CHAPITRE 13 : FILTRAGE

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1 PCSI CHAPITE 3 : FILTAGE /0 CHAPITE 3 : FILTAGE I. INTODUCTION On appelle filte un quadipôle pemettant de tansmette séletivement une bande de féquenes. Nous étudieons don dans e hapite la éponse d un quadipôle à une tension sinusoïdale en fontion de la féquene dignal (fig.3.). u = U ω e j e t e quadipôle j( + ) u = U e ωt φ s s Figue 3.. : Quadipôle II. FILTES PASSIFS D ODE ) Fontion de tansfet La quantité fondamentale dans l étude des quadipôles est leu fontion de tansfet omplexe H ( ω ), définie omme le appot de la tension de sotie pa la tension d entée : us H ue Ave les notations de la figue 3.., elle s éit : U s jϕ H ( ω ) = e Ue Pou qu un quadipôle soit onsidéé omme un filte, il faut don que sa fontion de tansfet ait une dépendane en la féquene dignal. Le module de la fontion de tansfet d un filte est appelé gain du filte et noté G : us Us G H = = ue Ue Son agument est simplement le déphasage de la tension de sotie pa appot à la tension d entée : us ag H = ag = ϕ ue ) Caatéisation d un filte On aatéise un filte d apès son gain à féquene d entée nulle (signal ontinu) et à tès haute féquene (ω + ) : Filte passe bas : G ( ω ) = 0 (le filte tansmet les basses féquenes) Filte passe haut : G ( ω 0) = 0 (le filte tansmet les hautes féquenes) Filte passe haut : G( ω 0) G( ω ) 0 = = (le filte tansmet une bande de féquene)

2 PCSI CHAPITE 3 : FILTAGE /0 On peut déduie la natue du filte en onsidéant uniquement les dipôles qui le omposent. En effet, nous savons que, en égime ontinu, un ondensateu se ompote omme un inteupteu ouvet et une bobine omme un out-iuit et que, à haute féquene, un ondensateu se ompote omme un out-iuit et une bobine omme un inteupteu ouvet. Exemple : Ciuit,C séie On onsidèe un iuit,c séie omme un quadipôle, la tension d entée étant la tension délivée pa le généateu et la tension de sotie étant pise aux bones du ondensateu (fig.3.). Un tel filte, onstuit ave des dipôles passifs, est dit filte passif. La pésene du ondensateu implique qu il s agit d un filte passe-bas (à l invese, si on avait pis la tension de sotie aux bones de la ésistane, on auait eu affaie à un filte passe-haut). Figue 3.. : Filte,C On eonnaît un pont diviseu de ouant, la tension de sotie du quadipôle est : jcω us = ue = ue + jcω jcω+ d où la fontion de tansfet de e filte : us H = = ue jcω + La pulsation appaaît au maximum à la puissane : un tel filte est appelé un filte d ode. Le gain du filte est : jcω / G = H = = ( Cω) + + ( Cω ) Le déphasage dignal de sotie est quant à lui : ϕ = ag ( H ) = atan ( Cω) (a osϕ > 0) G ω 0 = ; G ω = 0 On etouve bien qu il s agit d un filte passe-bas : 3) Gain en déibel d un filte Un appot pemet de ompae deux gandeus x et x expimées dans la même unité. L éat ente x et x expimé en Bel (B) est défini omme le logaithme déimal du appot : x B = log x L unité habituellement utilisée est le déibel (), défini omme un dixième de Bel : = 0, B. La elation i-dessus devient, en expimant l éat en déibel : x = 0log x Dans un iuit életique, la puissane moyenne dissipée pa un ésisto est popotionnelle au aé de la tension : P = U L éat ente deux puissanes est don :

