Version du 16 janvier 2017 (17h39)

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1 CHAPITRE. DYNAMIQUE DU SLIDE Intoduction Moment cinétique d un solide Equation du mouvement dans le cas de la otation d un solide Pincipe de d Alembet Enegie cinétique de otation Vesion du 6 janvie 07 (7h39)

2 CHAPITRE. DYNAMIQUE DU SLIDE.. Intoduction Un solide est un cops dans lequel les distances ente les paticules qui le composent estent fixes losqu on lui applique une foce ou un moment. Un solide conseve donc sa fome duant son mouvement. Nous pouvons distingue deux types de mouvement du solide (voi Chapite 9.) : le mouvement de tanslation losque les paticules décivent des tajectoies paallèles de sote que les lignes joignant deux points quelconques du cops estent paallèles à leu position initiale (fig...a); le mouvement de otation autou d un axe, quand les paticules décivent des tajectoies ciculaies autou d une doite appelée axe de otation (fig...b). L axe peut ête fixe ou peut change de diection pa appot au cops pendant le mouvement. fig... - (a) mouvement de tanslation d un solide; (b) mouvement de otation d un solide. Le mouvement le plus généal d un cops peut toujous ête considéé comme la combinaison d une tanslation et d une otation. Pa exemple, dans la fig..., le mouvement du solide, qui passe de la position à la position, peut ête considéé comme une tanslation epésentée pa le déplacement CC, joignant les deux positions du cente de gavité et une otation autou d un axe passant pa le cente de gavité C. fig... - Tanslation + otation. D apès l équation fondamentale de la dynamique du point, le mouvement du cente de gavité est identique à celui d une seule paticule dont la masse seait égale à masse du solide et su laquelle agiait R. Ittebeek Mécanique - Dynamique du solide Page -. -

3 une foce égale à la somme de toutes les foces extéieues agissant su le solide. n peut analyse ce mouvement selon les méthodes développées au Chapite 0. dans le cas de la dynamique du point. Dans ce chapite nous allons étudie le mouvement de otation d un solide autou d un axe, qui passe soit pa un point fixe dans un éféentiel d inetie, soit pa le cente de gavité du solide. fig Mouvement d un solide sous l action de la pesanteu. Le cente de gavité du solide ci-dessus décit la tajectoie paabolique coespondant à une paticule de masse m soumise à la foce de pesanteu, tandis que le solide toune autou du cente de gavité. Comme le poids est appliqué au cente de gavité, son moment autou de ce point est nul et le moment cinétique du solide pa appot au cente de gavité este constant pendant le mouvement... Moment cinétique d un solide Considéons un solide tounant autou d un axe, avec une vitesse angulaie (fig..4.). Chacune de ses paticules décit une tajectoie ciculaie dont le cente est su I axe. fig Moment cinétique d un solide en otation. Le moment cinétique de la paticule A i pa appot à l oigine est : H A m v i i i i R. Ittebeek Mécanique - Dynamique du solide Page -. -

4 La composante du moment cinétique pa appot à l axe, sachant que : vaut : la vitesse angulaie ω est la même pou tout le solide B A sin i i i i vi Bi Ai i sin i H B A m v i i i i i i sin i mi i sini mi i sini La composante du moment cinétique total du solide en otation suivant l axe est : sin H H m i i i i La quantité m i i i sin J moment d inetie du solide pa appot à l axe. J m sin i i i Et d une manièe généale : est une popiété géométique du solide. Celle-ci sea appelé J 0z i i m R (éq..9.) (système discet) Avec R A B distance ente l axe et la masse m i. i i i J R dm (éq...) (système continu) L équation du moment cinétique du solide autou de l axe de otation devient : H Et même : J (éq...) H J (éq..3.) Remaque : Le moment cinétique total H d un solide est : H H i en généal il non paallèle à l axe de otation, puisque les moments cinétiques individuels H i qui figuent dans la somme ne sont pas nécessaiement paallèles à cet axe. R. Ittebeek Mécanique - Dynamique du solide Page -.3 -

