Intégrales impropres et séries. Tewfik Sari. L2 Math

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1 Intégrles impropres et séries Tewfik Sri L2 Mth

2 Chpitre 1 Rppels sur l intégrtion 1.1 Intégrle de Riemnn des fonctions en esclier Soit [, b] un intervlle fermé et borné de R. Une subdivision de [, b] et une suite fine et strictement croissnte de points de [, b] telle que : = x < x 1 < < x n = b. Définition 1 Soit E un espce normé. Soit f : [, b] E. On dit que f est une fonction en esclier, s il exitse un subdivision σ = {x, x 1,, x n } de [, b], telle que f soit constnte sur chcun des intervlles ouverts ]x i, x i+1 [, pour i n 1. Une telle subdivision est dite ssociée à f. Définition 2 Soit f : [, b] E une fonction en esclier. Soit σ = {x, x 1,, x n } une subdivision ssociée à f et soit c i = f ]xi. On ppelle intégrle de f sur [, b] l somme notée,x i+1 [ n 1 f(x)dx = (x i+1 x i )c i. (1.1) i= Exercice Montrer que l intégrle d une fonction en esclier f ne dépend ps de l subdivision σ ssociée à f qui est utilisée pour l clculer pr l formule (1.1). Proposition 1 (Propriétés de l intégrle) Notons pr E([, b], E) l ensemble des fonctions en esclier sur [, b]. Reltion de Chsles. Pour tout f E([, b], E) et tout c [, b] on f(x)dx = c f(x)dx + Linérité. Pour tous f et g dns E([, b], E) et tous réels λ et µ on (λf + µg)(x)dx = λ c f(x)dx + µ f(x)dx. g(x)dx. Croissnce. Soient f et g dns E([, b], R). Si pour tout x [, b], f(x) g(x) lors f(x)dx g(x)dx. Pr conséquent, si f sur [, b] lors f(x)dx. Mjortion. Pour tout f E([, b], E) on f(x)dx f(x) dx. 1

3 CHAPITRE 1. RAPPELS SUR L INTÉGRATION 2 Inéglité de Cuchy-Schwrtz. Pour tous f et g dns E([, b], R) on ( f(x)g(x)dx Exercice Démontrer les résultts de cette proposition. ) 1/2 ( 1/2 f(x) 2 dx g(x) dx) Intégrtion des fonctions continues pr morceux Dns l section précédente on montré comment intégrer les fonctions en esclier, qui sont des cs prticuliers de fonctions bornées. Dns cette section nous llons intégrer les fonctions continues pr morceux, en les pprochnt pr des fonctions en esclier. Définition 3 Une fonction f : [, b] E est dite continue pr morceux si et seulement s il existe une subdivision s = (,, n ) de [, b] telle que pour tout i {,, n 1} l restriction f ]i, i+1 [ soit continue et dmette une limite à guche en i et une limite à droite en i+1. Théorème 1 Soit f : [, b] E une fonction continue pr morceux. Il existe une suite (f n ) de fonctions en escliers f n : [, b] E qui converge uniformément vers f sur [, b]. Si E est complet, lors pour toutes ( les suites (f n ) de fonctions en escliers sur [, b] convergent uniformément vers f sur [, b], l suite ) b f n converge dns E vers une même limite, ppelée l intégrle de f sur [, b] et notée [,b] f = f = f(t)dt = lim n f n (t)dt. Proposition 2 (Propriétés de l intégrle) Notons CM([, b], E) l ensemble des fonctions continues pr morceux sur [, b]. Reltion de Chsles. Pour tout f CM([, b], E) et tout c [, b] on f CM([, c], E) et f CM([c, b], E) et f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. Linérité de l intégrle. Pour tous f, g CM([, b], E) et tous réels λ et µ on λf + µg CM([, b], E) et (λf + µg)(x)dx = λ f(x)dx + µ g(x)dx. Croissnce. Pour tous f, g CM([, b], R), si pour tout x [, b], f(x) g(x) lors f(x)dx g(x)dx. Pr conséquent, si f sur [, b] lors f(x)dx. Mjortion. Pour tout f CM([, b], E) on f CM([, b], R) et f(x)dx f(x) dx. Inéglité de Cuchy-Schwrtz. Pour tous f, g CM([, b], R) on f g CM([, b], R) et ( f(x)g(x)dx ) 1/2 ( 1/2 f(x) 2 dx g(x) dx) 2.

4 CHAPITRE 1. RAPPELS SUR L INTÉGRATION 3 Exercice Démontrer cette proposition. Proposition 3 Soit f continue sur [, b] telle que f sur [, b]. Alors 1.3 Sommes de Riemnn f(x)dx = f = sur [, b]. Définition 4 Soit f : [, b] E une fonction. Soit σ = {x, x 1,, x n }, telle que = x < x 1 < < x n = b, une subdivision de [, b] et soit ξ = {ξ, ξ 1,, ξ n 1 }, telle que ξ i [x i, x i+1 ], i =,, n 1, une suite de points. On ppelle somme de Riemnn de f ssociée à σ et ξ l somme notée n 1 R(f, σ, ξ) = (x i+1 x i )f(ξ i ). i= Théorème 2 Si l fonction f : [, b] E est continue pr morceux sur [, b] lors, pour tout ε > il existe δ > tel que pour toute subdivision σ = {x, x 1,, x n } et toute suite de points ξ = {ξ, ξ 1,, ξ n 1 } on x i+1 x i < δ et x i ξ i x i+1 pour i n 1 Exercice Démontrer ce théorème. R(f, σ, ξ) f(x)dx < ε.

