Chapitre 6 : Dynamique de la particule (Partie 2)

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1 Execices Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) E1. (a) vx = vx0 +a x x a x = v x v x0 (1) = 1,5 /s Fx = f = a x =0,09(1,5) = 0,135 N x = 8 10 (b) Selon l équation 6.1 : f c = µ c N = µ c g µ c = f g = 0,135 0,09g = 0,153 E. (a) Coe seuleent deux des oues contibuent à la populsion, le odule de la noale coespond à la oitié de celui du poids. Si l axe des x positifs est dans le sens du ouveent : Fx = f = µ s N = µ g s = ax a x = µ s g = 0,8g =3,9 /s a = 3,9 /s (b) Les quate oues contibuent au feinage, donc Fx = f = µ s N = µ s g = a x a x = µ s g a = µ s g = 7,84 /s E3. Les foces de fotteent sont ves la doite, dans le sens contaie du déplaceent. L axe des x positifsestveslagauchepouleblocde kg et ves le bas du plan incliné pou le bloc de 5 kg. (a) Su le bloc de 5 kg : Fy = N g =0 N =5g Fx = g sin θ T f =5g sin θ T µ c (5g ) =0 Su le bloc de kg : Fy = N g =0 N = g =g Fx = T f = T µ c (g) =0 En additionnant avec : 5g sin θ µ c (5g ) µ c (g) =0 5g sin θ = µ c (5g cos τ +g) µ c = 5g sin θ 5g +g = (b) T =µ c g =(0,395)g = 5g sin 30 5g cos 30 +g = 0,395 7,74 N E4. On utilise un systèe d axes qui suit le plan incliné, l axe des x positifsestveslehaut. (a) F y = N g =0 N = g Fx = f g sin θ = µ(g ) g sin θ =0 µ = g sin θ g =tanθ = tan 37 =0,754 v6 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) 1 ERI

2 uisque µ s > 0,754, le bloc ne se et pas en ouveent (b) F y = N g F 0 sin θ =0 N = g + F 0 sin θ Fx = F 0 g sin θ f = F 0 g sin θ µ c (g + F 0 sin θ) =a x a x = F 0 g sin θ µ c (g +F 0 sin θ) = 40 cos 37o 1g sin 37 o 0,6(1g cos 37 o +40 sin 37 o ) 1 a x =6,91 /s Donc a =6,91 /s ves le haut du plan incliné E5. On utilise un axe des x positifs dans la diection de F, la foce appliquée su la caisse (1), de asse 1 =0kg, pa la pesonne (), de asse =80kg. On donne µ s =0,8, le coefficient de fiction statique su la pesonne et µ c =0,4, lecoefficient de fiction cinétique su le bloc. (a) La caisse est souise à quate foces : son poids 1 = 1 g j,lanoale N 1 = N 1 j, la foce de fiction cinétique f 1 = µ c N 1 i et F = F i. On applique la peièe loi de Newton selon y, la deuxièe loi selon x et on obtient Fy = N 1 1 g =0 N 1 = 1 g Fx = F µ c N 1 = 1 a x F µ c 1 g = 1 a x On suppose que la pesonne este iobile pendant qu elle pousse su la caisse. L accéléation axiale du bloc est obtenue si la foce de fiction statique su la pesonne atteint sa valeu axiale, soit f = µ s N i. Su la pesonne, les autes foces sont la noale, N = N j,lepoids, = g j et la éaction à F,soit F.Encoe une fois, on applique la peièe loi selon y, la seconde selon x et on obtient Fy = N g =0 N = g Fx = F + µ s N =0 F + µ s g =0, F = µ s g On eplace l équation dans l équation et on calcule µ s g µ c 1 g = 1 a x a x = µ s 1g µ c g 1 = 0,8(80)g 0,4(0)g 0 =7,4 /s a = 7,4 /s (b) À pati de, on calcule : F = µ s g =0,8(80)g = 67 N E6. (a) La valeu axiale du odule de la foce de fotteent statique est : f s(ax) = µ s g =34,3 N La foce extéieue appliquée su le bloc possède un odule F =30N. Coe F<f s(ax),leblocesteaueposetf = F = 30,0 N Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) v6 ERI

3 (b)sileblocsedéplaceveslagauchealoslafocedefotteentestdiigéevesladoite, fc = f c i = µc N i = µ c g i et la soe des coposantes hoizontales de foce donne Fx =30+µ c g = a x a = 10,9 i /s a x = 30+µ c g = 30+0,5(5)g 5 =10,9 /s (c)sileblocsedéplacevesladoitealos f c = f c i = µc N i = µ c g i et Fx =30 µ c g = a x a = 1,10 i /s a x = 30 µ c g = 30 0,5(5)g 5 =1,10 /s E7. (a) F y = N g F sin θ =0 N = g + F sin θ Fx = F f = F µ s (g + F sin θ) =5cos37 0,5(3g +5sin37 ) < 0 Il ne bouge pas (b) a x = F cos 37 µ c (g+f sin 37 ) = 5 cos 37 0,(3g+5 sin 37 ) 3 =3,69 /s a = 3,69 i /s E8. (a) F y = N g + F sin θ =0 N = g F sin θ Fx = F f = F µ s (g F sin θ) =5cos37 0,5(3g 5 sin 37 ) > 0 Il bouge (b) a x = F cos 37 µ c (g F sin 37 ) = 5 cos 37 0,(3g 5 sin 37 ) 3 =5,70 /s a = 5,70 i /s E9. Le systèe d axes est oienté selon le plan incliné, l axe des x positifs est ves le bas. (a) F y = N g =0 N = g Fx = g sin θ µ s (g ) =,5g sin 53 0,5(,5g cos 53 ) > 0, il bouge, et Fx = g sin θ µ c (g ) =a x a x = g sin θ µ c (g ) =,5g sin 53 0,5(,5g cos 53 ),5 =6,37 /s a = 6,37 /s ves le bas (b) F x = g sin θ + f = g sin θ + µ c (g ) =a x a x = g sin θ + µ c (g ) =g sin 53 +0,5(g cos 53 )=9,31 /s a = 9,31 /s ves le bas (c) F x = g sin θ f = g sin θ µ c (g ) =a x a x = g sin θ µ c (g ) =g sin 53 o 0,5(g cos 53 o )=6,37 /s a = 6,37 /s ves le bas v6 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) 3 ERI

