Exercice 1. Université Paris 7-Denis Diderot Examen du 21 mai 2012 L2 Automates finis AF4. a 1. 2 b. Voici le déterminisé : a 3. a 1.

Transcription

1 Université Pris 7-Denis Diderot Exmen du 21 mi 2012 L2 Automtes finis AF4 Corrigé Exercice On considère l utomte fini : 2 4 Question 1 : Déterminiser cet utomte. 1 1, 3 1, 3, 4 Voici le déterminisé : 2 1, En renumérotnt les étts : 2 4

2 Question 2 : Si L le est le lngge reconnu pr cet utomte, clculer pr l méthode de Mc Nughton et Ymd une expression rtionnelle de L. Soit Q = {1, 2, 3, 4, 5}, il fut clculer L = L Q 1 2. Posons P = Q\{2}. D près Mc Nughton et Ymd, L Q 1 2 = L P 1 2.(L P 2 2). Clirement, les chemins qui vont de l étt 1 à l étt 2 sns psser pr l étt 2 en intermédiire ne pssent ps pr l étt 4, et sont étiquetés pr {,, } =. Clirement, les chemins qui vont de l étt 2 à l étt 2 sns psser pr l étt 2 en intermédiire ne pssent ps pr les étts 1 et 3, et sont étiquetés pr {, } =. On donc L =.( ). Exercice 2 On considère l utomte fini : Question : Clculer l équivlence de Nérode ssociée à cet utomte. En déduire l utomte miniml qui reconnît le même lngge. L équivlence à l ordre 0 deux clsses : les étts d ccepttions (clsse notée ici I), et ceux qui ne le sont ps (clsse notée ici II). Clculons l équivlence d ordre 1 : L équivlence à l ordre 1 étnt l même que l équivlence à l ordre 0, c est donc l équivlence de Nérode. On otient l utomte miniml en confondnt les étts équivlents :, I II

3 Exercice 3 Soit l lphet A = {, }. Montrer que le lngge L = {( n ) n n IN} n est ps reconnissle. Supposons que L soit reconnissle. Soit lors N le nomre ugmenté de 1 des étts d un utomte fini (que l on peut supposer déterministe) qui le reconnît, et considérons le mot w = ( N ) N qui, pprtennt à L, est reconnu pr cet utomte. Le chemin qui mène à l ccepttion de ce mot psse lors de l lecture des N premiers u moins 2 fois pr le même étt, et donc il existe une fctoristion de w en w = α.u.β où α = i, u = q et β = N i q.( N ) N 1 vec q > 0, telle que l lecture de α et celle de α.u mènent u même étt. Pr conséquent l lecture de αβ mène u même étt que celle de α.u.β, c est à dire w, et donc à un étt d ccepttion. Le mot αβ est donc reconnu pr cet utomte, et devrit donc pprtenir à L. Or αβ = i. N i q.( N ) N 1 = N q.( N ) N 1 n pprtient clirement ps à L. Contrdiction. Exercice 4 Si L A, on note L <n> = L A n = {w L w = n}, et Θ(L) = {n IN L <n> }. On dir que L est complet (pour les longueurs) si Θ(L) = IN, et qu il est presque complet si Θ(L) et IN ne diffèrent que pr un nomre fini d entiers. Question 1 : Sur l lphet B = {}, soit le lngge K = 3 ( 2 ) + 2 ( 3 ). Donner l représenttion sgittle (i.e. le dessin du grphe) d un utomte fini déterministe qui reconnît K Question 2 : Clculer Θ(K). K est-il complet? est-il presque complet? Θ(K) = {3 + 2i i IN} {2 + 3i i IN} = {3 + 6i, 5 + 6i, 7 + 6i, i IN} {2 + 6i, 5 + 6i i IN} = {2 + 6i, 3 + 6i, 5 + 6i, 7 + 6i, i IN}. K n est ps complet cr 1 / Θ(K). Si n = 0 (mod 6) lors n / Θ(K), et il existe une infinité d entiers congrus à 0 modulo 6, donc K n est ps presque complet. Question 3 : Montrer que si H Rt(B ), lors soit il est fini, soit il existe un entier i 0 et un entier k > 0 tels que H = F j J i ( k ) j où F est un ensemle fini de mots tel que f F = f < i et J est un ensemle (fini) d entiers inclus dns {0, 1,..., k 1}. Aide : on pourr s inspirer de l exemple de l question 1, et donner l forme générle d un utomte fini déterministe qui reconnît un lngge rtionnel sur un lphet à une lettre, pour en déduire l réponse à l question. Dns un utomte déterministe reconnissnt un lngge sur un lphet à une lettre ne prt d un étt qu une seule trnsition. L utomte se développe donc de mnière linéire, et on peut numéroter les étts vec le nomre de fois l lettre lue depuis l étt de déprt (celui-ci étnt numéroté 0, donc). Au out d un certin temps, du fit de l finitude du nomre d étts, on finit pr revenir sur un étt déjà rencontré. Il n existe donc qu un seul type d utomte fini déterministe sur un lphet à un lettre : l lecture de i 0 occurrences de l lettre mène u premier étt se trouvnt dns une oucle de longueur k > 0.

