5.2 L épreuve de Pythagore

Transcription

1 5.2 L épreuve de Pythgore Tous les jeunes onnissent pr œur l formule du théorème de Pythgore, mis l omprennent-ils vriment? Pour les ider, ette tivité propose d nlyser différentes preuves fin de omprendre le sens du théorème de Pythgore. De plus, ils uront l osion de ompléter différentes preuves, e qui leur permettr de déouvrir qu il existe souvent plus d une fçon de démontrer un théorème. Intentions de l tivité Leur fire omprendre le théorème de Pythgore en utilisnt différentes preuves Prtiquer leur hileté à rédiger une preuve omplète et rigoureuse Forme de l prodution ttendue Réflexion sur différentes preuves du théorème de Pythgore Rédtion de preuves Conepts utilisés Théorème de Pythgore Congruene d ngles, de segments et de tringles Prllélisme Aire de tringles, de rrés et de trpèzes Isométries Ressoures mtérielles Site Internet : Présenttion 5.2 L épreuve de Pythgore

2 Déroulement Préprtion Il serit opportun d effetuer un rppel du théorème de Pythgore et des termes qui y sont ssoiés : thètes, hypoténuse, et. Si le terme triplet pythgoriien n est ps onnu des élèves, fire une petite présenttion sur le sujet. Rélistion Les élèves uront à ompléter des preuves du théorème de Pythgore. S ssurer que leurs preuves sont omplètes et rigoureuses. Amenez-les à réfléhir à l importne d être struturé fin de ien se fire omprendre. Intégrtion Dns l dernière prtie de l tivité, l élève ser mené à ompléter des preuves ourtes du théorème. Il ser un peu guidé dns s démrhe, mis moins que dns les preuves préédentes. Il devr trouver des équtions qui lui permettront de retrouver l fmeuse églité. Pistes de différenition Une utre preuve est présentée dns l nnexe qui ompgne ette tivité. Elle est plus diffiile que les utres, mis les élèves très intéressés pourrient y trouver leur ompte. L solution est dns l nnexe 2. Fire déouvrir ux élèves d utres preuves du théorème de Pythgore. Vous pouvez en trouver plusieurs sur Internet. Vous pouvez montrer l vidéo qui se trouve sur le site Internet : pythgore2.html. C est une nimtion de l preuve se trouvnt en nnexe. Présenttion 5.2 L épreuve de Pythgore

3 Nom : 5.2 L épreuve de Pythgore Depuis quelques nnées, tu utilises régulièrement le théorème de Pythgore. Tu onnis son importne en géométrie et en trigonométrie. Svistu que e théorème, déjà prouvé depuis l Antiquité, est l un de eux qui ont toujours pssionné et pssionne toujours les mthémtiiens? Lisse-toi emller pr ette «pythgoromnie»! Lors de Show Mth, vous vez pu ppréier quelques-unes des premières déimles du nomre π. Prmi es déimles, on retrouve à l 351 e position le hiffre des unités du nomre 367 préédé de 6 puis de 3. Le nomre 367 représente l quntité de preuves différentes reensées pour démontrer le théorème de Pythgore! Ce théorème, qui est onnu depuis l Antiquité, est nommé d près Pythgore de Smos, mthémtiien, philosophe et stronome de l Grèe Antique. Il énone que, dns un tringle retngle, le rré de l mesure de l hypoténuse est égl à l somme des rrés des mesures des thètes. Ce théorème engendre des triplets pythgoriiens, pr exemple ( = 5 2 ). Trouvez-en d utres. 1. Outre l reltion de Pythgore, trouvez u moins un utre lien entre les trois nomres d un triplet pythgoriien. 2. Pythgore de Smos Chier de l élève 5.2 L épreuve de Pythgore 1