4 E10. Fy = N g =0 N = g On utilise un axe des x positifs dans la diection du ouveent : Fx = f = µg = a x E k/h = 7,8 /s µ = ax g = ( 6) 9,8 = 0,61 À l hoizontale, avec un axe des x positifs dans le sens du ouveent : vx = vx0 +a x x a x = v x v x0 x Fx = f = µ c g = a x = 0 (7,8) (60) = 6,43 /s µ c = a x g = 6,43 9,8 =0,656 (a) L axe des x positifs est dans le sens du ouveent, ves le bas du plan incliné : Fy = N g =0 N = g Fx = g sin θ µ c (g ) =a x a x = g sin θ µ c (g ) =g sin 10 0,656(g cos 10 )= 4,63 /s v x = v x0 +a x x x = v x v x0 a x = 0 (7,8) ( 4,63) = 83,3 (b) L axe des x positifs est dans le sens du ouveent, ves le haut du plan incliné : Fx = g sin θ µ c (g ) =a x a x = g sin θ µ c (g ) = g sin 10 0,656(g cos 10 )= 8,03 /s v x = v x0 +a x x x = v x v x0 a x E1. 80 k/h =, /s = 0 (7,8) ( 8,03) = 48,0 (a) L axe des x positifs est dans le sens du ouveent, ves le bas du plan incliné : Fx = g sin θ µ c (g ) =a x a x = g sin θ µ c (g ) =g sin 40 0,1(g cos 40 )=5,55 /s v x = v x0 + a x t t = v x v x0 a x =, 0 5,55 = 4,00 s (b) v x = v x0 +a x x x = v x v x0 a x = (,) 0 (5,55) = 44,4 E13. L axe des x positifs est dans le sens du ouveent, ves le haut du plan incliné : Fx = g sin θ µ c (g ) =a x a x = g sin θ µ c (g ) = g sin 10 o 0,1(g cos 10 o )=,67 /s v x = v x0 +a x x x = v x v x0 a x E14. (a) ou une taction avant : Fx = f AV = µ s N = µ s (0,6)g = a xav = 0 (,) (,67) = 9,3 a xav = µ s g(0,6) ou une populsion aièe : Fx = f AR = µ s N = µ s (0,4)g = a xar a xar = µ s g(0,4) 4 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) v6 ERI

5 v x = v x0 + a x t t = vx v x0 a x t AR t AV = a AV a AR = 0,6 0,4 = 1,50 (b) Que ce soit une taction avant ou une populsion aièe, les quate oues contibuent au feinage : Fx = f AV = f AR = µ c g = a x a x = µ c g Coe l accéléation duant le feinage est la êe, la distance d aêt doit l ête aussi : x AR x AV = 1,00 E15. (a) ou l enseble : F x = F µ c ( A + B + C )g =( A + B + C )a x a x = F µ c ( A + B + C )g A + B + C (b) Su la patineuse A : Fx = F µ c A g T 1 = A a x = 00 0,1(100)g 100 =1,0 /s a = 1,0 /s T 1 = F µ c A g A a x = 00 0,1(30)g 30(1,0) = 140 N (c) Su la patineuse C : Fx = T µ c C g = C a x T = µ c C g + C a x = 0(0,1g +1,0) = 40,0 N E16. L axe des x positifs est dans le sens du ouveent, ves le bas du plan incliné : x = v x0 t + 1 a xt Fx = g sin θ µ c (g ) =a x µ c = 0,306 a x =( x v x0t t )=(,4 0 3 )=0,533 /s µ c = g sin θ a x g = g sin 0 0,533 g cos 0 E17. (a) F x = F µ s (g + F sin θ) =F µ s g Fµ s sin θ ouqueleblocseetteenouveent,ilfautque: Fx = F ( µ s sin θ) µ s g > 0 F> µ s g µ s sin θ (b) Coe cette expession donne le odule de la foce nécessaie, le dénoinateu à doite de l égalité doit toujous ête positif, ce qui iplique que : µ s sin θ< µ s < sin θ =cotθ En d autes ots, si µ s > cot θ, alos F < 0, ce qui est équivalent à ce que F pointe ves le haut. Finaleent, si µ c =cotθ F, etleblocnepeutpasbouge! CQFD (c) On evient à la soe des foces : Fx = F µ c g Fµ c sin θ = a x dans laquelle µ c =cotθ, donc Fx = F µ c g F sin θ sin θ = ax µ c g = a x a x = µ c g E18. Le systèe d axes est oienté selon le plan incliné, l axe des x positifs est ves le haut. v6 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) 5 ERI

