Intégrales dépendant d un paramètre

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1 Intégrles dépendnt d un prmètre Très souvent, l solution d une éqution différentielle boutit u clcul d une primitive : F() = f (, t) dt. Dns de nombreu cs, il n y ps de forme eplicite pour cette primitive et il fut donc étudier l fonction F() telle qu elle nous est donnée, c est-à-dire sous l forme d une intégrle, qui dépend du prmètre. Dns ce chpitre nous donnons des conditions fin que cette fonction F() soit continue et dérivble. Le point-clé des démonstrtions ser l continuité uniforme. Nous ppliquons ces méthodes à l trnsformtion de Lplce et à celle de Fourier. Ne vous lncez ps dns ce chpitre sns de solides bses d nlyse : révisez les chpitres sur les limites, l continuité, l dérivbilité, et l intégrtion.. Continuité et dérivbilité d une intégrle dépendnt d un prmètre.. Fonction définie pr une intégrle Soit f : (, t) f (, t) une fonction de deu vribles, et t. Nous considérons comme un prmètre et t [, b] comme une vrible d intégrtion. Cel nous permet de définir F() = f (, t) dt. Un étnt fié, pour que F() eiste, il suffit que l ppliction prtielle t f (, t) soit continue sur [, b]. Mis ceci ne grntit ps l continuité de l fonction F. Nous donnons des conditions suffisntes pour que F soit continue, puis dérivble... Continuité Théorème. Soient I un intervlle de et J = [, b] un intervlle fermé borné. Soit f une fonction continue sur I J à vleurs dns (ou ). Alors l fonction F définie pour tout I pr est continue sur I. Eemple. Soit F() = F() = π f (, t) dt sin( + t) e t dt, définie pour I =. L fonction (, t) f (, t) = sin( + t) e t est continue sur [, π], donc l fonction F() est continue sur.

2 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE On clcule que F() = π π sin(t) dt = cos(t) =. Même si on n ps de formule pour F() en générl, on déduit de l continuité que F() F() = lorsque. Les démonstrtions de cette section utilisent l continuité uniforme, qui fit l objet de l section suivnte. Démonstrtion. Soit un point de I. Quitte à restreindre l intervlle en considérnt I [, + ], on suppose que I est un intervlle fermé borné. Le théorème de Heine (théorème 6) s pplique lors à l fonction f sur I J : elle est donc uniformément continue. En prticulier, pour tout ε >, il eiste δ > tel que, pour tout t J, < δ = f (, t) f (, t) ε b. Dns ce cs, F() F( ) = f (, t) f (, t) dt Donc F est continue en. f (, t) f (, t) dt ε (b ) b = ε..3. Dérivbilité Théorème. Soient I un intervlle de et J = [, b] un intervlle fermé borné. On suppose que : (, t) f (, t) est une fonction continue sur I J (à vleurs dns ou ), l dérivée prtielle (, t) f (, t) eiste et est continue sur I J. Alors l fonction F définie pour tout I pr F() = F () = f (, t) dt est de clsse sur I et : f (, t) dt. On peut retenir l brévition mnémotechnique d interversion dérivée/intégrle : d d = Eemple. Étudions F() = dt +t pour ], + [. Posons f (, t) = +t. Alors : f est continue sur ], + [ [, ], (, t) = ( +t ) est continue sur ], + [ [, ]. On ur donc F () = ( + t ) dt. Pour cet eemple on peut clculer eplicitement F() : F() = dt + t = rctn t t= = t= rctn. F () = d d rctn = rctn 3 +. Ce qui prouve ( + t ) dt = rctn ( + ). f

3 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 3 Démonstrtion. Soit I. Pour simplifier l écriture nous supposerons que n est ps une etrémité de I. Nous devons démontrer que, pour tout ε >, il eiste δ > tel que, pour tout [ δ, + δ] et : b F() F( ) f (, t) dt ε. Écrivons : F() F( ) ( ) f (, t) dt = f (, t) f (, t) ( ) f (, t) f (, t) f (, t) ( ) f (, t) dt. Pr le théorème des ccroissements finis, pour tout t [, b], il eiste strictement compris entre et tel que f (, t) f (, t) = ( ) f (, t). Fions > tel que [, + ] soit inclus dns I : l dérivée prtielle f / est uniformément continue sur [, + ] [, b], d près le théorème de Heine (théorème 6). Il eiste donc δ > tel que, pour tout vérifint < δ et pour tout t [, b], f f (, t) (, t) < ε b. Si < δ, lors tout strictement compris entre et est encore tel que < δ, donc : f (, t) f (, t) < En reportnt dns l epression ci-dessus, on obtient : f (, t) f (, t) ( ) f (, t) = ε b. ( ) f (, t) ( ) f (, t) ε b. Il reste à intégrer pr rpport à t entre et b : b F() F( f ) ( ) (, t) dt ε b dt = ε, d où le résultt en divisnt pr. Eemple 3. Clculons l intégrle de Guss : dt π e t dt = e t Posons, pour I = [, + [ : F() =. Étude de F(). e (t +) t + En posnt f (, t) = e (t +) t +, on note que : f est une fonction continue sur [, + [ [, ], f (, t) = e (t +) est ussi continue. Donc, pr le théorème, F est continue, dérivble et F () = dt G() = e dt t H() = F() + G() f (, t) dt = e (t +) dt = e e t dt.

4 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 4. Étude de G(). G n est ps à proprement prler une intégrle dépendnt d un prmètre. Si on note G () = e t dt, G est simplement une primitive de e et G() = G (). Comme G () = e (l dérivée d une primitive est l fonction elle-même), on : G () = d G () = G d ()G () = e e t dt = e e u du Pour l dernière églité, on posé le chngement de vrible t = u (et donc dt = du, u = t et u vrie de à lorsque t vrie de à ). 3. Étude de H(). Pr nos clculs précédents, on trouve H () = F () + G () =, pour tout [, + [. Cel veut dire que l fonction H est une fonction constnte. Or H() = F() + G() = t + dt + = rctn t = π 4. Donc H est l fonction constnte égle à π Limite de H() en +. Lorsque +, lors G() Et F() cr F() = Donc H() = F() + G() 5. Conclusion. e (t +) t + e t dt. e t dt. dt e dt = e dt = e. H est une fonction constnte : H() = π 4, s limite en + est donc ussi π 4. Mis on clculé cette limite d une utre fçon, ce qui prouve : π π e t dt = 4 =.4. Théorème de Fubini Théorème 3 (Théorème de Fubini). Soient I = [, β] et J = [, b] deu intervlles fermés bornés. Soit f une fonction continue sur I J, à vleurs dns (ou ). Alors l fonction F définie pour tout I pr est intégrble sur I et β F() d = β F() = f (, t) dt f (, t) dt d = On retient que l on peut intervertir l ordre d intégrtion : β = β β f (, t) d dt. Géométriquement, on se souvient que clculer une intégrle f (t) dt revient à déterminer l ire sous le grphe, comme somme de segments de huteur f (t). Ces segments sont en fit des rectngles de lrgeur infinitésimle dt.

