Cours et travaux dirigés Mécanique du point et du solide

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1 Cours t tru irigés éniqu u point t u soli β G α C oh BENDDT NB : C n'st ps l ours prinipl l FS UNIVESITE HED V FCULTE DES SCIENCES BT-GDL DETEENT DE HYSIQUE Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - -

2 Soir Bss rpèrs t référntils...4 Cinétiqu u point t u soli...5. Cooronnés rtésinns...5. Cooronnés linriqus...6. Cooronnés sphériqus osition un point Vitss un point....6 élértion un point....7 Cooronnés intrinsèqus. Coposnts Frnt Etu ounts Tps ounts Tritr un ri inétiqu... 6 TVUX DIIGES SU L CINETIQUE... 8 Notions fors t équilibr.... L torsur for..... Ls fors..... ont fors.... Equilibr, rottion t trnsltion Equilibr Coupl t ount rottion Trnsltion Fors frottnt Frottnt sttiqu Frottnt niqu ésolution s problès sttiqu Soli n équilibr sous l tion fors Soli n équilibr sous l tion fors Soli n équilibr sous l tion n fors étho... 7 TVUX DIIGES SU L STTIQUE Dniqu s solis Elénts niqu L torsur inétiqu Quntité ount ont inétiqu rrêt, rottion t trnsltion L torsur niqu rinips fonntu l niqu Enoné Nwton Enoné thétiqu u prinip fonntl Théorè l quntité ount, Théorè l résultnt inétiqu Théorè u ont inétiqu Dniqu s prtiuls hrgés Fors hp... 5 Chp grittionnl :... 5 Chp éltrognétiqu :... 5 TVUX DIIGES SU L DYNIQUE Enrgétiqu Grnurs slirs uissn, Tril t Enrgi potntill... 4 uissn... 4 Tril... 4 Enrgi potntill... 4 Tril t énrgi potntill s fors usulls Enrgi inétiqu Enrgi éniqu Enrgi totl Théorès thétiqus Trnsport s onts éférntil u ntr ss Théorè Konig Théorè Konig pour l énrgi inétiqu Théorè l énrgi inétiqu Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - -

3 5. Théorè l énrgi éniqu Trnsfrts énrgétiqus Différnts tps trnsfrt rir prinip throniqu nnt TVUX DIIGES SU L ENEGETIQUE Soli n rottion utour un irtion fi ont inrti ont inrti pr rpport à un... 5 Eprssions pr rpport u s u rpèr rtésin ont inrti pr rpport à un point Bs prinipl inrti Théorè Hughns-Shtinr Epls luls onts inrti ont inrti un isqu plin ont inrti un ôn plin régulir ont inrti un sphèr rus ont inrti un sphèr plin Cs un soli à sétri linriqu ou sphériqu ont inétiqu - ont inrti Théorè u ont inétiqu pr rpport à l rottion Eprssion l énrgi inétiqu un soli n rottion utour un fi nlogi l ount trnsltion TVUX DIIGES SU L DYNIQUE DU SLIDE nn. Ls intégrls Définitions ropriétés éthos intégrtion nn Ls ifférntills nn Equtions ifférntills Solutions tps étho résolution nn 4 Cluls surfs t olus Forulir Coffiints Clul surfs Clul olus Epls luls surfs Surf un rl Surf un sphèr Epls luls olus Volu un linr Volu un sphèr Volu un ôn nn 5 Cluls ntrs inrti Définition u ntr inrti ropriétés u ntr inrti Cluls ntrs inrti Cntr inrti un ôn plin régulir Cntr inrti un i sphèr plin Cntr inrti un i sphèr rus Cntr inrti un isqu pré Cntr inrti un soli sipl... 7 nn.6 Ls turs... 7 nn 7 Ls opérturs L grint L irgn L rottionnl ltions ntr opérturs ltions intégrls Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - -

4 Bss rpèrs t référntils Bs : Dns un sp à trois insions, on ppll bs torill un nsbl turs linéirnt inépnnts : b,, sont non oplnirs pèrs sp : L nsbl onstitué un point l sp t turs bs for un rpèr sp. pèr irt : L prouit toril étnt ntiouttif B B, il st néssir éfinir un «nor»,un sns «norl». L sns irt st obtnu l règl l in roit. pèr Coprni : L origin orrspon : u ntr ss u sstè solir t ls s sont irigés rs : trois étoils fis. pèr géontriqu : L origin orrspon :u ntr ss l trr t ls s sont irigés rs : trois étoils fis. Cooronnés : our éfinir l position tout point ns un rpèr, on onstt périntlnt, qu il st néssir t suffisnt prnr trois réls pplés ooronnés. pèr tps Il st onstitué un instnt origin t un éhll tps éférntil L nsbl onstitué un rpèr sp t un rpèr tps st pplé référntil. éférntil glilén : C st un référntil ns lqul l sp st hoogèn t isotrop t l tps unifor. Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 4 -

5 Cinétiqu u point t u soli L inétiqu st l étu s ounts inépnnt s uss qui ls prouisnt. our érir l ount un point il st néssir utilisr s ooronnés. L hoi u sstè ooronnés épnr s rtéristiqus u ount. Voii trois sstès ooronnés usuls : - Cooronnés rtésinns. - Cooronnés linriqus. - Cooronnés sphériqus. Cooronnés rtésinns Cooronnés : : bsiss : oronné : ôt présnttion : Vtur position : Déplnt éléntir : Volu éléntir : V Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 5 -

6 . Cooronnés linriqus Cooronnés : : ron polir : ngl polir : ôt présnttion : r '. r Vtur position : n rrqur qu l point n ps oposnt slon. L bs linriqu st un bs obil on l ngl intrint non ps ns l position pr rpport à l bs linriqu is ns l position l bs linriqu pr rpport u rpèr qui st fi ltion ls ooronnés rtésinns : os sin os sin rt sin os rt sin Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 6 -

7 Déplnt éléntir : Volu éléntir : V Dériés s turs pr rpport à l ngl : ppls : (os sin sin qu l on put rtnir : os. n éuit s ooronnés s turs : -os sin -sin os intégrtion érition n rrqur qu l érition pr rpport à orrspon à un rottion π : π/ Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 7 -

8 . Cooronnés sphériqus Cooronnés : r : ron tur r θ : oltitu θ π : iuth π présnttion : r r.θ r.sinθ. r r.θ θ θ r θ Vtur position : r r r.sinθ r.sinθ. r θ ê rrqu qu pour ls ooronnés linriqus : n qu un ooronné r l bs sphériqu st obil. Ls u utrs ooronnés pprissnt ns l positionnnt l bs obil pr rpport à l bs fi. ltion ls ooronnés rtésinns : r sinθ os r sinθ sin r osθ r.osθ θ r.sinθ r r.osθ r.sinθṡin.os r.sinθ.sin Déplnt éléntir : r.sinθ r r.sinθ.os r r rθ rsin θ Volu éléntir : V r rθ rsinθ θ r.θ r r.sinθ. θ Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 8 -

9 .4 osition un point. Un point ns un rpèr st rtérisé pr son tur position : trjtoir En ooronnés rtésinns on not : où rt ou iniqu qu ls ooronnés u tur sont lls qu il ns l bs rtésinn. L trjtoir st l nsbl s positions oupés pr l point. L éqution l trjtoir u point st l rltion lint ls ooronnés inépnnt u tps. En ooronnés rtésinns on notr f (,, rt n ppll éqution horir l prssion s ooronnés u point n fontion u tps : f f f Si l ount st pln, on hoisit l rpèr tll sort qu u ooronnés suffisnt. Générlnt on onsr ls ooronnés t. f ( t f ( t Si l ount st rtilign, on hoisit l rpèr tll sort qu un sul ooronné suffis. Générlnt on onsr l ooronné. f ( t ( t ( t (t Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 9 -

