Le fabuleux destin des équations différentielles linéaires :

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1 Le fabuleux destn des équatons dfférentelles lnéares : au-delà du premer ordre - Page 1 sur 14 A propos de ce qu sut Une équaton dfférentelle est une égalté lant une foncton et une, vore pluseurs de ses dérvées Dans une précédente aventure, nous avons déjà été amené à nous ntéresser au cas des équatons dfférentelles lnéares du premer ordre Pour cette seconde aventure, nous allons aborder les équatons dfférentelles d ordre supéreur Nous commencerons notre épopée avec celles du second ordre Dans un louable souc de ne pas aller trop vte, nous débuterons par les équatons dfférentelles lnéares homogènes du second ordre à coeffcents constants, c est-à-dre celles de la forme y " + a y ' + b y = D un peu de théore, nous enchaînerons sur de la pratque en résolvant quelques équatons du second ordre plus complexes Enfn, nous achèverons notre aventure en évoquant ce qu passe pour les équatons dfférentelles d ordre supéreur Volà quelle sera notre quête! Avant d entamer les hostltés, précsons que nous allons navguer dans des contrées stuées ben au-delà du BA A présent, l ne nous reste plus qu à nous embarquer pour l aventure, celles des équatons dfférentelles lnéares, au-delà du premer ordre La taverne de l'irlandas vous présente Le fabuleux destn des équatons dfférentelles lnéares : Au-delà du premer ordre Au sommare : A propos de ce qu sut 1 A propos des équatons dfférentelles y'' + ay' + by = Vers une soluton partculère Les solutons de l'équaton caractérstque X² + ax + b = Et les autres solutons? La tronche de certanes solutons 4 e qu'l faut retenr de tout ce qu a été fat!5 Du théorème à la pratque5 Des équatons mons homogènes : y'' + ay' + by = c(x 7 Le début de chaque résoluton 7 Une premère résoluton : y'' - y' - 6y = 7 7 Une équaton plus complquée : résoluton de 4y'' - 1y' + 9y = x8 Résoluton d'une grande classque : y'' + y = cos(x9 En guse de concluson11 Des équatons dfférentelles au-delà du second ordre 1 Quelques brques pour établr la théore 1 Du théorème à la pratque13 Eplogue : à propos des équatons lnéares non homogènes 14 racompté par Jérôme ONILLON Avertssements : e document a été généré avec GhostWord 1 Il a été conçu pour être consulté à l'écran avec ses lens ou être mprmé Il est fourn tel quel sans aucune garante et n est en ren un document offcel Les propos qu'l content, n'engagent que leur auteur Malgré tout le son apporté à spn élaboraton, l n'est pas mpossble que cette fabuleuse aventure comporte des coqulles ou quelque erreur S vous en découvrez une, merc de me la sgnaler! L'auteur peut être contacté par e-mal ou va la taverne de l'irlandas Une fabuleuse aventure écrte par Jérôme ONILLON et exclusvement mse en lgne par la taverne de l'irlandas ( Edton du vendred 1 septembre 4

2 Le fabuleux destn des équatons dfférentelles lnéares : au-delà du premer ordre - Page sur 14 A propos des équatons dfférentelles y'' + ay' + by = Devant commencer par quelque chose, autant s'attaquer à quelque chose facle Tout du mons, à ce qu semble l être le plus Nous allons essayer de détermner la forme générale des solutons de l'équaton dfférentelle lnéare à coeffcents constants du second ordre qu'est : y" + a y' + b y = où a et b sont deux réels fxés De plus, nous supposerons qu ls ne peuvent être nuls smultanément et que b est nécessarement non nul e qu a été fat avec les équatons de même type du premer ordre, n'est pas reproductble c eux qu étaent avec nous dans notre premère aventure se souvennent certanement que toutes les solutons d'une équaton dfférentelle du premer ordre du type y ' + a y = sont à base d'exponentelle Plus exactement, elles sont toutes de la forme : constante a De fat, une queston s mpose : l'équaton dfférentelle y" + a y' + b y = a-t-elle des solutons de cette forme là, c'est-à-dre de la forme Et s ou, à quo est égal ce coeffcent? e e? Les solutons s de l'équaton caractérstque X² + ax + b = Justement, venons-en à l'équaton du second degré X + a X+ b = On dt qu'elle est l'équaton caractérstque assocée à l'équaton dfférentelle y" + a y ' + b y = Son dscrmnant est = a 4 b Suvant le sgne de ce derner, l'équaton admet une ou deux solutons S est postf alors l'équaton admet deux solutons réelles a a+ ' = et '' = S est égal à