Fiche PanaMaths (CPGE) L équation du 3 ème degré

Transcription

1 Fiche PanaMaths (CPGE) L équation du ème degré Introduction On se roose ici de donner la résolution générale de toute équation de la forme : a b c d abcd,,, ) (avec ( ) * L aroche est similaire, dans son rincie général, à celle de la résolution d une équation du second degré : on commence ar donner la forme canonique d où on tire un discriminant ermtant de discuter de donner les racines éventuelles. La méthode eosée est la méthode historique de Cardan (5-576). Obtention de la forme canonique de l équation On travaille donc a. On eut donc écrire : b c d a a a b c d a a a a b c d a On identifie alors les deu remiers termes de l eression obtenue au deu remiers termes b du déveloement de a : b c d b b b c d a a a a a a a a b c b d b a a a a a b ac b d b a a a a b ac b b ac b b d b a a a a a a a b ac b b 9abc b 7a d b a a a 7a b ac b b 9abc b 7a d a a a 7a PanaMaths [ - 7 ] Mai 8

2 b Cte réduction est toujours ossible, modulo le changement d inconnue X une a récriture des coefficients, on constate finalement que le roblème revient à résoudre l équation générale : q (E c ) avec ( q, ). C est la forme canonique associée à l équation initiale. Remarques : Ces notations sont standard on les rrouve fréquemment dans la littérature ; Cte équation ne comortant as de terme en, la somme de ses racines comlees est égale à. Discriminant discussion Ecrivons sous la forme u v. L équation canonique se récrit alors : q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) u v u v q u u v uv v u v q u v uv u v u v q u v uv u v q On eut ici choisir u v de telle sorte que uv, c'est-à-dire On doit donc résoudre le système : uv. u v uv u v q L équation ( )( ) uv, il vient u v uv u v q donne alors : 7 uv. u v q. Mais comme Finalement, u v vérifient : u v q 7 uv. PanaMaths [ - 7 ] Mai 8

3 Ce sont donc les solutions de l équation du second degré : Y qy (E * ) 7 Son discriminant s écrit : 7q 4 Δ q 4. La discussion qui doit être menée 7 7 déend donc de la quantité : 7q 4. L égalité uv nous a ermis d obtenir (E * ). Alors il en va de même our ju ( ) j u j u u arce que l équation 6 En raisonnant de façon analogue avec v tel que 7 uv. Soit u tel que ju j u u ju (uisque ( ) vérifie uv, on obtient finalement comme solutions de (E c ) : u soit solution de u u adm eactement trois solutions dans ). u v ju j v ju jv v soit égal à l autre solution de (E * ) La question est désormais de savoir s il y a des racines multiles. Si, (E c ) se récrit q. Alors : Si q, (E c ) adm comme racine trile (c est d ailleurs la seule racine trile ossible uisque P'' ( X) 6X ) ; Si q, (E c ) adm trois racines distinctes. On suose maintenant que l on a :. Considérons le olynôme P( X) X X q. Alors : '( ) P X X. L équation (E c ) adm une racine (au moins) double, si, seulement si, P remiers entre eu. Effectuons la division euclidienne de P ar P ' : P( X) X X q ( X X) q X ( X ) q X ( X ) X q XP '( X ) X q P ' ne sont as PanaMaths [ - 7 ] Mai 8

4 Il vient donc : PGCD ( P, P ') PGCD P ', X q On en déduit immédiatement que (E c ) adm une racine (au moins) double si, seulement si X q divise P ' c'est-à-dire si, seulement si, q est racine de P '. q q 9q 7q 4 Or, P'. 4 4 q Donc est racine de P ' si, seulement si : 7q 4. Lorsque l on aura 7q 4, la racine multile sera donc double égale à q. La somme des racines de (E c ) valant, la deuième racine vaut donc : q. On a finalement : Si Si 7q 4 l équation (E c ) adm trois racines simles ; 7q 4 l équation adm : o Si (on a alors aussi q ) : comme racine trile ; q o Si : une racine double égale à une racine simle égale à q. Cas d une équation à coefficients réels On suose ici ( q ; ). Dans ce cas, on a : Si Δ On se trouve dans la situation vue récédemment. L équation adm des racines multiles qui sont toutes réelles. Si Δ> L équation Y qy adm deu racines réelles distinctes : 7 q 7q 4 7 q 7q 4 7 PanaMaths [ 4-7 ] Mai 8

5 On eut écrire : q 7q q 7q 4 q q q q Les deu racines s écrivent donc : q q q q. On eut alors considérer, en rerenant les notations de la artie récédente, les racines cubiques de ces eressions : u q q v q q Ces quantités sont réelles leur roduit vaut bien l équivalence : uv. 7 uv Les racines de (E c ) s écrivent finalement : uisque dans on a q q q q u v q q q q ju j v j j q q q q j u jv j j La racine est réelle. C est la formule historique de Cardan-Tartaglia. En tenant comte de j j comme (as de racine multile), on déduit que sont deu racines comlees conjuguées. Si Δ< L équation Y qy adm deu racines comlees conjuguées (coefficients réels 7 discriminant strictement négatif) : q i 7q 4 7 q i 7q 4 7 PanaMaths [ 5-7 ] Mai 8

6 Soit, en rocédant comme dans le cas récédent : q q i q q i Si nous notons α, jα j α les trois racines de X q q i, alors les trois racines de q q X i seront les conjugués de ces trois comlees, à savoir : α, jα jα j α j α j α jα. Mais uisque le roduit uv doit être réel (il vaut, raelons-le, ), les trois coules ( uv, ) ossibles sont : (, ) Les racines de (E c ) s écrivent alors : α α, ( jα, j α ) ( j α, jα ) α α jα j α j α j α Les trois racines ainsi obtenues sont réelles (chacune est égale à sa conjuguée) distinctes. Synthèse. Toute équation du ème degré eut être mise sous forme canonique : ; q. Le discriminant associé s écrit : 7q 4 ;. On a la discussion suivante : Si 7q 4, l équation adm trois racines distinctes ; Lorsque les coefficients q sont réels on a lus récisément : o Si 7q 4 >, l équation adm une racine réelle (donnée ar la formule q q q q de Cardan : ) deu racines comlees conjuguées ; o Si 7q 4 <, l équation adm trois racines réelles distinctes. Si, l équation adm une racine simle ( q 7q 4 ) une racine double q ( ) lorsque ou une racine trile () lorsque q. PanaMaths [ 6-7 ] Mai 8

7 Un eemle our rendre un eu de recul Considérons l équation suivante : L équation est sous forme canonique on a : q >. L équation adm donc dans une racine réelle deu racines comlees conjuguées. Le discriminant vaut alors : q ( ) La racine réelle est donnée ar la formule de Cardan-Tartaglia : q q q q Cte eression semble assez comlee On sera robablement un eu dérouté lorsque, de surcroît, on constatera que est racine évidente de l équation initiale que l on a ainsi : 7 7 On saura (artiellement?) se convaincre de la validité de cte égalité à l aide d un tableur ou d une calculatrice mais si nous n en disosions as (imaginez, en articulier, la situation au début du 6 ème siècle!) Ainsi, une formule, aussi belle soit-elle, n est eut-être as toujours une fin en soi PanaMaths [ 7-7 ] Mai 8