Chapitre 10 Intégration

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1 Chpitre Intégrtion I. Intégrle d'une fonction continue et positive Définition : Dns un repère orthogonl (O ; OI, OJ), l'unité d'ire (notée u..) est l'ire du rectngle OIKJ où K est le point de coordonnées (; ). ) Notion d'intégrle Définition : f est une fonction continue et positive sur l'intervlle [ ;]. c est s coure représenttive dns un repère orthogonl. Le domine situé sous s coure c est le domine situé entre c, l'xe des scisses et les droites d'équtions x= et x=. Remrque : Le domine peut être défini comme l'ensemle des points M (x ; y) tels que : x et y f (x) Définition : f est une fonction continue et positive sur un intervlle [ ;]. L'intégrle de à de l fonction f est l'ire, en unités d'ire, du domine situé sous s coure c. On l note : f (x)d x Propriété : Pour toute fonction continue et positive sur [ ;], f (x)d x est un nomre réel positif ou nul.

2 Remrques : f (x )d x se lit «intégrle de à de f (x)d x» ou «somme de à de f». et sont les ornes d'intégrtion. x est l vrile d'intégrtion. On dit que x est une vrile muette cr elle n'intervient ps dns le résultt. On peut noter indifféremment : f (x)d x= f (t)dt= f (u)d u ) Propriétés immédites f est une fonction continue et positive sur un intervlle [ ;] de coure représenttive c. Propriété : Démonstrtion : Le domine est lors réduit à un segment. f (x )d x= Propriété (reltion de Chsles) : Pour tous nomres réels,, c tels que c. c f (x)d x = c f (x)d x+ Démonstrtion : Cel résulte de l'dditivité des ires. f (x)d x Propriété : (conservtion pr symétrie) : Si c est symétrique pr rpport à (OJ) lors, pour tout >. d'où f (x)d x= f ( x)d x f (x)d x= f (x)d x Propriété : (conservtion pr trnsltion) : Si l fonction est périodique de période T : x I, x+t I et f (x)= f (x+t ) +T f (x)d x= +T f ( x)d x

3 Exemples : Soit f l fonction ffine définie sur R pr : f (x)= 4 x+ et d s représenttion grphique. 6 f (x )d x est l'ire du trpèze ABCD et vut : AD+BC AB= f ()+ f (6) 4=,5+3,5 4= u.. L fonction f définie sur l'intervlle [ 4; 4] représentée ci-contre, modélise un signl en dent de scie otenu en électronique. Les tringles colorés en leu sont symétriques pr rpport à l'xe des ordonnées, donc : f (x)d x= f ( x)d x Les tringles hchurés se correspondent pr une trnsltion, donc 4 Ainsi 4 f (x)d x=4 4 f (x)d x= f ( x)d x f (x)d x=4 =4 =8 u.. II. Notion de primitives ) Théorème fondmentl Soit f une fonction continue et positive, définie sur [ ; ] et x un nomre réel quelconque de cet intervlle. x L'intégrle f (t)d t est l'ire de l prtie du pln coloriée en leu, qui dépend de l vleur x. Pour x= cette quntité vut de l prtie hchurée. f (t)d t, c est-à-dire l'ire 3