alors l'équaton admet une seule soluton réelle a ' = S est négatf alors l'équaton admet deux solutons complexes et conjuguées ' =α+ β et '' =α β où α= a et β= = Dans les premer et trosème cas, nous avons que : ' + '' = a Par la sute, nous serons amenés à réutlser cette égalté Vers une soluton partculère Supposons que la foncton ψ (x = e sot une soluton de l'équaton dfférentelle y" + a y' + b y = Pour tout réel x, nous avons donc que : ψ ''(x + a ψ '(x + b ψ (x = e + a e + b e = e + a + b = + a + b = Ans donc, pour que ψ (x = e sot soluton de l'équaton dfférentelle y" + a y' + b y =, l faut et l sufft que sot soluton de l'équaton du second degré X + a X+ b = Volà qu est ntéressant! Une exponentelle est toujours non nulle Et les autres solutons? Pour l'nstant, la seule chose que nous sachons est : S est une soluton de l'équaton X + a X+ b = alors ψ (x = e est une soluton de l'équaton dfférentelle y" + a y' + b y = Et les autres solutons? Eh ben, nous allons chercher à les exprmer en foncton e Sot donc f une soluton de l'équaton dfférentelle y" + a y ' + b y = Nous noterons D son ensemble de défnton f Une exponentelle étant toujours non nulle (même lorsqu elle est complexe, l est donc toujours possble de dvser f(x par e Une fabuleuse aventure écrte par Jérôme ONILLON et exclusvement mse en lgne par la taverne de l'irlandas ( Edton du vendred 1 septembre 4

3 Le fabuleux destn des équatons dfférentelles lnéares : au-delà du premer ordre - Page 3 sur 14 Pour tout réel x de l'ensemble D f, on défnt donc la foncton g par : f(x g(x = f(x = e g(x e Volà qu rappellera ben des choses à ceux qu étaent avec nous dans notre premère aventure dfférentelle! Là encore, notre but va être de détermner la foncton g Hértant des proprétés de l'exponentelle et de f, cette foncton g est donc deux fos dérvable D'alleurs, on montre que : f '(x = e g(x + e g '(x f ''(x = e g(x + e g '(x + e g ''(x omme f est une soluton de l'équaton dfférentelle y" + a y ' + b y = alors nous pouvons écrre que : f ''(x + a f '(x + b f(x = e g(x e g '(x e g ''(x a e g(x + e g '(x + be g(x = ( a e + + g '(x g ''(x e g(x a b Là encore, une exponentelle n'est jamas nulle = car soluton d'une certane équaton ( a ( a = e + g '(x + g ''(x = + g '(x + g ''(x = Là deux cas se présentent suvant la nullté de + a : a S + a est égal à alors nous avons que = ela veut dre que l'équaton caractérstque X + a X+ b = a un dscrmnant nul et une seule soluton En tout cas, g ''(x = Après une double ntégraton, l vent : g(x = 1 + Donc x Df, f(x e = g(x = e [ 1 + ] S + a est dfférent de alors l'équaton caractérstque Une fabuleuse aventure écrte par Jérôme ONILLON et exclusvement mse en lgne par la taverne de l'irlandas ( Edton du vendred 1 septembre 4 X + a X+ b = a deux solutons dstnctes Nous en connassons une en la personne de Nous appellerons l'autre ' De plus, nous nous retrouvons donc face à une équaton dfférentelle du premer degré que nous savons résoudre En effet, toutes les solutons de l équaton dfférentelle ( + a g '(x + g''(x = sont de la forme : ( g '(x e = + a onstante Pour ce qu concerne la foncton g, l vent donc que : ( g(x e = + a 1 + où 1 et sont des nombres complexes fxés (vor remarques Revenons à la foncton f Nous pouvons donc écrre que pour tout réel x de l'ensemble D f, nous avons : f(x = e g(x ( + ( + = e a e + a = e + e 1 1 ' 1 Vu que + ' = a, l vent : x Df, f(x = e + e A propos de la complexté des racnes, des constantes et du reste Nous sommes dans le cas où l'équaton caractérstque a deux solutons dstnctes et ' es deux solutons peuvent être réelles (dscrmnant postf ou complexes ( négatf Ayant défn l'exponentelle d'un magnare pur, étendre l'exponentelle au corps des complexes ne pose aucun problème En effet, l'exponentelle du a+ b a b a e = e e = e cos(b+ sn(b nombre complexe a+ b est : [ ] De même, nous avons dt que les constantes 1 et étaent des nombres complexes Pourquo n'avons-nous pas dt qu'elles étaent réelles? En fat, ces deux constantes sont réelles lorsque les deux racnes et ' le sont auss 'est-à-dre lorsque le dscrmnant est postf Par contre, lorsque le dscrmnant est négatf, c'est-à-dre lorsque les deux solutons et ' sont complexes alors les deux constantes sont auss complexes -( + a -1 -( + a ela tent au fat qu'une prmtve de e est e + a -1 Or nous avons fat absorber le nombre + a par la constante 1

