DYNAMIQUE DU SOLIDE. r r

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1 DYNIQUE DU SOLIDE 1. INTRODUCTION La dynamique est la patie de la mécanique qui étudie les elatins ente les déplacements des slides et leus causes, c est à die les actins mécaniques extéieues qui agissent su eux. 2. PRINCIPE FONDENTL DE L DYNIQUE Dans un epèe galiléen, un système matéiel ( sumis à des ctins écaniques extéieues quelcnques mdélisables pa : a un muvement tel que: Remaques: { } τ SS / R ( S / ( S / 0 0 R ( S / mi* γi * γ ( ) ( / * ( γ ( S ( i mi i) La pemièe équatin vectielle s appelle : Equatin de la ésultante dynamique. La deuxième équatin vectielle s appelle : Equatin des mments dynamiques. ù: m i epésente la masse du vlume élémentaie lié au pint i. γ () est l accéléatin du Cente de avité.. SOLIDES EN OUVEENT DE TRNSLTION RECTILINE :.1. Cas du uvement Rectiligne Unifme : τ SS / Dans ce cas, γ i 0 i dnc, γ 0, n en déduit que : { } R 0 On etuve l expessin du P.F.S. qui est dnc valable aussi lsque le système islé a un muvement ectiligne unifme..2. Cas du uvement ectiligne Unifmément Vaié : Dans ce cas, γ i Cte i dnc, γ Cte, n mnte que : { τ } Le plus suvent, seule l équatin de la ésultante dynamique est utilisée. SS / S S R ( ) m γ 0 0 / * ( ) C:\New Data\Lycée\Cus mécanique\2ème année\cus dynamique BTS.dc L.D. 14/0/2005 PE 1/7

2 4. SOLIDES EN ROTTION UTOUR D UN XE FIXE DE SYETRIE uvement de tatin / à un axe fixe en tut pint I de l axe de tatin : V(I) 0 et γ(i) 0 uvement de tatin / à un axe de symétie à l axe de tatin dnc γ() 0 On mnte que dans ce cas le pincipe s écit: { τ } SS / R 0 I && Z* θ ù: I est le mment d inetie du slide pa appt à l axe (, ). && θ est l accéléatin angulaie du slide autu de l axe (, ). S est l axe de tatin Ntin de mment d inetie : (unité : kg.m 2 ) Dans le cas généal, le calcul d un mment d inetie est cmplexe ca il s expime pa une intégale tiple su le vlume. L expessin généale pu le calcul d un mment d inetie pa appt à un axe (, ) est : I 2 * dm ù: est la distance du pint cnsidéé à l axe (, ) V dm est l élément de masse élémentaie liée au pint Exemple de calcul: Calcul du mment d inetie d un cylinde plein pa appt à sn axe de symétie de évlutin. - Chix de l élément de vlume: h R - Calcul de l élément de vlume: - Calcul du mment d inetie : 4.. Fmulaie su les mments d inetie des pincipaux vlumes : C:\New Data\Lycée\Cus mécanique\2ème année\cus dynamique BTS.dc L.D. 14/0/2005 PE 2/7

3 m : masse du cylinde plein Cylinde plein de diamète 2 et de lngueu 2l V π.².2l :Vlume I x I Ox m² 2 I y I m² 4 + ml² I Oy1 I O1 m² 4 + 4ml² Cylinde ceux de diamète extéieu 2R, de diamète intéieu 2 et de lngueu 2l m : masse du cylinde ceux V π.(r² - ²).2l :Vlume I x I Ox m(r²+²) 2 I y I m(r²+²) + ml² 4 I Oy1 I O1 m(r²+²) + 4ml² 4 m : masse de la tige pleine Tige pleine de diamète négligeable et de lngueu 2l I x I Ox 0 I y I ml² I Oy1 I O1 4ml² Sphèe de Rayn m : masse de la sphèe V 4π : Vlume I x I y I 2m² 5 C:\New Data\Lycée\Cus mécanique\2ème année\cus dynamique BTS.dc L.D. 14/0/2005 PE /7

