Théorie des automates et langages formels

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1 Fculté des sciences Déprtement de mthémtiques Théorie des utomtes et lngges formels 1 4 7, d c d 2 c c d 5 c d c d, 8 c d 3 6 9,c,d,c,d,,c,d Année cdémique Michel Rigo

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3 Tle des mtières Chpitre I. Mots et lngges 1 1. Premières définitions 1 2. Lngges Expressions régulières et lngges ssociés Exercices 22 Chpitre II. Automtes Automtes finis déterministes Automtes non déterministes Stilité des lngges cceptés pr utomte Produit d utomtes Exercices 46 Chpitre III. Lngges réguliers et utomtes Des expressions ux utomtes Des utomtes ux expressions régulières Stilité de l régulrité Critère de non-régulrité Exercices 61 Chpitre IV. Automte miniml Introduction Congruence syntxique Automte miniml Construction de l utomte miniml Applictions Exercices 81 Chpitre V. Quelques compléments sur les lngges réguliers Trnsduction Recherche d un mot dns un texte Fonction de complexité d un lngge régulier Monoïde syntxique Lngges sns étoile Exercices 109 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques Premières définitions 115 i

4 ii Chpitre. Tle des mtières 2. Arres d nlyse Une illustrtion de l miguité Grmmires et lngges réguliers A propos de l hiérrchie de Chomsky Formes normles Lemme de l pompe Automtes à pile Stilité du crctère lgérique Un théorème de Schützenerger Exercices 155 Biliogrphie 159 Liste des figures 161 Index 165

5 CHAPITRE I Mots et lngges Ce premier chpitre introduit quelques concepts fondmentux de l théorie des lngges formels et de l comintoire sur les mots. L comintoire des mots étudie les propriétés des suites de symoles. L théorie des lngges formels engloe l théorie des utomtes et s intéresse ux propriétés mthémtiques des lngges qui sont des ensemles de mots. Elle trouve notmment des pplictions en vérifiction et pour l compiltion. 1. Premières définitions Définition I.1.1. Un lphet est un ensemle fini. Un lphet ser en générl désigné pr une lettre grecque mjuscule. Ainsi, Σ = {,, c}, Γ = {,,, }, = {0, 1}, Φ = {,,, } sont des lphets. Les éléments d un lphet sont ppelés lettres ou symoles Exemple I.1.2. Le iologiste intéressé pr l étude de l ADN utiliser un lphet à qutre lettres {A, C, G, T } pour les qutre constitunts des gènes: Adénine, Cytosine, Gunine et Thymine. Définition I.1.3. Soit Σ un lphet. Un mot sur Σ est une suite finie (et ordonnée) de symoles. Pr exemple, c et sont deux mots sur l lphet {,, c}. L longueur d un mot w est le nomre de symoles constitunt ce mot; on l note w. Ainsi, c = 5 et = 2. L unique mot de longueur 0 est le mot correspondnt à l suite vide. Ce mot s ppelle le mot vide et on le note ε. L ensemle des mots sur Σ est noté Σ. Pr exemple, {,, c} = {ε,,, c,,, c,,, c, c, c, cc,,,...}. Définition I.1.4. Si σ est une lettre de l lphet Σ, pour tout mot w = w 1 w k Σ, on dénote pr w σ = #{i {1,..., k} w i = σ} le nomre de lettres σ i pprissnt dns le mot w. Pr exemple, c = 2 et c c = 1. 1

6 2 Chpitre I. Mots et lngges Si l lphet Σ de crdinl n 1 est ordonné, on pourr le considérer comme un n-uple Σ = (σ 1,..., σ n ). On définit lors l fonction de Prikh ψ : Σ N n pr ψ(w) = ( w σ1,..., w σn ). Le n-uple ψ(w) est ppelé vecteur de Prikh de w. Il est clir que si n > 1, lors ψ n est ps injectif. Définition I.1.5. Soit w = w 1 w l un mot sur Σ. Les mots ε, w 1, w 1 w 2,..., w 1 w l 1, w 1 w l = w sont les préfixes de w. Un préfixe de w différent de ε et de w est dit propre. De fçon semlle, ε, w l, w l 1 w l,..., w 2 w l, w 1 w l = w sont les suffixes de w. Un suffixe de w est qulifié de propre s il diffère de ε et de w. Soient 1 i j l. Le mot w i w j est un fcteur du mot w. On le note prfois w[i, j]. Une fois encore, on prle de fcteur propre lorsque ce dernier diffère de w et de ε. L ensemle des préfixes (resp. suffixes, fcteurs) de w est noté Pref(w) (resp. Suff(w), Fc(w)). Remrque I.1.6. On peut oserver que puisque Σ est un ensemle fini, Σ est dénomrle 1. Rppelons l définition d un monoïde. Définition I.1.7. Soient A un ensemle et : A A A une opértion inire interne et prtout définie. L ensemle A muni de l opértion possède une structure de monoïde si les propriétés suivntes sont stisfites. L opértion est ssocitive : x, y, z A : (x y) z = x (y z). Il existe un neutre (unique) e A tel que x A : x e = e x = x. Remrque I.1.8. Un monoïde (A, ) qui est tel que tout élément de A possède un inverse est un groupe. Exemple I.1.9. Tout groupe est un monoïde; (N, +) est un monoïde qui n est ps un groupe. Profitons-en pour rppeler l définition d un morphisme de monoïdes. 1 En effet, les éléments de Σ peuvent chcun être crctérisés pr un nomre fini d indices prennt leur vleur dns des ensemles dénomrles (ici, il s git même d ensemles finis, à svoir Σ).

7 I.1. Premières définitions 3 Définition I Soient (A, ) et (B, ) deux monoïdes de neutre respectif e A et e B. Une ppliction f : A B est un morphisme (ou encore homomorphisme) de monoïdes si (1) x, y A : f(x y) = f(x) f(y) et (2) f(e A ) = e B. Remrque I Dns le cs d un homomorphisme de groupes, l condition (2) est une conséquence directe de (1) et de l existence d inverse u sein des groupes 2. Pr contre, dns le cs de monoïdes, l condition (2) fit el et ien prtie de l définition d un morphisme de monoïdes. Définition I Soit Σ un lphet. On définit l opértion de concténtion sur Σ de l fçon suivnte. Pour tous mots u = u 1 u k et v = v 1 v l, u i, v i Σ, l concténtion de u et v, notée u.v ou simplement uv, est le mot { wi = u w = w 1 w k+l où i, 1 i k. w k+i = v i, 1 i l Ainsi, Σ muni de l opértion de concténtion est un monoïde de neutre ε. En prticulier, on définit l puissnce n-ième d un mot w comme l concténtion de n copies de w, On pose w 0 = ε. w n = w } {{ w}. n fois On utiliser dorénvnt l nottion multiplictive. Remrque I Il est utile de remrquer que si #Σ > 1, lors Σ est un monoïde non commuttif, i.e., il existe u, v Σ tels que uv vu. Exemple I L ppliction longueur : Σ N est un morphisme de monoïdes entre (Σ,.) et (N, +). En effet, et ε = 0. u, v Σ : uv = u + v Exemple I Considérons l lphet Σ = {,, c} et le morphisme ϕ : Σ Σ défini pr ϕ() = c, ϕ() = c et ϕ(c) =. En effet, pour définir un tel morphisme, on remrquer qu il suffit de se donner l imge de lettres. On, pr exemple, ϕ(c) = ϕ()ϕ()ϕ()ϕ(c) = ccc. 2 pour tout x A, f(x) = f(ea x) = f(e A) f(x). D où l conclusion en multiplint pr f(x) 1.

8 4 Chpitre I. Mots et lngges Voici à présent quelques propriétés clssiques de comintoire des mots (clssifiction 68R15 de l Americn Mthemticl Society). On s intéresse principlement ux configurtions des lettres, des fcteurs ou encore des motifs pouvnt pprître dns un cdre non commuttif (crctère inévitle, fréquence d pprition, etc.). Voir, pr exemple, l excellent survol [10]. Proposition I Sur un lphet inire, tout mot de longueur u moins 4 contient un crré, i.e., un fcteur de l forme uu, u ε. Cette propriété trivile montre donc que l pprition d un crré est inévitle sur un lphet de deux lettres. Pr contre, sur trois lettres, il n en est rien. Ainsi, l clssifiction des motifs évitles ou non est loin d être isée. Un mot infini sur un lphet Σ est simplement une ppliction w : N Σ (i.e., une suite de lettres indexée pr N). On peut munir l ensemle Σ ω des mots infinis sur Σ d une distnce d : Σ ω Σ ω R définie comme suit. Si x et y sont deux mots infinis, lors x y désigne leur plus long préfixe commun. Si x = y, lors on pose d(x, y) = 0, sinon d(x, y) = 2 x y. On vérifier isément qu il s git ien d une distnce. Cette distnce possède une propriété supplémentire, elle est ultrmétrique 3 (on utilise prfois le terme non-rchimédienne) : x, y, z Σ ω : d(x, z) mx{d(x, y), d(y, z)}. Aynt à notre disposition un espce métrique (Σ ω, d), on peut prler de suites convergentes de mots infinis, etc. Soit c une lettre n pprtennt ps à Σ. On peut plonger Σ dns (Σ {c}) ω en identifint le mot fini w Σ vec le mot infini wccc (Σ {c}) ω. Cette identifiction fite, il est licite de prler d une suite de mots finis convergent vers un mot infini limite. Proposition I Le mot infini ϕ ω () où ϕ() = c, ϕ() = c et ϕ(c) =, est sns crré. On remrque fcilement que ϕ n () est préfixe de ϕ n+1 () pour tout n 0. Il suffit de procéder pr récurrence. Si ϕ n+1 () = ϕ n ()u, lors ϕ n+2 () = ϕ n+1 ()ϕ(u). De plus, l suite ( ϕ n () ) n 0 est strictement croissnte. Pour ces deux risons et vec l topologie ssociée à l métrique présentée précédemment, on peut dire que l suite (ϕ n ()) n 0 converge vers un mot infini limite. 3 On rencontre notmment ce type de propriété en nlyse p-dique. L topologie ssociée est intéressnte : tout point d une oule en est le centre, deux oules ont une intersection non vide si et seulement si l une est incluse dns l utre, tout tringle est isocèle, etc.

9 I.1. Premières définitions 5 ϕ 0 () = ϕ 1 () = c ϕ 2 () = cc ϕ 3 () = cccc. L démonstrtion du fit que le mot infini limite ϕ ω () est sns crré 4 ser donnée en fin de section. En prticulier, sur un lphet de trois lettres, il existe des mots (finis) ritrirement longs sns crré. Pour otenir ce résultt, nous montrerons d ord qu il existe, sur deux lettres, des mots ritrirement longs sns chevuchement. Proposition I Deux mots u et v commutent s ils sont puissnces d un même troisième, i.e., s il existe un mot w et des entiers i, j tels que u = w i et v = w j. Démonstrtion. On procède pr récurrence sur l longueur de uv. Si uv = 0, le résultt est immédit. Supposons à présent le résultt stisfit pour uv < n. Soient u, v tels que uv = n. On peut même considérer que u ε et v ε cr sinon, le résultt serit trivil. Si u = v, lors il est immédit que u = v. Sinon, on peut supposer que u < v (voir figure I.1). Dès lors, il existe u tel que v = u u et u < v. Ainsi, u v v u u Figure I.1. uv = vu. uv = uu u = vu = u uu et donc on trouve u u = uu. Puisque uu < uv, on peut ppliquer l hypothèse de récurrence. Il existe un mot w et des entiers p, q tels que u = w p et u = w q. Pour conclure, on remrque que v = u u = w p+q. Remrque I Noter que l réciproque du résultt ci-dessus est trivile. On églement le résultt plus générl suivnt (dont l réciproque est elle ussi immédite). Proposition I Si x, y, z sont des mots tels que xy = yz 4 cf. pr exemple, M. Lothire, Comintorics on words, Cmridge Mthemticl Lirry, Cmridge University Press, Cmridge, 1997.

10 6 Chpitre I. Mots et lngges vec x non vide, lors il existe des mots u, v et un entier k 0 tels que x = uv, y = (uv) k u = u(vu) k et z = vu. Démonstrtion. Si x y, lors nous vons l sitution suivnte. Ainsi, y v y x z y Figure I.2. xy = yz, x y. il existe un mot v tel que x = yv (si x = y, lors v = ε). Dns ce cs, on peut prendre u = y et k = 0. Si 0 < x < y, on procède pr récurrence sur y. Si y = 2 et x = z = 1, on x y 1 y 2 = y 1 y 2 z, x, z, y 1, y 2 Σ et on en déduit que x = y 1 = y 2 = z. Donc, u = y 1, v = ε et k = 1 conviennent. Supposons à présent l propriété stisfite pour y n et vérifions-l pour y = n + 1. Puisque x < y, il existe un mot w tel que x y y z x w y = xw. Ainsi, xy = yz se réécrit Figure I.3. xy = yz, x < y. xxw = xwz. De là, on tire xw = wz vec w < y cr x > 0. Soit x w et on pplique l première prtie de l preuve, soit x < w et on peut dès lors ppliquer l hypothèse de récurrence : il existe des mots u, v et un entier k tels que x = uv, w = (uv) k u = u(vu) k et z = vu. Pour conclure, on remrque que y = xw = uv(uv) k u = (uv) k+1 u. Définition I Soit w = w 1 w l un mot, vec w i Σ pour tout i. L entier k 1 est une période de w si w i = w i+k, i = 1,..., l k.

11 I.1. Premières définitions 7 On dit ussi que w est k-périodique. Un mot 1-périodiqe est constnt. Pr exemple, le mot est 3-périodique. Au vu de cette définition, un mot de longueur l est p- périodique pour tout p l. Lemme I Soient p, q deux entiers. Si w est (p.q)-périodique vec w p.q et si le préfixe de w de longueur p.q est p-périodique, lors w est lui-même p-périodique. Démonstrtion. C est évident. Théorème I.1.23 (Fine-Wilf 5 ). Si un mot w possède deux périodes p et q et si w p + q pgcd(p, q), lors pgcd(p, q) est ussi une période de w. Commençons pr un lemme tritnt d un cs prticulier du théorème. Lemme I Si un mot w de longueur p + q 1 possède deux périodes p et q premières entre elles, lors w est constnt, i.e., 1-périodique. Démonstrtion. Soit w = w 1 w p+q 1 de longueur p + q 1 vec pgcd(p, q) = 1. Soit l ppliction f : {0,..., p + q 1} {0,..., p + q 1} définie 6 pr { x + p si 0 x < q f(x) = x q si q x p + q 1. On remrque que f est en fit une permuttion de {0,..., p + q 1} qui envoie [0, q 1] (resp. [q, p + q 1]) sur [p, p + q 1] (resp. [0, p 1]). Montrons à présent que {f i (0) i 0} décrit {0,..., p + q 1}. Soit j > 0 tel que f j (0) = 0 (un tel j existe toujours cr f est une permuttion et se décompose donc en produit de cycles). Pr définition même de f, cel signifie qu il existe, N tels que j = + et p q = 0. Puisque p = q et que p et q sont premiers entre eux, on en conclut que p, q et donc j p + q. Pr conséquent, l permuttion de {0,..., p + q 1} induite pr f se compose d un unique cycle de longueur p + q. Remrquons à présent que l ppliction f est en reltion étroite vec nos hypothèses de périodicité : w i = w i+p pour tout 1 i < q et w j = w j q pour tout q < j p + q 1. De ce qui précède, on tire que w est un mot constnt (i.e., 1-périodique). En effet, on otient en fit w f(0) = w f 2 (0) = = w f p+q 1 (0) et {f(0),..., f p+q 1 (0)} = {1,..., p + q 1}. 5 N. J. Fine, H. S. Wilf, Uniqueness theorems for periodic functions, Proc. Amer. Mth. Soc. 16 (1965), Définir f sur {0,..., p + q 1} et non sur {1,..., p + q 1} comme cel urit pu semler nturel, nous ser ien utile. Au vu de l preuve, pourquoi?

12 8 Chpitre I. Mots et lngges Nous pouvons à présent procéder à l preuve du théorème de Fine et Wilf. Démonstrtion. On peut supposer que w = p + q pgcd(p, q). En fit, si le mot w est plus long, on considère son préfixe v de longueur p + q pgcd(p, q). Si l on montre que v possède pgcd(p, q) comme période, lors grâce u lemme I.1.22, le résultt s étend à w tout entier cr w possède déjà p ou q comme période. On peut de plus supposer que d = pgcd(p, q) = 1, cr sinon, en prennt une lettre sur d dns w, on est présence de d mots de longueur k = p/d + q/d 1 w i w i+d w i+(k 1)d, i = 1,..., d et de périodes p/d et q/d premières entre elles. Au vu du lemme I.1.24, chcun des d mots est constnt et on en tire l d-périodicité de w. Exemple I L orne donnée dns le théorème de Fine et Wilf est optimle : } {{ } } {{ } } {{ } est 5-périodique, 13-périodique mis est de longueur 16 = 5+13 pgcd(5, 13) 1. Pour terminer cette section, on définit, pr récurrence sur l longueur de w, l opértion miroir 7 de l mnière suivnte : si w = 0, lors w = ε et w R = ε; sinon w > 0 et w = σu, σ Σ, u Σ et w R = u R σ. Si w est tel que w R = w, lors w est un plindrome. Définition I Un mot fini de l forme uu où u Σ et Σ est un chevuchement (en nglis, overlp). u u On remrque que tout chevuchement contient un crré. De même, un cue (i.e., mot de l forme uuu) est un chevuchement prticulier. Nous vons vu que sur un lphet inire, tout mot de longueur 4 contient un crré. Le fit de contenir un chevuchement est une propriété plus forte. Cette propriété est-elle évitle sur deux lettres? Proposition I Le mot de Thue-Morse, défini comme t = f ω () où f() = et f() =, est un mot infini sns chevuchement. 7 On utilise l lettre R cr l terminologie nglo-sxonne fit souvent référence u mot reversl ou reverse. Dns l littérture, on trouve prfois l nottion ew.

13 I.1. Premières définitions 9 t = L preuve de ce résultt est clquée sur celle présentée dns [21]. Pour des pplictions du mot de Thue-Morse, on lir [4]. Lemme I Soit X = {, }. Si x pprtient à X, lors x et x n pprtiennent ps à X. Démonstrtion. On procède pr récurrence sur x. Si x = ε, il est clir que, X. Supposons le résultt vérifié pour les mots de longueur < n. Soit x X, un mot de longueur n. Procédons pr l surde et supposons que u = x X (on procède de mnière semlle vec x). Dns ce cs, u = y vec y = x 2. Puisque y X, on en conclut, pr hypothèse de récurrence, que y = x n pprtient ps à X. Ceci est une contrdiction. Lemme I Soient w {, } + et f :, le morphisme de Thue-Morse. Si w est sns chevuchement, lors f(w) ussi. Démonstrtion. Montrons que si f(w) possède un chevuchement, lors w ussi. Supposons que f(w) se fctorise en f(w) = x c v c v c y, c {, }, x, v, y {, }. Puisqe f est 2-uniforme (i.e., f() = f() = 2), f(w) est pir. On remrque que cvcvc = v est impir. Pr conséquent, xy est impir. Montrons à présent que v est impir. Si x est pir, lors x, cvcv et cy pprtiennent à {, }. Dès lors, si v étit pir, lors cvc et v pprtiendrient à {, }. Ceci est en contrdiction vec le lemme précédent. Si x est impir, lors xc, vcvc et y pprtiennent à {, }. Si v étit pir, on outirit à l même contrdiction. Nous pouvons à présent conclure, en discutnt une fois encore sur l prité de x. Si x est pir, lors, puisque v est impir, on f(w) = x }{{} pir impir {}}{ v } c {{ } pir cv }{{} pir cy {, } et x, cv, cy pprtiennent à {, }. Il existe r, s, t tels que f(r) = x, f(s) = cv, f(t) = cy et w = rsst. Or f(s) et f(t) déutent pr l même lettre, donc s et t ussi (vu l définition de f). Pr conséquent, sst déute pr un chevuchement.

14 10 Chpitre I. Mots et lngges Si x est impir, lors, puisque v est impir, on f(w) = xc }{{} pir impir {}}{ } v{{ } c pir vc }{{} pir y {, } et il existe r, s, t tels que f(r) = xc, f(s) = vc, f(t) = y. conclusion est identique. L Nous pouvons à présent démontrer l proposition I Démonstrtion. Supposons que t possède un chevuchement. En prticulier, ce chevuchement pprît dns le préfixe f k () pour un certin k. Or étnt sns chevuchement, le lemme précédent stipule que f() est sns chevuchement et donc, en itérnt, f k () ne peut possèder de chevuchement. Nous pouvons à présent reconsidérer l proposition I.1.17 et s preuve. Remrque I Soit r un mot infini sur {, } sns chevuchement et commençnt pr. Alors r se fctorise de mnière unique sous l forme 8 r = y 1 y 2 où pour tout i 1, y i {,, }. En effet, r ne contennt ucun cue, il ne peut contenir le fcteur ou. Soit le morphisme g : {,, c} {, } défini pr g :. c Si r un mot infini sur {, } sns chevuchement et déutnt pr, lors il existe un unique mot infini s sur {,, c} tel que g(s) = r. Proposition I Soit t un mot infini sur {, } sns chevuchement et déutnt pr (comme le mot de Thue-Morse). Soit s l unique mot infini {,, c} tel que g(s) = t. Alors s est un mot infini sur trois lettres sns crré. Démonstrtion. Supposons que s contienne un crré : s = x u u σy vec u non vide, σ une lettre et y un mot infini. Alors g(s) contient le fcteur g(u)g(u)g(σ) qui déute pr un chevuchement cr g(u) et g(σ) déutent pr l même lettre. 2. Lngges Nous en vons terminé vec notre rève introduction à l comintoire des mots. Pssons à l théorie des lngges formels. 8 On remrquer que {,, } est un code.

15 I.2. Lngges 11 Définition I.2.1. Un lngge sur Σ est simplement un ensemle (fini ou infini) de mots sur Σ. En d utres termes, un lngge est une prtie de Σ. On distingue en prticulier le lngge vide 9. Exemple I.2.2. Considérons l lphet Σ = {,, c}. L ensemle {,, c, ccc, } est un lngge fini. L ensemle L 2 des mots sur Σ comprennt un nomre pir de est ussi un lngge (infini), L 2 = {ε,, c,,, c, c, cc,, c,, c,..., c,...}. L ensemle Pl(Σ ) formé des plindromes de Σ est ussi un lngge infini, Pl(Σ ) = {ε,,, c,,, cc,,, c,,, c, cc, cc, ccc,,, cc,,, cc, cc, cc, cccc,...}. Soit l lphet = {0, 1}. L ensemle constitué des écritures inires 10 des entiers positifs pirs est un lngge sur {10, 100, 110, 1000, 1010, 1100, 1110,...} de même que le lngge formé des écritures inires des nomres premiers {10, 11, 101, 111, 1011, 1101, 10001,...}. Pssons à présent en revue quelques opértions sur les lngges. Tout d ord, puisqu un lngge est un ensemle, on dispose des opértions ensemlistes usuelles comme l union, l intersection ou encore l complémenttion. Définition I.2.3. Soient L, M Σ deux lngges. L concténtion des lngges L et M est le lngge LM = {uv u L, v M}. En prticulier, on peut définir l puissnce n-ième d un lngge L, n > 0, pr L n = {w 1 w n i {1,..., n}, w i L} et on pose L 0 = {ε}. Pr exemple, si L = {,,, c}, lors L 2 = {,,, c,,, c,,,, c, c, c, c, cc}. 9 Ne ps confondre le lngge vide ne contennt ucun élément et le lngge {ε} contennt uniquement le mot vide. 10 Un mot w = wl w 0 {0, 1} représente l entier n si n = P l i=0 wi2i. En générl, on ne considère que des mots dont le premier symole w l diffère de 0. Pr convention, l entier zéro est lors représenté pr le mot vide.

16 12 Chpitre I. Mots et lngges Remrque I.2.4. Soit n 0. L ensemle des mots de longueur n sur Σ est Σ n. Notons ussi que si un mot uv pprtient à LM vec u L et v M, cette fctoristion n est ps nécessirement unique. Pr exemple, vec L = {,, }, L 2 contient le mot qui se fctorise en () et (). Demnder l unicité de l fctoristion déouche sur l notion de code. Ainsi, X Σ est un code, si tout mot de X se fctorise de mnière unique comme concténtion de mots de X. Proposition I.2.5. L concténtion de lngges est une opértion ssocitive, elle possède {ε} pour neutre, pour sornt et est distriutive à droite et à guche pour l union, i.e., si L 1, L 2, L 3 sont des lngges Démonstrtion. C est immédit. L 1 (L 2 L 3 ) = (L 1 L 2 )L 3, L 1 {ε} = {ε}l 1 = L 1, L 1 = L 1 =, L 1 (L 2 L 3 ) = (L 1 L 2 ) (L 1 L 3 ), (L 1 L 2 )L 3 = (L 1 L 3 ) (L 2 L 3 ). Définition I.2.6. Soit L Σ. L étoile de Kleene 11 L = i 0 L i. de L est donnée pr Ainsi, les mots de L sont exctement les mots otenus en concténnt un nomre ritrire de mots de L. Remrque I.2.7. On remrque que l nottion Σ introduite précédemment est cohérente puisqu il s git en fit de l étoile de Kleene du lngge fini Σ. On dit prfois que Σ est le monoïde lire engendré pr Σ. On rencontre prfois l opértion L + définie pr L + = i 1 L i. Pr exemple, si Σ est un lphet, lors Σ + = Σ \ {ε}. D une mnière générle, si L est un lngge ne contennt ps le mot vide, lors L + = L \ {ε}. Proposition I.2.8. Soit L Σ un lngge. Le lngge L est le plus petit 12 lngge M tel que ε M, L M et M 2 M. 11 Stephen Cole Kleene ( ), logicien, est, vec K. Gödel, A. Turing, A. Church, E. Post, l un des pères fondteurs de l informtique théorique. On lui doit notmment le concept d expression régulière. S.C. Kleene, Representtion of Events in Nerve Nets nd Finite Automt, Automt Studies, Princeton, Princeton University Press, (1956) Ed. C. Shnnon, J. McCrthy. 12 Le plus petit pour l inclusion.

17 I.2. Lngges 13 Démonstrtion. Il est clir que L vérifie les trois propriétés. Si M stisfit les propriétés indiquées, nous devons montrer que L M. Puisque L M et M 2 M, on en conclut que L 2 M. De proche en proche, on s perçoit que L i M, i > 0. Ceci conclut l preuve. Le résultt suivnt concerne les lngges sur un lphet unire et trduit en fit une propriété rithmétique élémentire. Théorème I.2.9. Soit L un lngge ritrire sur un lphet unire. Il existe un lngge fini F tel que L = F. Démonstrtion. Si L est fini, le résultt est immédit. Il suffit de prendre F = L. Sinon, considérons le mot non vide p le plus court, p 1, pprtennt à L. Il est évident que { p } L. Si cette inclusion est une églité, lors le résultt est démontré (F = { p }). Sinon, soit q 1 le mot le plus court pprtennt à L \ { p }. Dès lors, q 1 = t 1 p + r 1, vec 0 < r 1 < p et t 1 1. En effet, q 1 > p et q 1 ne peut être multiple de p. Nous vons à présent que { p, q 1 } L. On effectue le même risonnement. Si { p, q 1 } L, il existe un mot le plus court q 2 pprtennt à L \ { p, q 1 } tel que q 2 = t 2 p + r 2, vec 0 < r 2 < p, r 2 r 1 et t 2 t 1. En effet, q 2 > q 1 et si r 2 = r 1, lors on urit q 2 = (t 2 t 1 ) p + t 1 p + r } {{ } 1. =q 1 Cel signifierit lors que q 2 pprtient à { p, q 1 }. On peut lors effectuer l même démrche vec { p, q 1, q 2 } et définir q 3 si L { p, q 1, q 2 }. Cependnt, on remrque qu il y u plus p 1 restes non nuls distincts lors d une division euclidienne pr p. Pr conséquent, on ne surit effectuer ce risonnement indéfiniment et finlement L = { p, q 1,..., qs } vec s p 1. Définition I On peut étendre les opértions d otention de préfixes, suffixes et fcteurs ux lngges. Soit L un lngge. On définit Pref(L) = w L Pref(w) comme l ensemle des préfixes des mots du lngge L. De l même mnière, on pose Suff(L) = Suff(w) et Fc(L) = Fc(w). w L w L

18 14 Chpitre I. Mots et lngges Enfin, un lngge L est préfixiel si Pref(L) = L. Il suffit donc de vérifier que tout préfixe d un mot de L est encore un mot de L. De l même mnière, L est suffixiel (resp. fctoriel) si Suff(L) = L (resp. Fc(L) = L). Définition I Soit f un morphisme de monoïdes entre Σ et Γ. On remrque que f est complètement crctérisé pr les imges de f sur les symoles de Σ. Si L est un lngge sur Σ, lors l imge de L pr le morphisme f est f(l) = {f(u) Γ u L}. De l même mnière, si M est un lngge sur Γ, lors l imge inverse de M pr le morphisme f est f 1 (M) = {u Σ f(u) M}. Exemple I Soient Σ = {,, c}, Γ = {µ, ν} et f le morphisme défini pr f() = µ, f() = ν, f(c) = ν. Si L = {, c, c,, c}, lors Si M = {µν, νµ, νµν}, lors f(l) = {µν, νν, µµµν}. f 1 (M) = {, c,, c,, c, c, cc}. Dns notre exemple, pour tout σ Σ, f(σ) = 1. Nénmoins, on peut en toute générlité considérer un morphisme dont les imges des lettres de l lphet d origine serient de longueurs différentes. Remrque I Il rrive, dns de nomreuses situtions, qu on distingue le cs où il existe σ Σ tel que f(σ) = ε (on prle de morphisme effçnt ), du cs où, pour tout σ Σ, f(σ) ε (on utilise dès lors l expression morphisme non effçnt ). Dns l section précédente, on introduit le miroir d un mot. opértion s étend nturellement ux lngges. Cette Définition I Le miroir d un lngge L est L R = {u R u L}. On peut voir L = L R sns pour utnt que les mots de L soient tous des plindromes. Définition I L clôture commuttive d un lngge L Σ est définie pr Com(L) = {w Σ u L : σ Σ, w σ = u σ }. Cel signifie que Com(L) contient les mots otenus en permutnt les lettres des mots de L. Pr exemple, si L = {, c, ccc}, lors Com(L) = {,, c, c, c, c, c, c, ccc}.

19 I.3. Expressions régulières et lngges ssociés 15 En utilisnt l fonction de Prikh introduite à l définition I.1.4, il est clir que Com(L) = ψ 1 ψ(l). Si L est un lngge tel que Com(L) = L, lors L est dit commuttif. Voici une dernière opértion sur les mots et les lngges. Définition I Le shuffle 13 de deux mots u et v est le lngge u v = {u 1 v 1 u n v n u = u 1 u n, v = v 1 v n, u i, v i Σ, n 1}. Pr exemple 14, si u = et v = cde, lors u v = {cde, cde, cde, cde, cde, cde, cde, cde, cde, cde}. Le shuffle de deux lngges se définit comme suit, L M = u v. u L, v M 3. Expressions régulières et lngges ssociés L notion d expression régulière est d usge fréquent en informtique. En effet, on souvent recours ux expressions régulières lorsqu on désire rechercher certins motifs récurrents. Un exemple nl est celui d un répertoire contennt divers fichiers : > ls monrepertoire/ memoire.ux memoire.tex picture001.jpg rpsody.jpg memoire.dvi picture001.jpg presenttion.exe rw.jpg memoire.old picture002.jpg price-list.txt memoire.log picture003.jpg tches.txt Si l utilisteur désire fficher uniquement les imges u formt JPEG et comportnt l extension.jpg, il ur pr exemple recours à une commnde comme ls *.jpg De l même mnière, s il veut effcer tous les fichiers reltifs à memoire, il exécuter rm m* On pourrit imginer, dns un répertoire plus fourni, vouloir sélectionner des fichiers dont les noms stisfont à des critères plus fins. Nous llons voir comment définir ce genre de critères dns le formlisme développé lors des précédentes sections. 13 On pourrit tenter de trduire ce terme pr mélnge. Nous vons choisi de conserver l dénomintion nglo-sxonne. 14 Nous vons pris ici deux mots n ynt ucune lettre en commun pour rendre l exemple plus simple. En toute générlité, on peut ien sûr prendre des mots possédnt les mêmes lettres.

20 16 Chpitre I. Mots et lngges Définition I.3.1. Soit Σ un lphet. Supposons que 0, e, +,., (, ), sont des symoles n pprtennt ps à Σ. L ensemle R Σ des expressions régulières sur Σ est défini récursivement pr 0 et e pprtiennent à R Σ, pour tout σ Σ, σ pprtient à R Σ, si φ et ψ pprtiennent à R Σ, lors (φ + ψ) pprtient à R Σ, (φ.ψ) pprtient à R Σ, φ pprtient à R Σ. Exemple I.3.2. Si Σ = {, }, voici quelques exemples d expressions régulières : α 1 = (e + (.)), pr α 2 = (((.).) + ), α 3 = (( + ).(.)). A une expression régulière, on ssocie un lngge grâce à l ppliction 15 L : R Σ 2 Σ L(0) =, L(e) = {ε}, si σ Σ, lors L(σ) = {σ}, si φ et ψ sont des expressions régulières, L[(φ + ψ)] = L(φ) L(ψ), L[(φ.ψ)] = L(φ)L(ψ), L(φ ) = (L(φ)). Exemple I.3.3. Poursuivons l exemple I.3.2. On L(α 1 ) = {ε, }, L(α 2 ) = ({} {} ), L(α 3 ) = {, } {}. Définition I.3.4. Un lngge L sur Σ est régulier s il existe une expression régulière φ R Σ telle que L = L(φ). Si φ et ψ sont deux expressions régulières telles que L(φ) = L(ψ), lors on dit que φ et ψ sont équivlentes. Remrque I.3.5. Dns l suite, on s utoriser à confondre une expression régulière et le lngge qu elle représente. Si ucune confusion n est possile, on s utoriser églement à enlever les prenthèses ou utres symoles superflus. Pr exemple, (((.).(.)). ) = ( ) 15 L nottion 2 Σ désigne l ensemle des prties de Σ, c est-à-dire l ensemle des lngges sur Σ. On trouve prfois l nottion P(Σ ).

21 I.3. Expressions régulières et lngges ssociés 17 représente le lngge formé des mots sur {, } comprennt un nomre pir de. On se convinc isément que ce lngge est ussi représenté pr l expression ( ). Proposition I.3.6. L ensemle L(R Σ ) des lngges réguliers sur Σ est l plus petite fmille de lngges contennt le lngge vide, les lngges {σ} réduits à une lettre (σ Σ) et qui est stle pour les opértions d union, de concténtion et d étoile de Kleene. Démonstrtion. Pr définition de R Σ et de L, il est clir que l ensemle des lngges réguliers sur Σ vérifie les propriétés énoncées. Soit A un ensemle de lngges stisfisnt les propriétés énoncées. Nous devons vérifier que L(R Σ ) A. Soit L un lngge régulier. Il existe ψ R Σ tel que L(ψ) = L. On procède pr récurrence sur l longueur 16 de l expression régulière ψ : Si ψ vut 0, e ou σ (σ Σ), lors L(ψ) vut, {ε} = ou {σ}. Pr conséquent, L pprtient à A. Si ψ = (φ + µ) vec φ et µ des expressions régulières sur Σ de longueur inférieure à celle de ψ, lors on L(ψ) = L(φ) L(µ). Pr hypothèse de récurrence, L(φ) et L(µ) pprtiennent à A. Puisque A est stle pour l union, on en conclut que L pprtient à A. Si ψ = (φ.µ) ou ψ = φ, on utilise le même risonnement. Remrque I.3.7. Dns l proposition précédente, on urit pu remplcer lngges {σ} réduits à une lettre pr lngges finis. C est équivlent, u vu des propriétés de stilité énoncées. Puisque nous vons décidé de sustituer des lngges ux expressions régulières, les reltions suivntes sont immédites. Proposition I.3.8. Soit ψ une expression régulière. On ψ + ψ = ψ, e ψ = ψ e = ψ, 0 ψ = ψ 0 = 0, (ψ ) = ψ, ψ = ψ 0 + ψ ψ k + ψ k+1 ψ, (ψ + φ) = (ψ φ) ψ. Dns le cs prticulier d un lphet unire (i.e., contennt un seul symole), on dispose d une crctéristion des lngges réguliers. 16 On peut définir l longueur d une expression régulière de l mnière suivnte. Soient ψ, φ deux expressions régulières. Si ψ = 0, e ou σ (σ Σ), lors ψ = 1. De plus, (ψ + φ) = ψ + φ + 1, (ψ.φ) = ψ + φ + 1 et φ = φ + 1.

