Chapitre EM 1 : Charge électrique et champ électrostatique

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1 Chapite E 1 : Chage électique et champ électostatique Sciences hysiques - I Oigine, pemièe loi 1. Chage électique q Définition : la chage q d une paticule est une gandeu extensive qui caactéise les inteactions électomagnétiques qu elle exece ou qu elle subit. opiétés : q peut ête positive ou négative, elle s expime en Coulomb : C. Quantification : q = ne avec n un entie elatif et e la chage élémentaie e 1, C. Remaque : la quantification de la chage n intevient plus à l échelle macoscopique ca la chage totale d un cops chagé est en généal tès supéieue à e : on a continuité de la chage à l échelle macoscopique. Consevation : la chage d un système physique femé se conseve (au cous de tout type de tansfomation du système). De même, elle est invaiante pa changement de éféentiel. 2. Loi de Coulomb (1785) Loi de Coulomb : deux paticules ponctuelles 1 et 2, de chage espectives q 1 et q 2 execent l une su l aute des foces diectement opposées, diigées suivant la doite ( 1 2 ), d intensité popotionnelle aux chages et invesement popotionnelle au caé de leu distance. F 1/2 = q 1 q 2 4πε = 1 4πε 0 q 1 q 2 2 1/2 avec 1 q 1 F 2/1 F1/2 1/2 1 4πε 0 = SI 2 q 2 Remaques : F obéit au pincipe des actions écipoques : F 1/2 = F 2/1 et F 1/2 1 2 = 0. Dans tout aute milieu que le vide, on doit emplace ε 0, la pemittivité absolue du vide pa ε = ε.ε 0 la pemittivité du milieu. ε est la pemittivité elative. ou l ai ε 1,0006 à 20 C ε ε 0 et pou l eau ε 80 à 20 C pouvoi dissociant de l eau : dissolution des cistaux ioniques (sels). 1

2 Chapite E 1 : Chage électique et champ électostatique On a une analogie fote avec la loi de l attaction univeselle : F 1/2 = G m 1m 2 2 1/2 à ceci pès qu ici, la foce peut ête attactive (si q 1 q 2 < 0) ou épulsive (si q 1 q 2 > 0). II Champ électostatique E 1. Notion de champ Définition : le champ d une gandeu G dans un domaine de l espace D est l ensemble des gandeus G aux dives points de D. Exemples : champ scalaie : champ de tempéatue T ( ) dans une pièce champ vectoiel : champ de gavitation dans le système solaie G( ) Remaque : Un champ peut également dépende du temps : T (,t) 2. Champ céé pa une chage ponctuelle Toute paticule de chage q placée au voisinage de de chage q subit de la pat de cette denièe une foce F (q est la chage d essai placée au point champ et q est placée au point souce ). F = 1 q q p 4πε 0 2 avec = e = e le vecteu adial du système de coodonnées sphéiques ( e, e θ, e ϕ ) en penant comme oigine. = θ e e ϕ e θ E() y On peut défini le vecteu E() tel que x ϕ I F = q E() E() = F q indépendant de q la chage d essai. Définition : E() est le vecteu champ électostatique céé pa au point. E() = q 4πε 0 2 L unité de E est le Volt pa mète V.m 1. 2

3 Chapite E 1 : Chage électique et champ électostatique Ode de gandeu : maximum admissible dans l ai sec : champ disuptif 10 6 V.m 1. subi pa l électon tès poche du poton d un atome d hydogène : V.m 1. poduit dans des accéléateus de paticules : 35 V.m 1. poche d une ligne à haute tension : 10 kv.m 1. poduit pa une antenne de téléphone potable : 10 à 30 V.m 1. Si q > 0, le champ divege à pati de et si q < 0, le champ convege ves. Si q > 0 Si q < 0 Dans tous les cas, son intensité décoît avec la distance et E n est pas défini su les chages ( = 0). 3. Champ d une distibution de chages 3.a. Distibutions discètes : échelle micoscopique. D Soit une distibution D de chages ponctuelles { 1 (q 1 )... i (q i )... N (q N )}. La chage totale est Q = N i=1 q i. incipe de supeposition : le champ ésultant E execée pa D au point champ est la somme des N champs E i execées pa chaque chage q i pise seule. En posant i = i et i = i i, i q i 2 q 2 < 0 N q N 1 q 1 q E i E 1 Champ céé en pa D : pa application du pincipe de supeposition, E = N E i = i=1 N q i 4πε 0 i 2 i i=1 Remaques : Ce pincipe découle diectement de la popiété d additivité des foces : F = qe = N i=1 F i = N i=1 q E i = q N i=1 E i. Il s agit d une somme vectoielle, l utilisation des syméties pemetta de simplifie les calculs. E ne dépend pas de la chage d essai, on ne la epésente pas en généal. 3