4 Théorème fondmentl : f est une fonction continue et positive sur un intervlle [ ;]. L fonction F : x x f (t)d t est dérivle sur [ ;] et pour dérivée f. Démonstrtion : cs où f est croissnte sur [ ;]. x désigne un nomre réel de [ ; ] et h un nomre réel non nul tel x +h [ ;]. er cs : h> f est continue et positive sur [ ;] donc d'près l reltion de Chsles : x +h x f (t)d t= c est-à-dire x +h f (t)d t+ x x +h F ( x +h) F (x )= x f (t)dt. f (t)d t x +h f est croissnte sur [ ;] donc on peut encdrer x lrgeur h et de huteurs f (x ) et f (x +h) donc : h f (x ) F (x +h) F ( x ) h f ( x +h) et pr conséquent f (t)d t pr l'ire des rectngles de f (x ) F ( x +h) F (x ) f ( x h +h). e cs : h<. On étlit de même que f (x +h) F (x +h) F ( x ) f ( x h ). Conclusion : f est continue en x donc lim f ( x +h)= f ( x ) h. Le théorème des gendrmes permet de F (x conclure dns les deux cs ci-dessus que lim +h) F ( x ) = f (x h h ). F est donc dérivle en x et F ' ( x )= f ( x ). Or x est un nomre réel quelconque de [ ;], donc F est dérivle sur [ ;] et F '= f. Remrque : On dmet le théorème dns le cs générl. ) Primitive d'une fonction sur un intervlle Définition : f est une fonction définie sur un intervlle I. Dire que F est une primitive de f sur I signifie que F est dérivle sur I et que F '= f. Exemple : x x x et x x x+5 sont des primitives sur R de l fonction x x. 4

5 Propriétés : f est une fonction définie sur I et qui dmet une primitive F sur I. L'ensemle des primitives de f sur I est constitué pr les fonctions G définies sur I pr G( x)=f (x)+k où k décrit R. Il existe une primitive de f sur I et une seule vérifint l condition initile G( x )= y où x est un nomre réel donné de I et où y est un nomre réel donné. Démonstrtions : Si sur I, G( x)=f (x)+k, lors G est dérivle sur I et G ' (x)=f ' ( x)= f ( x). Donc, G est une primitive de f sur I. Réciproquement, si G est une primitive de f sur I, lors pour tout x de I, G ' (x)= f (x). Or F ' ( x)= f ( x), donc (G F )' = et l fonction G F est constnte sur I. Donc, il existe un nomre réel k tel que, pour tout x de I, G( x) F (x)=k, soit G( x)=f (x)+k. G( x )= y s'écrit F ( x )+k= y, soit k= y F ( x ). Donc G( x)=f (x)+ y F (x ). Exemples : Les primitives de f : x ln( x) sur ];+ [ sont les fonctions définies sur ];+ [ pr : F : x x ln x x+k, où k est un réel. En effet, si F ( x)=x ln x x, lors F ' ( x)= ln x+x x =ln x Les primitives de f : x 4 x+4 sur R sont les fonctions F : x x +4 x+k, vec k réel. Une seule vérifie l condition initile F ()= cr 6+k= k= 4. III. Clculs de primitives ) Fonctions continues et primitives Théorème : Toute fonction continue sur un intervlle I dmet des primitives sur I. Démonstrtion : cs où I =[ ; ] et où f dmet un minimum m sur I. L fonction g définie sur I pr g ( x)= f ( x) m est continue et positive sur [ ;]. Donc, d'près le théorème fondmentl, elle dmet une primitive G sur [ ; ] : x G( x)= g (t)d t. L fonction F définie sur [ ;] pr F ( x)=g(x)+mx est une primitive de f sur [ ;] cr pour tout nomre réel x de [ ;], F ' ( x)=g ' ( x)+m= g(x)+m= f ( x). Donc, f dmet des primitives sur [ ;]. 5

6 Remrques : Une fonction continue sur un intervlle [ ;] dmet un minimum sur cet intervlle. On dmet le théorème dns le cs générl. L fonction x exp( x ) est continue sur R, donc elle dmet des primitives sur R, mis on n'en connît ps de primitive «explicite». ) Primitives des fonctions usuelles c désigne un réel quelconque. L fonction f est définie sur I pr : Primitives de f sur I sont définies pr F ( x)= Sur I = k (constnte) k x +c R x x n (vec n Z\{-}) x +c R n+ xn+ +c R si n ] ;[ ou ];+ [ si n< +c ] ;[ x ou ];+ [ x x x ln x+c ];+ [ x+c ];+ [ e x e x +c R sin x cos x+c R cos x sin x+c R Exemple : On cherche une primitive F de l fonction f définie sur R pr : f (x)= 4 x+ Une primitive de x est x x. Une primitive de x x est x + x+. Donc pr ddition, une primitive F est définie sur R pr : F ( x)= 4 x + x= 8 x + x 6