10 Lorsqu l trjtoir st tll qu ls prssions t luls s position, itss t élértion sont plus sipls n ooronnés linriqus lors on ls pri ns tt bs obil. trjtoir bs fi bs obil L bs linriqu étnt un bs obil ont l orinttion s turs épn l position u point ns s trjtoir il n st ps étonnnt oir qu u ooronnés sulnt suffisnt à prir l position : ou l.5 Vitss un point L itss onn un point st obtnu n lulnt l rpport l istn prouru pr l uré u prours : t Lorsqu l on ut obtnir l tur itss onn ntr u points (t t (t on pri : t Si l on ut prir l tur itss instntné n un point l trjtoir il fut fir l lul : t / ( t L tur prié st lui l itss u point ns son ount pr rpport u référntil. L érié u tur position s fisnt pr rpport à référntil. L prssion u tur itss ns son ount pr rpport u référntil put êtr prié ns tout utr bs. Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - -

11 En ooronnés rtésinns (bs fi l ount u point pr rpport u référntil rtésin onn l tur itss : / ou / rt En ooronnés linriqus (bs obil l ount u point pr rpport u référntil rtésin onn l tur itss : / ou / l éonstrtion : t ( / ( ( t / t t t t n u qu : on on put siplifir t t t t r st un tur fi soit / Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - -

12 n notr ls points suints : L unité légl l itss st l ètr pr son.s - L tur itss n un point st onfonu à l tngnt à l trjtoir n point. L sns u tur itss st lui u ount. Co pour tout tur l nor l itss orrspon à l rin rré l so u rré s oposnts tur. ( / Il n fut ps onfonr un prt l référntil pr rpport uqul on étui l ount utr prt l bs qu l on hoisit pour prir l plus filnt ls turs position, itss ou élértion. Dns l s un ount rottion, on éfinit l tur ω. l i s ooronnés linriqus prions l prouit toril soit l rltion générl : ω ω. n ω l l on ω L ount un point pr rpport à un référntil ntr t pr rpport à un référntil ntr érifi l loi oposition s itsss: ( t / ( t / où ω / / / / ω / ésign l tur itss rottion u rpèr pr rpport à / l Vitss ril Vitss orthoril Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - -

13 Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt élértion un point D ê qu pour l itss on put éfinir ls turs élértion onn t élértion instntné. L tur élértion onn st obtnu ntr u turs itsss à s instnts t t t t t L tur élértion instntné orrspon à l érié u tur itss pr rpport u tps t ( / / ou t ( / Ls rrqus sur l itss onrnnt l bs t l référntil sont ussi lbls pour l élértion En ooronnés rtésinns (bs fi l ount u point pr rpport u référntil rtésin onn l tur élértion : / ou rt / En ooronnés linriqus (bs obil l ount u point pr rpport u référntil rtésin onn l tur itss : [ ] [ ] / ou l / éonstrtion : t t ( ( ( / / t t t ( ( ( ( ( ( / t t t t t t t ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( / n : on t t t on t t t t soit / / [ ] [ ] / ou [ ] ( t /

14 n notr ls points suints : L unité légl l élértion st l ètr pr son u rré.s - L irtion t l sns u tur élértion pr rpport à s trjtoir n st ps isént pribl. Co pour tout tur l nor l élértion orrspon à l rin rré l so u rré s oposnts tur. [ ] [ ] / / t ( l élértion ril élértion orthoril L ir un r rl ngl θ ut θ t s érié pr rpport u tps qui ut θ s ppll l itss réolir. Si l ount st tl qu l élértion orthoril st null lors ( t st t un onstnt on l ount s fftu à itss réolir onstnt. Cl orrspon u ounts plnétirs. Unirsité oh V Fulté. s Sins BT. Bnt - 4 -

15 .7 Cooronnés intrinsèqus. Coposnts Frnt. n put ussi prir l itss t l élértion à prtir un bs obil (, t, n, b éfini à prtir s turs : t : Vtur tngnt à l trjtoir u point, ns l sns u ount n : Vtur norl à l trjtoir ont l roit tion pss pr l ntr ourbur l trjtoir n point b : Vtur binorl éfini à prtir s u préénts pr b t n n ppll pln osultur, l pln, t, : ( n Ω trjtoir Lolnt on onfon l trjtoir l rl osultur. rl osultur n Ω t s n éfini un bsiss urilign s sur l rl osultur qui érifi s soit nor : s L itss s pri pr : s t t t l élértion s n éuit : t ( t t t t t t n éjà u qu t t ê n on t t t t t n is n st ps un grnur ssibl, lors qu l st, on érit on : t s où l prssion : s t s t soit t t n t t n élértion tngntill élértion norl Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 5 -

16 .8 Etu ounts..8. Tps ounts Dns l référntil onsiéré. L trjtoir put êtr : - rtilign : - l trjtoir st un roit, - l ron ourbur st infini t l oposnt norl l élértion st null. - irulir : - l trjtoir st un rl, - l trjtoir st on pln, - l ron ourbur st onstnt. - urilign : - l trjtoir st un ourb. - hélioïl : - l trjtoir st un héli. L ount put êtr : - unifor : - l lur lgébriqu l itss st onstnt, - l tur itss n st ps forént onstnt, - sul l oposnt tngntill l élértion st null. - uniforént rié : - l lur lgébriqu l élértion tngntill st onstnt. - éléré : - l lur lgébriqu l itss ugnt, - l oposnt tngntill l élértion st ns l sns u ount. - rlnti : - l lur lgébriqu l itss iinu, - l oposnt tngntill l élértion st ns l sns ontrir u ount. - sinusoïl : - un oposnt position épn sinusoïlnt u tps. L ount un soli put êtr : - trnsltion : - l tur itss st intiqu n tout point u soli. - rottion : - l trjtoir hqu point u soli st irulir. r pl l nll un grn rou u érrg un ount trnsltion irulir uniforént rié.8. Tritr un ri inétiqu L but st générlnt prir ls équtions horirs u ount pour rontr éntullnt rs l éqution l trjtoir. Lorsqu l ntur l trjtoir st onné, il fut n éuir ls onitions sur ls rtéristiqus priés ns un bs pté. Epl u ount irulir sinusoïl L trjtoir st irulir on hoisit l bs linriqu. L trjtoir st pln on l ooronné st null L trjtoir st un rl on l ron st un onstnt ( n st ps lui qui épn sinusoïlnt u tps Don on put éjà érir n notnt r l ron u rl : r n rrqu qu l bs obil hoisi n prt ps fir pprîtr l rtèr sinusoïl u ount n n éuit l prssion l itss : puis l prssion l élértion : / r Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 6 -

17 [ ] [ ] / L rtèr sinusoïl pprît ns l prssion : os( ωt où ésign l pulstion t l inlinison initil. Lorsqu l pplition s lois l niqu nous fournis ls ooronnés l élértion, lors il fut rontr pr intégrtion u rtéristiqus itss puis position. Ls onstnts intégrtion sront étrinés pr ls onitions initils u ount. intégrtion intégrtion Vtur position Vtur itss Vtur élértion érition érition Clul l nor Clul l nor itss intrinsèqu élértion intrinsèqu Clul l érié élértion tngntill élértion norl our ls pplitions nuériqus, il fut pnsr nt tout lul à s plr ns l sstè unités intrntionls (U.S.I.. Unirsité oh V Fulté s Sins BT. bnt - 7 -

