Espaces préhilbertiens réels

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1 9 Espces préhilbertiens réels Pln de cours I Générlités A Produit sclire B Norme euclidienne II Orthogonlité A Vecteurs orthogonu B Fmilles orthogonles et orthonormles C Orthogonl d un sous-espce vectoriel D Projection orthogonle et distnce III Méthode des moindres crrés I Générlités Dns tout ce chpitre, E désigne un -espce vectoriel de dimension finie ou non. A Produit sclire Définition 9.1 : Produit sclire On ppelle produit sclire sur E toute forme bilinéire symétrique définie positive, c est-à-dire toute ppliction ϕ : E E telle que : ϕ est bilinéire : 1, 2, y E, λ, ϕ(λ 1 + 2, y) = λϕ( 1, y) + ϕ( 2, y)., y 1, y 2 E, λ, ϕ(, λ y 1 + y 2 ) = λϕ(, y 1 ) + ϕ(, y 2 ). ϕ est symétrique :, y E, ϕ(, y) = ϕ(y, ). ϕ est définie positive : E, ϕ(, ) et ϕ(, ) = si et seulement si = E. On note générlement le produit sclire ( ), ou,. Il suffit de vérifier l linérité à guche et l symétrie pour justifier l bilinérité. Définition 9.2 : Espces préhilbertiens réels On ppelle espce préhilbertien réel tout -espce vectoriel muni d un produit sclire. Nottion usuelle : (E, ( )). Un espce préhilbertien réel de dimension finie est ppelé espce euclidien. Voici qutre eemples fondmentu d espces préhilbertiens réels, à connître sur le bout des doigts. Eemple 1 n muni du produit sclire cnonique Le produit sclire cnonique est défini pr :, y n ( y) = i y i en notnt = ( 1,..., n ), y = (y 1,..., y n ) 1 y 1 Si on pose X =.. et Y =., on ( y) = t X Y = X T Y. n y n 1

2 CHAPITRE 9. ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS On vérifie isément que l ppliction insi définie est bilinéire et symétrique. De plus, l ppliction ( ) est définie positive cr quel que soit n : ( ) = 2 i et ( ) = 2 i = i 1, n i = = n Eemple 2 E = ([, b], ) muni de ( f, g ) f (t )g (t ) dt Si f, g ([, b], ), l intégrle eiste cr f g est continue sur le segment [, b]. ( ) est bien à vleurs dns. De plus, ( ) est bilinéire. Soient f, g, h ([, b], ) et λ. (λf + g h) = (λ f (t) + g(t))h(t) dt = λ f (t)h(t) dt + pr linérité de l intégrle ; ce qui justifie l linérité à guche. On obtient l linérité à droite pr symétrie. ( ) est symétrique. Soient f, g ([, b], ). ( ) est définie positive. (f g) = Soit f ([, b], ). (f f ) = (f f ) = f (t)g(t) dt = g(t)f (t) dt = (g f ) f 2 (t) dt pr positivité de l intégrle et : f 2 (t) dt = g(t)h(t) dt = λ(f h) + (g h) t [, b] f 2 (t) = f 2 est continue et positive sur [, b] f est nulle sur [, b] Eemple 3 E = [X] muni de (P, Q) P(t )Q(t ) dt Quels que soient les polynômes P et Q, l intégrle eiste cr l fonction polynomile t P(t)Q(t) est continue sur le segment [, 1]. ( ) est bien à vleurs dns. De plus, ( ) est bilinéire. Soient P,Q, R [X ] et λ. (λp + Q R) = (λp(t) + Q(t))R(t) dt = λ P(t)R(t) dt + pr linérité de l intégrle ; ce qui justifie l linérité à guche. On obtient l linérité à droite pr symétrie. ( ) est symétrique. Soient P,Q [X ]. (P Q) = P(t)Q(t) dt = Q(t)P(t) dt = (Q P) Q(t)R(t) dt = λ(p R) + (Q R) 2