4 Le fabuleux destn des équatons dfférentelles lnéares : au-delà du premer ordre - Page 4 sur 14 Lorsque est un réel (dscrmnant postf, l en va de même pour la fracton -1 Par contre, lorsque est un complexe non réel alors la fracton + a est auss un nombre complexe Il en va alors de même pour les constantes e qu'l ne faut pas perdre de vue, c'est que nous recherchons des fonctons y qu sont défnes sur un ntervalle réel Mas ces fonctons (comprenez y(x peuvent prendre des valeurs réelles ou complexes Précsons que beaucoup de fonctons rencontrées sur peuvent être étendues au corps de complexe De dérvables, elles devennent alors holomorphes Récaptulons ce que nous venons de découvrr : Un premer théorème : On consdère l'équaton dfférentelle lnéare à coeffcents constants du second ordre y" + a y' + b y = X + a X+ b = est appelée équaton caractérstque de cette premère On note son dscrmnant S = alors l'équaton caractérstque admet une seule soluton Toutes les solutons de l'équaton dfférentelle sont alors de la forme e [ 1 + ] où 1 et sont deux constantes réelles S alors l'équaton caractérstque admet deux solutons dstnctes et ' Toutes les solutons de l'équaton dfférentelle sont alors de ' la forme 1 e + e où 1 et sont deux constantes complexes Remarque : toutes les solutons sont défnes sur tout enter Pour mportant qu'l sot, ce théorème n'en demeure pas mons nsatsfasant notamment dans son second pont En effet, ce qu nous ntéresse, ce sont les solutons de l'équaton dfférentelle à valeurs réelles Alors s l état possble de s'abstenr de travaller avec les constantes complexes 1 et, nul ne s'en plandrat! Allons donc plus avant! Lorsque le dscrmnant est postf, l est évdent que les constantes 1 et sont des nombres réels à l'nstar des deux racnes et ' En effet, tout se passe dans 'est lorsque le dscrmnant est négatf et que les deux racne et ' sont complexes que les choses se gâtent! e qu est sûr alors, c'est que les deux constantes 1 et sont des nombres complexes Essayons de vor s elles ne sont pas meux que cela La tronche de certanes solutons Dans cette parte, l'équaton caractérstque X + a X+ b = est donc réputée avor un dscrmnant négatf ela mplque donc qu'elle a deux racnes complexes et conjuguées =α+ β et ' =α β Nous allons nous attacher à rendre plus smple l'expresson des solutons Justement, s f est soluton de l'équaton dfférentelle y" + a y' + b y = alors cela sgnfe qu'elle est de la forme : ' f(x = 1 e + e ( α+ β ( α β α β β = e + e = e e + e 1 1 Les solutons qu nous ntéressent, sont celles à valeurs réelles D'un pont de vue complexe, l nous mporte donc que la parte magnare de f(x sot nulle Venons-en à cette dernère : Pour tout réel x, nous pouvons écrre que : α Im( f(x e β β = Im ( e + Im( e 1 Une fabuleuse aventure écrte par Jérôme ONILLON et exclusvement mse en lgne par la taverne de l'irlandas ( Edton du vendred 1 septembre 4 α ( 1 ( ( 1 ( ( ( ( ( = e Re sn β + Im cos β + Im cos β Re sn β Nous l'avons annoncé : nous voulons que cette parte magnare sot toujours nulle En partculer, nous voulons donc que : Im( f( = Im( 1 + Im( = Les constantes 1 et ont des partes magnares opposées π Im f = Re Re = 1 Les constantes 1 et ont des partes réelles égales ( (

5 Le fabuleux destn des équatons dfférentelles lnéares : au-delà du premer ordre - Page 5 sur 14 Les constantes complexes 1 et sont donc conjuguées, comme les racnes et ' ela va nous permettre de smplfer l'expresson de f(x et surtout d'élmner cette affreuse exponentelle complexe! Appelons A et B les partes réelles et magnares du complexe 1 Nous avons donc que : 1 = A + B et = A B De plus, pour tout réel x, nous pouvons écrre que : α α [ A B A B ] [ constante β + autre constante β ] f(x = e cos( β sn( β + cos( β sn( β = e cos( sn( Volà qu une ben sympathque expresson! Après tant d'épreuves et de tracas, nous pouvons à présent conclure cette quête par un théorème plus que complet! e qu'l faut retenr de tout ce qu a été fat! Le théorème fondamental On consdère l'équaton dfférentelle lnéare y" + a y ' + b y = est le dscrmnant de l'équaton caractérstque X + a X+ b = S = alors l'équaton caractérstque admet une seule soluton réelle Toutes les solutons de l'équaton dfférentelle sont alors de la forme e [ 1 + ] S > alors l'équaton caractérstque admet deux solutons réelles et dstnctes et ' Toutes les