18 TVUX DIIGES SU L CINETIQUE Eri : ounts rtiligns our hun s ounts suints : - ount rtilign unifor, - ount rtilign uniforént rié. Iniqur ls onitions sur ls rtéristiqus. b En éuir ls turs élértion puis itss puis position. Eri : L oitur Un oitur lné sur un lign roit à 7 k.h - s rrêt un ount uniforént rié sur un istn 8. Qull st l lur l éélértion? b Cobin tps t-ll pour s rrêtr? Eri : ounts irulirs our hun s ounts suints : - ount irulir unifor, - ount irulir uniforént rié. Iniqur ls onitions sur ls rtéristiqus. b Iniqur l bs hoisi. En éuir ls turs position, itss t élértion. Eri 4 : ount hélioïl unifor L point étuié suit l trjtoir i-ontr : Donnr l prssion s ooronnés position ns ls rpèrs rtésins t linriqus b En éuir ls ooronnés l itss insi qu s nor. En éuir ls ooronnés l élértion insi qu s nor. Qul st l ron ourbur l trjtoir. Eri 5 : L projtil s l'héli πh L α Un obil onsiéré o pontul s épl à l itss onstnt l long un brr longuur L fisnt un ngl α onstnt l. L brr st nié un ount rottion unifor itss ngulir ω utour l. Iniqur l position u point ns ls ifférnts bss (rtésinns, linriqus, sphériqus. b En éuir l tur itss ns l bs hoisi. Clulr l itss éjtion (α 45, k/h, ω tr/in, L. Eprir l tur élértion. Eri 6 : L tioptr Un list sn un itss onstnt s. Donnr l éqution horir u tioptr situé à l ironférn un rou ron r4. b Eprir l itss t l élértion n ooronnés intrinsèqus. En éuir l ron ourbur l trjtoir loïl. Eri 7 ours éontrr l prssion l position, l osition u itss t l élértion n ooronnés linriqus tioptr Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt à t

19 Eri 8 orrigé : L otur Sur un broh hin st onté un outil iètr. n fr l intrruptur u otur. L outil t sons pour prnr l itss ngulir régi, égl à 4 r.s -. L outil tourn nsuit un ount unifor pnnt 6 sons. n oup l ournt, l outil t 4 sons pour s rrêtr. n n pour hun s périos étrinr, pour un point l périphéri l outil : L élértion ngulir t l élértion tngntill à l périphéri (on ttr qu l pério érrg t ll rlntissnt sont à élértion onstnt. b L élértion norl, à l périphéri, n fontion u tps. Eri 9 orrigé : rtil Un obil onsiéré o pontul st tthé à l tréité un brr longuur L, obil utour u point.l brr st nié un ount rottion opl tl qu : α t β t t Eprir ns un rpèr pté t n ous int u forulir l tur itss n fontion, L t t. En éuir s nor. Eprir l tur élértion n fontion,l t t. θ r α L β Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 9 -

20 CECTINS : Corrigé l ri 8 our tritr ount irulir on put : - S plr ns l bs linriqu turs (,, t prir ls turs position, itss t élértion : / / L itss ngulir l énoné orrspon à : ω t l élértion ngulir à γ L élértion tngntill orrspon à l oposnt slon : tn t l élértion norl à l oposnt slon : norl - s plr ns l bs Frnt t n notnt l ron on érir ω t t on : l élértion ngulir à γ ω ( w l élértion tngntill ω tn t l élértion t t norl ( ω norl ω qui onnnt ls ês résultts soint : itss ngulir (r.s - 4 ount unifor Dérrg lntissnt : γ 4 r s norl, t,4t,, ( γ r s tn γ 4 r s 4 4 t 8 s, uré (s tn,, s t on puisqu l élértion st onstnt t 4r s norl, 4 6 s tn,, s t on puisqu l éélértion st onstnt [ ( ] t,, ( t, t 8t 44 norl Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - -

21 Corrigé l ri 9 ( n hoisi l bs sphériqu r ; θ; L sphr r L ; α θ ; r / rθ r sinθ où l nor : L onstnt t on : β ; L ; α ; α ; sphr int ls onnés l énoné ( L ( L( 6t ( t / sin ( 6 t ( t / L sin t l élértion : int ls onnés l énoné / / β 6 t t / L β 6 L ( 6t sin( t sphr r rθ r sin θ r θ rθ r sinθ osθ r r r sinθ θ osθ sinθ L sphr L L( 6t sin ( t L( 6t sin( t os( t ( t ( t L ( t 6 os 6 sin sphr Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - -

22 Notions fors t équilibr Tout tion éniqu s rçnt sur un objt pour fft soit : - oifir son ount ou l ttr n ount, - l intnir n équilibr, - l éforr. Tout tion éniqu put êtr érit pr un so tions éléntirs. Tout tion éniqu éléntir s rçnt sur un orps put êtr érit pr l onnissn s qutr rtéristiqus suints : - l point pplition, - l roit tion, - l sns, - l lur : son intnsité. Cs qutr rtéristiqus sont lls un tur lié. L onnissn s qutr rtéristiqus prt onstruir un grnur torill noé for. L onnissn l nsbl s rtéristiqus rprésntnt l nsbl s tions éléntirs prttr érir l soli à n iport qul instnt. C st ns tt hpothès étrinist qu nous nous plrons ns l nsbl ours. Il st iportnt notr qu un tion sur un soli l ttnt ou oifint son ount put êtr érit pr un nsbl fors is qu l sipl onnissn l so s fors (so torill n st ps suffisnt pour n érir l ount. Il st lors néssir onnîtr un grnur suppléntir : L ont totl s fors (so torill s onts s fors s rçnt sur l soli. En fft un so fors null put très bin ttr n ount un soli. our êtr oplt ns l onnissn un tion il fur on onnîtr u grnurs : - l so torill s fors s rçnt sur l soli. - l so torill s onts s fors s rçnt sur l soli. n rtinr on qu pour érir l ount un soli ns l sp, il nous fur onnîtr l oupl suint : [So s fors, So s onts s fors] noé Torsur for t noté [F]. insi ls équtions l niqu priés sur ls fors t sur ls onts pourront êtr rnés à s équtions torsorills. hqu tion éléntir, on ssoir un torsur oposé u tur for t son ont. Il st à notr qu l ont prt érir l is n rottion un soli. C st pourquoi pour un prièr pproh l niqu si on s liit à l étu un point ou u ntr inrti un soli l utilistion s torsurs st inutil t l sul onnissn s turs fors suffit, lissnt ôté l notion ont. is ns l étu l éniqu u point, il n fut ps oublir qu l on pr un prti l générlité. Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - -

23 . L torsur for.. Ls fors Ls fors punt êtr rgroupés n trois fills : - Ls fors hp : for grittion, for Lornt. - Ls fors ontt : for frottnt,. - Ls fors nuléirs ssurnt l ohésion u nou toiqu. Ls fors s print n Nwton noté N L pois qui pprtint à l prièr fill st éfini pr ls rtéristiqus suints : - oint pplition : l ntr inrti u soli - Droit tion : l rtil - Sns : Vrs l bs - Vlur : g ss n kg u soli t g9,8n/kg sur trr Dns l s s fors ontt l point pplition orrspon u point ontt... ont fors L ont totl s fors st l grnur qui nous prttr soir si l tion ur pour fft l is n rottion u soli. Il s pri n un point qulonqu t pour un for F nt o point pplition pr : L ont st un tur libr. Il st inépnnt l position sur l roit tion. Nor u ont : F F F F F sin α our s risons siplifition, si l soli st n rottion utour un, on préférr générlnt prir l ont pr rpport à t. pssnt pr l rottion on : F α F F F F sur l. st l projtion F sur l tur irtur.l slir F st inépnnt u hoi S hoisir un tur st hoisir un sns positif pour l rottion utour l. L sign u ont pr rpport à l st on positif si l rottion u tur F utour s fit ns l sns positif hoisi. Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - -

24 . Equilibr, rottion t trnsltion.. Equilibr Tout ount un soli ns l sp put êtr éoposé n : - un ount trnsltion t - un ount rottion. L onnissn l so s fors s rçnt sur un soli rnsignr sur l oifition son ount trnsltion. F G F F F C tur iniqunt l sns t l irtion u ount. L bsn trnsltion s truisnt pr un so fors null. F F L onnissn l so s onts s fors s rçnt sur un soli rnsignr sur l oifition son ount rottion. En fft tout for F nt o point pplition s ppliqunt sur un soli ont l rottion pss pr l point ttr soli n rottion utour son tnt qu l tur n sr ps olinéir u tur for F. L rottion s rrêtnt qun ls turs sont olinéirs soit l prouit toril nul. F F Un soli n pourr êtr intnu ns son étt équilibr qu s il n st is ni n trnsltion ni n rottion. F Cl s truit thétiqunt pr : F F G F t F F ou plus snthétiqunt pr l torsur for [F] : [ F ] F.. Coupl t ount rottion Un soli ont l so s fors st null is l ont totl non nul st souis à un oupl. F F Un oupl st un tion qui t l soli uniqunt n rottion. G F F Un soli initilnt n trnsltion t souis à un oupl rstr n trnsltion is subir n plus un ount rottion F F F Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 4 -

25 .. Trnsltion L oifition u ount un soli, souis à un nsbl fors non nulls is ont totl nul, sr un trnsltion. F G F F F F F Un soli initilnt n rottion t souis à un so for non null is ont totl nul rstr n rottion is subir n plus un ount trnsltion.. Fors frottnt étion u support t for frottnt sont générlnt inlus ns un ê for noté. L torsur [ ] s éopos on n : N : étion norl T : étion tngntill for frottnt.. Frottnt sttiqu : ont résistn u piotnt N : ont résistn u roulnt T Qun l soli st iobil u fit s frottnts on put éfinir un ftur frottnt sttiqu µ S. µ s st éfini à prtir l lur il qu put prnr l oposnt tngntill sns qu il it ount. n on T µ t on qun l soli st iobil : s N T µ s N n put ussi utilisr l ngl frottnt sttiqu t l ôn frottnt pour iu isulisr l liit à prtir lqull l soli glissr. prtir u ont où T st supériur à frottnt niqu µ D. µ, l soli s t n ount t il fut utilisr l ftur s N.. Frottnt niqu L ftur frottnt niqu µ D qui o µ S st un grnur tbulé qui épn l ntur u ontt, prt prir l oposnt tngntill n fontion l oposnt norl : T µ D N L lur µ D st obligtoirnt infériur à µ S Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 5 -

26 Epl : Soli sur un pln inliné rnons un soli pois N posé sur un pln inliné un ngl α. L soli st n équilibr si ls u fors t sont égls t opposés. n suppos µ, 4 t µ,. φ rtn(,4, 8 S D S Tnt qu l pnt st ngl α φs : L rétion ut N osα t l for frottnt T sinα qui st érifi T µ s N, on it qu l rétion st ns l ôn frottnt sttiqu : N osα N φ S α T T sin α is ès qu l ngl α > φs. n toujours N osα is l lur µ s N st supériur à T on on lul ésoris T µ D N r l soli s t à glissr. N N osα,9 9, N T α T µ D, 9,,76N N Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 6 -

27 .4 ésolution s problès sttiqu.4. Soli n équilibr sous l tion fors our qu un soli soit n équilibr sous l tion fors, il fut t il suffit qu ls u fors soint égls t irtnt opposés..4. Soli n équilibr sous l tion fors our qu un soli soit n équilibr sous l tion fors, il fut t il suffit qu : - ls fors soint oplnirs. - ls fors soint onournts u ê point. - hun s fors soit opposé à l so géoétriqu s utrs : niqu fré. F G F F F F F.4. Soli n équilibr sous l tion n fors ropriété très iportnt : L projtion sur un pln un sstè n fors n équilibr st un sstès n fors oplnirs n équilibr. our ls orps possént un pln sétri pln sr toujours hoisi o pln projtion..4.4 étho our résour un problè sttiqu il fut proér générlnt insi : - élisr un ssin sitution où figur l sstè à étuir ns son nironnnt tériur sns fir figurr fors. - élisr un ssin où n figur qu l sstè étuié t ls fors tériurs qu il subit. - Fir un biln s rtéristiqus onnus t inonnus s fors. - élisr l onstrution thétiqu truisnt ls onitions équilibr : l niqu s fors. - Eploitr s ifférnts étps pour résour l problè. L utilistion u ont pr rpport à un onn un éqution : / Et l utilistion l projtion l so torill s fors sur un pln ( n fournit u utrs : F F Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 7 -

28 TVUX DIIGES SU L STTIQUE Eri : L potn Soit un potn onstitué : - un brr étlliqu hoogèn longuur Bl,5 t ss kg - un âbl horiontl longuur BCl, t pois négligbl nt l tnsion n suspn n B un âbl kg uqul st tthé un hrg 89kg. Fir un biln s fors s ppliqunt sur l brr. n nor β l ngl qu fit l rétion l rtil. b pplr ls onitions équilibr puis ls prir n fontion s onnés u problè. En éuir l lur l tnsion u âbl t l rétion n. n prnr g N/kg C l l B Eri : L onsol obil Soit un onsol onstitué un tringl rtngl isoèl BC t tl qu BCl. Son pois st négligbl nt l hrg porté sur C. Ell st instllé sur un tuu iètr r. Soit k l offiint frottnt glissnt ntr l onsol t l tuu. ' C Clulr l istn inil à l u tuu pour lqull l hrg put êtr supporté sns qu il it glissnt l onsol. B' B Eri : L éhll Soit un éhll pois n ontt un proi liss t un sol liss. ontrr qu si ls ontts s font sns frottnt, il st ipossibl ppur l éhll obliqunt ontr un ur rtil. B θ B θ b Dns ls pls i-ontr prir l rétion n t B insi qu l tnsion T u fil n fontion, lb t θ. C fil fi n C C n onsièr ésoris ns l suit l ri un sol ruguu, t l éhll n st plus intnu pr un fil. B Clulr l ngl frottnt pour intnir just l éhll n équilibr. En éuir ls rétions n t B t l offiint frottnt sttiqu (l5, 5N, θ b Eprir l longuur l n fontion l inlinison θ l éhll à lqull un ho pois put ontr. Fir l pplition nuériqu un nfnt kg t un ho kg pour un ngl. Inrsnt prir l onition pour qu un ho pois puiss ontr n hut l éhll. Fir l pplition un ho 7kg. θ Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 8 -

29 Eri 4 orrigé rtil : θ H G 4 I J 6 B Consiérons un éhll oubl onstitué u éhlls sipls n luiniu kg hun. Ls u éhlls sont liés pr un prfit sns frottnt n t tthés n I t J pr un or. L or st pois négligbl. L sol sur lqull ll st posé st onsiéré o prfitnt liss t on sns frottnt. Un ho uni un su son ntr ss G sur l éhll à un hutur 4, l nsbl psnt 8kg. n prnr pour siplifir gn/kg our siplifir nos rltions, on n prnr ps n opt ls fors s rçnt n. L ngl θ st 6. Fir un biln fors s rçnt sur l éhll t oplétr l nn n ls fisnt figurr. n pliitr ls ooronnés s ifférnts fors ns l rpèr rtésin. pplr ls onitions équilibr s fors t s onts pr rpport u point Eploitr s onitions pour étblir ls équtions qu oint stisfir ls fors. n lulr pour l l ont toril s fors pr rpport u point. ( ppl ( tn t on G 4 En éuir ls lurs s rétions u sol. Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 9 -