5 Pou chaque solide il existe au moins un axe de otation pou lequel le moment cinétique est paallèle à cet axe. n peut monte que pou chaque cops, quelle que soit sa fome, il y a (au moins) tois diections othogonales pou lesquelles le moment cinétique est paallèle à l axe de otation. Elles sont appelées axes centaux pincipaux d inetie ACPI, et les moments d inetie coespondants sont appelés les moments pincipaux d inetie. fig Axes centaux pincipaux d inetie de solides symétiques. Losque le cops toune autou d un axe cental pincipal d inetie, le moment cinétique total H ACPI est paallèle à la vitesse angulaie, qui est toujous diigée suivant l axe de otation, et à la place de l équation scalaie éq..., qui est valable pou les composantes suivant l axe de otation, nous pouvons écie la elation vectoielle : H ACPI J (éq..9.) ACPI où J ACPI est le moment d inetie pincipal coespondant. Nous devons insiste su le fait que cette elation vectoielle (éq..9.) n est valable que pou une otation autou d un axe d inetie pincipal ACPI ou un axe fixe Δ. Voi Annexe 3 : Moments d inetie paticulies pou quelques exemples. Application.. Calcule le moment cinétique du système illusté pa la figue ci-conte, système constitué pa deux sphèes égales de masse m et de ayon montées su des bas fixés su un suppot et tounant autou de l axe à une distance d. n négligea la masse des bas. Solution : Moment d inetie des sphèes J J m d m 5 m d m d 5 fig Application.. R. Ittebeek Mécanique - Dynamique du solide Page -.4 -

6 Remaque : Si le ayon des sphèes est petit pa appot à la distance d, J devient : J m d c est-à-die l équivalent de deux masses ciculantes su un cecle de ayon d. Moment cinétique H J m 0. 4 d z Application.. La platine d un toune-disque a une masse de 0.75 kg et un ayon de giation de 5 mm. Elle toune à une vitesse angulaie de 33 tous/min (moteu débayé) au moment où on laisse tombe un disque " de 00 g su la platine. A quelle vitesse angulaie va-t-elle continue à toune? Solution : Position du poblème Il n y a aucune foce ni couple extéieu, donc nous sommes dans un système isolé et de ce fait il y a consevation du moment cinétique. (Equivalent à la consevation de la quantité de mouvement dans les systèmes en tanslation). fig Application.3. Moment cinétique Pojection su l axe de otation. Avant : Calcul du moment d inetie : J ig J ig m m kgm 33 H J kgm.. 60 s Apès : Calcul du moment d inetie : J J m kgm Consevation du moment cinétique H H H. 88ad s 7. 54t min J R. Ittebeek Mécanique - Dynamique du solide Page -.5 -

7 .3. Equation du mouvement dans le cas de la otation d un solide Nous avons établi une elation ente le moment cinétique total et le moment ésultant des foces appliquées aux paticules losque ce moment et le moment cinétique sont tous deux elatifs à un point au epos dans un éféentiel d inetie. Autement dit : H M (éq..7.) si : et n peut applique cette fomule de la dynamique du point à un système (ensemble) de paticules H M H i M i moment cinétique total moment dynamique ésultant des foces extéieues. Et, évidemment, cette équation s applique à un solide, cas paticulie des systèmes de paticules. L éq..7. constitue donc l équation de base pou discute le mouvement de otation du solide. Nous allons l applique d abod au cas d un solide tounant autou d un axe pincipal ayant un point fixe dans un éféentiel d inetie. n a alos, suivant l équation éq... : H J. Le moment ésultant M doit ête le moment autou d un point fixe de l axe pincipal. L équation éq..7. devient donc : où dj M (éq..3.) dt Si l axe este fixe pa appot au solide, le moment d inetie este constant. Donc : J d M J M (éq..33.) dt est l accéléation angulaie du solide. C est la loi de la dynamique pou les solides en otation autou d un axe fixe. La compaaison de cette denièe équation avec celle de la loi fondamentale de la dynamique du point ( f m a ) suggèe une gande similitude ente la otation d un solide autou d un axe pincipal et le mouvement d une paticule. La masse m est emplacée pa le moment d inetie J, vitesse v pa la vitesse angulaie ω, l accéléation a pa l accéléation angulaie. et la foce f pa le moment M. Pa exemple, si M 0, l équation éq indique que J cst, et si le moment d inetie est constant est aussi constant. En d autes temes, un solide tounant autou d un axe pincipal toune avec une vitesse angulaie constante quand il n est soumis à aucun moment de foces extéieues. n peut considée ceci comme la loi d inetie pou le mouvement de otation. Losque le moment d inetie est vaiable, ce que peut aive si le cops n est pas igide, la R. Ittebeek Mécanique - Dynamique du solide Page -.6 -