4 En posnt F = H {f f < i}, et si J est l ensemle des entiers j tels que i + j est le numéro d un étt d ccepttion, J est donc ien fini et l on H = F j J i ( k ) j. Question 4 : Donner un lgorithme qui résout le prolème : Donnée : Une expression rtionnelle d un lngge K Rt(B ) Question : k est-il complet? et un lgorithme qui résout le prolème : Donnée : Une expression rtionnelle d un lngge K Rt(B ) Question : k est-il presque complet? Pour que K soit complet il fut que tous les étts de l utomte déterministe soient des étts d ccepttion, et pour qu il soit presque complet, il fut que tous les étts de l oucle de l utomte déterministe soient des étts d ccepttion. Ces deux conditions se testent de fçon finie. Pour résoudre le premier prolème, il suffit donc de construire à prtir de l expression rtionnelle un utomte fini (pr exemple grâce à l lgorithme de Glushkov) reconnissnt le lngge décrit, de déterminiser cet utomte (pr l lgorithme de déterministion), et de vérifier si l utomte otenu tous ses étts qui sont des étts d ccepttion, ou non. Pour résoudre le second prolème, on construit de même à prtir de l expression rtionnelle un utomte fini déterministe reconnissnt le lngge décrit, et il suffit de regrder à quel étt i rrive une trnsition et de vérifier si l utomte otenu tous ses étts à prtir de cet étt i qui sont des étts d ccepttion, ou non. Question 5 : Donner un lgorithme qui résout le prolème : Donnée : Deux expressions rtionnelles sur l lphet B représentnt deux lngges H 1 et H 2 Question : A-t-on Θ(H 1 ) = Θ(H 2 )? et un lgorithme qui résout le prolème : Donnée : Deux expressions rtionnelles sur l lphet B représentnt deux lngges H 1 et H 2 Question : Θ(H 1 ) et Θ(H 2 ) diffèrent-ils d un nomre fini d entiers? On Θ(H 1 ) = Θ(H 2 ) si et seulement si H 1 = H 2, et on Θ(H 1 ) et Θ(H 2 ) diffèrent d un nomre fini d entiers si et seulement si H 1 et H 2 diffèrent d un nomre fini de mots. Pour résoudre le premier prolème, on construit à prtir des expressions rtionnelles des utomtes finis déterministes reconnissnt H 1 et H 2, et pr l lgorithme du produit crtésien à prtir de ceux-ci un utomte fini qui reconnît (H 1 H2 ) (H 1 H2 ). Il suffit de vérifier si l utomte otenu tous ses étts qui sont des étts d ccepttion, ou non. Pour résoudre le second prolème, il suffit de construire le même utomte fini déterministe que ci-dessus, et de regrder à quel étt i rrive une trnsition et vérifier si l utomte otenu tous ses étts à prtir de cet étt i qui sont des étts d ccepttion, ou non. Question 6 : Soit A un lphet quelconque. On considère le morphisme de monoïdes π : A B défini pr : x A, π(x) =. Vérifier que L Rt(A ) = π(l) Rt(B ), et montrer que n Θ(L) n Θ(π(L)). En déduire des lgorithmes qui résolvent les prolèmes : Donnée : Deux expressions rtionnelles sur un lphet A représentnt deux lngges K 1 et K 2 Question : A-t-on Θ(K 1 ) = Θ(K 2 )? et Donnée : Deux expressions rtionnelles sur un lphet A représentnt deux lngges K 1 et K 2 Question : Θ(K 1 ) et Θ(K 2 ) diffèrent-ils d un nomre fini d entiers?

