Exercices spécialité géométrie

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1 Termnale S Démonstratons -a : Toute smltude de rapport k (>0) est la composée d une homothéte de rapport k et d une sométre -b : Les sométres du plan sont les transformatons θ θ z' = e z+ b ou z' = e z + b -c : Caractérsaton complexe d une smltude -d : Proprétés des smltudes -e : Une smltude ayant deux ponts fxes dstncts est sot l dentté, sot une symétre axale -f : Forme rédute d une smltude drecte -g : Proprété :«étant donnés quatre ponts, B,, B tels que B et B, l exste une unque smltude drecte transformant en et B en B» Exercce Exercce 4 Exercces 6 Smltude + ROC, La Réunon Translaton et rotaton, France Smltudes, Centres étrangers Smltude, se Smltude + ROC, ntlles Smltude, mérque du Sud Smltude+Sute, Pondcherry ROC + Smltude, Polynése Smltudes, N Calédone nov Sprale+arth, ntlles sept 008 Sprale+arth, France et La Réunon sept Smltude ndrecte, La Réunon, jun Smltude & sute, France, jun 008 (c) 6 Smltude, Centres étrangers, jun Smltude+ROC, Pondcherry, avrl 008 (c) 4 8 Smltude, Polynése, sept Smltude, ntlles, sept Smltude, m du Sud, sept Smltude drecte et ndrecte, France, jun Smltudes drecte et ndrecte, La Réunon, jun Smltudes drecte et ndrecte, C étrangers, jun Smltudes, se, jun Smltudes, ntlles, jun Smltude+Bézout, m du Nord, jun 007 (c) 7 Smltude ndrecte, Pondcherry, avrl Nouvelle Calédone, nov mérque du Nord, jun 006 (c) 4 0 ntlles, jun La Réunon, jun Sm ndrecte+leu, Lban, jun 006 (c) 6 Sprale, Pondcherry, avrl Sm ndrecte, Nouvelle Calédone, nov 005 (c) 8 5 Smltude+sute, m Sud, nov QCM arth+géom, Natonal, sept Réflexon+Bézout, Pondcherry, avrl 005 (c) 8 Dvne proporton, mérque du Nord, jun 005 (c) 9 Image d une fgure, se, jun Tr rectangles socèles, Natonal, jun S ndrecte+bézout, Polynése, nov 004 (c) 5 4 Tr équlatéral+leu de ponts, Natonal, sept 004 (c) 7 4 QCM géo+arth, ntlles, sept Sprale, m du Sud, nov 004 (c) Smltude ndrecte, m du Nord, ma Rotaton, ntlles Rotaton+carré, Lban, ma 004 (c) 4 48 Sute géométrque, Polynése, jun Rotatons, homothétes, m du Sud, nov 00 (c) Smltudes, Pondchéry, ma 00 (c) 45 5 Longueur de sprale, m du Nord, ma Smltude, sutes, Pondcherry Smltude, sutes, Bézout, La Réunon, jun 00 (c) Smltude, Polynése, jun Carré et rotaton, ntlles sept Smltude, La Réunon, jun Smltude & barycentre, Polynése, sept Symétres axales, Lban, jun Rotatons, symétres, translatons, se jun Homothétes, Polynése, sept Rotaton et smltude 5 6 Rotaton 5 6 Théorème de Ptolémée Le théorème de Napoléon Trangles équlatéraux Smltude Smltude Smltude et barycentre Réflexon - Rotaton Barycentres+smltude 57 7 Lgne de nveau+smltude 58 7 Smltude et Bézout 58 7 Sprale Rotaton et smltude Cercle et smltude Smltude ndrecte (c) 60 Démonstratons -a : Toute smltude de rapport k (>0) est la composée d une homothéte de rapport k et d une sométre Sot s une smltude de rapport k postf et h une homothéte de rapport k une smltude de rapport k =, c est donc une sométre f k La composée h s est alors On a donc hs= f h hs= h f s= h f où l homothéte h a pour rapport k Termnale S F Laroche

2 -b : Les sométres du plan sont les transformatons z' = e z+ b ou z' = e z + b Il est mmédat de montrer que ces deux types de transformatons sont des sométres ; par exemple pour θ z' = e z + b : M( z) M'( z') et N( z) N'( z'), sot M' N' = z' z' = e z z = z z = z z = MN Il est plus délcat de montrer que toute sométre est de cette forme : sot f une sométre du plan mun d un repère orthonormal (O, I, J) ; on note (O, I, J ) le repère mage par f : ce repère est également orthonormal d après les proprétés des sométres (conservaton des longueurs et des angles, les sométres postves conservant le sens des angles, les so négatves les renversant) Prenons M(x ; y), on a OM= xoi+ yoj, M (x ; y ) son mage par f : O' M' = x' O' I' + y' O' J' Calculons les produts scalares : OM OI = xoi + yoj OI = x, OMOJ = xoioj + yoj = y, de même O' M' O' I' = x', O' M' O' J' = y' Mas comme les dstances et les angles sont conservés, on a OMOI = OMOI cos OMOI, = O' M' O' I'cos O' M', O' I' = O' M' O' I' θ θ ( ) ( ) x' = x ans que OMOJ = O' M' O' J' d où et O' M' = xo' I' + yo' J' y' = y Passons mantenant en complexes : prenons dans le repère (O, I, J) les affxes : O(0) O'( b), O' I'( u), O' J'( v) et M( z= x+ y) * O' I' est normé donc u = u= e θ, θ réel quelconque * O' J' est normé et orthogonal à O' I' donc v= u= e θ ou v= u= e θ * O' M' = xo' I' + yo' J' z' b= xu+ yv d où les deux possbltés : θ θ θ θ z' b= xe + ye = e z z' = e z+ b θ θ θ θ z' b= xe ye = e z z' = e z+ b -c : Caractérsaton complexe d une smltude Les deux résultats précédents donnent mmédatement que s s est une smltude de rapport k > 0, elle est f θ h θ θ de la forme z z' = e z+ b kz' + β = ke z+ kb+ β = ke z+ c f θ h θ θ ou de la forme z z' = e z+ b kz' + β = ke z+ kb+ β = ke z+ c En fat ke θ est un complexe a quelconque de même que c, ce qu donne z' = az+ c ou z' = az + c -d : Proprétés des smltudes * Les smltudes de la forme z' = az+ b sont assocées aux sométres postves, elles conservent le sens des angles : prenons tros ponts M, N, P et leurs mages M, N, P ; p' m' ( ap+ b) ( am+ b) p m on a alors ( M' N', M' P' ) = arg = arg = arg = ( MN, MP) n' m' ( an+ b) ( am+ b) n m * Les smltudes de la forme z' = az + b sont assocées aux sométres négatves, elles renversent le sens des angles : prenons tros ponts M, N, P et leurs mages M, N, P ; p' m' ( ap+ b) ( am+ b) p m p m n' m' ( an+ b) ( am+ b) n m n m ( M' N', M' P' ) = arg = arg = arg = arg = ( MN, MP) θ Termnale S

3 * Conservaton du barycentre : sot G le barycentre de {( M, );( N, )} alors m' = am+ b, n' = an+ b, montrons que G est le barycentre de { } Termnale S α β, M et N les mages de M et N, a g= ( αm+ βn) g' = a ( αm βn) b ( αm βn) b α β + α β + = + + ; + + α + β ( M', α);( N', β ) : g' = ( αm' + βn' ) = ( αam+ αb+ βan+ βb) = a ( αm+ βn) + ( αb+ βb) = ag+ b α + β α + β α + β α + β En fat cette proprété est suffsante pusque l assocatvté du barycentre fat que cec sera valable pour un nombre quelconque de ponts Par alleurs cec permet de montrer d autres proprétés smples comme la conservaton du parallélsme -e : Une smltude ayant deux ponts fxes dstncts est sot l dentté, sot une symétre axale S notre smltude s écrt z' = az+ b, elle a sot un seul pont fxe et b = 0 ; c est donc l dentté s elle en a plus que un S elle s écrt z' = az + b et qu elle a comme ponts fxes u et v, on a : b z=, sot une nfnté lorsque a = a u v vu uv b = u u = u= au+ b u= au+ b u v u v u v z' u= ( z u) v= av + b u v= au ( v) u v u v a= u v Cette dernère écrture est celle d une réflexon d axe (uv), ce que le lecteur vérfera asément -f : Forme rédute d une smltude drecte Une smltude drecte s (avec a dfférent de, qu n est donc pas une translaton) a un pont fxe : ω, seul b pont tel que ω = aω + b ω = a z' ω ( Ω M, Ω M' ) = arg = θ ( ) z' = az+ b θ z ω On a alors z' ω = a( z ω) = ke ( z ω) ω = aω + b Ω M' z' ω = = k ΩM z ω s est donc la composée d une homothéte de rapport k et d une rotaton d angle θ, les deux de centre Ω ( ω) Remarquez que s vous tombez dans vos calculs sur un rapport négatf, l sufft de rajouter à θ pour θ θ ( θ+ ) revenr à un rapport postf : ke = e ke = ke -g : Proprété : «étant donnés quatre ponts, B,, B tels que B et B, l exste une unque smltude drecte transformant en et B en B» vec tous les résultats précédents c est un jeu d enfant : on a les affxes a, a, b et b S on a une smltude drecte, celle-c s écrt z' trouver α et β en foncton de a, a, b et b c est tout Exercce b' a' ' a' αa β a' αa β = + = + α = b a ; B B' b' = αb+ β b' a' = α( b a) β = a' αa = αz+ β ; l sufft donc de On consdère un trangle O 0 B 0 rectangle socèle en O et tel que la dstance 0 B 0 sot égale à 4 On O, OB est un angle drot drect précse de plus que l angle ( 0 0 ) On défnt alors pour tout enter naturel n les ponts n+ et B n+ de la façon suvante :

4 n+ est le mleu du segment [ n B n ] ; B n+ est le symétrque du pont n+ par rapport à la drote (OB n ) Représenter le trangle O 0 B 0, pus construre les ponts, B,, B,, B a Démonstraton de cours Démontrer qu l exste une smltude drecte et une seule qu transforme 0 en et B 0 en B b Sot s cette smltude : précser son angle et son rapport, pus vérfer que son centre est O Démontrer que, pour tout enter naturel n, la smltude s transforme n en n+ et B n en B n+ a Démontrer que les ponts O, n et p sont algnés s et seulement s les enters n et p sont congrus modulo 4 b On désgne par Ω le pont d ntersecton des drotes ( 0 B 4 ) et (B 0 4 ) Démontrer que le trangle 0 B 0 est socèle en Ω c Calculer la dstance 0 B 4 d Démontrer que Ω 0 = 4Ω B4 e En dédure l are du trangle 0Ω B0 Exercce On consdère un trangle O 0 B 0 rectangle socèle en O et tel que la dstance 0 B 0 sot égale à 4 On O, OB est un angle drot drect précse de plus que l angle ( 0 0 ) On défnt alors pour tout enter naturel n les ponts n+ et B n+ de la façon suvante : n+ est le mleu du segment [ n B n ] ; B n+ est le symétrque du pont n+ par rapport à la drote (OB n ) Représenter le trangle O 0 B 0, pus construre les ponts, B,, B,, B Sot s la smltude drecte de centre O qu transforme 0 en a Détermner l angle et le rapport de la smltude s, pus montrer que la smltude s transforme B 0 en B b Démontrer que pour tout enter n, la smltude s transforme n en n+ et B n en B n+ a Démontrer que les ponts O, n et p sont algnés s et seulement s les enters n et p sont congrus modulo 4 b On désgne par Ω le pont d ntersecton des drotes ( 0 B 4 ) et (B 0 4 ) Détermner la valeur exacte de l are du trangle 0Ω B0 (tout élément de réponse, par exemple l exposé d une méthode ou la détermnaton d une valeur approchée, sera prs en compte) Correcton Termnale S 4

5 B0 B B 4 O 0 B Ω B4 a Evdent : angle = ( OB0 ) = ( O, j) Termnale S 5 rapport est encore, rapport = 4 Comme (, O0 ) donne ( OB0, O ) = ( OB0, OB ) = =, la symétre par rapport à 4 ; comme OB = O = O0 = OB0, le 4 b Comme on répète la même séquence d opératons à chaque fos, la transformaton qu envoe 0 sur enverra n sur n+, et parel pour B n et B n+ S on ne se sufft pas de cet argument, on peut reprendre tout, mas c est une perte de temps a S on prend le repère ; O O0, OB0, le pont 0 a pour affxe 4, a pour affxe 4 4, etc 4 4 n n d où n : 4 e 4 ; les ponts O, n et p sont algnés s et seulement s z O, O = 0 arg = 0 n p = k n p= 4 k, k Z, z 4 4 p ( n p ) [ ] [ ] sot lorsque les enters n et p sont congrus modulo 4 n b Le plus smple (lorsqu on n a pas d ndcaton, snon reprendre la méthode proposée dans l exercce précédent) semble encore de détermner les coordonnées de Ω en cherchant l équaton de ( 0 B 4 ) pus en coupant par (y = x) ; Ω est sur cette drote pour des rasons de symétre évdentes 0( 4;0), B 4 a pour ordonnée l abscsse de 4, sot x 4 4 = 0 x y = 0 y 0 d où Ω a pour coordonnées Ω 0 = 4+ + =, l are du trangle est donc e 4 e = ; la drote a pour équaton 4 4 ; ; on calcule la dstance

6 Exercces 4 8 0B0 Ω 0 = 4 7 = 4 Smltude + ROC, La Réunon 00 Parte I : Resttuton organsée de connassances Le plan complexe est rapporté à un repère ( O; u, v) Prérequs : on rappelle que l écrture complexe d une smltude drecte du plan est de la forme z' où α est un nombre complexe non nul et β est un nombre complexe Termnale S 6 = αz+ β Soent, B, C, D quatre ponts du plan ; on suppose d une part que les ponts et C sont dstncts et d autre part que les ponts B et D sont dstncts Démontrer qu l exste une unque smltude drecte s telle que s() = B et s(c) = D Parte II Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( ; B, D) BCD est un carré On consdère le pont C tel que Sot E le mleu du segment [D], on consdère le carré EDGF tel que ( ED; EF) = [ mod ] a Fare une fgure en plaçant les ponts, B, C, D, E, F, G On complètera la fgure au cours de l exercce b Précser les nombres complexes a, b, c, d, e, f, g, affxes respectves des ponts, B, C, D, E, F et G c Montrer qu l exste une unque smltude drecte s du plan telle que s(d) = F et s(b) = D On se propose de précser les éléments caractérstques de la smltude drecte s a Détermner son rapport k et son angle θ b Donner l écrture complexe de cette smltude c Détermner le centre Ω de la smltude drecte s 4 Translaton et rotaton, France 00 Dans tout l exercce, ( O; u, v) est un repère orthonormal drect du plan complexe (unté graphque : 4 cm) On désgne par le pont d affxe z = On consdère la transformaton T du plan qu, à tout pont M d affxe z, assoce le pont d affxe z' = z+ a Détermner les mages respectves par la transformaton T du pont et du pont Ω d affxe + b En dédure la nature et les éléments caractérstques de la transformaton T c Détermner l mage par la transformaton T du cercle C de centre O et de rayon C désgne le cercle de centre O d affxe et de rayon a Construre le pont appartenant au cercle C tel que : ( O, O' ' ) = [ mod ] b À tout pont M du cercle C d affxe z, on assoce le pont M du cercle C d affxe z tel que : ( OM, O' M' ) = [ mod ] Détermner le module et un argument de z' z En dédure que z' = e + z c Précser la nature et les éléments caractérstques de la transformaton r qu à tout pont M du plan d affxe z assoce le pont M d affxe z telle que z' = e z+ Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d ntatve, même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton

7 À tout pont M du plan, on assoce le pont M mleu du segment [MM ] Quel est le leu géométrque du pont M lorsque M décrt le cercle C? 5 Smltudes, Centres étrangers 00 Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) d unté graphque cm, on consdère les ponts, B, C, M, N et P d affxes respectves : a= +, b= +, c= +, m= 7 5, p= 9+ a Placer les ponts, B, C, M, N et P dans le repère b Calculer les longueurs des côtés des trangles BC et NMP c En dédure que ces deux trangles sont semblables Dans la sute de l exercce, on se propose de mettre en évdence deux smltudes qu transforment le trangle BC en le trangle MNP Une smltude drecte Sot s la smltude drecte qu transforme le pont en N et le pont B en P a Montrer qu une écrture complexe de la smltude s est : z' = z b Détermner le rapport, la valeur de l angle arronde au degré, ans que le centre de la smltude s c Vérfer que la smltude s transforme le pont C en M Une smltude ndrecte Sot s la smltude dont l écrture complexe est : z' = z+ a Vérfer que : s () = N, s (B) = M, s (C) = P b Démontrer que s admet un unque pont nvarant K d affxe k = c Sot h l homothéte de centre K et de rapport et J le pont d affxe On pose : f = s ' h Détermner les mages des ponts K et J par la transformaton f En dédure la nature précse de la transformaton f d Démontrer que la smltude s est la composée d une homothéte et d une réflexon 6 Smltude, se 00 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( ; u, v) L unté graphque est cm On note le nombre complexe de module et d argument On consdère les ponts B, C et H d affxes respectves : b = 5, c = 0 et h = + 4 Construre une fgure que l on complétera au fur et à mesure des questons Étude de la poston du pont H a Démontrer que le pont H appartent à la drote (BC) h b Calculer h c, et en dédure que ( HC, H) = [ ] Étude d une premère smltude a Calculer les rapports : BH H, B C, H CH b Démontrer qu l exste une smltude drecte S qu transforme le trangle CH en le trangle HB c Détermner l écrture complexe de cette smltude S ans que ses éléments caractérstques Étude d une seconde smltude Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d ntatve, même nfructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton Termnale S 7

8 On note S la smltude qu à tout pont M d affxe z assoce le pont M d affxe z telle que : ( ) z' = z+ 0 Démontrer que S est composée d une symétre orthogonale d axe ( ), et d une smltude drecte dont le centre Ω appartent à ( ) Précser ( ) 4 Étude d une composée a Calculer le rapport de la smltude composée S S b En dédure le rapport entre les ares des trangles CH et BC 7 Smltude + ROC, ntlles 00 Le plan est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) d unté cm Resttuton organsée de connassances On utlsera sans démonstraton les deux proprétés suvantes : Proprété : Toute smltude ndrecte qu transforme un pont M d affxe z en un pont M d affxe z admet une expresson complexe de la forme z = az + b où a C * et b C Proprété : Sot C un pont d affxe c Pour tout pont D, dstnct de C, d affxe d et pour tout pont E, e c dstnct de C, d affxe e, on a : ( CD, CE) = arg ( ) d c Queston : Montrer qu une smltude ndrecte transforme un angle orenté en son opposé Soent les ponts C et D d affxes respectves c = et d =, et S la smltude qu à tout pont M du plan assoce le pont M symétrque de M par rapport à l axe ( O; u ) des réels a Placer les ponts C et D pus leurs mages respectves C et D par S On complètera le fgure au fur et à mesure de l exercce b Donner l expresson complexe de S Sot S la smltude drecte défne par : le pont C et son mage C d affxe c' = + 4 ; le pont D et son mage D d affxe d' = + a Montrer que l expresson complexe de S est : z' = z+ + b En dédure les éléments caractérstques de cette smltude 4 Sot S la smltude défne par S= S S Détermner l expresson complexe de S 5 On pourra admettre désormas que S est la smltude ndrecte d expresson complexe : z' = z+ + a Quelle est l mage de C par S? Quelle est l mage de D par S? b Sot H le pont d affxe h tel que : h c= e ( d c) Montrer que le trangle CDH est équlatéral drect c Sot H l mage de H par S Précser la nature du trangle C D H et construre le pont H (on ne demande pas de calculer l affxe h du pont H ) 8 Smltude, mérque du Sud 009 On consdère un carré drect BCD (c est à dre un carré BCD tel que ( B, D) = [ ] Sot J, K et L les mleux respectfs des segments [B], [CD] et [D] Γ désgne le cercle de damètre [I] et Γ désgne le cercle de damètre [BK] Parte Détermner le rapport et l angle de la smltude drecte s telle que s() = I et s(b) = K de centre I) Montrer que les cercles Γ et Γ se coupent en deux ponts dstncts : le pont J et le centre Ω de la smltude drecte s Termnale S 8

9 a Détermner les mages par s des drotes (C) et (BC) En dédure l mage du pont C par s b Sot E l mage par s du pont I Démontrer que E est le mleu du segment [ID] 4 Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d ntatve, sera prse en compte dans l évaluaton Démontrer que les ponts, Ω et E sont algnés (On pourra consdérer la transformaton t= s s) Parte B Désormas, on consdère que le côté du carré mesure 0 untés et on se place dans le repère orthonormé drect ; B, D 0 0 Donner les affxes des ponts, B, C et D Démontrer que la smltude drecte s a pour écrture complexe Calculer l affxe ω du centre Ω de s Termnale S 9 z' = z Calculer l affxe z E du pont E et retrouver l algnement des ponts, Ω et E 5 Démontrer que les drotes (E), (CL) et (DJ) sont concourantes au pont Ω 9 Smltude+Sute, Pondcherry 009 Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) On prendra pour unté graphque cm Sot et B les ponts d affxes respectves z = et zb = + Justfer qu l exste une unque smltude drecte S telle que : S(O) = et S() = B Montrer que l écrture complexe de S est : z' ( ) = z+ Précser les éléments caractérstques de S (on notera Ω le centre de S) On consdère la sute de ponts ( n ) telle que : 0 est l orgne du repère et, pour tout enter naturel n, n+ = S( n ) On note z n, l affxe de n (On a donc 0 = O, = et = B) a Démontrer que, pour tout enter naturel n, z ( ) n n = b Détermner, en foncton de n, les affxes des vecteurs Ω n et n n + vecteurs et calculer une mesure de l angle ( n, n n + ) Ω Comparer les normes de ces c En dédure une constructon du pont n+ connassant le pont n Construre les ponts et 4 4 Quels sont les ponts de la sute ( n ) appartenant à la drote ( Ω B)? 0 ROC + Smltude, Polynése 009 Parte : Resttuton organsée de connassances Le plan complexe est mun d un repère orthononnal drect On supposera connu le résultat suvant : Une applcaton f du plan dans lu-même est une smltude drecte s et seulement s f admet une écrture a C 0 et b C complexe de la forme z = az + b où { } Démontrer que s, B, et B sont quatre ponts teis que est dstnct de B et est dstnct de B, alors l exste une unque smltude drecte transformant en et B en B Parte B Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v), unté graphque cm On note, B, C, D et E les ponts d affxes respectves z=, z B =, z C = 4 + 6, z D = + et z E = + Placer les ponts sur une fgure qu sera complétée au fur et àmesure des questons

10 Détermner la nature du trangle BC Sot f la smltude plane drecte telle que f() = D et f(b) = a Donner l écrture complexe de f b Détermner l angle, le rapport et le centre Ω de cette smltude c Montrer que le trangle DE est l mage du trangle BC par la smltude f d En dédure la nature du trangle DE 4 On désgne par (C ) le cercie de damètre [B] et par (C ) le cercle de damètre [D] On note M le second pont d ntersecton du cercle (C ) et de la drote (BC), et N le second pont d ntersecton du cercle (C ) et de la drote (B) a Détermner l mage de M par la smltude f b En dédure la nature du trangle ΩMN c Montrer que MB NE= MC N Smltudes, N Calédone nov 008 Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; OI ; OJ) d affxes respectves z = et zb = + On consdère les ponts et B On consdère les ponts M, N et P tels que les trangles MB, BNO et OP soent des trangles rectangles socèles de sens drect comme le montre la fgure c-dessous On note s la smltude drecte de centre qu transforme M en B On note s la smltude drecte de centre O qu transforme B en N On consdère la transformaton r= ss r Le but de l exercce est de démontrer de deux façons dfférentes que les drotes (OM) et (PN) sont perpendculares À l ade des transformatons a Donner l angle et le rapport de s et de s b Détermner l mage du pont M pus celle du pont I par la transformaton r c Justfer que r est une rotaton d angle dont on précsera le centre d Quelle est l mage du pont O par r? e En dédure que les drotes (OM) et (PN) sont perpendculares En utlsant les nombres complexes Termnale S 0

11 a Donner les écrtures complexes de s et s On utlsera les résultats de la queston a b En dédure les affxes z M et z N des ponts M et N c Donner, sans justfcaton, l affxe z P du pont P pus démontrer que les drotes (OM) et (PN) sont perpendculares Sprale+arth, ntlles sept 008 Parte n [ mod] On consdère le système de congruences : ( S), où n désgne un enter relatf n [ mod 5] Montrer que est soluton de (S) Montrer que s n est soluton de (S) alors n est dvsble par Montrer que les solutons de (S) sont tous les enters de la forme +5k, où k désgne un enter relatf Parte B Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) On consdère l applcaton f du plan qu à tout pont M d affxe z assoce le pont d affxe z et g celle qu à tout pont M d affxe z assoce le pont d affxe z défnes par : + z' = z et z'' = e 5z Précser la nature et les éléments caractérstques des applcatons f et g On consdère les ponts 0 et B 0 d affxes respectves 0 e a 0 4 = et b = e 5 Soent ( n ) et (B n ) les sutes de ponts défnes par les relatons de récurrences : On note a n et b n les affxes respectves de n et B n n+ = f( n ) et B n+ = g(b n ) a Quelle est la nature de chacun des trangles O n n+? b En dédure la nature du polygone a Montrer que les ponts B n sont stués sur un cercle dont on précsera le centre et le rayon OBn, OB n + b Indquer une mesure de l angle ( ) c En dédure la nature du polygone B 0 B B 4 B 6 B 8 4 a Exprmer a n et b n en foncton de n b Montrer que les enters n pour lesquels les ponts n et B n sont smultanément sur l axe des réels sont les solutons du système (S) de la PRTIE Sprale+arth, France et La Réunon sept ponts Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) On réalsera une fgure en prenant 4 cm comme unté graphque sur chaque axe On consdère le pont d'affxe z = Parte k est un réel strctement postf ; f est la smltude drecte de centre O de rapport k et d'angle On note 0 = et pour tout enter naturel n, f( ) n+ = n a Étant donné un pont M d'affxe z, détermner en foncton de z l'affïxe z du pont M mage de M par f Termnale S

12 b Construre les ponts 0,, et dans le cas partculer où k est égal à Termnale S n n a Démontrer par récurrence que pour tout enter n, l'affxe z n du pont n est égale à k e b En dédure les valeurs de n pour lesquelles le pont n appartent à la dem drote [ O; u ) et, dans ce cas, détermner en foncton de k et de n l'abscsse de n Parte B Dans cette parte toute trace de recherche, même ncomplète, sera prse en compte dans l'évaluaton Désormas, k désgne un enter naturel non nul Donner la décomposton en facteurs premers de 008 Détermner, en explquant la méthode chose, la plus pette valeur de l'enter naturel k pour laquelle k 6 est un multple de 008 Pour quelles valeurs des enters n et k le pont n appartent-l à la dem drote [ O; u ) avec pour abscsse un nombre enter multple de 008? 4 Smltude ndrecte, La Réunon, jun ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) Soent, B et C les ponts d'affxes respectves z = +, zb = 5+ et z C = s désgne la symétre d'axe (B) a Démontrer que s transforme tout pont M d'affxe z en un pont M d'afîxe z telle que 4 z' = + z b En dédure l'affxe de C, symétrque de C par rapport à (B) c Démontrer que l'ensemble des ponts M tels que z' est magnare pur est la drote (d) d'équaton 4x+ y= d Vérfer que le pont C appartent à (d) a Démontrer que les drotes (d) et (B) sont sécantes en un pont Ω dont on précsera l'affxe ω b On désgne par s la symétre d'axe (d) et par f la transformaton défne par f = s s Justfer que f est une smltude drecte et précser son rapport c Détermner les mages des ponts C et Ω par la transformaton f d Justfer que f est une rotaton dont on donnera le centre Dans cette queston le canddat est nvté à porter sur sa cope les étapes de sa démarche même s elle n 'aboutt pas a Détermner les couples d'enters relatfs (x, y) solutons de l'équaton : 4x+ y= b Détermner les ponts de (d) à coordonnées entères dont la dstance au pont O est nféreure à 9 5 Smltude & sute, France, jun 008 (c) 5 ponts Le plan est mun d'un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque : cm) Soent et B les ponts d affxes respectves z = et On consdère la drote (d) d équaton 4x+ y= zb 7 = 7+ Démontrer que l ensemble des ponts de (d) dont les coordonnées sont entères est l ensemble des ponts M k+, 4k lorsque k décrt l ensemble des enters relatfs k ( ) M, Sot s la transformaton du plan qu à tout pont M d affxe z assoce le pont M d affxe Détermner l angle et le rapport de la smltude drecte de centre qu transforme B en ( )

13 5 z' = z+ Détermner l mage de par s, pus donner la nature et les éléments caractérstques de s 4 On note B l mage de B par s et pour tout enter naturel n non nul, B n + l mage de B n par s a Détermner la longueur B n + en foncton de B n b À partr de quel enter n le pont B n appartent t-l au dsque de centre et de rayon 0? c Détermner l ensemble des enters n pour lesquels, B et B n sont algnés Correcton Soent et B les ponts d affxes respectves z = et On a la soluton partculère évdente ( ; ) d où Termnale S zb 7 = 7+ 4x+ y= x = k x= k+ 4( x ) = ( y ) 4+ = y = 4k y= 4k Un peu de calcul ( ) + = = ( ) ( ) a b b a s: z' = az+ b: 7 7 B M a 7+ 7 ( ) ( ) + b= + a + + a = + b= 5 ( ) a( ) b= ( ) a( ) b= 9 4 ( 4)( 4 a ) + = + a= = = a= Sot le rapport et l angle z On pouvat auss calculer (, ) arg M z B M M = et = z z B Comme c est la même chose que ce qu on a trouvé, s( ) =, etc 4 a Bn+ = Bn de toute évdence 5 b Sute géométrque de premer terme B=, de rason, Bn n n ( ) ( ) 5 0,0 ln 0,0/5 = 0 n 6, d où la premère valeur de n est 7 5 ln / c B = M Comme on fat un quart de tour à chaque fos, tous les n mpars (, 5, 7 ) feront revenr B n sur la drote B 6 Smltude, Centres étrangers, jun ponts Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) ; l'unté graphque est cm On consdère les ponts, B, C, D et E d affxes respectves : a=, b= +, c=, 5 d = + et 5 e= Placer ces cnq ponts sur un graphque qu sera complété au fl de l'exercce On admet que deux rectangles sont semblables s et seulement s le rapport de la longueur sur la largeur est le même pour les deux rectangles Démontrer que OBC et BDE sont deux rectangles et qu'ls sont semblables Étude d'une smltude drecte transformant OBC en BDE a Détermner l écrture complexe de la smltude drecte s qu transforme O en et en B B