6 (a) F y = N g F sin θ =0 N = g + F sin θ Fx = F µ c (g + F sin θ) g sin θ = a x a x = F µ c (g +F sin θ) g sin θ = 5 cos 37 0,1(5g cos sin 37 ) 5g sin 37 5 a x =,98 /s a =,98 /s,veslebas (b) x = v x0 t + 1 a xt =(6)()+ 1 (,98)() = 6,04 E19. (a) À pati de la soe des foces hoizontales su le bloc A : Fx = f s = A a x =0 f s = 0 (b) La foce axiale appliquée au bloc B est celle qui fait que le fotteent statique ente les deux blocs atteint sa valeu axiale. À pati de la soe des foces su le bloc A : Fy = N A g =0 N =g Fx = f s(ax) = A a x a x = f s(ax) A = µ s (g) = µ s g =0,5g =,45 /s On epend la soe des foces hoizontales su l enseble des deux blocs : Fx = F =( A + A ) a =7(,45) = 17, N E0. Soit la soe des foces su le bloc A : Fx = N = A a x =a x Fy = f s A g =0 µ s N g =0 µ s = g N = g a x Soit la soe des foces hoizontales su l enseble des deux blocs : F Fx = F =( A + B )a x a x = A + B = =1/s µ s = g a x = 9,8 1 = 0,817 E1. ou le bloc, on utilise un systèe d axe oienté selon le plan incliné. Dans tous les cas, l axe des y positifs pou le bloc 1 et l axe des x positifs pou le bloc sont oientés dans le sens du ouveent. Le odule de l accéléation coune des deux blocs est a. (a) La soe des foces su le bloc 1 : Fy = 1 g T = 1 a Lasoedesfocessulebloc: Fy = N g =0 N = g Fx = T f g sin θ = T g sin θ µ c g = a On additionne avec : 1 g µ c g g sin θ =( 1 + )a a = 1g µ c g g sin θ 1 + (b) La soe des foces su le bloc 1 : = 5g 0,5(5)g cos 37 5g sin = 0,980 /s 6 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) v6 ERI

7 Fy = 1 g + T = 1 a Lasoedesfocessulebloc: Fy = N g =0 N = g Fx = g sin θ f T = g sin θ µ c g T = a On additionne avec : 1 g µ c g + g sin θ =( 1 + )a a = 1g µ c g + g sin θ 1 + (c) Si 1 se déplace ves le haut = 5g 0,5(5)g cos 37 +5g sin =,94 /s Su le bloc 1 : F y = 1 g + T =0 Su le bloc : F x = f + g sin θ T = µ c g + g sin θ T =0 On additionne avec : 1 g µ c g + g sin θ =0 1 = (sin θ µ c ) =6(sin37 0,5 cos 37 ) 1 =,40 kg Si 1 se déplace ves le bas Su le bloc 1 : F y = 1 g T =0 Su le bloc : F x = f g sin θ + T = µ c g g sin θ + T =0 On additionne avec : 1 g µ c g g sin θ =0 1 = (µ c +sinθ) =6(0,5 cos 37 +sin37 ) 1 =4,80 kg E. On eaque que losque le bloc 1 descend de 1, le bloc se déplace de, donc la elation ente le odule des accéléations est a =a 1. On décit le ouveent des deux blocs pa appot à un axe des x positifs ves la doite pou le bloc et ves le bas pou le bloc 1. Su le bloc 1 : F x = 1 g T = 1 a 1 Su le bloc : F x = T f = a = (a 1 ) On eplace les valeus de 1 et a 1 founies dans : T = 1g 1 a On touve T cas 1 = 3g 3(0,6) =13,8 NetT cas = 4g 4(1,6) =16,4 N On eplace ces valeus de tension dans pou obteni deux équations contenant deux inconnues : 13,8 f = ((0,6)) f =13,8 1, 16,4 f = ((1,6)) f =16,4 3, On ésout ces deux équations et on touve =1,30 kg et f =1, N E3. (a) ou les deux blocs, on utilise un axe des x positifs dans le sens de l accéléation coune v6 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) 7 ERI

