PROGRAMME DE MATHEMATIQUES ANNEE 5 DU SECONDAIRE

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1 Ecles eurpéennes Bureau du Secrétaire Général du Cnseil Supérieur Unité de dévelppement pédaggique Ref. : D-8-fr- Orig. : EN PROGRAMME DE MATHEMATIQUES ANNEE 5 DU SECONDAIRE Curs à 6 pérides/semaine APPROUVE PAR LE COMITE PEDAGOGIQUE MIXTE LES 9, 10 et 11 FEVRIER 011 A BRUXELLES Entrée en applicatin en septembre D-8-fr- 1/14

2 ALGEBRE (A titre indicatif : 80 pérides) Sujets Cnnaissances et cmpétences Supprt technlgique Valeur abslue utiliser les règles sur la smme, différence, prduit et qutient de valeurs abslues résudre des équatins et des inéquatins du type ax b c, ax b c 0 résudre équatins et inéquatins avec une valeur abslue utiliser des représentatins graphiques pur résudre des équatins et inéquatins Puissance et racines exprimer la racine n-ième d un nmbre réel (et les puissances de ces racines) cmme puissances à expsant ratinnel cmprendre que calculer la racine n-ième et la puissance n-ième snt deux pératins inverses cmprendre que les règles de calcul pur des puissances à expsant entier se prlngent aux puissances à expsant ratinnel utiliser ces prpriétés dans des prblèmes de crissance et décrissance expnentielles simplifier des expressins algébriques cmme : ab 3 9,,, 3a b 18ab 4 7ab explrer les slutins pssibles d équatins expnentielles simples tels que : x 4 x1 utiliser l util pur calculer les expressins et vérifier les slutins utiliser une feuille de calcul et un nuage de pints pur résudre des prblèmes de crissance et décrissance expnentielle résudre et vérifier les slutins d équatins expnentielles simples telles que x 4 x D-8-fr- /14

3 Systèmes d équatins du type ax by cz d ex fy gz h ix jy kz l résudre algébriquement les systèmes mise en équatin et réslutin de prblèmes de texte simples écrire un système pur calculer les cefficients de la fnctin d une parable passant par tris pints dnnés et le résudre dans les cas simples résudre les systèmes utiliser la calculatrice pur adapter une parable à tris pints dnnés utiliser la calculatrice pur vérifier l équatin d une parable Plynômes diviser Px par Qx (ù Qx est de degré 1 ù seulement) cmprendre et appliquer le thérème du reste factriser un plynôme (cas faciles, degré 4) appliquer les identités ci-dessus (et les cnnaitre) : a 3 b 3 a ba ab b a 3 b 3 a ba ab b a b a 3a b 3ab b truver les zérs d un plynôme truver le signe d un plynôme simplifier, additinner, sustraire, multiplier et diviser les fnctins ratinnelles P x étudier le signe d une fnctin ratinnelle Q x, ù les degrés de égaux à Px et Qx snt inférieurs u simplifier des expressins cntenant des divisins de plynômes factriser un plynôme truver les zérs des plynômes truver le signe d un plynôme simplifier, additinner, sustraire, multiplier et diviser P x des fractins ratinnelles Q x D-8-fr- 3/14

4 Equatins et inéquatins quadratiques cmprendre et appliquer les relatins entre les cefficients d une équatin quadratique et ses slutins : ax bx c 0 est équivalente à b c xx 0 ù et a a résudre les inéquatins quadratiques résudre des équatins qu n peut réduire à des équatins quadratiques (par exemple une équatin bicarrée) [seulement des cas simples] résudre des prblèmes qui cnduisent à des équatins du type ci-dessus résudre algébriquement et graphiquement les inéquatins quadratiques résudre des équatins qu n peut réduire à des équatins quadratiques Fnctins réelles: utiliser l idée de dmaine de définitin pur les fnctins suivantes fnctins plynmiales de degré au plus 3 f x ax b f x sin f x cs f x tan f x x x x ax b cx d pur des fnctins du type y ax b tracer et recnnaître leurs représentatins graphiques truver le zér et, le cas échéant, l intersectin avec l axe des y vérifier que leurs graphes nt été bien tracés truver graphiquement le zér et l intersectin avec l axe des y déduire, de la représentatin graphique, les équatins des asympttes de l hyperble tracer les représentatins graphiques d une grande variété de fnctins réelles D-8-fr- 4/14