7 3) Primitives et opértions u désigne une fonction continue sur un intervlle I. c désigne un réel quelconque. Fonction f Primitive de f sur I Conditions sur u u' u n (vec n Z\{-}) n+ un+ +c Lorsque n<, pour tout x de I, u (x) u ' +c u (x) sur I u u u ' u ln u+c u' e u e u +c u ' u u' sin u u' cos u u(x)> sur I u+c u(x)> sur I cosu+c sin u+c Remrque : Lorsque u est strictement négtive sur I, une primitive de u ' u est ln( u). IV. Intégrle d'une fonction continue ) Clcul d'une intégrle Propriété : f est une fonction continue et positive sur un intervlle [ ;] et F est une primitive de f sur [ ;]. Alors, Démonstrtion : f (x)d x=f () F () On vu que l fonction G définie sur [ ;] pr G( x)= f (t )d t est une primitive de f sur [ ;]. Donc il existe un nomre réel k tel que G( x)=f (x)+k. Or G()= donc F ()+k=, c est à dire k= F ( ). Donc f (t)d t=g()=f ()+k=f () F (). x 7

8 Définition : (extension u cs d'une fonction f continue de signe quelconque sur [ ;] ) L'intégrle de à de f est le nomre réel F () F () où F est une primitive de f sur [ ;]. On note encore : f (x)d x Remrques : Cette définition ne dépend ps de l primitive F choisie puisque ces primitives diffèrent entre elles d'une constnte. L fonction x En prtique, pour clculer [ ;] et on écrit : x f (t)d t=f ( x) F () est l primitive de f sur I qui s'nnule en. f (x)d x, on détermine d'ord une primitive F de f sur f (x)d x=[ F ( x)] =F () F () Propriété : Si f est continue sur [ ;], lors f (x)d x= f ( x)d x. Démonstrtion : f (x)d x=f () F ()= (F () F ())= f (x)d x ) Intégrle et ire Dns un repère orthogonl, d est le domine situé entre l coure représenttive d'une fonction f, l'xe des scisses et les droites d'équtions x= et x=. On note ire( d ) l'ire du domine d en unités d'ire. Cs d'une fonction f continue et négtive sur [ ; ] ire( d )= f ( x)d x u.. En effet, pr symétrie pr rpport à l'xe des scisses, l'ire de d est égle à l'ire du domine situé sous l coure de f (qui est positive). Si F est une primitive de f sur [ ;], lors F est une primitive de f sur [ ;]. Donc : ire( d )= ( f ( x))d x=[ F (x)] = ( F () F ())= f ( x)d x. 8

9 Voculire : On dit que f (x)d x est l'ire lgérique du domine d (elle est positive si f est positive sur [ ;], négtive si f est négtive sur [ ;] ). Cs d'une fonction f continue et de signe quelconque sur [ ; ] L'ire de d est l somme des ires lgériques des domines définis pr des intervlles sur lesquels f grde un signe constnt. Pour l coure ci contre : c ire( d ) = f (x)d x c f (x)d x u.. Remrque : ire( d )= f ( x) d x u.. Aire entre deux coures Propriété : Si f et g sont continues sur un intervlle I vec f g sur I et si et sont deux réels tels que, l'ire comprise entre les deux coures représentnt f et g et les droites d'équtions x= et x= est : ( g (x) f (x))d x u.. V. Propriétés des intégrles Pr l suite f et g sont des fonctions continues sur un intervlle [ ;]. ) Propriétés lgériques Propriété (linérité de l'intégrtion) : ( f + g)( x)d x= Pour tout nomre réel, f (x)d x+ g( x)d x λ f (x)d x=λ f (x)d x Démonstrtion : Ces propriétés découlent imméditement des primitives de f +g et λ f. 9

