PARTIE 2 ÉLECTROSTATIQUE

Transcription

1 55 PARTI ÉLCTRTATIU

2 56 GB Intéêt d théème de Gass : Pemet de détemine en tt pint, le champ céé pa des distibtins de chages pésentant des syméties Remaqe : i la distibtin de chages ne pésente pas de symétie, n dit se cntente d pincipe de spepsitin 4/ Pemittivité d vide. Unité atinalisée Angle slide Ω pa appt à 4π (angle slide leqel n vit ne sface femée) : dφ K q dω devient dφ q dω avec 4π K 4 π Ω 4π Intdctin de pemittivité d vide ystème d nité atinalisé : C 36 π0 /Nm ( 8, C N - m - ) 9

3 57 GB 5/ Fme lcale d théème de Gass (Relatin lcale ente et ) Distibtin vlmiqe de chages dans n dmaine D enté pa la sface Φ.ds D dτ Théème de Gass ss sa fme intégale dans le cas paticlie d n dmaine enfemant n ensemble de chages libes placées dans le vide M dτ D V L intégale s D pet s étende a vlme V enfemé pa Théème de la divegence :.ds V div dτ dτ V div Fme lcale d théème de Gass dans le vide

4 58 GB 6/ Électstatiqe dans les diélectiqes a Miliex cndctes et miliex diélectiqes Matièe : assemblage d atmes cmpsés de paticles électisées (nyax, électns) Dex cas : s l actin d n champ électstatiqe : des électns (de cndctin) ciclent à taves les atmes. C est le phénmène de cndctin. Il s agit d n cndcte Les électns estent liés ax nyax (fce de appel atmiqe) n pésence d n champ extéie cente de gavité des chages + n est pls cnfnd avec celi des chages céatin de dipôles : les atmes mlécles se plaisent. C est la plaisatin. Il s agit d n milie islant diélectiqe +- RMARU : Des diélectiqes cmme l ea pésentent cette caactéistiqe en absence de champ électstatiqe Ce snt des diélectiqes plaies

5 59 GB b Champ indit Indctin électiqe Dmaine diélectiqe D cmptant des chages libes de densité céent n champ et va cée n champ indit i i +- champ électstatiqe ésltant + i Tt se passe cmme si des chages de densité vlmiqe p nt céé Densité ésltante de chages : + p i div ( + p ) Intdctin d vecte plaisatin électiqe p tel qe p divp div Ε + p Indctin électiqe D + p (electic displacement) théème de Gass : divd D cntine à véifie le théème de Gass dans les diélectiqes plaisés als qe cela n est pls le cas p Intéêt essentiel de D

6 60 GB c Diélectiqe linéaie pafait Vecte plaisatin pptinnel a vecte champ électstatiqe n écit : p χε χ cnstante > 0 (sans dimensin) : ssceptibilité d diélectiqe div Ε + p div Ε + χ div ( +χ) +χ (ts les dipôles snt //) : pemittivité elative d milie diélectiqe : pemittivité absle d milie. ( >) Cas d diélectiqe pafait : div RMARU : Dans le vide (et dans les matéiax qi ne se plaisent pas) : p 0 χ 0 Théème de Gass ss sa fme intégale Φ ds V dτ

7 6 GB d Éqatins fndamentales de l électstatiqe dans les diélectiqes Champ électstatiqe déive d ptentiel : gadv éqivalent à t 0 div div gadv div gadv : laplacien de V, nté V V + 0 qatin de Pissn (imén Denis Pissn, ) gadv Dex gpes d éqatins éqivalentes : div t 0 V n absence de chages libes : gadv div 0 t 0 V 0 (éqatin de Laplace) - xactement mêmes éqatins qe celles "l électstatiqe d vide" à cnditin de emplace pa

8 6 GB 7/ xemples d applicatin d théème de Gass a Chage pnctelle placée dans le vide it ne chage pnctelle > 0 Invaiance : pa tatin at d cente champ électstatiqe ne dépend qe de (distance à ) yméties : tt plan passant pa est plan de symétie x ( ) ϕ z θ M ϕ θ y à ts ces plans à la fis adial et s éligne de ( > 0) ( ) (() > 0) Chix de la sface femée : symétie sphéiqe sphèe cente, ayn Th. de Gass : d Φ d femée ( ) d et 4 π 4π 4π d P + P d

9 63 GB b Distibtin nifme de chages pésentant ne symétie sphéiqe Ble hmgène ayn R et sit ne chage < 0 Invaiance : pa tatin at d cente champ électstatiqe ne dépend qe de (distance à ) yméties : tt plan passant pa est plan de symétie ( ) à ts ces plans à la fis adial et cnvege ves ( < 0) ( ) Chix de la sface femée : symétie sphéiqe sphèe cente, ayn (() > 0) Champ à l extéie de la ble chagée (cas > R) : ( ) Th. de Gass : Φfemée qint d d Résltat identiqe à celi bten p ne chage cncentée en d 4 et π 4π 4π M P d P + P d

10 64 GB A l intéie de la ble de chage (cas < R ) Th. de Gass : int 4 π R 4π 4 π 3 3 int Φ femée ( ) int ( < 0 : densité vlmiqe de chages) 3 n a tjs : sphèe de ayn < R ( ) ( ) int : chage de la ble de ayn (intéiee à ) R

11 65 GB c Distibtin nifme de chages pésentant ne symétie cylindiqe Cylinde t lng, chagé en sface avec λ : chage pa nité de lnge Invaiances Dans ne tatin θ at de l axe z z Dans ne tanslatin sivant z z (cylinde t lng) Cdnnées cylindiqes (, θ, z) Champ indépendant de θ et z ne dépend qe de (distance à z z) ( ) Plans de symétie Plans z z (cylinde t lng) Plans passant pa z z à ts ces plans à z z i chages > 0 s éligne de z z Chix de la sface femée : symétie cylindiqe cylinde femé (hate L, axe z z, ayn ) Th. de Gass Φ ( ) int π L ( ) xtéie d cylinde chagé ( > R, int λl chage enfemée dans ) int d d + d bases lat A l extéie d cylinde cex chagé, la nme d champ vaie en / λ π

12 66 GB A l intéie d cylinde chagé ( < R ) n a tjs ( ) ( ) Th. de Gass : Φ ( ) 0 π L 0 : cylinde femé, ayn < R, hate L Chage de ce cylinde de ayn 0 λ πr int 0 R R

13 67 GB d Plan infini chagé avec ne densité sfaciqe σ (plan xy) Invaiances ne dépend qe de z Dans ne tanslatin sivant x Dans ne tanslatin sivant y Cdnnées catésiennes (x, y, z) indépendant de x et y ( z) Plans de symétie : Plans xy à ts les plans xy xy x Chix de la sface femée : cylinde femé (axe z z, sface de base ) ( ) Th. de Gass Φ ( σ : chage enfemée dans ) σ σ d d + d bases lat σ σ z si z > 0 z si z < 0 Champ nifme x z z z y i z > 0 i z < 0 (plan ) M y x y ( z) z ( z) z ds Σ base Σ base ds i σ > 0 s éligne de xy (z) > 0