ÉTUDE DU CHAMP MAGNÉTOSTATIQUE CRÉÉ PAR DES COURANTS PERMANENTS

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1 ÉTUDE DU CHAP AGNÉTOTATQUE CÉÉ PA DE COUANT PEANENT. CHAP CÉÉ PA UN COUANT ECTLGNE.1 Fil ectiligne de longueu finie Voi chapite pécédent avec application de la loi de Biot et avat.. Fil illimité filifome u u oit un point epéé pa ses coodonnées clindiques. Le plan ( π + ) = (, u, u ) est un plan de smétie pou les couants, souces du champ, donc B( ) ( π + ), c'est-à-die B( ) //. La distibution D est invaiante pa otation d angle et pa tanslation d axe O, donc B aussi. Bilan : B = B( ) On applique le théoème d Ampèe. Le contou d Ampèe est un cecle oienté suivant passant pa B dl = B u du = B π = µ. et de aon : ( ) ( ) Le champ B céé pa un fil illimité pa un couant est à connaîte pa cœu : Bien intepéte le signe en utilisant la ègle de la main doite. µ B = u. π ntepétation phsique : Le champ magnétostatique en est diigé ves la gauche d un obsevateu egadant, couché su le fil, le couant entant pa les pieds et lui sotant pa la tête : ègle du bonhomme d Ampèe. Le sens des lignes de champ est aussi donné pa la ègle du tie-bouchon : un tie-bouchon dont la pointe pogesse dans le sens de l intensité le long d un fil a son manche qui toune dans le sens des lignes de champ qui entouent cet élément. On peut cite encoe plus simplement la ègle de la main doite : i la main doite toune pouce dans le sens de B, alos le pouce doit ête dans le même sens que. Le champ B toubillonne autou des souces de couant. main doite Champ céé pa des couants pemanents (36-16) Page 1 su 9 JN Beu

2 .3 Fil illimité non filifome On considèe un clinde illimité de aon pacouu pa un couant épati unifomément en volume. En égime pemanent, on peut monte que l intensité se épatit de façon unifome dans la section. L intensité est oientée ves le haut. On a : = j d = jπ. j u u est un plan de smétie pou les couants, souces du champ, donc //. La distibution D est invaiante pa otation d angle et pa tanslation d axe O, donc B aussi. Bilan : B = B( ) On applique le théoème d Ampèe. Le contou d Ampèe est un cecle oienté suivant passant pa et de aon : B dl = B( ) u du = B( ) π = µ Le plan ( π + ) = (, u, u ) B( ) ( π + ), c'est-à-die B( ) - i :. l a deux cas : j = = π. On a donc : B ( ) l faut faie attention au signe de. - i : = jπ µ j B =. On obtient : ( ) µ µ j π = =. B On peut epésente le gaphe epésentant B() en fonction de : ntepétation phsique : - Les lignes de champ sont des coubes femées. Elles toubillonnent autou des souces de couant. On peut applique la ègle du tie-bouchon ou de la main doite pou véifie le sens de B. - À l extéieu du clinde, tout se passe comme si on avait un fil infini. - Le champ B est continu en tout point de l espace. C est pévisible puisque la distibution est volumique. - i =, B =. C est nomal puisque les plans (, u, u ) et (, u, u ) sont des plans de smétie. - Le modèle du clinde illimité est valable pou un clinde éel si on est loin des bods. - Application numéique : = 1 A ; = 1 mm. B est maximum pou = : B max = 1-4 T. appels : La composante hoiontale du champ magnétique teeste vaut 5 µt. La nome du champ magnétique teeste vaut 47 µt..4 Fil illimité avec des couants en suface En égime pemanent, le vecteu densité de couant j est épati unifomément dans toute la section. Nous veons qu en égime sinusoïdal focé de féquence f, l expéience indique que dans le cade de l appoximation des égimes quasi stationnaies, le champ magnétique et le vecteu densité de couant se concentent au voisinage de la péiphéie dans un mince peau d épaisseu δ voisin de la suface : c est l effet de peau. Ode de gandeu : Nous veonsδ =. µγω Pou le cuive : γ = m -1. i f = 5 H ; δ = 1 cm. i f = 1 H ; δ = 6 µm. Nous considéons l execice suivant : le clinde illimité de aon est pacouu en suface pa des couants. On appelle = u le vecteu densité sufacique de couant. On suppose unifome. Le couant qui tavese le clinde est : = j π Champ céé pa des couants pemanents (36-16) Page su 9 JN Beu

