Chapitre I Equations et inéquations du premier degré

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Jean-Philippe Corbeil
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1 Chpitre I Equtions et inéqutions du premier degré I Équtions du premier degré 1 Les ensemles de nomres Définition 1 On ppelle ensemle des réels, noté R, l ensemle des nomres connus en clsse de seconde. Cet ensemle est lui-même composé de sous-ensemles : L ensemle des entiers nturels, noté N. Ce sont les entiers positifs ou nul : 0 ; 1 ; 14 ; L ensemle des entiers reltifs, noté Z. Ce sont les entiers positifs et négtifs ou nul : 0 ; 1 ; 1 ; 5 ; 1... L ensemle des décimux, noté D. Ce sont les nomres que l on peut écrire vec un nomre fini de chiffres derrière l virgule (éventuellement nuls) : 0 ; 1 ; 1 ; 1,5 ; 75, L ensemle des rtionnels, noté Q : Ce sont les nomres pouvnt s écrire sous forme de frction : 0 ; 1 ; 5 ; ; Remrque : Ces ensemles sont emoîtés : Tout entier nturel est un entier reltif. Tout entier reltif est un nomre déciml. Tout nomre déciml est un nomre rtionnel. Tout nomre rtionnel est un nomre réel. N Z D Q R Sur le digrmme ci-contre, plcer les nomres suivnts dns le on ensemle : 4 ; 1 ;,7 ; 0 ; 0,... ; π ; ; 7 ; -18 ; 6,56 Résolution des équtions du 1 er degré Définition : Une éqution est une églité (signe =) dns lquelle figure une quntité inconnue (ou plusieurs). On désigne cette inconnue pr des lettres (en générl x). Une solution de l éqution est une vleur que prend l inconnue pour lquelle l églité est vérifiée. Résoudre une éqution, c est trouver toutes ses solutions. Il se peut qu il n y en it ps, ou u contrire qu il y en it plusieurs, voire une infinité. Si les solutions peuvent être énumérée, on écrit lors l ensemle des solutions entre ccoldes. Une éqution du premier degré est une éqution d inconnue x de l forme : x + = 0 vec et deux réels connus (et 0). Remrque : Ne ps confondre une éqution (vec un signe =, comme pr exemple, x+ = 0) vec une expression lgérique (comme pr exemple x + ). 1

2 Résoudre lgériquement les équtions suivntes : 1. 4x + = x 5. 4x 1 = (6x + 1). x + 4 = 5 (x + 6) Solution : Point-méthode 1 : Résoudre une éqution du 1 er degré 1. On commence pr mettre tous les x à guche, puis les «ps x»à droite. 4x + = x 5 On psse x à guche, en soustrynt x de chque côté 4x x + = 5 On soustrit de chque côté x = 5 On divise pr de chque côté x = 7 Si le mot résoudre pprit dns l énoncé, l conclusion ser toujours sous l forme d un S =... { S = 7 }. 4x 1 = (6x + 1) On développe d ord toutes les prenthèses en simplifint en même temps 4x 1 = 4x + On soustrit 4x de chque côté 1 = S = On rrive à une surdité, cette éqution n donc ps de solution. x + 4 = 5 (x + 6) On développe x + 4 = 5 x + 10 x 5 x = 10 4 On soustrit 5 x et 4 de chque côté On met tout u même dénominteur du côté où pprit l frction 6 x 5 x = 6 On dditionne les coefficients devnt les x 11 x = 6 On multiplie pr de chque côté 11x = 18 On divise pr 11 de chque côté x = 18 { 11 S = 18 } 11 Point-méthode : Prolème conduisnt à une éqution du 1 er degré Un utomoiliste souhite cquérir un véhicule du type Cross-over. Il hésite entre deux modèles ux finitions équivlentes : Essence TCe 90ch Diesel DCi 90ch Prix du véhicule neuf : Prix du véhicule neuf : 1800 Consommtion en cycle complet Consommtion en cycle com- : 4,9L pour 100 km. plet :,6L pour 100 km. Entretien tous les 0 000km Entretien tous les km. Prix de revient u kilomètre : Prix de revient u kilomètre : 0,07 (hors prix d cht du véhicule) 0,046 (hors prix d cht du véhicule) Au out de comien de kilomètres les deux véhicules uront le même coût?