4 Une utre proposition de Pythgore Cette dernière été érite en 500 v. J.-C. Cel fit don plus de 2500 ns! Soit un nomre impir qui représente l mesure du plus petit ôté d un tringle retngle, prenons son rré. Si on lui soustrit 1 et qu on divise le résultt pr 2, on otient l mesure du seond ôté qui forme l ngle droit du tringle retngle. En ugmentnt ette dernière mesure de 1, on otient l mesure de l hypoténuse. Ces 3 nomres forment lors un triplet pythgoriien, est-à-dire un triplet de nomres nturels non nuls qui vérifie l reltion de Pythgore. Voyons un exemple pour mieux omprendre. Si 5 est l mesure du plus petit ôté du tringle retngle, il fut le mettre u rré et lui soustrire = 25-1 = 24 Il fut ensuite diviser le résultt otenu pr = 12 Alors, 12 est l mesure de l utre ôté formnt l ngle droit du tringle retngle. On joute 1 à 12 et on otient l mesure de l hypoténuse : Figure 1 Quel est le triplet pythgoriien dont le plus petit nomre est 13? 3. 2 Chier de l élève 5.2 L épreuve de Pythgore

5 Voii une preuve du théorème de Pythgore qui est essentiellement géométrique. On prend un retngle de lrgeur et de huteur. On effetue une rottion de 90 degrés utour de son sommet inférieur guhe fin d otenir un seond retngle omme dns l figure suivnte. Figure 2 On divise hun des retngles en deux pr leur digonle. On otient qutre tringles retngles Figure 3 On fit pivoter de 90 degrés les tringles retngles 2 et 3 de fçon à otenir l imge suivnte. 2 On onstte qu on otient un rré à l'intérieur d'un utre rré Figure 4 Chier de l élève 5.2 L épreuve de Pythgore 3

6 On indique les mesures des ôtés ve des lettres ppropriées. On qutre tringles retngles dont : 1 2 le plus petit ôté est, l se est, et l hypoténuse. Chque hypoténuse représente don les ôtés du petit rré de l intérieur. Le plus petit ôté plus l se ( + ) de hque tringle retngle représente hun des ôtés du grnd rré. 4 3 Nous onnissons don les ires des deux rrés que nous vons. Petit rré : 2 Figure 5 Grnd rré : ( + ) 2 De plus, l ire de hun des qutre tringles retngles est ½. L surfe totle des qutre tringles retngles est don 2. À prtir des résultts préédents, terminez l démonstrtion du théorème de Pythgore Chier de l élève 5.2 L épreuve de Pythgore

7 Une utre preuve est sée sur l ire du trpèze. Voii un dessin qui permet de fire ette preuve. Tous les tringles sont des tringles retngles. À prtir du dessin, érivez l démonstrtion. 5. Figure 6 Quelles sont les ires des différentes prties du dessin? Pouvez-vous former une églité ve es ires? Chier de l élève 5.2 L épreuve de Pythgore 5

8 Voii un utre dessin qui permet de fire une preuve du théorème de Pythgore. Tous les tringles sont des tringles retngles. On retrouve dns e dessin des figures semlles. Trouvez-les et formez une églité qui permet de les mettre en reltion. B D A Figure 7 C À prtir du dessin, érivez l démonstrtion Chier de l élève 5.2 L épreuve de Pythgore

9 Curieux? Mintennt que vous vez pu ppréier trois démonstrtions du théorème de Pythgore, en voii une qutrième. Soit deux rrés, un premier de ôté et un deuxième de ôté. On ple les deux rrés ôte à ôte de fçon à e qu ils soient sur une même se et que l mesure de l se soit ( + ). Figure 8 Sur l se du rré de ôté, on mesure une distne à prtir du sommet inférieur guhe. On rée un tringle retngle de thètes et et d hypoténuse. Le reste de l se mesure don ( + ) =. On rée sur e segment un utre tringle retngle de thètes et et d hypoténuse. Figure 9 Chier de l élève 5.2 L épreuve de Pythgore 7

10 On prend le premier tringle et on lui fit suir une rottion de 90 utour de son sommet supérieur. Au deuxième tringle, on lui fit suir une rottion de 90 utour de son sommet supérieur. Figure 10 Voii l figure otenue près les rottions : Figure 11 Figure 12 Complétez mintennt ette preuve Chier de l élève 5.2 L épreuve de Pythgore