22 18 Chpitre I. Mots et lngges Proposition I.3.9. Soit Σ = {σ}. exctement les lngges de l forme {σ i i A} Les lngges réguliers sur Σ sont où A N est une union finie de progressions rithmétiques. Rppelons qu une progression rithmétique est un ensemle de l forme p + N.q = {p + n.q n N} vec p, q N. Démonstrtion. Nous vons déjà remrqué (cf. exemple I.1.14) que l ppliction longueur est un morphisme de monoïdes entre (Σ,.) et (N, +). Ici, l ppliction : {σ} N : σ n n est même un isomorphisme 17 de monoïdes. L ensemle P des unions finies de progressions rithmétiques jouit des propriétés suivntes : P (cs de l union vide), {1} P cr {1} = 1 + N.0, l union de deux éléments de P est encore un élément de P (en effet, l union de deux unions finies de progressions rithmétiques est encore une union finie de progressions rithmétiques), l somme de deux éléments de P est encore un élément de P. Pour le vérifier, puisque P est stle pour l union, il suffit de considérer le cs de deux progressions rithmétiques p + N.q et r + N.s. Si q = 0, lors (p + N.q) + (r + N.s) = (r + p) + N.s P. Si q > 0, lors (p + N.q) + (r + N.s) = 0 i<q ((p + r + i s) + N.q) P. Il est clir que le memre de droite est inclus dns le memre de guche. Montrons l utre inclusion. Soit t (p + N.q) + (r + N.s). Il existe m, n N tels que t = p + r + m q + n s. Si on effectue l division euclidienne de n pr q, il existe l et i tels que Pr conséquent, n = l q + i, 0 i < q. t = p + r + m q + (l q + i) s = p + r + i s + (m + l s) q vec 0 i < q. 17 Un isomorphisme est un morphisme ijectif. Il est clir que nous vons une ijection uniquement dns le cs d un lphet unire. En effet, si Σ = {, }, lors = = 2 mis et l ppliction longueur n est donc ps injective.

23 I.3. Expressions régulières et lngges ssociés 19 On peut définir l étoile d une prtie A de N pr A = { n n N et i {1,..., n}, i A}. En prticulier, 0 pprtient toujours à A et ce, quel que soit A N. Ainsi, l ensemle P jouit encore d une cinquième propriété. Si A P, lors A P. Il suffit de le vérifier pour une progression rithmétique cr si A, B N, lors, puisque l ddition dns N est commuttive, (A B) = A + B et on vu que P étit stle pr ddition. Pr définition, il vient (p + N.q) = {p + n 1 q + + p + n j q n 1,..., n j N, j > 0} {0}. Si p = 0, (N.q) = {q} = N.q P. Si p > 0, (p + N.q) = {0} ((p + i q) + N.p). 0 i<p Il est clir que le memre de droite est inclus dns le memre de guche. Vérifions l utre inclusion. Soit j > 0. On p + n 1 q + + p + n j q = p + (j 1) p + (n n j ) q. En effectunt l division euclidienne de n 1 + +n j pr p, on trouve et donc n n j = m p + i, vec 0 i < p p + n 1 q + + p + n j q = p + i q + (j 1 + m q) p vec 0 i < p. Supposons à présent que Q 2 N est une fmille de prties de N qui contient et {1} et qui est stle pour l union, l somme et l étoile. Montrons que P Q. Puisque Q est stle pour l union, il suffit de montrer que les progressions rithmétiques de l forme p + N.q, p, q N, pprtiennent à Q. Puisque Q, on = {0} Q. En outre, {1} Q et en utilisnt le fit que Q est stle pour l ddition, on voit que {r} pprtient à Q pour tout r > 0. On en déduit que, pour tous p, q N, p + N.q = {p} + {q} pprtient à Q. On conclut en utilisnt l proposition I.3.6 et le fit que l ppliction longueur est un isomorphisme entre (N, +) et ({σ},.). L contrposée du corollire suivnt permet prfois de vérifier que certins lngges ne sont ps réguliers.

24 20 Chpitre I. Mots et lngges Corollire I Si L Σ est un lngge régulier sur un lphet fini ritrire, lors l ensemle L = { w : w L} N est une union finie de progressions rithmétiques. Démonstrtion. Soit σ une lettre de Σ. On définit le morphisme ϕ : Σ {σ} pr ϕ(α) = σ pour tout α Σ. Il est évident que ϕ(l) = {ϕ(w) w L} est un lngge régulier sur un lphet unire et L = ϕ(l). On conclut grâce à l proposition précédente. Définition I Une prtie X N est dite ultimement périodique s il existe N 0 et p > 0 tels que n N, n X n + p X. Le plus petit entier p stisfisnt une telle propriété est ppelé l période de X et le plus petit N correspondnt est prfois ppelé l prépériode. Proposition I Une prtie X N est ultimement périodique si et seulement si X est une union finie de progressions rithmétiques. Démonstrtion. Supposons qu il existe N 0 et p > 0 tels que n N, n X n + p X. Dès lors, X s exprime comme une union finie de progressions rithmétiques, ( ) ( ) X = {x} (x + N.p). Réciproquement, si x X x<n X = x X N x<n+p n (q i + N.p i ), i=1 lors en posnt p = ppcm i=1,...,n p i et N = mx i=1,...,n q i, il est clir que n N, n X n + p X N p Figure I.4. Prépériode et période.

25 I.3. Expressions régulières et lngges ssociés 21 Exemple I Utilisons l proposition I.3.9 pour montrer que le lngge L = { n2 n N} n est ps régulier. En effet, si ce lngge étit régulier, lors L = {n 2 n N} serit une union finie de progressions rithmétiques de l forme I A = r i + N.s i i=1 vec u moins un des s i non nul. Il est clir que l différence entre deux éléments consécutifs de A est mjorée pr une constnte C sup{r 1,..., r I, s 1,..., s I } lors que l différence entre deux éléments consécutifs (n + 1) 2 et n 2 de A est 2n + 1, si n. On peut fcilement étendre ce risonnement à un lngge de l forme { P (n) n N} où P est un polynôme à coefficients nturels de degré u moins deux. Exemple I Le lngge L = { n n premier} n est ps régulier. En effet, s il l étit, l ensemle des nomres premiers devrit être ultimement périodique 18, disons de période p et de prépériode N. Donc pour tout n p + 1 suffismment grnd (i.e., n N), l intervlle [n! + 2, n! + p + 1] devrit contenir un nomre premier. Or sont tous des nomres composés. n! + 2, n! + 3,..., n! + p + 1 Remrque I En fit, plutôt que de prler de lngges réguliers (ssociés à l notion d expression régulière), on emploie souvent le vocle de lngges rtionnels sur Σ. L ensemle de ces derniers, noté Rt(Σ ) est défini comme étnt le plus petit ensemle de lngges contennt, les lngges finis et qui est stle pour les opértions rtionnelles d union, de concténtion (produit considéré sur le monoïde Σ ) et d étoile de Kleene. Autrement dit, un lngge rtionnel s otient à prtir de lngges finis en ppliqunt un nomre fini de fois des opértions rtionnelles. Cette notion de rtionnlité s étend ux prties d un monoïde (M,, 1 M ) ritrire (comme dns l preuve de l proposition I.3.9 où l on effectivement considéré le monoïde (N, +, 0)). Ainsi, l ensemle Rt(M) des prties rtionnelles d un monoïde (M,, 1 M ) est le plus petit ensemle de 2 M 18 Ben Green et Terence To ont récemment (2004) démontré que l ensemle des nomres premiers contient des progressions rithmétiques ritrirement longues, i.e., pour tout k, il existe d tels que p, p + d,..., p + k d soient premiers.

26 22 Chpitre I. Mots et lngges contennt, les prties finies de M et qui est stle pour les opértions rtionnelles d union, de produit (du monoïde) et d étoile de Kleene où pour tout A M, A = { 1 p p 1, 1 i p, i A} {1 M }, i.e., A est le sous-monoïde de M engendré pr A. On prle ussi de l clôture rtionnelle des prties finies de M. Autrement dit, une prtie rtionnelle de M s otient à prtir de sous-ensemles finis de M en ppliqunt un nomre fini de fois des opértions rtionnelles. L proposition I.3.9 montre que Rt(N) est exctement l ensemle des prties ultimement périodiques de N Mots et lngges. 4. Exercices Exercice I.4.1. On définit le miroir d un mot w Σ, pr récurrence sur l longueur de w, de l mnière suivnte : si w = ε, lors w R = ε; sinon, il existe σ Σ et v Σ tels que w = σv et w R = v R σ. Montrer que cette définition est équivlente à celle qui suit : si w = ε, lors w R = ε; sinon, il existe σ Σ et v Σ tels que w = vσ et w R = σv R. Démontrer que pour tous u, v, w Σ, (w R ) R = w et (uv) R = v R u R. Exercice I.4.2. Démontrer que pour tous u, v, w Σ, on uw = vw u = v et wu = wv u = v. Exercice I.4.3. Soient x, y, u, v des mots sur un lphet Σ tels que xy = uv. Démontrer que si x > u, lors il existe w ε tel que x = uw et v = wy, si x = u, lors x = u et y = v, si x < u, lors il existe w ε tel que u = xw et y = wv. Exercice I.4.4. Il est clir que pour tout mot w, #(Pref(w)) = w + 1. Quelles sont les ornes (inférieures et supérieures) exctes pour #(Fc(w)). Exercice I.4.5. Soit Σ = {, } un lphet. Quels sont les mots w Σ pour lesquels w 2 = w 3? Exercice I.4.6. Soit Σ = {, } un lphet. Quels sont les mots w Σ pour lesquels il existe v Σ tel que w 3 = v 2? Exercice I.4.7. Crctériser les mots w tels que w = w R (i.e., les plindromes). Exercice I.4.8. Soit L Σ un lngge. Si L = L R, cel implique-t-il que tous les mots du lngge sont des plindromes? Justifier votre réponse et envisger églement le cs prticulier d un lphet Σ unire.

27 I.4. Exercices 23 Exercice I.4.9. Soit le lngge L {, } défini récursivement pr les trois conditions : ε L, si u pprtient à L, lors u pprtient à L, un mot pprtient à L seulement s il peut être otenu à prtir de l première règle et d un nomre fini d pplictions de l deuxième règle. Donner une définition implicite du lngge L. Exercice I Soient Σ un lphet et L Σ le lngge défini récursivement pr les trois conditions : ε L et pour tout σ Σ, σ L, si w pprtient à L, lors pour tout σ Σ, σwσ pprtient à L, un mot pprtient à L seulement s il peut être otenu à prtir de l première règle et d un nomre fini d pplictions de l deuxième règle. Quel est ce lngge L? Exercice I Soit L Σ un lngge. Démontrer que (L ) = L, L L = L, L L {ε} = L = LL {ε}. A-t-on toujours LL = L? Exercice I Soient L, M, N des lngges sur un lphet Σ. Montrer que L(M N) LM LN. Montrer qu en générl, l utre inclusion est fusse. Exercice I Soient L = {, } et M = {ε,, }. Enumérer les mots de LM et L M. Enumérer les mots de M de longueur u plus trois. Comien de mots de longueur 6 possède le lngge L? Comien de mots de longueur n N possède le lngge L? Exercice I Soient L et M deux lngges finis. A-t-on toujours Justifier votre réponse. #L.#M = #(LM)? Exercice I Soient des lphets disjoints Σ et Γ. Pour m, n N, on note t(m, n) := #(u v), u Σ m, v Γ n. Montrer que t(m, n) = t(m, n 1) + t(m 1, n), m, n > 0 et que t(m, 0) = t(0, m) = 1. Utiliser cette formule pour en déduire l vleur de #( cd).

28 24 Chpitre I. Mots et lngges Pour clculer t(m, n) u moyen de l formule donnée ci-dessus, comien d étpes sont nécessires? Exercice I Soit Σ = {, } un lphet inire. Un mot w Σ est sns crré s il ne contient ucun fcteur de l forme xx vec x un mot non vide. Enumérer tous les mots sns crré de Σ. (Que se psse-t-il dns le cs d un lphet contennt plus de deux lettres?) Exercice I Soit Σ un lphet. Un mot w Σ est primitif si l éqution w = u i, u Σ n est stisfite pour ucun exposnt i 2. On ppelle rcine primitive de w, le plus petit mot u Σ tel que w = u i, pour un i 1. Démontrer qu un mot est primitif si et seulement si il est égl à s propre rcine primitive. Exercice I Deux mots u et v sur Σ sont conjugués s il existe x, y Σ tels que u = xy et v = yx. Enumérer tous les conjugués du mot. Montrer que l reltion être conjugué est une reltion d équivlence sur Σ. Démontrer que si w est primitif, lors ses conjugués le sont ussi. Exercice I Soit l lphet {,,, } où chque flèche représente un déplcement d une unité dns le pln muni d un repère orthonormé. Crctériser l ensemle des mots correspondnt à un déplcement du point de coordonnées (0, 0) u point de coordonnées (1, 1). Même question, mis cette fois, on se restreint u déplcements dns le premier qudrnt (on ne peut se trouver en un point dont une des coordonnées serit strictement négtive) Expressions régulières. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots de longueur u moins 2 sur {, } pour lesquels tous les éventuellement présents précèdent les (éventuellement présents). Exercice I Même question que l précédente, mis cette fois, le mot vide pprtient u lngge. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } qui ne contiennent ps le fcteur. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } qui contiennent simultnément le fcteur et le fcteur. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } qui contiennent le fcteur ou le fcteur, mis ps ces deux fcteurs simultnément. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } qui contiennent exctement deux fois le fcteur. (Suggestion : ttention u fcteur ).

29 I.4. Exercices 25 Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {,, c} qui ne contiennent ps deux consécutifs. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } qui contiennent le fcteur exctement une fois. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {,, c} qui déutent pr, contiennent exctement deux et se terminent pr cc. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {,, c} qui contiennent un nomre de divisile pr 3. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } de longueur impire et qui contiennent le fcteur. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } ynt u plus trois. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {,, c} qui contiennent un nomre impir d occurences du fcteur. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des représenttions en se 3 des nomres pirs. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des représenttions en se 10 des nomres multiples de 5. Exercice I Soit Σ un lphet. Dns les expressions régulières données ci-dessous, on s utorise à utiliser l expression ϕ + (vec ϕ R Σ ) qui est telle que L(ϕ + ) = (L(ϕ)) + = i>0 (L(ϕ)) i. Démontrer que () + ( + ) = () + ( + e), + ( + e) = ( + e) +, ( + ) = ( + ), ( + ) = ( + ), ( + ) = ( ( + e) ). Exercice I Soit Σ = {, }. Vérifier que () + = (Σ Σ ) \ (Σ Σ + Σ Σ ) Lngges réguliers sur un lphet unire. Exercice I Exprimer L(ϕ) comme une union finie de progressions rithmétiques lorsque ϕ = () +, ϕ = (( ) + ), ϕ = ()(c( + )), ϕ = (c).

30 26 Chpitre I. Mots et lngges Exercice I Construire une expression régulière ϕ telle que L(ϕ) = 5 + N.3, L(ϕ) = N.7 (4 + N.5). Exercice I Le lngge { n3 +2n+1 n N} est-il régulier? Justifier. Exercice I Le lngge { 2n+1 n N} est-il régulier? Justifier. Exercice I Le lngge { n n P} où P désigne l ensemle des nomres premiers est-il régulier? Justifier. Remrque I Le résultt otenu à l exercice précédent n est en rien incomptile vec le célère théorème de Dirichlet qui stipule que si et sont premiers entre eux (i.e., pgcd(, ) = 1), lors l progression rithmétique + N. contient une infinité de nomres premiers.

31 CHAPITRE II Automtes Nous vons vu u premier chpitre que les expressions régulières permettent de générer ce que l on décidé d ppeler les lngges réguliers. Les utomtes que nous llons introduire ici sont des mchines permettnt de reconnître exctement ces lngges. En d utres termes, l ensemle des lngges cceptés pr utomte fini coïncide vec l ensemle des lngges réguliers. 1. Automtes finis déterministes Définition II.1.1. Un utomte fini déterministe (ou AFD) est l donnée d un quintuple A = (Q, q 0, F, Σ, δ) où Q est un ensemle fini dont les éléments sont les étts de A, q 0 Q est un étt privilégié ppelé étt initil, F Q désigne l ensemle des étts finls, Σ est l lphet de l utomte, δ : Q Σ Q est l fonction de trnsition de A. Nous supposerons que δ est une fonction totle, i.e., que δ est défini pour tout couple (q, σ) Q Σ (on prle lors d AFD complet). Nous représentons un AFD A de l mnière suivnte. Les étts de A sont les sommets d un grphe orienté et sont représentés pr des cercles. Si δ(q, σ) = q, q, q Q, σ Σ, lors on trce un rc orienté de q vers q et de lel σ q σ q. Les étts finls sont repérés grâce à un doule cercle et l étt initil est désigné pr une flèche entrnte sns lel. Enfin, si deux lettres σ et σ sont telles que δ(q, σ) = q et δ(q, σ ) = q, on s utorise à dessiner un unique rc portnt deux lels séprés pr une virgule, q σ,σ q. Cette convention s dpte isément à plus de deux lettres. 27

32 28 Chpitre II. Automtes Exemple II.1.2. L utomte A = (Q, q 0, F, Σ, δ) où Q = {1, 2, 3}, q 0 = 1, F = {1, 2}, Σ = {, } et où l fonction de trnsition est donnée pr est représenté à l figure II.1. δ Figure II.1. Un AFD. Définition II.1.3. Soit A = (Q, q 0, F, Σ, δ) un AFD. On étend nturellement l fonction de trnsition δ à Q Σ de l mnière suivnte : et Le lngge ccepté pr A est lors δ(q, ε) = q δ(q, σw) = δ(δ(q, σ), w), σ Σ, w Σ. L(A) = {w Σ δ(q 0, w) F }. Si w L(A), on dit encore que A ccepte le mot w (ou que w est ccepté pr A). Ainsi, le rôle fondmentl d un utomte est d ccepter ou de rejeter des mots. Un utomte prtitionne l ensemle des mots sur Σ en deux sous-ensemles L(A) et Σ \ L(A). Exemple II.1.4. Si on poursuit l exemple précédent, l utomte A de l figure II.1 ccepte le mot cr on, prtnt de l étt initil, le prcours suivnt u sein de A : Pr contre, n est ps ccepté pr A cr F. 2 F. Exemple II.1.5. L utomte A représenté à l figure II.2 ccepte exctement le lngge formé des mots sur l lphet {, } et contennt un nomre impir de. L(A) = {w {, } : w 1 (mod 2)}.

33 II.2. Automtes non déterministes Figure II.2. Un utomte fini déterministe. Remrque II.1.6. Pour simplifier les nottions, on s utorise à écrire q.w u lieu de δ(q, w) si ucune confusion n est possile. Définition II.1.7. A tout mot w de Σ correspond une unique suite d étts de A correspondnt u chemin prcouru lors de l lecture de w dns A. Cette suite s ppelle l exécution 1 de w sur A. Ainsi, si w = w 0 w k, vec w i Σ, lors l exécution de w sur A est (q 0, q 0.w 0, q 0.w 0 w 1,..., q 0.w 0 w k 1, q 0.w 0 w k ). Remrque II.1.8. On urit pu ussi introduire des utomtes infinis en n imposnt ps l restriction à l ensemle d étts Q d être fini (mis nous supposerons qund même que l lphet reste fini). Les notions d exécution ou de lngge ccepté se trnsposent sns peine à ce cdre plus générl. (Nous verrons un peu plus loin que l notion d utomte miniml ne spécifie priori rien sur le crctère fini de l ensemle d étts.) 2. Automtes non déterministes Le modèle d utomte fini non déterministe générlise le cs des AFD. Comme nous le verrons ientôt, le non-déterminisme permet une plus grnde souplesse ien utile dns certines situtions. Définition II.2.1. Un utomte fini non déterministe (AFND) est l donnée d un quintuple A = (Q, I, F, Σ, ) où Q est un ensemle fini dont les éléments sont les étts de A, I Q est l ensemle des étts initiux, F Q désigne l ensemle des étts finls, Σ est l lphet de l utomte, Q Σ Q est une reltion de trnsition (qu on supposer finie). On peut dès à présent noter plusieurs différences entre les AFD et AFND. Dns le cs non déterministe, il est possile d voir plus d un étt intil; les lels des rcs ne sont plus nécessirement des lettres mis ien des mots 1 L terminologie nglo-sxonne conscre le mot run.

34 30 Chpitre II. Automtes de Σ et enfin, on n plus une fonction de trnsition mis une reltion de trnsition. Pour représenter les AFND, nous utilisons les mêmes conventions que pour les AFD. Exemple II.2.2. L utomte de l figure II.3 est un AFND ynt 1 et Figure II.3. Un AFND. comme étts initiux, 2 comme étt finl et l reltion de trnsition est = {(1,, 1), (1,, 3), (1,, 2), (2,, 1), (2,, 3), (3,, 2)} Définition II.2.3. Un mot w = w 1 w k est ccepté pr un AFND A = (Q, I, F, Σ, ) s il existe q 0 I, l N \ {0}, v 1,..., v l Σ, q 1,..., q l Q tels que (q 0, v 1, q 1 ), (q 1, v 2, q 2 ),..., (q l 1, v l, q l ), w = v 1 v l et q l F. En d utres termes, cette condition signifie qu il existe un chemin dns le grphe ssocié à A déutnt dns un étt initil, de lel w et se terminnt dns un étt finl. Nturellement, le lngge ccepté pr un AFND A est l ensemle des mots cceptés pr A et se note encore L(A). Enfin, deux AFND A et B sont dits équivlents si L(A) = L(B). Exemple II.2.4. Si nous poursuivons l exemple II.2.2, le mot est ccepté cr 1 I, (1,, 3), (3,, 2) et 2 F. Ceci se note schémtiquement, A un mot, il peut correspondre plus d un chemin. Pr exemple, u mot, il correspond les chemins et , Ce sont les trois seules possiilités prtnt d un étt initil. n est donc ps ccepté pr l utomte. Le mot

35 II.2. Automtes non déterministes 31 Remrque II.2.5. Dns l définition d un AFND, rien n empêche d voir des trnsitions vides du type (q, ε, q ). On prle prfois de ε-trnsitions. En prticulier, on suppose implicitement que pour tout étt q d un AFND, on (q, ε, q). Exemple II.2.6. Considérons l AFND suivnt. Cet utomte ccepte le 1 ε 2 3 mot cr on le chemin Figure II.4. Un AFND vec ε-trnsitions. 1 2 ε 1 F. Oservons encore qu il n est ps possile depuis l étt initil de lire des mots déutnt pr. Donc, contrirement à l sitution déterministe où, à chque mot correspondit exctement une exécution, ici, on peut voir pour un mot donné plus d un chemin dns le grphe, voire même ucun. Définition II.2.7. Un AFND A = (Q, I, F, Σ, ) est qulifié d élémentire si pour tout (q, w, q ), w 1. Comme le montre le lemme suivnt, on peut dns le cdre des AFND se restreindre u cs d utomtes élémentires. En effet, tout AFND est équivlent à un AFND élémentire. Lemme II.2.8. Tout lngge ccepté pr un AFND est ccepté pr un AFND élémentire. Démonstrtion. Soit A = (Q, I, F, Σ, ) un AFND. S il n est ps élémentire, il existe u moins un mot w = w 1 w k (k 2, w i Σ) et des étts q, q tels que (q, w, q ). Considérons de nouveux étts q 1,..., q k 1 n pprtennt ps Q. Il est clir que l utomte B = (Q, I, F, Σ, ) où et Q = Q {q 1,..., q k 1 } = ( \ {(q, w, q )} ) { (q, w1, q 1 ), (q 1, w 2, q 2 ),..., (q k 2, w k 1, q k 1 ), (q k 1, w k, q ) }

36 32 Chpitre II. Automtes est tel que L(A) = L(B). En répétnt cette procédure pour chque trnsition (q, w, q ) telle que w > 1, on otient (en un nomre fini d étpes) un utomte élémentire cceptnt le même lngge. Exemple II.2.9. Appliquons l méthode de construction donnée dns l preuve du lemme précédent à un exemple. Soit l AFND non élémentire A représenté à l figure II Figure II.5. Un AFND non élémentire A. On otient lors un utomte élémentire équivlent à A représenté à l figure II.6, les étts supplémentires ne portnt ps de numéro Figure II.6. Un AFND élémentire équivlent à A. Il s git d une extension de l nottion q.w introduite à l remrque II.1.6 Remrque II Soit A = (Q, I, F, Σ, ) un AFND. Si R Q et w Σ, on note R.w l ensemle des étts tteints à prtir des étts de R en lisnt w. Pr exemple, vec l utomte de l figure II.4, {1}. = {1, 2} cr 1 2 et 1 2 ε 1. On ussi pour cet utomte, {1}. =. Dns le cs prticulier de w = ε, on toujours R.ε R.

37 II.2. Automtes non déterministes 33 En effet, on suppose implicitement que pour tout étt q, (q, ε, q) (cf. remrque II.2.5). Autrement dit, R.ε est l ensemle des étts tteints depuis les étts de R sns lire de lettres. Si L est un lngge sur Σ, on pose R.L = w L R.w. Le résultt suivnt stipule que tout AFND est équivlent à un AFD. En d utres termes, lorsqu on s intéresse à l ccepttion des mots d un lngge, un AFND n est ps plus puissnt qu un AFD. Proposition II.2.11 (Rin et Scott 2 ). Tout lngge ccepté pr un AFND est ccepté pr un AFD. Démonstrtion. Vu le lemme II.2.8, on peut supposer disposer d un AFND élémentire A = (Q, I, F, Σ, ). Considérons l utomte fini déterministe B = (2 Q, Q 0, F, Σ, β) ynt comme ensemle d étts, l ensemle des prties 3 de Q et tel que l étt initil Q 0 est égl à I.ε, i.e., à l ensemle des étts de A tteints à prtir des étts initiux sns consommer de lettres; l ensemle des étts finls est F = {G Q G F }, i.e., les étts finls de B sont les prties de Q contennt u moins un étt finl; si G Q est un étt de B et w un mot non vide sur Σ, lors on définit l fonction de trnsition de B pr β(g, w) = G.w. De plus, on pose β(g, ε) = G. Tout d ord, pour vérifier qu il s git ien d un AFD, il suffit de montrer que β est ien une fonction de trnsition, i.e., que pour tous u, v Σ, β(g, uv) = β(β(g, u), v). Si u moins un des deux mots u ou v est nul, l conclusion est immédite. Sinon, nous devons montrer que G.uv = (G.u).v. Il est clir que le memre de droite est inclus dns le memre de guche. L utre inclusion résulte du fit que l utomte est élémentire. En effet, cette propriété est indispensle. En guise d illustrtion, l utomte représenté à l figure II.7 n est ps élémentire et {1}. = {3, 4}, {1}. = G.w désigne l ensemle des étts tteints à prtir des étts de G en lisnt w. 2 M. O. Rin, D. Scott, Finite utomt nd their decision prolems, IBM J. of Reserch nd Development 3 (1959), B est fini cr #2 Q = 2 #Q et A est fini.

38 34 Chpitre II. Automtes Figure II.7. Un utomte non élémentire. {2} et ({1}.). = {2}. = 3 donc {1}. ({1}.).. Pour un AFND élémentire, les rcs ynt des lels de longueur u plus un, une telle sitution ne peut se produire. Il nous reste à montrer que L(A) = L(B). On procède pr doule inclusion. Soit w pprtennt à L(A). Cel signifie qu il existe dns A un chemin de lel w déutnt dns un étt initil de I (et même dns un étt de I.ε) et outissnt dns un étt finl de F. En d utres termes, pr définition de Q 0, Q 0.w F et β(q 0, w) pprtient donc à F. Soit w pprtennt à L(B). Dns B, le chemin de lel w déutnt dns Q 0 outit dns un étt finl de F, i.e., Donc β(q 0, w) F. (I.ε).w F ce qui signifie que w est ccepté pr A. Remrque II L démonstrtion précédente nous fournit une méthode (un lgorithme) permettnt de rechercher un utomte déterministe cceptnt exctement le même lngge qu un AFND donné. On prle souvent de l construction pr sous-ensemles (en nglis, suset construction ). Comme nous llons le montrer sur des exemples, il est inutile de considérer toutes les prties de Q. Seuls les étts qui peuvent être tteints depuis Q 0 méritent d être considérés. Exemple II Soit l AFND représenté à l figure II.8. On remrque qu il est élémentire. S il ne l étit ps, il fudrit tout d ord le rendre élémentire. On construit le tleu suivnt de proche en proche, en l initilisnt vec I.ε qui est ici {1}.ε = {1}. A chque étpe, pour un sous-ensemle X d étts non encore trité, on détermine les vleurs de X.σ pour tout σ Σ. L construction se termine

39 II.2. Automtes non déterministes ε c Figure II.8. Un utomte fini non déterministe. une fois que tous les sous-ensemles d étts pprissnt ont été pris en compte. X X. X. X.c {1} {1, 2, 3} {1, 2, 3} {1, 2, 3} {2} {2, 3} {2} {2} {2, 3} {2} {2, 3} L construction d un tel tleu peut être fcilitée en étlissnt u prélle l tle de trnsition de l utomte. Ici, pour A, cette tle est q q. q. q.c 1 {1, 2, 3} {2, 3} Si on pose A = {1}, B = {1, 2, 3}, C =, D = {2} et E = {2, 3}, lors on l utomte représenté à l figure II.9. Bien évidemment, les étts finls de A B,c c E c,,c C,c D Figure II.9. AFD équivlent à l AFND de l figure II.8.

40 36 Chpitre II. Automtes cet utomte sont les sous-ensemles d étts de A qui contiennent 2 (le seul étt finl de A). Exemple II Considérons un AFND (élémentire) cceptnt, comme il est fcile de le vérifier, le lngge (). Cet utomte est représenté à l figure II.10. Ici, {1}.ε = {1, 2, 4}. Ainsi, l construction du tleu ε ε 4 Figure II.10. un ANFD cceptnt (). donne X X. X. A = {1, 2, 4} {3, 4} B = {3, 4} {4} {2} C = D = {4} {4} E = {2} {3} F = {3} {2} et on trouve l utomte de l figure II.11. Remrque II Il est clir que tout AFD est un cs prticulier d AFND. Pr conséquent, tout lngge ccepté pr un AFD A est trivilement ccepté pr un AFND (à svoir A lui-même). De l proposition II.2.11, nous concluons donc que les lngges cceptés pr les AFD et les AFND coïncident. Nous pourrons dès lors, pr l suite, prler d un lngge ccepté pr un utomte fini (sns utre précision) A propos de l explosion exponentielle. Le nomre d étts peut croître de mnière exponentielle lorsqu on rend déterministe un AFND. Dns certines situtions, cette explosion du nomre d étts est inévitle et ce, même dns le cs d un lphet unire. Définition II On définit un AFND A k sur un lphet unire {} comme suit. Cet utomte possède un unique étt initil à prtir duquel on peut se déplcer dns k oucles disjointes. Pour i = 1,..., k, l i-ième

41 II.2. Automtes non déterministes 37 A B D, C E F Figure II.11. un AFD cceptnt (). oucle est un cycle de longueur p i où p i représente le i-ème nomre premier. Les étts finls sont l étt initil et un étt pr cycle, de mnière telle que le lngge ccepté pr A k soit L(A k ) = { n n N.p 1 N.p 2... N.p k } =: L k. Un exemple, dns le cs k = 3, est représenté à l figure II.12. Figure II.12. L utomte A 3. Proposition II Le lngge L k ccepté pr l AFND A k possédnt 1 + p 1 + p p k étts est ccepté pr un AFD ynt N = p 1 p 2 p k étts et ucun AFD ynt moins de N étts n ccepte ce lngge. Démonstrtion. Tout d ord, un AFD composé d un unique cycle de longueur N convient. En effet, si on numérote les étts de cet utomte 0,..., N 1, lors l étt initil est 0 et les étts finls correspondent ux indices i pour lesquels il existe j {1,..., k} tel que i 0 (mod p j ).

42 38 Chpitre II. Automtes Il est clir qu un tel AFD ccepte exctement L k. Pr exemple, dns le cs où k = 3, on l AFD représenté à l figure II.13. Dns cet utomte, est finl tout étt dont l indice est multiple de 2, 3 ou Figure II.13. Un AFD cceptnt L 3. A présent, supposons que B est un AFD cceptnt L k et possèdnt moins de N étts. Puisque l lphet est unire, cet utomte est de l forme suivnte : Figure II.14. Un AFD sur un lphet unire. On prle prfois de mnière imgée, d utomte poële à frire (frying pn utomton). Le cycle est de longueur l 1 et le chemin mennt u cycle est de longueur c 0. Pr hypothèse, on l < N. Pr conséquent, il existe j {1,..., k} tel que p j soit premier vec l (en effet, sinon, p 1,..., p k pprîtrient tous dns l décomposition en fcteurs premiers de l et dès lors, on urit l N). Pr le théorème de Bezout, il existe f, g Z tels que En d utres termes, et donc f p j + g l = 1. f p j 1 (mod l) {m p j (mod l) m N} = {0,..., l 1}. On ien sûr ussi, quel que soit c, (3) {m p j c (mod l) m N} = {0,..., l 1}.

43 II.3. Stilité des lngges cceptés pr utomte 39 Cel signifie que pour ccepter les mots de l forme n vec n = c + c multiple de p j, le cycle de l utomte B doit voir tous ses étts finls. En effet, c est de l forme m p j c, m N, et donc, vu (3), l lecture d un tel mot n peut outir dns un étt quelconque du cycle. Dès lors, cet utomte B ccepte tout mot t pour t c et en prticulier, il ccepte les mots de longueur p n k+1 pour n suffismment grnd. Or il est fcile de voir que ces derniers mots n pprtiennent ps à L k. En effet, les puissnces de p k+1 ne peuvent être multiples de p 1,..., p k. Ainsi, l utomte B ne peut ccepter L k. Remrque II E. Bch et J. Shllit montrent 4 que k p i 1 2 k2 log k i=1 lors qu une minortion grossière donne p 1 p k 2 k. 3. Stilité des lngges cceptés pr utomte Nous montrons tout d ord que l ensemle des lngges cceptés pr un utomte fini est stle pour les opértions rtionnelles (i.e., l union, l concténtion et l étoile de Kleene). Proposition II.3.1. Si L et M sont les lngges cceptés pr deux utomtes finis, lors L M est ussi ccepté pr un utomte fini. Démonstrtion. Représentons symoliquement un utomte fini A pr le schém donné à l figure II.15. On représente uniquement les étts finls q 0 A F Figure II.15. Représenttion symolique d un utomte. et l étt initil. Pour ne ps lourdir le dessin, on ne représente ucune des trnsitions. De plus, rien n empêche l étt initil d être finl. Considérer un seul étt initil n est ps en soi une restriction. En effet, on peut jouter un nouvel étt q 0 à un utomte. Cet étt est considéré comme le seul étt initil et on plce une ε-trnsition depuis q 0 vers chcun des nciens étts 4 cf. E. Bch et J. Shllit, lgorithmic numer theory, Vol.1, Efficient lgorithms, Foundtions of Computing Series, MIT Press, 1996.

44 40 Chpitre II. Automtes initiux (qui perdent lors ce sttut prticulier). De l sorte, on otient un utomte équivlent vec un seul étt initil. ε ε q 0 ε A F Figure II.16. Considérer un unique étt initil n est ps une restriction. Soient A et B deux utomtes finis 5. L utomte fini non déterministe représenté à l figure II.17 ccepte L(A) L(B). L étt initil de cet utomte est un nouvel étt et les étts finls sont ceux de A et de B. ε A F ε B F Figure II.17. Automte cceptnt L(A) L(B). Proposition II.3.2. Si L et M sont les lngges cceptés pr deux utomtes finis, lors LM est ussi ccepté pr un utomte fini. Démonstrtion. On utilise les mêmes conventions que dns l preuve de l proposition précédente. Soient A et B deux utomtes finis. L utomte non déterministe représenté à l figure II.18 ccepte L(A)L(B). L étt initil de cet utomte est l étt initil de A et les étts finls sont ceux de B. Proposition II.3.3. Si L est ccepté pr un utomte fini, lors L l est ussi. 5 Sns utre précision, on peut considérer des AFD ou des AFND.

