Sciences Industrielles

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1 Sciences Industielles Cente d intéêt : Cinématique Duée : heues maxi PSI Lycée Clemenceau - Nantes Execices complémentaies Etude cinématique d une pompe hydaulique (extait du sujet TPE PSI 97) Desciption et fonctionnement La pompe hydaulique, dont le plan d ensemble est donné document, est pincipalement constituée : d un baillet - entaîné en otation pa l abe 7, de neuf ensembles pistons/patins (-/-), d une plaque d appui -4 fixe paappot à l étie dont l inclinaison détemine la cylindée de la pompe en povoquant le mouvement des pistons dans le baillet, d un cate de distibution qui pemet la ciculation du fluide gâce aux oifices d admission et de efoulement, d un ensemble compensateu dont le tioi - est soumis à l effot du essot de taage - d une pat et à la pession de efoulement pa le passage A d aute pat. Au démaage, l étie est maintenu pa le piston de etenue 5 en position cylindée maximale. Cet ensemble compensateu ne fait pas l objet de l étude. Caactéistiques de la pompe Puissance théoique Vitesse de otation de l abe d entée Pession de efoulement maximale Cylindée maximale Masse Angle maximal d inclinaison de l étie Nombe de pistons P = 5 kw N = 8 t/min p = Mpa V T = cm /t M = 96 kg α M = 5 n = 9 L étude mécanique poposée concene l équipage mobile dont l éclaté et le schéma cinématique incomplet sont founis figue et document. Ce denieepésente la pompe hydaulique limitée à un seul piston de cylindée maximale (α = α M = 5 ) L étie est considéé fixe paappot au bâti Vous devez utilise la numéotation simplifié donnée su les figue et document. Repèes associés aux difféents solides R R A, x, y, ) lié au bâti, B, x, y, ) lié au baillet, ( z ( z Page

2 R R R C, x, y, ) lié au piston, D, x, y, ) lié au patin, E, x, y, ) lié à la plaque d appui 4, ( z ( z 4 ( 4 4 z4 liaisons ente solides et paamétage L : liaison pivot d axe ( A, x ) L : liaison sphéique de cente C L 4 : liaison appui plan de nomale D, x ) ( Toutes les liaisons sont pafaites θ = ( y, y) = ( z, z) β = ( y, y ) = ( z, z ) γ = ( y, y4 ) = ( z, z4 ) α = α = x, x ) = ( z, ) M ( 4 4 z AB = Ry CB = λx DE = vy w DC = hx AE = dx z 4 Etude des liaisons On se popose d étudie la liaison piston / plaque d appui 4.. Détemine les éléments de éduction au point C du toseu cinématique de la liaison L expimés dans R 4.. Détemine les éléments de éduction au point D du toseu cinématique de la liaison L expimés dans R 4.. Détemine la fome du toseu cinématiquement équivalent à l association des liaisons L et L. En déduie le nom et les caactéistiques de la liaison équivalente notée L 4 ainsi éalisée. Quel est l intéêt d une telle éalisation technologique? 4. Pa quelle liaison nomalisée modéliseiez-vous la liaison piston / baillet? Compléte alos le schéma cinématique. Etude cinématique On se popose maintenant d étudie la cylindée totale de la pompe ainsi que les conditions cinématiques su le contact patin / plaque d appui Expime w,v et λ en fonction des paamètes donnés : d, R, h, α et θ 6. Si S désigne la section d un piston, quelle est l expession de la cylindée totale de la pompe notée V T en fonction de R, S, n, et α? Application numéique : R = 5 mm S = 49 mm 7. Expime les éléments de éduction au cente de chaque liaison des toseus cinématiques suivants : Page

3 { } V ; { } / V ; { V } ;{ V } / / 4/ On écia les toseus de la manièe suivante : { V } i / j = β ; γ 8. Ecie la femetue cinématique de la chaîne simple femée epésentée su le schéma cinématique. 9. Expime u, v,w,α,β, et γ en fonction de R, α, β &,γ&,θ,θ &. Retouve les ésultats de la question 5.. Détemine le débit instantané d un piston de cette pompe noté q v (θ).. Pou quelles valeus de θ le piston étudié est-il en phase de efoulement et en phase d aspiation? u v w ( A,. Détemine les éléments de éduction au point D du toseu cinématique associé à la liaison L 4.. Que epésente le vecteu V ( D 4 / )? Que vaut V ( D 4 / ). x? Justifie ce ésultat. R K ) z z 4 z y x = x 4 C D H B E G 4 y 4 x y = y 4 A F x = x y - Fig - Page