11 5.7 L épreuve de Pythgore Corrigé Lors de Show Mth, vous vez pu ppréier quelques-unes des premières déimles du nomre π. Prmi es déimles, on retrouve à l 351 e position le hiffre des unités du nomre 367 préédé de 6 puis de 3. Le nomre 367 représente l quntité de preuves différentes reensées pour démontrer le théorème de Pythgore! Ce théorème, qui est onnu depuis l Antiquité, est nommé d près Pythgore de Smos, mthémtiien, philosophe et stronome de l Grèe Antique. Il énone que dns un tringle retngle, le rré de l mesure de l hypoténuse est égl à l somme des rrés des mesures des thètes. Ce théorème engendre des triplets pythgoriiens, pr exemple ( = 5 2 ). Trouvez-en d utres. 1. (Pge 1) Pr exemple, on les triplets suivnts : (ou tous les multiples du triplet pythgoriien 3 4 5) et ses multiples et ses multiples Outre l reltion de Pythgore, trouvez u moins un utre lien entre les trois nomres d un triplet pythgoriien. 2. (Pge 1) Si on omme triplet et , on peut trouver que l différene entre le deuxième et le troisième hiffre est de 1. On peut ussi trouver que les multiples du triplet insi que eux de tous les utres triplets, dits primitifs, engendrent une infinité de triplets pythgoriiens. Quel est le triplet pythgoriien dont le plus petit nomre est 13? 3. (Pge 2) = = 168 On divise pr = 84 Alors, 84 est l mesure de l utre ôté qui forme l ngle droit du tringle retngle. On ugmente 84 de 1 et on otient l mesure de l hypoténuse : 85. On ien : = Corrigé 5.2 L épreuve de Pythgore 1

12 De plus, l ire de hun des qutre tringles retngles est ½. L surfe totle des qutre tringles retngles est don 2. À prtir des résultts préédents, terminez l démonstrtion du théorème de Pythgore. 4. On y rrive en fisnt l différene des ires L surfe du petit rré est égle à l surfe du grnd rré moins l surfe des qutre tringles retngles : 2 = ( + ) 2-2 d'où : 2 = e qui donne : 2 = (Pge 4) Conlusion, le rré de l mesure de l hypoténuse est égl à l somme des rrés des mesures des ôtés de l ngle droit. Voii un dessin qui permet de fire ette preuve. Tous les tringles sont des tringles retngles. À prtir du dessin, érivez l démonstrtion. 5. Preuve : L ire du trpèze est égle à l somme de l mesure des deux ses multipliée pr l mesure de l huteur, puis divisée pr 2. Elle est don égle à (+)(+)/2. Elle est ussi égle à ()/2+()/2+/2. Nous vons don l églité suivnte : ( + )( + ) = ( + )( + ) = = = = 2 (Pge 5) Ce qui démontre ien le théorème de Pythgore. Figure 6 2 Corrigé 5.2 L épreuve de Pythgore

13 À prtir du dessin, érivez l démonstrtion. B D 6. (Pge 6) Les tringles ADB, CDA et CAB sont semlles. On peut don érire les églités suivntes : mbd mab = mab mbc A Figure 7 C mbd mbc = mab 2 et mdc mac = mac mbc mdc mbc = mac 2 Note : On pourrit ussi utiliser diretement le théorème : «Dns un tringle retngle, hque ôté de l ngle droit est moyenne proportionnelle entre s projetion sur l hypoténuse et l hypoténuse entière». On fit l somme des deux églités otenues : mbd mbc + mdc mbc = mac 2 + mab 2 Ce qui démontre ien le théorème de Pythgore. Curieux? Soit deux rrés, un premier de ôté et un deuxième de ôté. On ple les deux rrés ôte à ôte de fçon à e qu ils soient sur une même se et que l mesure de l se soit ( + ). Complétez mintennt ette preuve. 7. (Pge 8) Puisque le dernier rré ( x ) été otenu à prtir des deux figures initiles pr une suite d isométries, son ire est égle à l somme des ires des rrés du déut. Corrigé 5.2 L épreuve de Pythgore 3