5 Chpitre 2 Intégrles générlisées 2.1 Position du problème Dns le chpitre 1 on rppelé l définition de l intégrle (si elle existe) d une fonction bornée sur un intervlle borné. Dns ce chpitre on v étendre l notion d intégrle (si elle existe) à des fonctions non bornées ou des intervlles non bornés (ou les deux). Plus précisément, on veut génerliser l notion d intégrle et définir l intégrle générlisée (si elle existe) f(x)dx (2.1) I où I est un intervlle quelconque de R et f une fonction continue et éventuellement non bornée sur I, ou non définie en des points isolés de I. On dit que (2.1) est une intégrle générlisée ou intégrle impropre. Comme on veut conserver l dditivité de l intégrle (Reltion de Chsles) on décomposer TOUJOURS l intégrle (2.1) en une somme d intégrles de l forme ou bien de l forme Pr exemple on poser f(x)dx, vec < b + et f : [, b[ R continue, f(x)dx, vec < b et f :], b] R continue. dx 1 x 2 = dx 1 x 2 + dx 1 x dx 1 x 2 + dx 1 x dx 1 x 2 dx 1 x 2, c l intégrle considérée est impropre en ± et en ±1. L intégrle sur ], + [ n ur de sens que si chcune des six intégrles dont elle est l somme existe. Comme l sitution sur ], b] est nlogue à celle sur [, b[, nous llons dns l suite définir les intégrles générlisées de f sur [, b[, vec < b +. On exmine d bord le cs b = +, puis le cs où b < + et f est continue sur [, b[ et non bornée. 2.2 Intégrle sur un intervlle non borné Soit f : [, + [ R une fonction continue. Pr conséquent f est intégrble sur tout intervlle [, x] vec x >, de sorte que le nombre x f(t)dt est bien défini. Définition 5 On dit que l intégrle générlisée (ou impropre) x f(t)dt existe (ou converge) si lim x + f(t)dt exite et est finie. Dns ce cs on note f(t)dt = lim x + 4 x f(t)dt.

6 CHAPITRE 2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES 5 Si cette limite n existe ps ou bien est infinie on dir que l intégrle diverge. Exercice Déterminer l nture (convergente ou divergente) des intégrles générlisées suivntes dt 1 + t 2, dt 1 + t, 1 dt t 2, dt 1 + t 2, dt. On le résultt suivnt qui est une conséquence directe de l linérité de l limite. Proposition 4 Si f(t)dt et b(t)dt convergent, lors pour tous nombres réels λ et µ, (λf + µg)(t)dt converge et on (λf + µg)(t)dt = λ f(t)dt + µ Fonctions positives Théorème 3 (Critère de comprison) Si f g sur [, + [ lors g(t)dt. g(t)dt converge f(t)dt diverge f(t)dt converge, f(t)dt diverge, Comme une fonction croissnte (ici x f(t)dt) et bornée une limite et qu une fonction croissnte et qui n ps de limite tend vers +, on le résultt. Exercice Rédiger les détils de l démonstrtion. Théorème 4 (Critère d équivlence) Si f, g pour t ssez grnd et si f g qund t + (c est à dire f(t) lim t + g(t) = 1), lors g(t)dt converge f(t)dt converge. Exercice Démontrer ce théorème. On utilise ces deux théorèmes pour comprer l fonction à des fonctions de référence données dns l proposition suivnte Proposition 5 (Fonctions de comprison) Intégrles de Riemnn : dt converge si et seulement si α > 1. tα Intégrles de Bertrnd : Exercice Démontrer cette proposition. 1 1 dt t α converge si et seulement si α > 1 ou α = 1 et β > 1. (ln t) β

7 CHAPITRE 2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES Fonctions de signe quelconque D près le critère de Cuchy d existence de l limite de l fonction x f(t)dt on Proposition 6 (Critère de Cuchy) Soit f : [, + [ R une fonction continue. Alors x f(t)dt converge ε > c > x, x [c, + [ f(t)dt < ε. Définition 6 On dit que f(t)dt est bsolument convergente si f(t) dt converge. On dit que f(t)dt est semi convergente si elle est convergente mis ps bsolument convergente. Théorème 5 L convergence bsolue d une intégrle implique s convergence. Pour démontrer ce résultt, il suffit de constter que x f(t)dt et d utiliser le critère de Cuchy. Exercice Rédiger les détils de l démonstrtion. x x x f(t) dt. x 2.3 Fonction non bornée sur un intervlle borné Soit f : [, b[ R une fonction continue. Pr conséquent f est intégrble sur tout intervlle [, x] vec < x < b, de sorte que le nombre x f(t)dt est bien défini. Définition 7 On dit que l intégrle générlisée (ou impropre) f(t)dt existe (ou converge) si lim x b x f(t)dt exite et est finie. Dns ce cs on note f(t)dt = lim x b x f(t)dt. Si cette limite n existe ps ou bien est infinie on dir que l intégrle diverge. Exercice Déterminer l nture (convergente ou divergente) des intégrles générlisées suivntes 1 dt t, 1 dt t, 1 dt t 2, 1 dt 1 + t, dt t 2. On le résultt suivnt qui est une conséquence directe de l linérité de l limite. Proposition 7 Si f(t)dt et b(t)dt convergent, lors pour tous nombres réels λ et µ, (λf + µg)(t)dt converge et on (λf + µg)(t)dt = λ f(t)dt + µ g(t)dt.