solutons de l'équaton dfférentelle sont alors de ' la forme 1 e + e S < alors l'équaton caractérstque admet deux solutons complexes et conjuguées α+ β et α β Toutes les solutons de l'équaton dfférentelle sont alors de où 1 et α la forme e cos( β + sn( β x 1 sont deux constantes réelles e sont les condtons ntales de l'équaton dfférentelle qu donnent leurs valeurs aux constantes 1 et Note : s l'nconnue de l'équaton caractérstque est X, c'est pour évter toute confuson avec la varable x Du théorème à la pratque Ren ne remplaçant l'acton, nous allons nous lvrer à la résoluton de tros équatons dfférentelles lnéares du second ordre qu nous permettrons d'utlser notre théorème y '' y ' 6y = Résolvons l'équaton dfférentelle y( = y '( = 1 La premère chose à fare est de calculer le dscrmnant de l'équaton caractérstque X X 6= e derner est égal à 5 ette dernère admet donc deux solutons réelles et dstnctes que sont = et ' = 3 Toutes les solutons f de l'équaton dfférentelle sont donc de la Une fabuleuse aventure écrte par Jérôme ONILLON et exclusvement mse en lgne par la taverne de l'irlandas ( Edton du vendred 1 septembre 4 3 forme f(x = 1 e + e A présent, ce sont les condtons ntales qu vont entrer en scène 3 Préalablement, remarquons que f '(x = 1 e + 3 e S f est soluton de l'équaton dfférentelle alors nous avons : 3 f( = 1 e + e = 1 + = f '( = 1 3 e + 3 e = = Résolvant ce système, l vent que 1 = 1 et 1 = oncluson : la seule soluton de l'équaton dfférentelle proposée est la foncton 3 f(x = e + e En procédant de même, on peut résoudre n'mporte quelle équaton dfférentelle lnéare homogène à coeffcents constants du second ordre A chaque fos, c'est la même hstore : applcaton du théorème, pus résoluton d'un système découlant des condtons ntales et qu donnent les deux constantes 1 et

6 Ans, pouvons-nous dre que : 4y '' 1y' + 9y = L'équaton dfférentelle y( = y(1 =1 Le fabuleux destn des équatons dfférentelles lnéares : au-delà du premer ordre - Page 6 sur / soluton en la personne de ( ec car l'équaton caractérstque admet une seule f(x = e e + 4X 1X+ 9= a un dscrmnant nul et admet par conséquent une seule soluton : 3 L'unque soluton de l'équaton dfférentelle est la foncton f(x e [ cos(3 3sn(x ] = y'' 4y ' + 5y = y( = y '( = 1 ec car l'équaton caractérstque X 4X+ 5= a un dscrmnant négatf et donc, admet deux solutons complexes et conjuguées que sont ± 1 α e sont là, les tros types d'équaton dfférentelle lnéare homogène (sans second membre à coeffcents constants du second ordre que l'on peut être amené à trater La sute de notre aventure nous fera rencontrer des spécmen beaucoup mons sympas! β Note : une chose que vous avez peut-être remarqué est la smplcté des condtons ntales Pont d'égalté exotque Tout cela afn de favorser notre progresson ela étant dt, l est certan que s nous avons eu y( = 3 et y'(7 = alors les constantes n'auraent pas eu des têtes très sympathques En tout cas, les calculs n auraent pas été auss facles Une fabuleuse aventure écrte par Jérôme ONILLON et exclusvement mse en lgne par la taverne de l'irlandas ( Edton du vendred 1 septembre 4

7 Le fabuleux destn des équatons dfférentelles lnéares : au-delà du premer ordre - Page 7 sur 14 Des équatons mons homogènes : y'' + ay' + by = c(x Dans le paragraphe précédent, les équatons dfférentelles lnéares que nous avons été amenées à consdérer, avaent des coeffcents constants et étaent homogènes, c'est-à-dre que leur second membre état Nous allons à présent nous ntéresser à des équatons mons homogènes où le second membre est une foncton contnue A défaut de nous lancer comme précédemment dans une vaste étude théorque, nous nous contenterons c de résoudre tros équatons partculères Le début de chaque résoluton Les tros résolutons débutant de la même façon, nous allons fare un brn de cas général à partr duquel nous enchaînerons sur nos tros cas partculers Pour remplr nos tros mssons, nous allons réutlser une méthode qu a déjà fat ses preuves : la méthode de varaton des constantes Détallons ce qu'est le début de chacune des tros résolutons Au départ, l y a une équaton dfférentelle du type y" + a y' + b y = c (x où c est une foncton contnue Sot f une soluton partculère de l'équaton dfférentelle homogène assocée y" + a y ' + b y = De façon à pouvor dvser par f(x, nous supposerons que cette soluton f qu ne s'annule jamas