8 a =1/s. Su le bloc de 4 kg : Fx = F T f = F T µ c 4g =4a Su le bloc 5 kg : Fx = T f g sin θ = T µ c 5g cos 53 5g sin 53 =5a On additionne avec : F µ c 4g 5g sin 53 µ c 5g cos 53 =(4+5)a F =(0,5)4g +5g sin 53 +(0,5)5g cos 53 +9(1)= 8,5 N (b) À pati de l équation on calcule F T µ c 4g =4a T = F µ c 4g 4a =8,5 (0,5)4g 4(1) = 58,9 N (c) On aintient l axe des x positifs ves la gauche ou le haut du plan incliné. Su le bloc de 4 kg : F x = F T + f = F T + µ c 4g =4a Su le bloc de 5 kg : F x = T f + g sin θ = T + µ c 5g cos 53 5g sin 53 =5a On additionne avec : F + µ c 4g 5g sin 53 + µ c 5g cos 53 =(4+5)a a = F +µ c 4g 5g sin θ+µ c 5g 9 a = 10+(0,5)4g 5g sin 53 +(0,5)5g cos 53 9 = 0,579 /s donc ves le haut du plan incliné suleblocde5kg. E4. À pati de la soe des foces veticales su le bloc kg : Fy = N g =0 N = g =g f 6 = µ c (g) À pati de la soe des foces veticales su l enseble foé des blocs : Fy = N g =0 N = g =(6+)g =8g f 6s = µ c (8g) La soe des foces hoizontales su le bloc de 6 kg : Fx = f 6 f 6s + F = µ c (g) µ c (8g)+F = a F µ c (10g) =6a E5. µ c = F 10g 6a 10g = 0,061 Fx = F F µ c N = a = 4 6(3) Fy = N F 1 sin θ 1 g + F sin θ =0 On ésout ce systèe d équations et on touve que N =34,55 Neta = 5,37 /s E k/h = 30/s, l axe des x positifs est oienté selon le ouveent. Fx = f s = µ s g = a x a x = µ s g et v x = v x0 +a x x x = v x v x0 a x (a) x = v x v x0 µ s g = 0 30 (0,9)g = 51,0 = v x v x0 µ s g 8 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) v6 ERI

9 (b) x = v x v x0 µ s g = 0 30 (0,3)g = 153 Les pneus ne glissent pas pa appot à la chaussée E7. On établit la soe des foces su la luge si l enfant tie. On utilise un systèe d axes oienté selon le plan incliné avec l axe des x positifs ves le haut. On suppose qu une foce de fotteent s oppose au ouveent. Fy = N g cos 15 + F sin 5 =0 N = g cos 15 F sin 5 Fx = F cos 5 g sin 15 µ c (g cos 15 F sin 5 )=0 µ c = F cos 5 g sin 15 g cos 15 F sin 5 =0,197 En l absence de la foce qu applique l enfant : Fy = N g cos 15 =0 N = g cos 15 Fx = g sin 15 µ c g cos 15 = a x a x = g sin 15 (0,197)g cos 15 =0,67 /s a = 0,67 /s E8. Au soet, si l eau est su le point de soti, c est qu il y a absence de foce noale : Fy = g = v v = g v = g = p 0,8(9,8) =,80 /s E9. (a) Au soet, si la voitue est à la liite de contact, il y a absence de foce noale : Fy = g = v v = g v = 0g = 14,0 /s (b) Au fond de la vallée, la foce noale devient nécessaie pou s oppose au poids : Fy = N g = v N = g + v = 75(g )= 1, N E k/h = 16,7 /s Fx = f = µn = µg = v µ = v g = 16,7 60g = 0,47 E31. uisque la otation se poduit dans un plan hoizontal, on choisit l axe des x hoizontal, oienté selon la foce centipète nécessaie. Fy = N g =0 N = g Fx = N sin θ = v ( g v )sinθ = tan θ = v g CQFD E3. (a)dansleplandelafigue 6.55, les deux seules foces appliquées su l avion sont,la foce de poussée qui agit pependiculaieent aux ailes et M g, son poids. Soit θ, l angle d inclinaison de l avion ou l angle que foe avec la veticale. On utilise un systèe d axes siilaie à celui de la figue 6.1. Selon y, l accéléation est nulle et selon x, elle coespond à l accéléation centipète. À pati des lois de Newton, on calcule l angle d inclinaison de l avion : v6 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) 9 ERI

10 Fy = Mg =0 = Mg Fx = sin θ = Mv ( Mg Mv )sinθ = tan θ = v g = g θ = 3, (b) Le poids appaent du pilote, de asse =70kg, coespond au odule de la foce noale N qu il subit, et qui est dans le êe sens que. On calcule la soe des foces dans la diection y, et on obtient Fy = N g =0 N = g = 70g cos(3, ) = 811 N E33. (a) On utilise un systèe d axe tangent à la paoi du cecle et on touve la soe des foces su le bloc au oent où la foce de fotteent statique pend sa valeu axiale. Fx = g sin θ + µ s N =0 g sin θ = µ s N Fy = N g = v R On eplace dans : g sin θ = µ s (b) g sin θ = v (g + R ) v µ(g + R ) g sin θ = v N = g + R = µ s (g + v R ) g sin θ = µ s(g + v R ) CQFD v µ(g + R ) g = µ( + Rg v ) sin θ =0,75( + 1,6 (0,4)g )=0,75( +0,405) = 0,75 +0,30 (sin θ) =(0,75 +0,30) (iii) Coe sin θ =1 cos θ, l équation (iii) devient 1,563 cos θ +0,453 0,909 = 0 On ésout cette équation quadatique en et on ne conseve que le ésultat positif, =0,631. Finaleentθ = 50,9 E34. On choisit l axe des x positifs hoizontal, oienté selon la foce centipète nécessaie. On suppose que le cascadeu est à la liite où il ne glisse pas. E35. Fx = N = v et Fy = f g = µn g =0 µ = g N = g µ = g ( v ) v Fy = N y g =0 N y = g = 70(9,8) = 686 N = 4g 7 = 0,800 Fx = N x = v = 70(15) 40 = 396 N N = (394 i +686 j ) NouN = 791 N E36. On choisit l axe des x positifs hoizontal, oienté selon la foce centipète nécessaie. v =0,4(πR) =7,54 /s Fx = N = v = 30(7,54) 3 = 569 N Fy = f s g =0 f s = g =30g = 94 N Le poids appaent d un cops est la foce ésultante qu exece su lui une suface su 10 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) v6 ERI