14 b Démontrer que la smltude s transforme OBC en BDE c Quel est l'angle de la smltude s? d Sot Ω le centre de cette smltude En utlsant la composée s s, démontrer que le pont Ω appartent aux drotes (OB) et (D) En dédure la poston du pont Ω 4 Étude d'une smltude ndrecte transformant OBC en BED a Montrer que récrture complexe de la smltude ndrecte s qu transforme O en B et qu lasse nvarant est : z' = z+ + où z désgne le conjugué du nombre complexe z b Montrer que s transforme OBC en BED c Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d'ntatve, même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton Démontrer que s est la composée de la réflexon d'axe (O) suve d'une smltude drecte dont on précsera les éléments caractérstques 7 Smltude+ROC, Pondcherry, avrl 008 (c) 5 ponts Parte On suppose connu le résultat suvant : Une applcaton f du plan mun d un repère orthonormal drect dans lu-même est une smltude drecte s et seulement s f admet une écrture complexe de la forme z' = az+ b, où a C * et b C Démonstraton de cours : on se place dans le plan complexe Démontrer que s,b, et B sont quatre ponts tels que est dstnct de B et est dstnct de B, alors l exste une unque smltude drecte transformant en et B en B Parte B Dans le plan complexe mun d un repère orthonomal drect ( O; u, v) d affxes respectves z =, z =, z = + et z = + B C D on consdère les ponts, B, C, D a Donner le module et un argument-de chacun des quatre nombres complexes z, z B, z C et z D b Construre à la règle et au compas les ponts, B, C et D (on prendra pour unté graphque cm) c Détermner le mleu du segment [C], celu du segment [BD] Calculer le quotent nature du quadrlatère BCD On consdère la smltude drecte g dont l écrture complexe est z' = e z+ a Détermner les éléments caractérstques de g b Construre à la règle et au compas les mages respectves E, F et J par g des ponts, C et O c Que constate-t-on concernant ces ponts E, F et J? Le démontrer Correcton Parte z z B En dédure la Démonstraton de cours : On a les affxes a, a, b et b S on a une smltude drecte, celle-c s écrt z' = αz+ β ; l sufft donc de trouver α et β en foncton de a, a, b et b b' a' ' a' αa β a' αa β = + = + α = b a B B' b' = αb+ β b' a' = α( b a) β = a' αa Parte B z =, z =, z = + et z = + B C D ; valable s a b, sot et B dstncts Termnale S 4

15 a z = = = e zc = + = + = e 6 ; 5 6 ; z B = = = e zd = + = + = e b Les ponts sont sur le cercle de centre O, de rayon (cercle de damètre [PQ]) ; B est un sommet de trangle équlatéral, D est damétralement opposé à B, est sur la bssectrce de QOD et est tel que l arc Q= Q ' ; C est damétralement opposé à (trats pontllés nors sur la fgure) ; D ' a E C Q O P=J F B c z + z = 0, z + z = 0, le mleu est O C B D z z B e = = e = e = e donc (O) et (OB) sont 5 6 e orthogonales de même que (C) et (BD) BCD est un carré : dagonales se coupant à angle drot en leur mleu et de même longueur On consdère la smltude drecte g dont l écrture complexe est z' = e z+ a ω = e ω+ + ω = + ω = ω = e d angle : g est la rotaton de centre B, b J est déjà construt pusqu l s agt de P Par alleurs l s agt de trangles équlatéraux : on construt les deux cercles de rayon B, de centre et de centre B ; une des deux ntersectons est E ; même chose avec les cercles de rayon BC, de centres B et C (en rouge et vert sur la fgure) Termnale S 5

16 c E, J et F sont algnés : z = e z JE + = e z JE= JF JE= FJ : J est le mleu de [EF] ; z = e z JF C + = e zc et zc = z donc On aurat pu utlser le fat que O est le mleu de et C, sot en fasant la rotaton on garde l algnement et le mleu 8 Smltude, Polynése, sept ponts Pour cet exercce, les fgures correspondant aux partes et B sont fournes c-dessous Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) On consdère un trangle OB et une smltude drecte σ de centre O, de rapport λ et d angle θ H B v O u Sot : - les ponts et B mages respectves des ponts et B par la smltude σ ; - les ponts I, mleu du segment [ B] et J, mleu du segment [B ] ; - le pont M mleu du segment [ ] ; - le pont H, projeté orthogonal du pont O sur la drote (B) et le pont H mage du pont H par σ Parte : Etude d un exemple Dans cette parte, le pont a pour affxe 6+ 4, le pont B a pour affxe + 4, et le pont H a donc pour affxe 4 La smltude σ est la smltude drecte de centre O, de rapport et d angle Détermner les affxes des ponts, B et H Montrer que la drote (IJ) est perpendculare à la drote (HH ) Parte B : Etude du cas général a Montrer que H est le projeté orthogonal du pont O sur la drote ( B ) b Montrer que MI = B On admet que MJ = ' B' MJ OH' c En dédure que = et que ( MI, MJ) = ( OH, OH' ) + k, k Z MI OH On appelle s la smltude drecte qu transforme M en O et I en H On note K l mage du pont J par la smltude s Termnale S 6

17 a Montrer que OK OH' =, pus que ( ) OK, OH' = 0+ k, k Z b En dédure que le pont H est l mage du pont J par la smltude s IJ, HH' = MI, OH + k, k Z Montrer que la drote (IJ) est perpendculare à la Montrer que ( ) ( ) drote (HH ) J H B B' M H' O I ' 9 Smltude, ntlles, sept ponts BC est un trangle équlatéral du plan tel que ( B C) Termnale S 7 = + k, k Z Sot t un nombre réel fxé et soent les ponts M, N et P, deux à deux dstncts, défns par : M= tb, BN = tbc, CP= tc Le but de l exercce est de démontrer l exstence d une unque smltude drecte σ qu transforme les ponts, B et C en respectvement M, N et P, et d en précser les éléments caractérstques On munt le plan d un repère orthonormal ( O; u, v) drect On note a, b, c, m, n et p les abscsses respectves des ponts, B, C, M, N et P On rappelle que toute smltude conserve le barycentre a Exprmer m, n et p en foncton de a, b, c et t b En dédure que les deux trangles BC et MNP ont même centre de gravté On notera G ce centre de gravté c On suppose que σ exste Détermner l mage de G par σ On consdère la rotaton r de centre G et d angle a Vérfer que M est le barycentre du système de ponts {(, t) ;( B, t) } et en dédure que ( ) On admet de même que r( N) = P et ( ) r P = M r M = N

18 b Sot σ la smltude drecte de centre G, de rapport GM transforme les ponts, B et C respectvement en M, N et P c Conclure sur l exstence et l uncté de σ 0 Smltude, m du Sud, sept ponts Le plan P est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) G et d angle ( G, GM) Montrer qu elle On fera une fgure que l on complétera avec les dfférents éléments ntervenant dans l exercce On consdère les ponts d affxe et B d affxe On appelle S la réflexon (symétre axale) d axe (B) Montrer que l mage M par S d un pont M d affxe z a pour affxe z' = z+ + On note H l homothéte de centre et de rapport Donner l écrture complexe de H On note f la composée H S a Montrer que f est une smltude b Détermner l écrture complexe de f 4 On appelle M l mage d un pont M par f a Démontrer que l ensemble des ponts M du plan tels que M = M est la drote (B) b Démontrer que l ensemble des ponts M du plan tels que M = M est la perpendculare en à la drote (B) Smltude drecte et ndrecte, France, jun ponts La fgure sera complétée tout au long de l exercce Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v), on consdère les ponts, B et C, d affxes respectves 5 + 6, 7 et On admet que le pont F, d affxe + est le centre du cercle Γ crconscrt au trangle BC Sot H le pont d affxe 5 Détermner les éléments caractérstques de la smltude drecte de centre qu transforme le pont C en le pont H a Étant donné des nombres complexes z et z, on note M le pont d affxe z et M le pont d affxe z Soent a et b des nombres complexes Sot s la transformaton d écrture complexe z' = az + b qu, au pont M, assoce le pont M Détermner a et b pour que les ponts et C soent nvarants par s Quelle est alors la nature de s? b En dédure l affxe du pont E, symétrque du pont H par rapport à la drote (C) c Vérfer que le pont E est un pont du cercle Γ Sot I le mleu du segment [C] Détermner l affxe du pont G, mage du pont I par l homothéte de centre B et de rapport Démontrer que les ponts H, G et F sont algnés Termnale S 8

19 Smltudes drecte et ndrecte, La Réunon, jun ponts Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé drect ( O; u, v), B, C désgnent les ponts d affxes respectves a=, b= et c= a Écrre b sous forme exponentelle b Les ponts et C sont représentés sur la fgure c-dessous Construre à la règle et au compas le pont B sur ce dessn (lasser les tracés de constructon apparents) u, B u, C c Détermner une mesure en radans de l angle ( ) Les ponts E et F ont pour affxes respectves Termnale S 9 et de l angle ( ) e= + et f = a Démontrer que les ponts, E et C, d une part, et les ponts, F et B, d autre part, sont algnés b Démontrer que le quotent e c peut s écrre k où k est un nombre réel à détermner e b Interpréter géométrquement ce résultat On admet que, de façon analogue, f c peut s écrre k où k est f b un nombre réel non nul que l on ne demande pas de détermner c Placer les ponts E et F sur la fgure

20 On désgne par S la smltude ndrecte dont l écrture complexe est Détermner les mages par S des tros ponts, B et C z z' = z 4 Sot H le pont d ntersecton des drotes (BE) et (CF) Placer le pont S(H) sur la fgure C v O u Smltudes drecte et ndrecte, C étrangers, jun ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) L unté graphque est cm Le but de cet exercce est d étuder la smltude plane ndrecte f d écrture complexe : et d en donner deux décompostons I Resttuton organsée de connassances Termnale S 0 z' = z+, On rappelle que l écrture complexe d une smltude plane drecte autre qu une translaton est de la forme z = az + b, où a et b sont des nombres complexes avec a Détermner en foncton de a et de b l affxe du centre d une telle smltude plane drecte II Premère décomposton de f Sot g la smltude plane drecte d écrture complexe : z' = z+ Précser les éléments caractérstques de g (centre, rapport, angle) Détermner une réflexon s telle que f = g s IIIDeuxème décomposton de f Montrer que f admet un unque pont nvarant noté Ω Détermner l affxe ω de Ω Sot D la drote d équaton : y = x + Montrer que pour tout pont N appartenant à D, le pont f(n) appartent auss à D Sot σ la réflexon d axe D et k la transformaton défne par : k= f σ a Donner l écrture complexe de σ Indcaton : on pourra poser z' = az+ b et utlser deux ponts nvarants par σ pour détermner les nombres complexes a et b

21 b En dédure que l écrture complexe de k est : z' = z+ c Donner la nature de la transformaton k et précser ses éléments caractérstques 4 Dédure de ce qu précède une écrture de la smltude ndrecte f comme composée d une réflexon et d une homothéte 4 Smltudes, se, jun ponts Le but de cet exercce est d étuder une même confguraton géométrque à l ade de deux méthodes dfférentes I À l ade des nombres complexes, sur un cas partculer Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) L unté graphque est cm On consdère les ponts et B d affxes respectves 0 et 5 a Détermner l écrture complexe de la smltude drecte s qu transforme O en et B en O b Détermner les éléments caractérstques de s On note Ω son centre c Détermner le pont s s( B) ; en dédure la poston du pont Ω par rapport aux sommets du trangle BO On note D la drote d équaton x y= 0, pus et B les ponts d affxes respectves et + a Démontrer que les ponts et B sont les projetés orthogonaux respectfs des ponts et de B sur la drote D b Vérfer que s(b ) = c En dédure que le pont Ω appartent au cercle de damètre [ B ] II À l ade des proprétés géométrques des smltudes OB est un trangle rectangle en O tel que ( O, OB) = On note encore s la smltude drecte telle que s(o) = et s(b) = O Sot Ω son centre a Justfer le fat que l angle de s est égal à b Démontrer que Ω appartent au cercle de damètre [O] (On admet de même que Ω appartent au cercle de damètre [OB]) En dédure que Ω est le ped de la hauteur ssue de O dans le trangle OB On désgne par D une drote passant par O, dstncte des drotes (O) et (OB) On note et B les projetés othogonaux respectfs des ponts et B sur la drote D a Détermner les mages des drotes (BB ) et D par la smltude s b Détermner le pont s(b ) c En dédure que le pont Ω appartent au cercle de damètre [ B ] 5 Smltudes, ntlles, jun ponts ( O; u, v) est un repère orthonormal drect du plan complexe (unté graphque cm) On consdère le pont d affxe z = + On note S la symétre orthogonale par rapport à l axe ( O; u ) et h l homothéte de centre O et de rapport On pose s= h S Parte Placer le pont et compléter la fgure au fur et àmesure Quelle est la nature de la transformaton s? Justfer Détermner l écrture complexe de la transformaton s 4 a Détermner l affxe z B du pont B mage de par s Termnale S

22 b Montrer que z z Termnale S B = Détermner une mesure de l angle ( O, OB) 5 Soent M le mleu de [B] et P l mage de M par s Montrer que la drote (OP) est perpendculare à la drote (B) Parte B On pose C = s(b)montrer que P est le mleu de [BC] a Détermner l écrture complexe de s s et en dédure sa nature b Montrer que l mage de la drote (OP) par s est la drote (OM) c Que représente le pont M pour le trangle OBP? Justfer 6 Smltude+Bézout, m du Nord, jun 007 (c) 5 ponts Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque cm) On fera une fgure que l on complétera tout au long de l exercce Soent, B et C les ponts d affxes respectves a= + 5, b= 4+, c= + 4 Sot f la transformaton du plan dans lu-même qu, à tout pont M d affxe z, assoce le pont M d affxe z z' = z+ défne par ( ) Détermner la nature et les éléments caractérstques de f a Détermner l affxe du pont B, mage du pont B par f b Montrer que les drotes (CB ) et (C) sont orthogonales Sot M le pont d affxe z = x+ y où on suppose que x et y sont des enters relatfs Sot M l mage de M par f Montrer que les vecteurs CM ' et C sont orthogonaux s et seulement s x+ y= 4 On consdère l équaton (E): x+ y= où x et y sont des enters relatfs a Vérfer que le couple ( 4;) est une soluton de (E) b Résoudre l équaton (E) c En dédure l ensemble des ponts M dont les coordonnées sont des enters appartenant à l ntervalle et tels que les vecteurs CM ' et C soent orthogonaux Placer ces ponts sur la fgure [ 5;5] Correcton ' = z+ : smltude drecte = e 4 donc rapport, angle z ( ) ω= ( ) ω+ ω( + ) = ω= 5 a ( ) ( )( ) b b' = f b = 4+ + = = + ( 4+ 8)( ) b' c = = = = = 4 a c x' CM' C= = x' + y' 4= x' + y' 6 y' 4 ( ) donc ( C, CB' ) arg( 4) Par alleurs z' ( ) z x' y' ( )( x y) x y ( x y) = + + = + + = On remplace et on annule : ( ) 4 a ( 4;) est une soluton de (E) : 4+ = Le centre est tel que 4 = = x+ y+ x+ y 6= 0 x+ 6y 4= 0 x+ y= x+ y= x+ 4= k x= k 4 b x+ 4+ ( y ) = 0 ( x+ 4) = ( y), k 4 + ( ) = Z y= k y= k