5 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 5 t t b β b β Ici, pour nos fonctions de deu vribles, on clcule d bord l ire d une trnche prllèle à l e des t (en vert sur l figure), puis on fit l somme (c est-à-dire on effectue une seconde intégrtion) des ires de toutes les trnches (qui ont en fit une épisseur infinitésimle). On pourrit fire l même opértion en commençnt pr les trnches prllèles à l e des (en rouge sur l figure). Le théorème de Fubini ffirme que ces deu méthodes conduisent à l même vleur. Ce nombre correspond u volume sous l portion de surfce. Eemple 4. Clculons : I = π (t sin + ) dt d Première méthode. On intègre d bord pr rpport à t, puis à : I = = =π t= = =π = t= sin + (t sin + ) dt d = =π = t cos d = + =π = = π + sin + t t= t= d Seconde méthode. On utilise le théorème de Fubini qui ffirme que l on peut d bord intégrer pr rpport à, puis pr rpport à t : I = = =π t= = t= t= t= (t sin + ) dt t cos + =π dt = = d = t= t= t= =π t= = (t + π ) dt = (t sin + ) d dt t= t + π t = t= π + pr Fubini Démonstrtion. Pr le théorème, l fonction F est continue sur I, donc intégrble. Pour I, considérons l fonction : ϕ(, t) = f (y, t) dy. C est une fonction continue sur I J. (Pour le prouver considérer ϕ(, t) ϕ(, t ) = f (y, t) d y + f (y, t) f (y, t ) dy. Le premier terme est petit pour proche de cr f est bornée ; le second est petit pr continuité uniforme de f, ectement comme dns l preuve théorème du.) L dérivée prtielle pr rpport à de ϕ(, t) est ϕ (, t) = f (, t), qui est elle ussi continue sur I J. On peut donc lui ppliquer le théorème. L fonction qui à ssocie Φ() = ϕ(, t) dt = f (y, t) dy est dérivble et s dérivée est : Φ ϕ () = (, t) dt = f (, t) dt. On obtient donc, pour tout I : f (y, t) dy dt = Φ() = Φ (y) d y = f (y, t) dt dy. D où le résultt en prennt = β. dt

6 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE. CONTINUITÉ ET DÉRIVABILITÉ D UNE INTÉGRALE DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 6.5. Bornes qui vrient Une ctégorie un peu différente d intégrles est lorsque ce sont les bornes qui sont les prmètres de l fonction : où u, v sont des fonctions de. G() = v() u() f (t) dt Théorème 4. Soit f une fonction continue sur un intervlle [, b] à vleurs dns (ou ). Soient I un intervlle de et u, v : I [, b] deu fonctions de clsse. Alors l fonction G définie sur l intervlle I pr est de clsse et Eemple 5. Clculons l dérivée de G() = v() u() f (t) dt G () = v ()f v() u ()f u(). dt G() = ln t pour >. Pour ppliquer le théorème 4, on se restreint à un intervlle [, b] tel que, pour fié, [, b] ], + [. Avec f (t) = ln t, u() =, v() =, on : G () = v () f v() u () f u() = ln( ) ln = ln Le plus simple n est ps d pprendre l formule mis de refire le clcul à chque fois, cr ce clcul est juste l dérivée d une composition. Démonstrtion. Considérons d bord l fonction H définie pr H() = Cette fonction H est l composée de deu fonctions : où F est l primitive v() f (t) dt. H() = F v() = (F v)() F() = f (t) dt. Comme F et v sont de clsse lors H est de clsse et pr l formule de dérivée d une composition : Mis comme F () = f () lors Si on fit le même clcul pour K() = u() Finlement donc G() = v() u() f (t) dt = H () = v () F v(). H () = v ()f v(). f (t) dt, on trouve K () = u ()f u(). u() f (t) dt + v() f (t) dt = K() + H(), G () = K () + H () = u ()f u() + v ()f v(). Mini-eercices.. Soit F() = cos( πt) dt définie pour [, π]. F est-elle continue? Dérivble? Si oui, que vut s dérivée? Clculer π F() d de deu fçons différentes.. Soit F() = et sin dt définie pour. F est-elle continue? Dérivble? Si oui, que vut s dérivée? Que vlent les limites lim F() et lim F ()? Retrouver ces résultts en clculnt une epression eplicite de F().

7 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE. CONTINUITÉ UNIFORME 7 3. Clculer le volume sous l portion de surfce sous le grphe de f (, y) = + y + y + [, ] [, 3]. pour (, y) 4. Soit f (t) = sin t t. Justifier que f peut être prolongée en une fonction continue en. Soit F() = 3 définie pour [, + [. Clculer F() et F (). En déduire le signe de F() pour proche de. sin t t dt. Continuité uniforme Cette section pour but de détiller les outils qui ont servi u preuves de l section précédente et peut être éludée lors d une première lecture. Le résultt principl est le théorème de Heine qui ffirme que toute fonction continue sur un intervlle fermé borné est uniformément continue... Fonctions d une vrible L continuité uniforme est une notion plus forte que l continuité. On peut dire que l continuité uniforme est à l continuité ce que l convergence uniforme est à l convergence simple. Définition. Soient I un intervlle de et f une fonction définie sur I, à vleurs dns (ou ).. On dit que f est continue sur I si I ε > δ > I δ = f () f ( ) ε.. On dit que f est uniformément continue sur I si ε > δ > I I δ = f () f ( ) ε. y f ( ) ε ε δ Rppelons que δ équivut à [ δ, + δ]. Évidemment, l continuité uniforme implique l continuité, mis l réciproque est fusse en générl. L différence entre les deu est subtile. Dns l continuité simple, l vleur de δ peut dépendre non seulement de ε mis ussi de. Dns l continuité uniforme, elle ne peut dépendre que de ε : pour un ε donné, on peut choisir le même δ pour tous les points de l intervlle... Théorème de Heine Théorème 5 (Théorème de Heine). Toute fonction continue sur un intervlle fermé borné est uniformément continue. L démonstrtion est reportée en fin de section. Comme pplictions immédites : L fonction est uniformément continue sur [, ].