4 Document Page 4

5 Document Page 5

6 Modélisation cinématique d un mécanisme de tansfomation de mouvement L étude qui suit pote su un mécanisme de tansfomation de mouvement. Le mouvement de otation continu de l abe d entée, entaîné pa un moteu, est tansfomé en un mouvement de tanslation altenatif de l abe de sotie. Le plan d ensemble en coupe du mécanisme (figue ) est donné ci-dessous : Figue - plan d'ensemble. Identifie pa coloiage les classes d équivalence et tace le gaphe de stuctue de ce mécanisme.. Identifie et caactéise en justifiant vote modélisation les liaisons de ce mécanisme.. Tace le schéma de stuctue tidimensionnel du système de tansfomation de mouvement. 4. Réduie le gaphe de stuctue de façon à obteni un gaphe des liaisons minimal. Justifie. 5. Tace le schéma cinématique tidimensionnel minimal du mécanisme. 6. Détemine le degé d hypestatisme du modèle tidimensionnel minimal. 7. Popose sous la fome d un schéma cinématique nomalisé plan ou tidimensionnel, deux solutions pemettant de tansfome une otation continue en une tanslation altenative, les axes des mouvements étant paallèles. Page 6

7 Etude cinématique d une pompe hydaulique Etude des liaisons On se popose d étudie la liaison piston / plaque d appui 4.. Détemine les éléments de éduction au point C du toseu cinématique de la liaison L expimés dans R 4. L est une liaison sphéique (ou otule) de cente C, d où le toseu cinématique associé : { V/ } = ; C β γ ( C, R4) Eléments de coection. Détemine les éléments de éduction au point D du toseu cinématique de la liaison L expimés dans R 4. L est une liaison appui plan de cente D et de nomale x 4, d où le toseu cinématique associé : { V } 4/ = ; D v w ( D, R4) Ce toseu conseve sa fome canonique en tout point de l espace Donc en C : ' { V4/ } = ; v' C w' ( C, R4). Détemine la fome du toseu cinématiquement équivalent à l association des liaisons L et L. En déduie le nom et les caactéistiques de la liaison équivalente notée L 4 ainsi éalisée. Quel est l intéêt d une telle éalisation technologique? On a : { V } C { V } C { V } 4 / = 4/ + / C D où : { V } 4/ C α + α = β ; v' w' γ ( C, R4) Il s agit donc ici d une liaison ponctuelle de nomale ( C, x 4). Cette liaison est éalisée à l aide de deux contacts sufaciques afin de mieux épati les pessions de contact et ainsi évite une défomation locale pématuée du contact ponctuel (matage). Page 7

8 4. Pa quelle liaison nomalisée modéliseiez-vous la liaison piston / baillet? Compléte alos le schéma cinématique. Cette liaison, compte tenu de la suface de contact cylindique d axe B, x ), sea modélisée pa une liaison pivot glissant d axe ( B, x ). D où le schéma cinématique complet : z ( z 4 z y x = x 4 C D B E G 4 y 4 x y = y 4 A F x = x y Etude cinématique On se popose maintenant d étudie la cylindée totale de la pompe ainsi que les conditions cinématiques su le contact patin / plaque d appui Expime w,v et λ en fonction des paamètes donnés : d, R, h, α et θ Ici il faut écie un bouclage géométique : AB + BC + CD + DE + EA = Soit : Ry λ x hx vy wz + dx = () En pojetant () su x, y, z on obtient les équations suivante : / x / y / z λ h + wsinα + d = R cosθ v = Rsinθ hsinα w = 4 z x θ α z x 4 x θ y y z α z 4 Page 8

9 On en déduit : Rsinθ w( θ ) = h tanα v( θ ) = R cosθ h λ( θ ) = d + R sinθ tanα 6. Si S désigne la section d un piston, quelle est l expession de la cylindée totale de la pompe notée V T en fonction de R, S, n, et α? Application numéique : R = 5 mm S = 49 mm On a donc : V T = ns λ max λ h O, λ( θ ) = d + Rsinθ tanα h λmax ( θ ) = d + R tanα D où h λmin ( θ ) = d R tanα Pa conséquent V T = nsr tanα min 7. Expime les éléments de éduction au cente de chaque liaison des toseus cinématiques suivants : { } V ; { } / V ; { V } ;{ V } / / 4/ On écia les toseus de la manièe suivante : { V } i / j = β ; γ u v w ( A, R K ) { V } / = ; ( A, R) { V } / = β γ ; ( C, R 4 ) { V } / u = ; ( B, R) { V } 4 / = ; v w ( D, R 4) 8. Ecie la femetue cinématique de la chaîne simple femée epésentée su le schéma cinématique. On a : { V } + { V } + { V } + { V } = { } / / / En choisissant le point C comme cente de éduction des toseus, on aua les équations vectoielles suivantes : 4 / Page 9