3 PCSI CHAPITE 3 : FILTAGE 3/0 U U U = 0 log = 0 log + log = 0 log + te U U U Cette elation explique que l on définisse le gain en déibel d un filte pa la elation : U G 0log ( ) 0log s ω G ω = Ue Exemples : G ω = 0 U ω U = 0 3 = 60 = 0 s e G U U s e 4) Diagamme de Bode On appelle diagamme de Bode d un filte l ensemble des deux gaphes : f :logω G g :logω ϕ La pemièe oube est la oube de éponse en gain du filte, la deuxième la oube de éponse en phase. Tout omme en himie, où l on définit le ph omme l opposé du logaithme déimal de la onentation en ions oxonium, l utilisation des logaithme pemet de ondense des vastes domaines de vaiation de la féquene et du gain su un gaphique. Une déade est un intevalle de logω égal à, i.e. ω ω = 0. La vaiation du gain d un filte en fontion de la féquene est bien sû ontinue : il faut déide d une onvention pou hoisi, en fontion de G, ente les popositions «le filte tansmet la féquene ω» et«le filte ne tansmet pas la féquene ω». On définit pou ela la pulsation de oupue ω d un filte omme la pulsation au-delà on-dessous de laquelle le gain du filte est inféieu à G max : Gmax G ( ω ) La elation oespondante pou le gain en déibel est : Gmax G ( ω ) = 0log = G max 0log G max 3 La bande passante d un filte est le domaine de pulsations pou lesquelles : Gmax G G G 3 G G max max max Dans l étude d un filte, on tae d abod le diagamme asymptotique (on epésente G ϕ ( ω ) pou les limites ω 0, ω et + ), puis on en déduit le diagamme éel en joignant les asymptotes gâe aux points oespondants aux pulsations de oupue. 5) Filtes d ode evenons su le filte passe-bas,c étudié au paagaphe et posons ω = C : H G ω = ω ω + us jω ω = = = u + jωω + ( ωω) e / ; ϕ = atan ( ω ω )

4 PCSI CHAPITE 3 : FILTAGE 4/0 On voit su ette expession que la féquene de oupue du filte est : ω = C (on a bien Gmax G 0, ω. Taçons maintenant le diagamme de Bode asymptotique : ω G 0log () = 0 G 0log ω 0 : ω : ω ϕ atan ( 0) = 0 ϕ atan ( ) = π L asymptote de G pou les hautes féquenes est don une doite de pente 0 pa déade, les tois autes asymptotes sont hoizontales. Enfin, les valeus oespondant à la féquene de oupue sont : ω = = ). La bande passante du filte est don [ ] ( ω ) G G = max 3= 3 ω : ϕ ω = atan = π 4 On en déduit don le diagamme de Bode du filte (fig.3.3). emaquons enfin que, aux hautes féquenes ( ω ω ), la fontion de tansfet peut s éie : ω H jω Le iuit est alos un montage intégateu puisque : t ω us = Hue ue uedt jω = 0 G ϕ 3 log(ω/ω ) log(ω/ω ) π/4 Figue 3.3. : Diagamme de Bode du filte,c passe-bas Etudions maintenant le même iuit en penant la tension de sotie aux bones de la ésistane : il s agit d un iuit passe-haut du fait du ôle d inteupteu ouvet joué pa le ondensateu à basse féquene. Sa fontion de tansfet est (pont diviseu de tension) : d où : ( Cω ) + jcω jcω jcω us = ue = ue H = = + jcω + jcω + jcω + Cω G ω = = + ω + ( Cω ) / ϕ ω = atan ω ω (a osϕ > 0) la pulsation de oupue du filte est don, omme dans le as du filte passe-bas : ω = / C. Les asymptotes admises pa G et ϕ sont : π/

5 PCSI CHAPITE 3 : FILTAGE 5/0 ω G 0 log G 0 ω 0 : ω ω : ϕ 0 ϕ π L asymptote de G aux basses féquenes est don une doite de pente +0 pa déade, les tois autes asymptotes sont hoizontales. Enfin, les valeus oespondant à la féquene de oupue sont : G ( ω ) = 3 ω : ϕ ( ω ) = atan = π 4 d où le diagamme de Bode de e filte passe-haut (fig.3.4.). G 3 log(ω/ω ) ϕ π/ π/4 Figue 3.4. : Diagamme de Bode du filte,c passe-haut log(ω/ω ) emaquons enfin que la fontion de tansfet à basse féquene ( ω ω ) s éit : H jω ω Le iuit est alos un montage déivateu puisque : u = Hu jω u ω = u 6) Adaptation d impédane s e e e On a onsidéé dans les études péédentes que le ouant à la sotie du filte était nul. En patique, on banhe un iuit d utilisation à la sotie du filte. L étude n est don valable que si la ésistane du iuit est gande. Pou s affanhi simplement de es poblèmes d adaptation d impédane, on peut plae un AO en montage suiveu ente le quadipôle et le iuit d utilisation (figue 3.5.). + filte Figue 3.5. : Adaptation d impédane On a alos une tension d utilisation égale à d utilisation. = Hu quel que soit le ouant dans le iuit e