4 m : masse du cône plein Cône plein de diamète 2 et de hauteu h V π²h :Vlume I x I Ox m² 10 I y I m² 20 + mh² 5 I Oy1 I O1 m² 20 + mh² 10 m : masse du paallélépipède Paallélépipède ectangle de lageu b, de hauteu h et de lngueu 2l V b.h.2l : Vlume I x I Ox m 12 (b²+h²) I y m 12 (h²+4l²) I m 12 (b²+4l²) I Oy1 mh² ml² I O1 mb² ml² m : masse du te Te V 2π²R ² : Vlume I x m 4 (4R²+²) C:\New Data\Lycée\Cus mécanique\2ème année\cus dynamique BTS.dc L.D. 14/0/2005 PE 4/7

5 5. SOLIDES EN ROTTION UTOUR D UN XE FIXE ( n appatenant pas à cet axe): Le P.F.D. a pu expessin : { τ } SS / R m avec: I I + * 2 γ * ( ) I Z && * θ S (masse ) Relatin tiée du théème de HUYHENS 6. NOTION DE FORCE D INERTIE: PRINCIPE D LEBERT / m * ( ) F R ( S γ i ù : Fi est appelée fce d inetie. Cette fce Fi est ppsée à l accéléatin. Dans le cas d un muvement de tatin autu d un axe fixe difféent de l axe de symétie de évlutin, la fce centifuge (cmme l accéléatin) en peut ête décmpsée suivant deux diectins pincipales: - la nmale à la tajectie du pint : F in - m * γ n -m * [] * ω 2 * n - la tangente à la tajectie du pint : F it - m * γ t -m * [] * dω/dt * t t F in ω n dω/dt F it L intéêt d utilise la ntin de fce d inetie, est d assimile l effet d inetie à une fce extéieue et de puvi ésude le pblème cmme un pblème de statique. Dans ce cas, tutes les méthdes et théèmes abdés en statique snt utilisables. C:\New Data\Lycée\Cus mécanique\2ème année\cus dynamique BTS.dc L.D. 14/0/2005 PE 5/7

6 7. EXERCICES D PPLICTION 7.1. ments d inetie Détemine les mments d inetie suivants : asse pnctuelle Caactéistiques : asse : 10 kg Distance de l axe : O 0.2m ment d inetie I Cylinde plein asse vlumique : ρ 7800 kg/m Rayn : R 0.5 m Hauteu : h 2 m Cylinde ceux asse : 5 kg Rayn extéieu : R 0,5m Rayn intéieu : 0.4 m Cylinde ceux asse : 2 kg Diamète extéieu : D 0.1 m Epaisseu négligeable Cylinde ceux asse : 2 kg Diamète extéieu : D 0.1 m Epaisseu négligeable Excentatin : e 0,5 m e 7.2. Slide su plan incliné Sit un slide ( de masse, en appui su un plan incliné d un angle α pa appt à l hintale. Y Hypthèse : - On néglige les fttements de l ai. Détemine sn accéléatin sus fme littéale dans les deux cas suivants: X - On néglige les fttements au niveau du cntact. - On pend en cmpte le fttement ente le slide et le plan (cefficient f) P α pplicatin numéique: 200 kg, α 25, f 0, C:\New Data\Lycée\Cus mécanique\2ème année\cus dynamique BTS.dc L.D. 14/0/2005 PE 6/7

7 7.. Démaage à vide d un mteu électique On étudie le cuple de démaage à vide d un mteu électique dnt le t a une inetie autu de sn axe de tatin équivalente à celle d un cylinde de ayn 60 mm et de masse kg. L axe de tatin est nté. Le temps nécessaie pu que le mteu atteigne sa vitesse nminale de 150 d/s est de 0,75 s. En suppsant le muvement unifmément vaié, détemine sn accéléatin puis le cuple de démaage à vide Vibeu y y Le système vibant étudié, est cnstitué d un abe en liaisn pivt pa appt au bâti. La vibatin est engendée pa l excenticité d une masseltte cylindique liée cmplètement à l abe. C B x C α u Dnnées numéiques: Vitesse de tatin de l abe : N m 2000 t/mn Temps d accéléatin pu atteinde la vitesse nminale: t a 1,2 s asse de la masseltte : m 1,2 kg Diamète de la masseltte: D 140 mm Inetie et masse de l abe négligeables devant la masseltte. Lngueus: C CB 40 mm C 10 mm Détemine le cuple mteu nécessaie en phase d accéléatin, en suppsant le muvement unifmément vaié. Détemine les actins dans les liaisns lsque le muvement est unifme. C:\New Data\Lycée\Cus mécanique\2ème année\cus dynamique BTS.dc L.D. 14/0/2005 PE 7/7