3 Point-méthode : (suite) Solution : Pour résoudre un prolème conduisnt à une éqution, il fut respecter les qutre étpes suivntes : ➀ Choix de l inconnue. Ensemle de définition de l inconnue. ➁ Mise en éqution ➂ Résolution de l éqution ➃ Conclusion vec confronttion de l ensemle de définition ➀ Choix de l inconnue : Soit x le nomre de kilomètres. x est un réel positif. ➁ Mise en éqution : Coût totl du véhicule à essence : ,07x Coût totl du véhicule diesel : ,046x Reltion : On souhite ces deux quntités égles donc on doit résoudre : ,07x = ,046x. ➂ Résolution : ,07x = ,046x ,07x 0,046x = ,07x = , 07x = 00 x = 00 0, ➃ Conclusion : Il fudr fire environ km pour que les deux véhicules ient le même coût. II Inéqutions du premier degré 1 Intervlles Définition Soient et deux nomres réels. L intervlle fermé [; ] est l ensemle des réels x tels que x. De même on définit l intervlle ouvert ];[ comme étnt l ensemle des réels x tels que < x <. L intervlle [; + [ est l ensemle des réels x tels que x. Sur le même mode de fonctionnement, on peut définir tous les intervlles ouverts, fermés ou semi-ouverts ou semi-fermés qui suivent :

4 Intervlle Ensemle des réels x tels que... Représenttion grphique [;] x ];[ < x < ];] < x [;[ x < [;+ [ x ];+ [ x > ] ;] x ] ;[ x < Remrques : Le sens des crochets indique si l orne de l intervlle pprtient ou non à l intervlle. Les crochets sont toujours ouverts en l infini. L ensemle R des nomres réels est l intervlle ] ;+ [. Pour s entriner : exercices 1,, pge 48 livre Mth x Inéqution du 1 er degré Définition 4 Une inéqution est une inéglité (signe < ou > ou ou ) dns lquelle figure une quntité inconnue. Résoudre une inéqution c est trouver l ensemle des solutions qui vérifient cette inéqution. Souvent, on ne peut ps énumérer les solutions, lors on écrir l ensemle des solutions sous forme d intervlle. Règles de clculs sur les inéglités : : Si on joute ou si on soustrit un même nomre ux deux memres d une inéqution, on otient une inéqution de même sens. Si on multiplie ou si on divise les deux memres d une inéqution pr un même nomre strictement positif, on otient une inéqution de même sens. Si on multiplie ou si on divise les deux memres d une inéqution pr un même nomre strictement négtif, on otient une inéqution de sens contrire. 4

5 Résoudre les inéqutions suivntes : () (x + ) x 4 () 4x > x + Solution : Point-méthode : Résoudre une inéqution du premier degré () (x + ) x 4 On développe l prtie de guche x + 6 x 4 On soustrit x de chque côté : sens conservé x + 6 x 4 On soustrit 6 de chque côté : sens conservé x 4 6 On divise pr (positif) de chque côté : sens conservé x 5 On n oulie ps de conclure vec S =... Ainsi, S =] ; 5] () 4x > x + On soustrit x de chque côté : sens conservé 4x x > On joute de chque côté : sens conservé 6x > + On divise pr 6 (négtif) de chque côté : sens inversé x < 1 On n oulie ps de conclure en fisnt ttention ux crochets Ainsi S =] ; 1[ Point-méthode 4 : Prolème mennt à l résolution d une inéqution du 1 er degré On considère le rectngle ABC D ci-contre. On ugmente ses dimensions d une vleur x, pour otenir un rectngle AE F G. Déterminer l vleur de x pour que l mesure de son périmètre soit inférieur ou égle à 96. A D 10 x B G F Solution : les 4 étpes indiquées pour l résolution d un prolème lié à une éqution restent vries dns le cs d un prolème lié à une inéqution ➀ Choix de l inconnue : Soit x l longueur BE égle à l longueur DG. x est un réel positif. ➁ Mise en éqution : Le périmètre du rectngle AEFG est donné pr : (x + 10) + (6 + x). Contrinte : On veut un périmètre inférieur à 96, donc on doit résoudre : ➂ Résolution : (x + 10) + (6 + x) 96 x x 96 4x 96 On divise pr 4 qui est positif : sens conservé x x 16 ➃ Conclusion : Il fut donc ugmenter les dimensions du rectngle de mximum 16 pour que son périmètre soit inférieur ou égl à 96. S = [0;16] 6 x C E 5

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