11 laquelle il s appuie. Alos, le odule du poids appaent = p N + f = = 640 N On peut véifie qu on a bien f s <µ s N E37. (a) T = π v = π(5, ) = 1, s, 10 6 (b) F = v R = (9, )(, 10 6 ) = 8,3 10 5, N 11 E38. Cette situation est siilaie à celle qui est décite à l execice 3. Ici, le odule de la vitesse de l avion est v = 800 k/h =, /s et on cheche le ayon de sa tajectoie. La solution de la patie (b) de l execice 3 établit un lien ente le odule du poids appaent N du pilote et l angle d inclinaison θ de l avion. Coe N =1,4g, on calcule N = g 1,4g = g = 1 1,4 θ =44,4 ou calcule, on utilise l équation obtenue à la patie (a) de la solution de l execice 3 : tan θ = v g = v g tan θ = (,) 9,8tan(44,4 ) = E39. Soit T, la péiode echechée : Fy = N g = v g = v T = q 4π R T g = R T R T = ³ πrt T R T q 4π (6, ) g = 84,4 in 5,14 k = 4π R T T E40. (a) F y = T + g = v T = v g =0,( 0,3 g) = 0,707 N (b) F y = T g = v T = v + g =0,( (3,96) 0,3 + g) = 1,4 N (c) F x = T = v = 0,(3,14) 0,3 = 6,57 N E41. (a) F y = N + g = v (N =0), v = g v = 0g = 14,0 /s (b) F y = N g = v E4. v = 45(π) 60 = 0,707 /s Fy = N g =0 N = g Fx = f s = µn = v N = g + v = 60(g )= 1, N µ = v N = v g = 0,340 E43. (a) L axe des x positifs est dans le sens du ouveent : Fx = f s = µ s g = a x a x = µ s g v x = v x0 +a x x x = v x v x0 a x = 0 v µ s g = v µ s g (b) L axe des x positifs est dans le sens de la foce centipète nécessaie : Fx = f s = µ s g = v = v µ s g,soitledoubledelaéponse(a)! v6 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) 11 ERI

12 (c) Feine sans bloque les oues tout en tounant sans glisse de côté (!) E44. Fy = N = v avec N =0,g 0,g = v = ( π T ) = 4π T q q 4π T = 0,g = 4π ,g = 14 s E45. L axe des y positifs est dans le sens de la foce centipète nécessaie : (a) Si le tain est su le point de tobe, il n y aua plus de foce noale : Fy = g = v g = v v = g v = 6,5g =7,98 /s ou que le tain ne quitte pas le ail, on doit avoi v>7,98 /s (b) ³ F y = N + g = v N = v g =40 (9,5) 6,5 g = 163 N E46. (a) Selon l équation 6.6 : T = 4π 3 GM T M T = 4π 3 GT = (b) M S = 4π 3 GT = E47. Selon l équation 6.6 : M J = 4π 3 J GT J E48. (a) M = 4π 3 GT = 4π (3, ) 3 (6, )(, ) = 6, kg 4π (1, ) 3 (6, )(3, ) = 1, kg et M T = 4π T 3 M GTT J M T = 3 J T T T 3 T J 4π (, ) 3 = 1, kg (6, )(7, ) = (6,7 108 ) 3 (, ) (3, ) 3 (3, ) = 34 On doit suppose une distibution de asse à syétie sphéique autou du cente de la galaxie. ³ (b) M 1 étoile E49. F = GM M = 4π E50. (a) GM T R T kg = 6, étoiles = v GT = 4π et v = π T ( )(6, )(1) = 4, kg = v R T v = q GMT R T v = gr T CQFD (b) v = πr T T = gr T T = πr T grt =πq RT g = 84,4 in ³ 3 ³ E51. (a) T = 4π R 3 GM T R R 1 = T T 1 R = R 1 ³ T T 1 /3 =(4, 10 8 ) (b) T = 4π 3 GM M = 4π 3 GT = E5. Selon l équation 6.5 : v ob = E53. (a) T = 4π 3 GM L = (b) F = v = 4π (1, ) 3 ³ 3, , /3 = 6, k 4π (6, ) 3 (6, )(3, ) = 1, kg q GM R = q (6, )(000) 0,8 = 0,408 /s T = 114 in (6, )(7,36 10 ) ³ 4π = π (1, ) = 1,5 10 T (6, ) 4 N E54. M ρr 3 et R, d où, pa la toisièe loi de Keple, T = 4π 3 Ainsi, T A T B = q ρb E55. T = 4π 3 GM T ρ et ρ A A =ρ B T A T B =1,41 ³ ³ 3 ³ T1 T = 1 = GM T 1 T =0,99 1 ρ 1 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) v6 ERI