6 PCSI CHAPITE 3 : FILTAGE 6/0 III. FILTES PASSIFS D ODE ) Filte,L,C passe-bas : ésonane en tension On utilise un iuit,l,c séie omme un filte, la tension de sotie étant la tension aux bones du ondensateu (figue 3.5.). Figue 3.5. : Filte passe-bas L,,C A basse féquene, le ondensateu se ompote omme un oupe-iuit et la bobine omme un out-iuit : us = ue. A haute féquene, le ondensateu se ompote omme un out-iuit : u s = 0. Il s agit don d un filte passe-bas. eonnaissant un pont diviseu de tension, la fontion de tansfet s éit : jcω H = = jcω + + jlω + jcω LCω La pulsation appaaissant à la puissane, il s agit d un filte d ode. La féquene de oupue n est ii pas dietement visible. Faisons appel aux vaiables onnues d un iuit,l,c : sa pulsation pope ω 0 = LC, la pulsation éduite x = ω ω0 et son fateu de qualité Q= C ω = Lω. La fontion de tansfet s éit alos : 0 0 ( x ) jx Q H = = x + jx Q x + xq La ésonane en tension de e iuit a été étudiée au hapite 0. Le gain et le déphasage sont : x atan si x < / G = ( x ) + ( x Q) Q x ϕ = x π atan si x > Q( x ) Q >, pou une pulsation éduite égale à x ( Q) Ce gain passe pa un maximum si Le gain en déibel vaut : G = 0 logg = 0 log x + x Q Le ompotement asymptotique de G et ϕ est : es =. G 0 G 40logx ω 0 : ω : ϕ 0 ϕ π L asymptote G ( ω ) a don une pente de 40 pa déade. Les hautes féquenes sont don beauoup plus atténuées ave un filte d ode qu ave un filte d ode. emaquons enfin les valeus patiulièes : G ( ω 0 ) = 0logQ ϕ ( ω0 ) = π Nous pouvons don tae le diagamme de Bode de e filte d ode (figue 3.6.).

7 PCSI CHAPITE 3 : FILTAGE 7/0 G ϕ log(ω/ω ) log(ω/ω ) π/ log(ω/ω ) Figue 3.4. : Diagammes de Bode du filte,l,c passe-bas (Q = 0, /, 0,3) π ) Filte,L,C passe-bande : ésonane en intensité Nous penons maintenant la tension de sotie aux bones du ésisto du iuit,l,c séie. Aux basses féquenes, le ondensateu se ompote omme un inteupteu ouvet ; aux hautes féquenes, la bobine se ompote omme un inteupteu ouvet : il s agit don d un filte passebande. La fontion de tansfet du filte est (diviseu de tension) : jq( x x) H = = = = + j ( L ω C ω) + j ( L ω C ω) + jq ( x x ) + Q ( x x) Il s agit don bien d un filte d ode. Ses aatéistiques sont : / ( ) ϕ = atan ( Q( x x) ) G = + Q x x Pou toute valeu du fateu de qualité, le gain est maximal pou x =, ave G =. La bande passante est définie omme l intevalle de pulsations pou lesquelles G Gmax ; alulons les pulsations de oupue oespondant à es gains : / + ( ) = =± Q x x x x Q x x Q = 0 x =± Q ± 4Q + En gadant les aines positives : x =± Q + ± 4Q + ω ω = ω 0 0 x+ x = Q La lageu de la bande passante est don invesement popotionnelle au fateu de qualité. Le gain en déibel du filte s éit : G = 0log + Q ( x x) Le ompotement asymptotique du filte est : G 0log[ x Q] G 0log[ xq] ω 0 : ω : ϕ π ϕ π Les asymptotes se oupent en log x = 0, ave G = 0logQ. Elles sont don au-dessus de l axe G = 0 losque Q <. De plus, le déphasage est nul à la ésonane. On peut finalement tae le diagamme de Bode du filte (figue 3.5.). On y voit nettement le ôle du fateu de qualité vis à vis de la lageu de la bande passante.