30 Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt CECTINS : Eri 4 rtil : B G I J T T B G G n : rt rt B B rt rt rt rt T T rt T T T T B T T B T T B ntrîn : T T (u B ( T T B ntrîn : on : G G G 4 4 I 4 4 J B soit 6 6 t on 6 D ê B B 6 ; ; t T I T soit 4 4 T T t on T T 4 t ussi T T 4

31 Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - - B T T T T B s oit T T B ( 4 D t on éuit : 6 6 B ls lurs N 8 ; N on obtint l sstè B B 8 B B N N B 467 7

32 4 Dniqu s solis L niqu st l prti l éniqu qui étui ls uss u ount. 4. Elénts niqu our qui bin opris qu tout ount pouit s onstruir à prtir un ount trnsltion t rottion, opris l néssité s torsurs. Ctt ntité oposé u turs truisnt l ount trnsltion t rottion été introuit ls fors. C st ésoris ls élénts inétiqus qu nous llons l éfinir. 4.. L torsur inétiqu L torsur inétiqu [] orrspon u grnurs [quntité ount, ont inétiqu] érits i-près. Il st iportnt notr qu s grnurs épnnt u référntil hoisi Quntité ount our étuir l ount un soli pontul isolé, on pourrit s ontntr onnîtr s itss. is l étu u ount u solis n intrtion n pourr s fir qu pr l ponértion s itsss pr un grnur qui épn l objt. Ctt grnur st pplé ss inrt (inrt : inrti : itss. L périn ontr qu tt grnur qui ponèr l itss un soli st l ê qu ll qui ponèr l for grittionnll s solis ntr u. Ell st noé ss gr. n nor on ss sns istintion l ss gr t l ss inrt. ussi on utilisr un tur p qui orrspon à l ponértion l itss pr tt grnur pplé ss : p p st pplé quntité ount. Lorsqu l soli n st ps pontul il fur utilisr l résultnt inétiqu : p i i i 4... ont inétiqu Dns l s un soli qulonqu, il fur n plus l résultnt inétiqu u soli éfinir l ont totl ssoié pplé ont inétiqu résultnt : L i p Dns l s un istribution non ps isrèt is ontinu on lulr 4... rrêt, rottion t trnsltion. p t L i i r nlogi l torsur for où l on it éfini ls s : équilibr, oupl t trnsltion on put érir ls s suint : - L soli st à l rrêt : p t L - L soli st n rottion : p t L - L soli st n trnsltion : p t L Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - -

33 4.. L torsur niqu Lorsqu l itss ri on utilis l élértion pour érir tt rition. D l ê fçon on put éfinir un torsur niqu [D] à prtir l quntité élértion t u ont niqu. Et pour un soli on prnr l résultnt niqu t l ont niqu résultnt D i i N i D i D t N i i Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - -

34 4. rinips fonntu l niqu 4.. Enoné Nwton rièr loi : Tout orps prséèr ns son étt rpos ou ount rtilign unifor, suf si s fors ipriés l ontrignnt n hngr. Duiè loi : L hngnt ount st proportionnl à l for iprié t s fftu suint l roit pr lqull tt for st iprié. Troisiè loi : L rétion st toujours ontrir à l tion : ou nor ls tions qu u orps rnt l un sur l utr sont toujours égls t irigés n sns ontrir. 4.. Enoné thétiqu u prinip fonntl C prinip issu l uiè loi Nwton rn équilnt u grnurs fonntlnt ifférnts n lint l ount u fors. Dns un référntil glilén, l ount un sstè points térils pr rpport à un point fi érifi l éqution torsorill suint : F, t n notnt [ ] [ ] [ ] t F/, t / l torsur s fors tériurs ont l ont st lulé pr rpport à. En trnt u torsur ss u oposnts torills, on obtint ls u théorès suints : 4.. Théorè l quntité ount, Théorè l résultnt inétiqu Dns l s un soli pontul on obtint l théorè l quntité ount : p Ft t Dns l s un soli non pontul on prl théorè l résultnt inétiqu Théorè u ont inétiqu L théorè lint ls onts s pri pr : L t Ft C théorè put s érr util ê lorsqu l résultnt u ont s fors st null r l ont inétiqu st lors un onstnt torill. is on l utilisr surtout pour l étu s solis t non pour l étu l niqu u point. Unirsité oh V Fulté s Sins bt. Bnt - 4 -

35 4. Dniqu s prtiuls hrgés C hpitr niqu s pl blé ns un r rstrint étu s prtiuls. Clls-i sont onsiérés o pontulls, oublint insi l possibilité un éntull rottion l prtiul sur ll-ê t rstrignnt l étu à un problè niqu u point. Lurs itsss sont supposés très infériurs à l itss l luièr pour rstr ns l r l éniqu nwtoninn. 4.. Fors hp Ls prtiuls hrgés possènt u rtéristiqus intrinsèqus : - lur ss, - lur hrg q, t l rtéristiqu ount : lur itss. Chp grittionnl : C st ns un hp grittionnl G qu pprît l for grittion : F G G l hp G réé pr un istribution oluiqu ss ut : qui à l istn r l prtiul Chp éltrognétiqu : r G G r C st ns un hp éltrognétiqu ( E, B qu pprît l for Lornt : F L q( E B 9 L étu sur trr un prtiul tll qu l éltron ss 9, kg t hrg q,6 C t 8 itss s souis u hps hbituls: G 9,8N kg, t n onurrn : - un for grittionnll F G 9 N E V t B 5 T 6 - un for Lornt F L N L for Lornt st lors i ill illirs ( fois plus intns qu l for grittionnll. n négligr on générlnt l for grittionnll nt l for Lornt. Unirsité oh V Fulté s Sins bt. Bnt - 5 -

36 Eri : L osillosop. TVUX DIIGES SU L DYNIQUE Détrinr ls fors subis pr un prtiul hrg q, ss, lorsqu ll st situé ns un sp où règn un hp éltriqu E. Coprr s fors sur l pl u proton : q,6. -9 C,, kg, EkV. - (fibl hp Conlusion. En souttnt u plqus étlliqus prllèls à un tnsion V, on ré ntr lls un hp unifor E. Supposons qu un prtiul pénètr à l instnt t ns l oin E un itss prpniulir à E. Ern l'osillosop H B C D E longuur s plquslc Donnr ls équtions horirs u ount. b L prtiul sort u hp u point B t prn, n l bsn for, un ount rtilign ns l irtion B ont l support pss pr. Détrinr ls u oposnts B : B t B n fontion : E, l, q, t. L prtiul touh l érn u point H. Détrinr ls ooronnés H n fontion E, l, D, q, t. Unirsité oh V Fulté s Sins bt. Bnt - 6 -

37 Eri orrigé : rtiul ns un hp éltriqu. Soit l prtiul hrg q initilnt pris à l origin u rpèr, ss, osα itss sinα rt t souis u hp éltriqu E tl qu E E. Eprir l théorè l niqu En éuir ls ooronnés s turs élértion, itss t position. Détrinr l éqution l trjtoir. 4 En prnnt α réponr u qustions t t n éuir l ntur u ount. 5 ê qustion α /. α E Eri orrigé : rtiul ns un hp gnétiqu Soit l prtiul hrg q initilnt pris à l origin u rpèr, ss, itss u hp gnétiqu B tl qu B B. sinα osα rt t souis Donnr l prssion u théorè l quntité qb En posnt ω étrinr l prssion s ooronnés s turs élértion puis itss. En utilisnt ls ooronnés u tur itss, ontrr qu l ooronnés position érifi l éqution ifférntill : ω 4 En éuir l prssion u tur position t l ntur u ount. Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 7 -

