Limite d une fonction

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1 c Christophe Bertult - MPSI Limite d une fonction Dns tout ce chpitre, I,J... sont des intervlles de R. Définition (Intérieur et dhérence d un intervlle) On ppeller intérieur de I et on noter I l intervlle I privé de ses bornes. Pr exemple, R + = R + et [0, [ = ]0, [. On ppeller dhérence de I et on noter Ī l intervlle I ugmenté de ses bornes, qui éventuellement ne lui pprtiennent ps. Pr exemple, [0, [ = [0, ] et ]0, [ = [0, ]. Soient f : I R une ppliction et Ī. On dit que f vérife une certine propriété P u voisinge de s il existe un voisinge V de tel que f vérifie l propriété P sur I V. Pr exemple, l fonction sinus est croissnte u voisinge de 0; l fonction cosinus est minorée pr et mjorée pr u voisinge de 0. Définitions de l ite d une fonction. Limite d une fonction en un point Définition (Limite d une fonction en un point) Soient f : I R une ppliction, Ī et l R. On dit que f dmet l pour ite en si : pour tout voisinge V l de l, il existe un voisinge V de tel que : x I V, f(x) V l. Expliction Si vous vez bien compris l définition de l ite d une suite, vous devriez à présent comprendre l définition de l ite d une fonction. Avec les suites, on demndit que pour tout voisinge V l de l ite l, tous les termes à prtir d un certin rng soient piégés dns V l. A présent, vec les fonctions, on demnde que toutes les vleurs que l fonction f considérée prend u voisinge de soient piégées dns V l. V l V l l V l V l V f = l vec l R et R f = V V f = l vec l R f = vec R V Théorème (Unicité de l ite) Soient f : I R une ppliction et Ī. (i) Si f possède une ite en, celle-ci est unique, notée f ou x f(x). Pour tout l R, l reltion f = l se note souvent f l ou f(x) x l. (ii) Si I et si f possède une ite en, lors f = f().

2 c Christophe Bertult - MPSI Expliction f() f() On peut comprendre l ssertion (ii) de ce théorème u moyen de deux petits dessins très simples. f est définie en et f = f(). f est définie en mis f n existe ps. Pourtnt nous verrons Démonstrtion que f = f. + (i) Risonnons pr l bsurde et fisons l hypothèse que f possède deux ites l et l distinctes. Prce que l l, il existe un voisinge V l de l et un voisinge V l de l tels que V l V l =. Or pr hypothèse sur f, il existe deux voisinges V et V de tels que : x I V, f(x) V l et x I V, f(x) V l. Finlement, donnons-nous x I V V cet ensemble est non vide. Alors f(x) V l V l, ce qui contredit comme voulu notre choix de V l et V l. (ii) Fisons l hypothèse que f est définie en i.e. I et possède une ite l en. Peut-on voir lors l =? Si c étit le cs, il existerit donc un voisinge V de tel que f(x) ] f(), [ pour tout x I V ; en prticulier, pour x =, on urit donc f() ] f(), [ contrdiction. Ainsi l, et on pourrit montrer de même que l. Bref, l R. Soit finlement ε > 0. Il existe pr hypothèse un voisinge V de tel que f(x) ]l ε, l+ε[ pour tout x I V ; en prticulier f() ]l ε,l+ε[. Nous venons donc de montrer que : ε > 0, f() l < ε. Aussitôt l = f() comme voulu choisir ε =, puis fire tendre n vers. n En prtique Vous n êtes ps obligés d pprendre l définition générle et bstrite de l ite que nous venons de donner cr elle n est ps u progrmme. Nous llons cependnt l reformuler de neuf fçons différentes dns neuf contextes, et il est impértif que vous connissiez, ou du moins schiez retrouver très vite, ces neuf définitions. Des dessins tels que ceux que nous vons effectués ci-dessus pourront vous être utiles pour bien comprendre ces reformultions. Définition (Les 9 ites) Soient f : I R une ppliction, Ī et l R. Cs où l R et R : f = l ε > 0, α > 0/ x I, x < α = f(x) l < ε. Cs où l = et = : f = A > 0, B > 0/ x I, x > B = f(x) > A. Cs où l = et = : f = A < 0, B > 0/ x I, x > B = f(x) < A. Cs où l = et = : f = A > 0, B < 0/ x I, x < B = f(x) > A. Cs où l = et = : f = A < 0, B < 0/ x I, x < B = f(x) < A. Cs où l R et = : f = l ε > 0, B > 0/ x I, x > B = f(x) l Cs où l R et = : f = l ε > 0, B < 0/ x I, x < B = f(x) l