23 5 k 4 5 k 9 / k 5 k 5 7 k k 7 c k { 0,,,} 7 Smltude ndrecte, Pondcherry, avrl ponts Termnale S ( 4; ),( ; ),( ;0 ),( 5; ) Dans cette queston l est demandé au canddat d exposer des connassances On suppose connus les résultats suvants : - la composée de deux smltudes planes est une smltude plane ; d où les quatre ponts : - la transformaton récproque d une smltude plane est une smltude plane ; - une smltude plane qu lasse nvarants tros ponts non algnés du plan est l dentté du plan Soent, B, C tros ponts non algnés du plan et s et s deux smltudes du plan telles que : Montrer que s= s' ( ) '( ), ( ) '( ), ( ) '( ) s = s s B = s B s C = s C Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O; u, v) La fgure sera complétée au fur et à mesure On donne les ponts d affxe, E d affxe +, F d affxe + et G d affxe + a Calculer les longueurs des côtés des trangles OG et OEF En dédure que ces trangles sont semblables b Montrer que OEF est l mage de OG par une smltude ndrecte S, en détermnant l écrture complexe de S c Sot h l homothéte de centre O et de rapport mleu de [E ] On note σ la symétre orthogonale d axe ( ) 8 Nouvelle Calédone, nov 006 On pose ' = h ( ) et G' h( G) 5 ponts Le plan est mun d un repère orthonormé drect ( O; u, v) (unté cm) On construra une fgure que l on complétera au fur et mesure OI Montrer que S= σ h =, et on appelle I le Sot le pont d affxe, et r la rotaton de centre O et d angle On note B, C, D, E et F les mages respectves des ponts, B, C, D et E par la rotaton r Montrer que B a pour affxe + ssocer à chacun des ponts C, D, E et F l une des affxes de l ensemble suvant : a Détermner r(f) b Quelle est la nature du polygone BCDEF? ; + ; ; 4 Sot s la smltude drecte de centre, de rapport et d angle Sot s la smltude drecte de centre E transformant F en C a Détermner l angle et le rapport de s En dédure l angle et le rapport de s s b Quelle est l mage du pont D par s s? c Détermner l écrture complexe de s 5 Sot le symétrque de par rapport à C a Sans utlser les nombres complexes, détermner s( ) pus l mage de par s s b Calculer l affxe du pont Retrouver alors le résultat du a en utlsant l écrture complexe de s s

24 9 mérque du Nord, jun 006 (c) 5 ponts Le plan mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) On prendra pour unté graphque 4 cm Sot Ω le pont d affxe On appelle r la rotaton de centre Ω et d angle 4, et h l homothéte de centre Ω et de rapport On pose σ = h r a Quelle est la nature de la transformaton σ? Précser ses éléments caractérstques + b Montrer que l écrture complexe de σ est : σ : z z+ c Sot M un pont quelconque du plan, d affxe z On désgne par M son mage par σ et on note z l affxe z z = z de M Montrer que ( ) a Queston de cours : Prérequs : défntons géométrques du module d un nombre complexe et d un argument d un nombre complexe non nulproprétés algébrques des modules et des arguments Démonter que : s est un pont donné d affxe a, alors l mage du pont P d affxe p par la rotaton de centre et d angle est le pont Q d affxe q telle que q a= ( p a) b Dédure des questons précédentes la nature du trangle MM Ω, pour M dstnct de Ω Sot 0 le pont d affxe naturel n, σ( ) n+ = n Termnale S On consdère la sute ( ) a Montrer que, pour tout enter naturel n, l affxe a n de n est donnée par : b Détermner l affxe de de ponts du plan défns par : pour tout enter n an n ( n+ ) = e Détermner le plus pett enter n 0 tel que l on at : pour n> n0, le pont n est dans le dsque de centre Ω et de rayon 0,0 Correcton a σ est évdemment une smltude drecte de centre Ω, de rapport et d angle 4 b σ :z z avec 4 + z' ω= e ( z ω) z = + ( z ) z = ( z ) + + en développant : z = z+ c + z z z z z = + = + et ( ) a Queston de cours : + z = z + = z+, c est parel S est un pont donné d affxe a, alors l mage du pont P d affxe p par la rotaton de centre et d angle est le pont Q d affxe q telle que Q q a q a Q= P = = = P p a p a q a ( P, Q) [ ] = p a = e =, et donc q a ( p a) = q a p a arg [ ] = d où

25 b Comme on a z z = ( z ) d angle, sot Ω MM est rectangle socèle en M Termnale S 5 cec se tradut par : M est l mage de Ω par la rotaton de centre M, 0 ( 0+ ) a Par récurrence : a0 = + ; avec la relaton donnée : a 4 0 = e + = e + = + ; ça marche au rang 0 On suppose que ça roule au rang n ; au rang n+ on a alors avec la formule : et d un autre côté par le calcul : n+ ( n+ ) a 4 n+ = e + n ( n ) + + a n+ = an + = e an + = e e + + n+ ( n+ ) n+ ( n+ ) n+ ( n+ ) = e 4 e 4 e 4 e = = + Ok! b a = e + = + = Il faut trouver n 0 tel que n0 ( ) ln 0,0 Ωn 0,0 a 0,0 0,0 0 ln( ) ln( 0,0) 0 n n n 0 0, ln donc n 0 = 4 0 ntlles, jun ponts Sur la fgure donnée en annexe, on consdère les carrés OBC et OCDE tels que : ( O; OC) = ( OC ; OE) = On désgne par I le mleu du segment [CD], par J le mleu du segment [OC] et par H le pont d ntersecton des segments [D] et [IE] Justfer l exstence d une smltude drecte s transformant en I et D en E Détermner le rapport de cette smltude s On admet que l angle de la smltude s est égal à Donner, sans justfer, l mage de B par s 4 Détermner et placer l mage de C par s 5 Sot Ω le centre de la smltude s a Montrer que Ω appartent au cercle de damètre [I] et à celu de damètre [DE] b Montrer que Ω ne peut être le pont H c Construre Ω 6 On consdère le repère orthonormal drect ( O; O, OC) a Détermner l écrture complexe de la smltude s b En dédure l affxe du centre Ω de s

26 D C B I J E O La Réunon, jun ponts On complètera la fgure donnée en annexe au fur et à mesure des questons, et on la rendra avec la cope BCD est un carré tel que ( B, C) =+ Sot I le centre du carré BCD Sot J le mleu du segment [CD] On désgne par s la smltude drecte qu transforme en I et B en J Le but de l exercce est d étuder certanes proprétés de la smltude s Dans la parte on utlsera des rasonnements géométrques ; dans la parte B on utlsera les nombres complexes Parte Détermner le rapport et l angle de la smltude s On désgne par Ω le centre de cette smltude Γ est le cercle de damètre [I], Γ est le cercle de damètre [BJ] Démontrer que Ω est l un des ponts d ntersecton de Γ et Γ Placer Ω sur la fgure Donner l mage par s de la drote (BC) En dédure le pont mage par s du pont C, pus le pont K mage par s du pont I 4 On pose h= s s (composée de s avec elle même) a Donner la nature de la transformaton h (précser ses éléments caractérstques) b Trouver l mage du pont par h En dédure que les ponts, Ω et K sont algnés Parte B Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( ; u, v), chos de manère à ce que les ponts, B, C et D aent comme affxes respectves 0,, + et Démontrer que l écrture complexe de la smltudes est Calculer l affxe du pont Ω Termnale S 6 z = z+ + Calculer l affxe du pont E tel que s(e) = Placer le pont E sur la fgure Sm ndrecte+leu, Lban, jun 006 (c) 5 ponts Dans le plan complexe mun du repère orthonormé drect ( O; u, v), on consdère les ponts d affxe et B d affxe 6 ; unté graphque : cm Parte

27 Montrer qu l exste une smltude drecte et une seule qu transforme en O et O en B Précser ses éléments caractérstques Montrer qu l exste une smltude ndrecte et une seule qu transforme en O et O en B Parte B Sot f la transformaton du plan dans lu-même qu, à tout pont M d affxe z, assoce le pont M d affxe z' = z+ 6 où z désgne le conjugué de z Montrer que f possède un pont nvarant et un seul On note K ce pont Sot h l homothéte de centre K et de rapport On pose g f h = a Montrer que g est une sométre lassant nvarant le pont K b On désgne par M l mage du pont M d affxe z par la transformaton g Montrer que l écrture complexe de g est z'' = z+ + où z est l affxe de M c Montrer qu l exste sur l axe ( O; v ) un unque pont nvarant par g ; on le note L Reconnaître alors la transformaton g d En dédure que la transformaton f est la composée d une homothéte h suve de la réflexon d axe (KL) Précser les éléments caractérstques de h Détermner les drotes telles que f ( ) et soent parallèles Correcton d affxe et B d affxe 6 Parte 0= a + b b= 6 z' = z+ 6 6 = a 0 + b a = = + = = ngle :, rapport :, pont nvarant : ω ω 6 ω ( ) 6 ω ( ) 0= a + b 0= a + b b= 6 z' = z+ 6 6 = a 0 + b 6 = a 0 + b a = Parte B x' = y+ 6 ' = + 6 ' + ' = + 6 y' = x z z x y ( x y) x= y+ 6 x= 4x+ 6 x= On cherche le pont nvarant : ; K a pour affxe + 4 y= x y= x y= 4 h: z z'/ z' + 4= z+ 4 z' = z + a et b ( ) g= f h: z z' z'' = z' + 6= z + 6= z+ + Il s agt ben d une sométre car le = 4+ + = + 4, on retrouve module du coeffcent de z est ; l mage de K est ( ) ben K x'' = y+ c z'' = z+ + x'' + y'' = ( x y) + + ; s L est nvarant l est tel que y'' = x+ x= y+ x+ y = 0 ; s l est sur ( O; v ), son abscsse est nulle, sot x = 0, ce qu donne le pont y = x + g est donc la réflexon d axe (KL), d équaton x+ y = 0 d On a f = fhh = g h donc h est l homothéte de centre K, de rapport Termnale S 7

28 Comme h transforme une drote en une drote parallèle, l sufft que sot parallèle à (KL) pour que son mage le sot également Sprale, Pondcherry, avrl 006 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) On prendar pour unté graphque 5 cm Sot f la transformaton qu, à tout pont M d affxe z, assoce le pont M d affxe z défne par : z' = + z+ Justfer que f est une smltude drecte dont on précsera le centre Ω (d affxe ω), le rapport k et l angle θ On note 0 le pont O et, pour tout enter naturel n, on pose f ( ) a Détermner les affxes des ponts, et Placer ces ponts b Pour tout enter naturel n, on pose un n que, pour tout enter naturel n, u n = =Ω Justfer que ( ) n n+ = n u est une sute géométrque pus établr c partr de quel rang n 0 tous les ponts n appartennent-ls au dsque de centre O et de rayon 0,? a Quelle est la nature du trangle Ω 0? En dédure la nature du trangle Ω + b Pour tout enter naturel n, on note l n la longueur de la lgne brsée 0 n n On a ans l l? = Exprmer l n en foncton de n Quelle est la lmte de la sute ( ) n 0 n n 4 Sm ndrecte, Nouvelle Calédone, nov 005 (c) Le plan est rapporté au repère orthonormal ( O; u, v) Unté graphque : 4 cm Parte I Placer les ponts I, J, H,, B, C, D d affxes respectves : z I =, z J =, z H = +, z =, et z D = n n n zb n = +, z C = Sot E le symétrque de B par rapport à H La perpendculare à la drote (E) passant par C et la parallèle à la drote (OC) passant par D se coupent en F Placer E et F et vérfer que le pont F a pour affxe zf = + Montrer que les trangles OB et OCF sont sométrques Parte II On consdère la transformaton f du plan, d écrture complexe : z' = z+ Détermner les mages des ponts O,, B par f a Montrer que f est une smltude Est-ce une sométre? b Détermner l ensemble des ponts nvarants par f c La transformaton f est-elle une symétre axale? Sot t la translaton de vecteur IJ Donner l écrture complexe de t et celle de sa récproque t 4 On pose s = f o t a Montrer que l écrture complexe de s est : z' = z+ + b Montrer que I et J sont nvarants par s En dédure la nature de s c En dédure que f est la composée d une translaton et d une symétre axale à précser Termnale S 8

29 Correcton Parte I Vor fgure (z E +z B ) = z H d où z E = + z = + E ; c est un vecteur normal à (CF) donc, l équaton de (CF) est 0 x + y + c = et pusqu elle passe par C, c = De plus, F est le pont de (CF) d abscsse, son ordonnée est zf = + + : 5 O = OC =, OB= zb = = zc zf = CF et B= zb z = = zf = OF, les trangles OB et OCF ont des côtés deux à deux égaux : ls sont sométrques Parte II L mage de O a pour affxe 0+ =, f(o) = C ; l mage de a pour affxe + = 0, f() = O ; l mage de B a pour affxe + = +, f(b) = F a L écrture complexe de f est celle d une smltude ndrecte Le trangle OB et son mage COF sont sométrques : f est donc une sométre b z est nvarant par f s et seulement s mpossble x+ y= 0 z= z+ x+ y= x+ y+ x + y = 0 c Les ponts de l axe d une symétre axale sont nvarants donc f n est pas une symétre axale ce qu est IJ a pour affxe + : l écrture complexe de t est donc z' = z + et celle de t est z' = z+ 4 s= f t a z z + = + + : l écrture complexe de s est donc ( ) z' = z+ + + = z+ + b s(i) a pour affxe + + =, s(i) = I s(j) a pour affxe ( )( ) + + =, s(j) = J I et J sont nvarants par s : une smltude dstncte de l dentté qu a deux pont nvarants dstncts est une symétre axale : s est donc la symétre axale d axe (IJ) c Pour tout pont M, st= ft t= f, f est la composée de la translaton de vecteur IJ et de la réflexon d axe (IJ) 5 Smltude+sute, m Sud, nov 005 Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) On prendra pour unté graphque 4 cm On consdère les ponts, B, C et D d affxes respectves a, b, c et d telles que : a =, b = +, c= 4 et d = + On consdère la smltude drecte s qu transforme en B et C en D Sot M un pont d affxe z et M, d affxe z, son mage par s Exprmer z en foncton de z Détermner les éléments caractérstques de s e Termnale S 9

30 Sot (Un) la sute numérque défne par : U0 = 0 pour tout n N Un+ = Un + Montrer que, pour tout enter naturel n, U n+ etu n sont premers entre eux Interpréter géométrquement, en utlsant la smltude s, les termes dela sute (U n ) 4 Montrer que pour tout enter naturel n, U = n n 5 Montrer que, pour tous enters naturels n et p non nuls tels que n p, U = U ( U + ) + U n p n p n p La notaton pgcd(a ; b) est utlsée, dans la sute, pour désgner le plus grand dvseur commun à deux enters naturels a et b Montrer pour n p l égalté pgcd( Un, Up) = pgcd( Up, Un p) 6 Sot n et p deux enters naturels non nuls, montrer que : pgcd( Un, Up) = Upgcd( n, p) Détermner le nombre : pgcd(u 005, U 5 ) 6 QCM arth+géom, Natonal, sept 005 Pour chaque queston, une seule des quatre réponses proposées est exacte Le canddatndquera sur la cope le numéro de la queston et la lettre correspondant à la réponse chose Chaque réponse exacte rapporte pont Chaque réponse fausse enlève 0,5 pont Une absence de réponse est comptée 0 pont S le total est négatf, la note est ramenée à zéro ucune justfcaton n est demandée On consdère dans l ensemble des enters relatfs l équaton : : toutes les solutons sont des enters pars B : l n y a aucune soluton C : les solutons vérfent x (6) D : les solutons vérfent x (6) ou x 5(6) x x+ 4 0(modulo6) On se propose de résoudre l équaton (E) : 4x + 4y =, où x et y sont des enters relatfs : Les solutons de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (4k 7 ; 5 4k), k Z B : L équaton (E) n a aucune soluton C : Les solutons de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = (7k 7 ; 5 k), k Z D : Les solutons de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) = ( 7k ; 5k), k Z On consdère les deux nombres n = 789 et p = On a alors : : n 4(7) et p 0(7) C : p 4(7) B : p est un nombre premer D : p (7) 4 On consdère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal, les ponts et B d affxes respectves a et b Le trangle MB est rectangle socèle drect d hypoténuse [B] s et seulement s le pont M d affxe z est tel que : : b a z= C: a z = (b z) B : 4 z a= e ( b a) D : b z= ( a z) 5 On consdère dans le plan orenté deux ponts dstncts et B ; on note I le mleu du segment [B] Sot f la smltude drecte de centre, de rapport et d angle ; sot g la smltude drecte de centre, de rapport et d angle ; sot h la symétre centrale de centre I : hg f transforme en B et c est une rotaton Termnale S 0