38 Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt CECTINS : Eri : rtiul ns un hp éltriqu. L pplition u théorè l quntité ount onn : E q t rt qe rt t qe sin os α α rt t t t qe sin os α α D où l éqution l trjtoir : α tnα sin qe 4 : rt t t qe rt t qe rt qe Il s git un ount rtilign uniforént rié ns l sns u hp 5 / : rt t t qe rt t qe rt qe L éqution l trjtoir st lors : qe qui st l éqution un prbol. Il s git un ount prboliqu uniforént rié. Si l hp éltriqu n st qu sur un hutur L on obtint : t L t qel L qe tn φ soit tn( qel r φ ou EL q φ tn α E Φ L

39 Eri : rtiul ns un hp gnétiqu L pplition u théorè l quntité ount onn : t qb osons ω, on soit : En réintrouisnt l prssion q B q B t ω ω rt t pr intégrtion ω st ω st ω st osα ω ns l prssion ω on obtint l éqution ifférntill : ω Co iniqué n nn tt éqution pour solutions : Ls onitions initils onnnt à t : t sinα r n prnnt os( ω t o tp solution on à t os t ω sin C qui prt trour ls onstnts π t iωt B iωt ou osω t Bsin ω t os( ω t sinα or os( ω t π sin( ωt où ω sinα sin( ω t ω sinα ω sinα sin( ωt qui onn pr intégrtion os( ωt st ω Ls onitions initils onnnt à t : α sin α sin os( ωt ω ω rt sinα sin( ωt ω sinα ω ( os( ωt ( osα t n ronnît l tur position un ount hélioïl (f TDs inétiqu ps héli ron sinα. ω rt osα π t ω Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 9 -

40 5 Enrgétiqu 5. Grnurs slirs L utilistion grnurs slirs plutôt qu torills prt à l fois siplifir ls équtions t oir un illur opréhnsion s phénoèns u trrs grnurs plus intuitis : ls grnurs énrgétiqus. 5.. uissn, Tril t Enrgi potntill uissn Dns l s sipl un soli pontul l puissn un for orrspon u prouit slir l for pr l itss éplnt son point pplition : F Dns l s un for F gissnt sur un sstè points on érir : - pour un istribution isrèt : F i i i C qui put s siplifir n introuisnt l notion soli t ls grnurs torsorills ssoiés. L puissn s obtint à l i u oprouit torsoril : [ F] [ ] qui orrspon u prouits slirs suints : F F ω où ésign l itss trnsltion u soli t ω s itss ngulir rottion. Lorsqu sr positif, on prlr puissn otri ontrir. tnis qu on prlr puissn résistnt ns l s L unité puissn st l Wtt. Tril L tril éléntir un soli pontul δ W orrspon u prouit l for pr l tur éplnt éléntir : δ W F Qu l on put ussi érir pr référn à l itss : δ W F t Dns l s un sstè points souis à un for F on érir : δ W F i t C qui s siplifi à l i s grnurs torsorills u soli pr l oprouit torsoril : i [ F] [ ] t δ W qui orrspon u prouits slirs suints : δ W ( F ω t F où ésign l itss trnsltion u soli t ω s itss ngulir rottion. n notr bin qu générlnt l tril éléntir st un for ifférntill t l tril W qu l on lulr n épnr ps uniqunt s étts initiu t finu u sstè is ussi u hin prouru ntr s étts. L unité tril st l Joul. Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 4 -

41 Enrgi potntill Dns rtins s, l tril put s ttr sous l for un ifférntill totl t t il n épn lors qu s étts initiu t finu. n prl lors non plus tril is énrgi potntill : ξ p δw n n pourr éfinir tt grnur qu ns l s fors its onsrtis. C qui s érir ns l s un sstè points : t ns l s u soli : ξ ξ p ξ p F p F i i ( F ωt Inrsnt on pourr ir qu s fors érint un potntil t on truir l thétiqunt pr : F grξ p Entr u étts t B, on pourr intégrr ξ p t lulr l énrgi potntill ξ p : ξ p ξ F p Tril t énrgi potntill s fors usulls L pois n prn g t on δ W g. Si l on suppos qu l soli st ss onstnt t qu il st plé ns un hp grittionnl onstnt lors : t on éfinir un énrgi potntill éléntir soit pr intégrtion : δ W g δw ξ p : ( g ( g ξ p ξ p g st L pois st on un for onsrti t on notr l tril : δ W g t l on put pr pl lulr ns l s l hut libr un orps un point hutur h u point B hutur h B : B B W δ W g g( hb h < Tril rsistnt Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 4 -

42 For rppl un rssort l F k ( kl δ W F l k l l où k st l onstnt riur u rssort t l l ( l t on pr intégrtion : on put érir : δw k l ξ p ξ p k l st Co préént l for rppl st un for onsrti t on ur l tril : W l δ W k l k ( Il st à notr qu l intégrtion s fit sur l llongnt t non sur l position on n ps For frottnt isquu W δ W B F α F α δ W F l α l Dns s l tril épn l itss qu prn l obil ntr ls points t B on ur : t on n put éfinir énrgi potntill. n ir qu ls fors frottnt sont non onsrtis. W n n δ W α l Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 4 -

43 5.. Enrgi inétiqu, on put ésoris fir ê l torsur inétiqu. our lui onsrr son hoogénéité un énrgi t pouoir utilisr l prinip fonntl l niqu on éfini l énrgi inétiqu ns l s u soli pontul pr : n bâti préént un grnur slir à prtir u torsur for [ F] [ ] soit : ξ p ( ξ soit pr intégrtion : ξ st n prn o onstnt l lur null pour oir un énrgi inétiqu null à itss null. ξ Dns l s un istribution isrèt points on notr : ξ i t un istribution ontinu : ξ Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt i Et n utilisnt l nottion plus sipl s torsurs, l énrgi inétiqu sr pour l soli soit pr intégrtion : où C ésign l ntr ss u soli. ξ ξ [ p] [ ] ( p L ωs Dns l s un ount trnsltion on ur : ξ ( p t un ount rottion : ξ ( L ω S 5..4 Enrgi éniqu n ppllr énrgi éniqu, l so l énrgi u u ount ( ξ t l énrgi u u fors onsrtis : ξ ξ ξ Il st à notr qu ns l s un soli souis à s fors intériurs t tériurs, l énrgi éniqu s érit n étillnt : t int ξ ξ ξ p ξ p Ctt rrqu prn tout son iportn ns l pplition u théorè l énrgi éniqu Enrgi totl n ppllr énrgi totl, l so touts ls fors énrgi un soli t on l notr ξ. n pourr éoposr tt énrgi n u tps : - ls grnurs énrgétiqus surbls l éniqu : - l énrgi inétiqu u soli - l énrgi potntill s fors tériurs. - touts ls utrs : - l énrgi intrn U (qui oprn l énrgi potntill s fors intériurs. ξ ξ ξ p t p U

44 5. Théorès thétiqus 5.. Trnsport s onts Clulons l ont n u points ifférnt t : F t ê on uri l ont inétiqu : ' F F ' ( ' ' F ' F F F ' F L / ' F F ' L ' p / ' 5.. éférntil u ntr ss fin siplifir rtins prssions, il st intérssnt éfinir un référntil prtiulir pplé référntil u ntr ss t noté. C référntil n trnsltion pr rpport u référntil étu st tl qu ns référntil tthé u soli, s résultnt inétiqu soit null. p t L ntr inrti u soli s éfini pr: C C t on soit p / t t C ns l référntil u ntr ss on ur C / n rtinr qu l ntr ss C st fi ns référntil éfini pr p 5.. Théorè Konig Utilisons pour éontrr théorè l ont inétiqu un istribution ontinu ss. Eprions l ont inétiqu ns pr rpport à L /, / Eprions l ont inétiqu ns C pr rpport à C (point fi C : L C / C, / C C C L référntil C étnt n trnsltion pr rpport à on : / / C C / Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt

45 L L ( C C ( / C / /, C C C C C /, / / C / C / C C C / C pr éfinition u rférntil u ntr ss L C, C C C / C C / C C / pr éfinition u rférntil u ntr ss L /, L/ C, C C C / C théorè qui s rpport à un point fi prt l pplition plus isé u théorè u ont inétiqu. Théorè Konig pour l énrgi inétiqu ê qu préént : ξ ξ / / / C C / ( / C / C ξ / / C C ξ C / C C / / C C C / / / C pr éfinition u réfrntil u ntr ss ξ C / ξ C / C C / Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt

46 5. Théorè l énrgi inétiqu L théorè l énrgi inétiqu orrspon à l is n rltion s grnurs énrgétiqus u trrs u prinip fonntl l niqu. n ultiplint pr [] : [ p] t [ F] [ p] [ ] [ F ] [ ] t. ξ t δw. δt ξ δw. ou nor n intégrnt : L théorè s énon insi : ξ W. L rition énrgi inétiqu un soli orrspon u tril s fors s ppliqunt sur soli. rqus iportnts : Lorsqu l on énoné l prinip fonntl l niqu on fit pprîtr uniqunt ls fors tériurs r l so s fors intériurs insi qu l so s onts s fors intériurs étint nulls. is ns l théorè l énrgi inétiqu, l fit ppliqur un prouit slir l itss hqu point u soli n ntrîn ps l nullité l so. insi l théorè l énrgi inétiqu prn n opt s fors qui n pprissnt ps ns l théorè fonntl l niqu. n put on érir : ξ W int W t Il fut notr utr prt qu l tril ésign un trnsfrt énrgi t non un énrgi. C trnsfrt énrgi orrspon à l rition l énrgi inétiqu. r ontr, on put ir qu à tout instnt l soli possè un énrgi inétiqu, qui n st ps l s l tril. 5. Théorè l énrgi éniqu L intérêt éfinir l énrgi éniqu t pr l ê utilisr un théorè l énrgi éniqu st fir pprîtr un istintion ntr fors onsrtis t non onsrtis. En fft : près l théorè l énrgi inétiqu : t pr éfinition l énrgi potntill : on : Soit : ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ons ξ δw δw ξ p ons δw δw p δw ons p non ons non ons δw ons ξ δw non ons ξ W non ons insi n l bsn fors n érint ps un potntil l énrgi s onsr : ξ D où l pplltion onsrti pour ls fors érint un potntil. Unirsité oh V Fulté s Sins BT. bnt

47 5.5 Trnsfrts énrgétiqus 5.5. Différnts tps trnsfrt n int oir qu l tril noté W orrsponit à un trnsfrt énrgi. Si l on rgr un pu plus préisnt l oportnt s prtiuls éléntirs qui subissnt un tril, on s prçoit qu lurs niu énrgi rint is qu lur réprtition ns s niu énrgétiqus rst inhngé. C st pourquoi on it qu l tril orrspon à un trnsfrt énrgi rosopiqu. r opposition, on éfinir un trnsfrt énrgi irosopiqu qui u sin s prtiuls éléntirs s truir pr un oifition non ps s niu énrgi is l réprtition s prtiuls ns u-i. Cs trnsfrts sont noés trnsfrt loriqu ou hlur t noté Q insi éfini il n ist qu u tps trnsfrts énrgétiqus : - L tril W : trnsfrt énrgi rosopiqu, - L hlur Q : trnsfrt énrgi irosopiqu. L tril n st ps forént lirnt ssoié à un for. r pl l tril éltriqu un rsistn sr δ W t I t Qu ils soint rosopiqus ou irosopiqus, ls trnsfrts énrgi s font sous plusiurs os qui sront étillés ns l suit u ours (pr r Dounis: - ls trnsfrts ritifs û u photons t pplé ronnnt, - ls trnsfrts ontifs û à un ount nsbl l tièr. - ls trnsfrts iffusifs û u ounts gittion l tièr t pplé onution rir prinip throniqu Ls prinips qui régissnt ls lois l phsiqu sont pu nobru. près oir énoné ls prinips fonntu l éniqu, oii l prir prinip throniqu : our tout sstè n éhngnt l tériur qu l énrgi on : ξ δw δq ξ W Q où W t Q ésignnt ls trnsfrt énrgi à trrs l surf éliitnt l sstè. n pourr ussi érir ( U ξ ξ W Q p t 5.5. nnt n éfinir l rnnt o l rpport : η Enrgi util Enrgi onsoé Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt

48 Eri : Sut à l élstiqu TVUX DIIGES SU L ENEGETIQUE Fits un biln s fors à l équilibr tt prsonn ss 7kg suspnu à un élstiqu riur : k 4N, longuur à i : 8 t g N b Clul l tril s fors ntr l hut u pont t un position qulonqu (ous fr pprîtr ls u phss u ount. ppl l théorè l énrgi inétiqu t prir l itss un point qulonqu. En éuir l longuur il ttint. près oir iniqué à qul ont l trjtoir l itss st il ous l lulr. f près oir iniqué à qul ont l trjtoir l for rppl st il ous l lulr. Eri : ount un surfur sur un gu n oélis l ount u surfur pr un point ss n sns itss initil t l on hrh à soir qull oit êtr l hutur h pour qu l surfur ttign l point S sot l gu. S h D θ C α H B Iniqur sur l shé i-ssus ls fors s rçnt sur l surfur u u points iniqués t C. Tritnt slir : Eprir l tril s fors lors un éplnt éléntir. b Eprir l énrgi potntill u pois. ppliqur l théorè l énrgi éniqu pour lulr l itss u point B. Eprir H n fontion t θ. ppliqur l théorè l énrgi éniqu pour lulr l itss u point C n fontion H t B Tritnt toril : Iniqur ns l rpèr intrinsèqu à l prti BD, ls ooronnés s turs fors, itss t élértion. Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt

49 b En ppliqunt l théorè fonntl l niqu, n éuir l lur l rétion n fontion s onnés suints :,, θ, C t g. 4 Iniqur l onition sur h pour qu l surfur ttign l sot S l gu. Eri orrigé : ount un prtiul n intrtion nwtoninn ou oulobinn rti ppl l prssion l for grittion t l for Coulob un prtiul ss t hrg q uniqunt n intrtion un sstè ss t hrg Q. Vous onsiérr sstè o origin u rpèr. n notr ésoris sns istintion s fors sous l for b Eprir l ont tt for pr rpport à. rti Elénts inétiqus K F r En ppliqunt l théorè u ont inétiqu, n éuir l propriété u ont inétiqu un prtiul souis à un intrtion Coulobinn ou Nwtoninn. b ppl l prssion générl u ont inétiqu tt prtiul. Qu pou-ous n éuir sur l ntur u ount un prtiul souis à un intrtion Coulobinn ou Nwtoninn. En éuir n ooronnés linriqus, ls turs position t itss. En éuir ls élénts inétiqus (Enrgi, quntité ount t ont. rti Tril t énrgi potntill r Eprir l tril éléntir δw b Eprir l énrgi éniqu. rti 4 Eqution u ount t ontrr qu l on put éfinir un énrgi potntill. our rhrhr l éqution u ount on pos : u t on u u u L u ontrr qu l on put érir ξ u b En éuir l prssion l énrgi éniqu ξ Clulr En ppliqunt l théorè l énrgi éniqu t n utilisnt l résultt préént n éuir l éqution ifférntill u ount (n u À l i otr ours th, onnr l prssion u t n éuir l prssion. u u Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt

50 CECTINS : Eri : ount un prtiul n intrtion nwtoninn ou oulobinn rti,, Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 5 -

51 rti 4 Eqution u ount Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 5 -

52 6 Soli n rottion utour un irtion fi près oir éfini ls grnurs t ls théorès l éniqu u soli, il nous rst à ppliqur s théoris à s s prtiqus. L prir pl qu nous ons trité étit lui s prtiuls hrgés où l on s rnit à l niqu u point. Dns l s l niqu u soli, trois s sont nisgbls pour l ount u soli : - un ount trnsltion, - un ount rottion, - l obinison s u préénts. L tritnt u ount trnsltion st siilir u tritnts niqu u point. Nous llons on ns hpitr tritr ls ounts rottion n l bsn ount trnsltion. our éitr rntrr ns s tritnts thétiqus triils qui pportnt pu élénts suppléntirs à l opréhnsion phsiqu s ounts rottion, on s rstrinr à l étu solis nt un sétri sphériqu ou linriqu. 6. ont inrti Lors ount rottion, l réprtition s sss u soli pr rpport à l rottion st un rtéristiqu ssntill. Il st néssir bâtir un grnur intrinsèqu u soli qui prnn n opt tt réprtition ss. L prièr ié pourrit êtr éfinir un prt un grnur : ss istn à l. is l istn à l pprîtrit nouu ns l prssion l itss hqu point slon l rltion ω, lors u lul u ont inétiqu. n éfinit on l grnur intrinsèqu: ss istn à l istn à l soit : I 6.. ont inrti pr rpport à un En prnnt H i l projté orthogonl sur l rottion hqu point i ffté un ss i. Si l istribution ss st isrèt on l lul pr I ( H Si l istribution ss st ontinu on l lul pr H i i i i. I l ss oluiqu noté insi pour n ps l onfonr l ron polir. H i i Eprssions pr rpport u s u rpèr rtésin En ooronnés rtésinns : Si st l : I ( Si st l : I ( Si st l : I ( En ooronnés linriqus : Si st l : I soit : I Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 5 -

53 6.. ont inrti pr rpport à un point our s risons filité lul, il put êtr intérssnt éfinir l ont inrti pr rpport à un point I r En fft ns l s un sétri sphériqu ls s,, t sont équilnts t on : t on : I ( ( ( ( ( I I I I I I I I I I t on pour ls solis à sétri sphériqu: I I 6.. Bs prinipl inrti Lors u ount rottion un soli, l rottion n orrspon ps forént u s sétri u soli. Si l soli possè s s sétri l hoi s s u rpèr s n éuit fin filitr ls luls. En fft : Tout sétri térill st prinipl inrti Tout prpniulir à un pln sétri térill st prinipl inrti n pourr on très sount êtr onfronté à éfinir s onts inrti pr rpport à un rottion qui n orrspon ps u s sétri u soli. ussi toujours fin filitr ls luls, -t-on proér insi : L soli possè-t-il s s sétri prttnt trour s bs 'inrti? NN n hoisi l rpèr l plus pté UI n éfini ls s u rpèr n fontion s s sétri u soli L bs hoisi st bs 'inrti n lul l tri 'inrti n lul irtnt ls onts prinipu 'inrti L bs lulé st bs 'inrti n igonlis l tri t on pri l bs propr fin 'obtnir ls onts prinipu 'inrti Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt - 5 -

54 Dns ours on s liitr u solis à sétri linriqu t sphériqu t on l bs rtésinn sr un bs prinipl inrti t on ur : - pour l sétri sphériqu I I I - pour l sétri linriqu I I Don on lulr bor s onts inrti puis on n éuir l ont inrti pr rpport à notr qulonqu pr l rltion sipl : C I I α I β où l st tur irtur I α β δ δ 6..4 Théorè Hughns-Shtinr C théorè prt lir l ont inrti pr rpport à un qulonqu l ont inrti un prllèl pssnt pr l ntr inrti u soli. En fft on : H i H H I H H HH H t on C ( HHC HC HHC HC HHC HC C C I HH C HH C H C HH C HH H C C H C I C HH C H C HH C H C I I C Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt

55 Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt Epls luls onts inrti ont inrti un isqu plin L sétri st linriqu on prn on : I L olu un isqu ron t épissur h st h V π on : h h I π π h h I π π 4 4 I ont inrti un ôn plin régulir L ôn st hoogèn ron u sot t hutur h L ss u ôn st π h (f nn4 5.. on h π Clulons l ont inrti pr rpport à l : I n utilisr l résultt préént n onsiérnt l ôn o un pilnt isqus ron r : I I r I h π t h r ( f nn4 4.. n obtint : π h r I h h h h I π π h h h h I 4 π π I r h

56 ont inrti un sphèr rus Co pour l lul u ntr inrti on s rèn à s luls sur ls élénts surf. L sétri sphériqu prt lulr l ont inrti pr rpport u point t n éuir l ont inrti pr rpport à l slon L élént surf st lors I I I S θ sinθ S S Co on l u n nn4 4.. l surf un sphèr ut I S 4π S S θ sinθ 4π 4π t on S I 4π π sinθθ π I 4π I 4π I ont inrti un sphèr plin L sétri sphériqu prt lulr l ont inrti pr rpport u point t n éuir l ont inrti pr rpport à l slon I I I r L élént olu st : r rθ rsinθ 4 Co on l u n f nn4 4.. l olu un sphèr ut I r r rθ rsinθ I π 4 r r sinθθ 4π 5 π osθ 4π 5 5 I / / π/ 4/ π/ 5 I 5 I 5 I π t on π [ ] π 4π Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt

57 6. Cs un soli à sétri linriqu ou sphériqu Dns l s u soli à sétri linriqu ou sphériqu ls s u rpèr orrsponnt ls s prinipu inrti. Ls rltions fonntls i-ssous onsrnt tout lur générlité, is pour ls ppliqur ns l s générl tlls ont êtr présntés ii, il sr néssir rourir à s luls triils prouits inrti pour s plr ns l bs prinipl inrti. 6.. ont inétiqu - ont inrti Soit l rottion linr utour l noé L prssion u ont inétiqu : ut s érir shnt qu : L l Et qu pour tout point situé à un istn l rottion on : L prouit toril onn : / l / où l prssion u ont inétiqu : ( ( L où on put ontrr qu l son tr st nul t on l projtion sur l rottion u ont inétiqu s érit : L L l L I 6.. Théorè u ont inétiqu pr rpport à l rottion L projtion u ont inétiqu t u ont s fors pr rpport à l rottion prt érir : L t Ft Ft I Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt

58 6.. Eprssion l énrgi inétiqu un soli n rottion utour un fi n sit qu : ξ Dns l s un soli n rottion nt un point fi l prssion l énrgi s siplifi. n u n.. qu l prssion l itss st ns s : ω C qui prt érir : ξ ( w ξ ξ ( w ξ ( w L w Dns l s l rottion utour l irtion fi pssnt pr l point on : L L I w t qui prt érir : ξ I 6.. nlogi l ount trnsltion n put fir pprîtr l nlogi grâ u tblu suint : Grnur Trnsltion slon l ottion utour l Enrgi inétiqu ξ ξ I Théorè fonntl Ft Ft I Torsur inétiqu p L I Ci nous prt iu nous rnr opt l iportn onts inrti ns l opréhnsion phsiqu s ounts rottion. Unirsité oh V Fulté s Sins BT. Bnt