3 Mickël PROST Lycée Chptl PT* ( ) est définie positive. Soit P [X ]. (P P) = (P P) = P 2 (t) dt pr positivité de l intégrle et : P 2 (t) dt = t [, 1] P 2 (t) = P 2 est continue et positive sur [, 1] P dmet une infinité de rcines Eemple 4 E = M n () muni de (A, B) Tr( t AB) = Tr(A T B) Rppelons tout d bord que : (i, j) 1, n 2 (AB) i j = ( ) est bilinéire. Soient A, B, C M n () et λ. P = [X ] ik b k j et Tr(AB) = k=1 k=1 ik b ki (λa + B C) = Tr( t (λa + B)C) = λ Tr( t AC) + Tr( t BC) = λ(a C) + (B C) pr linérité de l trce ; ce qui justifie l linérité à guche. On obtient l linérité à droite pr symétrie. ( ) est symétrique. Soient A, B M n (). ( ) est définie positive. Soit A M n (). (A A) = Tr( t AA) = (A B) = Tr( t AB) = Tr( t M)=Tr(M) Tr(t ( t AB)) = Tr( t BA) = (B A) k=1 2 ik et : (A A) = k=1 2 ik = (i, k) 1, n2 2 ik = A = M n () Prmi ces différents espces, lesquels sont euclidiens? Préciser lors l dimension. Eercice 1 Montrer que pour n, (P,Q) P(k)Q(k) définit un produit sclire sur n [X ]. k= Eercice 2 Soit E l ensemble des fonctions définies sur un intervlle I, à vleurs dns, continues sur I et de crré intégrble. 1. Soient f, g E. En utilisnt le fit que pour tout t I, (f (t) g(t)) 2, montrer que (f + g) 2 est intégrble sur I. 2. En déduire que E possède une structure d espce vectoriel. Eercice 3 3. Montrer que l ppliction (f, g) I f (t)g(t) dt définit un produit sclire sur E. Fire de même vec E = (u n ) u 2 n converge muni de (u, v) 3 + n= u n v n.

4 CHAPITRE 9. ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS B Norme euclidienne Définition 9.3 : Norme euclidienne et distnce Soit (E, ( )) un espce préhilbertien réel. On ppelle norme (euclidienne) sur E l ppliction : E + définie pr : E = ( ) On ppelle lors distnce de à y le réel positif d(, y) = y pour, y E. Si E, est de norme 1, il est dit unitire. Identités remrqubles vérifiées pr l norme euclidienne : On considère désormis que E est un espce préhilbertien réel. Quels que soient, y E, + y 2 = 2 + y 2 + 2( y) ; y 2 = 2 + y 2 2( y) ; Identité du prllélogrmme : + y 2 + y 2 = y 2 ; Identité de polristion : ( y) = 1 + y 2 y 2. 4 Théorème 9.4 : Inéglité de Cuchy-Schwrz Soit (E, ( )) un espce préhilbertien réel. On lors :, y E ( y) y Il y églité si et seulement si et y sont colinéires. Démonstrtion 1 Soient, y E et λ. Si = E, le résultt est immédit, y compris le cs d églité. Supposons désormis E. (λ + y λ + y) et (λ + y λ + y) = λ 2 ( ) + 2λ( y) + (y y). C est un trinôme en λ de signe constnt donc son discriminnt est négtif ou nul. = (2( y)) 2 4( )(y y) = 4(( y) 2 ( )(y y)) Ainsi, ( y) ( ) (y y) = y. Cs d églité : = donc il eiste une rcine double notée λ vérifint : (λ + y λ + y) = On donc λ + y = ce qui signifie y = λ. Démonstrtion 2 Soient, y E. Si l un des deu vecteurs est nul, le résultt est trivil, y compris le cs d églité. Sinon, posons ɛ = 1 si ( y), 1 sinon. ɛ y y 2 = 2 + y y 2 ɛ (, y) 2 y = 2 1 (, y) y 4