13 nt =(n +0,5)T 1 n n+0,5 = T 1 T =0,99 (1 0,99)n =0,495 n = 0, ,99 = 49,5 obites E56. (a) F R = g = 0(9,8) = 196 N (b) Selon l équation 6.10 et si la vitesse liite est atteinte : F R = g = k(0,5v L ) =0,5kv L = 196(0,5) = 49,0 N E57. À pati de l équation 6.9 : g = γv L γ = g v ³ L À pati de l équation 6.7 : F R = γv = g v L v =( g )1 =,45 10 N E58. On fait la soe des foces su la asse : Fy = T 0,58g =0 = 0,58g T = 0,58g 6 θ =18,7 Fx = T sin θ =0,58a x a x = T sin θ 0,58 = 6sin(18,7 ) 0,58 =3,3 /s a = 3,3 /s E59. Àpatidelafigue 6.0a : Fy = T = g T = g Fx = T sin θ = g sin θ = ax g tan θ = a x a x = g tan θ =9,8tan8 =1,38 /s a = 1,38 /s E60. (a) À pati de la figue 6.0a : Fy = T = g T = g Fx = T sin θ = g sin θ = ax g tan θ = a x tan θ = a x g =,6 9,8 θ =14,9 et la déviation hoizontale de la asse sea : d = L sin θ =80sin(14,9 )= 0,6 c (b) T = g = ( )g cos(14,9 ) = 4,06 N E61. a = v v = a alos tan θ = g 11,4 /s E6. Selon l équation 6.14, a 0 =ωv 0 et = v g = 0,5 1,5 v = d = 1 a0 t = 1 (ωv0 ) R v 0 = ωr v 0 = 0,8(4,5) 30 = 0,540 ³ 0,5 1,5 g = 1 3 g = 1 340g E63. ou les deux blocs, on utilise un axe des x positifs dans le sens du ouveent, c est-àv6 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) 13 ERI

14 die ves le bas pou le bloc 1. Le odule de l accéléation coune des deux blocs est epésenté pa a. Su le bloc 1 : F x = 1 g T = 1 a Su le bloc : F x = T µ c g = a On additionne et : 1 g µ c g =( 1 + )a a =,38 /s E64. Le odule de l accéléation coune des deux blocs, que l on suppose ves la doite, est epésenté pa a. (a) ou le bloc : F x = T µ c g = a ou le bloc 1 : F x = F µ c ( 1 g F sin θ) T = 1 a On additionne et : F µ c ( 1 g F sin θ µ c g =( 1 + )a a =,71 /s (b) et T = 9,9 N E65. Fy = f g =0 f = g Fx = F N =0 F = N On utilise et dans f = µ s N F = g µ = 1,47 N s ou que le bloc tienne, on doit applique une foce de odule F 1,47 N E66. L axe des x positifs est dans la diection du ouveent. On suppose que l accéléation est telle que le fotteent est axial. Fx = µ s g = a x a = 5,39 /s v x = v x0 +a x x 0=4 +( 5,39) x x = 53,4 E67. (a) Su l enseble foé des deux blocs, dont l accéléation coune possède un odule a : Fx = F µ c ( 1 + )g =( 1 + )a a = 0,540 /s (b) Su le bloc 1 : F x = F 1 µ 1 g = 1 a F 1 = F 1 = 7,50 N E68. La foce de fotteent ente les pneus et le sol est la foce centipète : f = v Mais f = µ s g si on est à la liite du déapage, donc µ s = v g La ciconféence est π = 3000 =477etµ s = 0,13 E69. (a) T = π v = 0, s E70. (b) v = 1, /s (c) v =, N Fy = N g = v L N = 455 N 14 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) v6 ERI

15 oblèes 1. (a) On établit la soe des foces su le bloc en supposant qu il est iobile : Fy = N g + F sin θ =0 N = g F sin θ Fx = F µ s N = F µ s (g F sin θ) =0 F = µ s (g F sin θ) F = µ s g +µ s sin θ F est iniale losque le dénoinateu + µ s sin θ est axial, alos d dt ( + µ s sin θ) =0 sin θ + µ s =0 tan θ = µ s CQFD (b) F in = µ s g +µ s sin θ = g tan θ +tan θ sin θ = g sin θ = g sin θ CQFD cos θ+sin θ. L axe des x positifs est dans la diection du ouveent pou chaque bloc. (a) Su le bloc : F x = T µ c g =0 Su le bloc M qui subit le fotteent su ses deux faces : Fx = F T µ c (M + )g µ c g = F T µ c (M +)g =0 On additionne et : F µ c g µ c (M +)g =0 F = µ c (M +3)g =0,(4 + 3())g = 19,6 N (b) On epend les soes de foces en considéant une accéléation de êe odule a. Fx = T µ c g = a Fx = F T µ c (M +)g = Ma On additionne et : F µ c (M +3)g =(M + )a F µ c (10g) =6a F = µ c (10g)+6a =0,(10g)+6()= 31,6 N 3. Dans tous les cas, l axe des x positifs est dans la diection du ouveent. (a) endant la descente, la foce de fotteent copense le poids : Fx = g sin θ f =0 f = g sin θ endant la ontée, la foce de fotteent s invese et une foce est nécessaie pou ainteni la vitesse constante : Fx = F g sin θ f = F g sin θ g sin θ =0 F =g sin θ = (3000)g sin 5 = 5,1 kn (b) En ontant : F x = F g sin θ f =0 F = g sin θ + f Su teain plat : F x = F f =(g sin θ + f) f = a x a x = g sin θ = g sin 10 o =1,70 /s a = 1,70 /s 4. (a) À la vitesse iniale, la foce de fotteent est ves l extéieu : v6 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) 15 ERI