omme cela a déjà été fat, l est alors possble d'écrre toute soluton g de l'équaton y" + a y' + b y = c (x sous la forme : Pour tout réel x D, g(x = h(xf(x L objectf est alors de chercher à détermner h pour connaître g Pour ce fare, nous pouvons écrre que pour tout réel x de D : g'(x = h'(xf(x + h(xf '(x g''(x = h''(xf(x + h'(xf '(x + h(xf ''(x omme g est une soluton de l'équaton dfférentelle ntale alors pour tout réel x de D : g g''(x + a g'(x + b g(x = c (x g g Autrement écrt : h''(xf(x + h'(xf '(x + h(xf ''(x h''(xf(x + h'(xf '(x [ ] + a h'(xf(x + h(xf '(x + b h(xf(x = c (x [ ] + a h'(xf(x + h(x f ''(x + a f '(x + b f(x = c (x = car f soluton de l'équaton homogène [ a ] h''(xf(x + h'(x f '(x + f(x = c (x 'est à partr de cette dernère forme de l équaton dfférentelle que nous entamerons chacune des tros résolutons à venr Une premère résoluton : y'' - y' - 6y = 7 y '' y ' 6y = 7 Résolvons l'équaton dfférentelle lnéare y( = 1 y '( = 1 Respectant la stratége énoncée dans notre pette ntroducton, nous devons d abord nous ntéresser à l'équaton homogène y" y ' 6y = eux qu étaent avec nous à la fn du précédent paragraphe, reconnaîtront là un cas déjà traté D'emblée, nous pouvons dre que toutes les solutons de cette équaton 3 homogène sont de la forme 1 e + e Notre manoeuvre exge de retenr une foncton f qu sot soluton de l'équaton homogène et qu ne s'annule jamas Nous décdons de porter notre dévolu sur la foncton Une fabuleuse aventure écrte par Jérôme ONILLON et exclusvement mse en lgne par la taverne de l'irlandas ( Edton du vendred 1 septembre 4 3 f(x = e f ne s'annulant jamas, l est donc possble d'écrre toute soluton g de l'équaton sous la forme g(x = h(xe Et fnalement, reprenant le chemnement de notre ntroducton, on aboutt à l'égalté h''(xe + h'(x 6e e = 7 'est c que démarre réellement cette résoluton 3

8 Pour tout réel x de l'ensemble Une exponentelle réelle est toujours postve Le fabuleux destn des équatons dfférentelles lnéares : au-delà du premer ordre - Page 8 sur 14 D, on peut écrre que : g 3 [ ] e h''(x + 5h'(x = 7 7 h''(x + 5h'(x = = 7e 3 e On reconnaît une équaton dfférentelle lnéare du premer ordre Pour résoudre cette équaton, l nous faut au préalable précser deux choses : Une prmtve de a(x = 5 est A(x = 5 Note : nous reprenons les notatons du théorème vu dans cette page 3 b(x 7e = = 7e est A(x 5 Une prmtve de e e Pour tout réel x de D, nous avons donc que : g 7 e h'(x = e e + constante = e + e constante D'où en ntégrant : 7 3 constante 5 h(x = e + e + autre constante e 3 e 5 = où 1 et sont deux constantes complexes (vore réelles que les condtons ntales nous permettront de détermner! Mas n'allons pas trop vte! e qu mporte d'abord, est d'obtenr l'expresson de g(x Il vent donc que : g(x = h(xe = + 1 e + e 6 Passons aux constantes 1 et Les deux condtons ntales nous permettent d'écrre que : 7 13 g( = = = 6 6 g '( = = La résoluton de ce système nous amène à 1 = et = 1 15 e qu achève la résoluton Il ne reste plus alors qu'à conclure oncluson : L'équaton dfférentelle admet une unque soluton g qu est défne sur par : g(x = e + e Une équaton plus complquée : résoluton de 4y'' - 1y' + 9y = x 4y'' 1y ' + 9y = x Résolvons l'équaton dfférentelle lnéare y( = 1 y '( = 1 Là encore, tout va reposer sur notre pett traval préparatore et le chox d'une bonne soluton f de l'équaton homogène 4y '' 1y ' + 9y = Ayant déjà traté cette dernère, chacune de ses solutons est de la forme 1, ,5 e e 1,5 S'l y a une foncton f à ne pas chosr, c'est ben xe En effet, celle-c a la désagréable partcularté de s'annuler en x= Ic comme pour nos deux autres exemples, le meux est encore d'opter pour une soluton à 1,5 base d'exponentelle pure On pose donc : f(x = e La foncton f ne s'annulant jamas sur, toute soluton g de l'équaton dfférentelle 4y '' 1y ' + 9y = x s'écrt donc sous la forme : Pour tout réel x de l'ensemble D, g(x = h(xf(x Mas pour utlser ce qu a été fat, l faut au préalable réécrre l'équaton 9 1 4y '' 1y ' + 9y = x y '' 3y' + y = 4 4 A présent, nous avons ben à fare à une équaton de la forme y" + a y ' + b y = c (x Les hostltés vont pouvor reprendre là où elles s'étaent arrêtées dans notre pette ntroducton g Une fabuleuse aventure écrte par Jérôme ONILLON et exclusvement mse en lgne par la taverne de l'irlandas ( Edton du vendred 1 septembre 4