8 CHAPITRE 2. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES Fonctions positives Théorème 6 (Critère de comprison) Si f g sur [, b[ lors g(t)dt converge f(t)dt diverge f(t)dt converge, f(t)dt diverge, Comme une fonction croissnte (ici x f(t)dt) et bornée une limite et qu une fonction croissnte et qui n ps de limite tend vers +, on le résultt. Exercice Rédiger les détils de l démonstrtion. Théorème 7 (Critère d équivlence) Si f, g pour t proche de b et si f g qund t b (c est à dire = 1), lors lim t b f(t) g(t) Exercice Démontrer ce théorème. b g(t)dt converge f(t)dt converge. On utilise ces deux théorèmes pour comprer l fonction à des fonctions de référence données dns l proposition suivnte Proposition 8 (Intégrles de Riemnn) Soit < b lors (ttention, l intégrle est impropre en ) Exercice Démontrer cette proposition. dt converge si et seulement si α < 1. (t ) α Fonctions de signe quelconque D près le critère de cuchy d existence de l limite de l fonction x f(t)dt on Proposition 9 (Critère de Cuchy) Soit f : [, b[ R une fonction continue. Alors x f(t)dt converge ε > c ], b[ x, x [c, b[ f(t)dt < ε. Définition 8 On dit que f(t)dt est bsolument convergente si f(t) dt converge. On dit que f(t)dt est semi convergente si elle est convergente mis ps bsolument convergente. Théorème 8 L convergence bsolue d une intégrle implique s convergence. x

9 Chpitre 3 Séries Etnt donnée une suite u n dns R ou C, ou plus générlement dns un espce vectoriel E, on ppelle série de terme générl u n, l suite u, u + u 1, u + u 1 + u 2,, u + u u n, c est à dire l suite ( n k= u k) n N. On note u n cette suite. 3.1 Rppels sur les suites Définition 9 On dit qu une suite (u n ) de nombres réels (ou complexes) est convergente s il existe l R ou C, ppelé l limite de l suite, tel que lim n + u n l =. On écrit lors lim u n = l lim u n l = ɛ > N n(n > N u n l < ɛ). n + n + Proposition 1 [Condition nécessire et suffisnte de convergence] L suite (u n ) converge si et seulement si c est une suite de Cuchy, c est à dire ɛ > N p, q(q, p > N u p u q < ɛ. Définition 1 On dit qu une suite (u n ) d un espce normé (E, ) est convergente s il existe l E, ppelé l limite de l suite, tel que lim n + u n l =. On écrit lors lim u n = l lim u n l = ɛ > N n(n > N u n l < ɛ). n + n + Proposition 11 [Condition nécessire et suffisnte de convergence] Dns un espce complet, l suite (u n ) converge si et seulement si c est une suite de Cuchy, c est à dire ɛ > N p, q(q, p > N u p u q < ɛ. 3.2 Séries dns R ou C Convergence et convergence bsolue Soit (u n ) une suite de nombres réels (ou complexes). Définition 11 On dit que l série de terme générl u n (en brégé l série u n ) converge si l suite n k= u k converge. Dns ce cs on note n u k = lim u k. k= n + k= Si cette limite n existe ps ou bien est infinie on dir que l série diverge. 8

10 CHAPITRE 3. SÉRIES 9 Comme u n = n k= u k n 1 k= u k, on l proposition suivnte Proposition 12 [Condition nécessire de convergence] Si l série u n converge lors lim n + u n =. Le critère de convergence de Cuchy pour les suites donne l CNS de convergence suivnte pour les séries Proposition 13 [Condition nécessire et suffisnte de convergence] L série u n converge si et seulement si l suite n k= u k est de Cuchy, ce qui s écrit q un converge ɛ > N p, q(q > p > N u k < ɛ. Définition 12 [Convergence bsolue] On dit que l série u n converge bsolument si l série u n converge. Proposition 14 L convergence bsolue implique l convergence. Ce résultt est une conséquence du critère de Cuchy et de l propriété q q u k u k. k=p k=p k=p Exercice Déterminer l nture (convergente ou divergente) des séries suivntes r n, 2n 1 2n + 1, 1 n, 1 n(n + 1). On le résultt suivnt qui est une conséquence directe de l linérité de l limite. Proposition 15 Si u n et v n convergent, lors pour tous nombres réels λ et µ, (λu n + µv n ) converge et on (λu n + µv n ) = λ u n + µ v n Séries à termes réels positifs Théorème 9 (Critère de comprison) Si u n v n lors vn converge u n converge, un diverge v n diverge, Exercice Rédiger les détils de l démonstrtion. Théorème 1 (Critère d équivlence) Si u n, v n pour n ssez grnd et si u n v n qund n + (c est u à dire lim n n + vn = 1), lors un converge v n converge. Exercice Démontrer ce théorème.

11 CHAPITRE 3. SÉRIES 1 Théorème 11 (Comprison vec une intégrle) Soit n un entier positif. Soit f : [n, + [ R + une fonction continue, décroissnte et telle que lim t + f(t) =. Alors l série n n f(n) converge si et seulement si l intégrle impropre n f(t)dt converge. PREUVE. Notons u n = f(n) pour n n. Comme f est décroissnte, u k f(t) u k 1 pour t [k 1, k]. D où u k k k 1 f(t)dt u k 1 Pr conséquent, si on note v n = n n 1 f(t)dt, on, en utilisnt le critère de comprison 9 un converge v n converge. Il suffit de remrquer lors que (montrer le) vn converge n f(t)dt converge. Ce qui chève l démonstrtion. On utilise les théorèmes 9 et 1 pour comprer l série à des séries de référence données dns l proposition suivnte Proposition 16 Série géométrique : Soit et r des nombres réels (ou complexes) lors r n converge si et seulement si r < 1. Série de Riemnn : Soit α un nombre réel lors 1 converge si et seulement si α > 1. nα Série de Bertrnd : Soit α et β des nombres réel lors 1 n α converge si et seulement si α > 1 ou α = 1 et β > 1. (ln n) β Exercices 1. Démontrer cette proposition. 2. Démontrer que si α C et Reα > 1 lors 1 n α converge. Théorème 12 [Test de Cuchy] Soit u n une série à termes positifs et soit λ = lim (u n ) 1/n lors ) si λ < 1 l série converge, b) si λ > 1 l série diverge, c) si λ = 1 on ne peut rien conclure. Théorème 13 [Test de d Alembert] Soit u n une série à termes positifs et soit λ = lim u n+1 u n lors ) si λ < 1 l série converge, b) si λ > 1 l série diverge, c) si λ = 1 on ne peut rien conclure.

