mouvement des chages, on appote continuellement des chages su l un des conducteus, ceci est possible gâce à l emploi de généateu + G I3 popiétés pincipales du couant électique Le passage du couant électique se taduit pincipalement pa les effets physiques suivants ffet joule (Chaleu) ffet chimique (lectolyse) ffet Magnétique (Déviation d une aiguille aimentée) etc La plupat de ces effets dépendent de la manièe dont on a banché le généateu ca le couant électique a un sens Sens conventionnel du couant électique Le sens conventionnel du couant + ves à l extéieu du généateu ves + à l intéieu du généateu II Vecteu densité de couant II 1 Définitions On appelle ligne de couant, la tajectoie oientée des chages positives en mouvement (fictif en généal) On appelle tube de couant, l ensemble de ces lignes s appuyant su un contou femé quelconque 7

28 n chaque point M d un milieu où se déplacent des chages électiques, on peut intoduie un vecteu (appelé vecteu densité de couant) défini pa : ρ : vitesse de déplacement des chages ρ : densité volumique de chage Ligne ds II Intensité du couant électique On considèe un tube de couant, de section doite ds, à taves laquelle cicule un couant électique de vecteu densité de couant ρ On peut évalue la chage dq qui tavese la suface ds pendant le temps dt ρ Si l on considèe maintenant une suface donné S, la chage dq qui la tavese pendant l intevalle de temps dt s obtient pa : I : est l intensité du couant à taves la suface S III Loi d Ohm, Loi de Joule III 1 xpession de la loi d Ohm La loi d Ohm s expime de la façon suivante : γ (ou encoe V=R I) : Densité de couant ; : Champ électique ; Tube γ : Conductivité γ : ésistivité (notée souvent ρ) Calcul de la ésistance d un conducteu : exemple d un conducteu cylindique homogène V dv γ Patant de la loi d Ohm, on peut écie : γ γ γ γ L S 8

29 γ ou encoe ρ (V=RI) d où ρ =Ohm (Ω) III ssociation des ésistances ssociation en séie I R 1 R R 3 R n ssociation en paallèle é é V O,, é 1 é 1 I 1 I I n R 1 R Rn V IV Loi de Joule negie w=r I t (Joule) Puissance P=R I =V I= V /R (Watt) V Cicuits électiques Un cicuit électique est constitué pincipalement pa une association séie ou paallèle de composants suivants : Composants passifs : (ésistances, bobines, condensateus, etc ) Composants actifs : (diodes, cicuits intégés, etc ) Des foces électomotices fem (ou généateus continus ou altenatifs) Des foces conte électomotices fcem (moteus, etc) 9

30 V1 Foce électomotice et généateu C est un dispositif capable de délive un couant dans le cicuit extéieu sous une tension généalement continue In existe plusieus types de généateu : Généateu électostatique Généateu électochimique (pile) Quelque soit le type de généateu, il pésente à ses bones une fem ou ddp qui s expime en volt Schéma équivalent d une pile On peut epésente un généateu pa un cicuit équivalent constitué d une fem en séie avec une ésistance, appelée ésistance intene du généateu : fem : ésistance intene + - Losqu on banche aux bones du généateu une ésistance R, il débitea un couant I I R ssociation des généateus 1 3 n 1 3 n et V foce conte électomotice d un écepteu Les écepteus sont des appaeils qui ont pou but de tansfome l énegie électique en une aute fome d énegie (moteu, accumulateu en chage ) On ne peut éalise cette opéation sans pete d énegie pa effet joule dans le écepteu de ésistance + I - e e : fcem 30

31 V3 Loi d Ohm appliquée à un cicuit femé Soit un cicuit femé compenant des généateus, des écepteus et des ésistances On peut écie, selon le contou femé du cicuit : 0 V4 pplication de la loi d Ohm à une potion de cicuit Un cicuit femé (ou une banche de cicuit) est pacouu pa un couant I considéons une potion de cicuit pacouue pa le couant I de ves si compote un généateu et une ésistance, une ddp existe ente et Généateu I I V -V = - V -V = Résistance R I V -V = R I Récepteu pa de fcem «e» e V -V = e V5 Généalisation de la loi d Ohm : Loi de KIRCHOFF Définitions : considéons un éseau constitué de généateus, de écepteus et de ésistances motes On appelle Nœud tout point où aboutissent plus de deux conducteus eliant les éléments ente eux ; 31