8 PCSI CHAPITE 3 : FILTAGE 8/0 G log(ω/ω ) ϕ π/ log(ω/ω ) π/ Figue 3.5. : Diagammes de Bode du filte,l,c passe-bande (Q = 0 ; 0,3) IV. FILTES ACTIFS On peut éalise des filtes à l aide d amplifiateus opéationnels. De tels filtes sont dits atifs, pa opposition à eux étudiés péédemment qui étaient onstuits en assoiant des dipôles passifs, a l amplifiateu opéationnel peut founi de l énegie au iuit. Afin de pouvoi éalise une étude généale en fontion de la féquene, on se esteinda à des AO fontionnant en égime linéaie : ε = u+ u = 0. Nous n en étudieons qu un exemple en ous : le montage epésenté su la figue 3.6. C A C B ε + Figue 3.6. : Filte atif ) Natue du filte En égime ontinu, les ondensateus se ompotent omme des inteupteus ouvets. Le iuit est alos équivalent au iuit de la figue 3.7.a. On a alos, le ouant entant dans l AO étant négligeable et en emaquant le pont diviseu de tension : u+ = u = ue us = ue ; G = 0log 6,0 Quant à la limite haute féquene, les ondensateus se ompotant omme des out-iuits (figue 3.7.b.), on voit failement que : u+ = u = 0 = 0 Il s agit don d un filte passe-bas.

9 PCSI CHAPITE 3 : FILTAGE 9/0 ε + ε + Figue 3.7.a. : Limite basse féquene Figue 3.7.b. : Limite haute féquene ) Fontion de tansfet En emaquant le pont diviseu de tension : u = u = u () + s Appliquons le théoème de Millman aux nœuds A et B : Yv ve + jcωvs + vb i i ve + jxvs + vb v A = = = () Y j + jcω + xω i+ + va + jcω 0 vb = = va va = ( + jx) vb (3) Y + + jcω + jcω AO puisque i + = 0 et Y = 0 pou un AO idéal, et où on a posé x = Cω. En injetant (3) dans (), et AO en utilisant l expession () de v B, on obtient l expession de la tension d entée en fontion de la tension de sotie : u e + jxus + us ( ) + jx u S = (( + jx)( + jx) ) jx u S = ue + jx L expession de la fontion de tansfet est don : ( x ) jx H = = ( x ) + jx ( x ) + x Il s agit d un filte passe-bas d ode deux. 3) Gain et déphasage On déduit de la fontion de tansfet : Le gain est maximal losque G = x + x est maximale, i.e. losque f ( x m ) = 0 et Calulons la pulsation de oupue pou laquelle : / f x = x + x = x x + 4 f x m < 0 : x m = et G max = 4 3.

10 PCSI CHAPITE 3 : FILTAGE 0/0 Il vient : Gmax 4 4 G( x) = = = x x + 6 x x + = 3 x = 3 4 en gadant la solution positive. Enfin, la patie imaginaie de la fontion de tansfet étant négative, le déphasage ente tension de sotie et tension d entée est : Les valeus patiulièes du déphasage sont : 4) Diagamme de Bode ( ) / atan x x si x ϕ = π atan x x si x ( x m ) atan ( ) ϕ = ; ϕ x = π + atan 3. Le gain en déibels de e filte s éit : 4 x x + G = 0logG = 0log 4 Les limites asymptotiques sont don : G 0log[ 4] 6,0 40log 0 : G x ω ω : ϕ 0 ϕ π On etouve le fait que l atténuation dignal est beauoup plus impotante ave un filte d ode. L asymptote G ( ) oupe l axe x en log et l axe G en 40log = 0log 4 6,0. On peut finalement tae le diagamme de Bode de e filte (figue 3.7). 3 G 0 log(4/ 3) 0 log 4 log x m log x log x ϕ log x 40 / déade π/ π Figue 3.7. : Diagamme de Bode du filte atif étudié