14

15 5.2 L épreuve de Pythgore Annexe Une utre preuve du théorème de Pythgore. Voii une utre preuve visuelle où les priniples étpes sont illustrées. Pouvez-vous fire l preuve de hun des énonés présentés? Tout d ord, à prtir d un tringle retngle dont les ôtés mesurent et et l hypoténuse mesure, on tre trois rrés qu on juxtpose ux ôtés du tringle. On veut montrer qu on peut diviser le rré d ire 2 en deux retngles d ire 2 et 2. G F H Crré d ire 2 C I Crré d ire 2 A B Crré d ire 2 D E Figure 1 Annexe 5.2 L épreuve de Pythgore 1

16 On tre l digonle du rré d ire 2 en relint les sommets I et C. Quelle est l ire des deux figures géométriques otenues? Pour vous ider, les petits rrés formnt le qudrillge ont une ire d une unité rrée. H G F 1. I C A B D E Quelles sont es figures? Figure 2 2. On tre un segment de droite qui relie le point I u point B. L ire du tringle IBA est l même que elle du tringle IAC. G Prouvez-le. H F 3. I C A B D E Figure 3 2 Annexe 5.2 L épreuve de Pythgore

17 On fit pivoter le tringle IBA de 90 dns le sens horire utour du point A. Le tringle IAB est isométrique u tringle CDA. G Prouvez-le. F H 4. C I A B D E Figure 4 On tre un segment issu du point C et qui oupe perpendiulirement le segment DE. Nommez J le point de renontre de e segment ve le segment DE et K le point de renontre ve le segment AB. G F Expliquez pourquoi le segment rouge oupe églement le segment AB perpendiulirement. H C I 5. A K B D J E Figure 5 Annexe 5.2 L épreuve de Pythgore 3

18 On tre un segment qui relie le point D u point K. G Trouvez l ire du tringle DKA. Lissez les tres de votre démrhe. F 6. H C I A K B Figure 6 D J E Nous vons otenu le retngle AKJD. Quelle est son ire? Lissez les tres de votre démrhe Annexe 5.2 L épreuve de Pythgore

19 Nous voulons montrer qu on peut diviser le rré d ire 2 en deux retngles d ire 2 et 2. Complétez ette preuve. 8. Annexe 5.7 L épreuve de Pythgore

20

21 5.2 L épreuve de Pythgore Annexe Corrigé On tre l digonle du rré d ire 2 en relint les sommets I et C. Quelle est l ire des deux figures géométriques otenues? Pour vous ider, les petits rrés formnt le qudrillge ont une ire d une unité rrée. 1. (Pge 2) Leur ire est de 2,5 unités 2. Le rré pour mesure de ôté 5. Son ire est don de 5 et, omme on tré s digonle, on se retrouve ve deux tringles de 2,5 unités 2. Quelles sont es figures? 2. (Pge 2) Ce sont deux tringles retngles isoèles. On tre un segment de droite qui relie le point I u point B. L ire du tringle IBA est l même que elle du tringle IAC. Prouvez-le. 3. (Pge 2) Pour trouver l ire d un tringle, il fut multiplier l mesure de s se pr l mesure de s huteur et diviser le tout pr 2. Les deux tringles ont l même se, soit le segment IA, et ils ont ussi l même huteur. En effet, leur huteur est équivlente u segment AC. Nous pouvons don onlure que les deux tringles ont l même ire. Autre fçon : L ire du tringle IAB est s se horizontle, 5, fois s huteur, 1, divisée pr 2, e qui équivut à 2,5 unités, omme l utre. Annexe Corrigé 5.2 L épreuve de Pythgore 1

