Fonctions affines Problèmes du premier degré

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1 Fonctions ffines Problèmes du premier degré 1. Reconnître et utiliser une fonction ffine (vidéo 1) Définition: On ppelle fonction ffine toute fonction f qui s'écrit sous l forme f ()= +b, où et b sont des nombres fiés. Eemples : f ()=3 + ici =3et b= f ()= 4 +1 ici = 4 et b=1 Et f ()=3 ² +? Ce n'est ps une fonction ffine. Cs prticuliers de fonction ffine : si =0 L fonction ffine s'écrit : f ()=0 +b=b On ppelle cette fmille de fonctions des fonctions constntes. Eemples : f ()=4 lors : f (3)=4 f ( 5)=4 etc... si b=0 L fonction ffine s'écrit : f ()= +0= On ppelle cette fmille de fonctions des fonctions linéires. Eemples f ()= est l fonction linéire de coefficient f ()= 4 est l fonction linéire de coefficient - 4 Biln : Fonctions constntes f() = b Fonctions linéires f() = Fonctions linéires f() = + b. Propriété des fonctions ffines : Eemple : Soit f ()= f ()= Est-ce un tbleu de proportionnlité? On constte que non. Les produits en croi ne fonctinennt ps. Que peut-on remrquer?? f (3) f (1) = = 6 =3 f (10) f () = = 4 8 =3 On dit que l'ccroissement est constnt. Stéphne Guyon Clsse de seconde : Fonctions Affines et problèmes du 1 er degré Lycée Bellevue - Pge 1/5

2 Théorème : Si f est une fonction ffine définie pr f ()= +b, lors :pour tout nombre u et v f (u) f (v) distincts, = u v On dit que l'ccroissement est proportionnel. 3. Représenter grphiquement une fonction ffine Rppel : L représenttion grphique d'une fonction ffine est une droite. Eemple : Représenter grphiquement l fonction f ()=3 + f est une fonction ffine donc s représenttion grphique est une droite (d). On cherche deu points : f (0)= donc A(0 ;) (d ) f ( 1)= 1 donc B( 1 ; 1) ( d ) Propriété grphique : Si f est une fonction ffine définie pr f ()= +b est ppelé le coefficient directeur de l droite, il mesure l pente. b est ppelé l'ordonnée à l'origine de l droite. Il mesure «l'étge» où l droite coupe d'e des ordonnées. Le point de coordonnées (0;b) pprtient à l droite 4. Donner le tbleu de signe de +b pour des vleurs de et b données On cherche à connître le signe d'une epression du type + b. 1ère méthode : résolution de l'inéqution (3ème) On résout l'inéqution + b>0 > si >0, lors > S=] b ;+ [ Stéphne Guyon Clsse de seconde : Fonctions Affines et problèmes du 1 er degré Lycée Bellevue - Pge /5

3 si <0, lors < S=] ; b [ Applictions : Résoudre 3>0 d'où > 3 et S =] 3 ;+ [ On peut résumer le signe de l'epression 3 dns un tbleu : Déterminer le signe de 3+ d'où 3 et S =[ ; 3 [ ème méthode : (seconde) Propriété : Pour trouver directement le signe d'une epression du type +b, vec et b non nuls, on peut directement utiliser ce tbleu : +b Opposé du signe de 0 Signe de Appliction : étude du signe de A( )= +1 A est une fonction ffine puisqu'elle est sous l forme A( )=+b vec = et b=1 L fonction s'nnule en = b = 1 = 1 On sit, d'près le cours que A est du signe de =>0 sur l'intervlle ] b ;+ [ donc sur ] 1 ;+ [ 1 + A( ) étude du signe de B( )=4 Stéphne Guyon Clsse de seconde : Fonctions Affines et problèmes du 1 er degré Lycée Bellevue - Pge 3/5

4 B est une fonction ffine puisqu'elle est sous l forme B( )=+b vec = et b=4 L fonction s'nnule en = b = 4 = On sit, d'près le cours que B est du signe de = <0 sur l'intervlle ] b ;+ [ donc sur ] ;+ [ Résoudre une inéqution à prtir de l étude du signe d une epression produit ou quotient de fcteurs du 1er degré Eemple 1: Résoudre (4 +1)(3 ) 0 Méthode : étude du signe de f ()=4 +1 f est une fonction ffine puisqu'elle est sous l forme f ()=+b vec =4 et b=1 donc l fonction f s'nnule en = b = 1 4 On sit, d'près le cours que f est du signe de =4>0 sur l'intervlle ] b ;+ [ donc sur ] 1 4 ;+ [ étude du signe de g ( )=3 g est une fonction ffine puisqu'elle est sous l forme g( )=+b vec = 1 et b=3 L fonction s'nnule en = b = 3 1 =3 On sit, d'près le cours que g est du signe de = 1<0 sur l'intervlle ] b ;+ [ donc sur ]3 ;+ [ on dresse lors un tbleu de signes de l'epression : (4 +1)(3 ) Stéphne Guyon Clsse de seconde : Fonctions Affines et problèmes du 1 er degré Lycée Bellevue - Pge 4/5

5 Et il vient S=[ 1 4 ;3] Eemple : Étudier le signe de cette epression : A( )=(3 1)² ( +7)² Il fut fctoriser l'epression pour étudier le signe d'un produit. On reconnît une identité remrquble de l forme ² ² : A( )=(3 1)² ( +7)²=[(3 1)+( +7)][(3 1) ( +7)] A( )=(5 6)(3 1 7)=(5 6)( 8) étude du signe de (5 6) : On reconnît une epression du premier degré de l forme +b vec =5 et b= 6 = ( 6) = et =5>0 étude du signe de ( 8) : On reconnît une epression du premier degré de l forme +b vec =1 et b= 8 = ( 8) =8 et =1> (5 6)( 8) Stéphne Guyon Clsse de seconde : Fonctions Affines et problèmes du 1 er degré Lycée Bellevue - Pge 5/5