9. Émettre des ondes électromagnétiques

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1 9. Émette des ondes électomagnétiques Le dipôle oscillant est la souce d ondes électomagnétiques la plus simple. Son étude détaillée nous pemetta d abode les caactéistiques essentielles des antennes. Los d une pemièe lectue de ce cous, il sea possible de se limite à la pemièe section consacée au dipole oscillant. La seconde section epend les difféents concepts intoduits pou les eplace dans un cade plus généal Le dipôle oscillant appels su le dipôle électostatique Le moment dipôlaie électique p d un système de chages électiques dont la chage totale est nulle est : pou une distibution discète : pou une distibution continue Q p Q q i 9.1) p q i i 9.2) ρ 1 ) d ) ρ 1 ) 1 d ) On peut modélise tout dipôle pa deux chages : une chage négative -q placée à l oigine et un chage q positive au point a avec p q a. Le potentiel électostatique céé pa un dipôle p placé à l oigine est : ) 1 p u ) Le champ électique céé pa un dipôle électostatique est :. E ) 3 u p u ) p 3 9.6) 2p cos θ 3 u + p sin θ 3 u 9.7) 87

2 88 9. Émette des ondes électomagnétiques Champ céé pa un dipôle oscillant le dipôle oscillant Considéons un dipôle dont l amplitude évolue de manièe sinusoïdale : p p cos ωt 9.8) p p e iωt 9.9) Le mouvement de chage associé à cette évolution tempoelle est à l oigine de couants électiques qui véifient l équation suivante : j ) d 3 q i v i d p 9.1) dt le champ ayonné pa la méthode des potentiels etadés Il n est pas possible de détemine le champ électomagnétique ayonné pa un dipôle oscillant en adaptant la méthode utilisée dans le cas d un dipôle électostatique. Pou diveses aisons simplicité des calculs et poblèmes techniques de choix de jauge) le chemin utilisé pou calcule le champ ayonné pa un dipôle oscillant est le suivant : 1. Détemine le potentiel vecteu etadé A 2. Déduie le champ magnétique B de l expession du potentiel vecteu A 3. Calcule le champ électique E à pati du champ magnétique B en utilisant l équation de Maxwell-Faaday. Ainsi, alos que le potentiel jouait un ôle cental pou le champ du dipôle statique, il est ici inutile. Il sea donc vain d essaye de détemine le champ céé pa un dipôle oscillant à pati de ce que l on sait d un dipôle statique. Question : explicite ce que "assez petit" signifie su les gandeus physiques de ce poblème. le potentiel vecteu etadé L expession généale du potentiel vecteu etadé A, t) au point est : ) A, t) µ j 1, t 1 c d ) 4π 1 Pou une distibution de chage localisée autou de l oigine et dont la taille est assez petite, cette expession devient : A, t) µ 4π j 1, t ) d ) c Le potentiel vecteu A est donc diectement popotionnel à la déivée tempoelle du moment dipôlaie p pis à l instant etadé t /c : A, t) µ 1 d p t ) c, 9.13) 4π dt A, t) iω µ 4π p e iωt c) iω µ 4π p e ik ωt). 9.14) J-M Couty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cous vesion.2

3 9.1. Le dipôle oscillant 89 Le champ magnétique Commençons pa faie le calcul exact de manièe butale : B, t) i µ ) ω e ik 4π e iωt ot 9.15) i µ ω e ik ) 4π e iωt gad p 9.16) i µ ω 4π e iωt e ik gad ) gade ik p 9.17) e ik u ) p 9.18) i µ ω 4π e iωt µ ωk 4π e ik ωt) ikeik u 1 1 ) u p 9.19) ik A gande distance c est à die λ), le teme dominant décoît comme 1 B µ ck 2 e ik ωt) u p. 9.2) 4π Nous pouvons dès à pésent emaque les points suivants : Ce teme dominant povient de la déivée de la phase du potentiel vecteu. Le champ magnétique à gande distance est pependiculaie à la doite joignant le dipôle et le point d obsevation de vecteu diecteu u. Losque l on se déplace su cette doite coissant, angles sphéiques θ, φ) constants) l amplitude du champ évolue comme une onde sphéique : décoissance en 1 et facteu de phase k ωt) coespondant à une popagation à la céléité c ves les coissants. Le champ électique Il se déduit de l expession du champ magnétique gàce à l équation de Maxwell-Faaday : E, t) 1 ot B, t)) 9.21) iω { eik ωt) k 2 u p ) u 1 + [3 u u p ) p ] 3 ik )} ) Pou s entaine à manipule les opéateus vectoiels les plus couageux pouont essaye de faie le calcul. A gande distance, le teme dominant décoit comme pou le champ magnétique en 1 il povient de la déivée spatiale du teme de phase de B. E k2 e ik ωt) u p ) u. 9.23) A coute distance c est à die λ) teme dominant est celui d un dipôle électostatique E [3 u u p ) p ] e ik ωt). 9.24) Notes de cous vesion.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Couty