16 Fy = N + f s sin θ g =0 N + µ s N sin θ g =0 g N = +µ s sin θ Fx = N sin θ f s = v N = v (sin θ µ s ) Maisetsontégales,donc N sin θ µ s N = v g +µ s sin θ = v in (sin θ µ s ) vin = g(sin θ µ s ) +µ s sin θ = 40g(sin 35 0,4 cos 35 ) cos 35 +0,4sin35 v in =9,59 /s À la vitesse axiale, la foce de fotteent est ves l intéieu : Fy = N f s sin θ g =0 N µ s N sin θ g =0 g N = µ s sin θ Fx = N sin θ + f s = v v N = (sin θ+µ s ) Maisetsontégales,donc N sin θ + µ s N = v g µ s sin θ = v ax (sin θ+µ s ) vax = g(sin θ+µ s ) µ s sin θ = 40g(sin 35 +0,4 cos 35 ) cos 35 0,4sin35 v ax =5,4 /s (b) On donne une valeu epésentative à et à µ s. On fixe g. On définit les expessions qui calculent v in et v ax. On tace ensuite le gaphe de ces deux expessions pou θ allant de 0 à π : > estat: > :=10; > g:=9.8; > u:=0.5; > vin:=*g*(sin(theta)-u*cos(theta))/(cos(theta)+u*sin(theta)); > vax:=*g*(sin(theta)+u*cos(theta))/(cos(theta)-u*sin(theta)); > plot([vin,vax],theta=0..i/,colo=[ed,blue],view=[0..i/, ]); Le gaphe onte que pou v in, il existe une valeu d angle sous laquelle on ne peut avance et que pou v ax, il existe une valeu d angle qui exige une vitesse infinie. 5. Su le bloc : F y = T Mg =0 T = Mg Au ayon inial, la foce de fotteent est ves l intéieu su l autoobile : Fx = T + µg = v R 1 Mg + µg = v R 1 Au ayon axial, la foce de fotteent est ves l extéieu : Fx = T µg = v R On divise pa : R R 1 Mg µg = v R CQFD = M+µ M µ 6. (a) À pati du ésultat de l exeple 6.8c et de la figue 6.13c : 16 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) v6 ERI

17 a = v = v L a =,5 /s a t = g sin θ a t =3,35 /s (b) ³ F y = T g = v L T = g + v L = g cos =,9 N 7. Le ayon de la tajectoie ciculaie est = p 1 0,8 =0,6 v = π T = π(0,6) 1, = 3,14 /s L angle que fait chaque code avec l hoizontale est donné pa : tan θ = 0,6 0,8 θ =36,9 On calcule la soe des foces su le bloc, l axe des x positifs est dans la diection de la foce centipète nécessaie : Fy =(T 1 T )cosθ g =0 (T 1 T )= g = 0,4g Fx =(T 1 + T )sinθ = v R cos(36,9 ) =4,9 N (T 1 + T )= v R sin θ = 0,4(3,14) (0,6) sin(36,9 ) =11N On additionne et : (T 1 T )+(T 1 + T )=15,9 N T 1 =15,9 N T 1 =7,94 N, T =3,04 N 8. (a) 108 k/h = 30 /s. Selon l execice 31, pou un viage ciculaie elevé sans fotteent, tan θ = v g Coe v =30 = 900 /s g tan θ =80g tan 15 o = 10 /s uisque v >gtan θ, f est ves le bas de la pente pou epêche le déapage ves l extéieu de la coube. (b) À pati de l exeple 6.7 et de la figue 6.1 : Fx = N sin θ + µn = N(sin θ + µ ) = v Fy = N µn sin θ g =0 N( µ sin θ) =g On divise pa : sin θ+µ µ sin θ = v g (sin θ+µ )g = v ( µ sin θ) µ(g +v sin θ) =(v g sin θ) µ(g + v tan θ)cosθ =(v g tan θ)cosθ µ = v g tan θ g+v tan θ Avec v =30/s, =80etθ =15, on obtient µ = 0, L axe des x positifs est ves le bas, dans le sens du ouveent. Le odule de l accéléation coune des deux blocs est a. Su l enseble foé des deux blocs : Fx =8g sin θ µ c1 1 g + µ c g =( 1 + )a a = 8g sin θ µ c1 1g +µ c g 1 + a =,04 /s = 8g sin 30 (0,4)(3)g cos 30 +(0,3)(5)g cos 30 8 v6 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) 17 ERI