5 pur des fnctins du type y sin x, y cs x et y tan x tracer et recnnaître leurs représentatins graphiques cmprendre l idée de péride de ces fnctins a pur des hyperbles équilatères du type y x b ax b et y : cx d tracer et recnnaître leurs représentatins graphiques pruver que ax b A B cx d cx d dnner les équatins des asympttes verticale et hrizntale truver le zér et, le cas échéant, l intersectin avec l axe des y cnnaître le cmprtement de la curbe représentative à l infini cnnaître le cmprtement de la curbe représentative prche de l asymptte verticale déterminer le centre de symétrie tracer et recnnaître les curbes d équatin y g x pur les fnctins suivantes : g x ax b g x ax bx c g x ax b cx d D-8-fr- 5/14

6 calculer, le cas échéant, pur y g x : les équatins des asympttes le centre de symétrie le zér l intersectin avec l axe des y esquisser la curbe représentative d une fnctin définie par mrceaux à l aide des fnctins : g x ax b g x ax bx c g x ax b cx d par exemple : 3x x 1 f( x) x² x D-8-fr- 6/14

7 STATISTIQUES & PROBABILITE (A titre indicatif : 5 pérides) Sujets Cnnaissances et cmpétences Supprt technlgique Ntins élémentaires en prbabilité déterminer, l univers d une expérience aléatire définir un événement A cmme sus-ensemble de (cntenant un u plusieurs éléments) représenter l ensemble univers sus frme d un diagramme de Venn Algèbre des événements dnner une descriptin verbale u ensembliste des événements A B et A B savir que, pur des événements disjints, A B truver l événement cmplémentaire A Prbabilité d un événement cmprendre que, pur la prbabilité d un événement A, PA 0 1 calculer la prbabilité d un événement A cmprendre que la ntin de prbabilité peut se déduire de celle de fréquence relative utiliser le générateur aléatire de nmbres analyser, à l aide d une feuille de calcul, la fréquence relative d une expérience simulée et cmparer les résultats avec les prbabilités thériques (ex. simulatin d une lancé de dés) calculer les prbabilités cmme fractins et à l aide des décimaux D-8-fr- 7/14

8 Calculs de prbabilités utiliser, dans le cas d événements indépendants (tirage avec remise) : diagrammes à duble entrée diagrammes de Venn diagrammes à arbre utilisatin de la prbabilité cnditinnelle (tirage sans remise), diagrammes à arbre (limités aux arbres à tris niveaux au plus) résudre des prblèmes qui exigent l utilisatin des frmules suivantes : P A 1 cmplémentaires P A pur des événements P A B 0 pur des événements disjints P A B P A P B P A B P A B P A+PB pur des événements disjints P A B 1 pur des événements exhaustifs P A B P B P A B P A B P B P ( ) B A pur des événements cnditinnels et seulement dans des diagrammes à arbres P A B P A P B pur des événements indépendants utiliser la calculatrice pur résudre des prblèmes de prbabilité D-8-fr- 8/14

9 Analyse de dnnées cmprendre que la variance et l écart type snt des mesures de dispersin calculer, pur des petits effectifs ( n 6 ), la variance et l écart type, à l aide d une des frmules x x x² suivantes : ² n n x calculer la variance et l écart type à partir de la distributin des fréquences u d un histgramme calculer une estimatin de la variance u de l écart type pur des dnnées brutes u grupées : x x x² ² n n x a x x ax² ² a a x calculer la variance et l écart type, pur des dnnées brutes u grupées, à l aide d une feuille de calcul Interprétatin et cmparaisn de dnnées cmpare et interpréter des distributins par rapprt à leurs : myennes et variances/écarts type histgrammes dnnés utiliser la calculatrice pur calculer et estimer la myenne, la variance et l écart type cnstruire des histgrammes à des fins d interprétatin et de cmparaisn de dnnées D-8-fr- 9/14

10 GEOMETRIE (A titre indicatif : 60 pérides) Sujets Cnnaissances et cmpétences Supprt technlgique Angles rientés dnner une définitin du cercle trignmétrique dnner une définitin d angle rienté et le représenter sur le cercle trignmétrique dnner une définitin du radian en relatin avec la lngueur de l arc d un cercle passer de la mesure en radians à la mesure en degrés et vice versa estimer la mesure d un angle en radians et en degrés passer de la mesure en radians à la mesure en degrés et vice versa vérifier, à l aide de cnstructins et mesures, l estimatin faite Rapprts trignmétriques truver les rapprts trignmétriques d un angle rienté et de ses angles assciés, en degrés et en radians interpréter gémétriquement les rapprts trignmétriques dnner les variatins d un rapprt trignmétrique d un angle rienté dnner les rapprts trignmétriques de quelques angles particuliers cmparer les rapprts trignmétriques d un angle et de sn : angle cmplémentaire : cs sin 90 cs sin angle supplémentaire : sin sin 180 sin sin utiliser le graphique pur cmprendre que d autres angles dnnent les mêmes rapprts trignmétriques que les angles standard mntrer les prpriétés des angles cmplémentaires et supplémentaires dynamiquement à l aide d un curseur effectuer des calculs avec les frmules trignmétriques vérifier les slutins d une équatin trignmétrique résudre des équatins trignmétriques D-8-fr- 10/14