10 Ω(/ ) + Ω( /) + Ω(/ ) + Ω(4 / ) = V ( C / ) + V ( C /) + V ( C / ) + V ( C 4 / ) = qu on pojette su R : α + α u w sinα = Rα sinθ v + α α sinα + γ Rα cosθ + w γ = β = + α = sinα + α sinα = = 9. Expime u, v,w,α,β, et γ en fonction de R, α, β &,γ&,θ,θ &. Retouve les ésultats de la question 5. On en déduit : α = & γ (& θ + & β ) β = γ = (& θ + & β )sinα u = R & θ tanα cosθ v = R & θ sinθ w cosθ = R & θ en déivant les expessions de v (θ ), w(θ ) et λ(θ ) obtenues à la question 5, on etouve bien espectivement v, w et u au signe pès.. Détemine le débit instantané d un piston de cette pompe noté q v (θ). Le débit instantané vaut : q v ( θ ) = S. u (= section du piston vitesse du piston) soit : q ( θ ) & v = SRθ tanα cosθ. Pou quelles valeus de θ le piston étudié est-il en phase de efoulement et en phase d aspiation? π π Los de la phase d admission, le débit est négatif donc < θ <. π π Los de la phase de efoulement le débit est positif donc < θ <. Détemine les éléments de éduction au point D du toseu cinématique associé à la liaison L 4. Page

11 On a : { V4 / } = ; v w ( D, R4) Compte tenu des ésultats de la question 9 : { V } 4/ & γ = ; R & θ sinθ cos R & θ θ ( D, R4). Que epésente le vecteu V ( D 4 / )? Que vaut V ( D 4 / ). x? Justifie ce ésultat. V ( D 4 / ) est le vecteu de glissement au point D dans le mouvement de 4/. Le plan ( D, y 4, z 4) est le plan de glissement et pa conséquent la composante du vecteu vitesse de glissement suivant la nomale à ce plan est nulle : V ( D 4/). x = 4. ( V ( D 4 / ) est dans le plan tangent commun aux deux solides Modélisation cinématique d un mécanisme de tansfomation de mouvement. Identifie pa coloiage les classes d équivalence et tace le gaphe de stuctue de ce mécanisme.. y x 4 x x. Identifie et caactéise en justifiant vote modélisation les liaisons de ce mécanisme. L identification des liaisons doit se faie en fonction de la natue des contacts ente les pièces sauf dans le cas paticulie des oulements où le montage à son impotance. Page

12 Liaison ente B et : l abe est guidé su deux oulements, un oulement à contact oblique à double angées de billes à gauche et un oulement à ouleaux cylindiques à doite. Le pemieoulement sea modélisé pa une liaison pivot d axe x et le second pa une liaison pivot glissant de même axe. Liaison ente et : là encoe le guidage de / se fait pa l intemédiaie de deux oulements à ouleaux côniques dont le modèle est celui d une liaison sphéique compte tenu du otulage du oulement. Liaison ente et : le contact ente les deux pièces est cylindique d axe y, la liaison coespondante est une pivot glissant de même axe. Liaison ente et 4 : le contact ente les deux pièces est sphéique, la liaison coespondante est une liaison sphéique. Liaison ente 4 et B : le guidage de la tige 4 est assué pa deux palies lisses. Les contact sont cylindiques d axe x 4. Chaque palie sea donc modélisé pa une pivot glissant d axe x 4 4. Tace le schéma de stuctue tidimensionnel du système de tansfomation de mouvement. Y Y Y 4 E B B X X X Schéma de stuctue plan Page

13 Schéma de stuctue tidimensionnel 5. Réduie le gaphe de stuctue de façon à obteni un gaphe des liaisons minimal. Justifie. Il appaaît des éductions évidentes : Liaison ente B et : la pivot et la pivot glissant d axe x en paallèle sont équivalentes à une liaison pivot d axe x Liaison ente et : les deux liaisons sphéique en paallèle sont équivalentes à une pivot d axe x. Liaison ente et 4 : les liaisons pivot glissant et sphéique en séie sont équivalente à une liaison sphèe cylinde d axe y. Liaison ente 4 et B : les deux liaisons pivot glissant en paallèle sont équivalente à une liaison pivot glissant d axe x 4. D où le gaphe minimal : B Avec : LB : pivot d axe x L : pivot d axe x L 4 : sphèe cylinde d axe y L 4B : pivot glissant d axe x Tace le schéma cinématique tidimensionnel minimal du mécanisme. Page

14 Schéma cinématique du modèle minimal 7. Détemine le degé d hypestatisme du modèle tidimensionnel minimal. En appliquant la fomule de mobilité : h = m c Ic + 6γ Avec : m c = m u + m i = + = (m i : otation pope de 4) I c = 8 et γ = Soit h =, le modèle cinématique minimal est isostatique. 8. Popose sous la fome d un schéma cinématique nomalisé plan ou tidimensionnel, deux solutions pemettant de tansfome une otation continue en une tanslation altenative, les axes des mouvements étant paallèles. ϕ H Page 4

15 ϕ H Solution équivalente à la pemièe voi execice. Vaiante Vaiante Page 5