10 Propriété (reltion de Chsles) : Pour tous nomres réels c, d et e de [ ;], d c e f (x)d x+ d e f ( x)d x= c f (x)d x Démonstrtion : On note F une primitive de f sur [ ;], d c e f (x)d x+ d f ( x)d x=f (d ) F (c)+f (e) F (d )=F (e) F (c)= c e f ( x)d x Exemple : On clcule l'intégrle K = x si x Ainsi f (x)= { x si x<. Donc, 5 f (x)d x= 5 5 f ( x)d x+ f (x) d x où f est l fonction définie sur R pr f ( x)= x. f (x)d x= 5 ( x )d x+ (x )d x. Or ( x )d x=[ x x = ( +4)= et ] 5 5 ( x )d x=[ x ] =( x 5 ) = 5. Donc K = + 5 = ) Intégrles et inéglités On suppose ici que < Propriété (positivité) : Si, pour tout nomre réel x de [ ;], f (x), Si, pour tout nomre réel x de [ ;], f (x), f (x)d x. f (x)d x. Démonstrtion : Ces propriétés découlent directement de l définition de l'intégrle. Pr exemple, pour x [; ], si f (x) lors F( x) est croissnte et donc F( ) F(). Remrque : Les propriétés réciproques sont fusses. Pr exemple x d x=[ x grde ps un signe constnt. = ] ( ) = 4 = 3, mis sur [ ; ], l fonction x x ne

11 Propriété (ordre) : Si, pour tout nomre réel x de [ ;], g( x) f ( x), lors g ( x)d x f (x )d x. Démonstrtion : Si, pour tout nomre réel x de [ ;], g( x) f ( x) lors f (x) g( x). Donc, ( f ( x) g(x))d x et pr linérité, 3) Vleur moyenne f (x)d x g (x)d x. Définition : L vleur moyenne d'une fonction f sur un intervlle [ ;] (vec < ) est le nomre réel défini pr μ= f ( x)d x. Interpréttion grphique : Dns un repère orthogonl, c est l coure représenttive de l fonction f. Alors f (x)d x=μ ( ). Donc l'ire du domine situé sous l coure c est égle à l'ire du rectngle de dimension et ( ). Exemple : L vleur moyenne de l fonction f donnée pr f (x)=x 4 x+5 sur [;5] vut 3. En effet : 5 5 ( x 4 x+5)d x= 4 [ 3 x3 x +5 x] 5 = 4 ( ) = 3 Propriété (inéglité de l moyenne) : f est une fonction continue sur un intervlle I, et sont deux nomres de I tels que <. M et m sont deux nomres tels que, pour tout x de [ ; ], m f ( x) M. Alors : m( ) Démonstrtion : Pr hypothèse, pour tout x de [ ; ], m f ( x) M. En ppliqunt les propriétés sur l'ordre : f (x)d x M ( ) md x M d x Les fonctions constntes x m et x M sont telles que : f (x )d x md x=[ mx ] =m( ) et D'où le résultt. M d x=[ Mx] =M ( ).

12 Annexe : Approximtion numérique Lorsque nous ne connissons ps l'expression explicite d'une primitive, différentes méthodes permettent d'otenir des pproximtions numériques. L'enjeu ser lors de connître l'erreur commise pr ses pproximtions. Remrque : Il rrive prfois que l'on connisse une primitive mis cel n'est ps suffisnt pour clculer les intégrles. Pr exemple, d t=ln, mis comment clcule-t-on ln? t Principe : On souhite pprocher f (x)d x. On sudivise l'intervlle [ ;] en n intervlles (n N * ) de même longueur h= n on note, pour tout i { ; ; ;... ;n}, x i =+i h. On remplce lors f pr une fonction sur chque sudivision de l'intervlle. et Méthode des rectngles On remplce f pr une fonction en esclier. Méthode des rectngles à guche : On remplce f pr l fonction en esclier qui prend, sur chque sudivision, l même vleur à l'extrémité guche de cette sudivision que f. L vleur pprochée de f (x)d x est : n R n = n i= f ( x i ) Démonstrtion : L'ire du rectngle de se [ x i ; x i + ] est f (x i ) ( x i+ x i ), donc : n R n = f (x i ) ( x i+ x i )= n f ( x i = n i ) i= Remrque : On peut définir, de même, l méthode des rectngles à droites. f (x )d x n i= n f (x i )