3 c Christophe Bertult - MPSI Cs où l = et R, / I : f = A > 0, α > 0/ x I, x < α = f(x) > A. Cs où l = et R, / I : f = A < 0, α > 0/ x I, x < α = f(x) < A. Attention! Dns ces définitions, les quntificteurs et ne doivent être permutés sous ucun prétexte. Remrque On peut montrer que dns ces définitions, toutes les inéglités inéglités strictes peuvent être remplcées pr des inéglités lrges. Le résultt suivnt est une conséquence directe de l définition de l ite. Théorème Soient f : I R une ppliction, Ī et l R. Si l R : Si R : ( ) f(x) = l f(x) l = 0. x x f(x) = l f( + h) = l. x h 0 =. x x En effet Soit A > 0. On cherche α > 0 tel que : x ], [, x < α = tout x ], [ : x > A x < A x > A. x < A cr x >. Posons α = A. Vi ce qui précède, on bien : x ], [, x < α = x > A Or pour comme voulu. x x x + =. En effet Soit ε > 0. On cherche B > 0 tel que : x R, x > B = x x + < ε. Or pour tout x R : x x + = x + x. Posons donc B =. Alors pour tout x > B : x ε x + x < B = ε. C est le résultt voulu. Théorème (Limite et bornitude) Soient f : I R et Ī. Si f possède une ite finie en, lors f est bornée u voisinge de. Démonstrtion Puisque l = f existe et est une ite finie, il existe un voisinge V de tel que : x I V, f(x) l <. En prticulier, pour tout x I V : f(x) ( ) = f(x) l +l f(x) l + l +. Ceci montre que f est bornée sur I V, donc que f est bornée u voisinge de.. Limites d une fonction à guche/à droite en un point Définition (Limite d une fonction à guche/à droite en un point) Soient f : I R une ppliction, Ī et l R. Si f est définie u voisinge de à guche, on dit que f dmet l pour ite à guche en si f I ],[ dmet l pour ite en. En tnt que ite, l ite de f en à guche, si elle existe, est unique et notée f ou f(x) ou f(x). x x Si f est définie u voisinge de à droite, on dit que f dmet l pour ite à droite en si f I ], [ dmet l pour ite en. En tnt que ite, l ite de f en à droite, si elle existe, est unique et notée f ou f(x) ou f(x). + x + x x< x> 3

4 c Christophe Bertult - MPSI En prtique Ces définitions sont un peu bstrites. Vous devez surtout retenir leurs reformultions «en sitution». Les voici dns le cs des ites à guche : Cs où l R : ε > 0, α > 0/ x I, α < x < = f(x) l Cs où l = : A > 0, α > 0/ x I, α < x < = f(x) > A. Cs où l = : A < 0, α > 0/ x I, α < x < = f(x) < A. = et x 0 x x 0 + x =. En effet Montrons pr exemple que x 0 + tout x ]0, α[. Or pout tout x R + : x =. Soit donc A > 0. Nous cherchons α > 0 tel que x > A pour x > A x < A. Posons finlement α = A. Vi ce qui précède on bien : x ]0, α[, x > A comme voulu. Théorème (Crctéristion de l ite à l ide des ites à guche/à droite) Soient f : I R une ppliction, I et l R. f = l f = f = l et l = f(). + Attention! L précision «l = f()» est indispensble. On peut très bien voir f = f sns que f it une + ite en. Pour vous en convincre, jetez un œil ux figures du hut de l pge. Démonstrtion Supposons d bord que f = l. Nous vons déjà observé qu lors l = f(), et il est immédit, d près toutes nos définitions, que f = + f = l. Réciproquement, supposons