32 On appelle anche, l ensemble des éléments situés ente deux nœuds consécutifs ; On appelle Maille, tout contou femé, fomé d une suite de banches Lois de Kichoff Loi des Nœuds : 0 Loi des Mailles : 0 V6 pplication à un éseau (mise en équation) On définit abitaiement un sens pou les couants dans chaque banche du éseau Puis on écit les lois des mailles et loi des nœuds Loi des mailles (exemple) = = R 1 I I 3 I 1 I 4 R 4 Loi des nœuds (exemple) C 3 D 0 I 1 I Règles Loi des mailles On définit un sens abitaie des couants On définit un sens abitaie des pacous I 3 Pou les fem, on attibue le signe pa lequel on ente Pou les chutes de tension RI, on attibue un signe + si le sens de pacous coïncide avec le sens des couants, un signe si le sens de pacous est difféent du sens du couant 0 0 Identique à celle touvée aupaavant C R 1 I I 3 3 I 1 I 4 R 4 D 3

33 Loi des Nœuds On choisit comme signe + pou les couants entant, on choisit comme signe pou les couants sotant pplication des lois de Kichoff On se popose de calcule la gandeu et le sens du couant i g dans le galvanomète G, de ésistance R g, pou des valeus données de 1,, R 1, R et R g du cicuit suivant : 1 maille (1) i 1 i i 1 C C i g R R 1 maille () C R g Loi des nœuds C maille (3) Nœud () : 0 Loi des mailles Maille (1) : 0 Maille () : 0 Maille (3) : 0 On obtient alos le système d équations, suivant, à ésoude : (1) 0 () (3) (1) ()

34 Il vient : Si le numéateu s avèe positif, le couant dans le galvanomète a pou sens celui choisi abitaiement, dans le cas contaie, il cicule en sens invese VI Théoèmes généaux dans l analyse des cicuits VI1 Théoème de supeposition Une souce quelconque d énegie peut ête considéée sépaément des autes quant à son effet su les gandeus en jeu dans le cicuit La combinaison de tous les effets individuels donne l effet total La mache à suive compend six opéations 1 choisi une souce d énegie etie toutes les autes souces selon la ègle : a les souces de tension sont cout cicuitées b les souces de couant sont ouvetes 3 gade dans le cicuit les ésistances intenes des souces enlevées 4 détemine le couant dans chaque élément, ou la tension ente les bones de chacun d eux Indique les diections et les polaités 5 épéte les opéations de 1 à 4 pou chaque souce 6 additionne algébiquement les ésultats patiels xemple Quels sont les couants dans le cicuit suivant : 1 =10V et =0V R 1 =1, KΩ, R =1,8 KΩ et R 3 =,7 KΩ Solution I 1 R 1 R I 1 Choisi une souce 1 et éteinde la souce, cela coespond au cicuit suivant : I 3 R 3 I 1 R 1 R I 1 I 3 R 3 34

35 ,,,,, 4,386 4,386 10,,,,63 4,386,63 1,754 Choisi la souce et epende le cicuit avec 1 éteinte, cela coespond au cicuit suivant : I 1 R 1 R I I 3 R 3 Calcul des couants dus à,,,,, 7,60 7,60 10,,, 5,63 7,60 5,63,339 Le couant, du aux deux souces ( 1 et ), sea : 4,386 5,63 9,649,63 7,60 10,3,339 1,754 0,585 VI Théoème de Thévenin Le théoème de Thévenin établit que le couant dans toute ésistance R banchée ente les deux bones d un éseau est le même que si R était banchée à une souce de tension où : 1 la fem est la tension à vide ente les bones de R la ésistance intene est la ésistance du éseau ente les bones de R, avec toutes les autes souces emplacées pa des ésistances égales à leus ésistances intenes Cicuit équivalent de thévenin R th Résistance de thévenin Réseau avec généateus et ésistances R th R Généateu de thévenin 35