31 B : hg f est la réflexon ayant pour axe la médatrce du segment [B] C : hg f n est pas une smltude D : hg f est la translaton de vecteur B 7 Réflexon+Bézout, Pondcherry, avrl 005 (c) Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) On consdère l applcaton f qu au pont M d affxe z fat correspondre le pont M d affxe z tel que + 4 z' = z+ 5 5 x+ 4y+ x' = 5 On note x et x, y et y les partes réelles et magnares de z et z Démontrer que 4x y y' = 5 a Détermner l ensemble des ponts nvarants par f b Quelle est la nature de l applcaton f? Détermner l ensemble D des ponts M d affxe z tels que z sot réel 4 On cherche à détermner les ponts de D dont les coordonnées sont entères a Donner une soluton partculère ( ; ) x y appartenant à Z de l équaton 4x y= 0 0 b Détermner l ensemble des solutons appartenant à Z de l équaton 4x y= 5 On consdère les ponts M d affxe z= x+ y tels que x= et y Z Le pont M' = f( M) a pour affxe z Détermner les enters y tels que Re( z ') et Im( z ') soent enters (on pourra utlser les congruences modulo 5) Correcton z' = z+ x' + y' = ( x y) + = ( x+ 4y+ ) + ( 4x y ) d où par dentfcaton : a vec x+ 4y+ x' = 5 4x y y' = 5 x+ 4y+ x' = 5, on a les ponts nvarants avec le système suvant : 4x y y' = 5 x+ 4y+ x = 5 5x x 4y = 0 x 4y = 0 x 4y = 0 4x y 5y 4x+ y+ = 0 4x+ 8y+ = 0 x 4y = 0 y = 5 Les ponts nvarants forment donc la drote d équaton x 4y = 0 b f est donc une réflexon par rapport à l axe z est réel s y' = 0 4x y = 0 ; encore une drote 4 a Une soluton partculère ( ; ) 0 0 x y dans Z de 4x y= est ( ; ) de manère évdente 4x y= x = k x= + k b On a donc 4( x ) ( y ) = 0 4( x ) = ( y ), k Z 4 = y = 4k y= + 4k Termnale S

32 + 4y+ 4+ 4y x' = = M : z= + y y Z : ; 4 y y y' = = 5 5 x' Z 4+ 4y= 5p 6+ y= 5( p+ q) y= + 5( p+ q ) y (5) y 4(5) y' Z y= 5q 4+ 4(4+ 5 k) 0+ 0k x' = = = 4+ 4k 5 5 Vérfons : s y= 4+ 5k, alors, ok! (4+ 5 k) 5k y' = = = k Dvne proporton, mérque du Nord, jun 005 (c) La fgure jonte en annexe sera complétée au cours de l exercce et remse avec la cope On y lassera apparents les trats de constructon Dans le plan orenté, on donne le trangle BC tel que B =, C= + 5 et ( B, C) = a Démonstraton de cours : démontrer qu l exste une seule smltude drecte S transformant B en et en C b Détermner le rapport et une mesure de l angle de S On appelle Ω le centre de S Montrer que Ω appartent au cercle de damètre [B] et à la drote (BC) Construre le pont Ω On note D l mage du pont C par la smltude S a Démontrer l algnement des ponts, Ω et D ans que le parallélsme des drotes (CD) et (B) Construre le pont D b Montrer que CD= Sot E le projeté orthogonal du pont B sur la drote (CD) a Explquer la constructon de l mage F du pont E par S et placer F sur la fgure b Quelle est la nature du quadrlatère BFDE? C B Correcton a Prendre un repère de centre, B a alors pour affxe et C (+ 5) La smltude S qu envoe B en et en C s écrt 0 a b + 5 = + a= z' = az+ b (+ 5) = a0+ b b = ( + 5) Termnale S

33 b Le rapport de S est + 5 a = et son angle est arg( a) = B Comme on a C ( B, C) = = ( Ω, Ω C) = ( ΩB, Ω) Ω Ω damètre [B]; par alleurs en effectuant deux fos S, on a C ( B, C) Ω appartent à la drote (BC) a Reprenons ce que l on vent de fare : C D (, D) algnés ; de plus ( B, DC) donc Ω appartent au cercle de B C Ω Ω = = d où Ω Ω Ω B C Ω Ω = = donc, Ω et D sont Ω Ω Ω = donc les drotes (CD) et (B) sont parallèles C E D Ω B F b Ona CD a C a B = = = = = Sot E le projeté orthogonal du pont B sur la drote (CD) a La drote (BE) se transforme en une drote perpendculare à (BE) passant par l mage de B, sot, c est (B) La drote (CE) se transforme en une drote perpendculare à (CE) passant par l mage de C, sot D, c est (DF) b Le quadrlatère BFDE semble être un carré On a CD= + 5 donc DE= + 5 = + 5 = C= DF ; de plus on a des angles drots partout, c est bon En fat le rectangle FDC est un «rectangle d or», sot tel que 9 Image d une fgure, se, jun 005 CD C =, c est la «dvne proporton» C CE Le but de cet exercce est d étuder les smltudes drectes qu transforment l ensemble S des sommets d un carré C donné en l ensemble S des sommets d un carré C donné Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal drect R=( O; u, v), unté graphque cm Termnale S

34 On consdère les ponts, B, C, D, E, F, G, H d affxes respectves +, +,, +,,,, C est le carré de sommets, B, C, D et de centre O, C est le carré de sommet E, F, G, H de centre O S est donc l ensemble {, B, C, D} et S l ensemble {E, F, G, H} Placer tous les ponts dans le repère R, construre les carrés C et C Sot h l homothéte de centre Ω d affxe et de rapport Donner l écrture complexe de h et prouver que h transforme S en S Sot s une smltude drecte qu transforme S en S et sot g la transformaton a Quel est le rapport de la smltude s? b Prouver que g est une sométre qu lasse S globalement nvarant c Démontrer que g(o ) =O g= h s d En dédure que g est l une des transformatons suvantes : l dentté, la rotaton r de centre O et d angle, la rotaton r de centre O et d angle, la rotaton r de centre O et d angle e En dédure les quatre smltudes drectes qu transforment S en S 4 Étude des centres de ces smltudes a Détermner les écrtures complexes de h r, h r, h r b En dédure les centres Ω, Ω, Ω de ces smltudes et les placer sur le dessn 40 Tr rectangles socèles, Natonal, jun 005 Le but de l exercce est d étuder quelques proprétés de la fgure c-contre T On munt le plan d un repère orthonormal drect ( O; u, v) Le quadrlatère MNPQ est un quadrlatère non crosé et de sens drect Les trangles MRN, NSP, PTQ et QUM sont des trangles rectangles socèles, extéreurs au quadrlatère MNPQ et de sens drect (les sommets des angles drots étant respectvement les ponts R, S, T et U) Parte On désgne par m, n, p et q, les affxes respectves des ponts M, N, P et Q Sot f la smltude drecte de centre M qu transforme N en R a Détermner le rapport et l angle de la smltude f b On désgne par r l affxe du pont R U Q M R P N S + Démontrer que r= m+ n où désgne le nombre complexe de module et d argument (on pourra éventuellement utlser l écrture complexe de la smltude f ) On admettra que l on a également les résultats s= n+ p, t= p+ q et u= q+ m, où s, t et u désgnent les affxes respectves des ponts S, T et U Démontrer que les quadruplets (M, N, P, Q) et (R, S, T, U) ont le même sobarycentre a Démontrer l égalté u s = (t r) Termnale S 4

35 b Que peut-on en dédure pour les longueurs des segments [RT] et [SU], d une part, et pour les drotes (RT) et (SU), d autre part? Parte B Cette parte sera tratée sans utlsaton des nombres complexes Démontrer, en utlsant les résultats établs dans la parte, qu l exste une unque rotaton g qu transforme R en S et T en U Décrre comment construre géométrquement le pont Ω, centre de la rotaton g Réalser cette constructon sur la fgure de l annexe 4 S ndrecte+bézout, Polynése, nov 004 (c) Le plan est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) On prendra sur la fgure cm pour unté graphque On désgne par, B et C les ponts d affxes respectves +, + et On consdère la transformaton f du plan dans lu-même qu à tout pont M d affxe z assoce le pont M = f(m) d affxe z défne par : a Calculer les affxes des ponts = f() et C = f(c) + z' = z + (+ ) b En dédure la nature de f et caractérser cette transformaton c Placer les ponts, B et C pus construre le pont B = f(b) a Donner l écrture complexe de l homothéte h de centre et de rapport b Montrer que la composée g= f h a pour écrture complexe z'' = ( + ) z + a Sot M 0 le pont d affxe 4 Détermner l affxe du pont M0 = g( M0) pus vérfer que les vecteurs B et M 0 sont orthogonaux b On consdère un pont M d affxe z On suppose que la parte réelle x et la parte magnare y de z sont des enters Démontrer que les vecteurs B et M sont orthogonaux s, et seulement s, 5x+ y= c Résoudre dans Z l équaton 5x+ y= d En dédure les ponts M, dont les coordonnées sont des enters appartenant à l ntervalle [ 6;6], tels que B et M sont orthogonaux Placer les ponts obtenus sur la fgure Correcton On désgne par, B et C les ponts d affxes respectves +, + et + + a z' = z + (+ ) : a' = ( ) + (+ ) = + + = +, + c' = ( ) + (+ ) = = + b On a = e 4 = donc f est une sométre Par alleurs les deux ponts et C sont nvarants donc f est une réflexon d axe (C) c Termnale S 5

36 B' C B v O u a h: z z'/ z' a= ( z a) z' = z+ a( ) = z+ ( + )( ) b h f + + g= fh= z z' z = z + ( ) = z+ ( + )( ) + (+ ), sot ( ) ( ) ( ) ( ) z = + z+ ( ) + + = ( + ) z+ + ( ) + + l reste à smplfer : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + + = + + = , sot fnalement z'' = ( + ) z + a z0 = 4 z0 = ( + )(+ 4 ) + = + 9 ; B a pour affxe b a= + + = 4+ et M 0 a pour affxe z0 a= + 9+ = + 8 ; avec le produt scalare on a : 4( ) + 8= 8+ 8= 0, les vecteurs sont orthogonaux b z= x+ y z = ( + )( x y) + = x+ y + ( x y+ ) z a= x+ y+ ( x y+ ) ; le produt scalare donne 4( x+ y) + ( x y+ ) = 5x+ y+ et est nul lorsque 5x+ y= c On a une soluton évdente : x =, y = 4 ; soustrayons : 5x+ y= x= k x= k 5( x ) + ( y+ 4) = 0 5( x) = ( y+ 4), k Z 5+ ( 4) = y+ 4= 5k y= 4+ 5k 4 8 k 6 x 6 6 k 6 8 k 4 k=,0,, d k= 0,, 6 y k 6 5k 0 0 k= 0,, k 5 5 Il y a tros ponts seulement : m ( ; 4), ( ; ) et n ( 4; 6) ; Termnale S 6

37 n m' B' C v B O u m n' 4 Tr équlatéral+leu de ponts, Natonal, sept 004 (c) et C sont deux ponts dstncts du plan ; on note Γ le cercle de damètre [C] et O le centre de Γ B est un pont du cercle Γ dstnct des ponts et C Le pont D est construt tel que le trangle BCD sot équlatéral drect ; on a donc ( BC, BD) = ( ) Le pont G est le centre de gravté du trangle BCD Les drotes (B) et (CG) se coupent en un pont M Parte Placer les ponts D, G et M sur la fgure de la feulle annexe Montrer que les ponts O, D et G appartennent à la médatrce du segment [BC] et que le pont G est le mleu du segment [CM] Détermner l angle et le rapport de la smltude drecte s de centre C transformant B en C B C Parte B Dans cette queston le plan est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) les ponts et C aent pour affxes respectves et + Sot E le pont construt pour que le trangle CE sot équlatéral drecte ; on a donc ( C E) Calculer l affxe du pont E et construre le pont E sur la feulle annexe chos de telle sorte que, = ( ) Termnale S 7

38 + Sot σ la smltude drecte d expresson complexe z' = z+ Détermner les éléments 4 4 carctérstques de σ et en dédure que σ est la smltude récproque de s Montrer que l mage E de E par σ a pour affxe cercle Γ + et montrer que le pont E appartent au 4 On note Σ le leu des ponts M lorsque le pont B décrt le cercle Γ prvé des ponts et C Montrer que le pont E appartent à Σ Sot O l mage du pont O par la smltude s Démontrer que le pont O est le centre de gravté du trangle CE En dédure une constructon de Σ Correcton [BC] est une corde du cercle Γ donc OB = OC ; par alleurs dans un trangle équlatéral le centre de gravté et le trosème sommet sont sur la médatrce, c sur celle de [BC] (GC) est la médatrce de [BD]; par alleurs on a BC = 90, BCG = 0, GBD = 0 d où DBM= = 0, moralté M est le symétrque de G par rapport à [BD] et GM = CG O B M G C D On regarde les mages par Parte B CM CG k = = = = = C C s: CB CB B M θ = ( CB, CM) = ( ) 6 E' B E M G D O C Termnale S 8

39 + + z' = z+ : a= = 6 + = e donc rapport et angle On cherche le centre : z= z+ z = z = z=, c est donc C La récproque d une smltude a même centre, un rapport nverse et un angle opposé : c est ben le cas c E est sur l axe magnare, son affxe est (hauteur d un trangle équlatéral de côté ) Son mage a pour affxe z' = + = = = + qu a évdemment pour module et est donc sur Γ 4 Comme E' = σ( E), on a E= s( E') pusque s est la récproque de σ ; comme E est sur Γ, E est sur Σ Lorsque B parcourt Γ, M parcourt le cercle de centre s(o)=o et de rayon On obtent l affxe de O «faclement» en écrvant que 6 O' C 0 C O' ( ) z z = e z z z = + = + + = Celle du centre de gravté de CE est ( z z z ) + + C + E = = E est un pont de Σ et O son centre, la constructon est fate E B M D E' O' G O C 4 QCM géo+arth, ntlles, sept 004 Pour chacune des sx affrmatons, dre s elle est vrae ou s elle est fausse, en justfant le chox effectué Le PGCD de 004 et 400 est 6 S p et q sont deux enters naturels non nuls, pq est dvsble par p et par q Pour tout n de N*, n n est jamas dvsble par 9 4 L ensemble des couples d enters solutons de l équaton : 4x +5y = 9 est l ensemble des couples : ( 44+70k; 99 4k) où k Z 5 Soent et B deux ponts dstncts du plan ; s on note f l homothéte de centre et de rapport et g l homothéte de centre B et de rapport alors g f est la translaton de vecteur B Termnale S 9

40 6 Sot s la smltude d écrture complexe z' = z+ ( ), l ensemble des ponts nvarants de s est une drote 44 Sprale, m du Sud, nov 004 (c) Sot 0 et B 0 deux ponts du plan orenté tels que 0 B 0 = 8 On prendra le centmètre pour unté Sot S la smltude de centre 0, de rapport et d angle On défnt une sute de ponts (Bn ) de la 4 façon suvante : pour tout enter naturel n, B n+ = S(B n ) Construre B, B, B et B 4 Montrer que, pour tout enter naturel n, les trangles 0 B n B n+ et 0 B n+ B n+ sont semblables On défnt la sute (l n ) par : pour tout enter naturel n, l n = B n B n+ a Montrer que la sute (l n ) est une sute géométrque et précser sa rason b Exprmer l n en foncton de n et de l 0 c On pose L n = l 0 +l + +l n Détermner la lmte de L n lorsque n tend vers + 4 a Résoudre l équaton x 4y = où x et y sont deux enters relatfs b Sot la drote perpendculare en 0 à la drote ( 0 B 0 ) Pour quelles valeurs de l enter naturel n, B n appartent-l à? Correcton Ren n nterdt de prendre 0 à l orgne et B 0 en z = 8 On a alors l affxe de B n : 4 zn+ = e zn, sot n n n n 0 n z = e z = e 4 S: z z' = e z, d où en notant z n B B4 B B0 B Enfn, bref, à chaque fos on tourne de et on dvse la dstance par 4 Par S on a 0 0 Bn B B B n+ n+ n+ donc les trangles 0BnB n + et 0Bn+ Bn+ sont semblables a ln+ = Bn+ Bn+ = BnBn+ = ln pusque les trangles sont semblables et que le rapport de smltude est / Termnale S 40