45 II.3. Stilité des lngges cceptés pr utomte 41 ε A F ε B F Figure II.18. Automte cceptnt L(A)L(B). Démonstrtion. On emploie les mêmes conventions que dns l preuve de l proposition II.3.1. Soit A un utomte fini. L utomte non déterministe représenté à l figure II.19 ccepte (L(A)). L étt initil de cet utomte est un nouvel étt. Les étts finls sont ceux de A insi que le nouvel étt initil (cel permet l ccepttion du mot vide). ε ε A F ε Figure II.19. Automte cceptnt (L(A)). Les opértions rtionnelles ne sont ps les seules à ssurer l stilité de l ensemle des lngges cceptés pr utomte fini. Proposition II.3.4. Soient L Σ un lngge ccepté pr un utomte fini et f : Σ Γ un morphisme de monoïdes. Le lngge f(l) Γ est ussi ccepté pr un utomte fini. Démonstrtion. Soit A un utomte fini. Sns perte de générlité, on suppose A élémentire 6. Le morphisme f est complètement défini pr les vleurs qu il ttriue ux éléments de Σ. Le lngge f(l) est ccepté pr l utomte A construit à prtir de A où l on remplce chque rc de l forme q σ q pr q f(σ) q. Rien n ssure que l utomte A soit encore déterministe (cel dépend du morphisme). Cependnt, il est clir que f(l(a)) = L(A ). En effet, si 6 Nous lissons u lecteur le soin de vérifier que l construction proposée dns cette preuve peut ussi être utilisée dns le cs d un utomte non élémentire.

46 42 Chpitre II. Automtes w = w 1 w k est ccepté pr A, il existe un chemin déutnt dns l étt initil w q 1 w 0 2 w q1 q2 q k k 1 qk tel que q k soit un étt finl de A. A ce chemin, il correspond dns A le chemin f(w 1 ) f(w 2 ) f(w k ) q 0 q 1 q 2 q k 1 q k et donc, f(w 1 w k ) = f(w 1 ) f(w k ) est ccepté pr A. Réciproquement, à tout mot v ccepté pr A, il correspond u moins un mot w ccepté pr A tel que f(w) = v. Proposition II.3.5. Si L Σ est ccepté pr un utomte fini, lors Σ \ L est ussi ccepté pr un utomte fini. Démonstrtion. Soit A un utomte fini déterministe cceptnt L (vu l proposition II.2.11, il ne s git ps d une véritle restriction). Si on inverse les sttuts finl/non finl de chcun des étts de A, on otient un nouvel utomte cceptnt exctement Σ \ L(A). Remrque II.3.6. Comme le montre l exemple suivnt, l méthode prescrite dns l preuve précédente requiert un utomte déterministe. En effet, l utomte de l figure II.20 est non déterministe et ccepte le lngge (). Pr contre, si on inverse le sttut finl/non finl des étts, on otient un, Figure II.20. Un AFND cceptnt (). utomte cceptnt {ε} {, }. Ce dernier lngge n est évidemment ps le complémentire de (). Proposition II.3.7. Si L est un lngge ccepté pr un utomte fini, lors L R est ussi ccepté pr un utomte fini. Démonstrtion. Soit A = (Q, I, F, Σ, ) un AFND cceptnt L. L utomte A R = (Q, F, I, Σ, R ) où R est défini pr (q, w, q ) (q, w R, q) R,

47 II.4. Produit d utomtes 43 est un utomte cceptnt L R. En effet, si un mot est ccepté pr A, cel signifie qu il existe un chemin de lel w déutnt dns un étt de I et outissnt dns un étt de F. Ainsi, pr définition dns A R, on un chemin de lel w R déutnt dns un étt de F (ensemle des étts initiux de A R ) et outissnt dns un étt de I (ensemle des étts finls de A R ). Ainsi, w R est ccepté pr A R. L réciproque s otient de mnière nlogue. Remrque II.3.8. Grossièrement, on oserve que A R est l utomte construit sur A où on retourné tous les rcs et inversé les sttuts initil/finl des étts. Si A est un AFD, lors en générl, A R est non déterministe. En effet, si dns un AFD, on dispose de trois étts p, q, r tels que δ(p, ) = r et δ(q, ) = r, lors dns l utomte miroir, on (r,, p) et (r,, q). Proposition II.3.9. Si L est ccepté pr un utomte fini, lors Pref(L) est ussi ccepté pr un utomte fini. Démonstrtion. Soit A = (Q, q 0, F, Σ, δ) un AFD cceptnt L. Un étt q Q est dit coccessile s il existe un mot w Σ tel que q.w F. Nous lissons u lecteur le soin de vérifier que l utomte A = (Q, q 0, F, Σ, δ), où F est l ensemle des étts coccessiles de A, ccepte Pref(L). Proposition II Si L est ccepté pr un utomte fini, lors Suff(L) est ussi ccepté pr un utomte fini. Démonstrtion. Soit A = (Q, q 0, F, Σ, δ) un AFD cceptnt L. Un étt q Q est dit ccessile s il existe un mot w Σ tel que q = q 0.w. Nous lissons u lecteur le soin de vérifier que l AFND A = (Q, I, F, Σ, δ), où I est l ensemle des étts simultnément ccessiles et coccessiles de A, ccepte Suff(L). Remrque II Une utre démonstrtion de cette dernière proposition consiste à remrquer que et à utiliser l proposition II.3.7 Suff(L) = (Pref(L R )) R 4. Produit d utomtes Proposition II.4.1. Si L et M sont les lngges cceptés pr deux utomtes finis, lors L M est ussi ccepté pr un utomte fini.

48 44 Chpitre II. Automtes Démonstrtion. Supposons que les utomtes finis déterministes A et B possèdent le même lphet 7 Σ. Ainsi, A = (Q (), q () 0, F (), Σ, δ () ) et B = (Q (), q () 0, F (), Σ, δ () ). Considérons l utomte P ynt Q () Q () comme ensemle fini d étts, (q () 0, q() 0 ) comme étt initil, F () F () comme ensemle d étts finls et dont l fonction de trnsition π est définie pr π : (Q () Q () ) Σ (Q () Q () ) : ((q, q ), σ) (δ () (q, σ), δ () (q, σ)). Les mots cceptés pr P sont exctement les mots w Σ tels que ceci est équivlent à π((q () 0, q() 0 ), w) F () F () ; δ () (q () 0, w) F () et δ () (q () () 0, w) F et signifie que le lngge ccepté pr P est L(A) L(B). Proposition II.4.2. Si L et M sont les lngges cceptés pr deux utomtes finis, lors L M est ussi ccepté pr un utomte fini. Démonstrtion. Soient A = (Q (), q () 0, F (), Σ (), δ () ) et B = (Q (), q () 0, F (), Σ (), δ () ) deux utomtes finis déterministes. Supposons dns un premier temps que Σ () Σ () =. Comme dns l preuve précédente, considérons un utomte P ynt Q () Q () comme ensemle fini d étts, (q () 0, q() 0 ) comme étt initil, F () F () comme ensemle d étts finls, Σ () Σ () comme lphet et dont l fonction de trnsition π : (Q () Q () ) (Σ () Σ () ) (Q () Q () ) est définie pr { (δ π : ((q, q () (q, σ), q ) si σ Σ () ), σ) (q, δ () (q, σ)) si σ Σ (). Pr construction, il est clir que L(P) = L(A) L(B). En effet, en lisnt un mot w, on ne peut tteindre un étt finl de P que si près voir lu toutes les lettres de Σ () (resp. de Σ () ) pprissnt dns w, on se trouve dns un étt de P dont l première (resp. seconde) composnte est dns F () (resp. F () ). 7 Ceci est toujours possile cr s ils vient des lphets différents, il suffirit de considérer comme lphet commun, l union des deux lphets.

49 II.4. Produit d utomtes 45 Il nous reste à envisger le cs où les lphets ne sont ps disjoints. Dns cette sitution, on peut remplcer, pr exemple, Σ () = {σ 1,..., σ n } pr un nouvel lphet Σ () = {σ 1,..., σ n } de telle mnière que Σ () Σ () =. On pplique dès lors l construction présentée ci-dessus. Pour terminer, il suffit d ppliquer le morphisme f : (Σ () Σ () ) (Σ () Σ () ) défini pr f(σ i ) = σ i, σ i Σ () et f(σ) = σ, σ Σ (). On conclut en utilisnt l proposition II.3.4. Exemple II.4.3. Considérons les lngges et (cd) cceptés respectivement pr les deux AFD de l figure II.21. Les tles de trnsition sont, d c 4 5 d c 6 c,d Figure II.21. AFD cceptnt et (cd). q q. q q q.c q.d Recherchons l tle de trnsition de l utomte cceptnt le lngge ( ) (cd), q q. q. q.c q.d (1, 4) (1, 4) (2, 4) (1, 5) (1, 6) (1, 5) (1, 5) (2, 5) (1, 6) (1, 4) (1, 6) (1, 6) (2, 6) (1, 6) (1, 6) (2, 4) (3, 4) (2, 4) (2, 5) (2, 6) (2, 5) (3, 5) (2, 5) (2, 6) (2, 4) (2, 6) (3, 6) (2, 6) (2, 6) (2, 6) (3, 4) (3, 4) (3, 4) (3, 5) (3, 6) (3, 5) (3, 5) (3, 5) (3, 6) (3, 4) (3, 6) (3, 6) (3, 6) (3, 6) (3, 6) Les étts finls sont (1, 4) et (2, 4), l étt initil est (1, 4). Si on renumérote les étts de 1 à 9 dns l ordre du tleu, on l AFD repris à l figure II.22.

50 46 Chpitre II. Automtes 1 4 7, d c d 2 c c d 5 c d c d, 8 c d 3 6 9,c,d,c,d,,c,d Figure II.22. AFD shuffle. 5. Exercices Exercice II.5.1. Modéliser u moyen d un utomte fini déterministe le prolème du chou, de l chèvre et du loup. Un erger doit fire trverser une rivière u moyen d une rque à un chou, une chèvre et un loup. L rque étnt petite pour les trnsporter tous, à chque trjet sur l rivière, il ne peut emporter qu un seul des trois protgonistes. On ne peut lisser l chèvre et le chou (resp. le loup et l chèvre) seuls sur une rive. Comment doit fire le erger pour fire trverser les trois protgonistes sous les contrintes indiquées. Avec l modélistion choisie, quel est le lngge des déplcements cceptles? Exercice II.5.2. Soit l AFD A = (Q, 1, F, Σ, δ) où Q = {1, 2, 3}, Σ = {, }, F = {3} et où l fonction de trnsition est donnée pr δ Trcer le digrmme d étts de A. Donner l exécution de A sur les mots,,,. Quel est le lngge ccepté pr A (en donner une expression régulière)? Exercice II.5.3. Soient les lngges et {c}. Construire un AFD cceptnt {c}. Pour ce fire, on construir u prélle un AFD sur {, } cceptnt le lngge et un AFD sur {c} cceptnt le lngge {c}. Si on note ρ L l fonction qui à n N ssocie le nomre de mots de longueur.

51 II.5. Exercices 47 n dns L, ρ L : N N : n #(L Σ n ). Que vut ρ (n)? Même question pour ρ {c}(n). Exercice II.5.4. Soient les deux AFD représentés à l figure II.23. Construire Figure II.23. Deux utomtes finis déterministes. un AFD cceptnt le shuffle des lngges cceptés pr ces deux utomtes. Exercice II.5.5. Soit l AFND représenté à l figure II Figure II.24. Un AFND. Enumérer les éléments de l reltion de trnsition de l utomte. Quelles sont toutes les exécutions possiles du mot dns cet utomte (en démrrnt de l unique étt initil). Le mot est-il ccepté? Rendre cet utomte déterministe u moyen de l construction pr sous-ensemles d étts. Donner une expression régulière du lngge ccepté pr l utomte. Exercice II.5.6. Rendre déterministe l utomte repris à l figure II.25. (Prendre grde ux ε-trnsitions.) Exercice II.5.7. Remplcer l utomte représenté à l figure II.26 pr un utomte équivlent possédnt un unique étt initil et un unique étt finl. Exercice II.5.8. Construire un AFND cceptnt () +. Si l utomte otenu n est ps déterministe, le rendre déterministe.

52 48 Chpitre II. Automtes 1 ε, 2 4 ε 3 Figure II.25. Un AFND à rendre déterministe. Figure II.26. Un AFND. Exercice II.5.9 (Cet exercice pourr être pssé en première lecture, et repris près voir vu l notion d utomte miniml). Montrer que pour tout n 1, le lngge (+) (+) n 1 peut être reconnu pr un AFND à n+1 étts, mis que tout AFD cceptnt ce lngge possède u moins 2 n étts. Exercice II Construire un AFND cceptnt (c). Si l utomte otenu n est ps déterministe, le rendre déterministe. Exercice II En utilisnt l exercice précédent, construire un AFD cceptnt le lngge ((c) ) R. Exercice II Construire un AFND cceptnt ( + ) + ( + ). Si l utomte otenu n est ps déterministe, le rendre déterministe. Exercice II Construire un AFND cceptnt ( + ) +. Si l utomte otenu n est ps déterministe, le rendre déterministe. Exercice II Construire un AFD cceptnt exctement les mots sur {, } qui contiennent le fcteur.

53 II.5. Exercices 49 Exercice II Construire un AFD cceptnt exctement les mots sur {, } pour lesquels tout fcteur de longueur 4 contient u moins un. Exercice II Soit L {,, c} un lngge dont ucun mot ne commence pr. Montrer que L est un lngge ccepté pr un AFD si et seulement si L est ussi ccepté pr un AFD. Exercice II Soit Σ = {, }. Construire un AFD cceptnt le lngge suivnt {w Σ : w 0 (mod 3)}, {w Σ : w 0 (mod 3)}, {w Σ : w 1 (mod 3)}, {w Σ : w 0 (mod 3)}, {w Σ : w 4}, Exercice II Construire un AFD cceptnt le lngge { i j i j (mod 2)}. Définition II Soit p 2, tout entier n 1 se décompose de mnière unique comme l n = c i p i, vec c i {0,..., p 1} et p l 0. i=0 Le mot c l c 0 {0,..., p 1} est l représenttion en se p de l entier n. Pr convention, zéro est représenté pr le mot vide. Cette mnière de procéder fournit une ijection entre N et le lngge L p = {ε} {1,..., p 1}{0,..., p 1}. Exercice II Soient k, m 2. Démontrer que {k n (mod m) n N} est ultimement périodique. Exercice II Construire un AFD cceptnt exctement les représenttions inires des nomres pirs. (On suppose que 0 est représenté pr le mot vide et pour des risons de simplifiction, on utorise les zéros de tête dns les représenttions, i.e., est pr exemple une représenttion de 5.) Si esoin est, on permet de considérer les représenttions miroir. Exercice II Même question vec les représenttions inires des multiples de 4, 5, 6 ou 7. Exercice II Donner l tle de trnsition d un utomte fini déterministe reconnissnt les écritures décimles des multiples de 6 (ou leur miroir, si vous jugez l construction plus simple). Remrque II Ces trois derniers exercices montrent que tout critère de divisiilité peut toujours être reconnu pr un utomte fini et ce, quelle que soit l se choisie pour les représenttions des entiers.

54 50 Chpitre II. Automtes Exercice II Soit Σ = {0, 1}. Si u Σ, lors on note π 2 (u) l entier représenté pr u en se 2. Pr exemple, π 2 (1101) = 13, π 2 (001010) = 10. On considère l lphet Γ = Σ Σ. Construire un utomte sur Γ qui reconnît le lngge des couples (u, v) de mots de même longueur tels que π 2 (v) = 2π 2 (u). Pour otenir des mots de même longueur, on s utorise toujours à plcer des zéros de tête dns les représenttions. Pr exemple, ( ) pprtient u lngge ccepté. Comme dns les exercices précédents, pr souci de simplifiction, on pourr dns un premier temps considérer les représenttions miroir. Exercice II Dns le même contexte que l exercice précédent, on note Γ = Σ 3. Construire un utomte sur Γ qui reconnît les triplets (u, v, w) de mots de même longueur tels que π 2 (u) + π 2 (v) = π 2 (w). Pr exemple, pprtient u lngge ccepté. Comme dns les exercices précédents, pr souci de simplifiction, on pourr dns un premier temps considérer les représenttions miroir. Exercice II Même question qu à l exercice II.5.25, mis cette fois, on impose π 2 (v) = 3π 2 (u). Exercice II Montrer que le lngge des représenttions inires des nomres entiers divisiles pr 4 est régulier, en donnnt une expression régulière. Montrer que le lngge des représenttions inires des nomres entiers divisiles pr 3 est régulier, en fournissnt un utomte fini déterministe cceptnt ce lngge (ou son miroir, u choix). Déduire des deux premiers points que le lngge des représenttions inires des nomres entiers divisiles pr 12 est régulier? Justifier votre réponse.

55 CHAPITRE III Lngges réguliers et utomtes Le ut premier de ce chpitre est de montrer que l ensemle des lngges réguliers coïncide exctement vec l ensemle des lngges cceptés pr utomte fini. Nous llons donc fire le lien entre les notions introduites ux deux premiers chpitres. 1. Des expressions ux utomtes A toute expression régulière ϕ, on peut ssocier un utomte fini A de telle sorte que L(ϕ) = L(A). On procède pr récurrence sur l longueur de ϕ. Si ϕ = 0, les utomtes suivnts cceptent tous deux le lngge. σ,...,σ 1 n Figure III.1. AFD et AFND cceptnt. Si ϕ = e, les utomtes suivnts cceptent le lngge {ε}. σ,...,σ 1 n σ,...,σ 1 n Figure III.2. AFD et AFND cceptnt {ε}. Si ϕ = σ, σ Σ, les utomtes suivnts cceptent le lngge {σ}. σ =σ σ,...,σ 1 n σ,...,σ 1 n σ Figure III.3. AFD et AFND cceptnt {σ}. Si ϕ = (ψ + µ), vec ψ et µ des expressions régulières de longueur inférieure à celle de ϕ, lors, pr hypothèse de récurrence, on dispose de deux utomtes finis A ψ et A µ cceptnt respectivement L(ψ) et L(µ). On conclut en utilisnt l proposition II

56 52 Chpitre III. Lngges réguliers et utomtes Si ϕ = (ψ.µ), on utilise les mêmes risonnements et l proposition II.3.2. Enfin, si ϕ = ψ, on tire l même conclusion en utilisnt cette fois l proposition II.3.3. Ainsi, de proche en proche, on peut, étnt donné une expression régulière, construire un utomte cceptnt le lngge généré pr l expression. Exemple III.1.1. Soit l expression régulière ϕ = ( ). Des utomtes cceptnt L() = {} et L() = {} sont donnés pr : Figure III.4. AFND cceptnt {} et {}. En utilisnt l proposition II.3.3, on construit un utomte cceptnt : ε ε Figure III.5. AFND cceptnt {}. Pour des risons de simplifictions évidentes, nous llons considérer un utomte équivlent cceptnt ussi : Figure III.6. AFND équivlent cceptnt {}. En utilisnt l proposition II.3.2, on construit un utomte cceptnt : ε Figure III.7. AFND cceptnt {} {}.

57 III.1. Des expressions ux utomtes 53 En utilisnt cette proposition une seconde fois, on otient un utomte cceptnt : ε ε ε Figure III.8. AFND cceptnt {} {}{} {}. Et en simplifint quelque peu, on même Figure III.9. AFND équivlent cceptnt {} {}{} {}. Appliquons à présent l proposition II.3.3 à ce dernier utomte pour otenir ε ε Figure III.10. AFND cceptnt ({} {}{} {}). L dernière étpe consiste à cominer l utomte ci-dessus vec celui cceptnt u moyen de l proposition II.3.2. ε ε ε ε Figure III.11. AFND cceptnt ({} {}{} {}) {}.

58 54 Chpitre III. Lngges réguliers et utomtes 2. Des utomtes ux expressions régulières Nous définissons tout d ord des utomtes générlisés dont les rcs ont comme lel non ps des lettres de l lphet Σ mis des expressions régulières. Pour rppel, on note R Σ, l ensemle des expressions régulières sur Σ. Définition III.2.1. Un utomte fini étendu 1 (AFE) est l donnée d un quintuple A = (Q, q 0, F, Σ, δ) où Q est un ensemle fini d étts, q 0 Q est l étt initil, F Q est l ensemle des étts finls, δ : Q Q R Σ est l fonction d étiquetge des trnsitions. Si ucun trnsition entre q et q n est explicitement définie, on pose δ(q, q ) = 0 si q q et δ(q, q ) = e si q = q. Exemple III.2.2. L utomte représenté à l figure III.12 est un AFE. On δ(1, 2) =, δ(2, 2) = ( + ), δ(2, 3) =, δ(1, 1) = δ(3, 3) = e et + * Figure III.12. Un utomte fini étendu (AFE). δ(i, j) = 0 pour (i, j) {(1, 3), (2, 1), (3, 1), (3, 2)}. Définition III.2.3. Un mot w est ccepté pr un AFE A = (Q, q 0, F, Σ, δ) si il existe des mots w 1,..., w n Σ et des étts q 1,..., q n Q tels que w = w 1 w n, w 1 L(δ(q 0, q 1 )),..., w n L(δ(q n 1, q n )) et q n F. Pr exemple, pour l AFE donné dns l exemple précédent, le mot w = est ccepté cr si on pose w 1 =, w 2 = et w 3 =, on s perçoit que w 1 L( ), w 2 L( + ) et w 3 L(). Définition III.2.4. Le lngge ccepté pr un AFE est l ensemle des mots qu il ccepte. Deux AFE sont dits équivlents s ils cceptent le même lngge. Remrque III.2.5. Un AFD est un cs prticulier d AFE où toutes les trnsitions sont des expressions régulières de l forme σ, σ Σ. Ainsi, les techniques décrites ci-près peuvent s ppliquer u déprt d un AFD. 1 En nglis, on trouve l dénomintion extended finite utomton.

59 III.2. Des utomtes ux expressions régulières 55 Dns les lignes qui suivent, nous llons expliquer comment, u déprt d un AFE ritrire, otenir un AFE équivlent possédnt uniquement deux étts (un initil et un finl). De cette mnière, il ser isé d en déduire une expression régulière du lngge ccepté. Le pivotge (Elimintion d un étt qui n est ni initil, ni finl). Soit A = (Q, q 0, F, Σ, δ) un AFE. Pour tous p, q Q, on note r pq l expression régulière δ(p, q). Soit q un étt de A tel que q q 0 et q F. Définissons l AFE A = (Q, q 0, F, Σ, δ ) où Q = Q \ {q} et pour tous p, s Q, δ (p, s) = r ps + r pq r qq r qs. Pr construction, il est clir que A est équivlent à A. p r pq r q ps r qq r qs s p r + r r * r ps pq qq qs s Figure III.13. Le pivotge. Exemple III.2.6. Considérons l AFE donné à l figure III.14. Avec les Figure III.14. Un AFE vnt élimintion de l étt 2. nottions précédentes, si on désire éliminer l étt 2, on otient δ (1, 1) = r 11 + r 12 r22 r 21 = e + 0 = e δ (1, 3) = r 13 + r 12 r22 r 23 = + δ (1, 4) = r 14 + r 12 r22 r 24 = 0 + = δ (3, 1) = r 31 + r 32 r22 r 21 = = 0 δ (3, 3) = r 33 + r 32 r22 r 23 = e + 0 = e δ (3, 4) = r 34 + r 32 r22 r 24 = + 0 = δ (4, 1) = r 41 + r 42 r22 r 21 = = 0 δ (4, 3) = r 42 + r 42 r22 r 23 = 0 + = δ (4, 4) = r 44 + r 42 r22 r 24 = e + = + e

60 56 Chpitre III. Lngges réguliers et utomtes En ne représentnt que les trnsitions différentes de 0 et différentes de δ(q, q) = e, on otient l AFE équivlent représenté à l figure III * 1 3 * * 4 * Figure III.15. AFE équivlent près élimintion de l étt 2. L lgorithme complet 2 Soit A = (Q, q 0, F, Σ, δ) un AFE. (1.) Otention d un étt initil non finl et u quel on ne peut outir. Si l étt initil q 0 est finl ou si il existe q Q tel que 3 δ(q, q 0 ) 0, lors on joute un nouvel étt q 0 à l ensemle Q d étts et on pose δ(q 0, q 0) = e. On redéfinit q 0 comme le nouvel étt initil. (1.) Otention d un unique étt finl. Si #F > 1, c est-à-dire, s il y plus d un étt finl, on joute un nouvel étt f et on pose δ(q, f ) = e pour tout q F. Ensuite, on redéfinit {f } comme nouvel ensemle d étts finls. Ainsi, à l fin de l étpe 1, on peut supposer disposer d un AFE équivlent A = (Q, q 0, {f }, Σ, δ ) possédnt un unique étt initil q 0 (non finl et uquel n outit ucune trnsition) et un unique étt finl f. (2) Fin? Si Q = {q 0, f }, lors une expression régulière du lngge ccepté pr A est r q 0 f (r f f ) où r q 0 f = δ (q 0, f ) et r f f = δ (f, f ). L lgorithme s chève. Sinon, on psse à l étpe 3. (3) Elimintion d un étt. Il existe q Q \ {q 0, f }. On élimine q de A pr l méthode du pivot présentée ci-dessus. Après pivotge, l ensemle d étts est Q \ {q}. On recommence le point 2. A chque étpe, le nomre d étts décroît strictement. Pr conséquent, l lgorithme s chève toujours. 2 Il s git de l lgorithme de McNughton-Ymd. 3 On ne tient ps compte du cs trivil δ(q0, q 0) = e. Pr contre, si il existe r e tel que δ(q 0, q 0) = r, lors on effectue l modifiction de l utomte.

61 III.3. Stilité de l régulrité 57 Exemple III.2.7. Poursuivons l exemple III.2.6. Si on élimine le sommet 3 de l AFE représenté à l figure III.15, il vient δ (1, 1) = r 11 + r 13 r33 r 31 = e + ( + ) e 0 = e δ (1, 4) = r 14 + r 13 r33 r 34 = + ( + ) e δ (4, 1) = r 41 + r 43 r33 r 31 = 0 + ( ) e 0 = 0 δ (4, 4) = r 44 + r 43 r33 r 34 = + ( ) e On otient l utomte représenté à l figure III.16. Finlement une expres-. 1 * +(+ * )e 4 * +( * )e Figure III.16. AFE équivlent près élimintion de l étt 3. sion régulière du lngge ccepté pr l utomte de déprt est ( + ( + ) e )( + ( ) e ). Puisqu à toute expression régulière ϕ, correspond un utomte cceptnt le lngge L(ϕ) et qu à tout lngge L ccepté pr un utomte correspond une expression régulière ψ telle que L = L(ψ), nous vons le résultt suivnt. Théorème III.2.8 (Kleene). Un lngge est régulier si et seulement si il est ccepté pr un utomte fini. Remrque III.2.9. D une certine mnière, on peut dire que les expressions régulières sont les générteurs des lngges réguliers, lors que les utomtes finis en sont les ccepteurs. 3. Stilité de l régulrité Théorème III.3.1. L ensemle des lngges réguliers est stle pr union, concténtion, étoile de Kleene, imge pr morphisme, miroir, pssge u complémentire, intersection et shuffle. Démonstrtion. Cel résulte imméditement des résultts démontrés u chpitre II concernnt les lngges cceptés pr utomte fini et du théorème de Kleene. Le résultt suivnt est souvent utilisé pour vérifier que certins lngges ne sont ps réguliers. Il s git simplement d une redite du corollire I Corollire III.3.2. Si L est un lngge régulier sur Σ = {σ 1,..., σ n }, lors L = { w : w L} N est une union finie de progressions rithmétiques.

62 58 Chpitre III. Lngges réguliers et utomtes Démonstrtion. Soit Γ = {γ} un lphet unire. L ppliction f : Σ Γ : σ i γ, i {1,..., n} est un morphisme de monoïdes préservnt les longueurs, i.e., pour tout mot w Σ, f(w) = w. Pr conséquent, f(l) = L. Puisque L est régulier, pr le théorème III.3.1, f(l) est un lngge régulier sur un lphet unire. Au vu de l proposition I.3.9, f(l) est une union finie de progressions rithmétiques. 4. Critère de non-régulrité Lemme III.4.1 (Lemme de l pompe). 4 Soit L Σ un lngge régulier. Il existe un entier l tel que pour tout mot w de L stisfisnt w l, il existe x, y, z Σ tels que w = xyz et xy l, y ε, xy z L. Démonstrtion. Puisque L est régulier, il est ccepté pr un AFD A = (Q, q 0, F, Σ, δ) possédnt l étts. Un mot w = w 1 w n L de longueur n correspond à une exécution pssnt pr n + 1 étts q 0, q 1,..., q n, w q 1 w 0 2 w q1 q2 q n n 1 qn F. Puisque A possède l étts, si n l, lors u moins deux étts dns l suite d étts sont égux. Soient q i et q j deux tels étts (on suppose que l on considère l première répétition de deux étts, i.e., q i = q j, 0 i < j n et q 0,..., q j 1 sont deux à deux distincts). On donc pour tout t 0, l exécution suivnte w i w i+1 } {{ } q i } {{ } x y q 0 w 1 w j t q j w j+1 w n } {{ } q n F z où [ ] t signifie que l oucle est empruntée t fois. En posnt x, y, z comme indiqués sur l figure III.17, l conclusion en découle. Le lemme de l pompe est très souvent utilisé pour démontrer que certins lngges ne sont ps réguliers. Exemple III.4.2. Considérons une fois encore le lngge L = { n2 n N}. 4 En nglis, on trouve souvent l expression pumping lemm. En frnçis, on rencontre prfois, pour des risons évidentes, l dénomintion lemme de l étoile.

63 III.4. Critère de non-régulrité 59 y x z q q =q 0 i j n+1 q Figure III.17. Le lemme de l pompe. Nous vons déjà montré dns l exemple I.3.13 que ce lngge n étit ps régulier (en utilisnt l proposition I.3.9). Utilisons ici le lemme de l pompe. Si L étit régulier, il serit ccepté pr un AFD A ynt k étts. Dès lors, le mot k2 est ccepté pr A et cet utomte comprend donc une oucle de longueur i > 0 (cr k 2 k). Pr conséquent, tout mot de longueur k 2 + n i, n N est ccepté pr A. Or, l ensemle des crrés prfits ne contient ucune progression rithmétique infinie. On en tire que le lngge L ne peut être régulier. Remrque III.4.3. Attirons l ttention du lecteur sur le fit que des lngges non réguliers peuvent nénmoins stisfire l condition du lemme de l pompe. En effet, soit L un lngge non régulier ritrire. Le lngge {} + L {} stisfit le lemme de l pompe. Il suffit de prendre vec les nottions du lemme, l = 1. L version suivnte du lemme de l pompe fournit une condition nécessire et suffisnte pour qu un lngge soit régulier. Lemme III.4.4 (Lemme de l pompe, version forte). 5 Un lngge L Σ est régulier si et seulement si il existe une constnte k > 0 telle que pour tout mot w Σ, si w k, lors il existe x, y, z Σ tels que w = xyz, y ε et pour tout i 0 et pour tout v Σ, wv L xy i zv L. Démonstrtion. L condition est nécessire. Supposons que le lngge L est ccepté pr un AFD A = (Q, q 0, F, Σ, δ) possédnt k étts. Tout mot w = w 1 w l de longueur l k fournit une exécution de l forme w q 1 w 0 2 w q1 l ql où q 0 est l étt initil. Pr un risonnement nlogue à celui développé dns l preuve précédente, il existe 0 i < j l tels que q i = q j et l utomte A 5 Ce résultt est dû à J. Jffe (SIGACT News, 1978). Nous vons repris ici une preuve extrite de S. Yu, Regulr Lnguges, Hndook of forml lnguges, Springer, 1997.

64 60 Chpitre III. Lngges réguliers et utomtes donc une oucle. On pose x = w 1 w i, y = w i+1 w j et z = w j+1 w l (si i = 0, x = ε et si j = l, z = ε). Dès lors, pour tout i 0, et insi, pour tout i 0, ce qui signifie que δ(q 0, xy i z) = q l δ(q 0, xy i zv) = δ(q 0, xyzv) = δ(q 0, wv) wv L xy i zv L. Pssons à l réciproque et supposons qu il existe une constnte k > 0 telle que le lngge L stisfsse les propriétés énoncées. Nous devons montrer que L est régulier. Pour ce fire, nous llons construire un AFD A et vérifier que L = L(A). Soit A = (Q, q 0, F, Σ, δ) où chque étt de Q correspond à un mot w Σ de longueur strictement inférieure à k, i.e., Q = {q w w Σ et w < k}. L étt initil de A est q ε et F = {q w w L}. L fonction de trnsition est définie pr si w < k 1, lors pour tout σ Σ, δ(q w, σ) = q wσ si w = k 1, lors pour tout σ Σ, wσ est un mot de longueur k et pr hypothèse, il peut se décomposer en xyz vec y non vide et tel que pour tout v Σ, xyzv L si et seulement si xzv L. Il peut y voir plus d une telle décomposition (mis il y en toujours u moins une). S il y plus d une décomposition, on choisit celle pour lquelle xy est le plus court (et si une miguïté susiste encore, on choisit prmi les décompositions ynt xy de longueur minimum, celle où y est le plus court). On pose δ(q w, σ) = q xz. (On remrque que xz < k puisque y est non vide.) Il nous reste à montrer que L(A) = L. On procède pr récurrence sur l longueur d un mot w Σ. Pr définition de l utomte A, il est clir qu un mot w de longueur strictement inférieure à k pprtient à L si et seulement si il pprtient à L(A). Soit n k. Supposons l propriété stisfite pour les mots de longueur inférieure à n et vérifions-l pour les mots w tels que w = n. Dès lors, il existe w 0 et v tels que w = w 0 v, vec w 0 = k. Pr définition de A, il existe x, z Σ tels que δ(q 0, w 0 ) = δ(q 0, xz) = q xz, vec w 0 = xyz, y ε

65 III.5. Exercices 61 et en prticulier, w 0 v = w pprtient à L si et seulement si xzv pprtient à L. De plus, on δ(q 0, w 0 v) = δ(q 0, xzv) = δ(q xz, v), ce qui signifie que w 0 v = w pprtient à L(A) si et seulement si xzv pprtient à L(A) (en effet, on tteint le même étt de A). Or xzv < n (cr y non vide) et donc, pr hypothèse de récurrence, xzv pprtient à L(A) si et seulement si il pprtient à L. En conclusion, w L(A) w L. Remrque III.4.5. Nous voulons fire oserver u lecteur que cette dernière proposition nécessite une décomposition de w en xyz qui doit pouvoir être ppliquée pour tout mot wv, v Σ Lngges réguliers. Exercice III.5.1. Soit le lngge Ce lngge est-il régulier? Justifier. 5. Exercices L = { n 1 2n n N}. Exercice III.5.2. Le lngge { n n n N} est-il régulier? Exercice III.5.3. Le lngge { n 2n n N} est-il régulier? Exercice III.5.4. Le lngge {w {, } : w < w } est-il régulier? Exercice III.5.5. Le lngge { 2n n N} est-il régulier? Exercice III.5.6. Soit le morphisme f : {, } {, } tel que f() = et f() =. Le lngge L = {wf(w) w {, } } est-il régulier? Exercice III.5.7. Soit A un AFD possédnt k étts, k 1. Démontrer que si le lngge ccepté pr A ne contient ucun mot de longueur strictement inférieure à k, lors le lngge ccepté pr A est vide. Exercice III.5.8. Soit A un AFD possédnt k étts, k 1. Démontrer que si le lngge ccepté pr A est fini, lors tout mot ccepté w est tel que w < k. Exercice III.5.9. Soit Σ un lphet de tille u moins 2. Le lngge des plindromes sur Σ est-il régulier? Que se psse-t-il dns le cs prticulier d un lphet unire? Exercice III Le lngge { n m n+m m, n N} est-il régulier?

66 62 Chpitre III. Lngges réguliers et utomtes Exercice III Le lngge formé des mots sur {, } qui contiennent deux fois plus de que de, i.e., est-il régulier? Que vut ψ(l)? L = {w {, } : w = 2 w }, Exercice III Soient les lphets Σ = {,, c} et Γ = {e, f} et un lngge L sur Σ. On donne le morphisme h : Σ Γ tel que h() = h() = e et h(c) = f. Si h(l) Γ est un lngge régulier, peut-on en déduire que L est lui-même régulier, justifier? 5.2. Lngge ccepté pr un utomte. Exercice III Déterminer une expression régulière du lngge ccepté pr l utomte repris en figure III.18., Figure III.18. Expression régulière du lngge ccepté. Exercice III Même question que l exercice précédent pour l AFD représenté à l figure III.19. Si les mots cceptés sont considérés comme des ,1 Figure III.19. Expression régulière du lngge ccepté. représenttions en se 2 d entiers, en déduire les propriétés rithmétiques de l ensemle d entiers ccepté.