18 Su le bloc de 3 kg : Fx = T + 1 g sin θ µ c1 1 g = 1 a T = 1 g sin θ + µ c1 1 g + 1 a T = 3g sin 30 +0,4(3)g cos 30 +3(,04) T =1,60 N 10. = L sin θ, l axe des x positifs est dans la diection de la foce centipète nécessaie : Fx = T sin θ = v Fy = T g =0 On divise pa : tan θ = v g v = g tan θ = q Lg sin Lg sin θ tan θ = θ T = π v = πl sin θ q Lg sin θ =πq L sin θ Lg sin θ T =πq L g CQFD 11. (a) L axe des x positifs est ves le bas du plan incliné. À la valeu axiale θ s,lebloc n accélèe toujous pas : Fx = g sin θ s µ s g s =0 sin θ s = µ s s tan θ s = µ s CQFD (b) Si l angle est légèeent supéieu ais este poche de θ s, alos on utilise le coefficient de fotteent cinétique de sote que a x = g(sin θ s µ c s ) d = 1 a xt t = d d a x = g(sin θ s µ c s ) = d g s (tan θ s µ c ) q q d d t = g s (tan θ s µ c ) t = g s (µ s µ c ) CQFD (c) Si la vitesse est constante, ais non nulle : Fx = g sin θ c µ c g c =0 sin θ c = µ c c tan θ c = µ c,oùθ c est l angle pou lequel la vitesse sea constante. 1. ou les deux blocs, l axe des x positifs est hoizontal et dans le sens du ouveent. Le odule de l accéléation hoizontale coune des deux blocs est a. Quand F 0 est axiale, la foce de fotteent statique est axiale et ves le bas. On établit la soe des foces su le bloc : Fy = N µ s N sin θ g =0 N = g µ s sin θ Fx = N sin θ + µ s N = a a = N(sin θ+µ s ) = g(sin θ+µ s ) µ s sin θ Su l enseble foé des deux blocs : Fx = F 0 =(M + )a = (M+)g(sin θ+µ s ) µ s sin θ = (+0,5)g(sin 40 +0,6 cos 40 ) cos 40 0,6sin40 =71,0 N Quand F 0 est iniu, la foce de fotteent statique est axiale et ves le haut. Su le bloc : Fy = N + µ s N sin θ g =0 N = g +µ s sin θ 18 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) v6 ERI

19 Fx = N sin θ µ s N = a a = N(sin θ µ s ) = g(sin θ µ s ) +µ s sin θ Su l enseble foé des deux blocs : Fx = F 0 =(M + )a = (M+)g(sin θ µ s ) +µ s sin θ = (+0,5)g(sin 40 0,6 cos 40 ) cos 40 +0,6sin40 =3,90 N Ce qui peet de conclue que 3,90 N <F 0 < 71,0 N 13. La foce de fotteent est diigée ves l intéieu de la coube. L axe des x positifs est dans la diection de la foce centipète nécessaie : Fx = N sin θ + µn = N(sin θ + µ ) = v Fy = N µn sin θ g = N( µ sin θ) g =0 N( µ sin θ) =g On divise pa : v =, sin θ+µ µ sin θ = v g q g(tan θ+µ) (1 µ tan θ) CQFD (tan θ+µ) (1 µ tan θ) = v g 14. (a) On fait la soe des foces selon un axe des y positifs ves le bas : Fy = g kv = a = dv dt v = g(tan θ+µ) 1 µ tan θ Afin de ésoude le poblèe, il faut sépae les vaiables, coe on l a fait à la section 6.4 : k dt = dv g k v Onintège,depatetd autedecetteexpession,de0 à t pou le teps et de 0 à v pou la vitesse : tr vr k dt = 0 0 dv g k v Coe il s agit d une intégale définie, la piitive obtenue de pat et d aute doit ête évaluée aux bones. Toutefois, le tee associé à la bone inféieue dispaaît de chaque côté. On obtient : q µ g k t = 1 k g ln k +v g k v En isolant v, on aive, apès quelques lignes, à : q µ v = g k 1 kg CQFD e t +1 (b) L expession pou la vitesse obtenue en (a) coespond à la déivée de la position : µ 1 kg e t +1 On sépae ensuite les vaiables : q v = dy dt = g k q µ dy = g k 1 kg dt e t +1 Et on intège de pat et d aute, coe le suggèe la éthode poposée à la section 3.9 : v6 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) 19 ERI

20 yr tr q µ dy = g k 1 kg dt 0 0 e t +1 En intégant et en évaluant aux deux bones, on aboutit à : q µ kg y = g k t + k ln e ( t ) +1 CQFD Attention! ou aive à ce ésultat, il est ipotant d évalue la piitive de doite coecteent : un tee subsiste pou t =0. (c) On donne une valeu epésentative aux difféentes constantes. On définit l expession de la vitesse en fonction du teps et on tace le gaphe : > estat: > :=100; g:=9.8; k:=5; > vc:= sqt(*g/k)*(1-/(exp(*t*sqt(k*g/)+1))) ; > plot(vc,t=0..5); (d) Dans le cas où la fiction est popotionnelle au caé de la vitesse (C), le odule de la q vitesse liite est donné pa g k. Losque la fiction est diecteent popotionnelle à la vitesse, le odule de la vitesse liite est donné pa g γ. On copae ces deux expessions pou évalue γ. Ondéfinit l expession de la vitesse en fonction du teps losque la fiction est diecteent popotionnelle à la vitesse () et on tace le gaphe des deux cas supeposés : > ga:=solve(*g/ga=sqt(*g/k),ga); > vp:= (*g/ga)*(1-exp(-ga*t/)) ; > plot([vc,vp],t=0..10,colo=[ed,blue]); 0 Mécanique, Chapite 6 : Dynaique de la paticule (atie ) v6 ERI