13 Cs prticulier : lorsque l fonction est monotone. Dns le cs où l fonction étudiée est croissnte, pr exemple, on lors : n n i = f (x i ) f (x)d x n n i= f ( x i ) On otient lors une évlution de notre pproximtion. Exemple : On souhite clculer I = 3 + x d x. On vérifie fcilement que f est décroissnte sur ];+ [. On insi : Pour n=3 Pour n= Pour n=,34659 I,635,45 I,55,4635 I,4645 Clcultrice : On suppose l fonction décroissnte. 3

14 Cs générl : L méthode des rectngles (à guche, pr exemple) permet d'pprocher f (x )d x sns considértions prticulières sur l monotonie de f. On peut démontrer que si f est dérivle et f ' est continue vec M =mx { f ' (x) ; x [ ; ]}, lors, R n On en déduit que (R n ) converge vers f (t)d t ( ) M n f (x)d x. Remrques : Pour l démonstrtion, on utilise l'inéglité des ccroissements finis. Propriété : Soit f l fonction définie sur [ ;], continue sur [ ;] et dérivle sur ]; [. Soit k un réel tel que, pour tour x [ ; ], f ' (x) k, lors f () f () k On peut insi déterminer le nomre de ps nécessires fin d'otenir l précision souhitée. Clcultrice : On ne fit ps de considértions prticulières sur l monotonie de f. 4

15 Autres méthodes Lorsque f est de clsse C n sur l'intervlle I=[ ; ], on note M i =mx { f (i) ( x) ; x [ ; ]}. Méthode des trpèzes On remplce l coure représenttive de f, sur chque sudivision, pr le segment qui joint (x i, f ( x i )) à (x i +, f (x i+ )). Méthode de Simpson On remplce l coure représenttive de f, sur chque sudivision, pr l prole pssnt pr (x i, f ( x i )), (ξ i, f (ξ i )), (x i +, f (x i+ )) où ξ i est le milieu du segment [ x i ; x i + ]. T n = n ( f ()+ f () n + i = f ( x i )) S n = n 6n ( f ()+ f ()+ i= n f (x i )+4 i= f (ξ i )) Évlution de l'erreur : T n f (t )d t ( )3 M n Évlution de l'erreur : M S n f (t)dt 4 ( )5 88n 4 Remrque : f est de clsse C n sur I si elle est n fois dérivles sur I et si f (n) est continue sur I. 5

16 Annexe : Approche proiliste d'une intégrle Si le clcul d'ires permet d'méliorer l connissnce de proilités vi les intégrles, l réciproque est églement vrie. Soit une surfce S, dont l'ire A est connue, qui en contient une utre, L d'ire inconnue. L méthode de Monte-Crlo consiste à envoyer des points u hsrd dns S. On dénomre lors le nomre totl n S de points et le nomre n L qui se sont trouvés, pr hsrd, dns L. Il est lors prole que le rpport des ires de L et S soit proche du rpport de n L sur n S. L mrge d'erreur ser sttistiquement d'utnt plus file que le nomre de points n S ser grnd. Exemple : Pour f (x)= e x f (x)d x n L n S A Ici A=,9596 pour n S =6 on otient n L =4 donc : I,46 pour n S = on otient n L =458 donc : I,356 Avec l clcultrice, on otient : I, Clcultrice : Pour une fonction f positive 6