36 xemple pplique le théoème de thévenin au cicuit suivant R 1 R Détemination de th 1 R 3 R L 1 débanche R L Détemine la tension ente et R 1 R Détemination de R th R 3 1 th 1 débanche R L teinde la souce 3 Détemine la ésistance ente les deux bones et R 1 R R 3 R th Le cicuit équivalent de thevenin appaait comme suit : R th I L VI3 Théoème de Noton th R L Réseau avec généateus et ésistances G I N G N G 36

37 Le cicuit de Noton est tel que : I : couant de noton, est le couant du cout cicuit ente les bones, couant équivalent ente si ces points étaient eliés pa un conducteu pafait G : conductance de noton, est la conductance ente les bones et avec ces bones ouvetes (élément G débanché), toutes les souces étant éteinte xemple Donne le cicuit équivalent de Noton du cicuit suivant : G 3 I G G L (chage) G 1 a Couant de Noton I N Pou obteni ce couant, on pocède de la façon suivante Cout cicuite G L Détemine le couant dans cout cicuit G 3 G 3 I G 1 G I G 1 I N b Conductance de Noton Pou obteni la conductance de Noton G N, on suit les étapes suivantes : Débanche G L ente et teinde la souce I Détemine la conductance ente les bones et G 3 G 1 G G N 37

38 Le cicuit équivalent de Noton est donné pa : I N G N G L VI4 Tansfomations T π, toile Tiangle a Réseau en T, π (étoile, tiangle) Réseau en T 3 Réseau en étoile ou en Y Réseau en π 3 Réseau en tiangle ou en b quivalence 1 R 1 R R C R R R 3 3 C 38

39 Les conditions d équivalence sont : Résistance ente 1 et = Résistance ente et Résistance ente et 3 = Résistance ente et C Résistance ente 3 et 1 = Résistance ente C et On obtient : (1) () (3) c Tansfomation en de π en T n faisant (1) + () + (3), on aua : (4) (4) () (5) (4) (3) (6) (4) (1) (7) d Tansfomation en de T en π pati des elations (5), (6) et (7) on peut avoi, xemples a Tansfome le éseau en π en éseau en T R C =18 kω R 1 R R =1 kω R =56 kω R 3 39

40 b Tansfome le éseau en T en son équivalent en π R 1 =33Ω R=47Ω R C R=68Ω R R VII Chage et déchage d un condensateu R C 1 VIII 1 Chage d un condensateu Initialement, on suppose que la ddp aux bones du condensateu est nulle de même que sa chage t=0, on feme l inteupteu (position 1) i R i C V C ppliquons au cicuit la loi d ohm à un instant quelconque : =R i + V C vec Donc 40

41 C est une équation difféentielle du pemie ode à vaiables sépaées qu on peut ésoude en tenant compte des conditions initiales : t=0 q= 0 t= solution : Il vient Donc q=q 0 =C O à t=0, q=0 ln 1 ln ln ln ln 1 q Q 0 =C τ τ = RC : constante de temps t Coube de la chage du condensateu 41

42 VII Déchage d un condensateu Inteupteu en position i R i C V C On considèe qu à t=0, V C =V 0 = R i + Vc=0 0 Il vient O à t=0 On obtient donc d où k : constante q=q 0 =CV 0 =C, et Q 0 =CV 0 =C ln t VIII pplication xecice Soit le cicuit la figue ci dessous L inteupteu K est initialement en position 0 et le condensateu C initialement déchagé On donne =6 V, =3 V, R== =500 Ω et C=1µF 4

43 R K C 1 l instant t=0, on met l inteupteu K en position 1 a Quelle est l équation difféentielle donnant la ddp V C aux bones du condensateu b Quelle est la constante de temps τ du cicuit? c Donne l expession de V C en fonction du temps d Calcule V C pou t=0, τ, τ, 3τ, 4τ et 5τ e Repésente l allue de la tension V C (t) n éalité, à l instant t 1 =τ, on met l inteupteu K en position a Quelle est l équation difféentielle donnant la ddp V C aux bones du condensateu? b Quelle est la nouvelle constante de temps τ du cicuit? c Donne l expession de V C en fonction du temps d Calcule V C pou (t t 1 )=0, τ, τ, 3τ, 4τ et 5 τ e Repésente la vaiation de V C au cous du temps su le même gaphe qu en 1 e f Dans quel sens cicule le couant? 43