5 Mickël PROST Lycée Chptl PT* On retrouve bien ( y) y. Cs d églité : = ɛ y y. Eemple Soit P [X ]. Montrer que On pose E = [X ] et P Q = P(t) dt P 2 (t). P(t)Q(t) dt. On pplique lors l inéglité de Cuchy-Schwrz pour Q = 1. Eercice 4 Soient, b vec < b. Montrer que si f 1 ([, b]; ), lors : f (b) f 2 (t) dt f 2 2 f () 2 (t) dt 2 2 Théorème 9.5 : Norme L ppliction vérifie les propriétés suivntes : = = E. E, λ, λ = λ. Inéglité tringulire :, y E, + y + y. Démonstrtion Soient, y E. = ( ) = = λ = (λ λ) = λ 2 ( ) = λ. D près l inéglité de Cuchy-Schwrz, ( y) y. Donc : + y 2 = ( + y + y) = 2 + y 2 + 2( y) 2 + y y = ( + y ) 2 D où + y + y. Proposition 9.6 L norme euclidienne vérifie l inéglité tringulire étendue :, y E, y + y + y Démonstrtion Soient, y E. = + y y + y + y = + y + y Donc y + y. De même, pr symétrie, y + y. On donc bien : y + y + y 5

6 CHAPITRE 9. ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS II Orthogonlité On considère un espce préhilbertien réel (E, ( )). A Vecteurs orthogonu Définition 9.7 Deu vecteurs et y de E sont dits orthogonu si ( y) =. Eemples 3 E = 3, ( y) = i y i. Les vecteurs = (1,, 2) et y = (2, 1, 1) sont orthogonu. 2π E = ([, 2π], ), f, g = 1 f (t)g(t) dt. 2π Comme cos, sin =, les vecteurs cos et sin sont orthogonu. Théorème 9.8 : Pythgore Soient, y E. + y 2 = 2 + y 2 ( y) =. Démonstrtion + y 2 = 2 + y 2 + 2( y) donc + y 2 = 2 + y 2 ( y) =. b c c b b c c b ILLUSTRATION DU THÉORÈME DE PYTHAGORE L ire du grnd crré est égle à l somme de l ire du petit crré et de l ire des qutre tringles rectngles. Ainsi, ( + b) 2 = c b 2 On trouve donc près simplifiction : 2 + b 2 = c 2 Théorème 9.9 Le vecteur nul est le seul vecteur orthogonl à tous les utres. Démonstrtion Considérons un vecteur orthogonl à tous les utres, c est-à-dire que : y E ( y) = Il est en prticulier orthogonl à lui-même, donc ( ) = 2 =. On bien = E. 6

7 Mickël PROST Lycée Chptl PT* B Fmilles orthogonles et orthonormles Soit I un ensemble d indices fini ou infini. Définition 9.1 : Fmilles orthogonles et orthonormles Une fmille de vecteurs (e i ) i I de E est dite orthogonle si : (i, j) I 2, i j = (e i e j ) =. Elle est dite orthonormle si elle vérifie de plus : i I, e i = 1. Proposition 9.11 : Pythgore «générlisé» 2 Soit ( 1,..., n ) une fmille orthogonle de vecteurs de E. Alors, i = i 2. Théorème 9.12 Une fmille orthogonle constituée de vecteurs non nuls est libre. En prticulier, toute fmille orthonormle est libre. Démonstrtion Démontrons ce résultt dns le cs d une fmille finie (e 1,..., e n ) de vecteurs. Soient λ 1,..., λ n tels que λ 1 e λ n e n = E. Ainsi, quel que soit j 1, n, λ i e e i j = λ i ei e j = λj e j 2 = Le vecteur e j étnt non nul, λ j =. Et ceci, pour tout j 1, n. L fmille est bien libre. Une fmille orthonormle est orthogonle et ses vecteurs sont unitires donc non nuls. Une fmille orthonormle contient donc u plus dim(e) vecteurs si E est de dimension finie. Si elle en contient précisément dim(e), c est une bse. On l qulifie de bse orthonormle ou de bse orthonormée. Théorème 9.13 : Décomposition dns une bse orthonormée Soient E un espce euclidien de dimension n et (e 1,..., e n ) une bse orthonormée de E. E, = ( e 1 )e ( e n )e n = ( e i )e i Autrement dit, les coordonnées de dns l bse (e 1,..., e n ) sont (( e i )) 1in. Démonstrtion Soient B = (e 1,..., e n ) une bse orthonormle de E et E. Il eiste 1,..., n tels que = i e i donc pour tout j 1, n, e j = i e e i j = i ei e j = i δ i j = j Ainsi, = ( e 1 )e ( e n )e n = ( e i )e i. 7