22 On fit pivoter le tringle IBA de 90 dns le sens horire utour du point A. Le tringle IAB est isométrique u tringle CDA. Prouvez-le. 4. (Pge 3) Pour que deux tringles soient isométriques, il fut voir un des trois s suivnts : ils ont 3 ôtés isométriques, ils ont 1 ngle isométrique ompris entre 2 ôtés isométriques ou ils ont 1 ôté isométrique ompris entre 2 ngles isométriques. IA est isométrique à AC r ils forment deux ôtés du rré IACH et que les ôtés d un rré sont isométriques. AB est isométrique à AD, r ils forment deux ôtés du rré ABED et que les ôtés d un rré sont isométriques. IAB est isométrique à CAD r IAB= IAC+ CAB=90 + CAB et CAD= CAB+BAD= CAB+90 Les deux tringles, IAB et CDA sont don isométriques pr CAC. Ou, plus simplement, l un est l imge de l utre pr une isométrie. Expliquez pourquoi le segment rouge oupe églement le segment AB perpendiulirement. 5. (Pge 3) Le segment AB est prllèle u segment DE. Pr onstrution, le segment rouge est perpendiulire u segment DE. Ainsi, le segment rouge oupe le segment AB perpendiulirement. Lorsque deux droites sont prllèles, e qui est perpendiulire à une est perpendiulire à l utre. Trouvez l ire du tringle DKA. Lissez les tres de votre démrhe. 6. (Pge 4) Nous svons que le tringle DKA l même ire que le tringle CDA, r ils ont l même se (AD) et l même huteur (AK). De plus, l ire du tringle CDA est égle à l ire du tringle IBA qui est de même ire que le tringle ICA. Ainsi, le tringle DKA est de même ire que le tringle ICA. Or, omme l ire du tringle ICA est de 2,5 unités 2, il en est de même pour le tringle DKA. Nous vons otenu le retngle AKJD. Quelle est son ire? Lissez les tres de votre démrhe. 7. (Pge 4) Le retngle AKJD est formé de deux tringles, DKA et DKJ. Ce sont deux tringles isométriques, r ils sont formés pr l digonle du retngle. L ire de DKA est de 2,5 unités 2. Il en est don de même pour l ire du tringle DKJ. L ire du retngle AKJD est égle à l somme de l ire des deux tringles qui le forment, soit 5 unités 2. 2 Annexe Corrigé 5.2 L épreuve de Pythgore

23 Nous voulons montrer qu on peut diviser le rré d ire 2 en deux retngles d ire 2 et 2. Complétez ette preuve. 8. (Pge 4) Le rré d ire 2 pour mesure de ôté 5. Son ire est don de 20. Si on tre l digonle du rré en relint les sommets F et C, l ire des deux tringles otenus, FCB et FCG, est de 10 unités 2. On tre un segment de droite qui relie le point F u point A. L ire du tringle FAB est l même que elle du tringle FCB, r les deux tringles ont l même se, soit le segment BF et ils ont ussi l même huteur CB. Si on fit pivoter le tringle FAB de 90 dns le sens horire utour de son sommet B, on otient le tringle CEB. Le tringle FAB est isométrique u tringle CEB r l un et l imge de l utre pr isométrie. Si on tre un segment relint le point E u point K, on otient le tringle KEB. Son ire est de 10 unités 2,r : Le tringle KEB l même ire que le tringle CEB, r ils ont l même se (BE) et l même huteur (BK). L ire du tringle CEB est égle à l ire du tringle FAB qui est de même ire que le tringle FCB. Ainsi, le tringle KEB est de même ire que le tringle FCB. Or, omme l ire du tringle FCB est de 10 unités 2, il en est de même pour le tringle KEB. Le retngle KBEJ est formé de deux tringles, KEB et KEJ. Ce sont deux tringles isométriques, r ils sont formés pr l digonle du retngle KBEJ. L ire de KEB est de 10 unités 2. Il en est don de même pour l ire du tringle KEJ. L ire du retngle KBEJ est égle à l somme de l ire des deux tringles le formnt, soit 20 unités 2. Le rré ABED est formé des retngles KBEJ et AKJD. Son ire don pour mesure l somme de l ire des deux retngles. Elle vut : 20 unités unités 2 = 25 unités 2 L ire du rré ABED est don de 25 unités 2 et on peut onlure que l somme de l ire des deux rrés et est égle à l ire de. Annexe Corrigé 5.2 L épreuve de Pythgore 3

24