qu on it f = f = l et l = f() en prticulier l R. Nous voulons + montrer que f = l. Soit donc ε > 0. Il existe α > 0 et α + > 0 tels que : { x I, α < x < = f(x) l < ε x I, < x < + α + = f(x) l < ε. } Posons enfin α = min {α, α + et donnons-nous x I tel que x < α, i.e. α < x < + α. Alors : ) si α < x <, on en fit α < x <, et donc f(x) l < ε ; ) si x =, f(x) = f() = l, donc f(x) l < ε; 3) si < x < + α, on en fit < x < + α +, et donc f(x) l Du coup, dns tous les cs, f(x) l Un certin ε > 0 étnt fixé, nous vons trouvé α > 0 tel que : x I, x < α = f(x) l < ε. Cel qui signifie bien que f = l. { e x si x 0 Soit f : R R, x x si x < 0. Alors f =. 0 En effet Puisque f est définie u moyen de deux expressions différentes à guche et à droite de 0, les notions de ite à guche/à droite vont nous être utiles. Nous svons que x) = et que x 0 ( ex =, et enfin f(0) =. Le théorème précédent ffirme bien, x 0 + comme nnoncé, que f(x) =. x 0 4

5 c Christophe Bertult - MPSI.3 Limite d une fonction en un point intérieur en lequel elle n est ps définie Pour toute ppliction f : I R, nous vons jusqu ici défini f, en cs d existence, dns le cs où Ī. Nous étendons à présent cette définition u cs où I mis où f n est ps définie en. Définition (Limite d une fonction en un point intérieur en lequel elle n est ps définie) Soient I, f : I { } R une ppliction et l R. On dit que f dmet l pour ite en si : ( pour tout voisinge V l de l, il existe un voisinge V de tel que : x I { }) V, f(x) V l. Expliction Cette définition de l ite est l même que l première que nous vons donnée, à ceci près que les «I» y ont été remplcés pr des «I { }». En prtique on réécrit bien sûr cette définition vec des «ε > 0» ou des «A R» comme on l fit vec nos définitions précédentes. V l l V V f = l vec l R f = V Théorème (Unicité de l ite) Soient I et f : I { } R une ppliction. Si f possède une ite en, celle-ci est unique, notée f ou x f(x). Pour tout l R, l reltion f = l se note souvent f l ou f(x) x l. Expliction Comprez donc l figure ci-contre vec les deux figures nlogues que nous vons déjà vues pge. x 0 x =. l f n est ps définie en mis pourtnt f = l existe. On voit qu on pourrit rjouter un point en vec l vleur f() = l, qui prolongerit f en l rendnt continue en ; nous reverrons cel bientôt. En effet Soit A > 0. Nous cherchons α > 0 tel que : x R, x < α = > A. Or pout tout x x R on : > A x <. On obtient donc le résultt voulu en posnt α =. x A A sin x = (nombre dérivé de l fonction sinus en 0). x 0 x Théorème (Crctéristion de l ite à l ide des ites à guche/à droite) Soient I, f : I { } R une ppliction et l R. f = l f = f = l. + 5

6 c Christophe Bertult - MPSI Propriétés des ites de fonctions. Crctéristion séquentielle de l ite d une fonction «Crctéristion séquentielle» signifie «crctéristion en termes de suites». Le théorème suivnt contient en prticulier le résultt que nous vons ppelé «Composition à guche pr une fonction» dns notre chpitre «Limite d une suite». Nous l utilisions jusqu ici sns l voir démontré. Théorème (Crctéristion séquentielle de l ite d une fonction) Soient f : I R une ppliction, Ī et l R. Les ssertions suivntes sont équivlentes : (i) f = l. (ii) Pour toute suite (u n) n N de ite à vleurs dns I, l suite ( f(u ) n) pour ite l. n N Remrque Ce théorème est encore vri si est un point intérieur en lequel f n est ps défini; il fut cependnt dns ce cs remplcer les «I» pr des «I { }». Démonstrtion (i) = (ii) On suppose que f = l. Soit lors (u n) n N une suite de ite à vleurs dns