12 CHAPITRE 3. SÉRIES 11 Exercices 1. Démontrer ces deux théorèmes. 2. Appliction : nture de l série u n vec u n = n! n n. Proposition 17 Soit u n une suite de nombres réels positifs tels que lim n + u n+1 u n = λ existe (les cs λ = et λ = + sont permis ussi) lors lim n + (u n ) 1/n et on lim n + (u n ) 1/n = λ. Exercices 1. Démontrer cette proposition. ( ) (n!) 2 1/n 2. Appliction : clculer lim. n + (2n + 1)! Produit de Cuchy des séries Définition 13 On ppelle produit de Cuchy des séries u n et u n dont les éléments sont dns R ou C, l série w n définie pr w n = n u k v n k = u v n + u 1 v n u n v = k= p+q=n Théorème 14 Si u n et u n sont bsolument convergentes lors w n est bsolument convergente et on ( ) ( ) w n = u n v n. Exercices 1. Démontrer ce théorème. 2. Appliction : Exponentielle complexe. Démontrer que l série z n! est bsolument convergente pour tout z C. On note pr exp (z) = e z z = n! = 1 + z 1! + z2 2! + + zn n! + s somme et on l ppelle l exponentielle du nombre complexe z. Montrer que pour tous z 1, z 2 C, on e z 1+z 2 = e z 1 e z 2. u p v q Séries semi convergentes Théorème 15 (Séries lternées) Soit n une suite décroissnte de nombres réels positifs, telle que lim n + n =. Alors l série ( 1) n n est convergente et on n ( 1) k k ( 1) k k n+1. k= k= Exercices 1. Démontrer ce théorème. 2. Appliction : Série de Riemnn. Démontrer que ( 1) n n α converge si et seulement si α >. Théorème 16 (Règle d Abel) Soient n et b n des suites de nombres réels ou complexes telles que lim n + n =, l série n n+1 converge et l suite B n = n k= b k est bornée. Alors l série n b n converge.

13 CHAPITRE 3. SÉRIES 12 Corollire 1 Soit n et une suite décroissnte de nombres réels telle que lim n + n =. Soit b n une suite de nombres réels ou complexes telle que l suite B n = n k= b k soit bornée. Alors l série n b n converge. Exercices 1. Démontrer ce théorème insi que son corollire. 2. Appliction : Séries trigonométriques. Soit n une suite de nombres réels positifs, dćroissnte et qui tend vers. Démontrer que pour tout t (mod 2π), l série n e int converge. 3.3 Séries dns les espces normés Soit (E, ) un espce normé et soit (u n ) une suite d éléments de E. Définition 14 On dit que l série de terme générl u n (en brégé l série u n ) converge si l suite n k= u k converge. Dns ce cs on note n u k = lim u k. k= Si cette limite n existe ps on dir que l série diverge. n + k= Comme u n = n k= u k n 1 k= u k, on l proposition suivnte Proposition 18 [Condition nécessire de convergence] Si l série u n converge lors lim n + u n =. Le critère de convergence de Cuchy pour les suites donne l CNS de convergence suivnte pour les séries Proposition 19 [Condition nécessire et suffisnte de convergence] Si E est complet, lors l série u n converge si et seulement si l suite n k= u k est de Cuchy, ce qui s écrit q un converge ɛ > N p, q(q > p > N u k < ɛ. Définition 15 [Convergence bsolue] On dit que l série u n converge bsolument si l série u n converge. Le résultt suivnt est une conséquence du critère de Cuchy et de l propriété q q u k u k. Proposition 2 Si E est complet, lors l convergence bsolue implique l convergence. On le résultt suivnt qui est une conséquence directe de l linérité de l limite. k=p Proposition 21 Si u n et v n convergent, lors pour tous nombres réels λ et µ, (λu n + µv n ) converge et on (λu n + µv n ) = λ u n + µ v n. On considère mintennt une lgèbre normée (E, ), c est à dire une lgèbre munie d une norme vérifint en plus des propriétés des norme l inéglité k=p (x, y) E 2, xy x y. k=p

14 CHAPITRE 3. SÉRIES 13 Définition 16 On ppelle produit de Cuchy des séries u n et u n dont les éléments sont dns E, l série wn définie pr w n = n u k v n k = u v n + u 1 v n u n v = k= p+q=n Théorème 17 Soit (E, ) une lgèbre normée complète. Si u n et u n sont bsolument convergentes lors w n est bsolument convergente et on ( ) ( ) w n = u n v n. Exercices 1. Démontrer ce théorème. 2. Appliction : Exponentielle d une mtrice. On munit l ensemble E des mtrice crrée d une norme mtricelle qui en fit une lgèbre normée (donc complète). Démontrer que l série A n! est bsolument convergente pour tout A E. Montrer que l série A n! est convergente. On note pr exp (A) = e A = A n! = 1 + A 1! + A2 2! + + An n! + s somme et on l ppelle l exponentielle de l mtrice A. Montrer que pour toutes mtrices A et B qui commutent, on e A+B = e A e B. u p v q. Théorème 18 (Règle d Abel) Soit (E, ) une lgèbre normée complète. Soient n et b n des suites dns E telles que lim n + n =, l série n n+1 converge et l suite B n = n k= b k est bornée. Alors l série n b n converge. Exercice Démontrer ce théorème.