67 CHAPITRE IV Automte miniml 1. Introduction Nous svons à présent qu un lngge est régulier si et seulement si il est ccepté pr un utomte fini (et en prticulier, déterministe). Cependnt, plusieurs AFD peuvent ccepter le même lngge. L question posée ici est de rechercher prmi des utomtes équivlents, un utomte qui serit, selon un sens encore à définir, cnonique. Pr exemple, les utomtes suivnts cceptent tous le lngge formé des mots ne comprennt ps deux consécutifs.,,, Figure IV.1. Trois AFD équivlents. Il prît nturel de vouloir minimiser le nomre d étts d un AFD cceptnt un lngge régulier donné. En effet, lors de constructions comme le produit d utomtes, il est préférle d voir peu d étts à triter pour diminuer l tille de l utomte résultnt. Nous llons montrer qu à isomorphisme près, il n existe qu un seul AFD cceptnt un lngge donné et possédnt un nomre minimum d étts. Notons encore que l notion d utomte miniml peut être définie pour un lngge quelconque et ps uniquement pour un lngge régulier. 63

68 64 Chpitre IV. Automte miniml 2. Congruence syntxique Définition IV.2.1. Soit L Σ un lngge ritrire. Si w est un mot sur Σ, on dénote pr w 1.L l ensemle des mots qui, concténés vec w, pprtiennent à L, i.e., w 1.L = {u Σ wu L}. On définit une reltion sur Σ, notée L, de l mnière suivnte. Pour tous x, y Σ, x L y x 1.L = y 1.L. En d utres termes, x L y si et seulement si pour tout mot w Σ, xw L yw L. Notons que l nottion l plus répndue dns l littérture est w 1 L. Remrque IV.2.2. Avec une telle définition, l formule suivnte est lors immédite (où l somme représente l union), L = { ε, si ε L σ (σ 1.L) + δ(l), vec δ(l) =, sinon. σ Σ et J. H. Conwy d écrire oth Tylor s theorem nd the men vlue theorem. Proposition IV.2.3. Soit L Σ un lngge. L reltion L est une reltion d équivlence. Il s git même d une congruence 1 à droite, i.e., Démonstrtion. C est immédit. z Σ, x L y xz L yz. Remrque IV.2.4. On prle souvent pour L de l congruence de Nerode. On note [w] L l clsse d équivlence du mot w pour l reltion L, Exemple IV.2.5. Soit le lngge Pour ce lngge, on pr exemple [w] L = {u Σ u L w}. L = {w {, } : w 0 (mod 3)}. L cr 1.L = 1.L = L L cr pour u =, u L et u L L cr pour u =, u L et u L L cr 1.L = 1.L = {w {, } : w 2 (mod 3)}. 1 Pour rppel, une congruence est une reltion d équivlence qui préserve les opértions de l structure lgérique considérée.

69 IV.2. Congruence syntxique 65 En effet, pour w {, }, si w 3 0, lors w 1.L = {u {, } : u 3 0} et [w] L = {u {, } : u 3 0}, si w 3 1, lors w 1.L = {u {, } : u 3 2} et [w] L = {u {, } : u 3 1}, si w 3 2, lors w 1.L = {u {, } : u 3 1} et [w] L = {u {, } : u 3 2}. Cet exemple nous montre qu en générl, w 1.L [w] L. Définition IV.2.6. Dns le cs d un utomte déterministe (fini ou non) A = (Q, q 0, F, Σ, δ), pr nlogie vec l nottion w 1.L, on utilise l nottion suivnte. Si q Q est un étt de A et si G Q est un sous-ensemle d étts, on note q 1.G, l ensemle des mots qui sont lels des chemins déutnt en q et outissnt dns un étt de G, i.e., q 1.G = {w Σ δ(q, w) G}. On définit sur Q une reltion d équivlence comme suit : si p, q Q, lors p A q p 1.F = q 1.F. Remrque IV.2.7. Avec l nottion que nous venons d introduire, le lngge ccepté pr l utomte déterministe A = (Q, q 0, F, Σ, δ) est simplement q 1 0.F. Lemme IV.2.8. Soit A = (Q, q 0, F, Σ, δ) un utomte déterministe cceptnt un lngge L. Si q Q et w Σ sont tels que δ L (q 0, w) = q, lors q 1.F = w 1.L. Démonstrtion. En effet, pr définition, q 1.F = {u Σ δ(q, u) F }. Or δ(q 0, w) = q. Ainsi, pour tout u q 1.F, on δ(q 0, wu) = δ(δ(q 0, w), u) = δ(q, u) F et donc wu pprtient à L(A) = L, c est-à-dire, u pprtient à w 1.L et réciproquement. q 0 w q u Figure IV.2. q 1.F = w 1.L si δ(q 0, w) = q. F

70 66 Chpitre IV. Automte miniml Lemme IV.2.9. Soient L Σ un lngge et u, v deux mots sur Σ. On (uv) 1.L = v 1.(u 1.L). Démonstrtion. Si w pprtient à (uv) 1.L, cel signifie que uvw pprtient à L. En d utres termes, vw pprtient à u 1.L et insi w pprtient à v 1.(u 1.L). L démonstrtion de l utre inclusion est identique. Remrque IV Pour l opértion σ 1.L (σ étnt une lettre), on trouve prfois une terminologie rppelnt le clcul différentiel 2. Soit σ une lettre. On prle prfois de dérivé et l on note D σ L pour σ 1.L. L rison en est simple, il est clir que et D σ (L + M) = D σ L + D σ M D σ (LM) = (D σ L) M + δ(l) D σ M où, une fois encore, somme et produit représentent respectivement l union et l concténtion. 3. Automte miniml Nous llons tirer prti de l congruence de Nerode introduite à l section précédente pour définir un utomte prticulier, à svoir l utomte miniml du lngge L. L définition peut à première vue semler rtificielle, mis nous llons montrer qu insi introduit, l utomte miniml jouit de propriétés fort intéressntes. Définition IV.3.1. On définit l utomte miniml d un lngge L Σ comme suit : Q L = {w 1.L w Σ }, q 0,L = ε 1.L = L, A L = (Q L, q 0,L, F L, Σ, δ L ) F L = {w 1.L w L} = {q Q L ε q}, δ L (q, σ) = σ 1.q, pour tous q Q L, σ Σ. Grâce u lemme IV.2.9, l fonction de trnsition de l utomte s étend à Q L Σ pr δ L (q, w) = w 1.q, q Q L, w Σ. Nous devons vérifier que cette définition un sens en montrnt que l fonction de trnsition ne dépend ps du représentnt choisi. Ainsi, si un étt de A L est de l forme x 1.L = y 1.L (x, y Σ ), lors x L y. 2 cf. J. A. Brzozowski, Derivtives of regulr expressions, J. of the Assoc. for Comp. Mchinery 11 (1964),

71 IV.3. Automte miniml 67 Puisque L est une congruence à droite, pour tout σ Σ, xσ L yσ et donc (xσ) 1.L = (yσ) 1.L. En ppliqunt le lemme IV.2.9, on trouve ien σ 1.(x 1.L) = σ 1.(y 1.L). Remrque IV.3.2. Au vu de l définition de L, il est clir que l ensemle des étts de A, {w 1.L w Σ }, est en ijection vec l ensemle quotient Σ / L = {[w] L w Σ }. En effet, à chque clsse d équivlence [w] L pour L correspond un étt w 1.L de l utomte miniml A L et réciproquement. C est pour cette rison que, dns l littérture, on trouve églement une définition de l utomte miniml en termes des clsses d équivlence de L. Ainsi, on urit pu définir l utomte miniml comme suit : Q L = {[w] L w Σ } q 0,L = [ε] L F L = {[w] L w L} δ L ([w] L, σ) = [wσ] L. Cette dernière définition est équivlente à celle donnée en IV.3.1 cr si [w] L correspond à w 1.L, lors [wσ] L correspond à (wσ) 1.L = σ 1.(w 1.L). Dns l suite, nous utiliserons principlement l définition de l utomte miniml donnée en IV.3.1. Remrquons encore que si x L y, lors δ L (q 0,L, x) = δ L (q 0,L, y) cr il suffit de se rppeler que q 0,L = L et dès lors, il vient δ L (q 0,L, x) = x 1.L = y 1.L = δ L (q 0,L, y). Exemple IV.3.3. Poursuivons l exemple IV.2.5. Il est fcile de voir que pour le lngge L formé des mots sur {, } contennt un nomre de multiple de trois, l congruence de Nerode possède trois clsses d équivlence [ε] L, [] L et [] L. Dit utrement, l utomte miniml A L trois étts ε 1.L, 1.L et 1.L. Pour définir l fonction de trnsition, on δ L (ε 1.L, ) = 1.(ε 1.L) = 1.L δ L (ε 1.L, ) = 1.(ε 1.L) = 1.L = ε 1.L δ L ( 1.L, ) = 1.( 1.L) = 1.L δ L ( 1.L, ) = 1.( 1.L) = 1.L = 1.L δ L ( 1.L, ) = 1.( 1.L) = 1.L = ε 1.L δ L ( 1.L, ) = 1.( 1.L) = 1.L = 1.L cr ε L cr L cr ε L cr L. Si on note 1, 2, 3 les trois lngges ε 1.L = L, 1.L, 1.L, on otient l utomte représenté à l figure IV.3.

72 68 Chpitre IV. Automte miniml Figure IV.3. Un utomte miniml. Remrque IV.3.4. On oserve que, dns l définition de A L, les étts de l utomte miniml de L sont des ensemles de mots. Dns l exemple précédent, on un nomre fini d étts et chque étt correspond à un ensemle infini de mots. Exemple IV.3.5. Considérons le lngge L formé des mots sur {, } ynt même nomre de que de, i.e., L = {w {, } : w = w }. Une ppliction immédite du lemme de l pompe montre que ce lngge n est ps régulier. On peut nénmoins rechercher son utomte miniml puisque l reltion L est définie pour tout lngge L. On s perçoit que le nomre de clsses d équivlence pour l reltion L est infini. En effet, pour tout n Z, c n := [ i j ] L, vec i j = n est une clsse d équivlence et il est clir que si m n, lors c m c n. De plus, δ L (( i j ) 1.L, ) = ( i+1 j ) 1.L = ( i j 1 ) 1.L et δ L (( i j ) 1.L, ) = ( i j+1 ) 1.L = ( i 1 j ) 1.L. (Dns les expressions ci-dessus, on ne considère que les expressions pour lesquelles les exposnts sont positifs ou nuls.) Le seul étt finl de l utomte est ( i i ) 1.L = L. L utomte miniml de L est représenté à l figure IV.4. Figure IV.4. L utomte miniml d un lngge non régulier. On peut d ores-et-déjà remrquer que pour ce lngge non régulier, le nomre d étts de l utomte miniml est infini.

73 IV.3. Automte miniml 69 Proposition IV.3.6. L utomte miniml d un lngge L Σ ccepte L. Démonstrtion. En effet, soit w Σ, w L(A L ) δ L (q 0,L, w) F L w 1.L F L w L. On utilisé le fit que δ L (q 0,L, w) = δ L (ε 1.L, w) = w 1.(ε 1.L) = (εw) 1.L. Définition IV.3.7. Un utomte déterministe A = (Q, q 0, F, Σ, δ) est ccessile si pour tout étt q Q, il existe un mot w Σ tel que δ(q 0, w) = q. Un utomte déterministe A = (Q, q 0, F, Σ, δ) est réduit si pour tous p, q Q, p 1.F = q 1.F entrîne p = q. En d utres termes, un AFD est réduit, si les lngges cceptés depuis deux étts distincts sont distincts ou encore si chque clsse d équivlence pour l reltion A sur Q est un singleton. Le résultt suivnt justifie l ppelltion miniml. Théorème IV.3.8. Soient L Σ un lngge et A L = (Q L, q 0,L, F L, Σ, δ L ) son utomte miniml. Si B = (Q, q 0, F, Σ, δ) est un utomte ccessile et déterministe cceptnt L, lors il existe une ppliction Φ : Q Q L telle que Φ est surjectif, Φ(q 0 ) = q 0,L, σ Σ, q Q : Φ(δ(q, σ)) = δ L (Φ(q), σ), Φ(F ) = F L., Φ Φ Φ, Figure IV.5. Une ppliction Φ stisfisnt les propriétés du théorème IV.3.8.

74 70 Chpitre IV. Automte miniml Démonstrtion. Puisque B est ccessile, pour tout étt q Q, il existe un mot w Σ tel que δ(q 0, w) = q. Supposons tout d ord qu une On effectue ppliction Φ stisfisnt les propriétés énoncées existe. Dns ce cs 3, d ord l nlyse. Φ(q) = Φ(δ(q 0, w)) = δ L (Φ(q 0 ), w) = δ L (q 0,L, w) = w 1.L = q 1.F Pssons à l synthèse. où pour l dernière églité, on ppliqué le lemme IV.2.8. présent que l ppliction possède les propriétés indiquées : Φ : Q Q L : q q 1.F Montrons à il est clir que Φ est à vleurs dns Q L cr B étnt ccessile, il est toujours possile d écrire q 1.F sous l forme w 1.L pour un certin w Σ. On Φ(q 0 ) = q 1 0.F = L = q 0,L. Soient σ Σ et q Q. Pr définition de Φ, on tout d ord Φ(δ(q, σ)) = (δ(q, σ)) 1.F Si w Σ est tel que δ(q 0, w) = q, lors δ(q 0, wσ) = δ(q, σ) et pr le lemme IV.2.8, (δ(q, σ)) 1.F = (wσ) 1.L. Pr le lemme IV.2.9, (wσ) 1.L = σ 1.(w 1.L) et si on pplique à nouveu le lemme IV.2.8, w 1.L = q 1.F. Pr conséquent, Φ(δ(q, σ)) = σ 1.(q 1.F ) = σ 1.Φ(q) = δ L (Φ(q), σ). Montrons que Φ est surjectif. Soit q Q L. Cet étt est de l forme w 1.L pour un mot w Σ. Soit r l étt de B tel que δ(q 0, w) = r. Il vient Φ(r) = r 1.F = w 1.L = q. Un étt q de B est finl si et seulement si il existe w L tel que δ(q 0, w) = q. Soit q un tel étt. Ainsi, Φ(q) = q 1.F = w 1.L F L et Φ(F ) F L. Considérons à présent un étt q de A L tel que q F L. Puisque Φ est surjectif, il existe un étt p Q de B tel que Φ(p) = p 1.F = q. Pr définition de l utomte miniml, p 1.F pprtient à F L si et seulement si ε p 1.F ce qui signifie que p est un étt finl de B. Corollire IV.3.9. Si L est un lngge régulier ccepté pr un AFD B, lors le nomre d étts de B est minoré pr le nomre d étts de A L. Démonstrtion. Cel découle imméditement de l surjectivité de l ppliction Φ introduite à l proposition précédente. 3 En prticulier, ceci prouve que si une telle ppliction Φ existe, lors elle est unique.

75 IV.3. Automte miniml 71 Proposition IV Soit L Σ un lngge. (i) L utomte miniml A L = (Q L, q 0,L, F L, Σ, δ L ) de L est ccessile et réduit. (ii) Soit B = (Q, q 0, F, Σ, δ) un utomte déterministe ccessile cceptnt L. Cet utomte est réduit si et seulement si l ppliction Φ : Q Q L définie u théorème IV.3.8 est une ijection. Dns ce cs, les utomtes A L et B sont isomorphes. Démonstrtion. L utomte miniml est ccessile cr un étt quelconque de A L est de l forme w 1.L pour un mot w Σ et δ L (q 0,L, w) = w 1.L. Pr définition de l ensemle d étts Q L, il est clir que A L est réduit. Si B est un utomte ccessile, l ppliction Φ : Q Q L introduite u théorème IV.3.8 est surjective. Cette ppliction est injective si et seulement si pour tous p, q Q, Φ(p) = Φ(q) p = q ce qui se réécrit et qui signifie que B est réduit. p 1.F = q 1.F p = q Proposition IV Un lngge L Σ est régulier si et seulement si son utomte miniml A L est fini. Démonstrtion. Si A L est fini, u vu de l proposition IV.3.6, L est ccepté pr A L qui est en prticulier un AFD. Pr le théorème de Kleene, L est régulier. Pssons à l réciproque et supposons L régulier et ccepté pr un AFD A que l on peut, sns ucune restriction, supposer ccessile. Dès lors, u vu du théorème IV.3.8, l utomte miniml de L est fini. Ce dernier résultt peut se réénoncer comme suit. Théorème IV.3.12 (Myhill-Nerode). Un lngge L est régulier si et seulement si l congruence L est d indice fini (i.e., possède un nomre fini de clsses d équivlence). Démonstrtion. Cel résulte imméditement de l proposition précédente et de l remrque IV.3.2.

76 72 Chpitre IV. Automte miniml 4. Construction de l utomte miniml L proposition IV.3.10 fournit un moyen de construire l utomte miniml d un lngge régulier L à prtir d un AFD A cceptnt L. En effet, il suffit de pouvoir trouver un AFD ccessile et réduit équivlent. Tout d ord, il est fcile de rendre un AFD donné ccessile. Il suffit de psser en revue les étts qui peuvent être tteints depuis l étt initil et d éliminer les utres étts (inccessiles). Clssiquement, un lgorithme de recherche en profondeur suffit. On construit un rre ynt pour rcine l étt initil de A. Dns cet rre, les fils d un noeud sont les étts ccessiles depuis celuici et on rrête l construction lorsqu à un niveu de l rre, il n pprît plus de nouveux étts pr rpport ux niveux précédents. L question qui se pose est donc de pouvoir déterminer si un utomte fini déterministe donné A = (Q, q 0, F, Σ, δ) est réduit. Pr définition de l reltion A sur Q, l utomte est réduit si pour tout couple (p, q) d étts vec p q, p A q. En prticulier, p A q s il existe un mot w Σ tel que ou δ(p, w) F et δ(q, w) F δ(p, w) F et δ(q, w) F. On dit lors qu un tel mot distingue les étts p et q ou encore que le couple (p, q) est distingué. Dns l lgorithme qui suit, on noter N l l ensemle des couples d étts qui sont distingués pr un mot de longueur l et qui ne sont distingués pr ucun mot plus court. Algorithme de recherche des étts équivlents (1) Initilistion : lors de cette étpe, on détermine les couples d étts distingués pr le mot vide (seul mot de longueur l = 0). On pose l := 0. Pour tout p F et tout q Q\F, l pire (p, q) est distinguée cr le mot vide pprtient à p 1.F mis ps à q 1.F. Soit N 0 l ensemle de ces pires. (2) Incrémenttion : on détermine les couples d étts distingués pr un mot de longueur l + 1 et non distingués pr un mot de longueur l. Si N l =, l lgorithme s chève 4. 4 On doit remrquer que si Nl est vide, lors il en est de même pour N l+1 et donc ussi pour tous les suivnts. En effet, supposons u contrire que N l = et N l+1. Il existe donc (r, s) N l+1 distingué pr un mot σw de longueur l + 1. Dès lors, le mot w de longueur l distingue les étts δ(r, σ) = r et δ(s, σ) = s. Puisque N l =, on en conclut que r et s doivent être distingués pr un mot w de longueur < l. Mis dns ce cs, r et s sont ussi distingués pr σw de longueur l, ce qui est surde.

77 IV.4. Construction de l utomte miniml 73 Sinon, pour chque pire (p, q) N l, on psse en revue les pires (r, s) vec r s qui n pprtiennent ps à N 0 N l. S il existe σ Σ tel que ou δ(r, σ) = p et δ(s, σ) = q δ(s, σ) = p et δ(r, σ) = q, lors l pire (r, s) est distinguée pr un mot de longueur l + 1. Soit N l+1 l ensemle de ces pires. Remplcer l pr l + 1 et répéter (2). Exemple IV.4.1. Appliquons l lgorithme précédent à l AFD représenté à l figure IV Figure IV.6. Un AFD dont on recherche les étts équivlents pour A. L première étpe donne le tleu suivnt. Dns ce tleu, on dénote simplement pr i l pprtennce d un couple à l ensemle N i, i N. De plus, pr rison de symétrie, on s intéresser uniquement à l prtie située u dessus de l digonle principle Puisque (1., 3.) = (2, 6), (1., 6.) = (1, 2), (3., 4.) = (6, 5) et (4, 6) = (5, 6), on, à l deuxième étpe, le tleu ci-dessous

78 74 Chpitre IV. Automte miniml L lgorithme s chève cr (1., 4.) = (2, 5), (1., 4.) = (1, 1), (2., 5.) = (1, 4), (2., 5.) = (3, 6), (3., 6.) = (6, 6) et (3., 6.) = (2, 2). On en conclut que 1 A 4, 2 A 5 et 3 A 6. Puisque nous pouvons supposer voir un AFD A ccessile, le théorème IV.3.8 nous ffirme que l utomte A se projette u moyen de l ppliction Φ sur l utomte miniml du lngge L ccepté pr A et que des étts de A équivlents pour A sont envoyés sur un même étt de A L. Ainsi, les étts de A L vont correspondre ux clsses d équivlence de A. Toujours en vertu du théorème IV.3.8, les trnsitions de l utomte miniml sont définies pr δ L (Φ(q), σ) = Φ(δ(q, σ)) si δ (resp. δ L ) est l fonction de trnsition de A (resp. A L ). Trduit en termes d étts équivlents, cel signifie que si un étt de A L correspond à une clsse d équivlence [q] A pour l reltion A, lors l lecture de σ depuis cet étt dns A L conduit à l étt correspondnt à l clsse [q.σ] A. Exemple IV.4.2. Si nous continuons l exemple précédent, on [1] A = {1, 4}, [2] A = {2, 5} et [3] A = {3, 6}. Puisque dns l utomte de déprt, 1. = 2 et 1. = 1, on δ L (Φ(1), ) = Φ(2) et δ L (Φ(1), ) = Φ(1). Ceci signifie que, dns l utomte miniml, l lecture de (resp. ) depuis l étt correspondnt à {1, 4} conduit à [2] A = {2, 5} (resp. [1] A = {1, 4}). En continunt de l sorte, on otient l utomte de l figure IV.7. {1,4} {2,5} {3,6} Figure IV.7. Un utomte miniml. Exemple IV.4.3. Soit l AFD ccessile A représenté à l figure IV.8. Nous llons lui ppliquer l lgorithme de recherche des étts équivlents pour Figure IV.8. Un AFD ccessile A.

79 IV.4. Construction de l utomte miniml 75 montrer qu il est réduit (et qu il s git donc d un utomte miniml puisqu il est visilement ccessile). Avec les mêmes nottions que précédemment, on otient rpidement le tleu suivnt Une utre procédure de minimistion. Proposition IV.4.4. Soit A un AFD cceptnt un lngge L. Si pour tout utomte B, µ(b) désigne l utomte déterministe équivlent à B R otenu pr construction des sous-ensemles d étts, lors µ(µ(a)) est l utomte miniml de L. Démonstrtion. Si B est un AFD cceptnt M, il est clir que µ(b) ccepte M R et qu il est ccessile. En effet, dns l procédure de construction pr sous-ensemles, on ne considère que les étts ccessiles cr on recherche de proche en proche les étts tteints depuis l étt initil. Il suffit dès lors de montrer que si B est un AFD ccessile cceptnt un lngge M, lors µ(b) est un AFD ccessile et réduit cceptnt M R. Dns ce cs, µ(a) ser un AFD ccessile cceptnt L R et µ(µ(a)) ser un AFD ccessile et réduit cceptnt (L R ) R = L. On conclut lors pr l proposition IV Soit B un AFD ccessile. Montrons que µ(b) est réduit. Soient P, Q deux étts de µ(b). Supposons que P 1.F = Q 1.F (où F désigne l ensemle des étts finls de µ(b)). De pr l construction pr sous-ensemles, l étt P (resp. Q) est constitué d étts 5 p 1,..., p r (resp. q 1,..., q s ) de B R et un étt est finl s il est un sous-ensemle d étts de B R contennt un étt finl de B R (donc ici contennt l étt initil q 0 de B, i.e., l unique étt finl de B R ). Si w pprtient à P 1.F, cel signifie que, dns µ(b), w est le lel d un chemin déutnt dns P et outissnt dns un étt finl. Encore un fois, de pr l construction pr sous-ensemles, cel signifie que dns B R on un chemin de lel w déutnt dns un des étts p i et outissnt dns q 0. Ou de mnière équivlente, dns B, w R est le lel d un chemin déutnt dns q 0 et outissnt dns p i. Réciproquement, pour tout i {1,..., r}, si w est lel d un chemin dns B déutnt dns q 0 et outissnt dns p i, lors dns µ(b), w R pprtient à P 1.F. Autrement dit, on P 1.F = (q 1 0.{p 1,..., p r }) R où dns le memre de guche (resp. de droite), on considère l utomte µ(b) (resp. B). Dns B, pour tout i {1,..., r}, si q 0.w = p i, cel signifie qu il pprtient à q0 1.{p 1,..., p r } et puisque nous vons supposer que P 1.F = Q 1.F, 5 Les utomtes B et B R ont le même ensemle d étts.

80 76 Chpitre IV. Automte miniml on en déduit que w pprtient à q 1 0.{q 1,..., q s }. Il existe j {1,..., s} tel que, dns B, q 0.w = p j. Or puisque B est déterministe, on trouve p i = q j et P Q. On procède de même pour l utre inclusion et insi, P = Q. Exemple IV.4.5. Appliquons l proposition précédente pour otenir l utomte miniml du lngge ccepté pr l utomte représenté à l figure IV.9. Tout d ord, l utomte miroir A R est donné pr l utomte de l Figure IV.9. Un AFD A. figure IV.10. Pour rendre A R déterministe, on utilise l construction pr Figure IV.10. L utomte A R. sous-ensemles. On trouve les ensemles d étts {2, 3}, {1}, {1, 2, 3, 4}, {4},. Si on renomme ces derniers 1,..., 5, on otient l AFD ccessile µ(a) représenté à l figure IV.11. Considérons à présent le miroir de ce dernier utomte pour otenir celui de l figure IV.12. Pour conclure, il nous reste à rendre cet utomte déterministe en utilisnt une fois encore l construction pr sous-ensemles. Les ensemles d étts sont ici, {2, 3}, {1, 3}, {3, 4}. Une fois ces ensemles renommés 1, 2, 3, on otient l utomte de l figure IV.13 qui est l utomte miniml du lngge ccepté pr l utomte A de déprt.

81 IV.5. Applictions , 4 5, Figure IV.11. L utomte µ(a) ,, Figure IV.12. L utomte (µ(a)) R. 1, 2 3 Figure IV.13. L utomte µ(µ(a)). 5. Applictions Nous llons utiliser l théorie de l utomte miniml pour montrer que l ensemle des lngges réguliers est stle pr morphisme inverse. Nous montrons églement que l ensemle des préfixes ou des suffixes d un lngge régulier est régulier. Enfin, l rcine n-ième (que nous définirons le moment voulu) d un lngge régulier est encore un lngge régulier. Proposition IV.5.1. Soit f : Σ Γ un morphisme de monoïdes. Si M Γ est un lngge régulier lors f 1 (M) est ussi un lngge régulier.

82 78 Chpitre IV. Automte miniml Démonstrtion. Il suffit de montrer que l utomte miniml du lngge f 1 (M) Σ est fini. Soit w Σ. On w 1.f 1 (M) = {u Σ wu f 1 (M)} = {u Σ f(wu) M} = {u Σ f(w)f(u) M} = {u Σ f(u) f(w) 1.M} = f 1 (f(w) 1.M) Or M est régulier donc son utomte miniml est fini et f(w) 1.M ne peut prendre qu un nomre fini de vleurs. On en conclut que, quel que soit w Σ, w 1.f 1 (M) ne peut prendre qu un nomre fini de vleurs. Ainsi, l utomte miniml du lngge f 1.M est fini. Ce résultt n est ps nouveu! Mis l preuve est élégnte. Remrque IV.5.2. Profitons du résultt précédent pour énoncer, sns démonstrtion 6, un résultt ssez étonnnt concernnt l représenttion des lngges réguliers. Pour tout lngge régulier L sur un lphet quelconque, il existe des morphismes h 1, h 2, h 3, h 4 tels que L = h 4 (h 1 3 (h 2(h 1 1 ( )))). On pourr comprer ce résultt vec le théorème de représenttion de Chomsky- Schützenerger pour les lngges lgériques (cf. théorème VI.10.3). Proposition IV.5.3. Si L Σ est un lngge régulier, lors Pref(L) est ussi régulier. Démonstrtion. Il suffit de montrer que l utomte miniml du lngge Pref(L) est fini. Soit w Σ. Il vient w 1.Pref(L) = {u Σ wu Pref(L)} = {u Σ v Σ : wuv L} = {u Σ v Σ : uv w 1.L} = Pref(w 1.L). Le lngge L étnt régulier, w 1.L ne peut prendre qu un nomre fini de vleurs. Pr conséquent, Pref(w 1.L) ne prend ussi qu un nomre fini de vleurs et l ensemle {Pref(w 1.L) w Σ } est fini. 6 Voir pr exemple, le Hndook of forml lnguges, vol. 1, pour des références.

83 IV.5. Applictions 79 Corollire IV.5.4. Si L Σ est un lngge régulier, lors Suff(L) est ussi un lngge régulier. Démonstrtion. Il suffit de remrquer que Suff(L) = (Pref(L R )) R. Le résultt découle de l proposition précédente et du fit que l ensemle des lngges réguliers est stle pr ppliction du miroir. Remrque IV.5.5. On pourr comprer ces deux derniers résultts vec les propositions II.3.9 et II.3.10 et leur preuve. Définition IV.5.6. Soit k 1. On définit l rcine k-ième d un lngge L Σ pr k L = {u Σ u k L}. Exemple IV.5.7. Soit L =. Il est fcile de vérifier que L =. On dispose du résultt suivnt. Proposition IV.5.8. Si L Σ est un lngge régulier, lors k L est ussi un lngge régulier. Afin de démontrer ce résultt, nous vons esoin du lemme suivnt. Lemme IV.5.9. Soit L un lngge régulier. Si p est un étt de l utomte miniml de L donné dns l définition IV.3.1 lors p et sont deux lngges réguliers. S(p) = {w Σ p = w 1.L} Démonstrtion. Puisque p est un étt de l utomte miniml A L = (Q L, q 0,L, F L, Σ, δ L ), il existe w Σ tel que p = w 1.L. En d utres termes, p = {u Σ wu L} = {u Σ δ L (q 0,L, wu) F L } ce qui signifie que ce lngge est ccepté pr l AFD (Q L, δ L (q 0,L, w), F L, Σ, δ L ) et donc, ce lngge est régulier. Pour montrer que S(p) est régulier, il suffit une fois encore de vérifier que son utomte miniml est fini. Soit u Σ. Il vient u 1.S(p) = {v Σ uv S(p)} = {v Σ p = (uv) 1.L} = {v Σ p = v 1.(u 1.L)}. Or L est régulier, son utomte miniml est donc fini et u 1.L ne peut prendre qu un nomre fini de vleurs distinctes. Pr conséquent, {u 1.S(p) u Σ }

84 80 Chpitre IV. Automte miniml est un ensemle fini. Nous pouvons à présent démontrer l proposition IV.5.8. Démonstrtion. Soit A L l utomte miniml de L ynt Q L pour ensemle d étts. Montrons tout d ord que k+1 L = p Q L (S(p) k p). Si u pprtient à k+1 L, lors, pr définition de l rcine (k + 1)-ième, uu k pprtient à L et donc u k pprtient à u 1.L. Si on pose p = u 1.L, cel signifie que u pprtient à k p vec p Q L. De plus, pr définition même de S(p), u pprtient églement à ce dernier ensemle. Démontrons l utre inclusion. Si u pprtient u memre de droite, cel signifie que p s écrit u 1.L et que u k pprtient à p. Pr conséquent, u k pprtient à u 1.L et donc u k+1 pprtient à L. Pour conclure l preuve, on procède pr récurrence sur k. Si k = 1, lors pr hypothèse 1 L = L est régulier. Supposons à présent que, si L est régulier, k L (k 1) est régulier et montrons que k+1 L l est encore. Au vu du lemme précédent, pour tout étt p Q L, p et S(p) sont réguliers. Pr hypothèse de récurrence, k p est régulier et donc S(p) k p est régulier cr il s git de l intersection de deux lngges réguliers. L formule donnée ci-dessus ne fit insi intervenir qu une union finie de lngges réguliers (en k+1 effet, L est régulier et donc, Q L est fini). Pr conséquent, L est régulier. Voici à présent quelques remrques concernnt l complexité des lgorithmes à mettre en oeuvre pour rechercher l utomte miniml d un lngge régulier à prtir d un utomte donné. Remrque IV On peut montrer que l lgorithme de recherche des étts équivlents dns un AFD A est de complexité temporelle O(n 2 ), si n est le nomre d étts de l utomte A. En effet, en implémentnt l lgorithme de mnière soigneuse, il suffit de psser en revue les n étts de A u plus n fois. A l première étpe, on tente de distinguer les étts de A en utilisnt le mot vide. A l deuxième étpe, on psse à nouveu en revue les étts que l on tente de distinguer u moyen de mots de longueur 1 et on répète l opértion jusqu ux mots de longueur n 1. Il est possile 7 d otenir un lgorithme de complexité temporelle en O(n log n) en considérnt quelques rffinements à propos de l reltion d équivlence A. Ces rffinements sortent du cdre introductif de ce cours. Remrque IV L procédure de minimistion donnée à l proposition IV.4.4 peut s vérer coûteuse cr elle demnde deux procédures de 7 cf. J.E. Hopcroft, An n log n lgorithm for minimizing sttes in finite utomton, Theory of Mchines nd Computtions, Acdemic Press, New-York, , (1971).

85 IV.6. Exercices 81 déterministion et pr conséquent, le nomre d étts peut suir une croissnce doulement exponentielle dns le cs le moins fvorle. Notons que si L = L R, lors, dns l procédure donnée à l proposition IV.4.4, l utomte miniml de L est simplement µ(a) si A est un AFD ccessile cceptnt L. Ainsi, en résumé, pour une expression régulière donnée, on construir tout d ord un utomte fini non déterministe cceptnt le lngge généré pr l expression. Cet AFND contiendr en générl des ε-trnsitions. Rppelons une fois encore que le non déterminisme est un outil puissnt permettnt d exprimer fcilement des lngges ux spécifictions complexes. Ensuite, on rendr cet utomte déterministe (vec le risque inévitle d une explosion exponentielle du nomre d étts). L procédure de déterministion fournit toujours un AFD ccessile. Il ne reste plus lors qu à réduire l AFD en détectnt les ensemles d étts équivlents. 6. Exercices Exercice IV.6.1. L utomte de l figure IV.14 est-il ccessile et réduit? Autrement dit, s git-il d un utomte miniml? Même question 1 2 3, 4 5 Figure IV.14. Un AFD. vec l utomte de l figure IV.15. Pour ces deux utomtes, donner une expression régulière du lngge ccepté. Exercice IV.6.2. Donner (en utilisnt une méthode u choix) l utomte miniml des lngges suivnts : (), ( + ) ( + ), ( + ), le lngge formé des mots contennt le fcteur ou, le lngge formé des mots contennt le fcteur et, () (), le lngge formé des mots de () () qui sont de longueur pire. Exercice IV.6.3. Soit L = (+). Quels sont les différents ensemles de l forme w 1.L, w {, }.

86 82 Chpitre IV. Automte miniml, En déduire l utomte miniml de L. Figure IV.15. Un utre AFD. Exercice IV.6.4. Montrer que L n est en générl ps une congruence à guche, i.e., il existe z Σ tel que x L y et zx L zy. Exercice IV.6.5. Soit L = {,,,,, }. Quels sont les différents ensemles de l forme En déduire l utomte miniml de L. w 1.L, w {, }. Exercice IV.6.6. Soit L = ( + ). Quels sont les différents ensemles de l forme w 1.L, w {, }. En déduire l utomte miniml de L. Exercice IV.6.7. Soit L, le lngge sur {, } des mots contennt exctement deux. Quels sont les différents ensemles de l forme En déduire l utomte miniml de L. w 1.L, w {, }. Exercice IV.6.8. Soit l utomte déterministe A représenté à l figure IV.16. Rechercher l utomte miniml du lngge ccepté pr A. On procéder pr deux méthodes : l recherche des étts équivlents et l procédure µ(µ(a)). Exercice IV.6.9. Soit le lngge L = { n m n, m N : n m}. Crctériser les étts de l utomte miniml de L et donner l tle de trnsition de cet utomte.

87 IV.6. Exercices 83, Figure IV.16. Un utre AFD dont on cherche le miniml. Exercice IV Soit l utomte fini déterministe A représenté à l figure IV.17. Rechercher les étts équivlents pour l reltion A. En déduire, Figure IV.17. Recherche des étts équivlents. l utomte miniml du lngge ccepté pr A. Exercice IV On considère l lphet Σ = {,, c}. Donner l utomte miniml du lngge L = c (dns votre réponse, justifier en quoi l utomte que vous proposez est miniml). Quelles sont les clsses d équivlence de Σ pour l reltion de Nerode L et quels sont les différents ensemles de l forme w 1.L, w Σ? L clôture commuttive de L donnée pr com(l) = {w Σ v L, σ Σ : w σ = v σ } est-elle un lngge régulier? Justifier.