11 cnnaître et utiliser les frmules fndamentales sin sin cs 1 et tan cs cnnaître et appliquer (seulement avec des valeurs numériques des angles) des frmules du type : cs cs cs sin sin sin sin cs cs sin sin sin cs cs cs sin résudre, fr 0 et des équatins du type sin a, cs a and tan a 1 équatins simples telles que cs 6 et 3cs sin 1 0 Triangles dnner et pruver, pur tut triangle, les frmules suivantes : a b c bc cs A a b c r sin A sinb sinc 1 Aire sin bc A appliquer les frmules pur déterminer les angles et les côtés d un triangle, y cmpris dans des prblèmes de la vie curante vérifier ces prpriétés à l aide de cnstructins et mesures résudre des prblèmes avec ces frmules D-8-fr- 11/14

12 Vecteurs dans le plan recnnaître : vecteurs linéairement indépendants et liés, bases, repères la dimensin d un espace vectriel dnner une définitin de base rthnrmée écrire un vecteur cmme cmbinaisn linéaire de deux vecteurs indépendants mntrer la bijectin qui existe entre l ensemble de vecteurs et les cuples rdnnés de nmbres réels Prduit scalaire dnner une définitin et calculer le prduit scalaire de deux vecteurs dnner une définitin de prduit scalaire d un vecteur avec si-même dnner une définitin de la nrme d un vecteur dnner une définitin de l rthgnalité de deux vecteurs énumérer et utiliser les prpriétés du prduit scalaire exprimer le prduit scalaire de deux vecteurs à l aide de leurs nrmes et du csinus de l angle entre eux utiliser le prduit scalaire pur vérifier l rthgnalité écrire le prduit scalaire dans une base rthnrmée calculer la distance entre deux pints utiliser des méthdes vectrielles pur des démnstratins gémétriques ; par exemple a b c bc cs A 1 Aire sin bc A calculer le prduit scalaire de deux vecteurs mntrer dynamiquement les prpriétés du prduit scalaire à l aide de cnstructins et mesures D-8-fr- 1/14

13 Drites dans le plan dnner l équatin vectrielle d une drite truver l équatin paramétrique d une drite truver une équatin cartésienne d une drite déterminer la psitin relative de deux drites recnnaître des drites parallèles à partir de leurs équatins déterminer l équatin d une drite parallèle à une drite dnnée passant par un pint dnnée recnnaître des drites perpendiculaires à partir de leurs équatins déterminer l équatin d une drite perpendiculaire à une drite dnnée passant par un pint dnnée calculer les crdnnées du pint d intersectin de deux drites calculer la distance entre deux drites parallèles calculer la mesure de l angle entre deux drites sécantes déterminer la psitin relative d un pint et d une drite calculer la distance entre un pint et une drite déterminer les crdnnés de la prjectin perpendiculaire d un pint sur une drite passer d un système d équatins paramétriques d une drite à une équatin cartésienne tracer, à partir d un pint et une drite, la drite parallèle passant par ce pint tracer, à partir d un pint et une drite, la drite perpendiculaire passant par ce pint truver le pint d intersectin de deux drites mesurer la distance entre deux drites parallèles mesurer l angle entre deux drites sécantes mesurer la distance entre un pint et une drite déterminer les crdnnées de la prjectin rthgnale d un pint sur une drite D-8-fr- 13/14

14 Cercles dans le plan truver une équatin d un cercle truver une équatin de la drite tangente à un cercle en un pint dnné psitin relative d un pint et un cercle psitin relative d un cercle et d une drite psitin relative de deux cercles calculer le(s) pint(s) d intersectin d une drite et d un cercle : graphiquement en réslvant des systèmes qui peuvent être réduits à une équatin du premier u secnd degré explrer, par cnstructin, la psitin relative d un cercle et d une drite cnjecturer graphiquement une équatin de la drite tangente au cercle passant par un pint dnné déterminer, à l aide du prduit scalaire, une équatin de la drite tangente au cercle passant par un pint dnné résudre des systèmes D-8-fr- 14/14