Magnétostatique : révisions de PCSI Compléments

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1 Magnétostatique : évisions de PCSI Compléments I) Vecteu densité volumique de couant, loi d Ohm locale, effet Hall et foce de Laplace : 1 Vecteu densité volumique et intensité : On considèe un ensemble de paticules de chage q, de densité paticulaie n * et aant un mouvement d ensemble à la vitesse v. On notea dans la suite : * ρ n q la densité de chages mobiles (epimée en C.m 3). m Comment défini l intensité qui tavese une suface ds quelconque? M (q) v θ n v ds v dt Volume dτ ( vdt)( ds) cosθ La quantité de chages électiques dq qui tavese la suface élémentaie ds pendant l intevalle de temps dt est : O, v ds cos v. n ds où l on a défini : * * dq n dτ q n ( ds cosθ vdt) q θ, d où : * v dq n ( v. n ds) qdt. n ds dt le vecteu densité de couant. L intensité i : n q v ρ v * m dq i. n ds dt s intepète comme le flu du vecteu densité de couant à taves la suface ds oientée. L intensité qui tavese une suface finie (S) sea alos : i ( S). n ds

2 Remaque ; difféences ente modélisation volumique et sufacique : Dans le cas d une épatition volumique de couants : ρ v ; di Pou une épatition sufacique :. nds σ v ; di. ndl Au lieu de compte les chages qui tavesent une suface donnée, on compte les chages qui tavesent un segment de longueu l d et de vecteu nomal n. n dl s σv Couant sufacique Compléments : (1) Figue 1 2

3 (1) (2) (2) : (2) (2) (3) 3

4 (3) : 2 Modèle classique de la conduction dans un métal, loi d Ohm locale : Voi cous de sup Pale des électoltes (faie éféence au TP de chimie : suivi d une cinétique de saponification pa conductimétie) 3 Effet Hall : Voi cous de sup. 4 Foce de Laplace, epession volumique : Donne l équivalence : dτ Idl II) Révisions de magnétostatique de 1 èe année : 1 Loi de iot et Savat, eemple de calculs de champs (couants filifomes et non filifomes), pise en compte des sméties et des invaiances : 4

5 2 Flu de et ciculation de (théoème d Ampèe) : Rappel du cous de sup : le champ magnétique est à flu consevatif Autement dit, et en utilisant le théoème de Geen-Ostogadsk : Φ. nds div. dτ soit s ( S femée) ( V ) div Ainsi, un champ qui ne divege pas voit son flu se conseve. C est une conséquence de la non eistence des monopôles magnétiques (il n eiste pas de chages magnétiques ponctuelles, analogues au chages électiques ponctuelles). Le théoème de Stokes, que l on admet, est le pendant du théoème de Geen-Ostogadsk. Enoncé du théoème de Stokes : Soit (C) un contou (c est-à-die une coube femée oientée) et (S) une suface quelconque qui s appuie su (C) (à la manièe d un chapeau dont (C) seait le bod), dont le vecteu nomal est oienté selon la ègle du tie-bouchon. Le théoème de Stokes s écit : A.. d ( C) ( S ota. nds 5

6 6 Ce théoème va pemette d écie le théoème d Ampèe de manièe locale et d abouti à une nouvelle équation de Mawell (valable en égime indépendant du temps). Intepétation locale du otationnel et epession locale du théoème d Ampèe : On considèe un contou élémentaie de suface dd, oienté pa le vecteu u ; la ciculation élémentaie su ce contou du champ magnétique est : d d d d d d dc ), ( ), ( ), ( ), ( Soit : dd dc D apès le théoème d Ampèe, dd dc µ. Ainsi : µ On peut faie de même pou les sufaces élémentaies dd et dd. On aboutit à : soit µ µ Soit, finalement (epession locale du théoème d Ampèe) : ot µ Le théoème de Stockes appaaît alos comme une généalisation du ésultat obtenu pécédemment : dd dd u ot d dc dd suface dd contou l.. Intéêt phsique de ces opéateus : On peut illuste les temes de divegence et de otationnel pou quelques champs tpes : La divegence et le otationnel sont nuls pou le champ dont les lignes de champ sont paallèles. La divegence est négative pou les champs dont les lignes de champ convegent ves un point. Elle seait positive pou un champ divegent.