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89 CHAPITRE V Quelques compléments sur les lngges réguliers 1. Trnsduction Dns cette section, on définit l notion de trnsducteur qui, d une certine mnière, peut être vue comme une générlistion des morphismes. Ensuite, nous montrons que l ensemle des lngges réguliers est stle pour l imge et l imge inverse pr trnsduction. Définition V.1.1. Un trnsducteur est un 6-uple T = (Q, q 0, Σ, δ,, τ) où Q, q 0, Σ, δ sont définis comme dns le cs des AFD, est un lphet fini ppelé lphet de sortie et τ : Q Σ est l fonction de sortie. (On supposer que τ est une fonction totle.) Un trnsducteur peut être vu comme un moyen pour définir des fonctions. Ainsi, à chque mot d entrée w = w 1 w l Σ, w i Σ, le trnsducteur T ssocie un mot de sortie T (w) donné pr τ(q 0, w 1 ) τ(δ(q 0, w 1 ), w 2 ) τ(δ(q 0, w 1 w 2 ), w 3 ) τ(δ(q 0, w 1 w l 1 ), w l ). L représenttion sgitle d un trnsducteur se fit de l fçon suivnte. Pour tous q, q Q, σ Σ, si δ(q, σ) = q et τ(q, σ) = u, lors on note q σ/u q. Exemple V.1.2. Voici un exemple de trnsducteur. Ici, Σ = {, }, / /c 1 2 / / Figure V.1. Un trnsducteur. l lphet de sortie est = {,, c} et l fonction de sortie est définie pr τ(1, ) =, τ(1, ) =, τ(2, ) = et τ(2, ) = c. Considérnt le mot w =, on 1 / 1 / 2 /c 1 et donc T (w) = c. Il est fcile de voir que ce trnsducteur insère un c près chque occurrence de dns le mot d entrée. Remrque V.1.3. L fonction sur Σ et à vleurs dns, définie pr le trnsducteur T, est souvent ppelée fonction rtionnelle. 85

90 86 Chpitre V. Quelques compléments sur les lngges réguliers Exemple V.1.4. Si f : Σ est un morphisme de monoïdes, cette fonction peut être isément rélisée pr un trnsducteur possédnt un unique étt. En effet, il suffit de considérer le trnsducteur représenté à l figure V.2. 1 σ/f( σ) Figure V.2. Un trnsducteur clculnt le morphisme f. Remrque V.1.5. Dns l littérture, on trouve d utres modèles plus générux de trnsducteurs, comme pr exemple, des trnsducteurs construits non ps sur un AFD mis sur un AFND. Dns ce cs, le trnsducteur ne définit plus une fonction de Σ dns mis une reltion (rtionnelle), i.e., une prtie de Σ. On peut ussi trouver des modèles dns lesquels on précise des étts finls. Dns ce dernier cs, ne sont cceptés que les clculs dont l lecture du mot d entrée conduit à un étt finl. Dns ce cours introductif, nous vons décidé de psser ces générlistions sous silence. L ensemle des lngges réguliers est stle pr trnsduction. Théorème V.1.6. Soient L Σ un lngge régulier et T un trnsducteur. Le lngge T (L) = {T (w) w L} est régulier. Démonstrtion. 1 Soient A = (Q, q 0, F, Σ, δ) un AFD cceptnt L et T = (Q, q 0, Σ, δ,, τ) le trnsducteur donné dns l énoncé. Nous llons construire un AFND B = (Q, q 0, F,, δ ) cceptnt exctement T (L). On le définit comme suit : Q = Q Q (Σ {ε}) {0, 1,..., k} où k = mx σ Σ,q Q τ(q, σ), q 0 = (q 0, q 0, ε, 0), l reltion de trnsition δ Q Q contient les éléments suivnts. Pout tout σ Σ, ((q, q, ε, 0), ε, (q, q, σ, 0)) δ. Si τ(q, σ) = y 1 y j, lors pour tout i tel que 1 i j et ((q, q, σ, i 1), y i, (q, q, σ, i)) δ ((q, q, σ, j), ε, (δ(q, σ), δ (q, σ), ε, 0)) δ. 1 L preuve présentée ici est issue de : J.-P. Allouche, J. Shllit, Automtic Sequences, Theory, Applictions, Generliztions, Cmridge University Press (2003).

91 V.1. Trnsduction 87 En prticulier, si τ(q, σ) = ε lors ((q, q, σ, 0), ε, (δ(q, σ), δ (q, σ), ε, 0)) δ. Enfin, F = {(q, q, ε, 0) : q F }. L idée à l se de cette définition est l suivnte : si w T (L), il existe x L tel que w = T (x). Supposons que x = x 1 x r, x t Σ, et que w t soit l sortie correspondnt à l lecture de x t dns T. En prticulier, on w = w 1 w r. L utomte B peut deviner de mnière non déterministe s il existe un mot x L produisnt le mot w. En effet, l première composnte de Q permet de simuler le comportement de A. L deuxième composnte simule le comportement de T. L troisième composnte de Q est utilisée pour mémoriser l lettre σ = x t du mot x qui vient d être supposée. L qutrième composnte permet de svoir comien de lettres de w t ont déjà été rencontrées. Cette dernière composnte sert de compteur, initilisé à zéro et incrémenté d une unité à chque fois qu une lettre de w t est lue. Lorsque ce compteur tteint w t, on utilise une ε-trnsition pour réinitiliser l troisième composnte à ε et l qutrième à 0. De plus, pour simuler le comportement de A et T, l première composnte psse à δ(q, σ) et l deuxième à δ (q, σ). Il nous suffit de montrer que T (L) = L(B). Soit w T (L). Il existe x = x 1 x r L tel que T (x) = w. Comme précédemment, w t est l sortie correspondnt à x t et on note k t = w t. L exécution de x dns A donne l suite d étts q 0 = p 0, p 1,..., p r où p r F cr x L. De fçon semlle, l lecture de x dns T conduit à l suite q 0 = p x 1 /w 1 0 p x 2 /w 2 1 p 2 xr/wr p r. On note w t = w t1 w tkt. Ainsi, dns B, l lecture de w peut conduire à l suite d étts (p 0, p ε 0, ε, 0) (p } {{ } 0, p 0, x 1, 0) w 11 (p 0, p 0, x 1, 1) w1k 1 (p0, p 0, x 1, k 1 ) ε =q 0 (δ(p 0, x 1 ), δ (p 0, x 1 ), ε, 0) } {{ } ε (p 2, p ε 2, ε, 0). ε =(p 1,p 1,ε,0) (p 2, p 2, x 3, 0) ε (p 1, p 1, x 2, 0) w 21 w2k 2 (p1, p 1, x 2, k 2 ) (p r 1, p ε r 1, ε, 0) (p r 1, p r 1, x r, 0) w r1 wrkr (p r 1, p r 1, x r, k r ) ε (p r, p r, ε, 0) F. Ceci prouve que le mot w = w 11 w 1k1 w 21 w 2k2 w r1 w rkr est ccepté pr B. Pour l utre inclusion, si w L(B), lors cel signifie que prtnt de l étt initil q 0, on dispose d un chemin conduisnt à un étt

92 88 Chpitre V. Quelques compléments sur les lngges réguliers finl de F. Ainsi, pr définition de B, on retrouve un mot x L tel que T (x) = w et pr conséquent, w pprtient ien à T (L). Remrque V.1.7. Au vu de l exemple V.1.4 et du théorème précédent, on retrouve comme cs prticulier, le fit que l ensemle des lngges réguliers est stle pr morphisme (cf. proposition II.3.4). L ensemle des lngges réguliers est ussi stle pr imge inverse pr trnsduction. Proposition V.1.8. Soient L un lngge régulier et T un trnsducteur. Le lngge T 1 (L) = {x Σ T (x) L} est régulier. Démonstrtion. Il est isé de construire un AFD cceptnt T 1 (L) à prtir d un AFD A = (Q, q 0, F,, δ) cceptnt L et du trnsducteur T = (Q, q 0, Σ, δ,, τ) donné dns l énoncé. Soit l AFD B = (Q, q 0, F, Σ, δ ) défini pr Q = Q Q, q 0 = (q 0, q 0), F = Q F et pour tout σ Σ, δ ((q, q), σ) = (δ (q, σ), δ(q, τ(q, σ))). L première composnte simule le trnsducteur T et l seconde composnte simule l utomte A sur l sortie produite pr T. Ainsi, il est clir que L(B) = T 1 (L). 2. Recherche d un mot dns un texte Une ppliction prtique des utomtes concerne l recherche d un mot dns un texte. En effet, les tritements de textes que l on peut trouver sur n importe quelle plte-forme utilisent de mnière interne des lgorithmes sés sur l construction d utomtes pour implémenter les fonctions ien utiles de recherche ( find, find nd replce, etc... ). A titre indictif 2, Tcl, Perl, Python, GNU Emcs, ed, sed, vi, l pluprt des versions de grep et certines versions de egrep et wk utilisent des AFND. Pr contre, l mjorité des versions de egrep et wk, lex et flex utilisent qunt à eux des AFD. Notre ut est ici de rechercher les occurrences d un mot u dns un texte T écrit sur l lphet Σ (un texte étnt une suite finie de symoles de Σ, O Reilly. 2 Pour plus de détils, voir pr exemple, J.E.F. Friedl, Mstering Regulr Expressions,

93 V.2. Recherche d un mot dns un texte 89 il s git simplement d un mot sur Σ). Ainsi, nous recherchons un AFD cceptnt le lngge L = Σ u. Pour ce fire, nous llons décrire l utomte miniml de ce lngge. étts sont de l forme w 1.L vec w Σ. Ainsi, v w 1.L wv Σ u. Pour décrire les ensemles w 1.L, il est utile d introduire, pour tout préfixe p de u, l ensemle E u (p) = {γ Σ α, β Σ : p = βα, u = α γ} formé des suffixes de u qui, complétés pr un suffixe de p, donnent u. On remrque qu vec cette définition, u pprtient toujours à E u (p). Soit v pprtennt à w 1.L. Si v u, lors v pprtient à L cr v possède u comme suffixe. On en conclut donc que w 1.L L. Sinon, v < u. Dns ce cs, on pose α w,u comme étnt le plus grnd suffixe de w qui soit préfixe de u. Il est clir que α w,u et E u (α w,u ) dépendent uniquement de u et w. Les w v Figure V.3. wv pprtient à Σ u. u Exemple V.2.1. Avec les nottions précédentes, si w = et u =, lors } {{ } et } {{ } w w pprtiennent à L = Σ u. Ici, α w,u = cr De plus, on u = w = E u (α w,u ) = {,, u} En effet, les suffixes de α w,u sont ε,,,. Prmi eux, et sont préfixes de u et on les fctoristions suivntes, α {}}{ {}}{ u = }{{} et u = α w,u β. α {}}{ } {{ } α w,u.

94 90 Chpitre V. Quelques compléments sur les lngges réguliers Ainsi, on se convinc isément que Si u = u 1 u l, les préfixes de u sont w 1.L = L E u (α w,u ). p 0 = ε, p 1 = u 1,..., p l = u 1 u l. Les étts de l utomte miniml de L sont donc les L E u (p i ), i {0,..., l}. Au vu de ce qui précède, il est clir que L E u (p i ) = p 1 i.l. Si on se rppelle l définition de l utomte miniml d un lngge, on retrouve les crctéristiques de celui-ci. L étt initil est tel que p 1 i.l = L, et donc i = 0. En effet, si 0 < i l, p 1 i.l contient u moins un mot de longueur strictement inférieure à u, lors que L ne contient que des mots de longueur u moins u. Un étt est finl si et seulement si ε p 1 i.l. Donc, le seul étt finl est p 1 l.l. Recherchons l fonction de trnsition de l utomte. Si σ Σ, lors pr définition de δ L, on δ L (p 1 i.l, σ) = (p i σ) 1.L. De plus, si σ = u i+1, lors p i σ = p i+1. Sinon, σ u i+1 et (p i σ) 1.L = p 1 j.l où p j est le plus grnd préfixe de u qui soit suffixe de p i σ. (Définition somme toute ssez nturelle u vu de l défintion des ensemles E u (p).) Ainsi, pour un mot u donné, il est fcile de construire l tle de l utomte. Nous convenons de noter i l étt correspondnt à p 1 i.l. Exemple V.2.2. Soit u =. On i p i δ(i, ) δ(i, ) 0 ε 1 cr ε = p 1 0 cr p 0 suffixe de 1 1 cr p 1 suffixe de 2 cr = p cr p 1 suffixe de 3 cr = p cr = p 4 0 cr p 0 suffixe de 4 1 cr p 1 suffixe de 5 cr = p cr p 1 suffixe de 3 cr p 3 suffixe de et on trouve l utomte représenté à l figure V.4. Si on doit écrire un progrmme détectnt l première occurrence de dns un texte fourni en entrée, il suffit de décréter que l procédure s rrête une fois l étt 5

95 V.2. Recherche d un mot dns un texte Figure V.4. Un utomte détectnt. tteint. Si on devit compter le nomre d occurrence du fcteur dns un texte donné, on pourrit décider d incrémenter un compteur d une unité à chque fois que l étt 5 serit tteint. Remrque V.2.3. L construction de l tle de trnsition de l utomte s effectue en un temps proportionnel à u. En effet, le nomre d étts est u +1 et pour chque étt et chque lettre de l lphet, une seule opértion de comprison de mots est nécessire pour déterminer l étt tteint. Une fois l tle de trnsition construite, l recherche d un mot dns un texte T prend un temps proportionnel à T puisque le texte T est lu lettre pr lettre dns l utomte. Exemple V.2.4. En ppliqunt l construction détillée dns cette section, on peut construire isément un utomte reconnissnt l séquence génétique gt. Cet utomte est représenté à l figure V.5. De même, g,c,t g,c,t c,t g,c,t c g g t g gt c,t Figure V.5. Un utomte détectnt gt. pour rechercher le mot nns dns un texte, on l utomte de l figure V.6. Sur cette dernière, toutes les trnsitions non représentées outissent à l étt initil, l lphet étnt {,,..., z}.

96 92 Chpitre V. Quelques compléments sur les lngges réguliers n n s n Figure V.6. Un utomte détectnt nns. 3. Fonction de complexité d un lngge régulier Définition V.3.1. Soit L Σ. L fonction de complexité du lngge L est l fonction ρ L : N N : n #(L Σ n ). Cette fonction ssocie donc à n le nomre de mots de longueur n dns le lngge L. Le ut de cette section est d étudier l fonction de complexité d un lngge régulier. Le résultt principl est que l suite (ρ L (n)) n N stisfit une reltion de récurrence linéire à coefficients constnts. Soit L Σ un lngge régulier ccepté pr un AFD A = (Q, q 0, F, Σ, δ). Il est clir que ρ L (n) est le nomre de chemins de longueur n déutnt dns q 0 et se terminnt dns un étt finl de F. Le prolème posé se rmène donc à un prolème de dénomrement de chemins dns un grphe. Définition V.3.2. Soit A = (Q, q 0, F, Σ, δ) un AFD. L mtrice d djcence de A est l mtrice donnée pr M q,r = #{σ Σ δ(q, σ) = r}, q, r Q. Exemple V.3.3. Considérons l utomte miniml du lngge sur {, } formé des mots ne contennt ps deux consécutifs., Figure V.7. AFD cceptnt les mots ne contennt ps. L mtrice d djcence de A est Proposition V.3.4. Soient A = (Q, q 0, F, Σ, δ) un AFD et M s mtrice d djcence. Pour tous q, r Q et tout n N, [M n ] q,r est le nomre de chemins de longueur n joignnt q à r.

97 V.3. Fonction de complexité d un lngge régulier 93 Démonstrtion. On procède pr récurrence sur n. Si n = 0 ou n = 1, le résultt est évident. Supposons l propriété stisfite pour n et vérifions-l pour n + 1. Il vient [M n+1 ] q,r = [M n.m] q,r = s Q[M n ] q,s M s,r. Pr hypothèse de récurrence, [M n ] q,s compte le nomre de chemins de longueur n joignnt q à s. Or, il est clir que le nomre de chemins de longueur n + 1 joignnt q à r s otient à prtir des chemins de longueur n joignnt q et s et des chemins de longueur 1 joignnt s à r. n s 1 q r Figure V.8. Chemins de longueur n + 1 joignnt q à r. Corollire V.3.5. Soient A = (Q, q 0, F, Σ, δ) un AFD cceptnt L et M s mtrice d djcence. On ρ L (n) = f F[M n ] q0,f. Démonstrtion. C est évident. Exemple V.3.6. Poursuivons l exemple V.3.3. Les premières puissnces de l mtrice d djcence de A sont M 2 = 1 1 2, M 3 = 2 1 5, M 4 = , Ainsi, on peut remrquer qu il y 2 chemins (resp. 1 chemin) de longueur 2 de l étt 1 vers 1 (resp. 2). En sommnt les deux, il y donc 3 chemins de longueur 2 pprtennt u lngge ccepté pr l utomte. Ou encore, on trouve 8 mots de longueur 4 dns ce lngge. Nous llons à présent fournir une méthode générle permettnt de clculer ρ L (n). En vertu du théorème de Cyley-Hmilton, toute mtrice nnule son polynôme crctéristique 3 det(m λi). Si #Q = k, l mtrice 3 On peut fire tout le risonnement qui suit en considérnt non ps le polynôme crctéristique de M, mis son polynôme minimum.

98 94 Chpitre V. Quelques compléments sur les lngges réguliers M est une mtrice crrée de dimension k et det(m λi) est un polynôme monique à coefficients entiers de degré k en λ. Ainsi, il existe c 1,..., c k Z tels que M k = c 1 M k c k I. En multiplint les deux memres de cette églité pr M n k, on trouve pour tout n k, M n = c 1 M n c k M n k. Ceci signifie que les coefficients de M n stisfont une reltion de récurrence linéire à coefficients constnts, i.e., pour tous q, r Q et tout n k, [M n ] q,r = c 1 [M n 1 ] q,r + + c k [M n k ] q,r. En conséquence du corollire V.3.5, il vient ρ L (n) = c 1 ρ L (n 1) + + c k ρ L (n k), n k. Le prolème revient à réussir à exprimer ρ L (n) sous l forme d une formule close. Cette question à propos des suites linéires récurrentes est en toute générlité difficile à résoudre. On dispose du résultt suivnt que nous donnons ici sns démonstrtion. Proposition V.3.7. Soit k 1.Si une suite (u n ) n N stisfit une reltion de récurrence linéire à coefficients constnts de l forme u n = c 1 u n c k u n k, n k et si α 1,..., α r sont les rcines de multiplicité m 1,..., m r du polynôme crctéristique de l récurrence X k c 1 X k 1 c k, lors il existe des polynômes P i de degré strictement inférieur à m i, i {1,..., r}, tels que u n = P 1 (n) α n P r (n) α n r. En prticulier, les polynômes P 1,..., P r sont entièrement déterminés pr les conditions initiles u 0,..., u k 1. Ainsi, ce théorème nous montre que rechercher une forme close pour ρ L (n) revient à rechercher les rcines d un polynôme de degré k. Exemple V.3.8. Poursuivons l exemple V.3.3. Le polynôme crctéristique de l mtrice d djcence est donné pr 1 λ 1 0 det 1 λ 1 = (2 λ)(λ 2 λ 1) λ Ainsi, puisque (2 λ)(λ 2 λ 1) = λ 3 + 3λ 2 λ 2,

99 V.3. Fonction de complexité d un lngge régulier 95 en vertu du théorème de Cyley-Hmilton, on et donc pour tout n 3, M 3 = 3M 2 M 2I M n = 3M n 1 M n 2 2M n 3. En conséquence du corollire V.3.5, on De plus, ρ L (n) = 3 ρ L (n 1) ρ L (n 2) 2 ρ L (n 3), n 3. ρ L (0) = 1, ρ L (1) = 2 et ρ L (2) = 3 cr ε,,,,, pprtiennent à L. Pour déterminer une formule close pour ρ L (n), nous fctorisons tout d ord le polynôme crctéristique de l reltion de récurrence, X 3 3X 2 + X + 2 = (X 2)(X )(X 1 5 ). 2 2 En vertu de l proposition V.3.7, puisque les trois rcines du polynôme sont simples, il existe trois constntes A, B, C telles que ( ρ L (n) = A2 n 1 + ) n ( 5 1 ) n 5 + B + C, n Au vu des conditions initiles, on le système suivnt 1 = A + B + C ) ) et on trouve Pr conséquent, (4) ρ L (n) = = 2A + B ( = 4A + B ( A = 0, B = ( ( + C ) 2 ( + C ) 2 et C = ) n ( ) n Remrque V.3.9. L présence d un puits, ou plus générlement d un étt non coccessile (i.e., depuis lequel on ne peut tteindre ucun étt finl), n ps d influence sur le nomre de mots de longueur n présents dns le lngge. Ainsi, il est commode dns les exercices de considérer un utomte émondé privé de tels étts. On pourrit insi reprendre l exercice précédent en ne considérnt dns l utomte de l figure V.7 que les étts 1 et 2. Une utre méthode fort utile dns le cdre des équtions linéires récurrentes consiste à utiliser l notion de série génértrice. Ainsi, si (u n ) n N est une suite, on note symoliquement F u (X) = k 0 u k X k

100 96 Chpitre V. Quelques compléments sur les lngges réguliers l série génértrice de cette suite. Il s git d une mnière commode de coder les éléments de (u n ) n N. On peut définir l somme et le produit de deux séries formelles pour munir l ensemle des séries d une structure d nneu. Proposition V Si (u n ) n N stisfit l éqution linéire récurrente homogène de degré k k n 0, u n+k = i u n+k i vec comme conditions initiles u 0 = 0,..., u k 1 = k 1, lors l série génértrice F u est l frction rtionnelle k 1 i=0 F u (X) = i X i i+j<k i j X i+j 1 k i=1 i X i Démonstrtion. Il vient F u (X) = n 0 u n X n i=1 = k 1 u n+k X n+k + u i X i n 0 i=0 = ( k ) k 1 i u n+k i X n+k + i X i n 0 = = i=1 i=0 k i X k 1 i u n+k i X n+k i + i X i n 0 i=1 k i X i F u (X) i=1 k i 1 j=0 i=0 k 1 u j X j + i X i On utilisé ci-dessus le fit qu il s git de sommtions formelles et qu il n y donc ucune ojection à permuter les différents symoles sommtoires. Pr conséquent, on otient ( 1 ) k k 1 i X i F u (X) = i X i i=1 d où l conclusion cr k i=1 k i 1 j=0 i=0 i u j X i+j = i+j<k k i=1 k i 1 j=0 i j X i+j. i=0 i u j X i+j Pour otenir une expression de (u n ) n N, il suffit de décomposer F u en frctions simples puis de développer celles-ci en série de puissnces. Une fois cel fit, il ne reste plus qu à identifier les coefficients correspondnts. Nous llons illustrer cette technique sur un exemple.

101 V.3. Fonction de complexité d un lngge régulier 97 Exemple V Résolvons l exemple V.3.3 en utilisnt les séries génértrices. Nous svons déjà que ρ L (n) = 3 ρ L (n 1) ρ L (n 2) 2 ρ L (n 3), n 3. Considérons l série génértrice On F (X) = n 3 F (X) = n 0 ρ L (n) X n. ρ L (n) X n + ρ L (2) X 2 + ρ L (1) X 1 + ρ L (0) X 0 = n 3[3 ρ L (n 1) ρ L (n 2) 2 ρ L (n 3)] X n + 3X 2 + 2X + 1 = 3X [F (X) ρ L (0) ρ L (1)X] X 2 [F (X) ρ L (0)] 2X 3 F (X) +3X 2 + 2X + 1 = (3X X 2 2X 3 )F (X) 2X 2 X + 1 et donc 2X 2 + X 1 F (X) = 2X 3 + X 2 3X + 1 = (2X 1)(X + 1) (2X 1)(X )(X ). Si on développe F (X) en frction rtionnelles, on otient F (X) = α X β X et { α + β = 1 α(1 5) + β(1 + 5) = 2. De là, on tire α = 5 5, β = Pour le développement en série de puissnces, il est utile de rppeler les reltions suivntes 1 1 γ X = γ k X k. k 0 et 1 (1 γ X) 2 = 1 γ D 1 x 1 γ X = k γ k 1 X k 1 k 1 où D x est une dérivtion formelle 4 1. D une mnière générle, (1 γ X) est proportionnel à Dx p 1 1 p 1 γ X et il suffit donc de dériver formellement k 0 γk X k. 4 Les détils et les justifictions sortent du cdre de ce cours.

102 98 Chpitre V. Quelques compléments sur les lngges réguliers Ainsi, sur notre exemple, il ne reste plus qu à développer F (X) en série de puissnces en utilisnt l première reltion pour otenir α 2 = α X X = α ( )k X k, 5 k 0 et β 2 = β X X = β 2 1 ( )k X k. 5 k 0 En identifint les coefficients, on trouve l formule close recherchée : ρ L (n) = ( ) n ( ) n } {{ } } {{ } } {{ } } {{ } On retrouve ien l solution donnée en (4) à des réécritures lgériques près. Pour conclure cette section, on dispose encore du résultt suivnt. Proposition V Soit L un lngge régulier ccepté pr un AFD ccessile A. Le polynôme minimum de l mtrice d djcence de A est divisile pr le polynôme minimum de l mtrice d djcence de l utomte miniml A L de L. Démonstrtion. Soit M (resp. N) l mtrice d djcence de l AFD ccessile A = (Q, q 0, F, Σ, δ) (resp. de A L = (Q L, q 0,L, F L, Σ, δ L )). Au vu du théorème IV.3.8, pour tous p, q Q L et tout mot w de longueur k tel que δ L (p, w) = q, il existe une ppliction Φ : Q Q L et des étts p et q de Q tels que Φ(p ) = p, Φ(q ) = q et δ L (Φ(p ), w) = Φ(δ(p, w)) = Φ(q ) = q. p w q" q Φ Φ p w q Figure V.9. Projection Φ : Q Q L sur A L. Ainsi, il est clir que [N k ] p,q = [M k ] p,q. q Φ 1 (q)

103 V.4. Monoïde syntxique 99 En effet, puisque A est déterministe, on ne doit prendre en compte qu un seul p Φ 1 (p) cr sinon, on compterit un même mot plus d une fois. Pr conséquent, si M nnule un polynôme 5, N l nnule ussi. En prticulier, M nnule son polynôme minimum donc N nnule le polynôme minimum de M. Pour conclure, il suffit de se rppeler que le polynôme minimum de N divise tout polynôme nnulé pr N. 4. Monoïde syntxique Lorsqu on étudie les lngges formels, certines de leurs propriétés peuvent s exprimer en termes lgériques en introduisnt l notion de monoïde syntxique. Le ut de cette section est de fournir quelques rudiments concernnt cet outil puissnt 6. Définition V.4.1. Soit L Σ un lngge (régulier ou non). On définit sur Σ l reltion suivnte. Soient u, v Σ. On u L v ( x, y Σ : xuy L xvy L). Il est fcile de vérifier qu il s git d une reltion d équivlence sur Σ et même d une congruence (à droite et à guche), i.e., pour tout σ Σ, u L v (uσ L vσ et σu L σv). On prle souvent de l congruence syntxique L et on dit que u et v sont syntxiquement équivlents. Remrque V.4.2. Nous vons montré que L est une congruence à guche et à droite. Mis en toute générlité, une congruence doit respecter l propriété suivnte: si x L x et si y L y, lors xy L x y, c est-à-dire qu elle doit ien se comporter pr rpport u produit envisgé, à svoir ici, l concténtion. Et ceci est ien le cs cr pour tous α, β Σ, il vient αxyβ L αx yβ L αx y β L. Dns cette section, on noter simplement [w] l clsse d équivlence pour L étnt convenu que l reltion L est sous-entendue. Bien évidemment, [w] est un ensemle de mots, donc un lngge. 5 P Soit P (z) = n i=0 i zi tel que P (M) = 0. En prticulier, pour tous p, q, P n i=0 i (M i ) p,q = 0 et donc P P n q Φ 1 (q) i=0 i (M i ) p,q = 0. En permutnt les sommes, on otient P n P i=0 i q Φ 1 (q) (M i ) p,q = 0 puis P n i=0 i(n i ) p,q = 0 et donc P (N) = 0. 6 En effet, on peut pr exemple montrer qu un lngge peut s exprimer à prtir d ensemles finis en utilisnt un nomre fini d opértions d union, de concténtion, d intersection et de complémenttion (on prle lors à juste titre de lngge sns étoile, ou str-free ) si et seulement si son monoïde syntxique ne contient que des sous-groupes triviux. Ce résultt de nture lgérique est dû à M.P. Schützenerger.

104 100 Chpitre V. Quelques compléments sur les lngges réguliers Exemple V.4.3. Soit L, le lngge formé des mots sur {, } ne contennt ps deux consécutifs. On remrque tout d ord que xy L (x L et y L). De là, on en tire que l clsse de pour l congruence syntxique L est de l forme [] = {w w L} {}. En prticulier, ε []. Nous llons voir qu on peut munir l ensemle quotient Σ / L, i.e., l ensemle des clsses d équivlence pour L, d une structure de monoïde. Définition V.4.4. Soit l opértion définie pr : Σ / L Σ / L Σ / L : ([x], [y]) [x] [y] [x] [y] = [z] si [x] [y] [z] où représente l opértion de concténtion de lngges 7. L ppliction est ien définie cr u vu de l remrque V.4.2, l définition ne dépend ps du représentnt choisi. Remrque V.4.5. Il est évident que [x] [y] = [xy]. Remrque V.4.6. On remrque qu effectivement, l concténtion de deux clsses [x] [y] est formé de mots équivlents mis qu en générl, il s git d un sous-ensemle strict de l clsse d équivlence [xy]. En considérnt à nouveu le lngge L formé des mots sur {, } ne contennt ps deux consécutifs, on [] [] = [] = []. Cependnt, le mot (ou même ) pprtient ien à [] mis ne peut ps se fctoriser sous l forme Ceci montre ien que [] [] []. = xy vec x, y []. Proposition V.4.7. Muni de l opértion, l ensemle quotient Σ / L possède une structure de monoïde. Démonstrtion. Le neutre est [ε], i.e., pour tout x Σ, on [x] [ε] = [x]. De plus, l opértion est ssocitive, i.e., pour tous x, y, z Σ, ([x] [y]) [z] = [x] ([y] [z]). 7 Opértion tout à fit nturelle, puisqu une clsse d équivlence pour L est, comme nous l vons déjà remrqué, un ensemle de mots. Ainsi, on définit une nouvelle opértion, à prtir d une ncienne, l concténtion.

105 V.4. Monoïde syntxique 101 Cel résulte de l remrque V.4.5. Définition V.4.8. Le monoïde (Σ / L, ) est le monoïde syntxique de L. On note simplement π le morphisme cnonique π : Σ Σ / L : w [w]. Le résultt suivnt fournit un moyen explicite pour rechercher le monoïde syntxique d un lngge. Théorème V.4.9. Soient L Σ un lngge et w, w deux mots sur Σ. On w L w si et seulement si pour tout étt q de l utomte miniml de L, δ L (q, w) = δ L (q, w ). Démonstrtion. Supposons qu il existe dns l utomte miniml de L, un étt tel que δ L (q, w) δ L (q, w ). Puisque l utomte miniml est réduit (cf. proposition IV.3.10), il existe un mot z Σ tel que δ L (δ L (q, w), z) soit finl et δ L (δ L (q, w ), z) ne le soit ps (ou réciproquement, mis pr souci de simplifiction, nous supposerons être dns un tel cs de figure). De plus, l utomte miniml est ccessile. Cel signifie qu il existe un mot x Σ tel que δ L (q 0,L, x) = q. Schémtiquement, nous vons l sitution suivnte reprise en figure V.10. Pr z q 0 x q w w z Figure V.10. Sitution dns l utomte miniml. conséquent, xwz L et xw z L. Ainsi, les deux mots w et w ne sont ps syntxiquement équivlents. Pssons à l réciproque. Si pour tout étt q de A L, on δ L (q, w) = δ L (q, w ), lors pour tout mot x Σ, δ L (q 0,L, xw) = δ(q 0,L, xw ) et dès lors, puisque l utomte miniml est déterministe, pour tout y Σ, on δ L (q 0,L, xwy) = δ L (q 0,L, xw y). Schémtiquement, on l sitution représentée à l figure V.11 Ainsi, pour tous x, y Σ, xwy L xw y L.

106 102 Chpitre V. Quelques compléments sur les lngges réguliers x w q 0 w y Figure V.11. Sitution dns l utomte miniml. Soit A L = (Q L, q 0,L, F L, σ, δ L ) l utomte miniml d un lngge L. A tout mot w Σ, il correspond une unique fonction f w : Q L Q L définie pr f w : Q L Q L : q δ L (q, w). Pour un lngge L donné, on note H L = {f w w Σ }. Muni de l opértion de composition de fonctions, H L est un monoïde ynt id pour neutre. On f ww = f w f w cr pour tout q, f ww (q) = q.ww = (q.w).w = f w (f w (q)). Corollire V L ppliction est un isomorphisme de monoïdes. R : Σ / L H L : [w] f w Démonstrtion. Cel résulte directement du théorème précédent. En effet, deux mots w et w sont syntxiquement équivlents si et seulement si ils ont l même ction sur tous les étts de Q L, c est-à-dire, si f w = f w. Le théorème V.4.9 été énoncé pour un lngge L ritrire. Dns le cs d un lngge régulier, on otient un monoïde syntxique fini. Corollire V Un lngge L est régulier si et seulement si son monoïde syntxique est fini. Démonstrtion. Si l utomte miniml A L de L est fini, l ensemle Q L des étts de A L possède un nomre fini n d éléments. Le nomre de fonctions de Q dns Q est u plus n n et pr conséquent, le monoïde syntxique de L possède u plus n n éléments. Pour l réciproque, u vu du théorème V.4.9, si δ L (q 0, w) δ L (q 0, w ), lors w L w. Pr conséquent, le nomre d étts de l utomte miniml de L est mjoré pr le nomre de clsses du monoïde syntxique de L. De là, si Σ / L est fini, lors l utomte miniml de L est fini et le lngge L est régulier. Le corollire V.4.10 permet de clculer l tle du monoïde syntxique d un lngge régulier L.

107 V.4. Monoïde syntxique 103, Figure V.12. AFD cceptnt les mots ne contennt ps. Exemple V Considérons une fois encore l utomte miniml du lngge formé des mots ne contennt ps deux consécutifs. Les fonctions de H L sont données pr q f ε (q) f (q) f (q) f (q) f (q) f (q) Cet ensemle urit pu contenir u plus 3 3 = 27 fonctions. Pour vérifier qu il n y ps d utres pplictions dns H L, on peut construire de proche en proche un grphe fini de l mnière suivnte. Si Q L = {1,..., n}, lors on initilise l construction vec un unique sommet correspondnt u n-uple d étts (1,..., n). Ensuite, on pplique les fonctions f σ, σ Σ, à chque étt nouvellement créé. Si (q 1,..., q n ) est un étt du grphe, lors on trce un rc de lel σ joignnt ce sommet u sommet (f σ (q 1 ),..., f σ (q n )). L procédure s rrête lorsque plus ucun nouvel étt n est créé. L ppliction de cette procédure donne le grphe de l figure V.13. (1,2,3) (1,1,3) (2,2,3) (2,3,3) (1,3,3) (3,3,3), Figure V.13. Grphe ssocié à H L. Deux mots w et w sont syntxiquement équivlents si l lecture de ces deux mots depuis l étt initil outit dns un même étt. En effet, pr construction du grphe, cel signifie que f w = f w et donc que les deux mots ont tous deux l même ction sur les étts de l utomte miniml. Pr exemple, L et L.

