M4. Méthodes en CALCUL et RESOLUTION ALGEBRIQUE

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1 CRPE M4. Méthodes en CALCUL et RESOLUTION ALGEBRIQUE Nous vons vu en S6 que l mise en éqution d un prolème v permettre l mise en œuvre d une procédure de résolution lgérique. Cette résolution se fit en plusieurs étpes, et nécessite d une prt de svoir psser d un lngge «littérire» et «rithmétique» u lngge «lgérique», d utre prt de svoir résoudre les équtions otenues. Clcul littérl Certines epressions reviennent fréquemment dns les mises en éqution ou les générlistions. On peut retenir celles-ci, pour k et n entiers nturels : Un nomre pir s écrit k, un nomre impir k Trois nomres entiers consécutifs : n, n, n mis ussi n -, n, n Deu nomres pirs consécutifs : k, k et deu nomres impirs consécutifs : k, k ou k,k Ainsi on peut démontrer que l somme des crrés de deu nomres impirs consécutifs est un nomre pir cr S (k ) (k ) 4k 4k 4k 4k 8k (4k ) k ', ou encore que leur différence est un multiple de 8 cr D (k ) (k ) 4k 4k 4k 4k 8k Le développement d une identité remrqule peut toujours se fire en prennt ppui sur l distriutivité de l multipliction sur l ddition ou l soustrction. L mémoristion de ces identités remrqules sert surtout à ggner du temps. Ainsi : (7 ) , mis on peut ussi le retrouver pr (7 ) (7 )(7 ) , que l on peut otenir vec ( )( ) ( )( ) ( ) 9 L fctoristion nécessite souvent le recours u identités remrqules et à l reconnissnce de forme, comme pr eemple l clssique différence de deu crrés Ainsi, 6 4 ( 4)( 4) : 4, ou encore 9 ( )( ) On voit dns ces deu eemples, que l fctoristion serit difficile sns l reconnissnce de l identité ² ² ( )( ). Il en est de même pour les epressions de l forme ² ² ( )² ou ² ² ( )² Ainsi n 0n 00 ( n 0) ou encore 8k 6k 4 (9k ) Ces identités remrqules sont donc à connître pr cœur et on éviter les «muvis réflees» qui génèrent des erreurs : pour p, q, k non nuls ( p q) p q, ou encore ( k ) k!! Primths.com CRPE 0 CMJ

2 Clcul lgérique Méthode de résolution d une éqution ou d une inéqution du premier degré L résolution d éqution ou d inéqution du premier degré repose sur le principe de l lnce. L trnsposition d un terme d un memre dns un utre n est en fit qu un «rccourci de l équilirge» de l églité (inéglité) lors qu on joute memre à memre un même terme (ici ). c c - - c c c c C est pourquoi il fut penser à chnger de signe qund on trnspose un terme. Nous vons vu en S4 que les équtions du type c ( vec 0) ont en générl une solution c unique, otenue en divisnt pr non nul les deu memres de l églité c 8 5 Ainsi 8 pour solution 7, ou encore - 5 pour solution 5 Pr contre 5 pour solution 5 8 L résolution de l inéqution c ( vec 0) demnde plus de vigilnce. Equivlente à l inéqution c, les vleurs de solutions sont dépendntes du signe de : c Si 0,lors, et l ensemle des solutions est ; c S c c Si 0,lors l'ordre chnge et. L ensemle des solutions est lors S,. 05 Ainsi 7 05 pour solutions soit 5, mis 5 pour solutions 5 soit 8 c'est à dire On représente grphiquement les solutions d une inéqution sur l droite grduée des réels. L résolution d un système d inéqutions peut lors se fire grphiquement. Ainsi S= -8;+ est représenté pr : 5 8 Le système est équivlent à et l ensemle de ses solutions est l intervlle S 8;5 Si les inéglités sont u sens lrge ( ou ), les ornes de l intervlle sont fermées et leurs vleurs sont dns l ensemle des solutions. Si les inéglités sont u sens strict (< ou >), les ornes de l intervlle sont ouvertes et leurs vleurs ne font ps prtie de l ensemle des solutions. - Primths.com CRPE 0 CMJ