9 Pour tout réel x de D g : Le fabuleux destn des équatons dfférentelles lnéares : au-delà du premer ordre - Page 9 sur 14 1,5 1,5 1,5 1 h''(xe + h'(x 3e 3e = 4 1 1,5 h''(x = e 4 Les bonnes âmes ralleront mas la stuaton s'est quand même notablement smplfée Ic, pont d'équaton à résoudre Nous aurons smplement une double ntégraton à fare 'est comme précédemment! a xe Par une ntégraton par partes, on démontre qu'une prmtve de a est e x 1 a (Les "économes" dérveront la prmtve supposée a Pour tout réel x, nous avons donc : 1 1,5 4 h'(x = e constante 1 1,5 1 1,5 = e e + constante 6 9 Et en ntégrant encore un tour, l vent que : 1 1, ,5 h(x = e e ,5 4 1,5 = e + e Pour ce qu concerne la soluton g, nous pouvons donc écrre : 1, ,5 1,5 g(x = h(xe = e + e 9 7 A présent, l nous reste à trouver les deux constantes 1 et omme toujours ce sont les condtons ntales qu vont nous permettre de régler le problème Avant cec, nous devons calculer la dérvée de g 1 1,5 1,5 1,5 g '(x = + 1, 5e + e 1 + 1, 5 e 9 Explotons les condtons ntales : 4 3 g( = 1 + = 1 = g '( = , 5 = 1 1 = oncluson : l'équaton dfférentelle admet une unque soluton g qu est défne sur par : ,5 3 1,5 g(x = + e + e Résoluton d'une d grande classque : y'' + y = cos(x y '' + y = cos(x Résolvons l'équaton dfférentelle lnéare y( = 1 y '( = 1 Afn de réutlser ce qu a été fat dans l'entête, l nous faut trouver une soluton f de l'équaton homogène y" + y = qu ne s'annule jamas Les deux solutons de l'équaton caractérstque X + 1= sont et En applcaton d'un précédent théorème, nous pourrons dre que toute les solutons f de la forme f(x = 1 cos( x + sn( x Et en partculer, parm ces solutons, l y a les fonctons snus et cosnus L'nconvénent de ces deux dernères est qu'elles s'annulent sur Il nous faut donc trouver d'autres qu n'ont pas ce défaut Le salut va venr du premer théorème que nous ayons vu! étant une soluton de l'équaton caractérstque X + 1=, la foncton e est une soluton de l'équaton homogène y" + y = De plus, elle a le bon goût de ne jamas s'annuler sur Des esprts chagrns ralleront qu'elle est à valeurs complexes Ou et après? Au leu de travaller dans, nous déborderons sur Nous décrétons donc que la foncton f est défne pour tout réel x, par : f(x = e Une fabuleuse aventure écrte par Jérôme ONILLON et exclusvement mse en lgne par la taverne de l'irlandas ( Edton du vendred 1 septembre 4

10 Le fabuleux destn des équatons dfférentelles lnéares : au-delà du premer ordre - Page 1 sur 14 Suvant ce qu a été dt dans l'entête, toute soluton g de l'équaton y'' + y= cos(x peut donc s'écrre sous la forme g(x = h(xe Pour tout réel x de l'ensemble Une exponentelle n'est jamas nulle D, nous pouvons donc écrre : g f(x h''(xe + h'(x e + e = cos(x a e h''(x + h'(x = cos(x [ ] cos(x h''(x + h'(x = Merc aux formules de e Euler 1 h''(x + h'(x = 1+ e Nous nous retrouvons face à une équaton dfférentelle du premer ordre que nous savons résoudre! Mas avant, deux choses dovent être dtes Une prmtve de a(x = est A(x = 1 ( 1 e + b(x Il faut détermner une prmtve de = A(x e e 1 ( 1 e + 1 Or pour tout réel x, = e + 1 e b(x 1 1 Une prmtve de A(x e est donc e + x Nous pouvons donc écrre que pour tout réel x : 1 h'(x = e e + + constante 4 1 e e = + + constante 4 Au moyen d'une ntégraton par partes, on montre qu'une prmtve de a a xe est e x 1 a a ( On peut donc écrre que pour tout réel x : 1 x 1 constante h(x = + e e constante = + e + 1 e = e 1 + e où 1 et sont deux constantes complexes Quant à g(x, nous pouvons écrre que pour tout réel x : g(x = h(xe = e 1 + e + e 4 = e e + e + e e e = + 1 e + e Re-Merc aux formules de Mster Euler 1 sn(x e e = Il nous faut à présent détermner les constantes 1 et e sont les condtons ntales qu vont nous y ader! Nous savons que : Pour la premère condton ntale : g( = = 1 Pour la seconde condton ntale : 1 omme g '(x = [ xcos(x + sn(x ] 1 e + e alors g '( = = = 1 Le système ayant un détermnant non nul, admet une 1 + = 1 seule soluton Après calculs, on trouve : 1 = 1=,5+,5 et = 1=,5,5 Une fabuleuse aventure écrte par Jérôme ONILLON et exclusvement mse en lgne par la taverne de l'irlandas ( Edton du vendred 1 septembre 4