108 104 Chpitre V. Quelques compléments sur les lngges réguliers Si on note f w simplement w, on otient l tle du monoïde H L muni de l opértion de composition : ε ε ε Au vu de l isomorphisme donné dns le corollire V.4.10, il s git églement de l tle du monoïde syntxique de L pour lquelle w représente lors [w]. Nous llons considérer un second exemple. Ceci s vérer prticulièrement utile pour illustrer les résultts de l section suivnte. Exemple V Considérons le lngge L formé des mots comprennt un nomre pir de et de. L utomte miniml de L est représenté à l figure V.14. En effectunt les mêmes développements que dns l exemple Figure V.14. Automte miniml de L = {w : w w 0 (mod 2)}. précédent, on otient l tle de multipliction du monoïde syntxique de L : ε ε ε ε ε ε On s perçoit que chque élément est idempotent et que le monoïde syntxique de L est en fit un groupe (puisque chque élément possède un inverse, à svoir lui-même). Ce groupe est isomorphe à un sous-groupe de S 4 des

109 V.5. Lngges sns étoile 105 permuttions à 4 éléments constitué des permuttions suivntes, ( ) ( ) ( ) ( ) ,,, Lngges sns étoile Cette section met en lumière une ppliction du monoïde syntxique. En effet, l étude de ce dernier permet de déterminer isément si un lngge est ou non sns étoile. Commençons donc pr définir ce que l on entend pr lngge sns étoile. Définition V.5.1. Un lngge régulier L Σ est dit sns étoile s il peut être otenu à prtir de lngges finis (ou vides) en ppliqunt un nomre fini de fois des opértions d union, d intersection, de concténtion et de complémenttion (pr rpport à Σ ). En résumé, on s interdit d utiliser l étoile de Kleene. Remrque V.5.2. Il serit fcile de définir les expressions régulières sns étoile permettnt de générer exctement les lngges réguliers sns étoile. Il suffit pour cel d dpter les règles de construction données à l définition I.3.1. Exemple V.5.3. Soit Σ = {, }. Pr exemple, Σ est sns étoile cr il s otient comme Σ \. Le lngge L des mots sur Σ ne contennt ps le fcteur est ussi sns étoile. En effet, L = Σ \ (Σ Σ ) et nous vons vu que Σ étit lui-même sns étoile. Enfin, le lngge () est ussi sns étoile cr () = Σ \ (Σ + Σ + Σ Σ + Σ Σ ). Comme le montre ce dernier exemple, il peut être ssez difficile de déterminer si un lngge donner peut ou non être mis sous une forme sns étoile. En prticulier, comment pouvons-nous démontrer qu un lngge régulier donné n est ps sns étoile? Nous llons voir que l théorie du monoïde syntxique permet de donner un lgorithme efficce pour répondre à cette question. Les résultts suivnts sont d ppliction dns tout semi-groupe fini. Rppelons qu un semi-groupe est un ensemle muni d une opértion (inire, interne et prtout définie) ssocitive 8. Dns un semi-groupe S, un élément e est qulifié de neutre si s S, s e = s = e s. 8 Un monoïde est un semi-groupe possédnt un neutre.

110 106 Chpitre V. Quelques compléments sur les lngges réguliers De même, un élément e est qulifié de zéro si s S, s e = e = e s. Proposition V.5.4. Si un semi-groupe possède un neutre (resp. un zéro), lors celui-ci est unique. Démonstrtion. C est trivil. Théorème V.5.5. Soit (S, ) un semi-groupe fini. Pour tout S, il existe des entiers positifs m et r tels que,..., m,..., m+r 1 soient distincts et mis tels que m+r = m. De plus, l restriction de l opértion à l ensemle C = { m,..., m+r 1 } forme un groupe cyclique d ordre r. Démonstrtion. Puisque S est fini, prmi, 2,..., #S+1 u moins deux éléments sont égux. Soient m, r 1 tels que m = m+r soit l première répétition d un même élément dns l liste donnée ci-dessus. En prticulier,,..., m 1, m,..., m+r 1 sont deux à deux distincts. m+1 2 m m+r 1 Figure V.15. Indice et période. Il est clir que m+t = m+s si et seulement si t s (mod r). Ainsi, pour tous i, j 0, m+i m+j = m+k où k m + i + j (mod r). Ceci montre que le produit de deux éléments de C pprtient encore à C (i.e., C forme un sous-semi-groupe). Il nous reste à vérifier que C est en fit un groupe cyclique en montrnt qu il est isomorphe à (Z r, +). Soit ϕ : C Z r : m+i m + i (mod r). Puisque m, m + 1,..., m + r 1 sont r entiers consécutifs, il est clir que ϕ est une ijection. Il reste à vérifier qu il s git d un homomorphisme. D une prt, ϕ( m+i m+j ) = ϕ( 2m+i+j ) = 2m + i + j (mod r) et d utre prt, ϕ( m+i ) + ϕ( m+j ) = m + i + m + j (mod r).

111 V.5. Lngges sns étoile 107 Définition V.5.6. Soient S un semi-groupe et S. L entier m (resp. r) dont il est question dns le théorème V.5.5 est ppelé l indice (resp. l période) de l élément. Exemple V.5.7. Prenons comme semi-groupe S, le monoïde syntxique otenu dns l exemple V Si, une fois encore, on s utorise à noter [w] simplement w, on trouve les périodes suivntes pour les éléments du monoïde, indice m période r ε ε 2 = ε = 3 = = = = = 1 1 En guise de comprison, considérons cette fois, le monoïde syntxique donné dns l exemple V On trouve, indice m période r ε ε 2 = ε = ε 3 = = ε 3 = = ε 3 = 1 2 On voit donc dns le premier exemple que tous les éléments sont de période 1, ce qui n est ps le cs du second exemple. Avnt d énoncer le résultt suivnt, rppelons qu un groupe est trivil s il est restreint u seul neutre. Si S est un semi-groupe sns neutre (i.e., si S est un semi-groupe qui n est ps un monoïde), on introduit le monoïde S 1 où S 1 = S {1} vec 1, un nouvel élément n pprtennt ps S. On étend l opértion de S comme suit, s S, 1 s = s = s 1. Si S est un monoïde, on pose pr convention S 1 = S. Théorème V.5.8. Soit (S, ) un semi-groupe fini. Les conditions suivntes sont équivlentes. (i) Les sous-groupes de S mximux (pour l inclusion) sont triviux. (ii) Tout élément de S est de période 1. (iii) Il existe n > 0 tel que pour tout S, n = n+1. Démonstrtion. (i) (ii). Supposons que les seuls sous-groupes de S sont triviux. Avec les nottions du théorème précédent, pour tout S, C est trivil. Ceci signifie en prticulier que l période de vut 1. (ii) (iii). Supposons à présent que tout élément de S est de période 1 et notons #S = n. Soit S. Nous llons montrer que n = n+1. Prmi, 2,..., n+1, on trouve u moins deux fois le même élément. Pr

112 108 Chpitre V. Quelques compléments sur les lngges réguliers Pensez à l tle de Cyley d un groupe. conséquent, l indice i de est u plus n. Or pr hypothèse, est de période 1. Pr conséquent, on otient i = i+1 = = n = n+1 vec i n. (iii) (i). Soient G un sous-groupe de S et x, y deux éléments quelconques de G (ps nécessirement distincts). Il existe,, c, d G tels que x = y, x = y, cy = x, yd = x. De là, on tire x = cy = cx et donc x = c n x n. Enfin, on otient y = x = c n x n+1 = c n x n = x et le groupe est donc trivil puisqu il est restreint à un seul élément. Définition V.5.9. Un semi-groupe stisfisnt les propriétés du théorème précédent est qulifié d périodique. Exemple V Au vu de l exemple V.5.7, le monoïde syntxique de l exemple V.4.12 est périodique. On pourrit vérifier qu il ne contient que des sous-groupes triviux. En effet, l restriction du produit ux ensemles {ε}, {}, {}, {}, {} en font des groupes restreints à un unique élément idempotent. Il est clir que si s est un élément idempotent d un semi-groupe S, lors {s} est un sous-groupe (trivil) de S. Pr contre, le monoïde syntxique de l exemple V.4.13 n est ps périodique. En effet, nous vions déjà remrqué qu il s gissit d un groupe. En outre, l restriction du produit à l ensemle {ε, } est ussi un groupe (non trivil). Le théorème précédent nous fournit un lgorithme pour décider si un semi-groupe fini est périodique. Test du crctère périodique d un semi-groupe. (1) Choisir un élément quelconque S et clculer l ensemle + de ses puissnces successives. (2) Trois cs peuvent se présenter: L période de n est ps 1. L lgorithme s chève, S n est ps périodique. L période de est 1 et S = +. L lgorithme s chève, S est périodique. L période de est 1 et S +. Remplcer S pr S \ + et répéter (1). Nous pouvons à présent énoncer le théorème de Schützenerger crctérisnt les lngges sns étoiles. Théorème V.5.11 (Schützenerger). Un lngge régulier est sns étoile si et seulement son monoïde syntxique est périodique.

113 V.6. Exercices 109 L preuve de ce résultt sort du cdre introductif de ce cours. On pourr pr exemple consulter l ouvrge de Lwson ou de Perrin (cf. iliogrphie). Corollire V Déterminer si un lngge régulier est sns étoile est un prolème décidle lgorithmiquement. Démonstrtion. C est immédit. On dispose d un lgorithme pour tester si un semi-groupe est périodique et le monoïde syntxique d un lngge régulier peut être clculé lgorithmiquement. Exemple V Au vu de l exemple V.5.7, le lngge formé des mots sur {, } ne contennt ps le fcteur est sns étoile. Pr contre le lngge formé des mots contennt un nomre pir de et un nomre pir de ne l est ps. (Comprez ces deux exemples vec le résultt nnoncé dns l exercice V.6.16.) 6.1. Trnsduction. 6. Exercices Exercice V.6.1. Supposons que les positions des lettres d un mot soient comptées de guche à droite. Ainsi, w = w 1 w n, w i Σ pour un mot w de longueur n. Construire un trnsducteur T qui trnsforme chque se trouvnt en position de l forme 3i (resp. 3i + 1, 3i + 2) en c (resp. c, c) et chque se trouvnt en position de l forme 3i (resp. 3i + 1, 3i + 2) en c (resp. c, c), i N. Donner une expression régulière du lngge T ( ) Prolèmes de dénomrement. Exercice V.6.2. Soit L Σ un lngge. On dénote pr ρ L (n), le nomre de mots de longueur n pprtennt à L. Si $ est une lettre n pprtennt ps à Σ, vérifier que #[({$} L) (Σ {$}) n ] = n ρ L (n 1), n 1. Utiliser ce résultt pour construire un lngge régulier L tel que ρ L (n) = n 2. Même question vec cette fois, ρ L (n) = n 3. Exercice V.6.3. On considère le lngge L formé des mots sur {, } ynt un nomre impir de. Quel est l utomte miniml de L? Donner l mtrice d djcence de cet utomte. En déduire une reltion de récurrence linéire pour ρ L (n).

114 110 Chpitre V. Quelques compléments sur les lngges réguliers Trouver une formule close pour ρ L (n). Exercice V.6.4. On considère le lngge L formé des mots sur {,, c} ne commençnt ps pr c et ne contennt ps le fcteur c. Quel est l utomte miniml de L? Soit l série génértrice F (X) = n 0 ρ L (n) X n. Montrer que 1 X F (X) = X 2 3X + 1. En déduire une formule close pour ρ L (n). Exercice V.6.5. On considère le lngge L =. Quel est l utomte miniml de L? Donner l mtrice d djcence de cet utomte. En déduire une reltion de récurrence linéire pour ρ L (n). Montrer que l série génértrice de ρ L (n) est de l forme F (X) = 1 (1 X) 2 En développnt en série de puissnces, en conclure que ρ L (n) = n + 1. Exercice V.6.6. On considère l lphet Σ = {,, c} et le lngge régulier sur Σ formé des mots ne contennt ps le fcteur. Ce lngge est ccepté pr l utomte fini déterministe A = ({1, 2, 3}, 1, {1, 2}, Σ, δ) où l fonction de trnsition δ : {1, 2, 3} Σ {1, 2, 3} est donnée pr δ c Donner une reltion de récurrence linéire pour l suite ρ L (n) = #(L Σ n ) comptnt le nomre de mots de longueur n dns L. Pr une méthode u choix, en déduire une formule close pour ρ L (n) Monoïde syntxique et lngges sns étoile. Exercice V.6.7. Soit L un lngge. Démontrer que L est une union de clsses d équivlence pour l congruence syntxique L. Exercice V.6.8. Soit L =. Donner un représentnt de chcune des clsses d équivlence du monoïde syntxique de L. On choisir, si possile, un représentnt de longueur minimle dns chque clsse. Construire l tle de multipliction de ce monoïde. Le monoïde syntxique est-il périodique?

115 V.6. Exercices 111 Exercice V.6.9. Même question vec le lngge L formé des mots sur {, } comprennt un nomre pir de. S git-il d un lngge sns étoile? Exercice V Même question vec le lngge L formé des mots cceptés pr l utomte dessiné à l figure V , 4 5 Figure V.16. Un AFD dont on recherche le monoïde syntxique du lngge ssocié. Exercice V Même question vec le lngge L formé des mots sur {, } qui sont formés exclusivement de en nomre impir ou qui comprennent un nomre de qui est multiple strictement positif de 3. Montrer que le monoïde syntxique se décompose en deux sous-groupes cycliques dont on donner à chque fois un générteur. Exercice V On considère le lngge ccepté pr l utomte de l figure V.17. Après voir vérifier que cet utomte étit miniml, montrer Figure V.17. Un AFD dont on recherche le monoïde syntxique. que le monoïde syntxique de ce lngge est isomorphe à S 3 (le groupe des permuttions de {1, 2, 3}). Exercice V Pour les utomtes repérésentés à l figure V.18, vérifier qu ils sont minimux. Clculer l tle de multipliction du monoïde syntxique et déterminer dns chque cs s il s git d un lngge sns étoile.

116 112 Chpitre V. Quelques compléments sur les lngges réguliers , 1 2 Figure V.18. Deux AFD. Exercice V Pour le lngge ccepté pr l utomte de l figure V.19, démontrer que , Figure V.19. Un AFD.,, 3 3, 4 3, 3 3, 2 2, 3 3, 3 3, 2 2, 2 2, 2 2 2, 2 3 3, 2 2 2, 2 2 et 2 3 3, En déduire que 3 est un zéro et que ces 16 reltions peuvent se simplifer en 3 3,,, 2 2, 2 2 2, pour décrire complètement le monoïde syntxique. Ainsi, ces 6 reltions donnent une représenttion ien plus succinte que l tle de multipliction du monoïde. Définition V Un AFD A est sns permuttion s il n existe ucun mot w rélisnt une permuttion non trivile d un sous ensemle d étts de A, i.e., s il n existe ps de mot w et de sous-ensemle d étts {q 1,..., q r } tels que q 1.w = q ν1,..., q r.w = q νr où ν est une permuttion de {1,..., r} distincte de l identité.

117 V.6. Exercices 113 Exercice V Démontrer qu un lngge régulier est sns étoile si et seulement si son utomte miniml est sns permuttion.

118

119 CHAPITRE VI Introduction ux lngges lgériques Les chpitres précédents nous ont donnés un perçu ssez complet des lngges réguliers et de leurs principles propriétés. En prticulier, nous vons constté, et ce à plusieurs reprises, que des lngges comme { n n n N}, pourtnt reltivement simples d un point de vue syntxique, n étient ps réguliers. Dns les pges qui suivent, nous llons présenter une fmille de lngges qui sont générés pr des méthodes plus riches que les expressions régulières. Plus précisément, nous llons introduire l notion de grmmire hors contexte. Un lngge généré pr une telle grmmire ser dit lgérique (ou hors contexte). Historiquement, ces lngges ont été introduits 1 pr N. Chomsky dns le ut initil de formliser les propriétés grmmticles de lngues nturelles comme l nglis ou le frnçis. Il s est véré pr l suite que ces notions étient prticulièrement ien dptées à l syntxe des lngges de progrmmtion. 1. Premières définitions Commençons pr un exemple introductif présentnt le concept de grmmire. Exemple VI.1.1. Pour construire une phrse grmmticlement correcte en frnçis, on peut procéder comme suit PHRASE SUJET VERBE COMPLEMENT SUJET LUDOVIC MICHEL NICOLAS THIERRY VERBE VOIT MANGE PORTE COMPLEMENT ARTICLE NOM ADJECTIF ARTICLE UN LE NOM LIVRE PLAT WAGON ADJECTIF BLEU ROUGE VERT Ainsi, sns vouloir formliser plus que nécessire, vec les règles données ci-dessus, on peut construire u moyen de sustitutions successives des phrses comme ou NICOLAS PORTE UN LIVRE VERT MICHEL MANGE LE WAGON BLEU. 1 N. Chomsky, On certin forml properties of grmmrs, Inform. nd Control, ,

120 116 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques On peut formliser cet exemple de l mnière suivnte. Définition VI.1.2. Soient V et Σ deux lphets finis (supposés disjoints). Une grmmire hors contexte, ou grmmire lgérique, est l donnée d un 4-uple G = (V, Σ, P, S) où P V (V Σ) est un ensemle fini, ppelé l ensemle des règles de dérivtion (ou productions) de G et S V est le symole initil de G. Les éléments de l lphet V sont ppelés vriles (ou symoles non terminux) et les éléments de l lphet Σ sont les symoles terminux. Nous prendrons générlement l convention de représenter les symoles non terminux pr des lettres mjuscules et les symoles terminux pr des minuscules. Soient A V une vrile, w (V Σ) un mot et (A, w) P une règle de dérivtion. On dit que A (resp. w) est le premier (resp. second) memre de l production (A, w). Si A V est une vrile et (A, w 1 ),..., (A, w n ) P sont des productions ynt A pour premier memre et où w 1,..., w n (V Σ), lors on note A w 1 w 2 w n. Si w peut s écrire xay vec A V et x, y (V Σ), lors on note w G z lorsque z = xuy vec (A, u) P. On dit lors que z est otenu grâce à une dérivtion de longueur 1. En d utres termes, on remplcé dns w une occurence d un non terminl A pr le second memre u d une production A u de G ynt A comme premier memre. Si G est sous-entendu, on s utorise à écrire simplement u lieu de G. On note l fermeture réflexive et trnsitive de. Ainsi, w z si z = w ou s il existe des mots w 1,..., w n (V Σ), n 0, tels que w w 1 w 2 w n z. Dns ce dernier cs, on dit que z est otenu à prtir de w pr une dérivtion de longueur n + 1. Enfin, le lngge généré pr G est l ensemle des mots de Σ qui s otiennent pr dérivtion à prtir du symole initil S, i.e., L(G) = {w Σ S w}. Un lngge L Σ est lgérique ou hors contexte s il existe une grmmire hors contexte G = (V, Σ, P, S) telle que L = L(G). Enfin, deux grmmires G et H sont équivlentes si elles génèrent le même lngge, i.e., si L(G) = L(H). Exemple VI.1.3. Soit l grmmire hors contexte G = (V, Σ, P, S) où V = {S, A}, Σ = {, }, et les productions de G données pr S AA A AAA A A.

121 VI.1. Premières définitions 117 Le mot pprtient à L(G) cr S AA A AAA AAA AA AA A. A chque étpe, nous vons souligné le symole non terminl sustitué. Ainsi, le mot est otenu à prtir de S pr une dérivtion de longueur 8. L suite des règles ppliquées donnnt lieu à un mot donné n est ps nécessirement unique. En effet, on peut générer le mot à prtir du symole initil S de diverses fçons : S AA S AA S AA AAAA A A AAA AAA AAA AAA AAA AA AA AA AA AA AA AA A A A Au vu de cet exemple, nous introduisons l notion de dérivtion l plus à guche. Définition VI.1.4. Soient G = (V, Σ, P, S) une grmmire hors contexte, w L(G) et S x 1 A 1 y 1 x 2 A 2 y 2 x n A n y n w une dérivtion de longueur n + 1 telle que x i Σ, A i V et y i (V Σ), pour tout i {1,..., n}. Alors, cette dérivtion est une dérivtion à guche. Cel signifie qu à chque étpe, on sustitué l vrile l plus à guche. On définit de mnière semlle une dérivtion à droite. Comme le montre une fois encore l exemple précédent, pour une grmmire G fixée, un mot pprtennt à L(G) peut voir plus d une dérivtion à guche 2. Il est ussi clir que si un mot pprtient à L(G), il possède u moins une dérivtion à guche. Si tout mot de L(G) possède exctement une dérivtion à guche, lors l grmmire G est qulifiée de non miguë. Un lngge lgérique est non migu s il existe une grmmire non miguë qui le génère. Nous verrons à l section 3 en quoi le crctère non migu est importnt d un point de vue prtique 3. 2 On peut montrer que le nomre de dérivtions à guche d un mot de L(G) est égl u nomre de dérivtions à droite permettnt d otenir ce même mot. Ainsi, il est équivlent de définir une notion, comme le crctère non migu, sur le nomre de dérivtions à guche ou à droite. 3 Pour plus d informtion à propos de l utilistion des grmmires dns l écriture d un compilteur, voir pr exemple l pge où l on présente les outils Lex, Ycc, Flex et Bison

122 118 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques Considérons encore deux utres exemples de grmmires. Exemple VI.1.5. L grmmire ci-dessous génère exctement le lngge { n n n N}. Considérons G = (V, Σ, P, S) où V = {S}, Σ = {, }, et les productions de G données pr S S ε. Ce lngge est trivilement non migu. En effet, pour chque mot w du lngge L(G) il existe une seule suite de règles de G permettnt d otenir w à prtir de S. Exemple VI.1.6 (Lngge de Dyck). On considère l lphet Σ = { 1, 1,..., n, n }, l grmmire G = (V, Σ, P, S) où V = {S, T } et les productions de P données pr S ST ε T 1 S 1 n S n. Le lngge généré pr l grmmire G s ppelle le n-ième lngge de Dyck et se note D n. Il est fcile de voir qu il s git exctement du lngge formé des mots ien prenthèsés lorsqu on dispose de n niveux de prenthèsge (l j-ième prenthèse ouvrnte étnt symolisée pr j et l j-ième prenthèse fermnte correspondnte pr j ). En guise d illustrtion, considérons l lphet Σ = {( ), [ ]} formé de prenthèses et de crochets et les productions S ST ε T ( S ) [ S ]. On otient pr exemple les mots suivnts S ST S(S) (S) ( ), S ST S(S) ST (S) ST ( ) ST ( ) S[S]( ) S[S]( ) S[ ]( ) [ ]( ), S ST S(S) S(ST ) S(S(S)) S(S(ST )) S(S(ST T )) ((( )( ))). Noter que, dns un lngge de Dyck, il n y ps de présénce sur l ordre des différentes prenthèses. Ainsi, les mots [( )] et ([ ]) sont tous deux vlides. Dns le cs de l lphet Σ = {, }, on peut encore montrer qu un mot w pprtient u premier lngge de Dyck D 1 si et seulement si les deux conditions suivntes sont stisfites pour tout i {1,..., n}, w = w pour tout préfixe u de w, u u.

123 VI.2. Arres d nlyse Arres d nlyse Dns cette section, nous llons montrer qu à une dérivtion correspond un rre, ppelé rre d nlyse, et réciproquement, à tout rre d nlyse correspond u moins une dérivtion. Nous supposerons 4 qu ucun second memre des productions des grmmires rencontrées n est égl à ε. Pour rppel, en théorie des grphes, un rre est un grphe connexe sns cycle. Pr commodité, nous llons préférer une définition récursive des rres. Soit E, un ensemle fini dont les éléments sont ppelés noeuds. Les rres de huteur 0 sont les éléments e de E. On les note (e, ) et e est l rcine de l rre. Si e E et A 1,..., A n sont des rres respectivement de huteur h i et de rcine e i, i = 1,..., n, lors, en connectnt e ux différents e i, on définit (e, (A 1,..., A n )) comme étnt un rre de rcine e, de huteur 1+sup i h i et de sous-rres A 1,..., A n. Dns cette définition, le n- uple (A 1,..., A n ) est ordonné. Ainsi, si µ est une permuttion distincte de l identité, (e, (A 1,..., A n )) (e, (A µ(1),..., A µ(n) )). On dit que les noeuds e 1,..., e n sont les fils de e (ou que e est le père des e i ). Si f E pprtient à un des sous-rres A i, lors f est un descendnt de e (ou e est un ncêtre de f). En prticulier, l rcine d un rre de huteur 0 n ps de fils (ce qui explique l nottion (e, )). Un rre de rcine e ynt trois sous-rres A 1, A 2, A 3 est représenté schémtiquement à l figure VI.1. L huteur de e e 1 e 2 e 3 A 1 A 2 A 3 Figure VI.1. Un rre. l rre A (resp. A 1, A 2, A 3 ) est 5 (resp. 4, 2, 3). Définition VI.2.1. Soit G = (V, Σ, P, S) une grmmire hors contexte. Pour tout A V Σ, (A, ) est un rre d nlyse de G. Si A A 1 A n est une production de G, A i V Σ, et si A 1,..., A n sont des rres d nlyse de G de rcine respective A 1,..., A n, lors (A, (A 1,..., A n )) est encore un rre d nlyse de G. Cette définition est récursive et permet de construire de proche en proche 5 les rres d nlyse de G. 4 Nous verrons plus trd qu il est toujours possile de se rmener à une telle sitution. 5 pr huteur croissnte.

124 120 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques Exemple VI.2.2. Poursuivons l exemple VI.1.3. d nlyse de G représentés à l figure VI.2. Voici quelques rres S A A A A A A A A S A A A S A A Figure VI.2. Des rres d nlyse. Définition VI.2.3. Soit A un rre d nlyse de G. Le fruit de A, noté F(A), est un mot défini récursivement. Si l rre est de huteur nulle, i.e., si A = (B, ), B V Σ, lors F(A) = B. Sinon, il existe des rres d nlyse A 1,..., A n tels que A = (B, (A 1,..., A n )). Dns ce cs, on pose F(A) = F(A 1 ) F(A n ). L opértion envisgée ici est ien évidemment l concténtion des fruits respectifs des différents sous-rres. Exemple VI.2.4. Si on reprend les rres d nlyse de G représentés à l figure VI.2, les fruits de ces rres sont respectivement A, S,, AA, AAA,, A,. Il est clir qu à une dérivtion correspond un rre d nlyse. On construit cet rre de proche en proche à prtir de l rre d nlyse (S, ). A chque fois qu une vrile est sustituée, on greffe le sous-rre correspondnt à l règle qui été ppliquée. Considérons un exemple. Exemple VI.2.5. Poursuivons l exemple VI.1.3. Nous vions otenu l dérivtion suivnte du mot. S AA A AAA AAA AA AA A. Pour chcune des productions considérées, on otient de proche en proche l rre d nlyse représenté à l figure VI.3. Lorsqu une production est ppliquée à une vrile donnée, on joute le sous-rre correspondnt à l rre d nlyse déjà otenu. A chque étpe, le fruit de l rre est modifié en conséquence pour otenir finlement un rre de rcine S et de fruit.

125 VI.2. Arres d nlyse 121 S S S A A A A A A A A A S S S A A A A A A A A A A A A A A A A A A A S S A A A A A A A A A A A A A A Figure VI.3. Arres d nlyse provennt de dérivtions. Réciproquement, à un rre d nlyse de G de sommet S et de fruit w pprtennt à Σ, il correspond 6 u moins une suite de règles produisnt w à prtir de S. Dns cet rre, lorsque deux symoles non terminux se trouvent u même niveu 7, il n est ps possile de svoir quelle règle de dérivtion est ppliquée vnt quelle utre. Pr conséquent, il n y ps unicité dns l ordre d ppliction des règles de l grmmire. Pr exemple, le dernier rre de dérivtion otenu à l figure VI.3 et ynt pour 6 Cette correspondnce existe pour tout rre d nlyse, ps seulement ceux de rcine S et de fruit terminl. En effet, à tout rre de rcine A V et fruit w (V Σ), il correspond une suite de règles produisnt w à prtir de A. 7 Dns un rre, le niveu d un noeud est l longueur du chemin mennt de l rcine à ce noeud.

126 122 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques fruit correspond églement à l suite de règles S AA AAAA AAAA AAA AA A A. Nénmoins, à un rre d nlyse donné, il correspond une seule dérivtion à guche. Cel revient à prcourir l rre (de mnière récursive) comme suit Si l rre est réduit à l rcine fin du prcours. Sinon, A = (B, (A 1,..., A n )) et prcourir, dns l ordre, les sousrres A 1,..., A n. Le prcours P dns l rre fournit l suite de règles à ppliquer pour otenir l dérivtion à guche. Exemple VI.2.6. Considérons l rre représenté à l figure VI.4. A cet S A A A A A A A A Figure VI.4. Un rre d nlyse. rre correspond l unique dérivtion à guche S AA AAAA AAAA AAA AA AA AA A. Remrque VI.2.7. Une dpttion immédite permet d otenir l dérivtion à droite ssociée à un rre. Si A = (B, (A 1,..., A n )) n est ps réduit à une rcine, prcourir, dns l ordre, les sous-rres A n,..., A Une illustrtion de l miguité Considérons l grmmire G = (N, Σ, P, E) où N = {E, N, C} (on utilise ici les lettres E, N et C comme dns Expression, Nomre et Chiffre), et où les règles sont Σ = {+,,, /, (, ), 0, 1,..., 9}

127 VI.3. Une illustrtion de l miguité 123 E (E) E + E E E E E E/E N N C NC C Cette grmmire génère des expressions rithmétiques élémentires (on s utorise de plus, pour ne ps lourdir l exposé, à écrire des nomres commençnt pr 0). Considérons le mot pprtennt u lngge généré pr cette grmmire. Ce mot est otenu pr l dérivtion à guche E E + E E E + E N E + E C E + E 1 E + E 1 N + E 1 C + E E N C A cette dérivtion correspond l rre d nlyse représenté à l figure VI.5. Le mot est ussi otenu pr l dérivtion à guche E E N E E N + E N C C C Figure VI.5. Un rre d nlyse pour E E E N E C E 1 E 1 E + E 1 N + E 1 C + E E N C A cette dérivtion correspond l rre d nlyse représenté à l figure VI.6. Lorsqu on dispose d un rre d nlyse 8 (que ce soit celui de l figure VI.5 ou celui de l figure VI.6), le prcours récursif P de cet rre où l on considère à chque fois, en premier lieu, le sous-rre le plus à guche, permet d évluer 8 En générl, lors de l phse de compiltion d un progrmme, ou dns le cs plus simple qui nous intéresse ici, l interpréttion d une formule, l première étpe confiée à l nlyseur est de déterminer un rre d nlyse. Une fois l rre d nlyse connu, on peut spécifier le sens à donner ux différents noeuds. L sémntique est prticulièrement simple dns le cdre décrit ici puisqu il ne s git que d expressions rithmétiques. Pour un progrmme à compiler, on pourrit imginer devoir réliser l lloction de mémoire, l dressge de vriles, etc...

128 124 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques E E N C E N + E E N 1 C C 2 3 Figure VI.6. Un rre d nlyse pour les expressions envisgées. Si on considère l rre de l figure VI.5, le sousrre de guche pour vleur 1 2, celui de droite 3 et donc, l vleur ssignée à l rre est (1 2) + 3 = 2. Pr contre, si on considère à présent l rre de l figure VI.6, le sous-rre de guche pour vleur 1 et celui de droite 2+3. Dès lors, l vleur ssignée est cette fois 1 (2 + 3) = 4. Remrquons qu il s git une fois encore d une dérivtion à guche, E E E 1 E 1 E + E Ainsi, suivnt l rre choisi, les groupements de termes sont rélisés en prtnt de l guche ou de l droite et l vleur ssignée n est ps nécessirement l vleur ttendue. Si les opérteurs n ont ps l même présénce, l grmmire proposée peut regrouper un opérteur de file présénce vnt un opérteur de présénce plus élevée. En effet, considérons le mot A ce mot, il correspond les rres d nlyse représentés à l figure VI.7. Ainsi, l évlution de l rre de guche fournit l vleur (2 + 3) 5 lors que pour l rre de droite, on trouve 2 + (3 5). Cet exemple montre ien le prolème que pose en prtique l utilistion d une grmmire miguë. En effet, le compilteur ou l interpréteur 9 n ps les moyens de déterminer quel rre d nlyse permet d ssigner une vleur correcte à l expression envisgée. Ainsi, lors de l spécifiction d un compilteur, il fut veiller à employer une grmmire non miguë. Revenons sur le prolème des expressions rithmétiques. L écueil principl de l grmmire présentée ci-dessus est qu elle ne tient ps compte de 9 Le rôle d un compilteur est de trnsformer un code source en un utre code. Pr exemple, trnsformer un texte codnt un progrmme écrit en C en un code mchine intelligile pr le processeur ou le système d exploittion ou encore, trnsformer un texte comprennt des instructions LTeX en un fichier.dvi ffichle à l écrn.

129 VI.3. Une illustrtion de l miguité 125 E E E N E + E N * E N C E N C + E N E * E N C C 5 2 C C Figure VI.7. Deux rres d nlyse pour l ordre de présénce des opértions à effectuer. Pour y remédier et otenir une grmmire hors contexte non miguë, nous proposons (sns preuve) l grmmire suivnte. Les symoles non terminux sont E, T, F, N, C où T et F sont employés pour rppeler les mots Terme et Fcteur. Les règles sont E E + T E T T T T F T/F F F (E) N N C NC C L distinction fite ici entre expressions, termes et fcteurs force le groupement correct des opérteurs à différents niveux de présénce. L figure VI.8 reprend les rres d nlyse des expressions et E E E T E T F + T F N E T F + T F * T F N F N C N N C N C C 2 3 C 2 C Figure VI.8. Arres d nlyse de et pour une grmmire non miguë.

130 126 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques Signlons pour conclure, qu on peut isément enrichir cette dernière grmmire d utres opérteurs comme l exponentition ou encore les fonctions trigonométriques, etc Grmmires et lngges réguliers Le ut de cette section est de montrer que l ensemle des lngges réguliers est un sous-ensemle (strict 10 ) de l ensemle des lngges lgériques. Pour ce fire, nous llons utiliser l proposition I.3.6 en montrnt que l fmille des lngges lgériques contient le lngge vide, les lngges {σ}, σ Σ, et est stle pour l union, l concténtion et l étoile de Kleene. Remrque VI.4.1. L grmmire G = ({S}, Σ, P, S) où l unique règle est S σ, σ Σ, génère le lngge {σ}. De même, si P =, le lngge généré est. Proposition VI.4.2. L ensemle des lngges lgériques est stle pour l union. Démonstrtion. Soit G 1 = (V 1, Σ, P 1, S 1 ) (resp. G 2 = (V 2, Σ, P 2, S 2 )) une grmmire générnt L 1 (resp. L 2 ). On peut supposer que V 1 V 2 = et que S V 1 V 2. L grmmire G = ({S} V 1 V 2, Σ, P, S) où P contient P 1 P 2 et l règle S S 1 S 2, génère exctement L 1 L 2. Les justifictions sont lissées u lecteur à titre d exercice. Proposition VI.4.3. L ensemle des lngges lgériques est stle pour l concténtion. Démonstrtion. Avec les mêmes nottions que dns l preuve précédente, il suffit de considérer l règle supplémentire pour générer le lngge L 1 L 2. S S 1 S 2 Proposition VI.4.4. L ensemle des lngges lgériques est stle pour l étoile de Kleene. Démonstrtion. Encore une fois en utilisnt les mêmes nottions, il suffit de considérer l grmmire G = ({S} V 1, Σ, P, S) où P contient P 1 et l règle supplémentire S SS 1 ε pour générer le lngge L Nous svons déjà que { n n n N} est lgérique et non régulier.

131 VI.4. Grmmires et lngges réguliers 127 Corollire VI.4.5. L ensemle des lngges réguliers sur un lphet fini est un sous-ensemle de l ensemle des lngges lgériques. Démonstrtion. Cel résulte directement de l remrque VI.4.1, des trois propositions précédentes et de l proposition I.3.6. Il est possile de prticulriser les grmmires hors contexte en spécifint l forme des seconds memres de leurs productions. On peut même spécifier des grmmires générnt exctement les lngges réguliers. De telles grmmires sont ppelées grmmires régulières. Définition VI.4.6. Une grmmire hors contexte G = (V, Σ, P, S) est régulière (à guche) si toute production de G possède une des trois formes suivntes : A A B A ε où A, B pprtiennent à V et à Σ. De mnière équivlente, on se convinc fcilement 11 qu une grmmire est régulière à guche si les seconds memres de ses productions pprtiennent tous à Σ V Σ. Une grmmire hors contexte est régulière (à droite) si toute production de G possède une des trois formes suivntes : A A B A ε. De même, une grmmire est régulière à droite si les seconds memres de ses productions pprtiennent tous à Σ Σ V. Exemple VI.4.7. Soit l grmmire G = (V, Σ, P, S) où V = {S, A, B}, Σ = {, } et où les productions sont S B ε B S A A A ε. Il est fcile de voir que le lngge généré pr G est exctement qui est régulier. {ε} () () Nous donnons à titre indictif et sns démonstrtion le résultt suivnt. Proposition VI.4.8. Un lngge est régulier si et seulement si il est généré pr une grmmire régulière à guche (resp. à droite). 11 Pr exemple, on peut remplcer une règle de l forme A B pr les règles A B et B B.