41 8 b ln = l0 = n n c n+ Σ n = l0 + l + + ln = a x 4y= a comme soluton évdente x =, y = : 4 = Soustrayons : Termnale S 4 x 4y= x = 4k ( x ) 4( y ) = 0 ( x ) = 4( y ), k Z 4= y = k x= + 4k d où les solutons, k enter relatf y = + k b On vot sur la fgure que B est sur ; en fasant à chaque fos l faudra 4 coups pour revenr sur, 4 les valeurs de n correspondantes sont donc n= + 4k n n n n 0 n Snon on peut repartr sur z = e z = e qu est magnare pur lorsque n = + k n= + 4k n 4k=, sot les solutons précédentes 4 45 Smltude ndrecte, m du Nord, ma 004 Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal ( O; u, v) Soent les ponts,, B et B d affxes respectves : z =, z ' = + 4, z =, z ' = 5 a Placer les ponts,, B et B dans le plan complexe Monter que BB est un rectangle b Sot s la réflexon telle que s() = et s(b) = B On note ( ) son axe Donner une équaton de la drote ( ) et la tracer dans le plan complexe c On note z l affxe du pont M mage par s du pont M d affxe z Montrer que B B 4 z' = + z+ 5 5 Sot g l applcaton du plan dans lumême qu à tout pont M d affxe z assoce le pont P d affxe z 6 8 défne par : z' = z a On note C et D les mages respectves de et B par g ; détermner les affxes de C et D et placer ces ponts dans le plan complexe b Sot Ω le pont d affxe + etsot h l homothéte de centre Ω et de rapport Montrer que C et D sont les mages respectves de et B par h c Sot M d affxe z l mage par h de M, d affxe z Donner les éléments caractérstques de h et exprmer z en foncton de z On pose f = h g a Détermner l expresson complexe de f b Reconnaître f En dédure une constructon du pont P, magepar g d un pont M quelconque donné du plan 46 Rotaton, ntlles 004 Dans le plan orenté, on consdère un carré drect BCD de centre O Sot P un pont du segment [BC] dstnct de B On note Q l ntersecton de (P) avec (CD) La perpendculare à (P) passant par coupe (BC) en R et (CD) en S Fare une fgure

42 Sot r la rotaton de centre et d angle a Précsez, en justfant votre réponse, l mage de la drote (BC) par la rotaton r b Détermnez les mages de R et de P par r c Quelle est la nature de chacun des trangles RQ et PS? On note N le mleu du segment [PS] et M celu du segment [QR] Sot s la smltude de centre, d angle 4 et de rapport a Détermnez les mages respectves de R et de P par s b Quel est le leu géométrque du pont N quand P décrt le segment [BC] prvé de B? c Démontrez que les ponts M, B, N et D sont algnés 47 Rotaton+carré, Lban, ma 004 (c) Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormal ( O; u, v) On prendra pour unté graphque cm On consdère les ponts, B, C et D d affxes respectves z = +, z B = +, z C = 6 +, z D = + 6 Représenter les ponts, B, C et D Montrer qu l exste une smltude drecte f telle que f () = B et f (C) = D Montrer que cette smltude est une rotaton, et précser ses éléments caractérstques Sot J le pont d affxe + 5 Montrer que la rotaton R de centre J et d angle C en B 4 On appelle I le pont d affxe +, M et N les mleux respectfs des segments [C] et [BD] transforme en D et Détermner, en utlsant les résultats des questons précédentes, la nature du quadrlatère IMJN 5 On consdère les ponts P et Q tels que les quadrlatères IPB et ICQD sont des carrés drects a Calculer les affxes z P et z Q des ponts P et Q b Détermner IP I IC ans qu une mesure des angles ( I, IP) et ( IC, IQ) et IQ En dédure les éléments caractérstques de la smltude drecte g telle que g() = P et g(c)= Q c En dédure que J est l mage de M par g Que peut-on en dédure pour J? Correcton Termnale S 4

43 Q D J N C B P M j I O ( ) Termnale S 4 ( ) ( ) ( ) ( ) + = a + + b 4= a 4 a= f z = az+ b + 6 = a b b = + a + b = Comme a = et arg( a) =, on a ben une rotaton d angle Le pont nvarant est : ω = ω+ ω = = + R de centre J d angle : ( ) ( ) z' z = e z z z' = z+ + z = z+ + 8 J j J L mage de est ( + ) + = + = z, celle de C : ( ) 8 6 D = + = zb Ok 4 Il semble que IMJN est un carré : comme a pour mage B et C pour mage D dans la rotaton de centre I d angle, le mleu M de [C] a pour mage le mleu N de [BD] donc MIN est un trangle rectangle socèle Même chose pour MJN 5 a Pour P on fat la rotaton de centre B d angle, ce qu donne z = + ; pour Q on fat la rotaton de centre D, ce qu donne z = 4+ 8 Q IP b I =, IQ = IC : rapport entre la dagonale et le côté du carré ( I, IP) = et ( IC, IQ) = : angle entre le côté et la dagonale du carré 4 4 Comme I est nvarant, g est la smltude de centre I, d angle 4 et de rapport c Comme IMJN est un carré, J est l mage de M par g Je ne vos pas ce qu on peut en dédure pour J 48 Sute géométrque, Polynése, jun 004 Le plan P est rapporté a un repère orthonormal ( O; u, v) On prendra pour unté graphque cm P

44 On consdère les ponts, B, C et D d affxes respectves a, b, c et d telles que a =, b= +, c= et d= Représenter les ponts, B, C et D Détermner l angle α et le rapport k de la smltude drecte s transformant en B et C en D Donner l écrture complexe de s En dédure l affxe du centre I de s 4 Sot M le pont de coordonnées (x; y) et M (x ; y ) son mage par s x' = y+ Montrer que : y' = x M0 = 5 On construt une sute (M n ) de ponts du plan en posant pour tout enter naturel n Mn+ = s( Mn) On note z n l affxe du pont M n et on pose r = z Termnale S 44 n a Montrer que (r n ) est une sute géométrque dont on précsera le premer terme et la rason b Détermner le plus pett enter naturel k tel que n IM k 0 49 Rotatons, homothétes, m du Sud, nov 00 (c) Le plan complexe estmun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque : cm) On note r la rotaton de centre O et d angle et r la rotaton de centre O et d angle 5 Parte Résoudre dans Z Z l équaton (E): y = 5(5 x) Sot I le pont d affxe On consdère un pont moble sur le cercle trgonométrque (C) de centre O Sa poston ntale est en I On appelle d la dstance, exprmée en centmètres, qu a parcouru le pont sur le cercle (C) après avor sub p rotatons r et q rotatons r (p et q étant des enters naturels) On convent que lorsque subt la rotaton r (respectvement r ), l parcourt une dstance de cm (respectvement 5 cm) Détermner toutes les valeurs possbles de p et q pour lesquelles le pont a parcouru exactement deux fos et deme la crconférence du cercle (C) à partr de I Parte B On note h l homothéte de centre O et de rapport 4 et h l homothéte de centre O et de rapport 6 On pose s = r h et s = r h Précser la nature et les éléments caractérstques de s et s On pose Sm = ss s (composée de m fos s, m étant un enter naturel non nul), Sn = ss s (composée de n fos s, n étant un enter naturel non nul), et f = Sn Sm m a Justfer que f est la smltude drecte de centre O, de rapport + n n et d angle b f peut-elle être une homothéte de rapport 44? 6 m + n 5 c On appelle M le pont d affxe 6 et M son mage par f Peut-on avor OM = 40? Démontrer qu l exste un couple d enters naturels unque (m, n) tel que OM = 576 u, OM' Calculer alors la mesure prncpale de l angle orenté ( )

45 Correcton Parte y = 5(5 x) : comme 5 ne dvse pas, l dot dvser y, donc y= 5k ; cec donne alors BC est un trangle drect du plan orenté On désgne respectvement par I, J et K les mleux de [B], [BC] et C [C] Sot α un réel qu condut à la réalsaton de la fgure c-contresur laquelle on rasonnera C d d α J K B Termnale S 45 ( ) 5k= 5 5 x 5 x= k x= 5 k Comme l unté est le centmètre, la dstance parcourue sur le cercle lorsque fat un angle θ est θ centmètres (défnton du radan) près p fos r l a donc parcouru q, sot au total d p q ( 5p q ) 5 = + = On a alors d,5 cm ( 5p q) 5 5p q 5 5 q 5( 5 p) p cm et après q fos r, l a parcouru = + = + = = On retombe donc sur 5 p= 5 k l équaton précédente, ce qu donne q = 5k Comme p et q dovent être postfs, on a 5 k 0 k 5 et k 0 ; cec donne donc les 6 couples Parte B ( p, q ) = ( 5,0 ),(,5 ),( 9,0 ),( 6,5 ),(,0 ),( 0,5) s est la smltude de centre O, d angle, de rapport 4, s est la smltude de centre O, d angle 6 + = et de rapport 6 (attenton au sgne du rapport ) 5 5 On pose Sm = ss s (composée de m fos s, m étant un enter naturel non nul), Sn = ss s (composée de n fos s, n étant un enter naturel non nul), et f = Sn Sm a Pour S m on a le rapport 4 répété m fos, donc n n n répété n fos, sot 6 = et l angle 6 m + n pour l angle 5 b On a 4 44= =, l faudrat Ca colle pour le rapport mas pas pour l angle m m 4 = et pour angle 5 n, d où un total de 6 m ; pour S n on a le rapport 6 m n n m+ n n m+ n= 4 m= et donc un angle de n= n= = = 0[ ] = pour le rapport et c S OM = 40, OM = 6, alors le rapport de smltude dot être de 40, ce qu est mpossble pusque 5 n apparat pas comme dvseur dans le rapport vec OM = 576, l faut 50 Smltudes, Pondchéry, ma 00 (c) Premère parte m+ n= 5 m= k= = 96= donc l angle est = 6 n= n= 5 5 Les deux partes de cet exercce peuvent être tratées de façon ndépendante d H I B

46 d est l'mage de la drote (B) par la rotaton de centre I et d'angle α d est l'mage de la drote (BC) par la rotaton de centre J et d'angle α d est l'mage de la drote (C) par la rotaton de centre K et d'angle α est le pont d'ntersecton de d et d, B celu de d et d, et C celu de d et d On appelle H le pont d'ntersecton de (BC) et d Montrer que les trangles HIB et HB J sont semblables En dédure que les trangles BC et B C sont semblables Deuxème parte Le plan complexe est mun du repère orthonormal drect ( O; u, v) - Constructon de la fgure Placer les ponts ( 4 6), B(4), C( 4+6), ( 7), B (9 + 5) et C ( ) Calculer les affxes des mleux I, J et K des segments [B], [BC] et [C] Placer ces ponts sur la fgure Montrer que, I, B sont algnés On admettra que B, J, C d'une part, et C, K, d'autre part sont algnés 4 Détermner une mesure en radans de l'angle ( IB, IB ) On admettra que ( ) ( ) Termnale S 46 K,K = JC,JC = 4 5 Quelle est l'mage de la drote (B) par la rotaton de centre I et d'angle /4? B - Recherche d'une smltude drectes transformant BC en B C On admet qu'l exste une smltude drecte s transformant les ponts, B et C respectvement en, B et C Montrer que l'écrture complexe de s est affxes d'un pont et de son mage par s a Détermner le rapport et l'angle de s b Détermner l'affxe du centre Ω de s Que représente le pont Ω pour le trangle BC? Correcton Premère parte z' = + z+, où z et z' désgnent respectvement les HIB et HBJ sont semblables : on a évdemment JHB =IHB ; par alleurs HJB = α de même que BIH pusque c est l angle de rotaton Les trangles ont deux angles égaux, les trangles sont semblables Le trosème angle de chaque trangle est donc le même : HBI = HB J BC = B C Le rasonnement tenu à partr de I est valable dans les rotatons de centres J et K, sot BC=B C et CB=C B donc BC et BC sont semblables Deuxème parte ( 4 6), B(4), C( 4 + 6), ( 7), B (9 + 5) et C ( ) I = 5 ; J = 5+ ; K = 4 zb zi L algnement revent à montrer sot que arg = 0( ) sot que z z z B zi = k( z z I) avec k I réel : on calcule de toutes manères zb zi = 4+ 8 et z zi = 4 ; on vot alors que k =

47 4 Pour calculer l angle des vecteurs, on calcule l argument du quotent des affxes des deux vecteurs : zb z I (+ )( ) ( IB, IB ) = arg = arg = arg + arg = arg zb zi = arg = arg = Comme, I et B sont algnés et que ( IB, IB ) =, l mage de (B) est (IB )=(B ) 4 z = az + b 7 = a( 4 6 ) + b B On cherche a et b complexes tels que zb = az B + b 9+ 5= a4+ b ; en résolvant z a( 4 6 ) b C = az C + b = + + on trouve ben a= +, b= Le rapport est a = =, l'angle est arg( ) a = L'affxe du centre Ω est celle du pont nvarant : 4 zω = + zω + zω = 4 Ω Est-l le centre du cercle crconscrt? Ω B= 0, Ω =Ω C= 4± 6 4 = 00 = 0 Donc ou 5 Longueur de sprale, m du Nord, ma 00 Le plan P est rapporté a un repère orthonormal ( O; u, v) On prendra pour unté graphque cm On consdère les ponts 0,, d affxes respectves z 0 = 5 4, z = 4, z = 4 a Justfer l exstence d une unque smltude drecte S telle que S( 0 ) = et S( ) = b Établr que l écrture complexe de S est + z' = z+ c En dédure le rapport, l angle et l affxe ω du centre Ω de la smltude S d On consdère un pont M, d affxe z avec z 0, et son mage M, d affxe z Vérfer la relaton : ω z' = ( z z') ; en dédure la nature du trangle Ω MM Pour tout enter naturel n, lepont n+, est défn par n+ = S( n ) et on pose u n = n n+ a Placer les ponts 0,, et construre géométrquement les ponts, 4, 5, 6 b Démontrer que la sute (u n ) est géométrque La sute (v n ) est défne sur N par v n = u 0 +u + +u n = uk a Exprmer v n en foncton de n b La sute (v n ) est-elle convergente? 4 a Calculer en foncton de n le rayon r n du cercle crconscrt au trangle Ω n n+ b Détermner le plus pett enter naturel p tel que, pour tout enter naturel n : s n > p alors r n <0 5 Smltude, sutes, Pondcherry 009 Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) On prendra pour unté graphque cm n k= 0 Sot et B les ponts d affxes respectves z = et zb = + Justfer qu l exste une unque smltude drecte S telle que : S(O) = et S() = B Montrer que l écrture complexe de S est : z' ( ) = z+ Termnale S 47