8 CHAPITRE 9. ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS Proposition 9.14 Soient B = (e 1,..., e n ) une bse orthonormle de E. On considère, y E de coordonnées respectives X = ( 1,..., n ) et Y = (y 1,..., y n ). On lors : ( y) = i y i = ( e i )(y e i ) = t X Y et 2 = 2 i = ( e i ) 2 = t X X Ce dernier résultt montre que finlement, tous les produits sclires se rmènent u produit sclire cnonique de n vi le choi d une bse orthonormle. Mis tout espce euclidien possède-t-il une bse orthonormle? Tout espce vectoriel de dimension finie donc tout espce euclidien possède une bse. Dns le cs d un espce euclidien, on peut même construire une bse orthonormée à l ide du procédé ou lgorithme d orthonormlistion de Grm-Schmidt. Ceci nous ssure l eistence d une bse orthonormle. Le procédé d orthonormlistion repose sur l idée fondmentle suivnte : On considère une fmille libre ( u 1, u 2 ) de 2. u2 Commençons pr poser e 1 = pour obtenir un vecteur u 1 unitire. On retrnche ensuite à u 2 s composnte suivnt e 1. On obtient lors un vecteur e 2 = u 2 ( u 2 e 1 ) e 1 orthogonl à e 1. Il ne reste plus qu à le diviser pr s norme pour obtenir un vecteur unitire : u1 u2 ( u 2 e 1 ) e 1 e2 u2 ( u 2 e 1 ) e 1 e2 = u 2 ( u 2 e 1 ) e 1 L fmille ( e 1, e 2 ) obtenue est orthonormle. e1 ( u 2 e 1 ) e 1 u1 Théorème 9.15 Soit n et (u 1,..., u n ) une fmille libre de vecteurs de E. Il eiste lors une fmille orthonormle (e 1,..., e n ) de E telle que : Vect(e 1,..., e n ) = Vect(u 1,..., u n ) Démonstrtion Démontrons ce résultt pr récurrence sur n. Initilistion L fmille (u 1 ) étnt libre, u 1 est non nul. On pose lors e 1 = u 1 u 1. Hérédité Supposons l propriété vrie u rng n et montrons qu elle l est encore u rng n + 1. Considérons pour cel l fmille (u 1,..., u n, u n+1 ) que l on suppose libre. L fmille (u 1,..., u n ) étnt libre, il eiste une fmille orthonormle (e 1,..., e n ) telle que Vect(u 1,..., u n ) = Vect(e 1,..., e n ). On pose lors : e n+1 = u n+1 λ i e i 8

9 Mickël PROST Lycée Chptl PT* (i) On souhite que l fmille (e 1,..., e n+1 ) soit orthogonle. j 1, n (e n+1 e j) = j 1, n (u n+1 e j ) On pose donc λ j = (u n+1 e j ) pour tout j 1, n. λ i (e i e j ) = (u n+1 e j ) λ j = (ii) e n+1 est non nul. Dns le cs contrire, u n+1 serit combinison linéire de (e 1,..., e n ) donc de (u 1,..., u n ). L fmille (u 1,..., u n+1 ) ne pourrit être libre! On peut donc poser e n+1 = e n+1 e n+1. L fmille (e 1,..., e n+1 ) est lors orthonormle. (iii) Enfin, puisque Vect(u 1,..., u n ) = Vect(e 1,..., e n ) et que e n+1 est combinison linéire de e 1,..., e n et de u n+1, Vect(u 1,..., u n, u n+1 ) = Vect(e 1,..., e n, e n+1 ). Ceci chève l récurrence. Quelques remrques : Une telle fmille (e 1,..., e n ) est unique à condition que (u k, e k ) > pour tout k 1, n. L mtrice de pssge de l bse (u 1,..., u n ) à (e 1,..., e n ) est tringulire supérieure. On peut normliser les vecteurs e k à chque étpe ou bien normliser l fmille (e 1,..., e n ) une fois construite. Théorème 9.16 Tout espce euclidien dmet une bse orthonormle. Eercice 5 Montrer que l fmille = ((2, 1, ), (, 1, 1), (1, 2, 1)) est une bse de 3 puis construire une bse orthonormée de 3 pour le produit sclire usuel à l ide du procédé vu précédemment. C Orthogonl d un sous-espce vectoriel E désigne toujours un espce préhilbertien réel de dimension quelconque. Définition 9.17 : Orthogonl Soit F un sous-espce vectoriel de E. On ppelle orthogonl de F l ensemble : F = { E y F ( y) = } Proposition 9.18 Soient F et G deu sous-espces vectoriels de E. (i) F est un sous-espce vectoriel de E. (ii) Si F G lors G F. Démonstrtion (i) Tout d bord, F est non vide cr il contient le vecteur nul. Soient 1, 2 F et λ. Alors, y F (λ y) = λ ( 1 y) + ( }{{} 2 y) = }{{} = = 9