7 Le otationnel du denie champ dont les lignes de champ tounent autou d un point dans le sens positif est positif. Le champ considéé peut ête celui des vitesses d un solide tounant autou de l ae (O). La vitesse d un point du solide est, si Ω Ωu désigne le vecteu otation du solide, v M ) Ω OM (. En utilisant les coodonnées catésiennes : ot v 2Ω Ce ésultat pemet d associe l opéateu otationnel à l idée de otation. Champ V divv otv Champ Unifome V V V V Champ Convegent V V ρ θ V V ρ V < Champ Tounant V V ρ θ V V V u ρ Equation de Mawell elatif au otationnel du champ électique : Nous avons obtenu les équations de Mawell, valables en égime stationnaie : ρ dive ε ; div ; ot µ Le théoème de Stockes appliqué au champ électostatique donne : E. d ote. nds ( C) ( S ) Le champ électostatique, qui déive d un gadient, est à ciculation consevative, autement dit : (le ésultat pécédent doit ête valable pou tout contou et donc toute suface S) ot E C est l équation de Mawell elative au otationnel du champ électostatique, valable en égime stationnaie. On etienda ainsi que le otationnel d un gadient donne le vecteu nul : (un champ qui ne fait que divege ne toune pas) ot E ot( gad V ) ( V ) On admet la écipoque : 7

8 Si ot E, alos V tel que : E gad V V Autement dit, si un champ ne toune pas, c est qu il déive d un gadient! D où, finalement, les 4 équations de Mawell en statique : ρ dive ε ; div ; ote ; ot µ 3 Eemples d utilisation du théoème d Ampèe : Voi le cous de sup (clinde infini, uban épais, toe et solénoïde infini) Champ à l intéieu d un Tokamak (éf : 4 Relations de passage pou le champ magnétique : Ces elations de passage seont admises. La composante nomale du champ magnétique est touous continue. La composante tangentielle pésente une discontinuité égale à µ S. 5 Potentiel vecteu, eemple de détemination : 8

9 On admetta le ésultat : (c est une équivalence) div A tel que : ota De manièe fomelle, on peut écie, pou s en souveni : div ( ota).( A) Ce ésultat peut se monte simplement en coodonnées catésiennes. Equation de Poisson : En poetant su les tois aes catésiens, pa eemple su (O) : A + µ On etouve l équation de Poisson scalaie, identique à celle véifiée pa le potentiel électostatique. Pa analogie, on déduit la solution : µ dτ µ dτ A et A π 4 ( V ) PM 4π ( V ) PM Pou une épatition filifome, on aua, en utilisant l équivalence dτ Id l : Idl A µ 4 π fil PM En appliquant le théoème de Stockes, on obtient une fome intégée qui est bien utile pou calcule un potentiel vecteu, sans connaîte les epessions du otationnel : 9

10 Détemination d un potentiel vecteu pou un solénoïde infini : On considèe un solénoïde infini de section ciculaie de aon R, constitué de n spies ointives pa unité de longueu et pacouu pa un couant d intensité I. Le champ magnétique céé pa ce solénoïde est de la fome : Si < R : Si > R : µ ni u Le plan contenant l ae du solénoïde et le point M étant un plan d antismétie : A( M ) A( ) En penant comme contou un cecle centé su l ae (O) et pependiculaie à cet ae : On obtient : Si < R : A A. dl C) ( 2 ( S) u θ. n ds a 2 2 µ ni uθ et Si > R : A µ ni uθ On constate que le potentiel vecteu est continu à la tavesée de la suface R du solénoïde. 1

11 Le potentiel vecteu est touous continu puisqu il est déivable (autement, le champ magnétique, donné pa ota ) pendait des valeus infinies. Le potentiel vecteu appaaît comme un intemédiaie de calcul pemettant d en déduie le champ magnétique. Phsiquement, on vea que le potentiel vecteu est diectement elié, en induction, au champ électomoteu. III) Dipôle magnétique : 1 Définitions et analogie avec le dipôle électostatique : Eemples : un aimant ou une spie vus de loin, un électon gavitant autou d un noau. 2 Champ magnétique et potentiel vecteu céés pa un dipôle magnétique, topogaphie : Pocéde comme en sup, pa analogie à pati du champ cée su son ae et en un point éloigné pa une spie ciculaie. Lignes de champs des dipôles électique et magnétique : 11

12 Démonstation : 12

13 On peut faie le appochement avec le potentiel scalaie du dipôle électostatique : 1 p cosθ 1 p. u V ( M ) 2 2 4πε 4πε 3 Moment magnétique d un cicuit filifome femé plan : 4 Action d un champ magnétique etéieu su un dipôle magnétique : On compaea au epessions obtenues avec le dipôle électostatique : E p. E ; F ; Γ p E p et et et et 13

14 5 Moment magnétique d une boule chagée : Aute calcul de l intensité élémentaie : Q 2 di s Rdθ σ ( ωr sinθ ) Rdθ ωr sinθdθ 2 4πR 14

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16 FORMULAIRE DE MAGNETOSTATIQUE 16