15 Chpitre 4 Suites et séries de fonctions 4.1 Convergence d une suite Soit f n : X E une suite de fonction d un ensemble X vers un espce normé E. Définition 17 [Convergence simple] On dit que l suite (f n ) converge simplement vers l fonction f : X E si pour tout x X l suite f n (x) converge vers f(x). On écrit lors f n f x X lim n + f n(x) = f(x) x X ɛ > n n(n > n f n (x) f(x) < ɛ). Définition 18 [Convergence uniforme] On dit que l suite (f n ) converge uniformément vers l fonction f : X E si l suite sup x X f n (x) f(x) converge vers. On écrit lors unif f n f lim sup f n (x) f(x) = n + x X ɛ > n x X n(n > n f n (x) f(x) < ɛ). Proposition 22 [Condition nécessire et suffisnte de convergence] On suppose que l espce E est complet. L suite f n est convergente si et seulement si pour tout x X l suite f n (x) est de Cuchy, c est à dire x X ɛ > n p, q(q > n, p > n f p (x) f q (x) < ɛ). L suite f n est uniformément convergente si et seulement si elle est uniformément de Cuchy, c est à dire ɛ > n x X p, q(q > n, p > n f p (x) f q (x) < ɛ). 4.2 Convergence d une série Soit f n := X E une suite de fonction d un ensemble X vers un espce normé E. Définition 19 On dit que l série f n converge simplement (resp. uniformément) si l suite des sommes prtielles n k= f k est simplement (resp. uniformément) convergente. On note k= f k = lim n + k= n f k. Proposition 23 [Condition nécessire de convergence] Si l série f n converge simplement (resp. uniformément) lors l suite f n converge simplement (resp. uniformément) vers. 14

16 CHAPITRE 4. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 15 Proposition 24 [Condition nécessire et suffisnte de convergence] On suppose que l espce E est complet. L série f n est convergente si et seulement si pour tout x X l suite n k= f k(x) est de Cuchy, c est à dire q x X ɛ > n p, q(q > p > n f k (x) < ɛ). k=p+1 L série f n est uniformément convergente si et seulement si l suite n k= f k(x) est uniformément de Cuchy, c est à dire q ɛ > n x X p, q(q > p > n f k (x) < ɛ). k=p+1 Proposition 25 [Condition suffisnte de convergence uniforme] Si l espce E est complet et si l série f n est normlement convergente, c est à dire s il existe une série de nombre réels positifs convergente n telle que f n (x) n pour tout x X, lors elle est uniformément convergente. 4.3 Propriétés de l limite d une suite de fonctions Théorème 19 Soit f n : X E une suite de fonctions définies sur une prtie X d un espce métrique à unif vleurs dns un espce normé E. Soit un point dhérnt à X. Si f n f et si l n = lim x f n (x) existe lors les limites lim x f(x) et lim n + l n existent et sont égles. En d utres termes lim lim f n(x) = lim lim f n(x). x n + n + x Ce résultt reste vri si = + et f n :], + [ E. Corollire 2 Soit f n : X E une suite de fonctions définies sur une prtie X d un espce métrique à vleurs unif dns un espce normé E. Si f n f et si les fonctions f n sont continues sur X lors l fonction f est continue sur X. unif Théorème 2 Soit f n : X E une suite de fonctions définies sur [, b] à vleurs dns R. Si f n f et si les f n sont intégrbles sur [, b], lors f est inégrble sur [, b] et on f(t)dt = lim n f n(t)dt. En d utres termes lim f n(t)dt = n + lim n + f n (t)dt. Théorème 21 Soit f n : X E une suite de fonctions de clsse C 1, définies sur un intervlle I de R à vleurs dns R. Si f n f et f n unif g lors f est de clsse C 1 et on f = g. En d utres termes ( ) lim f n = lim (f n). n + n Propriétés de l somme d une série de fonctions Théorème 22 Soit f n : X E une suite de fonctions définies sur une prtie X d un espce métrique à vleurs dns un espce normé E. Soit un point dhérnt à X. Si l série f n converge uniformément et si l n = lim x f n (x) existe lors l limite lim + x f n(x) et l somme + l n existent et sont égles. En d utres termes lim x f n (x) = Ce résultt reste vri si = + et f n :], + [ E. lim f n(x). x

17 CHAPITRE 4. SUITES ET SÉRIES DE FONCTIONS 16 Corollire 3 Soit f n : X E une suite de fonctions définies sur une prtie X d un espce métrique à vleurs dns un espce normé E. Si f n converge uniformément et si les fonctions f n sont continues sur X lors l fonction + f n est continue sur X. Théorème 23 Soit f n : X E une suite de fonctions définies sur [, b] à vleurs dns R. Si f n converge uniformément et si les f n sont intégrbles sur [, b], lors l fonction + f n est inégrble sur [, b] et on f n (t)dt = f n (t)dt. Théorème 24 Soit f n : X E une suite de fonctions de clsse C 1, définies sur un intervlle I de R à vleurs dns R. Si l série f n est convergente et l série f n est uniformément convergente lors l fonction + f n est de clsse C 1 et on ( + ) f n = (f n ). 4.5 L fonction ζ de Riemnn On considère l fonction définie sur U = {s C : Re(s) > 1}. ζ(s) = 1. Montrer que l fonction ζ est continue sur U. 2. Montrer que l fonction ζ est dérivble sur ]1, + [ et que s dérivée est n=1 1 n s ζ (s) = n=1 ln n n s. 3. Montrer que l fonction ζ est convexe sur ]1, + [ (c est à dire ζ (s) > pour tout s > 1). 4. Clculer lim s 1 ζ(s) et lim s + ζ(s) et dessiner le grphe de l fonction ζ.