3 u u Le plan ( π + ) = (, u, u ) B( ) ( π + ), c'est-à-die B( ) est un plan de smétie pou les couants, souces du champ, donc //. La distibution D est invaiante pa otation d angle et pa tanslation d axe O, donc B aussi. Bilan : B = B( ) On applique le théoème d Ampèe. Le contou d Ampèe est un cecle oienté suivant passant pa et de aon : B dl = B( ) u du = B( ) π = µ. l a deux cas : - i : j π = =. On a donc : ( ) - i : =. On a donc : B =. B µ µ j = =. π On peut epésente le gaphe epésentant B() en fonction de : ntepétation phsique : - Les lignes de champ sont des coubes femées. - i, tout se passe comme si on avait un fil illimité pacouu pa un couant. - La distibution est sufacique. B est discontinu à la tavesée de la suface de distibution. On etouve la discontinuité : B B = µ j ^ n avec 1 = ; = + ; B = ; B = µ j u et n = u. 1 B µ j. OLÉNOÏDE CCULAE.1 Définition On appelle solénoïde (en gec tuau) un enoulement égulie de fil conducteu su un clinde. Le but est de cée un champ magnétostatique impotant et unifome dans une égion centale. L inconvénient est qu il est plus encombant que les bobines de Helmholt. u le schéma de gauche, on a une distibution constituée de 4 spies ciculaies. On a déjà une égion centale où les lignes de champ sont asse paallèles. Champ céé pa des couants pemanents (36-16) Page 3 su 9 JN Beu

4 On peut amélioe le paallélisme en considéant un gand nombe de spies indépendantes. Un véitable solénoïde n est pas constitué de spies indépendantes mais d un seul fil enoulé su plusieus couches. On peut monte que l hélicité n a pas de conséquences su la composante axiale du champ.. odèle du solénoïde ciculaie a) Définition Le solénoïde ciculaie est constitué de N spies ( N 1) de même aon, de même axe O, épaties égulièement le long du clinde de longueu l et de même intensité. N On définit n le nombe de spies pa mète. On a : n =. l b) Cate de champ La cate de champ est epésentée su le schéma de doite ci-dessus. Les lignes de champ sont des coubes femées qui toubillonnent. On peut applique la ègle du tie bouchon ou de la main doite. Les iégulaités du champ du schéma de gauche dispaaissent dans la égion centale. On a un champ unifome ca les lignes de champ sont paallèles. En effet, le champ B est à flux consevatif : un tube de champ tanspote un flux constant. Pou un tube de champ élémentaie : Φ= B = B. 1 1 Comme 1 =, on a alos B 1 = B. Les tubes de champ s évasent beaucoup à pati de la sotie. Le champ B décoit tès apidement à la sotie. Le champ magnétostatique sot pa la face Nod. On peut etouve ce ésultat en plaçant une boussole. Champ céé pa des couants pemanents (36-16) Page 4 su 9 JN Beu

5 c) Calcul du champ magnétostatique le long de l axe (execice classique) Nous avons calculé le champ B µ 3 céé pa une spie : sin u oit un élément de longueu d qui contient n d spies. µ 3 Le champ céé pa ces n d spies est : db = < ( nd) sin u l faut faie la somme de toutes les contibutions. Pou cela, il faut paaméte : on a le choix ente et. Le plus simple est de tout expime en fonction de. l faut expime d en fonction de d. La méthode déjà encontée est d expime en fonction de et de difféencie. tan =. Attention aux signes : su le schéma, < et >. cos sin d cos d On a : =, soit d = d ca d tan sin sin = sin µ 3 µ n Finalement, on a db = n d sin sin d sin = l este à intége ente et 1 3. On obtient : B = n = ( ) d µ µ n d sin cos cos sin 1 d) Cas paticulies olénoïde tès long ou infini. Pou tout point de l axe, on a : et π. 1 On obtient B = µ nu. 1 l est impotant de véifie le signe de B avec la ègle de la main doite. Application numéique : exemple de solénoïde utilisé en TP : N = spies su une longueu L = 4 cm. Pou un couant = 5 A, on obtient : B = 3,1 1-3 T. appels : la composante hoiontale du champ magnétique teeste vaut 1-5 T. Nappe de couant sufacique. d On peut utilise le ésultat pécédent en calculant l intensité de deux façons : d d ( d ) suffit donc de emplace n pa. Le champ B µ j vaut : B = ( cos cos ) u. 1 = j = n. l e) Compaaison champ céé pa un aimant clindique et un solénoïde ciculaie Un baeau clindique et un solénoïde poduisent le même champ magnétique. Dès 18, Ampèe suggéa qu il existait des «couants dans la matièe». Natue phsique des dipôles magnétiques : oment magnétique obital : mouvement obital de l électon spie pacouue pa un couant. oment magnétique intinsèque de l électon : spin oment magnétique intinsèque des nucléons (1 fois plus faibles que l électon) Exemple du baeau clindique unifomément aimanté (voi cous de deuxième année) : = cte ot =, donc, donc couants supeficiels. j = ^n = u ^u = u Pa le calcul, on démonte l équivalence. ntepétation phsique : on epésente les dipôles magnétiques dans une section du baeau. Les éléments de couant des boucles adjacentes sont deux à deux opposées et seuls inteviennent pou le calcul de B les éléments à la suface, d où la nappe de couant pécédente. Champ céé pa des couants pemanents (36-16) Page 5 su 9 JN Beu