I. Nous devons montrer que n f(un) = l. Prtons donc d un voisinge V l de l. Puisque f =, il existe un voisinge V de tel que : x I V, f(x) V l. Mis n un =. Il existe donc un rng N à prtir duquel u n V. Finlement, pour tout n N, u n I V, donc f(u n) V l. Cel montre bien que n f(un) = l. (ii) = (i) Au lieu de trviller vec des voisinges, trvillons dns le cs prticulier où, l R pour vrier. Risonnons pr contrposition. On suppose donc que f n dmet ps l pour ite. Nous devons en déduire l existence d une suite (u n) n N de ite à vleurs dns I telle que ( f(u ) n) n dmette ps l pour ite. n N Mis puisque f n dmet ps l pour ite, il existe ε 0 > 0 tel que : α > 0, x I/ x < α et f(x) l ε 0. Pour tout n N, choisissons donc un élément u n I tel que u n < n et f(u n) l ε 0 poser α = n dns l proposition précédente. Ce procédé nous fournit bien une suite (un) n N de ite à vleurs dns I telle que ( f(u ) n) n dmette ps l pour ite. n N Puisque x ex = et n! =, lors n n en! =. sin n existe ps. x 0 x En effet Posons u n = nπ et vn = nπ + π Pourtnt sin = sin(nπ) = 0 u n pour tout n N. Alors un = vn = 0. n n ( = sin nπ + π ) =. Ces deux ites étnt v n n 0 et sin n différentes, nous en déduisons le résultt nnoncé vi l crctéristion séquentielle de l ite.. Opértions sur les ites Pour cette prtie du cours, llez fire un tour du côté des ites de suites. Il se psse vec les fonctions l même chose qu vec les suites pour les opértions de somme, produit, multipliction pr un sclire et inverse en prticulier, les formes indéterminées, notmment, sont les mêmes. Les résultts en question vlent ici pour toutes les notions de ite que nous vons bordées. Pour ne ps perdre de temps inutilement, nous ne nous rrêterons ps dvntge sur ces points. Théorème (Limite et composition) Soient f : I J et g : J R deux pplictions, Ī, b J et c R. Si f = b et si b g = c, lors g f = c. 6

7 c Christophe Bertult - MPSI Démonstrtion L idée de l preuve est résumée pr l figure ci-près. Nous voulons montrer que g f = c. Soit donc V c un voisinge de c. Puisque g = c, il existe un voisinge V b de b tel que : x J V b, g(x) V c. b Du coup, puisque f = b, il existe un voisinge V de tel que : x I V, f(x) V b. Il est lors évident que : x I V, g f(x) V c. Nous vons insi montré comme voulu que g f = c. I 3... et donc ussi un voisinge V de que f envoie dns V b. V f... il existe un voisinge V b de b que g envoie dns V c... g f V b 4 b J Pour tout voisinge V c de c... g c V c Finlement g f envoie V dns V c d un coup d un seul. En prtique Vous devez svoir ppliquer prfitement ce théorème sur l composition des ites. Montrons pr exemple que ln e x + = 0. Il fut pour cel svoir dns quel ordre et vec quelles fonctions élémentires x (e x + ) cette ite est construite. On peut, u brouillon, pour éviter de se mélnger les pinceux, représenter les différents niveux de R R + R + R composition de l fçon suivnte : x e x = y y +. Une fois qu on fit ç, c est = z ln z (y + ) y + fcile, on n plus qu à remrquer que x e x = 0, = et ln z = 0. y 0 (y + ) z.3 Pssge à l ite et reltion d ordre Théorème (Limites et inéglités lrges) Soient f : I R et g : I R deux pplictions, Ī, l, l R et m, M R. (i) Si f = l, g = l et si f(x) g(x) u voisinge de, lors l l. (ii) Si f = l et si f(x) M u voisinge de, lors l M. (iii) Si f = l et si f(x) m u voisinge de, lors l m. Attention! Ces résultts sont fux vec des inéglités strictes : les inéglités strictes ne sont ps conservées pr pssge à l ite. Ainsi l ite x x = 0 n est ps strictement positive, et pourtnt : x R, x > 0. Remrque Ce théorème est encore vri si est un point intérieur en lequel f n est ps définie; il fut cependnt dns ce cs remplcer les «I» pr des «I { }». Démonstrtion (i) Les ites l et l étnt finies, nous svons que (g f) = l l. Pour montrer que l l 0, risonnons pr l bsurde en supposnt que l l < 0. Pr définition de l ite, il existe un voisinge V de pour lequel on : x I V, ( g(x) f(x) ) (l l) < l l. En prticulier, pour tout x I V on : g(x) f(x) < (l l) + l l = l l < 0. Ceci vient contredire le fit que pr hypothèse, f(x) g(x) u voisinge de. Ainsi l l 0 comme voulu. (ii) et (iii) sont des cs prticuliers de l ssertion (i), qund l une des fonctions est constnte. 7

8 c Christophe Bertult - MPSI Théorème (Limites et inéglités strictes) Soient f : I R une ppliction, Ī, l R et m, M R. (i) Si f = l et si l < M, lors f(x) < M u voisinge de. (ii) Si f = l et si l > m, lors f(x) > m u voisinge de. Attention! Ces résultts sont fux vec des inéglités lrges. Ainsi l ite x pourtnt : x R, x > 0. est négtive ou nulle, et x Remrque Ce théorème est encore vri si est un point intérieur en lequel f n est ps définie; il fut cependnt dns ce cs remplcer les «I» pr des «I { }». Démonstrtion Contentons-nous de démontrer l ssertion (ii). Pr hypothèse, puisque l m > 0, il existe un voisinge V de tel que : x I V, f(x) l l m <. Alors pour tout x I V : voisinge de. f(x) > l l m = l + m > m + m = m. Cel montre bien que f(x) > m u 3 Théorèmes d existence de ites pour les fonctions 3. Théorème des gendrmes, théorèmes de minortion/mjortion Théorème Soient f : I R, m : I R et M : I R trois pplictions, Ī et l R. (i) Théorème des gendrmes/de l encdrement : Si m = M = l, et si m(x) f(x) M(x) u voisinge de, lors f existe et f = l. (ii) Théorème de minortion : Si m = et si f(x) m(x) u voisinge de, lors f existe et f =. (iii) Théorème de mjortion : Si M = et si f(x) M(x) u voisinge de, lors f existe et f =. Remrque Ce théorème est encore vri si est un point intérieur en lequel f n est ps défini; il fut cependnt dns ce cs remplcer les «I» pr des «I { }». Démonstrtion (i) Pr hypothèse, il existe un voisinge V de sur lequel m(x) f(x) M(x). Soit lors ε > 0. Pr hypothèse sur m et M, il existe deux voisinges V et V de tels que : x I V, m(x) l < ε et x I V, Posons V 0 = V V V, qui est un voisinge de. Alors pour tout x I V 0 : M(x) l l ε < m(x) f(x) M(x) < l + ε, et donc f(x) l < ε. Nous vons trouvé un voisinge V 0 de tel que : x I V, 0 f(x) l < ε. Comme voulu f = l. (ii) et (iii) Reprenez votre cours sur les suites et tâchez d imiter l preuve que nous vons fite lors. 8

9 c Christophe Bertult - MPSI Le théorème des gendrmes est souvent utilisé sous l une des deux formes suivntes, que vous démontrerez seuls : Corollire Soient f : I R et ε : I R deux pplictions et Ī. Si f(x) ε(x) u voisinge de et si ε = 0, lors f = 0. Si f est bornée u voisinge de et si ε = 0, lors x ε(x)f(x) = 0. xsin x 0 x = 0 cr x sin est bornée et x x = 0. x 0 3. Théorème de l ite monotone Théorème (Théorème de l ite monotone) Soient f : I R une ppliction croissnte. (i) Soit I. Alors f et f existent, sont finies et vérifient : + (ii) f existe. Cette ite est finie si f est minorée ; elle vut sinon. inf I + (iii) f existe. Cette ite est finie si f est mjorée ; elle vut sinon. sup I Si f est décroissnte, on dispose bien entendu d un résultt nlogue. f f() f. + Assertion (i) Démonstrtion Montrons seulement l ssertion (i) pour ne ps perdre trop de temps. Soit I. Nous llons montrer l existence de f et l