8 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE. CONTINUITÉ UNIFORME 8 L fonction / est uniformément continue sur tout intervlle du type [ε, ] (vec < ε < ). Pour bien comprendre l subtilité de l continuité uniforme, nous llons reprendre ces deu eemples à l min. Nous llons vérifier que est uniformément continue sur [, ], mis nous commençons pr prouver que sur l intervlle ], ] (qui n est ps fermé borné) l fonction / n est ps uniformément continue. Eemple 6. Eminons l fonction inverse sur I =], ] : f : ], ] f () = Soit ], ] ( joue ici le rôle de dns l définition de l continuité uniforme) et soit < ε <. L imge réciproque pr f de l intervlle f () ε, f () + ε est l intervlle : f f () ε, f () + ε = y f () + ε, f () ε = δ, + µ f () + ε f () f () ε δ + µ où l on posé δ = f () + ε = + ε = ε + ε et µ = f () ε = ε = ε ε. Notons que δ < µ. Ainsi [ δ, + δ ] est le plus grnd intervlle symétrique dont l imge pr f est contenu dns [f () ε, f () + ε]. Observons que, pour ε > fié, δ tend vers lorsque tend vers. Bien sûr, pour n importe quel δ < δ, l impliction δ = f ( ) f () ε reste vrie. Mis il n est ps possible de choisir un même δ > tel que cette impliction reste vrie pour tous les de ], ]. En effet un tel δ devrit être inférieur à tous les δ, mis ceu-ci tendent vers. Conclusion : l fonction f n est ps uniformément continue sur ], ]. Eemple 7. Eminons mintennt l fonction rcine crrée sur l intervlle I = [, ] : f : [, ] f () = Soient [, ] et < ε <. Cs ε < f (). L imge réciproque pr f de l intervlle f () ε, f () + ε est l intervlle : f f () ε, f () + ε = ( ε), ( + ε) = (ε ε ), + (ε + ε ) Cs ε f (). On : f f () ε, f () + ε =, ( + ε) =, + (ε + ε ) L longueur de ces intervlles dépend de à priori. Posons δ = ε. Nous llons cependnt démontrer que, pour tous, [, ], si < δ, lors f ( ) f () ε, ce qui entrîner que f est uniformément continue sur I. Supposons d bord ε <. Alors ε + ε > ε ε > ε = δ. Donc l intervlle f f () ε, f () + ε contient l intervlle [ δ, + δ] : si vérifie < δ, lors f ( ) f () ε.

9 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE. CONTINUITÉ UNIFORME 9 Supposons mintennt ε. Si + δ, lors + (ε + ε ), donc ε : si < δ, lors f ( ) f () ε. Conclusion : l fonction f est uniformément continue sur [, ]. Bien sûr, c est ussi une conséquence immédite du théorème de Heine ; ce que l on ggné en plus ici, c est une vleur eplicite pour δ : δ = ε, qui dépend du choi de ε, mis, comme on le souhitit, ps du point [, ]. y y + ε + ε ε ( ε) ( + ε) ( + ε).3. Fonctions de plusieurs vribles L continuité uniforme est une notion générle. Vous urez noté que nous en vons eu besoin dns l section précédente pour des fonctions de deu vribles. Définition. Soient I et J deu intervlles de et f : (, t) f (, t) une fonction définie sur I J, à vleurs dns (ou ).. On dit que f est continue sur I J si (, t ) I J ε > δ > (, t) I J (, t) [ δ, + δ] [t δ, t + δ] = f (, t) f (, t ) ε.. On dit que f est uniformément continue sur I J si ε > δ > (, t ) I J (, t) I J (, t) [ δ, + δ] [t δ, t + δ] = f (, t) f (, t ) ε. t t + δ t (, t ) t δ δ + δ Attention, il ne suffit ps que les pplictions prtielles f (, t) et t f (, t) soient continues sur I et J respectivement pour que f soit continue sur I J.

10 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE. CONTINUITÉ UNIFORME Théorème 6. Soient I et J deu intervlles fermés bornés de et f : (, t) f (, t) une fonction continue sur I J, à vleurs dns (ou ). Alors f est uniformément continue sur I J..4. Démonstrtion du théorème de Heine Nous commençons pr rppeler le théorème de Bolzno-Weierstrss (voir le chpitre «Suites»), dont une vrinte est le lemme de Borel-Lebesgue. Les deu sont des cs prticuliers de résultts de topologie beucoup plus généru que vous pprendrez plus trd. Théorème 7 (Théorème de Bolzno-Weierstrss). Toute suite bornée de réels dmet une sous-suite convergente. Le lemme de Borel-Lebesgue ffirme que, de tout recouvrement d un intervlle [, b] fermé borné pr des intervlles ouverts, on peut etrire un sous-recouvrement fini. Lemme (Lemme de Borel-Lebesgue). Soit [, b] un intervlle fermé borné de. Étnt donné pour chque [, b] un intervlle ouvert I tel que I, il eiste un nombre fini de points,..., m [, b] tels que m [, b] I i. i= I I 3 I I n 3 n b Démonstrtion. L première étpe consiste à montrer que, pour un certin entier n, tout intervlle de l forme y n, y + n est inclus dns u moins l un des I : n y [, b] [, b] y n, y + n I Supposons pr l bsurde que cette ffirmtion soit fusse. C est-à-dire, supposons que s négtion soit vrie : n y [, b] [, b] y n, y + n I Pour chque n, soit y n [, b] l un des y dont l eistence est ffirmée ci-dessus. Pr le théorème de Bolzno- Weierstrss, on peut etrire de l suite (y n ) une sous-suite (y φ(k) ), qui converge vers c [, b]. En prticulier, ucun des intervlles y φ(k) φ(k), y φ(k) + φ(k) n est inclus dns Ic, ce qui est impossible, cr c est l limite de (y φ(k) ). En utilisnt l première étpe, nous llons démontrer le lemme pr l bsurde : nous supposons donc qu ucune réunion finie des intervlles I ne recouvre [, b]. Fions un entier n dont l eistence est ffirmée ci-dessus. Soit y un point de [, b]. Il eiste tel que y n, y + n I. Comme I ne recouvre ps [, b], il eiste un point y de [, b] qui n pprtient ps à I. Ce point est à distnce u moins n de y. Il eiste un point tel que y n, y + n I. L réunion I I ne recouvre ps [, b]. Donc il eiste y 3 en dehors de cette réunion : y 3 est à distnce u moins n de y et de y. Pr récurrence, on construit insi une suite (y k ) de points de [, b] telle que deu quelconques de ses éléments sont à distnce u moins n. En ppliqunt une fois de plus le théorème de Bolzno-Weierstrss, une sous-suite de (y k ) devrit converger, ce qui n est ps possible. D où l contrdiction. du théorème 5. Soient [, b] un intervlle fermé borné et f une fonction continue sur [, b]. Soit ε >. Puisque f est continue, pour tout [, b], il eiste un réel strictement positif, que nous noterons δ, tel que, pour tout [, b], δ = f ( ) f () ε. Pour chque, considérons l intervlle ouvert I = δ, + δ. Pr le lemme de Borel-Lebesgue, on peut etrire de cette fmille d intervlles ouverts un sous-recouvrement fini de [, b] : m,..., m [, b] [, b] I i i=