10 CHAPITRE 9. ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS Donc F est stble pr combinison linéire. C est bien un sous-espce vectoriel de E. (ii) Soit G. Pour tout y F, ( y) = cr y G. Ainsi, F. On bien G F. Eercice 6 Montrer que si E est un espce préhilbertien réel, { E } = E et E = { E }. Eercice 7 Soit F = Vect ((, b, c)) 3. Déterminer F et en donner une éqution crtésienne. Attention, dire que deu sous-espces vectoriels sont orthogonu ne signifie ps que l un est l orthogonl de l utre. Penser à l eemple de deu droites orthogonles dns l espce. Proposition 9.19 Soient F un sous-espce vectoriel de E et u E. u F si et seulement si u est orthogonl u vecteurs d une bse quelconque de F. Démonstrtion L impliction est immédite, montrons simplement l réciproque dns le cs d un espce de dimension finie. Supposons u orthogonl u vecteurs d une bse (e 1,..., e p ) de F. Soit y F. Il eiste donc (λ 1,..., λ p ) p tel que y = λ i e i. Ainsi, (u y) = u λ i e i = λ i (u e i ) =. Donc u F. Théorème 9.2 Soit F un sous-espce vectoriel de dimension finie de E. On E = F F. Démonstrtion Soit E et (e 1,..., e p ) une bse orthonormée de F. Risonnons pr nlyse/synthèse. Anlyse On suppose que = F + F vec F F et F F. F F donc F = ( F e i )e i et F = F F donc : i 1, p ( F e i ) = c est-à-dire F = ( e i )e i Synthèse On peut écrire : = ( e i )e i + } {{ } F ( e i )e i F p F = ( e i )e i F = ( e i )e i Il reste à montrer que ( e i )e i F, ce qui est bien le cs cr : j 1, p ( e i )e e i j = ( e j ) ( e i )(e i e j ) = 1

11 Mickël PROST Lycée Chptl PT* Corollire 9.21 : Inéglité de Bessel Soient (e 1,..., e p ) une fmille orthonormle de E et E. Alors Il y églité si et seulement si Vect(e 1,..., e p ). ( e i ) 2 2. Corollire 9.22 Soient E un espce euclidien (donc de dimension finie) et F un sous-espce vectoriel de E. F est un espce vectoriel de dimension finie et dim(f ) = dim(e) dim(f). De plus, F = F. Démonstrtion Si E = F G et que E est de dimension finie, lors dim(e) = dim(f) + dim(g). Il suffit de montrer que F F puis on conclut pr églité des dimensions. L orthogonl d une droite vectorielle est donc un hyperpln de E. D Projection orthogonle et distnce E désigne toujours un espce préhilbertien réel. Définition 9.23 : Projecteur orthogonle Soit F un sous-espce vectoriel de E de dimension finie. On E = F F. On ppelle projection orthogonle sur F l projection sur F prllèlement à F. p() F p() REPRÉSENTATION DU PROJETÉ ORTHOGONAL DE SUR F Théorème 9.24 En notnt p l projection orthogonle sur F, sous-espce vectoriel de E de dimension finie n, Si E, p() est entièrement crctérisé pr : p() F et p() F. Si (e 1,..., e n ) est une bse orthonormle de F lors p() = ( e 1 )e ( e n )e n. Démonstrtion Redémontrons rpidement le deuième point. i 1, n ( e i ) = (p() + ( p()) e i ) = (p() e i ) + ( p() e i ) = (p() e i ) On retrouve donc le fit que p() = ( e i )e i. 11