132 128 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques Remrque VI.4.9. Signlons que les grmmires régulières sont des cs prticuliers de grmmire dont les seconds memres des productions pprtiennent tous à Σ Σ V Σ, i.e., les seconds memres contiennent u plus une vrile. Les grmmires possédnt une telle propriété sont dites linéires. 5. A propos de l hiérrchie de Chomsky Dns ce cours, nous nous limitons volontirement à l étude des lngges réguliers et des lngges lgériques. A titre indictif, nous présentons d utres types de grmmires plus générles permettnt d otenir de nouvelles clsses plus lrges de lngges. Ces différents types ynt été introduits pr Nom Chomsky, il est de coutume de prler de l hiérrchie de Chomsky. Définition VI.5.1. Une grmmire G = (V, Σ, P, S) de type 0, ou grmmire non restrictive, est l forme l plus générle de grmmire. Les lphets V et Σ et le symole initil S sont définis comme dns le cs des grmmires hors contexte. Une production de l forme u v précise qu une occurence du mot u ε peut être remplcée pr v, vec u, v (V Σ). Remrque VI.5.2. Les grmmires hors contexte sont donc des cs prticuliers de grmmire non restrictive. En effet, dns une grmmire hors contexte, le premier memre des règles est réduit à des mots d une lettre sur l lphet V. Exemple VI.5.3. L grmmire non restrictive G = (V, Σ, P, S) telle que V = {S, A, C}, Σ = {,, c} et dont les règles sont données pr S Ac ε A AC ε C C Cc cc génère le lngge { n n c n n N}. En effet, S Ac ACc () i A(C) i c () i (C) i c = () i+1 (C) i c () i+1 () i+1 C i c () i+1 () i+1 (c) i+1. Remrque VI.5.4. On peut montrer qu un lngge L est généré pr une grmmire non restrictive si et seulement si L est récursivement énumérle 12 (i.e., ccepté pr une mchine de Turing). Dns l hiérrchie de Chomsky, entre les grmmires hors contexte et les grmmires non restrictives, il existe encore un type de grmmire. Définition VI.5.5. Une grmmire non restrictive G = (V, Σ, P, S) est de type 1, ussi ppelée grmmire dépendnt du contexte [Context-sensitive grmmr], si toutes les productions u v de G stisfont 12 cf. le cours de clculilité.

133 VI.5. A propos de l hiérrchie de Chomsky 129 u, v (V Σ) \ {ε} u v. Si une grmmire stisfit cette dernière condition, on prle prfois de grmmire non contrctnte ou monotone cr l longueur des mots produits croît à chque ppliction d une nouvelle règle. On utorise de plus une unique règle de l forme S ε. Remrque VI.5.6. Une définition équivlente de grmmire dépendnt du contexte G = (V, Σ, P, S) est de spécifier les productions de P sous l forme αnβ αvβ où α, β (V Σ), N V, v (V Σ) \ {ε}. De cette fçon, on met mieux en évidence le contexte dns lequel se trouve l vrile N qui peut voir des effets différents suivnt les éléments qui l entourent. On pourrit pr exemple imginer deux règles distinctes vec v 1 v 2 si (α 1, β 1 ) (α 2, β 2 ). α 1 Nβ 1 α 1 v 1 β 1 et α 2 Nβ 2 α 2 v 2 β 2 Exemple VI.5.7. L grmmire présentée dns l exemple VI.5.3 n est ps monotone à cuse des productions S ε et A ε. Il est fcile de vérifier que l grmmire suivnte génère encore le même lngge, S Ac c A AC C C C Cc cc. Cette dernière est ien une grmmire monotone dépendnt du contexte. Remrque VI.5.8. Une fois encore, on peut montrer que tout lngge généré pr une grmmire dépendnt du contexte est récursif 13 (i.e., décidé pr une mchine de Turing). Plus précisément, les lngges générés pr une grmmire dépendnt du contexte sont exctement les lngges décidés pr les mchines de Turing dont l mémoire disponile est ornée de mnière linéire pr l tille des données. En d utres termes, on ne s utorise ps un run de longueur ritrire mis à chque exécution, l longueur du run disponile est proportionnelle à l tille des données fournies à l mchine de Turing. Le tleu suivnt récpitule les divers fits énoncés dns cette section. 13 cf. le cours de clculilité.

134 130 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques générteur lngge ccepteur 0 grmmire non restrictive récursivement mchine de Turing énumérle 1 grmmire dépendnt du contexte dépendnt du contexte mchine de Turing à mémoire linéire 2 grmmire hors contexte hors contexte utomtes à pile 3 expression régulière régulier AFD Les utomtes à pile, ccepteurs des lngges lgériques, seront présentés dns une prochine section. Remrque VI.5.9. Au vu du tleu précédent, on dispose des inclusions suivntes Reg Lin Alg DP RE où les différentes révitions désignent respectivement l ensemle des lngges réguliers, linéires (cf. remrque VI.4.9), lgériques, dépendnts du contexte et récursivement énumérles. Remrque VI Le lecteur ttentif pourrit émettre une ojection qunt à l définition de grmmire dépendnt du contexte où l on interdit l production du symole ε, lors que cette restriction n est ps présente pour les grmmires hors contexte (qui sont cependnt un cs prticulier de grmmires de type 1). En fit, comme nous llons le voir dns l section suivnte, on peut ussi se dérsser des règles A ε dns les grmmires hors contexte. De plus, si une grmmire dépendnt du contexte doit effectivement pouvoir générer le mot vide, on se permet d utiliser une unique règle S ε. 6. Formes normles Lorsqu on s intéresse à un lngge lgérique L donné, l grmmire générnt L n est ps nécessirement unique. Ainsi, on peut désirer voir à s disposition une grmmire dont les règles possèdent une forme prticulière. Lorsqu on impose certines restrictions sur les seconds memres des productions, on prle de grmmire mise sous forme normle. Nous montrons dns cette section que de telles simplifictions sont toujours possiles. Rppelons que deux grmmires sont équivlentes si elles génèrent le même lngge Elimintion des règles A ε. Exemple VI.6.1. Dns une dérivtion produisnt un mot terminl, il se peut qu pprissent des vriles ne générnt ucun symole terminl. Ces vriles sont éliminées grâce à des règles de l forme A ε que nous ppelerons ε-production. Un tel phénomène fit grossir inutilement l longueur des mots intermédiires produits. Pr exemple, considérons les règles

135 VI.6. Formes normles 131 S SB B B B ε. L dérivtion à guche générnt le mot génère trois B qui seront chcun éliminés pr l ppliction de l règle B ε. Ainsi, on S SB SBB BBB BB B. Définition VI.6.2. On ppelle vrile effçle toute vrile A telle que A ε. Si une grmmire ne contient ucune vrile effçle, lors u v entrîne u v. On est dès lors en présence d une grmmire monotone (ppliquer une règle ne peut fire diminuer l longueur du mot otenu). Nous présentons mintennt un lgorithme 14 permettnt de détecter les vriles effçles. Posons E 0 = {A V A ε P }. Si E 0 =, l lgorithme s chève et l grmmire ne possède ucune vrile effçle. Sinon, pour i 0, on définit E i+1 = E i {A V w E i : A w P }. Puisque V est fini, l suite des E i se stilise. Il est clir que le plus grnd E i pprissnt dns cette suite est l ensemle des vriles effçles. Une condition d rrêt pour l lgorithme revient à tester l églité de E i et E i+1. Proposition VI.6.3. Soit G = (V, Σ, P, S) une grmmire hors contexte. Il existe une grmmire G = (V, Σ, P, S ) que l on peut construire effectivement 15 telle que G et G sont équivlentes, S n pprît dns ucun second memre des productions de G, si ε pprtient à L(G) = L(G ), lors l seule vrile effçle est S. Sinon, G ne contient ucune vrile effçle. Démonstrtion. Si S pprît dns un second memre des productions de G, on introduit une nouvelle vrile S. On définit V comme étnt V {S } et pour définir P, on joute ux règles de P, l règle S S. De cette mnière, le nouveu symole initil S n pprît dns ucun second memre des productions. De plus, si S G w, lors S G S G w. Au vu de l lgorithme précédent, on sit déterminer de mnière effective l ensemle E des vriles effçles de G. Toute règle de G de l forme A w 1 A 1 w 2 A 2 w n A n w n+1 14 ynt une pproche ottom-up. 15 Cel signifie qu il ne s git ps d un théorème existentiel mis ien d un théorème constructif. L preuve fournit une démrche, un lgorithme, permettnt d otenir l grmmire proposée.

136 132 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques vec A V, A 1,..., A n E, w 1,..., w n+1 ((V Σ) \ E) est remplcée pr les règles A w 1 x 1 w 2 x 2 w n x n w n+1 où chque x i peut prendre l vleur A i ou ε. Une règle est donc remplcée pr u plus 2 n nouvelles règles. Il est clir que cette modifiction n ltère ps le lngge généré puisqu on éventuellement enlevé, des seconds memres des productions, des vriles effçles. (Remrquons qu on ne peut ps simplement supprimer ces vriles cr une vrile effçle peut être utilisée dns l production d un mot terminl.) L dernière étpe revient à supprimer (de fçon récursive) les règles de l forme A ε. Supprimer les ε-productions, A ε, modifier P en conséquence, si une vrile A pprît uniquement comme premier memre d une ε-production, l effcer des seconds memres des utres productions. Cette étpe pouvnt créer de nouvelles ε-productions, répéter si nécessire le point précédent. A l fin de cette procédure, si S pprtenit u déprt à E, il fut encore jouter l règle S ε pour que l grmmire otenue puisse églement générer ε. Exemple VI.6.4. Soit l grmmire dont les règles sont S ACA A AD B C B B C cs ε D ε. Puisque S pprît dns l production C cs, l première étpe consiste à introduire une nouvelle vrile S et les règles deviennent S S S ACA A AD B C B B C cs ε D ε. Appliquons l lgorithme de recherche des vriles effçles. On trouve E 0 = {C, D}, E 1 = {A, C, D}, E 2 = {S, A, C, D} et E 3 = {S, S, A, C, D} = E. En suivnt l preuve précédente, on remplce les règles comme suit

137 VI.6. Formes normles 133 S S ε S ACA CA AA AC A C ε A AD B C A D ε B B C cs c ε D ε. Il ne reste plus qu à éliminer les ε-productions. En prticulier, puisque D est le premier memre de l unique règle D ε, on peut supprimer D de tous les seconds memres. On S S S ACA CA AA AC A C A A B C B B C cs c. Cette dernière grmmire génère le même lngge que l grmmire de déprt à l exception du mot vide (en effet, ε E). Pour otenir une grmmire équivlente, il suffit d jouter l règle S ε. Ainsi, on peut toujours se rmener à une grmmire essentiellement monotone. L djectif essentiellement stipule qu on utorise l unique ε-production S ε permettnt de générer le mot vide et que le symole initil S n pprît dns ucun second memre des règles Elimintion des règles A B. Remrque VI.6.5. Une règle de l forme A B, A, B V, revient simplement à renommer une vrile A en B. On dir d une telle règle qu il s git d une 1-production. Dns le cs A A, on prle de 1-production circulire. Définition VI.6.6. Soient A, A 1,..., A n, B des vriles d une grmmire G. Une dérivtion de l forme A A 1 A n B, où chque production est une 1-production, est une chîne. Soit A une vrile étnt le premier memre d une 1-production. L lgorithme suivnt 16 permet de déterminer toutes les vriles pprissnt dns une chîne déutnt en A. Posons C 0 = {A} et C 1 =. Pour i 0, C i+1 = C i {C V B C i \ C i 1 : B C P }. L procédure s rrête lorsque C i = C i+1. On noter ce dernier ensemle C(A). Une fois encore, puisque V est fini, l lgorithme s chève toujours. Proposition VI.6.7. Soit G = (V, Σ, P, S) une grmmire essentiellement monotone. Il existe une grmmire équivlente G ne contennt ucune 1- production. De plus, cette grmmire peut être otenue de mnière effective. 16 On utilise ici une pproche top-down.

138 134 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques Démonstrtion. Cel découle imméditement de l constttion fite à l remrque VI.6.5. Pour toute vrile A qui est le premier memre d une 1-production, les règles de l nouvelle grmmire G qui ont pour premier memre A sont de l forme A w où w V, B C(A) : B w P. De cette mnière, il est clir qu on élimine les 1-productions sns pour utnt modifier le lngge généré. (Attirons l ttention du lecteur sur le fit que A C(A). Ainsi, si A w P vec w V, lors A w est encore une règle de G.) Si A est une vrile n pprissnt dns ucun premier memre des 1- productions de G, les règles correspondntes de G et de G sont identiques. Les vriles, l lphet des symoles terminux et le symole initil de G coïncident vec ceux de G. Exemple VI.6.8. Poursuivons l exemple VI.6.4. Nous vions otenu l grmmire essentiellement monotone S S ε S ACA CA AA AC A C A A B C B B C cs c. Les 1-productions sont S S, S A, S C, A B et A C. Ainsi, on trouve C(S ) = {S, S, A, B, C}, C(S) = {S, A, B, C} et C(A) = {A, B, C}. Pr conséquent, l nouvelle grmmire est S }{{} ε ACA CA AA CA } {{ } S S S ACA CA AA CA } {{ } S A A } {{ } A B B C cs c. B } {{ } B cs c } {{ } C A } {{ } A A } {{ } A B } {{ } B B } {{ } B cs c } {{ } C cs c } {{ } C On simplement ppliqué l méthode fournie dns l preuve précédente. Pr exemple, puisque A B, A est le premier memre d une 1-production. Ainsi, on doit considérer les seconds memres de toutes les productions des éléments de C(A) et qui ne sont ps restreints à une unique vrile. Les ccoldes permettent de rppeler de quelle vrile de C(A) proviennent les règles qui ont été joutées.

139 VI.6. Formes normles 135 Remrque VI.6.9. Il est ssez isé de se convincre que l ppliction de l procédure décrite ci-dessus à une grmmire essentiellement monotone fournit encore une grmmire essentiellement monotone Elimintion des symoles inutiles. Définition VI Soit G = (V, Σ, P, S) une grmmire hors contexte. Un symole x V Σ est utile si il existe une dérivtion S G uxv G w vec u, v (V Σ) et w Σ. Dns le cs contrire, x est dit inutile. En d utres termes, un symole terminl est utile s il pprît dns un mot du lngge généré et une vrile est utile si elle contriue à une dérivtion permettnt d otenir, à prtir du symole initil, un mot de Σ. Pour éliminer les symoles inutiles, nous llons procéder en deux prties. Tout d ord, nous détectons les vriles permettnt de générer des mots formés de symoles terminux. L lgorithme est semlle à celui déterminnt les symoles effçles. Posons Pour i 0, on définit T 0 = {A V w Σ : A w P }. T i+1 = T i {A V w (T i Σ) : A w P }. Puisque V est fini, l suite des T i se stilise. Soit T, l ensemle des vriles permettnt d otenir un mot sur Σ. Si A n pprtient ps à T, lors A est inutile. Proposition VI Soit G = (V, Σ, P, S) une grmmire. Avec les nottions introduites précédemment, il existe une grmmire équivlente G ne contennt que les vriles de T. De plus, cette grmmire peut être otenue de mnière effective. Démonstrtion. Il suffit de supprimer les règles fisnt intervenir une vrile de V \ T. Ainsi, l ensemle des vriles de G est T, l ensemle des productions de G est {A w P A T, w (T Σ) } et l lphet des symoles terminux de G est l ensemle des symoles terminux pprissnt dns les seconds memres des productions de G. Exemple VI Soit l grmmire dont les règles sont

140 136 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques S AC BS B A A F B CF C cc D D D BD C E A BSA F B. En ppliqunt l lgorithme précédent, on trouve T 0 = {B, F }, T 1 = {S, A, B, F }, T 2 = {S, A, B, E, F } = T. En éliminnt les règles fisnt intervenir C ou D, on otient S BS B A A F B E A BSA F B. Cette première étpe n est ps suffisnte pour éliminer complètement les symoles inutiles. En effet, si on considère l exemple suivnt S A A A A B, ien que l vrile B pprtienne à T, elle ne joue ucun rôle dns les dérivtions otenues depuis S. En effet, B n est ps ccessile depuis S. Cel signifie que S ubv, u, v (V Σ), et donc B ne contriue à ucune dérivtion à prtir de S. L seconde étpe permettnt d éliminer les symoles inutiles consiste à conserver uniquement les symoles ccessiles. Définition VI Soit G = (V, Σ, P, S) une grmmire hors contexte. Une vrile A est ccessile si S uav vec u, v (V Σ). Sinon, A est inccessile. L détection des vriles ccessiles est comprle à l recherche des chînes. Soient A 0 = {S} et A 1 =. Pour i 0, A i+1 = A i {B V C A i \ A i 1, u, v (V Σ) : C ubv}. L procédure s rrête lorsque A i = A i+1 et l ensemle otenu est clirement l ensemle des vriles ccessiles. Proposition VI Soit G = (V, Σ, P, S) une grmmire. Il existe une grmmire équivlente G ne contennt ucun symole inutile. De plus, cette grmmire peut être otenue de mnière effective. Démonstrtion. On pplique tout d ord à G l proposition VI.6.11 pour otenir une grmmire ne contennt que des vriles permettnt de

141 VI.6. Formes normles 137 produire des symoles terminux. On pplique ensuite l lgorithme précédent pour en déterminer les vriles ccessiles depuis le symole initil. Tout règle fisnt intervenir une vrile non ccessile peut être supprimée. Exemple VI Poursuivons l exemple VI On A 0 = {S} et A 1 = {S, B}. En supprimnt les symoles inccessiles, on otient S BS B B. Remrque VI On ne peut inverser impunément l ordre des deux lgorithmes. Il fut tout d ord rechercher l ensemle T des vriles permettnt d otenir des symoles terminux et ensuite éliminer les symoles inccessiles. En effet, considérons l grmmire simpliste S AB A B B. L ensemle T est {S, A}, insi une première réduction donne S A. Puisque A est inccessile, il reste uniquement S. Pr contre, si on recherche d ord les symoles ccessiles, on trouve A 1 = {S, A, B}. L grmmire de déprt reste inchngée puisqu ucun symole n est inccessile. Si on recherche ensuite les éléments de T, on trouve T = {S, A} et donc on otient S A qui n ps l forme voulue. En effet, dns cet ordre, l élimintion des vriles n pprtennt ps à T peut créer de nouvelles vriles inccessiles Forme normle de Chomsky. Définition VI Une grmmire hors contexte G = (V, Σ, P, S) est sous forme normle de Chomsky si les règles de G sont toutes de l une des formes suivntes : A BC où A V, B, C V \ {S}, A où A V, Σ, S ε. L intérêt prtique de l mise sous forme de Chomsky est que les rres d nlyse correspondnts seront des rres inires 17 (i.e., le nomre de fils d un noeud est u plus deux). Nous verrons ussi à l section suivnte que 17 cf. un cours d introduction à l lgorithmique pour le tritement systémtique des rres inires et des lgorithmes ssociés.

142 138 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques disposer d une forme normle pour les grmmires permet de simplifier les développements de certines preuves. Théorème VI Soit G = (V, Σ, P, S) une grmmire hors contexte. On peut construire de mnière effective une grmmire équivlente G mise sous forme normle de Chomsky. Démonstrtion. Au vu des sous-sections précédentes, on peut supposer que G est essentiellement monotone et qu elle ne contient ucune 1-production ni symole inutile. Ainsi, une règle de l grmmire G est de l une des formes suivntes : S ε, A où A V, Σ, A w où A V, w ((V Σ) \ {S}) et w 2. Les deux premiers types de règles stisfont l forme de Chomsky. Il nous reste à montrer comment remplcer le troisième type de règles. Soit l règle A w où w = w 1 A 1 w 2 w n A n w n+1, vec w i Σ, A i V \ {S}. Si w i ε, on noter w i = w i,1 w i,li vec w i,j Σ. Sns chnger le lngge généré, on peut remplcer l règle A w pr les règles A W 1,1 W 1,l1 A 1 W 2,1 W n,ln A n W n+1,1 W n+1,ln+1 W 1,1 w 1,1. W n+1,ln+1 w n+1,ln+1 où les W i sont de nouvelles vriles. Il reste simplement à modifier l première de ces nouvelles règles pour voir une grmmire mise sous forme de Chomsky. Si une règle est de l forme A A 1 A n, n 3, en fisnt intervenir de nouvelles vriles, on peut l remplcer pr les règles A A 1 B 1 B 1 A 2 B 2. B n 2 A n 1 A n. Exemple VI Considérons l grmmire dont les règles sont S SB B B B ε. Pour pouvoir otenir l forme normle de Chomsky, nous remplçons d ord cette grmmire pr une grmmire équivlente dont le symole initil n pprît dns ucun second memre et qui est essentiellement monotone

143 VI.6. Formes normles 139 S S S SB B S B B. Ensuite, on supprime les 1-productions et on otient S SB B S S SB B S B B et on remrque qu ucun symole n est inutile. En introduisnt de nouvelles vriles, on tout d ord S SAB AB SA S SAB AB SA B B B A B. Enfin, pour otenir des règles de longueur u plus deux, on S ST AB SA S ST AB SA B B B A B T AB Forme normle de Greich. Définition VI Une grmmire hors contexte G = (V, Σ, P, S) est sous forme normle de Greich si les règles de G sont toutes de l une des formes suivntes : A A 1 A n vec A V, Σ, A i V \ {S}, A vec A V et Σ, S ε. L intérêt prtique de l mise sous forme normle de Greich est qu à chque dérivtion, on détermine un préfixe de plus en plus long formé uniquement de symoles terminux. Cel permet de construire plus isément des nlyseurs permettnt de retrouver l rre d nlyse ssocié à un mot généré. Dns ce texte introductif, nous énonçons le résultt suivnt. Théorème VI Soit G = (V, Σ, P, S) une grmmire hors contexte. On peut construire de mnière effective une grmmire équivlente G mise sous forme normle de Greich. 18 Le lecteur intéressé trouver pr exemple plus de détils dns T. A. Sudkmp, Lnguges nd Mchines, An introduction to the Theory of Computer Science, 2e édition, Addison-Wesley, (1998), pp

144 140 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques 7. Lemme de l pompe On dispose d un nlogue du lemme de l pompe dns le cdre des lngges hors contexte. Proposition VI.7.1 (Lemme de l pompe Théorème de Br-Hillel). Soit L un lngge hors contexte. Il existe p N \ {0} tel que tout mot z L de longueur z p peut s écrire z = uvwxy, u, v, w, x, y Σ vec vwx < p, vx ε et pour tout n N, uv n wx n y L. Pour otenir ce résultt, nous llons tirer prti de l mise sous forme normle de Chomsky. Nénmoins, on pourrit otenir un résultt nlogue sns recourir à cette simplifiction. Lemme VI.7.2. Soit G = (V, Σ, P, S) une grmmire hors contexte mise sous forme normle de Chomsky. Si l dérivtion A w, w Σ, un rre d nlyse de huteur n, lors w 2 n 1. Démonstrtion. Puisque l grmmire est mise sous forme normle de Chomsky, les seuls rres d nlyse 19 de huteur 1 dont le fruit est formé de symoles terminux sont de l forme donnée à l figure VI.9 et leurs fruits S A ε Figure VI.9. Arres d nlyse de huteur 1 pour une grmmire mise sous forme normle de Chomsky. sont de longueur u plus 1. Supposons à présent le résultt stisfit pour les rres de huteur u plus n et vérifions-le pour les rres de huteur n + 1. Pour otenir un rre de huteur n + 1, on pplique nécessirement une première règle de l forme A BC. Les sous-rres de rcine B et C sont chcun de huteur u plus n. Pr hypothèse de récurrence, leurs fruits respectifs sont de longueur u plus 2 n 1. Le fruit de l rre, otenu pr concténtion des fruits des deux sous-rres, donc une longueur mjorée pr 2.2 n 1 = 2 n. Pr contrposition, ce résultt se réexprime comme suit. Corollire VI.7.3. Soit G = (V, Σ, P, S) une grmmire hors contexte mise sous forme normle de Chomsky. Si S w vec w Σ et w > 2 n 1 19 A l section 2, on supposé que les seconds memres des productions n étient jmis égux à ε. Ici, nous utorisons une telle sitution. Il est clir que cette générlistion ne modifie en rien les développements de l section 2.

145 VI.7. Lemme de l pompe 141 (donc en prticulier, vec w 2 n ), lors l rre d nlyse ssocié à cette dérivtion est de huteur u moins n + 1. Nous en rrivons à présent à l preuve du lemme de l pompe. Démonstrtion. Sns restriction, nous pouvons supposer que l grmmire est mise sous forme normle de Chomsky. Posons #V = m. Soit z un mot généré pr G de longueur u moins 2 m =: p. Au vu du corollire précédent, on dispose d un rre d nlyse de fruit z et de huteur u moins m + 1. Ainsi, cet rre contient un chemin de longueur u moins m + 1 déutnt en S et outissnt en un symole terminl. Une illustrtion de cette sitution est donnée à l figure VI.10. Ce chemin de longueur m + 1 S Figure VI.10. Un rre d nlyse pour une grmmire sous forme de Chomsky. psse pr m + 2 sommets de l rre dont m + 1 sont des vriles. Or #V = m. Pr conséquent, ce chemin contient u moins deux fois l même vrile A. Dns ce chemin, nous considérons les 2 occurrences de A, le plus s possile dns l rre (i.e., le plus loin de l rcine). Schémtiquement, dns l rre d nlyse de z, on l sitution représentée à l figure VI.11. Ainsi, l grmmire contient les dérivtions S A A u v w x y Figure VI.11. Un rre d nlyse vec A pprissnt deux fois.

146 142 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques S uay, A vax et A w. Pr conséquent, en ppliqunt n fois l dérivtion centrle, on otient S uay uvaxy uv n Ax n y uv n wx n y et les mots uv n wx n y pprtiennent à L(G) pour tout n N. Pour terminer l démonstrtion du résultt, nous devons encore vérifier que vwx < p et vx ε. Puisque l grmmire est sous forme de Chomsky, l dérivtion A vax doit nécessirement déuter pr une production de l forme A BC. Supposons que l deuxième occurrence de l vrile A provienne de B (on dispose d un risonnement nlogue pour l utre cs). Ainsi, A BC varc vars = vax. L vrile C ne peut donner ε (en effet, seul S ε). On en conclut que x ε et donc vx ε. Le sous-rre de rcine A et de fruit vwx est de huteur u plus m (u vu du choix des deux occurrences de A prises le plus s possile). Pr conséquent, vwx 2 m 1 < p. Ce résultt peut être utilisé pour montrer que certins lngges ne sont ps lgériques. Exemple VI.7.4. Le lngge L = { n n c n n N} n est ps lgérique. Procédons pr l surde. Soit p l entier donné dns l énoncé du lemme de l pompe. Le mot z = p p c p est de longueur u moins p. Il existe donc des mots u, v, w, x, y tels que p p c p = uvwxy vec vwx < p et vx ε. Pr conséquent, vwx ne peut contenir simultnément des lettres, et c. Ceci contredit le fit que uv n wx n y doive pprtenir u lngge pour tout n Théorème de Prikh. Un utre résultt peut prfois s vérer utile pour vérifier qu un lngge n est ps lgérique. Nous ne ferons ici que d énoncer le théorème de Prikh. Définition VI.7.5. Un sous-ensemle M de N k est dit linéire s il existe p 0, p 1,..., p s N k tels que s M = {p 0 + λ i p i λ 1,..., λ s N} = p 0 + N.p N.p s. i=1 On dit que p 0 est l constnte de M et les p i s, i 1, en sont les périodes. Une union finie d ensemles linéires est un ensemle semi-linéire. Théorème VI.7.6 (Prikh). Si L {σ 1,..., σ k } est un lngge lgérique, lors ψ(l) est un ensemle semi-linéire de N k.

147 VI.8. Automtes à pile 143 Remrque VI.7.7. L réciproque de ce résultt est fusse. En effet, nous svons que le lngge L = { n n c n n N} n est ps lgérique. Pr contre, 1 ψ(l) = N. 1 1 est semi-linéire. 8. Automtes à pile D une prt, nous vons vu dns les sections précédentes que les grmmires hors contexte étient utilisées pour générer les lngges lgériques. D une certine fçon, les grmmires sont une générlistion des expressions régulières qui permettent qunt à elles de générer les lngges réguliers. D utre prt, nous vons montré que les utomtes finis cceptent exctement les lngges réguliers. L ensemle des lngges réguliers étnt un sous-ensemle strict de l ensemle des lngges lgériques, pour espérer trouver l nlogue des utomtes finis, nous llons étendre les possiilités de ces derniers pr l jout d une pile. Un utomte fini est, pr définition, une mchine ne disposnt que d une mémoire finie (le nomre de configurtions qui peuvent être mémorisées est égl à son nomre d étts). L jout d une pile 20 permet d étendre les possiilités de mémoristion, puisque, comme nous llons le voir, l cpcité de stockge d une pile peut être ritrirement grnde. Une pile est un dispositif du type 21 dernier entré, premier sorti. On c Figure VI.12. Représenttion d une pile. peut l représenter à l ide d un mot fini. Pr convention, on noter l lphet de pile Π. Une pile est donc un mot p Π. Les opértions dont on dispose pour une pile sont tester si l pile est vide, i.e., déterminer si p = ε, empiler, dépiler. 20 Dispositif permettnt de mémoriser un nomre ritrire de symoles pprtennt à un lphet fini. 21 LIFO : Lst In First Out. Penser pr exemple à une pile d ssiettes.

148 144 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques Si w est une pile, empiler le symole σ Π est l opértion w σw. Si w est une pile non vide, elle est de l forme σw, σ Π, w Π, et dépiler un symole est l opértion σw w. On peut étendre ces notions à des mots. Ainsi, empiler un mot u = u 1 u l revient à empiler successivement les lettres u 1,..., u l. Prtnt de l pile w, on otient w u 1 w u 2 u 1 w... u l u 1 w = u R w. Remrque VI.8.1. Dns l suite, il fudr être ttentif à cette sitution fisnt pprître le miroir de u (cf., pr exemple, l reltion de trnsition donnée dns l proposition VI.8.6). Définition VI.8.2. Un utomte à pile 22 est l donnée d un sextuple A = (Q, Σ, Π, δ, q 0, F ) où Q est un ensemle fini d étts, Σ est l lphet de l utomte, Π est l lphet de pile, δ Q Σ Π Q Π est l reltion de trnsition de A, q 0 Q est l étt initil et F Q l ensemle des étts finls. On suppose ien sûr que δ est un ensemle fini. Une configurtion de l utomte à pile est un triplet [q, w, p] de Q Σ Π dont le rôle est de coder l étt q dns lequel se trouve l utomte, le mot w restnt à lire et l étt p de l pile. On psse de l configurtion [q, w, p] à l configurtion [q, w, p ] si il existe une trnsition de A telle que w = mw, p = xy, p = z R y et (q, m, x, q, z) δ. En d utres termes, on lu m, on dépilé x et empilé z. L représenttion sgittle correspondnte est donnée à l figure VI.13. Les utres conventions q m, x/z q Figure VI.13. Une trnsition d un utomte à pile. sont nlogues à celles utilisées pour représenter les utomtes finis. noter dès lors cette trnsition pr [q, w, p] [q, w, p ] On 22 Le modèle présenté ici est non déterministe. Le lecteur ynt déjà rencontré l notion d utomte fini pourr s percevoir qu on est en présence d une reltion de trnsition et non d une fonction de trnsition.

149 VI.8. Automtes à pile 145 et est l fermeture réflexive et trnsitive de. Un mot w est ccepté pr l utomte à pile A si [q 0, w, ε] [q, ε, ε] vec q F. Il est évident que le lngge ccepté pr A est L(A) = {w Σ q F : [q 0, w, ε] [q, ε, ε]}. Deux utomtes à pile sont équivlents s ils cceptent le même lngge. Exemple VI.8.3. L utomte à pile représenté à l figure VI.14 ccepte exctement le lngge { n n n N}. L pile d lphet {A} y est utilisée ε, /A, A/ ε, A/ ε Figure VI.14. Un utomte à pile cceptnt { n n n N}. pour retenir le nomre de qui ont été lus (à chque lu, un A est empilé). De plus, à chque rencontré, on dépile un A. Ainsi, on ne peut otenir une pile vide que si on lu le même nomre de que de. Remrquons églement qu un mot contennt un fcteur ne peut jmis être ccepté pr l utomte. De même, on ne surit lire plus de que de, cr pour pouvoir lire un, il fut être en mesure de dépiler un A. Si les étts sont notés 1 et 2, on pr exemple l suite de configurtions [1,, ε] [1,, A] [1,, AA] [2,, A] [2, ε, ε]. Définition VI.8.4. Un utomte à pile est déterministe s il existe u plus une trnsition résultnt de chque configurtion. Pr exemple, l utomte donné à l figure VI.14 est déterministe. Définition VI.8.5. Un utomte à pile est tomique ou élémentire si chque trnsition est de l une des qutre formes suivntes : (p, ε, ε, q, ε) : chngement d étt, sns ucune utre ction (p, σ, ε, q, ε) : lecture d une lettre σ Σ (p, ε, α, q, ε) : dépilement d une lettre α Π (p, ε, ε, q, α) : empilement d une lettre α Π. Il est clir qu on peut remplcer un utomte à pile pr un utomte à pile élémentire en joutnt de nouveux étts (les constructions sont semlles à celles développées dns le lemme II.2.8). Proposition VI.8.6. Soit G = (V, Σ, P, S) une grmmire hors contexte. L utomte à pile A = (Q, Σ, Π, δ, q 0, F ) où Q = {q 0, f}, Π = V Σ,

150 146 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques F = {f} et l reltion de trnsition δ est donnée pr {(q 0, ε, ε, f, S)} {(f, ε, A, f, w R ) A w P } {(f, σ, σ, f, ε) σ Σ}, ccepte exctement le lngge L(G). ε, ε/s ε, A/w R σ, σ/ε Figure VI.15. Automte cceptnt L(G). Démonstrtion. Montrons tout d ord que si u Σ, v (V Σ) et [f, u, S] [f, ε, v], lors il existe une dérivtion à guche telle que S uv. Nous prouvons ce résultt pr récurrence sur le nomre m de trnsitions à effectuer pour psser de [f, u, S] à [f, ε, v]. Si m = 0, lors u = ε et S = v et il est clir que S S. Supposons le résultt stisfit pour m = t et démontrons-le pour m = t + 1. Puisque les trnsitions de l utomte sont de l forme (σ, σ/ε) ou (ε, A/w R ), il est clir que pour psser de [f, u, S] à [f, ε, v], il y u moins une trnsition de l seconde forme 23. En prticulier, nous llons considérer l dernière fois où l on pplique une trnsition de ce type dns l suite de configurtions mennt de [f, u, S] à [f, ε, v]. Ainsi, [f, u, S] [f, ε, v] se décompose en [f, u, S] [f, r, Av ] [f, r, wv ] } {{ } [f, ε, v] dernière ppliction (ε,a/w R ) où r est un suffixe de u, i.e., u = u r, cr on pu ppliquer certines trnsitions de l forme (σ, σ/ε) pour lire un préfixe u de u et où wv = rv cr pour lire r, puisqu on pplique uniquement des règles de l forme (σ, σ/ε), il fut que wv déute pr r. Ainsi, et donc [f, u, S] = [f, u r, S] [f, ε r, Av ] = [f, r, Av ] [f, u, S] [f, ε, Av ]. Aynt dns ce dernier cs u plus t trnsitions, on peut ppliquer l hypothèse de récurrence : il existe une dérivtion à guche S u Av. 23 En effet, on ne surit ppliquer l trnsition (σ, σ/ε) à l configurtion [f, u, S] puisqu il fudrit dépiler σ d une pile ne contennt que S.