11 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 3. INTÉGRALES IMPROPRES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE δ i On note δ = min i=,...,m. Si δ, lors d une prt il eiste i {,..., m} tel que I i ; donc i < δ i δ i. D utre prt i + i δ + δ i δ i. Ainsi lorsque δ, f ( ) f () f ( ) f ( i ) + f (i ) f () ε + ε = ε, pr définition de δ i. Ce qui prouve l continuité uniforme de f. Nous omettons l démonstrtion du théorème 6, qui repose sur le théorème 5. Mini-eercices.. Trouver une constnte eplicite δ (en fonction de ε) qui ssure l uniforme continuité de l fonction sur l intervlle [, ].. Même question vec sur l intervlle [, ]. 3. Montrer que l ppliction sin est uniformément continue sur ], π]. 4. Montrer que si f : I est k-lipschitzienne (il eiste k tel que f () f (y) k y pour tous, y I) lors f est uniformément continue sur I. 5. Montrer que l fonction sin est uniformément continue sur. (On pourr utiliser le théorème des ccroissements finis.) 3. Intégrles impropres dépendnt d un prmètre 3.. Fonction définie pr une intégrle impropre Comme si cel ne suffisit ps, nous vons encore une difficulté à jouter : que se psse-t-il si l intégrle définissnt une fonction est prise sur un intervlle infini, ou bien si l fonction à intégrer tend vers l infini en un point? L convergence d une intégrle s étudie en isolnt les problèmes. Chque type de problème peut ensuite se rmener pr un chngement de vrible u cs d une intégrle sur [, + [. Afin de ne ps lourdir les nottions, nous nous limiterons à ce dernier cs. Soit f : (, t) f (, t) une fonction définie sur I [, + [, où I est un intervlle de. Supposons que l intégrle de l ppliction prtielle t f (, t) soit convergente sur [, + [. Nous souhitons étudier l fonction qui à I ssocie F() = f (, t) dt. Comme vous le svez, une intégrle convergente est définie comme une limite d intégrles sur des intervlles bornés. Posons F A () = A f (, t) dt, d où F() = lim A + F A(). Les résultts des sections précédentes donnent des conditions sous lesquelles F A () est continue et dérivble pour A fié. Pour psser à l limite qund A tend vers l infini, nous llons jouter une hypothèse dite de convergence dominée. 3.. Convergence dominée Définition 3. Soit f : I [, + [ une fonction continue à vleurs dns (ou ). On dit que (, t) f (, t) vérifie l hypothèse de convergence dominée s il eiste g : [, + [ telle que :. l intégrle. et telle que g(t) dt soit convergente, t [, + [ I f (, t) g(t). Remrque.. Noter que g est nécessirement à vleurs positives, donc g(t) dt est en fit bsolument convergente.. Dns le cs de convergence dominée, pour chque I, l intégrle F() = f (, t) dt est donc ussi bsolument convergente.

12 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 3. INTÉGRALES IMPROPRES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 3. Il eiste une hypothèse plus fible qui implique l convergence dominée et permet ussi d énoncer les résultts suivnts : c est l convergence uniforme de (F A ) vers F, mis nous n en prlerons ps ici. Eemple 8. sin +sin t Soit f (, t) = + +t. Alors f vérifie l hypothèse de convergence dominée sur I = cr f (, t) sin + sin t = + + t + t = g(t) vec 3.3. Continuité g(t) dt qui converge. Sous l hypothèse de convergence dominée, les résultts sont bien ceu que vous ttendez. Théorème 8. Soient I un intervlle de et J = [, + [. Soit f une fonction continue sur I J à vleurs dns (ou ) et qui vérifie l hypothèse de convergence dominée. Alors l fonction F définie pour tout I pr est continue sur I. F() = Démonstrtion. Fions ε >. Comme l intégrle Fions un tel A. Cel implique que, pour tout I : F() FA () = A f (, t) dt f (, t) dt g(t) dt converge, lors il eiste A > tel que A A + f (, t) dt g(t) dt ε A g(t) dt ε. L fonction F A () = A f (, t) dt est une fonction définie pr une intégrle sur l intervlle fermé borné [, A], donc pr le théorème, l fonction F A () est continue. Fions. Il eiste donc δ > tel que pour δ on it FA () F A ( ) ε. Pour conclure : Ce qui prouve l continuité de F. F() F( ) F() FA () + FA () F A ( ) + FA ( ) F( ) 3ε 3.4. Dérivbilité Théorème 9. Soient I un intervlle de et J = [, + [. On suppose que : (, t) f (, t) est une fonction continue sur I J (à vleurs dns ou ). l dérivée prtielle (, t) f (, t) eiste, est continue sur I J et vérifie l hypothèse de convergence dominée. Alors l fonction F, définie pour tout I pr F() = F () = f (, t) dt, est de clsse sur I et : f (, t) dt. L preuve est similire à celle du théorème, en l modifint comme pour le théorème 8. Eemple 9. Clculons, pour, F() = cos( t)e t dt.. F est continue. Soit f (, t) = cos( t)e t définie et continue sur I J = [, + [. On f (, t) e t. Or e t dt converge. Donc, vec g(t) = e t, on vient de prouver que f vérifie l hypothèse de convergence dominée. Ainsi, pr le théorème 8, l fonction F() est continue sur.