12 CHAPITRE 9. ESPACES PRÉHILBERTIENS RÉELS Eercice 8 Déterminer l mtrice dns l bse cnonique de l projection orthogonle sur le pln d éqution + y + z =. Eercice 9 Soient E un espce préhilbertien réel et p l projection orthogonle sur une droite vectorielle D de E. Pour E, eprimer p() en fonction de. Même question lorsque p est l projection orthogonle sur un hyperpln H de E. Définition 9.25 : Distnce Soient E et F un sous-espce vectoriel de E de dimension finie. On ppelle distnce de à F le réel d(, F) = inf d(, u) = inf u. u F u F Intuitivement, l distnce de à F est l plus petite des distnces entre et les vecteurs de F. Cependnt, rien ne nous grntit l eistence d une distnce minimle. Noter que l définition bien un sens cr { u u F} est une prtie de non vide et minorée ; elle dmet une borne inférieure. Théorème 9.26 Soient E et F un sous-espce vectoriel de E de dimension finie. d(, F) = inf u = p() où p est l projection orthogonle sur F. u F L distnce est donc un minimum qui est tteint pour u = p(). Démonstrtion Tout repose là-encore sur le même dessin. F p() p() u u Soit u F. D près le théorème de Pythgore, u 2 = p() 2 + u p() 2 }{{}}{{} F F On donc u p() et l borne inférieure est tteinte pour u = p() F. L borne inférieure est un minimum. Eercice 1 Déterminer l distnce du vecteur u = (1, 2, 3) u pln de 3 d éqution + y + z =. III Méthode des moindres crrés Il est cournt, en physique-chimie, en sciences industrielles, ou plus générlement dns toute discipline epérimentle (biologie, chimie, économie,...), d voir à comprer des données epérimentles et de conjecturer une éventuelle dépendnce linéire entre deu prmètres donnés (pr eemple entre l llongement d un ressort et l force de trction eercée sur celui-ci). 12

13 Mickël PROST Lycée Chptl PT* Supposons que l on dispose d une série de n mesures de l forme ( i, y i ) vec i 1, n. On cherche à trouver «l droite de meilleure pproimtion» de nos mesures, c est-à-dire l droite qui décrit u mieu l tendnce du nuge observé. C est le principe de régression linéire. Mis quel sens donner à cette fmeuse «droite de meilleure pproimtion»? i + b y i y i y = + b Si l droite recherchée pour éqution d éqution y = + b, l écrt ponctuel entre l mesure obtenue ( i, y i ) et l mesure ttendue ( i, i + b) vut y i i b. On peut dès lors chercher à minimiser l écrt globl entre les points et l droite, écrt qui peut être défini de différentes fçons. Pr eemple, m y i i b ; 1in y i i b ; (y i i b) 2 C est cette dernière quntité que l on souhite minimiser dns l méthode dite des moindres crrés. On peut déterminer (y i i b) 2 en l interprétnt comme l distnce d un vecteur à un certin inf (,b) 2 sous-espce vectoriel de n. Posons X = ( 1,..., n ), Y = (y 1,..., y n ), Z = X + b = ( 1 + b,..., n + b) et F = Vect(X, (1,..., 1)). On donc (y i i b) 2 = inf Y Z 2 = inf Y (,b) 2 Z F Z 2 = d 2 (Y, F). inf (,b) 2 D près ce qui précède, d 2 (Y, F) vut Y p(y ) 2 où p est l projection orthogonle sur F. On donc Y Z = Y p(y ) F c est-à-dire : (Y Z X ) = (Y Z (1,..., 1)) = Cel nous conduit à résoudre le système suivnt d inconnues et b : (y i i b) i = (y i i b) = On obtient près simplifiction le système linéire 2 2 suivnt : 2 i + b i = i + nb = i y i On obtient insi les coefficients et b recherchés. Une petite mise en grde cependnt, rien ne nous grntit que l loi étudiée est linéire! y i 13