18 Chpitre 5 Séries entières Une série entière est une série f n de fonctions définie sur C de l forme f n (z) = n z n, où n est une suite de nombres réels ou complexes. 5.1 Ryon de convergence Soit n z n une série entière. Soit R = sup(a) où A = {r : l suite n r n est bornée}. Théorème 25 Pour tout z C on 1. z < R n z n est bsolument convergente, 2. z > R n z n est divergente. Le nombre R est ppelé le ryon de convergence de l série n z n. Noter que R ou bien R = +. Le disque D(, R) = {z C : z < R} s ppelle le disque de convergence de l série. Si R = + lors D(, R) = C. Les critère de Cuchy et de d Alembert de convergence de séries à termes réels positifs fournissent des formules pour clculer le ryon de convegrence d une série entière. Proposition 26 Si L = lim n + n 1 n existe lors R = 1/L. Si L = lim n+1 n + n existe lors R = 1/L. 5.2 Convergence uniforme Théorème 26 Soit n (z) une série entière de ryon de convergence R >. Soit r ], R[. Alors n (z) est normlement (donc uniformément) convergente sur le disque fermé {z C : z r}. En générl il n y ps de convergence uniforme sur tout le disque de convergence, comme le montre l série géométrique z n, de ryon de convergence R = 1, qui ne converge ps uniformément sur D(, 1) cr l suite z n ne tend ps uniformément vers sur D(, 1). 5.3 Série dérivée d une série entière Définition 2 L série dérivée de l série entière n z n est l série (n + 1) n+1 z n. Proposition 27 Une série entière et s série dérivée ont le même ryon de convergence. 17

19 CHAPITRE 5. SÉRIES ENTIÈRES Propriétés de l somme d une série entière Soit n z n une série entière de ryon de convergence R >. Soit définie pour z D(, R). f(z) = Théorème 27 L fonction f est continue sur D(, R). n z n Théorème 28 Pour tout intervlle [, b] ] R, R[ on ( b + ) n x n n ( dx = b n+1 n+1). n + 1 Corollire 4 L fonction f(x) = + nx n dmet comme primitives sur ] R, R[ les fonctions + C, où C est une constnte. Théorème 29 L fonction f(x) = + nx n est dérivble sur ] R, R[ et on f (x) = (n + 1) n+1 x n. n n+1 xn+1 + Corollire 5 L fonction f(x) = + nx n est de clsse C sur ] R, R[ et pour tout entier n on f (n) () = n! n. Pr conséquent, pour tout x ] R, R[, on f(x) = L série (5.1) s ppelle l série de Tylor de f en. 5.5 Fonctions développbles en séries entières Soit D un voisinge ouvert de dns R et soit f : D R. f (n) () x n. (5.1) n! Définition 21 L fonction f est dite développble en série entière (DSE) en s il existe une série entière n x n et un réel R > tel que ] R, R[ D et f(x) = n x n, pour tout x ] R, R[. Proposition 28 Une condition nécessire pour que f soit DSE en est que f soit de clsse C en. Dns ce cs les colleficients de l série entière n x n dont f est l somme sont donnés pr n = f (n) (). n! Pr conséquent une fonction qui est DSE en est l somme de s série de Tylor dns un voisinge de. Cette condition n est ps suffisnte. En effet l fonction { e 1/t 2 si t f(x) = si t = est de clsse C en et pour tout entier n on f (n) () = (montrer le), mis f n est égle à l somme de s série de Tylor + f (n) () n! x n, dns ucun voisinge de, cr l fonction f ne s nnulle qu en, lors que l somme de s série de tylor est nulle.

20 CHAPITRE 5. SÉRIES ENTIÈRES 19 Théorème 3 L fonction f est DSE en si et seulement si il existe R > tel que 1. f est de clsse C sur ] R, R[. 2. pour tout x ] R, R[ on lim n + ( f(x) n k= ) f (k) () x k =. k! Corollire 6 Pour que l fonction f soit DSE en il suffit qu il existe R > tel que 1. f soit est de clsse C sur ] R, R[. 2. Il existe M > tel que pour tout x ] R, R[ et pour tout n N on it f (n) (x) M. Pour démontrer ce corollire il suffit d utiliser l formule de Tylor vec reste intégrl n f (k) () x f(x) x k (x t) n 1 = f (n+1) (t)dt = xn+1 (1 v) n f (n+1) (xv)dv. k! n! n! On donc k= f(x) n k= f (k) () x k M x n+1 k! (n)! 1 (1 v) n dv = M x n+1 (n + 1)!. Soit u n = x n+1 (n+1)!. Pr le critère de d Alembert l série u n converge, donc lim n + u n =. 5.6 Développement en série entière des fonctions usuelles sin x = x x3 3! cos x = 1 x2 2! e x = 1 + x + x2 2! + + xn n! + = + x n n!, x R x2n ( 1)n (2n + 1)! + = ( 1) n x2n+1 (2n + 1)!, x R x2n ( 1)n (2n)! + = ( 1) n x2n (2n)!, x R shx = x + x3 3! + + x2n+1 + (2n + 1)! + = x 2n+1 (2n + 1)!, x R chx = 1 + x2 2! + + x2n + (2n)! + = x 2n (2n)!, (1 + x) α = 1 + αx + = α(α 1) x ! x R α(α 1) (α n) x n + n! α(α 1) (α n) x n, x ] 1, 1[ n! x = 1 x + x2 + + ( 1) n x n + = ( 1) n x n, x ] 1, 1[ 1 1 x = 1 + x + x2 + + x n + = x n, x ] 1, 1[ ln (1 + x) = x x2 2 xn ( 1)n 1 n + = ( 1) n 1 xn, x ] 1, 1[ n