13 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 3. INTÉGRALES IMPROPRES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 3. Dérivée de F. On f (, t) = t sin(t )e t. Avec cette fois g(t) = te t (dont l intégrle g(t) dt converge), on sit que f est continue et vérifie l hypothèse de convergence dominée. Pr le théorème 9, on obtient que F() est dérivble sur, de dérivée continue, et surtout : F () = d d cos( t)e t dt = 3. Clcul de F () en fonction de F(). + cos( t)e t dt = sin(t ) te t dt On fit une intégrtion pr prties vec u(t) = sin( t) et v (t) = te t (donc u (t) = cos( t) et v(t) = e t ) : + + F () = sin(t ) te t dt = sin( t) e t + cos( t) e t dt Le crochet vut et insi : F () = F() 4. Clcul de F(). Ainsi F vérifie l éqution différentielle élémentire F () = F(). En écrivnt F () F() = et en intégrnt, on obtient ln F() = + c, d où Or, on vu que F() = e t dt = π F() = F()e. (voir l eemple 3), d où π F() = e. Sns l hypothèse de convergence dominée, les théorèmes 8 et 9 ne sont plus vlides. Eemple. Soit f (, t) = Donc : + ( t) F() = Ainsi F est discontinue.. Alors f est continue sur [, + [ et F A () = = A f (, t) dt = rctn(u) A A A dt + ( t) = du vec u = t + u = rctn(a). +π/ si > f (, t) dt = lim F A() = lim rctn(a) = π/ si < A + A + si = 3.5. Théorème de Fubini Théorème (Théorème de Fubini). Soient I = [, β] un intervlle fermé borné et J = [, + [. Soit f une fonction continue sur I J, à vleurs dns (ou ) et qui vérifie l hypothèse de convergence dominée. Alors l fonction F est intégrble sur I et β β β F() d = f (, t) dt d = f (, t) d dt. Mini-eercices.. Soit f (, t) = ln t +t définie pour [, ] et t [, + [. Montrer que F() = f (, t) dt est une fonction continue, dérivble, de dérivée continue. Clculer F ().. Même eercice vec f (, t) = t e t définie sur [, ] [, + [. 3. Soit f (, t) = φ() ψ(t) vec φ : [, b] une fonction, et ψ : [, + [ une fonction d intégrle bsolument convergente. Montrer que F() = f (, t) dt est une fonction continue, dérivble. Trouver une formule simple pour F() d.

14 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 4. TRANSFORMÉE DE LAPLACE 4 4. Soit F() = dt +. Montrer que F est définie en =. À l ide d un chngement de vrible sur t, montrer t que l fonction F est continue sur [, + [. Clculer l limite de F en. Que peut-on dire pour l dérivée? 4. Trnsformée de Lplce Cette section est une introduction à l trnsformée de Lplce, qui est une opértion mthémtique très utilisée en électronique, où elle correspond à chnger une fonction qui dépend du temps t en une fonction qui dépend de l fréquence s. Elle est ussi utile pour résoudre les équtions différentielles, cr l trnsformée de Lplce permet de trnsformer des opértions d nlyse (dérivtion/intégrtion) en des opértions lgébriques (multipliction/division). 4.. Définition Définition 4. Soit f une fonction continue sur l intervlle [, + [, à vleurs dns (ou ). L trnsformée de Lplce de f est l fonction F définie pr : F(s) = f (t)e st dt Si l on veut insister sur l dépendnce vis-à-vis de l fonction f (plutôt que du prmètre s), lors on note plutôt cette même intégrle pr : Remrque. Dns ce cours : (f ) = f (t)e st dt Nous supposerons que s est un prmètre réel. (Alors qu en toute générlité s.) Nous supposerons les fonctions continues. (Alors qu en électronique les fonctions sutent souvent d une vleur à une utre.) Lorsque l on écrit F(s), cel signifier pr convention que l intégrle converge. Eemple.. Soit f (t) =, l fonction constnte égle à. Alors, pour s >, e F(s) = e st st + e st e dt = = lim = s t + s s s.. Soit f (t) = e t. Alors, pour s >, F(s) = e t e st dt = e e ( s)t ( s)t dt = s + = s. 3. Soit f (t) = t. On effectue une intégrtion pr prties vec u(t) = t, v (t) = e st. Alors pour s > : F(s) = t e st dt = t e st + + e st dt = + e st + = s s s s s Voici un critère simple qui grntit l eistence et de bonnes propriétés pour l trnsformée de Lplce. Proposition. Supposons qu il eiste n tel que. Alors, pour tout s >, l intégrle F(s) eiste.. L fonction s F(s) est continue sur ], + [. 3. lim s + F(s) =. 4. L fonction s F(s) est dérivble sur ], + [ et f (t) lim =. t + t n F (s) = t f (t)e st dt.

15 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 4. TRANSFORMÉE DE LAPLACE 5 Remrque : on pourrit rffiner l condition. En effet, s il eiste > tel que f (t) e t mêmes conclusions sont vlides, mis seulement pour s >. A (lorsque t + ), lors les Démonstrtion. Nous llons d bord montrer que l ppliction (s, t) ϕ(s, t) = f (t)e st vérifie l hypothèse de convergence dominée sur [s, + [ [, + [, quel que soit s >. Nous vons supposé f continue en, donc le seul point incertin est +. Fions s >. Pour s s, on écrit simplement que ϕ(s, t) f (t) e s t. Il nous reste à montrer que f (t) e s t dt est bsolument convergente. Comme f (t)/t n lorsque t +, lors il eiste A >, tel que pour t A, f (t) /t n. Ainsi f (t) e s t f (t) dt = t n e s t dt t n e s t dt. Cette dernière intégrle est convergente. Donc ϕ vérifie l hypothèse de convergence dominée. A t n. ϕ(s, t) vérifint l hypothèse de convergence dominée, lors, pour chque s >, l intégrle F(s) est bsolument convergente.. Pr le théorème 8, l fonction s F(s) est continue. 3. Comme ci-dessus, pour t A, f (t) t n e t pour un certin >. Sur [, A], f est continue donc mjorée pr un certin M >. Aussi : A f (t) e st dt M A e st dt = M e st s Sur [A, + [, on peut écrire pour s > : e f (t) e st dt e t e st ( s)t dt = s A A Conclusion : F(s) f (t) e st dt lorsque s +. A A = M e sa s + A = e( s)a s lorsque s + lorsque s + 4. L dérivée prtielle (s, t) ϕ s (s, t) = t f (t)e st vérifie l hypothèse de convergence dominée (cr t f (t)/t n+ ). Donc pr le théorème 9, s F(s) est dérivble et s dérivée est celle ttendue. 4.. Propriétés Proposition.. Linérité. (λ f + µg) = λ (f ) + µ (g).. Dérivtion. (f ) = s (f ) f () 3. Intégrtion. ( f ) = s (f ) où f est l primitive de f s nnulnt en s =. 4. Théorème du retrd. f (t τ) = e sτ f (t). 5. Théorème de l vleur initile. lim s + sf(s) = f (). 6. Théorème de l vleur finle. Si l limite de f (t) eiste et est finie lorsque t tend vers +, lors lim s sf(s) = lim t + f (t). Nous prouvons ces résultts sous les hypothèses suivntes : f est continue sur [, + [. f (t) Il eiste n tel que lim t + t =. n Il en est de même pour f. Démonstrtion.. C est l linérité de l intégrle.. On effectue une intégrtion pr prties, pour s > : f (t) e st dt = f (t) e st + Le crochet vut f () cr lim t + f (t)e st =, ce qui donne l formule : (f ) = f () + s (f ) f (t) se st dt 3. C est le résultt précédent ppliqué à l primitive de f (u lieu de f ), en remrqunt que f vérifie les mêmes hypothèses que f et donc ( f ) est bien définie.