4 Chapite E 1 : Chage électique et champ électostatique Exemple : champ céé pa deux chages distantes de 2a en un point de la médiatice. On pose = O, 1 = 1 = 2 = 2. cos α = 1 et 1 2 = a E = E 1 + E 2 = 2E 1 e = 2E 1 cos α e. Les composantes de E s annulent suivant, on dit que E est la "composante utile". E = cos α e = q 2πε 0 e 3 = 2q 4πε q 2πε 0 (a ) 3 2 e 1 q O 2 q e α E 2 E 1 E 3.b. Distibutions continues : échelle mésoscopique, densité de chages. Une distibution continue est volumique mais peut pafois ête modélisée pa une distibution sufacique ou linéique. Distibution Volumique Distibution Sufacique Distibution Linéique V S C dτ ds dl d E d E d E Soit une égion (dτ, ds ou dl) de dimension tès inféieue à celle de la distibution et centée su. Elle contient un nombe dn tès gand de chages élémentaies, sa chage est dq. Définition : Le champ élémentaie céé en pa ces chages placées autou de est : de() = 1 dq 4πε 0 2 En se plaçant à l échelle mésoscopique on peut défini des gandeus nivelées comme la densité de chage (pa exemple volumique ρ( ) = dq dτ en C.m 3 ). chage volumique ρ (C.m 3 ) chage sufacique σ (C.m 2 ) chage linéique λ (C.m 1 ) dq = ρ( )dτ dq = σ( )ds dq = λ( )dl de() = 1 ρ( )dτ 4πε 0 2 de() = 1 σ( )ds 4πε 0 2 de() = 1 λ( )dl 4πε 0 2 4

5 Chapite E 1 : Chage électique et champ électostatique 3.c. Échelle macoscopique. ou obteni la chage totale Q contenue dans la distibution D ou le champ total E() céé en, on intège dq ou de() su D : Q = q i Q = dq D Distibution Volumique Distibution Sufacique Distibution Linéique Q = V ρ( )dτ Q = S σ( )ds Q = L λ( )dl E = 1 ρ( )dτ 4πε 0 V 2 E 1 σ( )ds = 4πε 0 S 2 E 1 = 4πε 0 L λ( )dl 2 Remaques : Si la distibution de chages est homogène, alos λ( ), σ( ) ou ρ( ) ne dépend plus du point considéé et on peut le soti de l intégale. a exemple, si V est le volume de la distibution. Q = ρ( )dτ = ρ dτ = ρv. V V ou calcule une intégale, on choisia un système de coodonnées adéquat : Cood. Catésiennes (x,y,) Cood. Cylindo-polaies (,θ,) Coodonnées Sphéiques (,θ,ϕ) e O e x R e y dy d dx y H O θ d x d = dx e x + dy e y + d e x d = d e + dθ e θ + d e x d = d e +.dθ e θ + sin θdϕ e ϕ ds 1 = dx.dy ds 1 = d.d ds 1 =.dθ ds 2 = dx.d ds 2 = d.dθ ds 2 = sin θddϕ ds 3 = dy.d ds 3 =.d.dθ ds 3 = 2 sin θdθdϕ dθ dθ d y O ϕ θ d dθ sin θdϕ dτ = dx.dy.d dτ = d..dθ.d dτ = d..dθ.. sin θ.dϕ dϕ y Exemple : calcul de la chage contenue dans une sphèe de ayon R et telle que ρ = ρ 0 constante : On se place dans le système de coodonnées sphéiques : π 2π R R Q = ρ( )dτ = ρ 2 d sin θdθdϕ = 4π 2 4 ρ 0 d = ρ 0 3 πr3 = ρ 0 V V θ=0 De même, pou un cecle Q = 2πRλ et pou un disque, Q = σπr 2. ϕ=0 =0 =0 5