5 L rtionnlité étnt conservée pr morphisme, si L Rt(A ) lors π(l) Rt(B ). n Θ(L) = w L : Θ(w) = n. Si f = π(w), lors, on n = Θ(f) = Θ(π(w)), et donc n Θ(π(L)). Réciproquement, si n Θ(π(L)), lors w L Θ(π(w)) = n, mis Θ(π(w)) = Θ(w), donc n Θ(L). En ppliqunt à une expression rtionnelle sur un lphet A le morphisme ϕ (qui consiste à confondre toutes les lettres en leur sustitunt l unique lettre ), on otient une expression rtionnelle sur B du lngge otenu pr le morphisme à prtir du lngge décrit. En fisnt précéder cette construction ux lgorithmes de l question précédente, on otient les lgorithmes qui résolvent respectivement les prolèmes pour cette question. Exercice 5 On considère sur l lphet A = {, } le lngge M = (+)+(+).(+) (+) et le lngge L = ( + ) ( + ).M. Question 1 : Clculer les résiduels de L (les exprimer en fonction de L et M). On remrque que si l on échnge et, le lngge M reste identique à lui-même, et qu il en est de même pour L. Les clculs pr rpport à s et pr rpport à seront donc identiques à cet échnge près. Le résiduel de L pr rpport u mot vide est le lngge L lui-même. Le résiduel de L pr rpport à vut : 1.[( + ) ( + ).M ] = ( 1.[( + ) ]).( + ).M + 1.[( + ).M ], cr 1 ( + ), et comme 1.[( + ) ] = ( 1.[( + )]).( + ), et 1.[( + )] = et 1.[( + )] =, on 1.L =.( + ) ( + ).M +.M, soit 1.L =.L +.M Le résiduel de L pr rpport à vut : 1.L =.L +.M (pr symétrie) Le résiduel de L pr rpport à vut : 1.[.L +.M ] = L, déjà trouvé Le résiduel de L pr rpport à vut : 1.[.L +.M ] = M Le résiduel de L pr rpport à vut : M (pr symétrie), déjà trouvé Le résiduel de L pr rpport à vut : L (pr symétrie), déjà trouvé Le résiduel de L pr rpport à vut : 1.[M ] = ( 1.[M]).M, or 1.[M] = 1.[(+ ) + ( + ).( + ) ( + )] = +.( + ) ( + ), donc 1.[M ] =.M +.( + ) ( + ).M =.M +.L, déjà trouvé Le résiduel de L pr rpport à vut :.M +.L (pr symétrie), déjà trouvé On donc clculé tous les résiduels de L, qui sont u nomre de 4 : L,.L+.M,.L+.M et M. Question 2 : En déduire l utomte miniml A =< A, Q, δ, {1}, F > reconnissnt L, où Q = {1, 2,..., n}. L.L +.M 1 2.L +.M M en renumérotnt les étts : 3 4

6 Question 3 : Clculer le monoïde de trnsitions T de cet utomte. (rppel : le monoïde de trnsitions d un utomte est le pus petit monoïde qui contient les pplictions x de Q dns Q définies pour chque lettre x A pr : q Q, x(q) = δ(q, x) On = = 1 et =. Cette dernière églité montre que les pplictions ā et commutent, et toute ppliction f pour un mot f d u moins trois lettres pr commuttion est équivlente à une ppliction f pour un mot f ynt 2 lettres consécutives identiques, et pr l première églité, équivlente à une ppliction f pour un mot f strictement plus court. On donc clculé toutes les pplictions du monoïde T : T = { 1, ā,, }. Question 4 : Soit H = {ν T ν(1) F } et soit G = {τ T τ τ τ(1) F }. Que vlent H et G? On lit sur l première ligne du tleu ci-dessus que l ppliction est l seule ppliction de T qui envoie l étt de déprt 1 sur un étt d ccepttion, donc H = {}. Clculons le cue des pplictions de T : 1 3 = 1, ā 3 = ā 2.ā = ā, 3 = 2. = et 3 =. 2 =. 2 =... =.. =. Prmi les pplictions 1 3, ā 3, 3 et 3, seule cette dernière envoie l étt de déprt 1 sur un étt d ccepttion, donc G = { 3 } = {}. On rppelle que si ϕ : A T est l homorphisme défini pr ϕ(f) = f, (où u.v = ū. v = v ū) lors L = ϕ 1 (H). Question 5 : Vérifier que ϕ 1 (G) = {w A w 3 L}, et en déduire que le lngge T (L) = {w A w 3 L} est reconnissle. ϕ 1 (G) = {w A ϕ(w) G} = {w A ϕ(w) = } = {w A ϕ(w 3 ) = 3 } = {w A ϕ(w 3 ) = } = {w A w 3 L}. {w A w 3 L} s écrit donc comme l imge pr un morphisme inverse d une prtie G d un monoïde fini T. C est donc pr définition un lngge reconnissle.