16 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 4. TRANSFORMÉE DE LAPLACE 6 si t < τ 4. L fonction retrd g(t) = f (t τ) est définie pr g(t) =. C est une fonction continue pr f (t τ) si t τ morceu, mis il est fcile de montrer que s trnsformée de Lplce est bien définie. En effet, en posnt u = t τ : (g) = g(t) e st dt = τ f (t τ) e st dt = f (u) e s(u+τ) du = e sτ (f ) 5. On note F(s) = (f ) et G(s) = (f ). On prt de l formule de dérivtion G(s) = sf(s) f (). Pr l proposition, on sit que lim s + G(s) =, lorsque s +. Ce qui donne lim s + sf(s) f () =. 6. Notons que G est définie en cr G() = + + f (t) dt = f (t) = lim t + f (t) f () est une vleur finie (l eistence de cette dernière limite est une hypothèse de l énoncé). D utre prt l continuité de G (voir proposition, mis ici sur [, + [) implique G(s) G(). On reprt mintennt de l formule de dérivtion G(s) = sf(s) f (). Ainsi G() = lim s G(s) = lim s sf(s) f (). Conclusion : lim t + f (t) f () = lim s sf(s) f (), d où le résultt Trnsformées de Lplce usuelles Voici quelques trnsformées de Lplce clssiques. f (t) F(s) vlidité c c s s > t n n! s n+ s > e t s s > t n t n! e (s ) n+ s > sin(ωt) cos(ωt) ω s +ω s > s s +ω s > t π s 3 s > t π s s > Voici quelques preuves :. Trnsformée de Lplce de t n. On effectue une intégrtion pr prties fin de trouver une formule de récurrence, pour n : F n (s) = t n e st dt = t n e st + + n t n e st dt = n s s s F n (s) On déjà clculé F (s) = s, d où pr récurrence F n(s) = n! s n+.. Trnsformée de Lplce de sin(ωt). Pr l formule d Euler, sin(ωt) = ei ωt e i ωt i. Or e i ωt e st dt = De même, l trnsformée de Lplce de e i ωt est F(s) = sin(ωt)e st dt = i e ( s+i ω)t dt = s + i ω e st e i ωt + = s i ω. s+i ω. Pr linérité, s i ω = i ω s + i ω i s i ω = ω s + ω.

17 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 4. TRANSFORMÉE DE LAPLACE 7 3. Trnsformée de Lplce de t. Notons que t t est définie sur ], + [ seulement. On effectue le chngement de vrible u = st, donc du = F(s) = st dt e On clculé e u du = π dns l eemple 3. t = s Eemple. Clculons l trnsformée de Lplce de f (t) = sin t t : F(s) = ), on sit en utilisnt les tbles que : F (s) = s dt t : e u du = s π = π s sin t t e st dt. Pr l formule de dérivée (proposition t sin t e st dt = sin t e st dt = t s + On intègre pour obtenir F(s) = rctn s + c, où c. Comme on sit que F(s) (lorsque s +, toujours pr l proposition ) lors c = + π. Donc F(s) = π rctn s = rctn s. En dmettnt que l formule reste vlble en s =, on trouve : F() = 4.4. Trnsformée de Lplce inverse sin t t dt = π. Il eiste un théorème qui prouve que l trnsformée de Lplce F(s) détermine l fonction f (t). Théorème. Soient f, g : [, + [ deu fonctions continues et soient F et G leurs trnsformées de Lplce. Si pour tout s >, F(s) = G(s), lors pour tout t, f (t) = g(t). Ce théorème permet de prler de l trnsformtion de Lplce inverse, c est-à-dire psser de F(s) à f (t). Il n eiste ps de formule à notre portée pour rendre ce pssge eplicite. C est donc l intérêt des tbles des trnsformées de Lplce : connissnt F(s), on cherche à l min à quel f (t) cel correspond. Eemple 3. À quelle fonction f (t) correspond l trnsformée de Lplce F(s) = s s + 3 (s )? On décompose F(s) en s F(s) = s + s + 3 (s ). Pr l tble et pr linérité, l fonction est : f (t) = cos t sin t 3te t L preuve est très jolie, mis peut être pssée lors d une première lecture. On commence pr rppeler le théorème d pproimtion de Weierstrss : Théorème (Théorème d pproimtion de Weierstrss). Toute fonction continue f : [, b] peut être pprochée uniformément pr des polynômes. Autrement dit, pour tout ε >, il eiste un polynôme P [t] tel que : f P < ε On noté f P = m t [,b] f (t) P(t). Le théorème d pproimtion de Weierstrss se reformule ussi : «Toute fonction continue sur un intervlle fermé borné est limite uniforme d une suite de polynômes.» Corollire. Si pour tout n, t n f (t) dt =, lors f est l fonction nulle sur [, b].

18 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 4. TRANSFORMÉE DE LAPLACE 8 du corollire. Pr linérité, l hypothèse implique que, pour tout polynôme P(t), P(t)f (t) dt =. Comme f est continue sur [, b] donc bornée, notons M un mjornt de f. Fions ε >. Soit P un polynôme pprochnt f à ε près. Alors : b b f (t) dt = f (t) dt P(t)f (t) dt cr l seconde intégrle est nulle. b = f (t) P(t) f (t) dt f (t) P(t) f (t) dt f P M dt f P M(b ) εm(b ) Donc t f (t) est une fonction positive, continue, et son intégrle est ussi petite que l on veut, donc nulle. Ainsi t f (t) est l fonction nulle. Ainsi f (t) =, pour tout t [, b]. du théorème. Nous llons fire l preuve dns le cs où les fonctions vérifient f (t)/t n et g(t)/t n (lorsque t + ) pour un certin n. Soient f et g deu fonctions ynt l même trnsformée de Lplce : F(s) = G(s) pour tout s >, c est-à-dire + f (t) g(t) e st dt =. Il s git de montrer que f g =. On suppose donc que l on une fonction h = f g telle que s trnsformée de Lplce h(t)e st dt = et on v montrer que h est l fonction nulle. On effectue le chngement de vrible u = e t (donc t = ln u, dt = du u et u vrie de à lorsque t vrie de à + ), et l intégrle devient : h( ln u)u s du =. L dernière églité est vrie pour tout s >, donc en prticulier pour les s de l forme s = n +. Autrement dit, si on pose k(u) = uh( ln u), on pour tout n : u n k(u) du =. Comme h(t) t n (lorsque t + ) lors k(u) = u( ln u) n h( ln u) ( ln u) n (lorsque u ). Ainsi l fonction k peut être prolongée pr continuité en. Pr le corollire, l fonction k est nulle : k(u) = pour tout u. Donc h(t) = pour tout t, et insi f (t) = g(t), pour tout t [, + [ Équtions différentielles Si F(s) est l trnsformée de Lplce d une fonction f (t), lors sf(s) f () est l trnsformée de Lplce de f (t). L trnsformée de Lplce remplce donc l opértion de dérivtion sur f (t) pr une opértion de multipliction pr s sur F(s). Voici comment on peut résoudre des équtions différentielles : éqution différentielle trnsformtion de Lplce éqution lgébrique solution différentielle solution lgébrique trnsformtion inverse de Lplce On trnsforme un problème différentiel en problème lgébrique, on résout le problème lgébrique, puis on trnsforme l solution lgébrique en une solution différentielle. Afin de respecter les usges, dns l suite on note y(t) les fonctions, u lieu de f (t). Eemple 4. Quelle est l solution de l éqution différentielle : y (t) + y(t) = t vec y() = 3?