48 Précser les éléments caractérstques de S (on notera Ω le centre de S) On consdère la sute de ponts ( n ) telle que : 0 est l orgne du repère et, pour tout enter naturel n, n+ = S( n ) On note z n, l affxe de n (On a donc 0 = O, = et = B) a Démontrer que, pour tout enter naturel n, z ( ) b Détermner, en foncton de n, les affxes des vecteurs n Termnale S 48 n = Ω et n n + Comparer les normes de ces vecteurs et calculer une mesure de l angle ( n, n n + ) n Ω c En dédure une constructon du pont n+ connassant le pont n Construre les ponts et 4 4 Quels sont les ponts de la sute ( n ) appartenant à la drote ( Ω B)? 5 Smltude, sutes, Bézout, La Réunon, jun 00 (c) Le plan P est rapporté a un repère orthonormal ( O; u, v) On prendra pour unté graphque cm On consdère l applcaton f du plan dans lu-même qu, à tout pont M d affxe z assoce le pont M d affxe z telle que : ( ) ( ) z' = + z + + Montrer que f est une smltude drecte dont le centre Ω a pour affxe En détermner le rapport et l angle Sot M 0 le pont d affxe z0 = + Calculer Ω M0 et donner une mesure en radans de l angle 4 4 u, ΩM ( 0 ) On consdère la sute de ponts ( Mn ) n, défne pour tout enter naturel n par M 0 n+ = f(m n ) On note z n l affxe du pont M n a Placer les ponts Ω, M 0, M, M, M et M 4 b Montrer par récurrence, pour tout enter naturel n, l égalté : 7n n 6 z = e ( z ) c Pour tout enter naturel n, calculer Ω Mn, pus détermner le plus pett enter n tel que n 0 Ω 0 4 a On consdère l équaton (E) : 7x y = où x et y sont deux enters relatfs près avor vérfé que le couple ( 5 ; ) est soluton, résoudre l équaton (E) b Sot l ensemble des ponts M du plan d affxe z telle que Im(z) = Caractérser géométrquement et le représenter Détermner l ensemble des enters naturels n tels que M n appartenne à la dem-drote d orgne Ω drgée par le vecteur u Précser son plus pett élément Correcton ( ) ( ) z' = + z + + f est de la forme az+ b, c est une smltude drecte ( ) ( ) ( ) f = = = donc Ω est nvarant, c est le centre de 5 ' = + = 5 : rapport, angle 6 smltude z ( )( z ) e 6 ( z ) + M z Ω = = = = ( u M0 ) 0 0, Ω = arg = M n

49 a Fgure facle Termnale S 49 n 7n n 6 b Sot la proprété P n : z = e ( z ) ; P 0 est vrae car e ( z ) = z On utlse le résultat du 5 en remplaçant 6 par 7 : n 7( n+ ) 6 ' ( ) 6 ( ) 6 n 6 n+ z = e z z ( ) 6 n+ = e zn = e e z0 = e ( z0 ) 7n 7n n 6 n 6 n n 0 0 Ω Mn = e z = e Ω M = = c ( ) n ΩM n 6 n 4 a 7( 5) ( )= ; ok n 7x y= x+ 5= k 7( x+ 5) ( y+ ) = 0 7( x+ 5) = ( y+ ) et donc 7( 5) ( ) = y + = 7k x= 5+ k, k Z y = + 7k b Les complexes de sont de la forme z= x+, ls sont sur la drote y=, sot la drote horzontale passant par Ω Pour que M n appartenne à la dem-drote d orgne Ω drgée par le vecteur u, l faut que 7n z n n 7n ( u, Ω Mn ) = 0[ ] = k ; or 6 ( ΩM0, Ω Mn ) = arg = arg e = et ( u, Ω M0 ) = ; on z n 7n a donc ( Ω M0, u) + ( u, Ω Mn ) = ( u, Ω Mn ) = d où l équaton n = k 7n k= 6 6 Il faut donc n= 5+ p, p Z M n a alors pour affxe k = + 7p pett élément est attent lorsque n 0, le premer est pour p=, sot n= 7 et p 6 6+ p zn = + e e = + ; le plus 6 z = + = Smltude, Polynése, jun 00 Le plan P est rapporté a un repère orthonormal ( O; u, v) On prendra pour unté graphque cm On donne les ponts, C, D et Ω, d affxes respectves +,, et Parte Sot Γ le cercle de centre Ω passant par a Montrer que Γ passe par C et D b Montrer que le segment [D] est un damètre de Γ + c Sur une feulle de paper mllmétré, fare une fgure en plaçant les ponts, C, D, Ω et tracer Γ On note B la seconde ntersecton de Γ avec la drote (O) d Montrer que le pont O est extéreur au segment [B] Montrer par un rasonnement géométrque smple que les trangles OD et OCB sont semblables mas non sométrques Sot S la smltude qu transforme le trangle OCB en le trangle OD a Montrer que S est une smltude ndrecte dfférente d une réflexon b Quel est le centre de S? Parte B n

50 a Dédure de la parte que l on a O OB = OC OD b En dédure le module de l affxe z B du pont B Détermner un argument de z B Détermner l écrture complexe de S Détermner la nature et les éléments caractérstques de S S 55 Carré et rotaton, ntlles sept 00 (C) B N (C) (C4) D M (C) C Dans le plan, on consdère deux segments [C] et [BD] tels que C = BD et ( C, BD) Termnale S 50 = On désgne par M lemleu de [C] et par N celu de [BD] On appelle (C ), (C ), (C ) et (C 4 ) les cercles de damètres respectfs [B], [BC], [CD] et [D] On pourra s ader de la fgure c-jonte a Sot r la rotaton qu transforme en B et C en D Quel est l angle de r? Montrer que le centre I de r appartent aux cercles (C ) et (C ) b Sot r la rotaton qu transforme en D et C en B Quel est l angle de r? Montrer que le centre J de r appartent aux cercles (C ) et (C 4 ) c Quelle est la nature du quadrlatère INJM? On désgne par P et R les ponts damètralement opposés à I sur, respectvement, (C ) et (C ) et par Q et S les ponts damètralement opposés à J sur, respectvement, (C ) et (C 4 ) Sot s la smltude drecte de centre I, de rapport et d angle 4 a Quelles sont les mages par s des ponts D, N, B? b En dédure que J est le mleu de [PR] 56 Smltude, La Réunon, jun 00 Le plan P est rapporté a un repère orthonormal ( O; u, v) On prendra pour unté graphque cm On fera une fgure que l on complétera avec les dfférents éléments ntervenant dans l exercce Dans cette queston on consdère l applcaton s du plan dans lu-même, qu à tout pont M d affxe z assoce le pont M d affxe z' = z

51 a Montrer que s est une réflexon d axe noté D et de vecteur drecteur w d affxe b Sot D la drote d équaton y =, on appelle s la réflexon d axe D w, u Détermner géométrquement la composée r= s s Calculer une mesure de l angle ( ) c Détermner l écrture complexe de r Dans cette queston on consdére l applcaton p du plan dans lu-même, qu à tout pont M d affxe z z+ z' assoce le pont M d affxe z = z z = a Sot le pont d affxe z = +, détermner l affxe du pont mage de par p b Montrer que tout pont M a son mage M stuée sur la drote d équaton y = x c Défnr géométrquement, en utlsant les questons précédentes, l applcaton p On consdère l applcaton f défne par f = s' p Construre l mage du pont par f Montrer que s p= p et en dédure que f = r p Montrer que, tout pont M du plan a son mage par f sur une drote, que l on détermnera 57 Smltude & barycentre, Polynése, sept 00 Dans le plan complexe P rapporté a un repère orthonormal ( ; u, v), unté graphque cm, on consdère les ponts B, D défns par : B= u, D= v, et C tel que BCD sot un rectangle On fera une fgure qu sera complétée au fur et à mesure de l exercce Sot E l mage de B par la translaton de vecteur DB Détermner l affxe ze de E Détermner les nombres réels a, b tels que le pont F d affxe z F = 6 sot le barycentre des ponts, B, C affectés des coeffcents a, b et On consdère la smltude s qu transforme en E et B en F À tout pont M d affxe z, on assoce le pont M d affxe z, mage de M par s a Exprmer z en foncton de z b Détermner le centre I, l angle et le rapport de la smltude s c Détermner les mages dec et de D par s d Calculer l are de l mage par s du rectangle BCD 4 a Détermner l ensemble Ω des ponts M du plan tels que : 6M 0MB+ MC = 9 b Détermner, en précsant ses éléments caractérstques, l mage de Ω par s 58 Symétres axales, Lban, jun 00 On suppose le plan rapporté au repère orthonormal drect ( Ω; u, v ), unté graphque cm Parte Sot tros drotes D, D et D, sécantes en Ω et de vecteurs drecteurs respectfs d, d, d, supposés untares et tels que d = u et ( d, d ) =, ( d, d ) = 4 On note S, S et S les réflexons d axes respectfs D, D etd, et f la composée SS S, de ces tros réflexons Tracer ces tros drotes a Détermner la nature et les éléments caractérstques de la transformaton r= S S b Caractérser la réflexon S telle que r= S S On notera D l axe de S et on en détermnera un pont et un vecteur drecteur d Tracer la drote D c En dédure la nature de f et ses éléments caractérstques Termnale S 5

52 Justfer que le pont E d affxe z = e est un pont de la drote D Détermner les nombres complexes Termnale S 5 E a et b tels que la forme complexe de f sot l applcaton f défne sur C par f (z)= az +b Parte B Chosr un pont sur D On note B l mage de par S et C l mage de B par S Placer les ponts B et C Démontrer que est l mage de C par S Que peut-on dre du pont Ω pour le trangle BC? 59 Rotatons, symétres, translatons, se jun 00 On se place dans le plan, rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) On consdère l applcaton f qu, à tout pont M d affxe z assoce le pont M d affxe z telle que : a Exprmer ( f f )( z) en foncton de z z' = + z b Montrer que f = R S, où R est une rotaton et S une symétre axale (on détermnera les éléments caractérstques de ces deux applcatons R et S) c Décomposer R à l ade de deux symétres axales et en dédure que f est une réflexon, dont on donnera l axe (D ) Réalser une fgure, en y représentant l axe (D ) (unté graphque cm) On consdère l applcaton g qu, à tout pont M d affxe z assoce le pont M d affxe z telle que : z'' = + z + a Détermner une équaton de l ensemble des ponts nvarants de g b Montrer que g= T f où T est une translaton (on précsera l affxe du vecteur de la translaton T) c Décomposer la translaton T à l ade de deux symétres axales et en dédure que g est une réflexon, d axe noté (D ) d Quelle est l mage par g du pont d affxe +? En dédure une constructon de la drote (D ), qu n utlse pas son équaton, et l llustrer en complétant la fgure précédente 60 Homothétes, Polynése, sept 000 Sur la fgure c-contre, BCD est un rectangle de sens drect, EFB et DGH sont des carrés de sens drect Le but de cette queston est de montrer que les drotes (C), (EF) et (FH) sont concourantes Pour cela on note I le pont d ntersecton des drotes (EG) et (FH) et on ntrodut * l homothéte h de centre I qu transforme G en E, * l homothéte h de centre I qu transforme F en H a Détermner l mage de (CG) par h pus par la composée h h De même détermner l mage de (CF) par h h b Justfer l égalté h h = h h On veut montrer que la médane ssue de dans le trangle EH est une hauteur du trangle BD On note O le mleu de [EH] a Exprmer O en foncton des vecteurs E et H b Exprmer BD en foncton des vecteurs B et D c Calculer le produt scalare OBD et conclure C D G B H E F

53 On étude la smltude drecte S qu transforme en B et D en On pose B = et D = k a Détermner l angle et le rapport de S b Détermner l mage de la drote (BD), pus l mage de la drote (O) pas S c En dédure que le pont d ntersecton Ω des drotes (BD) et (O) est le centre de S 6 Rotaton et smltude Dans le plan orenté, on consdère un trangle socèle BC tel que : B = C et (B,C) = 4 Sot I le pont tel que le trangle CI sot socèle rectangle avec (C,CI) = Pour la fgure, que l'on complétera en tratant les questons, on prendra B = 5 cm On appelle r la rotaton de centre qu transforme B en C et r C la rotaton de centre C et d'angle On pose f = r C o r a Détermner les mages par f de et de B b Démontrer que f est une rotaton dont on précsera l'angle et le centre O Placer O sur la fgure c Quelle est la nature du quadrlatère BOC? Sot s la smltude drecte de centre O qu transforme en B On appelle C' l'mage de C par s, H le mleu du segment [BC] et H' son mage par s a Donner une mesure de l'angle de s Montrer que C' appartent à la drote (O) b Donner l'mage par s du segment [O] et montrer que H' est le mleu de [OB] c Montrer que (C'H') est perpendculare à (OB) En dédure que C' est le centre du cercle crconscrt au trangle OBC 6 Rotaton Dans le plan orenté, on consdère la fgure c-après BCD est un carré de centre O et tel que (O,OB) = Les ponts M, N, P et Q sont les mleux respectfs des segments [B], [BC], [CD] et [D] Le but de l'exercce est de prouver que le quadrlatère EFGH est un carré, pus de comparer son are à celle du carré BCD Dans chacune des questons, on énoncera avec précson les proprétés utlsées On se propose de démontrer que EFGH est un carré Sot r la rotaton de centre O et d'angle Termnale S 5 a Détermner l'mage par r du pont N, pus celle du segment [N] Détermner l'mage par r du pont P, pus celle du segment [BP] En dédure r(f) et la nature du trangle FOG b Explquer alors comment termner la démonstraton demandée Comparason des ares des carrés BCD et EFGH

54 a Justfer les égaltés E = EH = DH et E = QH b Sot K l'mage de H par la symétre s de centre Q Démontrer que EHK est un carré et comparer son are à celle du trangle ED c En dédure le rapport entre les ares des carrés BCD et EFGH Généralsaton de la queston On suppose mantenant que les ponts M', N', P' et Q' vérfent respectvement les égaltés : M' = B, BN' = BC, CP' = CD et DQ' = D On construt le quadrlatère E'F'G'H' en traçant les drotes (N'), (BP'), (CQ') et (DM') Que sufft-l de changer à la démonstraton du Pour démontrer que E'F'G'H' est un carré? 6 Théorème de Ptolémée Prolégomènes Retrouver la démonstraton géométrque du «théorème de l angle nscrt» Fare cette démonstraton en utlsant les complexes Le problème Dans le plan orenté, on consdère quatre ponts dstncts, B, C et D se succédant dans le sens trgonométrque sur un même cercle Sot S la smltude plane drecte de centre qu transforme C en D On désgne par E l'mage du pont B CB, DE = C, D a Montrer que ( ) ( )[ ] b Montrer que E est sur la drote (BD) Marquer le pont E sur la fgure On admettra que E est sur le segment [BD] c Montrer que D BC = DE C B, C = E, D a Montrer que ( ) ( )[ ] pus que D = C E B b Sot S la smltude drecte de centre qu transforme B en C Montrer que D est l'mage de E par cette smltude c Prouver que B CD= BE C Utlser ce qu précède pour démontrer la relaton : C BD= B CD+ D BC En dédure la formule d addton des snus D α E α O α C B Remarque : Cette relaton est connue sous le nom de théorème de Ptolémée Ptolémée état un mathématcen et astronome grec du II ème sècle après J-C ; l utlsat cette relaton pour calculer les longueurs des cordes d'arc de cercle, ancêtres de nos rapports trgonométrques Termnale S 54