8 condition J cst exige que si J augmente (diminue) alos décoît (augmente), ésultat qui a plusieus applications. (Exemple : la patineuse atistique qui, pou toune plus vite su elle-même, amène ses bas et jambes le long de son cops.) Attention, losque l axe de otation n a pas de point fixe dans le éféentiel d inetie, nous ne pouvons pas utilise l équation éq. 0.7., et nous devons calcule le moment cinétique et le moment pa appot au cente de gavité du solide, soit : H CG M (éq..4.) CG Application.3. Un disque de 0.5 m de ayon et de masse m 0 P kg peut toune libement autou d un axe hoizontal fixe passant pa son cente. Touve l accéléation de la masse suspendue si celle-ci vaut : m kg. Solution : L axe est un axe pincipal d inetie, donc l équation des moments autou de cet axe donne : f J Recheche de f : z 0 Isolons la masse m : y m g f m a f m g a fig Application.3. Recheche de l accéléation : Sachant que le moment d inetie pou un disque plein : J on touve : mp m g a a 0 0 a 0 m g et que : m p 0 a m p m m s Ce qui est plus petit que g, valeu de la chute libe. y z a x f f m g fig Résolution. R. Ittebeek Mécanique - Dynamique du solide Page -.7 -

9 3 Application.4. Un volant en fonte ( 7 00 kg m ) est schématisé ci-conte. n le soumet à un couple de 00 Nm. Apès combien de temps atteinda-t-il la vitesse de 80 t/min? n négligea le moyeu dans le calcul de l inetie. Solution : Recheche du moment d inetie du volant Moment d inetie de la jante (couonne) pa appot à son axe de otation Δ (qui est un ACPI) : J m couonne e i d e di l e i kgm fig Application.5. Moment d inetie des bas (tounant pa appot à leu cente). n fea l hypothèse que les bas sont 3 cylindes d une longueu de. m et d un diamète de 0. m. J d m l l l kgm Le moment d inetie total vaut : J tot kgm Application de la seconde loi de la dynamique autou d un axe fixe : M J Qui pojetée su l axe de otation du volant nous donne : M ad s 3 J Comme le couple est constant, l accéléation angulaie aussi et donc nous avons un MCUA. n 80 0 t t 639. s R. Ittebeek Mécanique - Dynamique du solide Page -.8 -