19 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 4. TRANSFORMÉE DE LAPLACE 9. Trnsformées de Lplce. On clcule les trnsformées de Lplce des objets qui pprissent : notons F(s) = (y), lors on sit que (y ) = sf(s) y(), enfin (t) = s.. De l éqution différentielle à l éqution lgébrique. Comme y (t) + y(t) = t lors (y ) + (y) = (t). Ce qui donne sf(s) y() + F(s) = s. Et comme pr hypothèse y() = 3 lors 3. Résolution de l éqution lgébrique. Il s git simplement de (s + )F(s) = 3 + s. F(s) = 3 s + + s (s + ). Mis nous urons besoin de l décomposition en éléments simples : F(s) = 3 s + + s + s + = s + s + s + 4 s Retour à l solution différentielle. Il reste à trouver à quelle fonction y(t) correspond notre solution lgébrique F(s). C est là où les tbles sont utiles : pour F (s) = s, c est y (t) =, pour F (s) = s, c est y (t) = t, pour F 3 (s) = s+, c est y 3(t) = e t. Donc pr linérité l solution est y(t) = y (t) + y (t) + 4y 3 (t), et insi : y(t) = + t + 4e t On se rssure en vérifint que cette fonction vérifie y (t) + y(t) = t et y() = 3. On reprend rpidement un utre eemple : Eemple 5. Résolvons : y (t) 4y(t) = 3e t vec y() = et y () =. Notons F(s) = (y). On (y ) = sf(s) y(), et donc (y ) = s (y ) y () = s F(s) s y() y (). Vues nos conditions initiles, on ici (y ) = s F(s). Enfin (e t ) = s+.. L éqution y (t) 4y(t) = 3e t devient s F(s) 4F(s) = 3 s+. Donc (s 4)F(s) = + 3 s+. 3. Ainsi près décomposition en éléments simples : 4. Avec les tbles, on reconnît l solution : F(s) = s (s + )(s 4) = s + + y(t) = e t + et e t s s + Mini-eercices.. Montrer que, si pour un certin s >, l intégrle F(s ) = f (t)e s t dt converge, lors c est ussi vri pour tout s s.. Clculer l trnsformée de Lplce de f (t) = e t. Puis f (t) = t, f 3 (t) = sh t, f 4 (t) = ch(3t). 3. Montrer que si F(s) est l trnsformée de Lplce de f (t), lors l trnsformée de Lplce de f (kt) (vec k > ) est k F( s k ). 4. Résoudre l éqution différentielle y (t) y(t) = e t t + vec y() = en utilisnt l trnsformée de Lplce. 5. Résoudre l éqution différentielle y (t) = 3y (t) y(t) + e t vec y() = et y () = en utilisnt l trnsformée de Lplce.

20 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 5. TRANSFORMÉE DE FOURIER 5. Trnsformée de Fourier Cette section est une introduction à l trnsformée de Fourier. Comme l trnsformée de Lplce, l trnsformée de Fourier chnge une fonction qui dépend du temps en une fonction qui dépend de l fréquence et est très utilisée en théorie du signl. L trnsformée de Fourier s pplique à des fonctions non périodiques, contrirement u séries de Fourier. 5.. Définition Définition 5. Soit f une fonction continue pr morceu sur, à vleurs dns (ou ). L trnsformée de Fourier de f est l fonction F définie pr : On l note ussi (f ). F(s) = f (t)e i st dt Eemple 6.. Soit f l fonction définie pr f (t) = si t [, +] et f (t) = sinon. Alors F(s) = f (t)e i st dt = e e i st i st dt = i s = e i s e + i s s i = + sin s. s. Quelle est l trnsformée de Fourier F(s) de l fonction définie pr f (t) = e t, vec >? F(s) = e ( i s)t = i s e ( t) e i st dt + = i s lim t e ( i s)t + i s ( i s)t e = i s i s = + s + i s + lim t + e t e i st dt ( i s)t e i s i s f (t) F(s) t s Remrque. On trouve dns l littérture d utres définitions, vec des constntes différentes. Pour les formules, il fut donc bien fire ttention à l définition que l on choisit. L intégrle impropre deu points incertins et +. On rppelle que pr définition une intégrle g(t) dt converge si et seulement si l intégrle g(t) dt converge et l intégrle g(t) dt converge ussi. Contrirement à l trnsformée de Lplce, l trnsformée de Fourier est souvent à vleurs dns, même si l ensemble de déprt est. Nous donnons une condition simple pour que l trnsformée de Fourier eiste.

21 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 5. TRANSFORMÉE DE FOURIER Proposition 3. Supposons que f soit continue et que l intégrle de f soit bsolument convergente, c est-à-dire Alors :. Pour tout s, l intégrle F(s) eiste.. L fonction s F(s) est continue sur. 3. L fonction s F(s) est dérivble sur et F (s) = i f (t) dt converge. t f (t)e i st dt. En fit, pour l continuité de F, on pourrit montrer qu il suffit que f soit continue pr morceu (u lieu de continue prtout). Pour l démonstrtion dns le cs où f est continue, il s git juste de remrquer que le module de φ(s, t) = f (t)e i st est égl u module de f (t), donc φ(s, t) vérifie l hypothèse de convergence dominée. On pplique lors les théorèmes 8 et 9, comme nous l vons fit vec l trnsformée de Lplce. 5.. Propriétés Lemme (Lemme de Riemnn-Lebesgue). Soit f une fonction continue pr morceu telle que f (t) dt soit convergente. Alors lim s + Le même résultt est vri lorsque s. Autrement dit : f (t)e i st dt =. lim F(s) = et lim F(s) = s s + Comme s F(s) est continue, on en déduit que l trnsformée de Fourier est une fonction bornée. Nous donnons l preuve uniquement lorsque f est une fonction de clsse. Démonstrtion. On commence pr prouver le lemme de Riemnn-Lebesgue sur un intervlle fermé borné [, b] : On effectue une intégrtion pr prties : f (t)e i st dt = f (t) On en déduit l mjortion : i st b e b i s lim s + f (t)e i st dt = f i st e (t) i s dt = f (b)e i sb f ()e i s f (t)e i st dt i s f (t)e i st dt f b (b) + f () + f (t) dt s Sur l intervlle fermé borné [, b], l fonction f est continue donc bornée : notons M = sup f t [,b] (t). On donc b f (t)e i st dt f (b) + f () + M(b ). s Ainsi lorsque s + lors f (t)e i st dt. Pour l intégrle impropre, fions ε >. On reprend le risonnement précédent en fint d bord et b tels que f (t) + dt < ε et b f (t) dt < ε, ce qui possible cr les intégrles impropres convergent. Ainsi : + f (t)e i st dt b f (t) dt + f (t)e i st dt + f (t) dt b