55 64 Le théorème de Napoléon On consdère un trangle BC drect de centre de gravté O On construt les trangles équlatéraux CB, CB et BC tels que les ' C, ' B B', B' C C' B, C' angles ( ), ( ), ( ) aent pour mesure + On désgne par F, G et H les centres des trangles équlatéraux Le but de l exercce est de montrer de deux façons dfférentes que le trangle FGH est équlatéral drect a Sot R la rotaton de centre et d angle + Détermner R(C ) et R(C) En dédure que CC = BB et que ( C' C, BB' ) = ( ) b Montrer que HO= C ' C et OG= BB' c Montrer que OH = OG et ( OH, OG) = ( ) d En dédure que FGH est équlatéral drect de centre O On note R, R et R les rotatons d angle B' C + de centres respectfs F, G et H a Quelle est l mage de B par f = R o R o R? Détermner la nature de f b En dédure le centre et l angle de la rotaton R = R o R c On note S la réflexon d axe (GH) Détermner les axes des réflexons S et S telles que R =S o S et R =S o S Montrer que ces axes se coupent en F tel que F GH sot équlatéral drect d Montrer que F et F sont confondus et en dédure que FGH est équlatéral drect 65 Trangles équlatéraux Dans le plan orenté, on consdère un trangle équlatéral BC tel que ( B, C) G ' F = On désgne par r la rotaton de centre et d'angle, rb la rotaton de centre B et d'angle, rc la rotaton de centre C et d'angle et par D et E les ponts tels que : rb () = D et r C (D) = B Détermner la nature de r C o r B o r et précser la poston du pont E a Montrer qu'l exste une seule smltude plane drecte de rapport et d'angle qu transforme en B On nomme S cette smltude b Calculer le rapport BD E, BD En dédure S(E) Sot Ω le centre de la smltude S E, ans qu'une mesure de l'angle ( ) Montrer que Ω appartent aux cercles crconscrt aux trangles BC et DBE Construre Ω 4 a Démontrer que S transforme la drote (C) en (CB) b Démontrer que l'mage par S du cercle crconscrt au trangle CE est le cercle de damètre [BD] En dédure que l'mage de C par la smltude S est le pont I, mleu du segment [DE] H B C' Termnale S 55

56 66 Smltude Dans le plan orenté, on consdère un trangle rectangle socèle BC tel que B = C = l, où l est un réel fxe strctement postf et ( B, C) = ( ) On note D le symétrque de par rapport à B, O le mleu de [CD] et (Γ) le cercle de damètre [CD] Placer sur une fgure les ponts, B, C, D, O et (Γ) On désgne par s la smltude drecte qu transforme D en B et B en C et on se propose de détermner, par deux méthodes ndépendantes, les éléments caractérstques de s, notamment son centre I Méthode géométrque a Détermner le rapport k et l angle α de la smltude s ; en dédure l exstence de I b Montrer que ( ID, IC) = ( ) () et que IC = ID () c l ade de (), prouver que I appartent au cercle (Γ), pus, en utlsant (), prouver que ID = l Etablr enfn que BI = BC d Prouver que la drote (OB) est la médatrce de [IC] Précser la nature du quadrlatère CDI Placer le pont I Utlsaton des complexes On pose u= B et v= C l l z 0 l affxe de I a Détermner les affxes des ponts B, C et D et on consdère le repère orthonormal ( ; u, v) b Détermner l écrture complexe de la smltude s Détermner z 0 et précser la poston de I 67 Smltude Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( O;, j ), l'unté est le centmètre du plan complexe On note Sot BC un trangle drect dont le pont O est le centre du cercle crconscrt On désgne par M le mleu de [BC] ; N celu de [C] et P celu de [B] Les affxes respectves des ponts M, N et P sont notées m, n, p Dans cette queston m= et n = Construre les trangles BC et MNP On consdère la transformaton f du plan dans lu-même qu à chaque pont d'affxe z = x + y assoce le pont d'affxe z' = x' + y' telle que 4 e z' = ( z+ m+ n+ p ) Quelle est la nature de f? Donnez ses éléments caractérstques a, b, c désgnent les affxes respectves des ponts, B, C Montrez que MN = P En dédure que a = n + p m Exprmez de manère analogue b et c en foncton de m, n et p 4 On pose f() = ', f(b) = B', f(c) = C' On désgne par a', b' et c' les affxes de ', B' et C' Démontrez que : a' = (+) m, b' = (+) n, c' = (+) p En dédure que M ' et OM sont orthogonaux et que ' appartent à (BC) Montrez de même que B' appartent à (C) et que C' appartent à (B) 5 Montrez que les trangles MNP et 'B'C' sont drectement semblables (précsez le centre de la smltude drecte transformant le trangle MNP en 'B'C') 6 Construsez les ponts ', B' et C' sur la fgure du 68 Smltude et barycentre Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O; u, v) ; unté graphque : 5 cm, B et C désgnent les ponts d affxes respectves a, et On note g l applcaton du plan complexe dans lu-même qu à tout pont M d affxe z assoce le pont d affxe Termnale S 56

57 Termnale S 57 a+ z+ z z' = a tout pont M d affxe z, on fat correspondre M d affxe z On note M l sobarycentre des ponts, M et M Exprmer en foncton de z l affxe de M b Montrer que g(b) = O s et seulement s a = et que, dans ces condtons, les ponts O, et I sont algnés, I désgnant le mleu de [BC] Placer les ponts O,, B, C et I sur une fgure Dans la sute de l exercce on prendra a = a Prouver que g est une smltude drecte dont on détermnera le centre Ω, le rapport et l angle b Prouver que, B et Ω sont algnés a Détermner la mesure de l angle ( OB, OI) Montrer que l mage de la drote (OB) par g est la drote (OI) b Sot O l mage de O par g Montrer que la drote (OO ) est l mage par g de la drote (BO) c En dédure que les ponts I, O, O et sont algnés ΩB, ΩO' et montrer que les ponts I et Ω appartennent au cercle de damètre 4 Détermner l angle ( ) [BO ] En dédure une constructon géométrque de Ω 69 Réflexon - Rotaton Dans le plan rapporté à un repère orthonormal( O; u, v ), on consdère l applcaton f qu assoce au pont M d affxe z le pont M d affxe z tel que z' = z Montrer que f = R o S où S est la réflexon d axe ( O, u ) et R une rotaton dont on précsera les éléments En utlsant une décomposton de R en composée de deux réflexons, montrer que f est une réflexon dont on précsera l axe Sot g l applcaton du plan dans lu même qu au pont M d affxe z assoce le pont M d affxe z tel que a Caractérser l applcaton T telle que g = T o f z'' = z+ + b En dédure une constructon géométrque, pour tout pont M du plan, du pont M mage de M par g c Montrer que pour tout pont M du plan, le mleu du segment [MM ] appartent à une drote fxe 70 Barycentres+smltude Le plan P est rapporté au repère orthonormal drect(o; u, v) Lorsqu'un pont de P est désgné par une lettre majuscule (, B, G,, M, M, ), on convent de désgner son affxe complexe par la lettre mnuscule correspondante (a, b, g,, m, m, ) Sot, B, C tros ponts du plan P On note G leur sobarycentre À tout pont M du plan P on assoce les ponts M, M, M sobarycentres respectfs de {M, B, C}, {M,, C} et {M,, B} On note enfn M l'sobarycentre de {M, M, M ) a Tracer le trangle BC et son sobarycentre G sur une fgure Exprmer OG en foncton de O, OB et OC En dédure l'expresson de g en foncton de a, b, c b Exprmer de même m, m, m, pus m en foncton de a, b, c, m Sot f la transformaton qu, à tout pont M de P, assoce le pont M a Montrer que m g = (m g) b En dédure la nature de la transformaton f et ses éléments caractérstques c Placer sur la fgure l'mage B C du trangle BC par la transformaton f

58 d Détermner le rapport des ares de ces deux trangles 7 Lgne de nveau+smltude Dans le plan orenté, une unté étant chose, on consdère un rectangle BCD tel que B=, D= ; ( B, D) = ; I désgne le mleu de [B] Parte Sot (E) l ensemble des ponts M du plan tels que Vérfer que C et I appartennent à (E) Termnale S 58 MD MB = Détermner et construre l ensemble (E) (on pourra utlser les coordonnées (x, y) des ponts M ) En dédure que les drotes (BD) et (CI) sont perpendculares On note K leur pont d ntersecton Parte B Le plan est rapporté au repère orthonormal ( ; u, v) où u= B et v= D Sot S une smltude drecte qu, au pont M d affxe z fat correspondre le pont M d affxe z tel que z = az + b, a et b étant des nombres complexes avec a non nul Détermner a et b pour que S(D)=C et S(C)=B Sot T la smltude drecte qu, au pont d affxe z assoce le pont d affxe z tel que Détermner le rapport et l angle de T Détermner l mage de B par T 4 En dédure une autre justfcaton de l orthogonalté des drotes (BD) et (CI) 5 Quel est le centre de la smltude T? 7 Smltude et Bézout Le plan est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v), d unté graphque cm z' = z+ + Sot f la transformaton du plan qu à tout pont M d affxe z assoce le pont M d affxe z défne par : z' = (+ 4 ) z Quelle est la nature de f? Détermner ses éléments géométrques ; on donnera une valeur approchée d une mesure en radans de son angle à 0 près a Sot n un enter relatf, on consdère le pont d affxe ( n+ ) noté n Placer les ponts, 0, sur une fgure Calculer les affxes de leurs mages par f et placer les ponts correspondants b Montrer que tous les ponts n sont algnés Calculer la dstance n n+ a Démontrer que s M a des coordonnées entères, l en est de même pour f(m) b Tout pont du plan à coordonnées entères a-t-l un antécédent à coordonnées entères? 4 a Trouver les couples ( x, y ) d enters relatfs qu vérfent l équaton : x 4y= 4 b Détermner les valeurs de l enter relatf b pour lesquelles le pont M d affxe 4+ b possède un antécédent M par f à coordonnées entères 7 Sprale Sot le pont du plan complexe d affxe On complétera la fgure jonte au sujet et on la rendra avec la cope 9 On se donne les ponts B d affxe e 6 et C d affxe e Placer B et C sur la fgure Détermner les 4 6 valeurs de a et b complexes pour que la transformaton F défne par F(z)=az+b transforme en B et B en C Sot la transformaton f du plan complexe défne par

59 Termnale S 59 f : M( z) M'( z')/ z' = + z 8 8 Quelle est la nature de f? Précser ses éléments caractérstques On construt les ponts N k de la manère suvante : N 0 = et pour tout k, N k a pour affxe z k telle quezk+ = f( zk) Placer sur la fgure les pont N k, k Que peut-on dre de N? Quelle est la nature de la sute dk = ONk? Exprmer sous forme trgonométrque l affxe z k des ponts N k 4 Justfer que les trangles NkON k + sont tous semblables Quelle est la nature de la sute Dk = NkN k +? Donner son expresson en foncton de k et de D 0 ; exprmer en foncton de k et D 0 la somme Sn = D0 + D + + Dn où n est un enter quelconque 5 Donner une valeur approchée à 0 près de la longueur D0 = N0N, en dédure une valeur approchée à 0 près de la longueur de la lgne polygonale N0NN NN Quelle est la lmte de S n lorsque n tend vers l nfn? Quelle sgnfcaton concrète a cette lmte? bt t 6 On consdère mantenant les ponts P(t) du plan complexe d affxe u(t) défne par u( t) = e + où ln(/4) ln(/ 4) b= et t un réel quelconque Montrer que f( ut ( )) = ut ( + ) (on pourra se rappeler que = e ) / Rotaton et smltude Dans le plan orenté, on consdère un trangle équlatéral BC tel que( B, C) = On désgne par : r la rotaton de centre et d'angle ; rb la rotaton de centre B et d'angle ; rc la rotaton de centre C et d'angle et par D et E les ponts tels que : rb () = D et r C (D) = E Démontrer que r C r B r est la symétre centrale de centre B Précser alors la poston du pont E On admet qu'l exste une seule smltude plane drecte de rapport et d'angle qu transforme en B On nomme S cette smltude Calculer le rapport BD ans qu'une mesure de l'angle ( E, BD) En E dédure que S(E) = D Sot ω le centre de la smltude S Montrer que ω appartent aux cercles crconscrts aux trangles BC et DBE Construre ω 4 a Démontrer que S transforme la drote (C) en (CB) b Démontrer que l'mage par S du cercle crconscrt au trangle CE est le cercle de damètre [BD] En dédure que l'mage de C par la smltude S est le pont I, mleu du segment [DE] 75 Cercle et smltude Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) Cet exercce propose l'étude de l'ensemble (C) des ponts M du plan dont les affxes vérfent : Premère méthode ( + ) z + + z 6 = 54 a En posant z = x + y, donner une équaton cartésenne de (C) b En dédure la nature de (C) c Construre (C) Deuxème méthode On désgne par s la smltude qu, au pont M d'affxe z, assoce le pont M = s(m) d'affxe z = ( + ) z +

60 et on désgne par t la translaton qu, au pont M d'affxe z, assoce le pont M = t(m) d'affxe z = z 6 a Caractérser géométrquement ces deux transformatons b Détermner les antécédents respectfs S et T de O par s et t SM c Calculer le rapport OM pus le rapport TM OM d En dédure que (C) est la lgne de nveau défne par : SM + TM = 54 e Calculer l'affxe du barycentre G du système {(S, ), (T, )} f Montrer que l'ensemble (C) est défn par MG = 8 g En dédure la nature et les éléments qu détermnent (C) 76 Smltude ndrecte (c) Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé ( O; u, v) L unté graphque est 4 cm On consdère les ponts,b,c et D d affxes respectves : a = ; b= e ; c= + ; d= e 6 a Donner la forme exponentelle de c et la forme algébrque de d b Représenter les ponts, B, C et D Détermner l'angle θ et le rapport k de la smltude plane drecte s de centre O qu transforme en C On note F et G les mages par la smltude drecte s des ponts D et C respectvement Montrer que les ponts F, C et G sont algnés 4 On consdère la transformaton ϕ qu, à tout pont M d affxe z, assoce le pont M' d'affxe z' telle que : z' = e z+ + Pour toute drote δ du plan, on notera σ δ, la réflexon d'axe δ a Sot r la transformaton qu, à tout pont M d'affxe z, assoce le pont M d'affxe z' telle que : ' z = e z + + Détermner la nature de r et donner ses éléments caractérstques Exprmer r sous sa forme complexe smplfée en fasant apparaître l'affxe de son centre b Exprmer ϕ sous la forme d'une composée de deux transformatons que l'on détermnera c Détermner deux ponts nvarants de ϕ et en dédure la nature de ϕ d Détermner graphquement ϕ (C) Correcton 9 a c= + c = + = c= e = + = 6 c d e = = cos( ) + sn( ) d= = = Termnale S 60

61 G B C O F D On a s(o) = O et s() = C s est de la forme z' = mz + p En remplaçant : O, de rapport et d'angle 6 0= m 0+ p p= 0 e = m + 0 m= e 6 6 Les ponts F, G et C sont algnés, s et seulement s l'angle ( ; ) zc z s arg zg z zc F F zc z = k ou s zg z F F est un nombre réel donc s de la forme : ' z = e 6z s est une SD de centre FG FC = k avec k relatf, autrement dt, = + ; z ' F = zd = e zd = e e = et 6 zg = zc ' = e zc = e = + On remarque que les ponts F, C et G ont même abscsse, donc ls sont tous sur la drote d'équaton Dans le cas où on ne s'en serat pas aperçu, on contnue et on a : ponts F, G et C sont donc algnés zc z z z G F F x= + = = = Les + 4a r: z z ' = e z + + Cherchons un éventuel pont nvarant : ω nvarant par r s et seulement s : ω = e ω+ + ω = ω+ + ω + + = + ω + = + ω = = z r est donc la rotaton de centre, d'angle Sa forme complexe est z ' e ( z ) = Termnale S 6

62 σ( O) 4b Il est clar que ϕ est de la forme : ϕ : z z = z z', on a donc ϕ = r σ( O) où σ ( O) est la réflexon d'axe (O) 4c Il est clar que est nvarant par σ ( O) et par r, donc par ϕ Calculons ϕ (B): ' B B B z = e z + + = e e + + = e + + = + + = + = z et B sont nvarants par ϕ, qu admet donc au mons deux ponts nvarants, d'après le cours, ϕ est sot l'dentté (ce qu n'est pas le cas), sot une réflexon En l'occurrence, c'est la réflexon d'axe (B) Graphquement, ϕ (C) = O r Termnale S 6