11 Le fabuleux destn des équatons dfférentelles lnéares : au-delà du premer ordre - Page 11 sur 14 Pour ce brave g(x, l en résulte alors que : 1 g(x = sn(x + (,5+,5 e + (,5,5 e 1 1 e + e e e = sn(x + + Merc à Euler 1 = sn(x + co s(x + sn(x e qu achève la résoluton de l'équaton dfférentelle y '' + y = cos(x oncluson : l'unque soluton de l'équaton y( = 1 y '( = 1 foncton g défne sur par : x g(x = sn(x cos(x est la En guse de concluson Pour conclure ce paragraphe de bonnes résolutons, nous drons que s c est une foncton contnue alors l'équaton dfférentelle lnéare du second ordre y" + a y ' + b y = c (x (pour peu qu'elle sot compléter par deux condtons ntales, admet exactement une seule soluton Le plus dur est encore de trouver cette unque soluton! Une fabuleuse aventure écrte par Jérôme ONILLON et exclusvement mse en lgne par la taverne de l'irlandas ( Edton du vendred 1 septembre 4

12 Le fabuleux destn des équatons dfférentelles lnéares : au-delà du premer ordre - Page 1 sur 14 Des équatons dfférentelles au-delà du second ordre Pour achever cette s fantastque aventure dans le monde boulversfant des équatons dfférentelles lnéares, nous allons dre un mot sur ce qu se passe pour les équatons dfférentelles fasant ntervenr des dérvées trosème, quatrème vore pre Quelques brques pour établr la théore Notre objectf est de résoudre des équatons dfférentelles de la forme : (n (n 1 (n ' a n-1 a n- a 1 a y + y + y + + y + y = où : a, a 1 a n- et a n-1 sont des nombres réels fxés e sont les coeffcents de l'équaton dfférentelle (n La notaton y désgne la dérvée nème de la foncton y Les dérvées y ' et y '' peuvent auss être notées (1 y et ( y e qu a été fat avec le second ordre, se généralse au-delà Pour résoudre l'équaton dfférentelle y" + a y ' + b y =, on dot au préalable s'ntéresser son équaton caractérstque X + a X+ b = Le polynôme X + a X+ b dot donc être entèrement factorsé De la même façon pour résoudre l'équaton dfférentelle lnéare (n (n 1 ' + a n a 1 + a = n n 1 X + a n-1 X + + a 1 X+ a y a y a y a y, l faut au préalable factorser son polynôme caractérstque a a a Il faut totalement le casser, le scnder! Les polynômes ont déjà fat l'objet d'une étude partculère Rappelons quelques résultats utles vus dans Polynômtude et omplextudes S l'on se restrent à travaller dans le berceau réel Tous les polynômes à coeffcents réels peuvent être "cassés" en des produts dont les facteurs sont soent des monômes de la forme X α, soent des trnômes du type ax + bx + c qu ont un dscrmnant négatf Pour plus de rensegnements, se reporter à Polynômtude S l'on étend sa zone de manoeuvre à l'océan complexe Dans, tous les polynômes qu'ls aent des coeffcents réels ou complexes, peuvent s'écrre sous la forme de produts dont les facteurs sont des monômes de la forme X α Dans, tous les polynômes sont scndés (n (n 1 ' Revenons à notre équaton y + a n-1 y + + a 1 y + a y = Dans le corps des complexes, son polynôme caractérstque n n 1 a n-1 a 1 a P(X = X + a X + + a X+ a est entèrement factorsable 'est-à-dre que l'on peut écrre que : n n 1 a n-1 a 1 a P(X = X + X + + X + = (X α1(x α(x αn où les nombres complexes (parfos réels α 1, α,, α n sont les racnes du polynôme P Pour éclarer notre propos, donnons quelques exemples : 3 X 3X 4X 1 ( X ( X ( X 3 + = + Les tros racnes du polynôme sont -, et 3 Elles sont réelles omme elles n'apparassent qu'une seule fos dans la forme factorsée, on dt qu'elles sont smples ou que leur ordre de multplcté est égal à 1 e que l'on résume par : m( = 1 Ordre de multplcté de la racne 4 3 ( ( 3 X 19X + 15X 49X 686= X+ X 7 Là encore, toutes les racnes du polynôme sont réelles Elles sont au nombre de deux : - et 7 - est une racne smple alors que 7 est une racne trple On résume ces deux fats en écrvant : m( = 1 et m(7 = X 1X + 38X 66X+ 45= ( X 3 ( X + ( X e polynôme à coeffcents réels a tros racnes : une racne réelle double en la personne de 3 et deux racnes complexes smples qu sont et + On remarquera que les deux racnes complexes sont conjuguées Une fabuleuse aventure écrte par Jérôme ONILLON et exclusvement mse en lgne par la taverne de l'irlandas ( Edton du vendred 1 septembre 4