21 CHAPITRE 5. SÉRIES ENTIÈRES Exponentielle complexe On Pour tout z C on définit e z pr Pr conséquent e z = 1 + z + z2 2! + + zn + n! + = z n n!. e = 1, z 1, z 2 C, e z 1+z 2 = e z 1 e z 2. z C, e z, et 1 e z = e z. Théorème 31 L fonction z e z est un homomorphisme surjectif et non injectif du groupe dditif C dns le groupe multiplictif C. Cet homomorphisme de groupe n est ps injectif cr e z+2iπ = e z. Pr illeurs on z C w C e z = w z = ln w + i(argw + 2kπ) où Arg(w) est l rgument du nombre complexe non nul w, c est à dire l unique réel tel que π Arg(w) < π et w = w e iarg(w). Exercice Démontrer que l ppliction z = x + iy e z = e x (cos y + i sin y) est un difféomorphisme de U = {(x, y) R 2 : y < π} dns V = R 2 \ {(u, ) : v }. L ppliction z e z est donc bijective de U dns V. S reciproque est ppelée l fonction logrithme. Elle est définie de V dns U pr Logw = ln w + iargw.

22 Chpitre 6 Séries de Fourier 6.1 Coefficients de Fourier Soit c n une suite de nombres complexes. On note pr n Z c n e int l série ( cn e int + c n e int). Comme on on peut écrire ussi vec n Z c n e int = c + n 1 e int = cos(nt) + i sin(nt), n Z Ces dernières équtions sont équivlentes à e int = cos(nt) i sin(nt), c n e int = 2 + ( n cos(nt) + b n sin(nt)) n 1 n = c n + c n, b n = i(c n c n ) pour tout n. c n = n ib n, c n = n + ib n 2 2 pour tout n. Proposition 29 Supposons que l série n Z c ne int soit uniformément convergente. Soit f(t) = s somme. Alors on c n = 1 2π f(t)e int dt. 2π En nottion trigonométrique on : si f(t) est l somme d une série uniformément convergente lors on n = 1 π Pour l démonstrtion on pose f(t) = 2 + ( n cos(nt) + b n sin(nt)), n 1 2π f(t) cos(nt)dt, f(t)e imt = n= b n = 1 π 2π c n e i(n m)t. f(t) sin(nt)dt. Comme l série converge uniformément on peut intégrer terme à terme. On obtient 2π f(t)e imt dt = n= 2π c n e i(n m)t dt = 2πc m. n= c n e int 21

23 CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER 22 Définition 22 Soit f : R C une fonction 2π-péridoique et continue pr morceux. On ppelle coefficients de Fourier de f les nombres complexes ou bien les nombres complexes n (f) = 1 π 2π c n (f) = 1 2π f(t)e int dt, n Z, 2π f(t) cos(nt)dt, L série de Fourier de l fonction f est l série n Z c n (f)e int = (f) 2 b n (f) = 1 π 2π f(t) sin(nt)dt, n N. + n 1 ( n (f) cos(nt) + b n (f) sin(nt)). Exercices Démontrer les propriétés suivntes 1. Si f : R R lors n (f) et b n (f) sont réels et c n (f) = c n (f). 2. Les n, b n et c n sont linéires en f : n (λf + µg) = λ n (f) + µ n (g), b n (λf + µg) = λb n (f) + µb n (g), c n (λf + µg) = λc n (f) + µc n (g). 3. On peut remplcer l intervlle d intégrtion [, 2π] pr n importe quel intervlle de longueur 2π, pr exemple pr l intervlle [ π, π]. 4. Si f est pire lors n (f) = 2 π π f(t) cos(nt)dt et b n(f) =. 5. Si f est impire lors n (f) = et b n (f) = 2 π f(t) sin(nt)dt. 6.2 Convergence de l série de Fourier π L série de Fourier n Z c n (f)e int d une fonction f est-elle convergente? Si oui, s somme est-elle égle à l fonction f. L réponse est donnée pr le théorème suivnt Théorème 32 [Théorème de Dirichlet]. Si f est de clsse C 1 pr morceux lors l série de Fourier de f est simplement convergente et on n= { f(t) si f est continue en t c n (f)e int = f(t+)+f(t ) 2 si f n est ps est continue en t Si de plus f est continue lors l série de Fourier n Z c n (f)e int est normlement, donc uniformément convergente et s somme est égle à f(t). On ussi le résultt suivnt qui est vri même si l fonction f est seulement continue pr morceux. Théorème 33 [Formule de Prsevl]. Si f est continue pr morceux on n= c n (f) 2 = (f) n=1 ( n (f) 2 + b n (f) 2) = 1 π f(t) 2 dt. 2π π

24 CHAPITRE 6. SÉRIES DE FOURIER Fonctions T -périodiques Définition 23 Soit f : R C une fonction T -péridoique et continue pr morceux. On ppelle coefficients de Fourier de f les nombres complexes ou bien les nombres complexes n (f) = 2 T n Z T c n (f) = 1 T ( f(t) cos n 2π ) T t dt, T 2π in f(t)e T t dt, n Z, b n (f) = 2 T T ( f(t) sin n 2π ) T t dt, n N. L série de Fourier de l fonction f est l série 2π in c n (f)e T t = (f) + ( ( n (f) cos n 2π ) ( 2 T t + b n (f) sin n 2π )) T t. n 1 Le théorème de Dirichlet est vri. L formule de Prsevl devient n= c n (f) 2 = (f) n=1 ( n (f) 2 + b n (f) 2) = 1 T T f(t) 2 dt,