inéglité : f() f. On procèderit de même pour l ite à guche en. + + Posons F + = f ( I ], [ ). Alors F + est une prtie de R minorée pr f(), cr f étnt croissnte : x I ], [, f() f(x). Comme I, F +, et donc l propriété de l borne inférieure ffirme l existence de l = inf F + R. Montrons que f = l. Soit ε > 0. + Puisque l est le plus grnd des minornts de F +, l + ε n en est ps un minornt. Il existe donc y 0 F + que y 0 < l + ε. Considérons en outre x 0 I ], [ tel que y 0 = f(x 0). Posons enfin α = x 0 > 0. Alors pour tout x I tel que < x < + α = x 0 : tel l ε < l f(x) f(x 0) = y 0 < l+ε, cr pr définition l = inf F + = inf f ( I ], [ ) et cr f est croissnte. Nous venons donc de montrer que pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que : x I, < x < + α = f(x) l Il est donc bien vri que f existe et vut l comme nnoncé. + y = f(x) F + y 0 l ε α x 0 I 9

10 c Christophe Bertult - MPSI 4 Extension u cs des fonctions complexes Nous llons brièvement étendre les résultts que nous vons obtenu pour les fonctions réelles ux fonctions complexes. Attention! Les notions de fonction complexe mjorée/minorée/monotone n ont ucun sens cr l reltion d ordre nturelle n est ps définie sur C. Mlgré cel, l notion de fonction bornée conserve un sens. Définition (Fonction bornée) Soit f : I C une ppliction. On dit que f est bornée s il existe K R + tel que : x I, f(x) K. Définition (Limite d une fonction complexe en un point) Soit f : I C une ppliction, Ī et l C. On dit que f dmet l pour ite en si : pour tout voisinge V l de l, il existe un voisinge V de tel que : x I V, f(x) V l. Cel revient à dire que x f(x) l = 0, ce qui nous rmène u cs des ites de fonctions réelles. Le théorème d unicité de l ite est encore vlble. Expliction Cette définition est exctement l même que dns le cs des fonctions réelles. L seule chose qui chngé, c est l llure des voisinges. Pour un rppel, consultez les dernières pges du chpitre «Limite d une suite». Théorème (Crctéristion de l ite à prtir des prties réelle et imginire) Soient f : I C, Ī et l C. Les ssertions suivntes sont équivlentes : (i) f = l. (ii) Re(f) = Re(l) et Im(f) = Im(l). Démonstrtion (i) = (ii) Supposons qu on it f = l. Montrons que Re(f) = Re(l) pour l prtie imginire, remplcer «Re» pr «Im». On : Re(f) Re(l) = Re(f l) f l. On conclut vec le théorème des gendrmes. (ii) = (i) Supposons qu on it Re(f) = Re(l) et Im(f) = Im(l). Alors pr définition du module, et étnt données les opértions qu on peut fire sur les ites, on f l = 0. Ceci signifie précisément que f = l. x e ix = 0 cr + x x cos x + x = x sin x + x = 0. Avec les fonctions complexes, il est toujours vri qu une fonction possédnt une ite en un point est bornée u voisinge de ce point. Les notions de ite à guche et à droite, insi que l crctéristion de l ite en termes de ite à guche et à droite, pourrient être définies sns chngement dns le cdre des fonctions complexes. De même pour l notion de ite en un point en lequel l fonction étudiée n est ps définie. L crctéristion séquentielle de l ite est mintenue. De même les opértions d ddition, produit, multipliction pr un sclire et inverse sur les ites donnent lieu ux mêmes résultts que dns le cs réel ; plus précisément, dns une expression de l forme «f = l» où f est une fonction complexe, on peut voir = ±, mis ps l = ± cr l doit être un nombre complexe. Les grnds théorèmes d existence de ites n ont ps de sens dns le cs des fonctions complexes cr ils utilisent de fçon essentielle l reltion d ordre nturelle sur R. 0