151 VI.8. Automtes à pile 147 Or u pprtient à Σ. Ainsi, si on pplique l règle A w, on conserve une dérivtion à guche et on otient S u Av u wv = u rv = uv. L réciproque est églement vrie. S il existe une dérivtion à guche S uv vec u Σ et v (V Σ), lors [f, u, S] [f, ε, v]. Cette prtie se démontre de mnière semlle à l première prtie 24. Il nous fut à présent prouver que L(A) = L(G). Si w pprtient à L(A), cel signifie que [q 0, w, ε] [f, ε, ε]. Vu l forme de l utomte, on [q 0, w, ε] [f, w, S] [f, ε, ε]. Vu l première prtie de l démonstrtion, il existe une dérivtion à guche telle que S w et donc, L(A) L(G). Pssons à l réciproque. Si w L(G), il existe une dérivtion (que l on peut supposer à guche) telle que S w. Si cette dérivtion est de longueur u moins un, on pplique une dernière règle de l forme A y et on peut écrire S xaz xyz = w vec x, z Σ. Pr l deuxième prtie de l preuve, on [f, x, S] [f, ε, Az]. Ainsi, dns A, on [q 0, w = xyz, ε] [f, xyz, S] [f, yz, Az]. De là, puisque (ε, A/y R ) est une trnsition de A, il vient [f, yz, Az] [f, yz, yz] [f, ε, ε] où pour conclure, on pplique des trnsitions (σ, σ/ε) pour lire et dépiler yz. Remrque VI.8.7. L utomte donné dns l proposition précédente n est en générl ps déterministe cr lorsqu on se trouve dns l étt f et que l pile un sommet A, i.e., lorsque l on se trouve dns une configurtion [f, w, Ap] vec w Σ et p Π, et si l grmmire G possède deux règles de l forme A w 1 et A w 2, lors on peut considérer indifféremment les deux trnsitions (ε, A/w R 1 ) ou (ε, A/wR 2 ). Il nous fut à présent montrer que tout lngge ccepté pr un utomte à pile est lgérique. Nous llons pour ce fire ssocier à un utomte à pile, une grmmire dont les règles sont otenues à prtir des trnsitions de l utomte. Soit A = (Q, Σ, Π, δ, q 0, F ) un utomte à pile où l on peut supposer que δ Q (Σ {ε}) (Π {ε}) Q (Π {ε}). Il est clir qu il ne s git ps d une véritle restriction (on utorise à lire, empiler ou dépiler u plus une lettre; si l utomte n ps l forme voulue, 24 Pr récurrence sur l longueur de l dérivtion.

152 148 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques on peut pr exemple le rendre élémentire). On peut jouter de nouvelles trnsitions à δ sns modifier le lngge ccepté pr l utomte. Ainsi, si (q i, s, ε, q j, p) δ, vec s Σ {ε}, p Π {ε}, lors pour tout A Π, on joute les trnsitions (q i, s, A, q j, Ap). En effet, cel revient à dépiler A puis à l empiler à nouveu (et ensuite on empile p). Tout mot ccepté pr l utomte pour lequel on utilise une trnsition du nouveu type urit pu ussi être ccepté vec l trnsition originle correspondnte. Dns l suite, nous supposerons donc disposer d un tel utomte modifié que nous noterons encore A. Construisons une grmmire G = (V, Σ, P, S) où l ensemle V des vriles est {S} { q i, A, q j q i, q j Q, A Π {ε}}. Un élément de l forme q i, A, q j v être utilisé pour symoliser une suite de trnsitions permettnt de psser de l étt q i à l étt q j en dépilnt A. Les règles de P sont de qutre types S q 0, ε, q, pour tout q F, pour chque trnsition de l forme (q i, s, A, q j, B), s Σ {ε}, A, B Π {ε}, on considère les règles q i, A, q s q j, B, q, pour tout q Q, pour chque trnsition de l forme (q i, s, A, q j, AB), s Σ {ε}, A, B Π, on considère les règles q i, A, q s q j, B, q q, A, q, pour tous q, q Q, q, ε, q ε pour tout q Q. Exemple VI.8.8. Reprenons l utomte à pile introduit dns l exemple VI.8.3 dont les trnsitions sont (1,, ε, 1, A), (1,, A, 2, ε), (2,, A, 2, ε). On y joute l trnsition (1,, A, 1, AA) et on considère l grmmire dont les règles sont

153 VI.8. Automtes à pile 149 S 1, ε, 2 1, ε, 1 1, ε, 1 1, A, 1 (1,, ε, 1, A) 1, ε, 2 1, A, 2 1, A, 1 2, ε, 1 (1,, A, 2, ε) 1, A, 2 2, ε, 2 2, A, 1 2, ε, 1 (2,, A, 2, ε) 2, A, 2 2, ε, 2 1, A, 1 1, A, 1 1, A, 1 (1,, A, 1, AA) 1, A, 1 1, A, 2 2, A, 1 1, A, 2 1, A, 1 1, A, 2 1, A, 2 1, A, 2 2, A, 2 1, ε, 1 ε 2, ε, 2 ε (On indiqué à chque fois, de quelle trnsition provient l règle.) Le mot est ccepté pr l utomte cr on l suite de configurtions [1,, ε] [1,, A] [1,, AA] [2,, A] [2, ε, ε]. Ce mot est ussi généré pr l grmmire en considérnt l dérivtion S 1, ε, 2 1, A, 2 1, A, 2 2, A, 2 2, ε, 2 2, A, 2 2, A, 2 2, ε, 2. Bien que cet exemple ne constitue en rien une preuve, on remrque que l grmmire permet d une certine fçon de tenir compte des lettres lues dns l utomte et de retenir l étt de l pile. Le résultt suivnt peut ussi être considéré comme une conséquence du théorème de Chomsky-Schützenerger (théorème VI.10.3). A l différence de ce dernier, l preuve donnée ici est constructive : on ssocie une grmmire de mnière cnonique à l utomte considéré. Proposition VI.8.9. Tout lngge ccepté pr un utomte à pile A est hors contexte. Démonstrtion. Nous supposons être dns les conditions données cidessus (i.e., nous disposons d un utomte à pile A modifié uquel on ssocié une grmmire G). Avec les nottions qui précèdent, nous devons montrer que dns A, [q 0, w, ε] [q, ε, ε] vec q F si et seulement si il existe une dérivtion de l grmmire G telle que S w. Montrons tout d ord que si [q i, w, A] [q j, ε, ε] vec A Π {ε}, lors il existe une dérivtion de G telle que q i, A, q j w. On procède pr récurrence sur l longueur de l suite de configurtions. Si celle-ci est nulle, q i = q j, w = ε, A = ε et pour conclure, on remrque que q i, ε, q i ε est une règle de G. Supposons le résultt cquis pour une suite de longueur n et vérifions-le pour une suite de longueur n + 1. Si [q i, w, A] [q j, ε, ε] vec une suite de n + 1 trnsitions, lors on peut décomposer cette suite

154 150 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques en l ppliction d une première trnsition suivie pr n utres. On deux possiilités. Tout d ord [q i, w, A] [q k, v, B] [q j, ε, ε] si w = sv et (q i, s, A, q k, B) δ, s Σ {ε}. Pr hypothèse de récurrence, on q k, B, q j v. De plus, à l trnsition (q i, s, A, q k, B) correspond notmment l règle q i, A, q j s q k, B, q j. Ainsi, L utre sitution à envisger est q i, A, q j s q k, B, q j sv = w. [q i, w, A] [q k, v, BA] [q l, y, A] [q j, ε, ε] où l première trnsition est de l forme (q i, s, A, q k, AB), s Σ {ε} et w = sv, v = xy. L grmmire contient l règle q i, A, q j s q k, B, q l q l, A, q j. Puisque [q k, v, BA] [q l, y, A] et que v = xy, on en tire que [q k, x, B] [q l, ε, ε]. Donc pr hypothèse de récurrence, on D où q k, B, q l x et q l, A, q j y. q i, A, q j s q k, B, q l q l, A, q j sxy = w. De là, on en conclut isément que L(A) L(G). Montrons à présent que si q i, A, q j w, w Σ, A Π {ε}, lors [q i, w, A] [q j, ε, ε]. On procède une fois encore pr récurrence sur l longueur de l dérivtion. S il s git d une dérivtion de longueur un, les seules règles de l grmmire donnnt un symole terminl sont de l forme q, ε, q ε et on ien [q i, ε, ε] [q i, ε, ε]. Supposons à présent l propriété stisfite pour les dérivtions de longueur u plus n et démontronsl pour les dérivtions de longueur n + 1. Si l première règle ppliquée est de l forme q i, A, q j s q k, B, q j, lors on q i, A, q j s q k, B, q j sv = w. Pr hypothèse de récurrence, [q k, v, B] [q j, ε, ε]. De plus, pr construction de G, l règle q i, A, q j s q k, B, q j provient de l trnsition (q i, s, A, q k, B) et [q i, sv, A] [q k, v, B]. L seconde possiilité est que l première règle ppliquée soit de l forme q i, A, q j s q k, B, q m q m, A, q j. Dns ce cs, on q i, A, q j s q k, B, q m q m, A, q j w vec q k, B, q m x, q m, A, q j y et w = sxy. On conclut en ppliqunt deux fois l hypothèse de récurrence. L(G) L(A) et ceci termine l preuve. Dès lors, Corollire VI Un lngge est lgérique si et seulement si il est ccepté pr un utomte à pile.

155 VI.9. Stilité du crctère lgérique 151 Démonstrtion. Cel résulte imméditement des propositions VI.8.6 et VI.8.9. Remrque VI Dns le cdre des lngges réguliers, nous vons montré que les ensemles des lngges cceptés pr utomte fini déterministe ou non déterministe coïncident. Ainsi, le crctère non déterministe n pporte rien du point de vue des lngges cceptés (il pporte nénmoins des fcilités de construction non négligeles). On peut nturellement se poser l même question dns le cs des lngges lgériques. On peut montrer 25 que l clsse des lngges cceptés pr un utomte à pile déterministe est un sous-ensemle strict des lngges lgériques. Il s git des lngges préfixes. Un lngge L Σ est préfixe si u, v Σ : u L, uv L v = ε. Autrement dit, si un mot u est dns L, ucun préfixe propre de u n pprtient à L. 9. Stilité du crctère lgérique Nous vons vu précédemment que l ensemle des lngges lgériques étit stle pour l union, l concténtion et l étoile de Kleene. Nous llons montrer ici que l intersection de deux lngges lgériques n est en générl ps lgérique. Pr conséquent, le complémentire d un lngge lgérique n est en générl ps lgérique. Nénmoins, l intersection d un lngge lgérique et d un lngge régulier est encore lgérique. Exemple VI.9.1. Le lngge L = { n n n N}c est lgérique cr il s otient comme l concténtion de deux lngges lgériques (cf. proposition VI.4.3). De même, le lngge M = { n c n n N} est ussi lgérique. Il est clir que L M = { n n c n n N} n est ps lgérique. Ainsi, cet exemple montre que l ensemle des lngges lgériques n est ps stle pour l intersection. Remrque VI.9.2. Supposons que pour tout lngge L Σ, L lgérique entrîne Σ \ L lgérique. Dns ce cs, puisque L M = Σ \ ((Σ \ L) (Σ \ M)), on pourrit en conclure que l intersection de deux lngges lgériques est encore lgérique (en effet, nous svons que l union de deux lngges lgériques est lgérique, cf. proposition VI.4.2). Ainsi, l ensemle des lngges lgériques ne peut ps être stle pour le pssge u complémentire. 25 Voir pr exemple, J.-M. Auteert, Lngges Algériques, études et recherche en informtique, Msson, Pris, (1987).

156 152 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques Théorème VI.9.3. Soient R Σ un lngge régulier et L Σ un lngge lgérique. Le lngge L R est lgérique. Démonstrtion. L idée de l démonstrtion consiste, tout comme dns le cs de l intersection de deux lngges réguliers, à construire un utomte produit simulnt simultnément le comportement d un utomte fini déterministe cceptnt R et d un utomte à pile cceptnt L. Soient A = (Q, q 0, F, Σ, δ) et A = (Q, Σ, Π, δ, q 0, F ) deux tels utomtes où A est supposé élémentire 26. On considère l utomte à pile P = (Q Q, Σ, Π, τ, (q 0, q 0 ), F F ) où l reltion de trnsition τ est donnée pr et ((q i, q i), σ, x, (q j, q j), y) τ si δ(q i, σ) = q j et (q i, σ, x, q j, y) δ ((q i, q i), ε, x, (q i, q j), y) τ si (q i, ε, x, q j, y) δ. Il est fcile de se convincre que le lngge ccepté pr P est exctement L R. On conclut en utilisnt l proposition VI.8.9. Lemme VI.9.4. L ensemle des lngges lgériques est stle pr morphisme. Démonstrtion. Soient L Σ un lngge lgérique généré pr G = (V, Σ, P, S) et h : Σ Γ un morphisme. Nous supposerons de plus que les trois lphets V, Σ et Γ sont deux à deux disjoints. Considérons l grmmire G = (V Σ, Γ, P, S) où P = P {σ h(σ) σ Σ}. Il est clir que cette nouvelle grmmire génère le lngge h(l). 10. Un théorème de Schützenerger Nous terminons ce chpitre pr une crctéristion des lngges cceptés pr un utomte à pile. Ainsi, ce résultt montre en prticulier qu un lngge lgérique peut toujours s otenir comme l imge pr un morphisme de l intersection d un lngge régulier et du lngge formé de mots trnsformnt l pile vide en elle-même. Expliquons notre propos. Dns cette section A = (Q, Σ, Π, δ, q 0, F ) est un utomte à pile fixé une fois pour toutes et supposé élémentire. Si Π = {π 1,..., π k }, on considère l lphet Φ = Σ {e 1,..., e k, d 1,..., d k } où e 1,..., e k, d 1,..., d k sont de nouveux symoles 27. Si p Π représente l étt de l pile, les éléments de Φ gissent sur p comme suit : 26 Il fut surtout ne pouvoir lire qu u plus une lettre de Σ à chque trnsition. 27 e comme empilement et d comme dépilement

157 VI.10. Un théorème de Schützenerger 153 σ Σ, σ.p = p, i {1,..., k}, e i.p = π i p, si p = π i p, lors d i.p = p. Si x = x 1 x n Φ, on x.p = x 1.( (x n 1.(x n.p)) ) pour utnt que ces opértions puissent être définies 28. En prticulier, xy.p = x.(y.p), x, y Φ. Définition VI Avec les nottions qui précèdent, on introduit le lngge D A formé des mots qui trnsforment l pile vide en elle-même, i.e., D A = {x Φ x.ε = ε}. Proposition VI Le lngge D A est lgérique et généré pr l grmmire dont les règles sont données pr S Sd 1 Se 1 S Sd k Se k S σ 1 S σ m S ε. Démonstrtion. Soit w D A. Montrons que S w pr récurrence sur w. Si w = ε, le résultt est stisfit. Supposons le résultt cquis pour les mots de longueur u plus l et vérifions-le pour les mots de longueur l + 1. Si w Σ l+1, le résultt est immédit. Il suffit d ppliquer l + 1 règles S σ t S. Nous pouvons donc supposer que w contient un symole e i (que nous prenons le plus à droite possile dns w), i.e., w = ue i z, vec u Φ, z Σ. Il est clir que z ne contient ps de symole e j (pr choix de e i ), mis il ne peut non plus contenir des symoles d j (cr w ne définirit ps une ction vlide). De plus, à ce symole e i rélisnt l empilement de π i, il correspond exctement un symole d i le dépilnt (cr w D A ). Ainsi, on w = xd i ye i z, vec x, y Φ. De là, on tire que x, y et z pprtiennent à D A. En ppliqunt trois fois l hypothèse de récurrence, on S x, S y, S z. On conclut en remrqunt que S Sd i Se i S xd i ye i z = w. Pssons à l réciproque et vérifions que si S w, w Φ, lors w pprtient à D A. Pour tout p Π, on pose S.p = p. De cette fçon, on étend l ction sur Π de Φ à (Φ {S}). Montrons pr récurrence sur l longueur de l dérivtion que si S w, w (Φ {S}), lors w.p = p pour tout p Π. Si l dérivtion est de longueur nulle, on ien S.p = p. Supposons le résultt stisfit pour les dérivtions de longueur u plus k et vérifions-le pour une dérivtion de longueur k + 1. Ainsi, en mettnt en évidence l dernière règle ppliquée, cette dérivtion se décompose en S w 1 Sw 2 w. 28 Pr exemple, d2e 1.p n est jmis défini et ce, quel que soit p. En effet, e 1 empile π 1 et on devrit ensuite dépiler e 2 qui ne se trouve ps u sommet de l pile.

158 154 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques Si l dernière règle ppliquée est de l forme S Sd i Se i S, lors w = w 1 Sd i Se i Sw 2 et pour tout p Π, on w 1 Sd i Se i Sw 2.p = w 1 Sd i Se i S.(w 2.p) = w 1 Sd i Se i.(w 2.p) = w 1 Sd i S.(π i (w 2.p)) = w 1 Sd i.(π i (w 2.p)) = w 1 S.(w 2.p) = (w 1 Sw 2 ).p = p où, à l dernière ligne, on ppliqué l hypothèse de récurrence. Si l dernière règle ppliquée est de l forme S σ i S, lors w = w 1 σ i Sw 2 et pour tout p Π, w 1 σ i Sw 2.p = w 1 σ i S.(w 2.p) = w 1 σ i.(w 2.p) = w 1.(w 2.p) = (w 1 Sw 2 ).p = p. Enfin, si l dernière règle ppliquée est de l forme S ε, w = w 1 w 2 et pour tout p Π, w 1 w 2.p = (w 1 Sw 2 ).p = p. Ceci conclut l preuve. Théorème VI.10.3 (Thm. de représenttion de Chomsky-Schützenerger). Soit L Σ un lngge ccepté pr un utomte à pile A. Il existe un morphisme h : Φ Σ et un lngge régulier R Φ tel que En prticulier, L est lgérique. L = h(d R A R). Démonstrtion. Puisque nous supposons A élémentire, on peut voir cet utomte comme un utomte fini sur l lphet Φ. En effet, il suffit de remplcer les trnsitions pr des rcs de lel pprtennt à Φ : (p, ε, ε, q, ε) devient p ε q, (p, σ i, ε, q, ε) devient p σ i q, (p, ε, π i, q, ε) devient p e i q, (p, ε, ε, q, π i ) devient p d i q. Pr le théorème de Kleene, le lngge R Φ ccepté pr cet utomte est régulier. Soit w Σ, un mot ccepté pr l utomte à pile A. Cel signifie que [q 0, w, ε] [q, ε, ε], vec q F. A ce mot, il correspond donc un chemin dns A de lel W Φ déutnt en q 0 et outissnt en q F. Puisque, pour être ccepté pr l utomte, l suite de configurtions déute et se finit pr une pile vide, il est clir que W R pprtient à D A. De plus, W pprtient à R. On retrouve w en ppliqunt à W le morphisme h : Φ Σ : σ i σ i e i ε d i ε.

159 VI.11. Exercices 155 Ce morphisme est simplement défini pour effcer les lettres de Φ \ Σ. Réciproquement, si W Φ pprtient à DA R R, lors on se convinc isément que h(w ) est un mot ccepté pr l utomte. Exemple VI On représenté à l figure VI.16 un utomte à pile élémentire cceptnt { n n n N}. Le lngge régulier ccepté pr cet e A d A d A Figure VI.16. Automte élémentire cceptnt { n n n N}. utomte est R = ( e A ) ( d A ). De plus, D A = {d n A en A n N}. Ce lngge est généré pr l grmmire S ε d A Se A. Pr exemple, le mot e A e A d A pprtient à R mis n pprtient ps à DA R cr le mot miroir d A e A e A ne trnsforme ps l pile vide en l pile vide, en effet: d A e A e A.ε = A. Ainsi, e A e A d A n pprtient ps à D A R. Pr contre, le mot e A d A pprtient à R et à DA R cr d A e A.ε = ε. Si on lui pplique le morphisme h, on trouve qui est ien un mot du lngge. h( e A d A ) = 11. Exercices Exercice VI Déterminer une grmmire hors contexte générnt les lngges L = {ww R w {, } } et M = {wcw R w {, } }. Exercice VI Décrire une grmmire hors contexte générnt les lngges { n n c m n, m N}, et { n m c m n, m N} { n m m > n 0}.

160 156 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques Exercice VI Le lngge { i j c k i j ou i k} est-il lgérique? Justifier votre réponse. Exercice VI Le lngge L = {w {,, c} : w = w = w c } est-il lgérique? Justifier. Remrquer qu il s git, en prticulier, de l clôture commuttive du lngge { n n c n n N}. Exercice VI Dns le pln muni d un repère orthonormé, on symolise un déplcement d une unité vers l droite (resp. l guche, le hut, le s) pr l lettre D (resp. G, H, B). Ainsi, une suite de déplcements est représentée pr un mot sur {D, G, H, B}. Crctériser le lngge des mots qui correspondent à un déplcement de deux unités vers l droite. Ce lngge est-il lgérique? Justifier. Exercice VI Soit le morphisme f tel que f() = et f() =. Le lngge L = {wf(w) w {, } } est-il lgérique? Exercice VI Le lngge formé des mots comprennt deux fois plus de que de est-il lgérique? Même question vec le lngge L = {w {, } : w = 2 w + 3}. Exercice VI Le lngge des plindromes est-il lgérique? Justifier. Même question en considérnt uniquement les plindromes de longueur pire. Exercice VI Donnez l description d un utomte à pile déterministe cceptnt le lngge {wcw R w {, } }. Exercice VI Décrire un utomte à pile cceptnt le lngge formé des plindromes sur l lphet {, }. Même question en considérnt uniquement les plindromes de longueur pire. Exercice VI Quels sont les lngges cceptés respectivement pr les utomtes à pile suivnts Exercice VI Décrire un utomte à pile cceptnt le lngge L formé des mots sur {, } pour lesquels il existe un préfixe contennt (strictement) plus de que de, i.e., u, v {, } : w = uv et u > u. Pr exemple,, et pprtiennent à L mis et n y pprtiennent ps.

161 VI.11. Exercices 157 ε, /AAA, A/ε, ε/aaa, A/ε, ε/aaa, A/ε, A/ ε, A/ ε Figure VI.17. Automtes à pile. Exercice VI Montrer que si l utomte à pile A = (Q, Σ, Π, δ, q 0, F ) est élémentire lors les lngges G p,q = {x Π m Σ : [p, m, x] [q, ε, ε]}, p, q Q sont réguliers. (Suggestion : exprimer t 1.G p,q à l ide des différents lngges G r,s, t Π.) Exercice VI Utiliser le lemme de l pompe pour montrer que les lngges suivnts ne sont ps lgériques { k2 k N} { i j c i d j i, j 0} L ensemle des préfixes de longueur finie du mot infini n n+1 et Exercice VI Les lngges suivnts sont-ils lgériques? L = { i 2i c j i, j 0}, M = { j i c 2i i, j 0} L M. Exercice VI Soit le lngge L = {ww w {, } }. Montrer que {, } \ L est lgérique mis que L ne l est ps. Exercice VI Fournir une grmmire hors contexte générnt le lngge L = { i j c j d 2i i, j N}. Exercice VI Fournir une grmmire hors contexte générnt le lngge formé des mots sur {,, c} qui commencent pr, se terminent pr c et qui comprennent un nomre pir de c. Exercice VI Mettre sous forme essentiellement monotone l grmmire suivnte (élimintion des ε-productions)

162 158 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques S ACA A A B C B B C cc ε. Si l grmmire otenue contient des 1-productions, les éliminer elles ussi pour otenir une grmmire équivlente. Exercice VI Mettre sous forme essentiellement monotone l grmmire suivnte (élimintion des ε-productions) S ABC A A ε B B ε C cc ε. Quel est le lngge généré pr cette grmmire? Exercice VI Mettre sous forme normle de Chomsky, l grmmire suivnte S ABA BB A A B cb c. Exercice VI Mettre sous forme normle de Chomsky, l grmmire suivnte S A AB AA A A ε B B BC C CB CA B. Exercice VI Fournir une grmmire non restrictive de type 0 générnt le lngge {ww w {, } }. Même question vec le lngge {w 3 w {, } }.

163 Biliogrphie [1] A. Aho, J. Ullmn, Concepts fondmentux de l informtique, Dunod, Pris, (1993). [2] A. Aho, R. Sethi, J. Ullmn, Compilers: Principles, Techniques, nd Tools, Addison- Wesley, (1986). [3] J.-P. Allouche, J. Shllit, Automtic Sequences, Theory, Applictions, Generliztions, Cmridge University Press, Cmridge, (2003). [4] J.-P. Allouche, J. Shllit, The uiquitous Prouhet-Thue-Morse sequence, Sequences nd their pplictions (Singpore, 1998), 1 16, Springer Ser. Discrete Mth. Theor. Comput. Sci., Springer, London, [5] J.-M. Auteert, Lngges lgériques, études et recherches en informtique, Msson, Pris, (1987). [6] J.-M. Auteert, J. Berstel, L. Bosson, Context-Free Lnguges nd Pushdown Automt, Hndook of Forml Lngugues, Vol. 1, Springer, (1997). [7] E. Bch, J. Shllit, Algorithmic numer theory, Efficient lgorithms, Foundtions of Computing Series, MIT Press, Cmridge, MA, (1996). [8] J. Berstel, L. Bosson, The set of miniml words of context-free lnguge is contextfree, J. Comput. System Sci. 55 (1997), [9] J. Berstel, C. Reutenuer, Les séries rtionnelles et leurs lngges, Études et Recherches en Informtique, Msson, Pris, (1984). [10] J. Berstel, D. Perrin, The origins of comintorics on words, Europen J. Comin. 28 (2007), [11] V. Berthé, Comintoire des mots, cours de DEA, Univ. Montpellier II (2006). [12] V. Bruyère, G. Hnsel, C. Michux, R. Villemire, Logic nd p-recognizle sets of integers, Journées Montoises (Mons, 1992), Bull. Belg. Mth. Soc. 1 (1994), [13] J. H. Conwy, Regulr Alger nd Finite Mchines, Mthemtics Series, Chpmn nd Hll, London, (1971). [14] Ding-Zhu Du, Ker-I Ko, Prolem solving in Automt, Lnguges, And Complexity, John Wiley & Sons, (2001). [15] S. Eilenerg, Automt, Lnguges, nd Mchines, Vol A., Acdemic Press, New York-London, (1974). [16] S. Eilenerg, Automt, Lnguges, nd Mchines, Vol B., Acdemic Press, New York-London, (1976). [17] B. Khoussinov, A. Nerode, Automt Theory nd its Applictions, Progress in Computer Science nd Applied Logic, Vol. 21, Birkhäuser, Boston, (2003). [18] M. V. Lwson, Finite Automt, Chpmn & Hll/CRC Press, (2003). [19] P. Lecomte, Algorithmitique et Clculilité, notes de cours, Université de Liège, [20] P. Lecomte, M. Rigo, Numertion systems on regulr lnguge, Theory Comput. Syst. 34 (2001), [21] M. Lothire, Comintorics on words, Cmridge Mthemticl Lirry, Cmridge University Press, Cmridge, [22] M. Lothire, Algeric Comintorics on Words, Encyclopedi of Mthemtics nd its Applictions 90, Cmridge University Press, Cmridge, (2002). [23] A. Mteescu, A. Slom, Forml Lnguges: n Introduction nd Synopsis, Hndook of Forml Lngugues, vol. 1, Springer, (1997). 159

164 160 Chpitre VI. Biliogrphie [24] D. Perrin, Finite Automt, Hndook of Theoreticl Computer Science, J. vn Leeuwen Ed., Elsevier, (1990), [25] D. Perrin, Les déuts de l théorie des utomtes, Technique et Science Informtique 14 (1995), [26] M. Rigo, Automtes et numértion, Bull. Soc. Royle Sci. Liège 74 (2005), [27] J. Skrovitch, Élements de théorie des utomtes, Vuiert, Pris, (2003). [28] A. Slom, Theory of Automt, Interntionl series of monogrps on pure nd pplied mthemtics, Pergmon Press, Oxford, (1969). [29] J. Shllit, Numertion systems, liner recurrences, nd regulr sets, Informtion nd Computtion 113 (1994), [30] T. A. Sudkmp, Lnguges nd Mchines, An Introduction to the Theory of Computer Science, second edition, Addison-Wesley, Msschusetts, (1997). [31] A. Szilrd, S. Yu, K. Zhng, J. Shllit, Chrcterizing regulr lnguges with polynomil densities, MFCS 1992, Lect. Notes in Comput. Sci. 629, , Springer, (1992). [32] W. Thoms, Automt on infinite ojects, in Hndook of theoreticl computer science, Vol. B, , Elsevier, Amsterdm, [33] S. Yu, Regulr Lnguges, Hndook of Forml Lngugues, vol. 1, Springer, (1997). [34] P. Wolper, Introduction à l clculilité, InterEditions, Pris, (1991).

165 Liste des figures I.1 uv = vu. 5 I.2 xy = yz, x y. 6 I.3 xy = yz, x < y. 6 I.4 Prépériode et période. 20 II.1 Un AFD. 28 II.2 Un utomte fini déterministe. 29 II.3 Un AFND. 30 II.4 Un AFND vec ε-trnsitions. 31 II.5 Un AFND non élémentire A. 32 II.6 Un AFND élémentire équivlent à A. 32 II.7 Un utomte non élémentire. 34 II.8 Un utomte fini non déterministe. 35 II.9 AFD équivlent à l AFND de l figure II II.10 un ANFD cceptnt (). 36 II.11 un AFD cceptnt (). 37 II.12 L utomte A II.13 Un AFD cceptnt L II.14 Un AFD sur un lphet unire. 38 II.15 Représenttion symolique d un utomte. 39 II.16 Considérer un unique étt initil n est ps une restriction. 40 II.17 Automte cceptnt L(A) L(B). 40 II.18 Automte cceptnt L(A)L(B). 41 II.19 Automte cceptnt (L(A)). 41 II.20 Un AFND cceptnt (). 42 II.21 AFD cceptnt et (cd). 45 II.22 AFD shuffle. 46 II.23 Deux utomtes finis déterministes. 47 II.24 Un AFND. 47 II.25 Un AFND à rendre déterministe

166 162 Liste des figures II.26 Un AFND. 48 III.1 AFD et AFND cceptnt. 51 III.2 AFD et AFND cceptnt {ε}. 51 III.3 AFD et AFND cceptnt {σ}. 51 III.4 AFND cceptnt {} et {}. 52 III.5 AFND cceptnt {}. 52 III.6 AFND équivlent cceptnt {}. 52 III.7 AFND cceptnt {} {}. 52 III.8 AFND cceptnt {} {}{} {}. 53 III.9 AFND équivlent cceptnt {} {}{} {}. 53 III.10 AFND cceptnt ({} {}{} {}). 53 III.11 AFND cceptnt ({} {}{} {}) {}. 53 III.12 Un utomte fini étendu (AFE). 54 III.13 Le pivotge. 55 III.14 Un AFE vnt élimintion de l étt III.15 AFE équivlent près élimintion de l étt III.16 AFE équivlent près élimintion de l étt III.17 Le lemme de l pompe. 59 III.18 Expression régulière du lngge ccepté. 62 III.19 Expression régulière du lngge ccepté. 62 IV.1 Trois AFD équivlents. 63 IV.2 q 1.F = w 1.L si δ(q 0, w) = q. 65 IV.3 Un utomte miniml. 68 IV.4 L utomte miniml d un lngge non régulier. 68 IV.5 IV.6 Une ppliction Φ stisfisnt les propriétés du théorème IV Un AFD dont on recherche les étts équivlents pour A. 73 IV.7 Un utomte miniml. 74 IV.8 Un AFD ccessile A. 74 IV.9 Un AFD A. 76 IV.10 L utomte A R. 76 IV.11 L utomte µ(a). 77 IV.12 L utomte (µ(a)) R. 77 IV.13 L utomte µ(µ(a)). 77 IV.14 Un AFD. 81

167 Liste des figures 163 IV.15 Un utre AFD. 82 IV.16 Un utre AFD dont on cherche le miniml. 83 IV.17 Recherche des étts équivlents. 83 V.1 Un trnsducteur. 85 V.2 Un trnsducteur clculnt le morphisme f. 86 V.3 wv pprtient à Σ u. 89 V.4 Un utomte détectnt. 91 V.5 Un utomte détectnt gt. 91 V.6 Un utomte détectnt nns. 92 V.7 AFD cceptnt les mots ne contennt ps. 92 V.8 Chemins de longueur n + 1 joignnt q à r. 93 V.9 Projection Φ : Q Q L sur A L. 98 V.10 Sitution dns l utomte miniml. 101 V.11 Sitution dns l utomte miniml. 102 V.12 AFD cceptnt les mots ne contennt ps. 103 V.13 Grphe ssocié à H L. 103 V.14 Automte miniml de L = {w : w w 0 (mod 2)}. 104 V.15 Indice et période. 106 V.16 Un AFD dont on recherche le monoïde syntxique du lngge ssocié. 111 V.17 Un AFD dont on recherche le monoïde syntxique. 111 V.18 Deux AFD. 112 V.19 Un AFD. 112 VI.1 Un rre. 119 VI.2 Des rres d nlyse. 120 VI.3 Arres d nlyse provennt de dérivtions. 121 VI.4 Un rre d nlyse. 122 VI.5 Un rre d nlyse pour VI.6 Un rre d nlyse pour VI.7 Deux rres d nlyse pour VI.8 VI.9 VI.10 Arres d nlyse de et pour une grmmire non miguë. 125 Arres d nlyse de huteur 1 pour une grmmire mise sous forme normle de Chomsky. 140 Un rre d nlyse pour une grmmire sous forme de Chomsky. 141

168 164 Liste des figures VI.11 Un rre d nlyse vec A pprissnt deux fois. 141 VI.12 Représenttion d une pile. 143 VI.13 Une trnsition d un utomte à pile. 144 VI.14 Un utomte à pile cceptnt { n n n N}. 145 VI.15 Automte cceptnt L(G). 146 VI.16 Automte élémentire cceptnt { n n n N}. 155 VI.17 Automtes à pile. 157

169 Index Nottions D A (pile vide) D σ L (dérivé) E u (p) (recherche d un mot) F (étts finls) , 29 L (étoile de Kleene) L L n (puissnce) Q (étts) , 29 S A L (utomte miniml) (reltion de trnsition) δ (fonction de trnsition) L (congruence syntxique) C (sous-groupe) H L (monoïde des trnsitions) Com(L) (clôture commuttive) Pl(Σ ) (plindromes) µ(a) (déterminisé de A R ) π 2 (vleur se 2) ψ (fonction de Prikh) ρ L (complexité) , 92 (shuffle) L (congruence de Nerode) k L (rcine d un lngge) ε (mot vide) ε-production ε-trnsitions w (longueur) w σ (nomre de lettres) q 1.G q 0 (étt initil) w R (miroir) w 1.L Rt(Σ ) Fc(L) Fc(w) Pref(L) Pref(w) Suff(L) Suff(w) A djcence (mtrice) AFD AFE AFND lgorithme 1-production étts équivlents constr. pr sous-ensemles McNughton-Ymd otention expression régulière.. 56 semi-groupe périodique symoles inutiles vriles effçles lphet ncêtre rre d nlyse fruit utomte émondé à pile élémentire tomique configurtion déterminsite equivlent ccessile complet elémentire equivlent , 54 fini déterministe

170 166 Index B fini etendu fini non déterministe miniml réduit sns permuttion Br-Hillel (théorème de) C chevuchement Chomsky -Schützenerger (théorème) forme normle hiérrchie (de) clôture rtionnelle clôture commuttive code comintoire des mots complexité congruence syntxique constnte D dépiler dérivtion à guche à droite descendnt distnce non-rchimédienne ultrmétrique Dyck (lngge de) E empiler ensemle linéire semi-linéire ultimement périodique ett , 29 ccessile coccessile finl , 29 initil , 29 etoile (lemme) etoile de Kleene expression régulière F équivlente sns étoile fcteur propre fctoriel (lngge) fils fonction complexité (de) Prikh (de) rtionnelle trnsition G grmmire équivlente lgérique dépendnt du contexte hors contexte linéire monotone non contrctnte non miguë non restrictive production régulière règle de dérivtion symole non terminl terminl symole initil vrile Greich forme normle I inévitle indice K Kleene étoile théorème (de) L lngge ccepté , 30, 54 lgérique

171 Index 167 commuttif concténtion Dyck etoile fctoriel hors contexte imge inverse pr morphisme imge pr morphisme miroir non migu préfixe préfixiel puissnce régulier rcine k-ième rtionnel sns étoile shuffle suffixiel lettre linéire M mtrice (djcence) McNughton-Ymd lgorithme miroir monoïde syntxique morphisme effçnt non effçnt mot concténtion constnt infini longueur période primitif vide Myhill-Nerode (théorème de) N Nerode (congruence) O opértion rtionnelle P période , 20, 107, 142 père plindrome Prikh fonction théorème vecteur prtie rtionnelle pile dépiler empiler pompe (lemme) , 140 pompe (lemme, version forte) préfixe lngge propre préfixiel (lngge) prépériode primitif production R règle de dérivtion Rin M. O rcine primitive rtionel clôture rtionnel lngge opértion rtionnelle (fonction) reltion de trnsition S série génértrice Schützenerger (théorème de)108, 154 Scott D semi-groupe périodique indice neutre période zéro semi-linéire shuffle suset construction suffixe propre

172 168 Index suffixiel (lngge) symole initil inutile non terminl terminl utile syntxique conguence monoïde T théorème Br-Hillel Chomsky-Schützenerger Kleene Myhill-Nerode Prikh Schützenerger trnsducteur trnsition fonction reltion U ultimement périodique V vrile ccessile effçle inccessile vecteur de Prikh