13 Le fabuleux destn des équatons dfférentelles lnéares : au-delà du premer ordre - Page 13 sur 14 es tros exemples nous adent à nous fare une dée du problème Précsons encore que les racnes complexes ont auss la faculté d'être doubles, trples vore pre! A l'nstar de ce que nous venons de fare, l est très rare que l'on répète pluseurs fos un même facteur dans l'écrture d'un produt En leu et La pussance a été nsttuée pour noter ce genre d'auto-produt! Applquons ce précepte à la forme factorsée du polynôme caractérstque P Désormas, nous écrrons que : place de ( X 7 ( X 7 ( X 7, on préférera toujours écrre ( X 7 3 n n 1 m1 m + a = β n-1 a 1 a 1 β βp X X X (X (X (X où : Les nombres complexes (parfos réels β 1, β,, β p sont les racnes du polynôme caractérstque P On suppose qu'elles sont toutes deux à deux dstnctes En tout, P a donc p racnes L'enter naturel m est l'ordre de multplcté de la racne β Précsons que la somme de tous les ordres de multplcté m est ben entendu égal au degré du polynôme P, c'est-à-dre à l'enter n mp Du théorème à la pratque Théorème On appelle P le polynôme de l'équaton dfférentelle : (n (n 1 ' a n-1 a 1 a y + a y + + a y + a y = En reprenant les notatons c-contre, deux écrtures de P sont : n n 1 a n-1 a 1 a P(X = X + a X + + a X+ a forme développée m1 m 1 p = (X β (X β (X β mp forme factorsée Le polynôme P a donc p racnes complexes (peut-être réelles β dont l'ordre de multplcté est l'enter m Toutes les solutons f de l'équaton dfférentelle lnéare d'ordre n (n (n 1 ' a n-1 a 1 a y + a y + + a y + a y = sont de la forme : β1 1 Qp f(x = Q (xe + + Q (xe βp où chaque Q (x est un polynôme à coeffcents complexes (peutêtre réels dont le degré est strctement nféreur à l'ordre de multplcté m de la racne β Ayant dt toutes ces choses, nous pouvons énoncer le théorème qu nous permettra de résoudre n'mporte quelle équaton dfférentelle homogène à coeffcents constants Il s'agt là d'un théorème d'un fort beau gabart Pour meux en comprendre l'ntérêt et l'usage, nous devons cependant en donner quelques exemples d'applcaton Depus la dernère page, nous savons que : 3 ( ( ( X 3X 4X+ 1= X+ X X 3 Donc les solutons f de l'équaton dfférentelle du trosème ordre y ''' 3y '' 4y ' + 1= sont toutes de la forme f(x = e + e + e où 1, et 3 sont tros constantes réelles dont les valeurs sont données par tros condtons ntales Note : une constante peut être vue comme un polynôme de degré, c'est-à-dre de degré strctement nféreur à 1 Une fabuleuse aventure écrte par Jérôme ONILLON et exclusvement mse en lgne par la taverne de l'irlandas ( Edton du vendred 1 septembre 4

14 Nous avons également vu que : 4 3 Le fabuleux destn des équatons dfférentelles lnéares : au-delà du premer ordre - Page 14 sur 14 ( ( 3 X 19X + 15X 49X 686= X+ X 7 Donc les solutons f de l'équaton dfférentelle du quatrème (4 ordre y 19y ''' + 15y '' 49y ' 686y = sont de la forme : ( f(x = e e Polynôme de degré strctement nféreur à m(7=3 où 1,, 3 et 4 sont quatre constantes réelles qu seront détermnées par les condtons ntales Enfn, l est notablement connu que : 4 3 ( ( ( X 1X + 38X 66X+ 45= X 3 X + X Les solutons f de l'équaton dfférentelle du quatrème ordre (4 y 1y ''' + 38y '' 66y ' + 45y = sont toutes de la forme : ( f(x e e ( + = ( + e Polynôme de degré strctement nféreur à m( 3= où 1 et sont deux constantes complexes et conjuguées alors que leurs consoeurs 3 et 4 sont elles nécessarement réelles En procédant de façon smlare à ce qu a été fat avec les équatons du second ordre à dscrmnant négatf, on montre que f peut auss s'écrre : [ ] ( f(x = e cos(x + sn(x + + e Sous cette forme, les quatre constantes sont toutes réelles En somme, c'est l'ntroducton de racnes complexes qu complexfe les constantes Eplogue : à propos des équatons lnéares non homogènes Dans ce paragraphe, nous allons ndquer comment l est possble de résoudre des équatons dfférentelles lnéares du type où : a, 1 (n (n 1 (n ' n-1 n- 1 y + a y + a y + + a y + a y = b (x a a n- et a n-1 sont des nombres réels fxés b est une foncton contnue sur un ntervalle I de Là comme pour les premer et second ordre, tout repose sur la résoluton (n (n 1 ' de l'équaton homogène y + a n-1 y + + a 1 y + a y = omme pour les équatons du second ordre, on chost une soluton f de cette équaton homogène, qu ne s'annule jamas omme f(x ne s'annule jamas, l est donc toujours possble de dvser par cette quantté En partculer toute soluton g de l'équaton dfférentelle ntale peut donc s'écrre sous la forme : g(x = h(x f(x Jamas nul! Le reste de la manoeuvre consste alors à détermner la foncton h pour obtenr g Mas tout cela est une autre hstore Une fabuleuse aventure écrte par Jérôme ONILLON et exclusvement mse en lgne par la taverne de l'irlandas ( Edton du vendred 1 septembre 4