25 Chpitre 7 Intégrles générlisées dépendnt d un prmètre 7.1 Convergence simple et convergence uniforme Soit f : [, b[ I R, (t, x) f(t, x), une fonction, vec < b + et I un intervlle de R. On suppose que pour tout x I l fonction t f(t, x) est continue pr morceux sur [, b[, de sorte que l intégrle c f(t, x)dt un sens pour tout c [, b[. On se propose d étudier l limite, lorsqu elle existe, de cette intégrle lorsque c tend vers b. Définition 24 On dit que l intégrle générlisée (ou impropre) f(t, x)dt converge simplement sur I si pour c tout x I lim c b,c<b f(t, x)dt exite et est finie. Dns ce cs on note Pr conséquent F (x) = On dit que l intégrle générlisée f(t, x)dt = F (x) converge simplement sur I lim c b,c<b lim c c b,c<b f(t, x)dt. f(t, x)dt converge uniformément sur I si lim f(t, x)dt =. sup c b,c<b x I 7.2 Continuité, intégrtion et dérivbilité c c f(t, x)dt =. Théorème 34 Soit f : [, b[ I R une fonction continue sur (, b[ I. Si l intégrle f(t, x) est uniformément convergente sur I lors l fonction F (x) = f(t, x) est continue sur I. Théorème 35 Soit f : [, b[ [c, d] R une fonction continue sur (, b[ I. Si l intégrle f(t, x)dt est uniformément convergente sur [c, d] lors on d [ ] [ d ] f(t, x)dt dx = f(t, x)dx dt. c Théorème 36 Soit f : [, b[ I R une fonction continue sur (, b[ I. On suppose que l dérivées prtielle f x : [, b[ I R est continue sur (, b[ I. Si l intégrle f(t, x) est convergente sur I et si l intégrle f x (t, x)dt est uniformément convergente sur I lors l fonction F (x) = f(t, x) est dérivble sur I et on F f (x) = (t, x)dt. x c 24

26 CHAPITRE 7. INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE Convergence dominée Une condition suffisnte (et ps nécessire) pour que l intégrle f(t, x)dt soit uniformément convergente sur I est que f(t, x) soit mjorée, pour tout x I, pr une fonction g(t) qui soit intégrble sur [, b[, c est à dire telle que l intégrle g(t)dt converge. En effet dns ce cs on lim f(t, x)dt g(t)dt =. Pr conséquent on sup c b,c<b x I c lim c b,c<b Proposition 3 S il existe g : [, b[ R telle que g(t)dt converge et pour tout x I on f(t, x) g(t) lors f(t, x)dt est uniformément convergente sur I. Théorème 37 Soit f : [, b[ I R une fonction continue sur (, b[ I. S il existe g : [, b[ R telle que g(t)dt converge et pour tout x I on f(t, x) g(t) lors l fonction F (x) = f(t, x) est continue sur I. Théorème 38 Soit f : [, b[ [c, d] R une fonction continue sur (, b[ I. S il existe g : [, b[ R telle que g(t)dt converge et pour tout x I on f(t, x) g(t) lors on d [ [ d c ] f(t, x)dt dx = c c ] f(t, x)dx dt. Théorème 39 Soit f : [, b[ I R une fonction continue sur (, b[ I. On suppose que l dérivées prtielle f x : [, b[ I R est continue sur (, b[ I. Si l intégrle f(t, x) est convergente sur I et s il existe g : [, b[ R telle que b g(t)dt converge et pour tout x I on f x (t, x) g(t) lors l fonction F (x) = f(t, x) est dérivble sur I et on 7.4 L fonction Γ d Euler On considère l fonction F (x) = Γ(x) = f (t, x)dt. x e t t x 1 dt définie pour x >. Comme cette intégrle est impropre en et en +, s convergence équivut à l convergence des deux intégrles F 1 (x) = 1 e t t x 1 dt, F 2 (x) = 1. Montrer que l intégrle F 1 est convergente si et seulement si x >. 2. Montrer que l intégrle F 2 est convergente pour tout x R. 3. Montrer que l fonction Γ est continue. 4. Montrer que l fonction Γ est dérivble et que s dérivée est Γ (x) = 1 e t (ln t)t x 1. e t t x 1 dt. 5. Montrer que pour tout x > on Γ(x+1) = xγ(x) et en déduire que pour tout n N on Γ(n+1) = n!.

27 Chpitre 8 Equtions différentielles 8.1 Méthodes clssiques d intégrtion 8.2 Théorème de Cuchy-Lipshitz 8.3 Systèmes linéires 8.4 Equtions linéires d ordre n 26

28 Tble des mtières 1 Rppels sur l intégrtion Intégrle de Riemnn des fonctions en esclier Intégrtion des fonctions continues pr morceux Sommes de Riemnn Intégrles générlisées Position du problème Intégrle sur un intervlle non borné Fonctions positives Fonctions de signe quelconque Fonction non bornée sur un intervlle borné Fonctions positives Fonctions de signe quelconque Séries Rppels sur les suites Séries dns R ou C Convergence et convergence bsolue Séries à termes réels positifs Produit de Cuchy des séries Séries semi convergentes Séries dns les espces normés Suites et séries de fonctions Convergence d une suite Convergence d une série Propriétés de l limite d une suite de fonctions Propriétés de l somme d une série de fonctions L fonction ζ de Riemnn Séries entières Ryon de convergence Convergence uniforme Série dérivée d une série entière Propriétés de l somme d une série entière Fonctions développbles en séries entières Développement en série entière des fonctions usuelles Exponentielle complexe

29 TABLE DES MATIÈRES 28 6 Séries de Fourier Coefficients de Fourier Convergence de l série de Fourier Fonctions T -périodiques Intégrles générlisées dépendnt d un prmètre Convergence simple et convergence uniforme Continuité, intégrtion et dérivbilité Convergence dominée L fonction Γ d Euler Equtions différentielles Méthodes clssiques d intégrtion Théorème de Cuchy-Lipshitz Systèmes linéires Equtions linéires d ordre n

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