6 En septembe 6 a été mis en sevice au CEN (anneau de 7 kilomètes de diamète) le plus and aimant constuit autou d un solénoïde : 6m de diamète et 13m de longueu. Le champ magnétique atteint 4 T. La tempéatue est égale à -67 C ce qui pemet de s affanchi de l effet Joule avec des matéiaux supaconducteus..3 odèle du solénoïde illimité C est un modèle tès fot. On fait le passage à la limité du solénoïde ciculaie, c'est-à-die qu on néglige les effets de bod. A B A D B C u D C u 1 3 Le plan P = (, u, u ) B( ) P, c'est-à-die B( ) est un plan de smétie pou les couants, souces du champ, donc // u. La distibution est invaiante pa otation d angle et pa tanslation d axe O, donc B aussi. es B = B u. coodonnées ne dépendent pas de et. D où ( ) ( ) Théoème d Ampèe. Nous allons applique le théoème d Ampèe à plusieus contous : a) Contou 1 : B dl = B( ) l+ µ nl =. On en déduit que le champ B est unifome à ABCD l intéieu du solénoïde et vaut B = µ nu int. b) Contou B dl= B l+ µ nl= µ = µ nl. On en déduit que le champ B est : ( ) ABCD ' ' ' ' nul à l extéieu. Ce n est pas supenant ca pou de vais solénoïdes, le champ ves. Champ céé pa des couants pemanents (36-16) Page 6 su 9 JN Beu

7 c) Contou : 3 B dl = = µ =. Les autes concous ne donnent pas d infomation supplémentaie. A" B" C" D" Dans les execices, on enconte essentiellement deux tpes de situations : On demande de démonte que le champ su l axe est B = µ n ou alos on admet que B axe ext =. Le modèle du solénoïde infini décit la stuctue du champ d un solénoïde allongé éel loin des bods de celui-ci. emaque : Un solénoïde infini peut ête considéé comme une bobine toique pou laquelle. On vea dans le paagaphe suivant que pou une bobine toique le champ est nul à l extéieu.. TOE Une bobine toique est constituée de N spies jointives égulièement enoulées su un toe (ou pneu) d axe O. Le calcul suppose que N est tès gand (on aua alos une invaiance de la distibution pa otation). u O u Le plan P = (, u, u ) couants, souces du champ, donc B( ) B( ) //. est un plan de smétie pou les P, c'est-à-die La distibution est invaiante pa otation d angle, donc B aussi. es coodonnées ne dépendent pas de. D où B = B u. ( ) ( ), Théoème d Ampèe : On considèe un cecle oienté dans le sens tigonométique d axe O, de aon passant pa. On a : B dl = B( ) π = µ. - i est à l intéieu du toe : = N en appliquant la ègle du tie bouchon. µ N On en déduit : B = u int. π - i est à l extéieu du toe : =. B = ext V. NAPPE DE COUANT PLANE u x u u Champ céé pa des couants pemanents (36-16) Page 7 su 9 JN Beu

8 Le plan P = (, u, u x ) est un plan de smétie pou les couants, souces du champ, donc B( ) c'est-à-die B( ) // u. La distibution est invaiante pa tanslation de diection u x B = B u. dépendent pas de x et. D où ( ) ( ) Le plan = est un plan de smétie. B( ) P, et u, donc B aussi. es coodonnées ne ( π + ) = plan de smétie B( ') = sm( B( ) ) Dans le cas paticulie de l execice, on a B( ') = sm( B( ) ) = B( ) Théoème d Ampèe : On considèe le contou ABCD. On pose L = AB = CD. u B A u x u C µ j Dans la égion >, on a donc : B = u µ j µ j Dans la égion > : on a B = sm u = u B µ j D B. Attention : On calcule le champ en dans la égion >. ( ) est de la fome : B( ) = B( ) u B dl = B( ) u dl+ + B( ) u dl+ = B( ) l B( ) l. AB CD B dl B l j l. On applique la ègle de la main doite pou On en déduit que : = ( ) = µ = µ touve le signe (voi paagaphe.1). µ j ntepétation phsique : - Le champ magnétostatique toubillonne autou des souces de couant. - On a une discontinuité du champ magnétostatique à la tavesée de la suface de distibution. On etouve le ésultat : B B = µ j ^ n. 1 1 Champ céé pa des couants pemanents (36-16) Page 8 su 9 JN Beu

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