3 Méthode de résolution d équtions du second degré L résolution d équtions du second degré repose sur le principe de l fctoristion et de l propriété vue u collège : «un produit est nul si et seulement si l un de ses fcteurs est nul.» On ser donc mené à trnsformer les epressions fin de se rmener à cette forme. Nous vons vu en S5 que les équtions de l forme respectivement un réel positif, nul ou négtif. En effet Si 0, lors l éqution nomre réel est positif. Si 0, lors l éqution ont deu, une ou zéro solutions selon que est peut s écrire 0. n ps de solution dns l ensemle des réels, puisque le crré d un 0 pour unique solution 0 Si 0, lors est le crré de et on retrouve l différence de deu crrés ( )( ) 0 soit 0, soit 0 d'où deu solutions et ( ) 0 Cependnt dns les prolèmes, il fudr veiller à tenir compte du contete fin de s ssurer que les deu solutions sont cceptles. Ainsi lors de l utilistion du théorème de Pythgore dns un tringle rectngle, on est souvent mené à résoudre ce type d éqution et à ne retenir qu une seule solution puisque l donnée inconnue représente une longueur, et est donc positive. Si un tringle MNP est rectngle en P et tel que MN et NP 8 lors MN MP NP MP MN NP d'où MP Nous vons vu que l fctoristion peut permettre de résoudre un certin nomre d équtions du second degré. Cependnt dns certins cs, l éqution peut se rmener à une éqution du premier degré. L oservtion est donc de rigueur! Mr B. choisit un nomre, lui enlève, élève son résultt u crré, puis enlève 4 u crré otenu. Il trouve 0. Quel nomre t -il choisi u déprt? Y -t-il plusieurs choi possiles? Soit le nomre choisi pr Mr B. Les étpes de clcul successives permettent d écrire que ( ) 4 0. L première réponse qui vient à l esprit est ( ) 4 5. Pourtnt l fctoristion ( ) 4 ( ) ( )( ) ( 5)( ) permet de trouver les deu solutions de l éqution ( ) 4 0, à svoir 5 et. Mr B. donc pu choisir l une de ces deu vleurs u déprt. Un pvé droit pour dimensions (en cm),,, vec. Pour quelles vleurs de le volume de ce pvé ser-t-il égl u volume du cue d rête? V V pvé ( )( ) et cue, d où l éqution de degré trois ( )( ). En divisnt chque memre pr non nul, on se rmène à une éqution de second degré ( )( ). En développnt chque memre, on se rmène à une éqution du premier degré Il fut donc choisir 6. Le pvé ur pour dimensions 6cm, 4cm et 9cm, le cue ur soit pour rête 6cm. Leur volume commun est égl à 6cm Primths.com CRPE 0 CMJ

4 Méthode de résolution d un système de deu équtions à deu inconnues (du premier degré) Nous vons vu en S5 que les solutions d un système formé de deu équtions de l forme y c 0 où,, c,, y sont des réels, sont les couples (, y) pour lesquels les deu équtions sont simultnément vérifiées. Un système peut voir une solution, ps de solution ou une infinité de solutions. Les méthodes courmment utilisées pour résoudre un système sont l méthode de sustitution et l méthode d ddition ou de cominison linéire.. Pr cominison linéire Pour résoudre le système 4 y 0 (), on multiplie les deu memres de l éqution () pr -, puis 5y 4 0 () on remplce l éqution () pr une nouvelle éqution () otenue en joutnt memre à memre les deu équtions du système : le coefficient - été choisi pour qu une des deu inconnues (ici ) disprisse pr ddition. L éqution () permet de clculer y. En remplçnt y pr s vleur dns l éqution () on trouve. 4y 0 0 4y 0 4y 0 7 0y 8 0 () 4 y 7 0 () y () y 4 y Le système pour solution le couple ( ; ). Pr sustitution Pour résoudre le système 5 y 4 (), l méthode de sustitution est intéressnte cr une des deu 0 0y4 () inconnues peut s eprimer directement en fonction de l utre (ici y dns l éqution ()). On remplce y pr s nouvelle epression dns l utre éqution. L éqution () permet lors de clculer. En remplçnt pr s vleur dns l éqution (), on trouve l vleur de y, et le couple solution (,y) solution qund il eiste. y 4 5 y 4 5 ( ) y 4 5 () y 4 5 y y 4 () 0 0(4 5 ) = y 4 5 () On peut ussi simplifier les coefficients de l éqution () en les divisnt pr 0. Le système s écrit lors. 4 y,8 () Le système dmet pour solution le couple ( ;) 5 Méthode pour résoudre lgériquement un prolème Après voir repéré et nommé les inconnues du prolème, l mise en éqution des données fit psser du lngge «littérire, conté» u lngge lgérique. Il reste à résoudre ces équtions, puis à vlider leurs solutions en tennt compte du contete du prolème. On terminer en revennt u lngge conté en rédigent l réponse u prolème. Primths.com CRPE 0 CMJ

5 Mr B. possède un jeu de crtes vec trois types de crtes représentnt des formes géométriques. Les unes représentent des hegones réguliers, les secondes des tringles équiltéru, les dernières des crrés. Il en tout 9 crtes et le nomre totl de côtés sur ses crtes est de 80. Trouvez le nomre de crtes de chque type, schnt que ces nomres sont compris entre et 0. Soient t le nomre de tringles, c le nomre de crrés, h le nomre d hegones. Le nomre totl de crtes se trduit pr c t h 9 Le nomre totl de côtés se trduit pr 4c t 6 h 80. Le troisième renseignement impose c 0 et t 0 et h 0. c t h 9 () D où le système qui présente trois inconnues pour deu équtions et des conditions de vlidité des solutions. 4c t 6h 80 () On peut lors le remplcer successivement pr : c 9 t h () c 9 t h () c 9 t h () c 9 t h () c 9 t h () 4 t t 4c t 6h 80 () 4(9 t h) t 6h 80 () 76 4t 4h t 6h 80 () t h 4 () h =+ () Les vleurs de c, t, et h étnt entières et comprises entre et 0, on peut donc choisir l vleur de t prmi t, t 4, t 6, t 8. A chcune de ces vleurs sont ssociées des vleurs pour c et h : t, h, c 4, et t 4, h 4, c, non cceptles cr c 0 t 6, h 5, c 8, et t 8, h 6, c 5, toutes deu cceptles. Mr B. peut donc voir dns son jeu de crtes 6 tringles, 5 hegones et 8 crrés, ou encore 8 tringles 6 hegones et 5 crrés. Vérifiction possile : et d ' une prt et d ' utre prt Primths.com CRPE 0 CMJ