10 .4. Pincipe de d Alembet Sans efaie toute la démonstation, on peut en déduie que le pincipe de la foce d inetie peut aussi s applique au couple. Et donc, il en découle la notion de couple d inetie : C in J (éq..55.) Le couple d inetie C in, égal en module au poduit du moment d inetie de masse J Δ du cops pa son accéléation angulaie, est toujous diigé dans le sens opposé à l accéléation angulaie. d où : M C in 0 Remaque impotante : Nous devions pale, non pas de couple d inetie, mais bien de moment d inetie. Cependant, la définition du moment d inetie est toute aute et ne coespond pas du tout à cette notion de moment qui s oppose à l accéléation angulaie du solide. C est pouquoi, dans le cas du pincipe de d Alembet pou les solides en otation autou d un axe fixe, on palea de couple d inetie..5. Enegie cinétique de otation L énegie cinétique d un système de paticules est donné pa : m v K i i i Nous avons vu au paagaphe 9... que, dans le cas d un solide tounant autou d un axe avec une vitesse angulaie ω, la vitesse de chaque paticule est vi i où i est la distance de la paticule à l axe de otation Δ. Alos : m v m i i i i K i i ou en se appelant la définition du moment d inetie : mi i i J K J (éq..60.) L expession (éq..60.) est coecte pou tout axe, même s il n est pas un axe pincipal, ca la gandeu de la vitesse est toujous v. i i Considéons maintenant le cas généal dans lequel le solide toune autou d un axe passant pa son R. Ittebeek Mécanique - Dynamique du solide Page -.9 -

11 cente de gavité, et en même temps a un mouvement de tanslation pa appot à l obsevateu. L énegie cinétique totale du solide est égale à : K K K total tanslation otation L énegie cinétique de otation pa appot au cente de gavité/calculée à l aide de l équation (éq..60.) pace que dans un solide, le cente de gavité est fixe pa appot au solide, et que le seul mouvement que le cops peut avoi pa appot à son cente de gavité est une otation. Ainsi donc, nous pouvons écie : K m v J tot cg cg où J cg est le moment d inetie pa appot à l axe de otation passant pa le cente de gavité. Application.5. Un chaiot est hissé su un plan incliné ( 30 ) en lui appliquant une foce constante q 60 N. Le poids du plateau du chaiot est pc 80 N, alos que le poids de chacune de ses quate oues pleines est p 0 N. Touve : ) la vitesse de tanslation v du chaiot losqu il aua pacouu la distance l 4 m, si v 0 0 ; ) l accéléation du chaiot en mouvement. Le oulement des oues se fait sans glissement, alos que la ésistance opposée au oulement peut ête négligée. fig... - Application.5. Solution : ) Théoème de l énegie cinétique K K0 F d A 0 Enegie cinétique initiale : K 0 0 Enegie cinétique finale : Chaiot (tanslation) : mc v K C Roues (tanslation et otation) (calcul pou oue) : m v J cente K R. Ittebeek Mécanique - Dynamique du solide Page -.0 -

12 Avec : D où : K m v J m v cente m v 3 m v 4 Tavail des foces extéieues : Le tavail des foces de fottement qui s oppose au glissement est nul (ne se déplace pas). Le tavail des éactions nomales du plan incliné est nul (foce pependiculaie au déplacement). Tavail du poids du chaiot et de celle des oues : Wc mc 4 m g h mc 4 m g l sin Tavail de la foce de taction : W Q l Q En potant toutes ces données dans l équation de dépat, on obtient : mc v 4 3 m v 0 Q l mc 4 m g l () sin 4 v Q m 4 m g sin l m 3 m g l Q p 4 p. 80 m s c c p c c 6 p sin 30 sin ) èe méthode : déivation de l expession de la vitesse Pou détemine l accéléation, on pocédea de la façon suivante vu que nous avons déjà obtenu l égalité () : nous allons considée que les gandeus v v et l (ce paamète détemine la position du système tout entie) figuant dans l égalité () sont des vaiables. Alos, en déivant les deux membes de cette égalité pa appot au temps, on touvea : mc m v dv dl 3 Q mc 4 m g sin dt dt dv dt a et dl dt v. En simplifiant pa v, on obtient finalement : R. Ittebeek Mécanique - Dynamique du solide Page -. -

13 Q mc 4 m g sin a m 3 m Q pc 4 p p 6 p c c m s sin g sin ème méthode : MRUA Comme les foces sont constantes, nous sommes en pésence, dans ce cas, d un MRUA et de ce fait : v v0 a t l l0 v0 t a t v. 80 a m s l 4 R. Ittebeek Mécanique - Dynamique du solide Page -. -