17 Annexe 3 : Clcul de volume Dns le pln on pproché une ire pr l somme des ires de rectngles, puis en fisnt tendre leur lrgeur vers, on clculé cette ire pr une intégrle. De même, dns l'espce, on pproche le volume d'un solide pr l somme des volumes de petits cylindres. En fisnt tendre leur huteur vers, on outit u clcul d'un volume à l'ide d'une intégrle. (O; i, j, k) est un repère orthonormé de l'espce. L'unité de volume est le volume du cue construit sur les côtés [OI], [OJ] et [OK] tels que OI= i, OJ= j et OK = k. Propriété : On considère un solide (Σ) limité pr les plns prllèles d'équtions : z= et z= ( ). Pour tout z ( z ), on note : p z le pln perpendiculire à (O z) et de cote z S(z) l'ire de l section du solide pr le pln p z. Lorsque S est une fonction dérivle sur [ ;], le volume V du solide est clculé (en u.v.) pr : V = S (z)d z De r (z)=r z, on en déduit : V cylindre = r (z) Δ z V cylindre = (R z )Δ z On dmet qu'en sommnt ces volumes de z= R à z=r qund leur huteur tend vers, l somme de ces volumes tend vers (R z )d z. R R R [ z 3 R R R R (R z )d z= R R d z R (R z )d z= R ( R ( R)) R R z d z= R R [ z ] R ( R3 3 ( R3 On retrouve ien insi le volume de l oule : v= 4 3 R 3. R 3 ] R 3 )) = R3 3 R = 4 3 R 3 7

18 Annexe 4 : Intégrtion pr prtie En mthémtiques, l'intégrtion pr prties est une méthode qui permet de trnsformer l'intégrle d'un produit de fonctions en d'utres intégrles, dns un ut de simplifiction du clcul. Propriété : Soit I=[ ;] un intervlle de R, w une fonction continue définie sur I et u une fonction dérivle et s dérivée u' est continue sur I. Soit W une primitive de w sur I. Alors : u(x)w( x)d x=[u(x)w(x)] u ' (x)w (x)d x Remrque : L démonstrtion du théorème découle directement de l formule de dérivtion d'un produit de fonction : (u W)'=u' W+uw donc : uw=(uw)' u' W puis on intègre. Intégrle de Wllis On s'intéresse à l suite réelle (W n ) définie, pour n N, pr : W n = sin n (x)d x Propriétés : W = et W = Pour tout n N, W n > W n W n+ = sin n (x)d x sin n+ ( x)d x= sin n ( x)[ sin (x)]d x On en déduit que W n est une suite décroissnte, minorée donc convergente. 8

19 Clcul des intégrles Reltion de récurrence : Pour tout x R, sin ( x)= cos (x). Donc pour tout n, sin n (x)d x= sin n ( x)[ cos ²( x)]d x= On utilise lors une intégrtion pr prties pour { u' (x)=cos(x)sin n (x) v(x)= cos(x) Ainsi on otient : sin n (x)cos ² (x)d x=[ n sin n (x)cos(x)] On otient lors : W n =W n n W n. Et finlement, pour tout n : W n = n n W n. sin n (x)d x sin n (x)cos ² (x)d x { donc u( x)= n sin n (x) v ' (x)= sin( x) + sin n ( x)cos ²(x)d x n sinn (x)sin (x)d x=+ n W. n On tire insi une expression des termes de l suite, selon l prité de leur rng : Si n est pir : n= p. W p = p p p 3 p W soit W p = p p p p p p p 3 p W ( p)! = p ( p!) Si n est impir : n= p+. W p+ = p p+ p p 3 W soit W p+ = p ( p!) ( p+)! On remrque que les termes de rng pir sont irrtionnels, tndis que ceux de rng impir sont rtionnels. 9