4 9 9. Émette des ondes électomagnétiques En ésumé : Pou un dipôle aligné selon l axe Oz les composantes non nulles du champ électique et du champ magnétique sont : B ϕ µ [ iω 4π [ E E θ 1 ] ω2 c 3 2iω 2 c [ 1 3 iω 2 c ω2 c 2 sin θe ik ωt), 9.25) ] cos θe ik ωt), 9.26) ] sin θe ik ωt). 9.27) A coute distance, c est à die à des distances coutes devant la longueu d onde de la lumièe, λ ) le teme dominant est en 3. cela coespond au champ électique céé pa un dipôle electostatique : E 1 2 cos θ 3 p t), 9.28) E θ 1 sin θ p t) ) A gande distance, c est à die pou λ, le teme dominant est en 1, pou le champ électique selon u θ et pou le champ magnétique selon u ϕ : B ϕ µ c k 2 4π p sin θe ik ωt), 9.3) E θ 1 k 2 p sin θe ik ωt). 9.31) Intepétation physique du champ à gande distance Tous les facteus intevenant dans l expession du champ électique ayonné pa un dipôle oscillant ont une intepétation physique qu il est essentiel d avoi compis. Considéons le cas d un dipôle d ampliude p aligné selon l axe Oz. E, B A gande distance, l onde a la stuctue d une onde plane pogessive qui se popage selon u. Le champ électique tout comme le champ magnétique sont othogonaux à la diection de popagation, donc à u. E ϕ, B θ : Le poblème est symétique pa appot à tout plan contenant la doite Oz. Pa conséquent, en un point de l espace, le champ électique est contenu dans le plan contenant Oz et ce point et donc sa composante E ϕ selon le vecteu u ϕ pependiculaie à ce plan est nulle. Pou les mêmes aisons, le champ magnétique qui est un vecteu axial est pependiculaie au plan considéé et donc le champ magnétique est aligné selon u ϕ Décoissance de l amplitude : E 1 : Losque le dipôle est seul dans l espace, l énegie qu il ayonne est consevée, pa conséquent le flux du vecteu de Poynting à taves toute sphèe qui contient l oigine est le même. Comme la suface de cette J-M Couty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cous vesion.2

5 9.1. Le dipôle oscillant 91 sphèe est 4π 2, le vecteu de Poynting est popotionnel à 2. Ce vecteu est popotionnel au caé du champ électique, celui ci décoit donc en 1 losque l on s éloigne de l oigine. Amplitude popotionelle à celle du dipôle E p exp iωt) : Les équations de Maxwell sont linéaies, pa conséquent, le champ ayonné est popotionnel à l amplitude du dipôle. Phase égale à k ωt) Le champ se popage à pati de l oigine à la vitesse de la lumièe, le champ ayonné est donc popotionnel à exp [ iω t /c)] exp [i k ωt)] Dépendance angulaie E sin θ Notons f θ) la dépendance angulaie de l amplitude ayonnée en penant pou éféence l amplitude émise dans la diection équatoiale : f ) π 2. Pou les aisons de syméties évoquées plus haut, le champ électique est nul losque l on se place su l axe Oz donc f ). Si l on se place en un point donné, on peut décompose le dipôle qui est un vecteu) comme somme de deux dipôles p u z p cos θ u p sin θ u θ le pemie p cos θ u est paallèle au ayon vecteu, il ne ayonne donc pas, tandisque le second p sin θ est pependiculaie à la diection d obsevation et ayonne donc dans cette diection avec une ampllitude elative f π 2 ). Facteu k 2 nous sommes aivés à l expession suivante : E p sin θ e iωt c) u θ 9.32) La dimension de cette expession est celle d une chage électique. Pou avoi la 1 bonne dimension il faut multiplie pa un teme popotionnel au poduit de et du caé de l invese d une longueu. Comme nous avons déjà déteminé la dépendance en pa les considéations d énegie et de popagation il faut touve une aute longueu dans ce pobleme. La seule qui soit disponible est la longueu d onde et donc, la quantité popotionelle à l invese d un longueu que nous pouvons utilise est le nombe d onde k, le facteu qui manque est donc k2 multiplié pa un éventuel facteu numéique. La compaaison avec l expession exacte monte que le facteu numéique est seulement -1 Ainsi nous venons de etouve l expession du champ électique ayonné : E 1 k 2 p sin θe ik ωt) u θ Pa consequent, s il peut semble difficile d appende la fomule du champ électique ayonné pa un dipôle, les aguments que nous venons de développe endent impossible de ne pas s en souveni. Notes de cous vesion.2 UPMC - L3 - Physique - PGA J-M Couty

6 92 9. Émette des ondes électomagnétiques Puissance ayonnée En evenant à la notation éelle, le vecteu de Poynting instantané est Π E B µ Soit si l on moyenne su une peiode Π cos 2 k ωt) 16π 2 ε c 3 p2 2 u. 9.33) 32π 2 ε c 3 p2 sin 2 θ u ) Plutot que egade le flux du vecteu de Poynting à taves une suface, on peut egade le flux pa unité d angle solide : dp dω 32π 2 ε c 3 p2 sin 2 θ 9.35) L émission n est pas isotope : la puissance ayonnée est nulle su l axe du dipôle et maximale pependiculaiement. On décit cette epatition pa un diagamme de ayonnement en puissance) : θ) sin 2 θ 9.36) Pou détemine la puissance totale P ayonnée pa le dipôle il faut intége le vecteu de Poynting su toute la sphèe : P π 2π dθ sin θdϕ 32π 2 ε c 3 p2 sin 2 θ 9.37) π 32π 2 ε c 3 p2 2π dθ sin 3 θ 9.38) Calcul de l intégale π dθ sin 3 θ π 1 1 dθ sin θ 1 cos 2 θ ) du 1 u 2) d cos θ) 1 cos 2 θ ) 9.39) ) ) P π 2π dθ sin θdϕ 32π 2 ε c 3 p2 sin 2 θ 9.41) 32π 2 ε c 3 p2 2π ) P ω4 12πε c 3 p2 9.43) J-M Couty UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cous vesion.2