22 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 5. TRANSFORMÉE DE FOURIER Or pour s ssez grnd, b f (t)e i st dt < ε d près le point précédent. Donc + f (t)e i st dt < 3ε pour s ssez grnd, ce qui termine l preuve. Voici quelques ssertions prmi les nombreuses propriétés que vérifie l trnsformée de Fourier. Proposition 4.. Linérité. (λ f + µg) = λ (f ) + µ (g).. Prité. Si f est une fonction pire, lors F(s) = i f (t) sin(st) dt. 3. Dérivtion. (f ) = i s (f ). 4. Théorème du retrd. f (t τ) = e i sτ f (t). f (t) cos(st) dt. Si f est impire, lors F(s) = Les preuves sont similires à celles pour l trnsformée de Lplce (voir l proposition ). Pour l formule de dérivtion, on suppose que l intégrle de f est bsolument convergente. Cette dernière hypothèse implique en prticulier que f dmet une limite finie en et +, limite qui est forcément nulle puisque f est supposée convergente. Voici l preuve pour l formule de l prité. On suppose donc que f est une fonction pire. Alors : F(s) = = = = f (t)e i st dt + f ( u)e i su du + f (t) e i st + e i st dt f (t) cos(st) dt f (t)e i st dt f (t)e i st dt cr f ( u) = f (u) vec u = t Eemple 7. Quelle est l trnsformée de Fourier de f (t) = e t? Nous llons l clculer en utilisnt les propriétés énoncées plus hut. Nous notons F(s) l trnsformée de Fourier de f (t) et G(s) celle de f (t). D une prt, pr l formule de dérivtion de l proposition 4, on sit que G(s) = i sf(s). Mis d utre prt f (t) = t f (t), donc G(s) = f (t)e i st dt = t f (t)e i st dt = if (s). L dernière églité vient de l formule de dérivtion de F(s) de l proposition 3. On en déduit donc l éqution différentielle sf(s) = F (s). En écrivnt F (s) F(s) = s, on trouve ln F(s) = s 4 + c, donc F(s) = F()e s /4. Et F() = e t dt = π. Conclusion : F(s) = πe s / Trnsformée de Fourier inverse L trnsformée de Fourier trnsforme f (t) en F(s). Il eiste une trnsformée de Fourier inverse qui permet de revenir de F(s) à f (t). Théorème 3. Si est d intégrle F(s) = F(s) ds bsolument convergente, lors f (t) = π f (t)e i st dt F(s)e + i st ds. Il fut bien fire ttention à l constnte π et u signe + dns e+ i st. Nous dmettons ce théorème. En d utres termes, si l on note (f ) = f (t)e + i st dt, π

23 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 5. TRANSFORMÉE DE FOURIER 3 lors est l opértion de trnsformée de Fourier inverse : (f ) = f et (f ) = f Il est remrquble que l trnsformée inverse it une forme très proche de l trnsformée directe. Nous llons l utiliser dns l eemple suivnt. Eemple 8. Quelle est l trnsformée de Fourier de g(t) = +t? On vu dns l eemple 6 que l trnsformée de Fourier de f (t) = e t est F(s) = +s, qui est d intégrle bsolument convergente. Ce qui veut dire que, d près le théorème 3, l trnsformée de Fourier inverse de g(t) = G(s) = e s. On vient ectement de dire donc en évlunt cette epression en s : g(t)e + i st dt = G(s), π g(t)e i st dt = G( s). π Autrement dit : π + t e i st dt = e s = e s Ce qui permet de conclure que l trnsformée de Fourier de g(t) = +t est : (g) = + t e i st dt = πe s En prticulier, lorsque l on prend l prtie réelle de cette dernière églité, on obtient que ce qui donne pour s = : L correspondnce est donc l suivnte : cos(st) + t dt = πe s, cos t + t dt = π e. e t + s +t est e t + s 5.4. Lien vec l trnsformée de Lplce Les trnsformées de Fourier et de Lplce, lorsqu elles sont bien définies, sont liées pr l reltion suivnte : (f )(s) = (f + )(+ i s) + (f )( i s) où l on défini f + et f sur [, + [ pr : f + (t) = f (t) et f (t) = f ( t) pour t. Eemple 9. Clculons l trnsformée de Fourier de f (t) = t e t. On note f + (t) et f (t) comme ci-dessus. Comme l fonction f est pire lors f + = f. Pr les tbles de l trnsformée de Lplce on sit que, pour f + (t) = t e t (vec t ) qui est du type t n e t, on (f + ) = (s+) 3. On en déduit que (f )(s) = (f + )(+ i s) + (f )( i s) = (i s + ) 3 + ( i s + ) 3 = 4 s ( + s ) 3.

24 INTÉGRALES DÉPENDANT D UN PARAMÈTRE 5. TRANSFORMÉE DE FOURIER 4 Mini-eercices.. Montrer que si f est une fonction positive, lors s trnsformée de Fourier vérifie F(s) F() pour tout s.. Clculer l trnsformée de Fourier de l fonction «tringle» définie pr f (t) = t si t et f (t) = sinon. 3. Clculer l trnsformée de Fourier de f (kt) (vec k > ) en fonction de l trnsformée de Fourier de f (t). 4. Trouver une formule pour l trnsformée de Fourier de f (k) (t), l dérivée k-ième de f (t). 5. Montrer que f (t) = e t +t est une fonction dont l intégrle est bsolument convergente. Clculer s trnsformée de Fourier. (On pourr d bord montrer que l trnsformée de Fourier vérifie une éqution différentielle.) Auteurs du chpitre D près un cours de Luc Rozoy et Bernrd Ycrt de l université de Grenoble pour le site M@ths en Ligne. et un cours de Rymond Mortini, de l université de Lorrine, complété, mié et révisé pr Arnud Bodin. Figures de Benjmin Boutin. Relu pr Stéphnie Bodin et Vinney Combet.