6 Chapite E 1 : Chage électique et champ électostatique 4. Topogaphie du champ électostatique Définitions : Les lignes de champ sont des coubes tangentes en chacun de leus points au vecteu champ (on peut les visualise en soupoudant de gains de semoule la suface d un liquide soumis à un champ électique ou à l aide d un logiciel de simulation). L ensemble des lignes de champ (oientées) constitue le specte électostatique du champ. E E E E L (+q ; +q) (+q ; q) (+q ; 2q) (+q ; 2q) vu de plus loin opiétés Les lignes de champ ne se efement jamais su elles mêmes : coubes ouvetes. Deux lignes de champ ne peuvent pas se coupe. Elles divegent à pati des chages positives et convegent ves les négatives. On peut également obseve des points de champ. 6

7 Chapite E 1 : Chage électique et champ électostatique III opiétés de symétie et d invaiance 1. incipe de Cuie (1934) incipe de Cuie : ses causes. tout phénomène physique possède au moins les syméties de Ici, l étude des syméties et invaiances des distibutions de chages pemet de pévoi des popiétés de syméties et d invaiance (pas toujous toutes) du champ électostatique. 2. Syméties simples Symétie plane : une distibution de chages admet un plan de symétie Π si la densité de chage en, le symétique de pa appot à Π est égale à la densité de chage en : ρ( ) = ρ( ) avec = sym Π ( ) E() E() E( ) dq dq dq dq ρ ρ ρ D ρ D Π Π Aux points et symétiques pa appot à un plan de symétie Π d une distibution de chages D, les champs électostatiques sont symétiques l un pa appot à l aute : = sym Π () E( ) = sym Π ( E()) Le champ électostatique céé pa une distibution de chages D, en un point appatenant à un plan de symétie Π de D, est dans le plan Π : Π E() Π Antisymétie plane : une distibution de chages admet un plan d antisymétie Π si la densité de chage en, le symétique de pa appot à Π est opposé à la densité de chage en : ρ( ) = ρ( ) avec = sym Π ( ) 7

8 Chapite E 1 : Chage électique et champ électostatique E() E( ) E() dq dq dq dq ρ ρ ρ D ρ D Π Π Aux points et symétiques pa appot à un plan d antisymétie Π d une distibution de chages D, le champ électostatique en est opposé au symétique du champ en : = sym Π () E( ) = sym Π ( E()) Le champ électostatique céé pa une distibution de chages D, en un point appatenant à un plan d antisymétie Π de D, est nomal au plan Π : Π E() nomal à Π Remaque : E ayant ces popiétés, il est qualifié de vecteu polaie ou vecteu vai. 3. Invaiances Invaiance pa tanslation suivant un axe (O) : la densité de chage est la même en tout point obtenu pa tanslation de paallèlement à O. ρ( (x,y,)) = ρ( (x,y, + 0 )) 0 ρ(x,y,) = ρ(x,y) + 0 Conséquence : E qui dépend à pioi des vaiables x, y et mais qui a au moins les mêmes invaiances que D ne dépend plus de ρ(x,y,) = ρ(x,y) E(x,y,) = E(x,y) Invaiance pa otation autou d un axe (O) : obtenu pa otation de autou de O. la densité de chage est la même en tout point ρ( (,θ,)) = ρ( (,θ + θ 0,)) θ 0 ρ(,θ,) = ρ(,) 8

9 Chapite E 1 : Chage électique et champ électostatique θ 0 Conséquence : E qui dépend à pioi des vaiables, θ et mais qui a au moins les mêmes invaiances que D ne dépend plus de θ 4. Exemples 4.a. Retou su les spectes : ρ(,θ,) = ρ(,) E(,θ,) = E(,) Tace les plans Π et Π su les figues et véifie les affimations pécédentes. 4.b. 4.c. Champ dans le plan médiateu d un segment de doite unifomément chagé cf. TD E1 execice 1 Champ su l axe d un disque unifomément chagé cf. TD E1 execice 2 9

10 Chapite E 1 : Chage électique et champ électostatique Table des matièes I Oigine, pemièe loi 1. Chage électique q 2. Loi de Coulomb (1785) II Champ électostatique E 1. Notion de champ 2. Champ céé pa une chage ponctuelle 3. Champ d une distibution de chages 3.a. Distibutions discètes : échelle micoscopique. 3.b. Distibutions continues : échelle mésoscopique, densité de chages. 3.c. Échelle macoscopique. 4. Topogaphie du champ électostatique III opiétés de symétie et d invaiance 1. incipe de Cuie (1934) 2. Syméties simples 3. Invaiances 4. Exemples 4.a. Retou su les spectes : 4.b. Champ dans le plan médiateu d un segment de doite unifomément chagé 4.c. Champ su l axe d un disque unifomément chagé Lycée F.Aago - Reims