Théorie des automates et langages formels

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1 Fculté des sciences Déprtement de mthémtiques Théorie des utomtes et lngges formels 1 4 7, d c d 2 c c d 5 c d c d, 8 c d 3 6 9,c,d,c,d,,c,d Année cdémique Michel Rigo

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3 Tle des mtières Chpitre I. Mots et lngges 1 1. Premières définitions 1 2. Lngges Expressions régulières et lngges ssociés Exercices 22 Chpitre II. Automtes Automtes finis déterministes Automtes non déterministes Stilité des lngges cceptés pr utomte Produit d utomtes Exercices 46 Chpitre III. Lngges réguliers et utomtes Des expressions ux utomtes Des utomtes ux expressions régulières Stilité de l régulrité Critère de non-régulrité Exercices 61 Chpitre IV. Automte miniml Introduction Congruence syntxique Automte miniml Construction de l utomte miniml Applictions Exercices 81 Chpitre V. Quelques compléments sur les lngges réguliers Trnsduction Recherche d un mot dns un texte Fonction de complexité d un lngge régulier Monoïde syntxique Lngges sns étoile Exercices 109 Chpitre VI. Introduction ux lngges lgériques Premières définitions 115 i

4 ii Chpitre. Tle des mtières 2. Arres d nlyse Une illustrtion de l miguité Grmmires et lngges réguliers A propos de l hiérrchie de Chomsky Formes normles Lemme de l pompe Automtes à pile Stilité du crctère lgérique Un théorème de Schützenerger Exercices 155 Biliogrphie 159 Liste des figures 161 Index 165

5 CHAPITRE I Mots et lngges Ce premier chpitre introduit quelques concepts fondmentux de l théorie des lngges formels et de l comintoire sur les mots. L comintoire des mots étudie les propriétés des suites de symoles. L théorie des lngges formels engloe l théorie des utomtes et s intéresse ux propriétés mthémtiques des lngges qui sont des ensemles de mots. Elle trouve notmment des pplictions en vérifiction et pour l compiltion. 1. Premières définitions Définition I.1.1. Un lphet est un ensemle fini. Un lphet ser en générl désigné pr une lettre grecque mjuscule. Ainsi, Σ = {,, c}, Γ = {,,, }, = {0, 1}, Φ = {,,, } sont des lphets. Les éléments d un lphet sont ppelés lettres ou symoles Exemple I.1.2. Le iologiste intéressé pr l étude de l ADN utiliser un lphet à qutre lettres {A, C, G, T } pour les qutre constitunts des gènes: Adénine, Cytosine, Gunine et Thymine. Définition I.1.3. Soit Σ un lphet. Un mot sur Σ est une suite finie (et ordonnée) de symoles. Pr exemple, c et sont deux mots sur l lphet {,, c}. L longueur d un mot w est le nomre de symoles constitunt ce mot; on l note w. Ainsi, c = 5 et = 2. L unique mot de longueur 0 est le mot correspondnt à l suite vide. Ce mot s ppelle le mot vide et on le note ε. L ensemle des mots sur Σ est noté Σ. Pr exemple, {,, c} = {ε,,, c,,, c,,, c, c, c, cc,,,...}. Définition I.1.4. Si σ est une lettre de l lphet Σ, pour tout mot w = w 1 w k Σ, on dénote pr w σ = #{i {1,..., k} w i = σ} le nomre de lettres σ i pprissnt dns le mot w. Pr exemple, c = 2 et c c = 1. 1

6 2 Chpitre I. Mots et lngges Si l lphet Σ de crdinl n 1 est ordonné, on pourr le considérer comme un n-uple Σ = (σ 1,..., σ n ). On définit lors l fonction de Prikh ψ : Σ N n pr ψ(w) = ( w σ1,..., w σn ). Le n-uple ψ(w) est ppelé vecteur de Prikh de w. Il est clir que si n > 1, lors ψ n est ps injectif. Définition I.1.5. Soit w = w 1 w l un mot sur Σ. Les mots ε, w 1, w 1 w 2,..., w 1 w l 1, w 1 w l = w sont les préfixes de w. Un préfixe de w différent de ε et de w est dit propre. De fçon semlle, ε, w l, w l 1 w l,..., w 2 w l, w 1 w l = w sont les suffixes de w. Un suffixe de w est qulifié de propre s il diffère de ε et de w. Soient 1 i j l. Le mot w i w j est un fcteur du mot w. On le note prfois w[i, j]. Une fois encore, on prle de fcteur propre lorsque ce dernier diffère de w et de ε. L ensemle des préfixes (resp. suffixes, fcteurs) de w est noté Pref(w) (resp. Suff(w), Fc(w)). Remrque I.1.6. On peut oserver que puisque Σ est un ensemle fini, Σ est dénomrle 1. Rppelons l définition d un monoïde. Définition I.1.7. Soient A un ensemle et : A A A une opértion inire interne et prtout définie. L ensemle A muni de l opértion possède une structure de monoïde si les propriétés suivntes sont stisfites. L opértion est ssocitive : x, y, z A : (x y) z = x (y z). Il existe un neutre (unique) e A tel que x A : x e = e x = x. Remrque I.1.8. Un monoïde (A, ) qui est tel que tout élément de A possède un inverse est un groupe. Exemple I.1.9. Tout groupe est un monoïde; (N, +) est un monoïde qui n est ps un groupe. Profitons-en pour rppeler l définition d un morphisme de monoïdes. 1 En effet, les éléments de Σ peuvent chcun être crctérisés pr un nomre fini d indices prennt leur vleur dns des ensemles dénomrles (ici, il s git même d ensemles finis, à svoir Σ).

7 I.1. Premières définitions 3 Définition I Soient (A, ) et (B, ) deux monoïdes de neutre respectif e A et e B. Une ppliction f : A B est un morphisme (ou encore homomorphisme) de monoïdes si (1) x, y A : f(x y) = f(x) f(y) et (2) f(e A ) = e B. Remrque I Dns le cs d un homomorphisme de groupes, l condition (2) est une conséquence directe de (1) et de l existence d inverse u sein des groupes 2. Pr contre, dns le cs de monoïdes, l condition (2) fit el et ien prtie de l définition d un morphisme de monoïdes. Définition I Soit Σ un lphet. On définit l opértion de concténtion sur Σ de l fçon suivnte. Pour tous mots u = u 1 u k et v = v 1 v l, u i, v i Σ, l concténtion de u et v, notée u.v ou simplement uv, est le mot { wi = u w = w 1 w k+l où i, 1 i k. w k+i = v i, 1 i l Ainsi, Σ muni de l opértion de concténtion est un monoïde de neutre ε. En prticulier, on définit l puissnce n-ième d un mot w comme l concténtion de n copies de w, On pose w 0 = ε. w n = w } {{ w}. n fois On utiliser dorénvnt l nottion multiplictive. Remrque I Il est utile de remrquer que si #Σ > 1, lors Σ est un monoïde non commuttif, i.e., il existe u, v Σ tels que uv vu. Exemple I L ppliction longueur : Σ N est un morphisme de monoïdes entre (Σ,.) et (N, +). En effet, et ε = 0. u, v Σ : uv = u + v Exemple I Considérons l lphet Σ = {,, c} et le morphisme ϕ : Σ Σ défini pr ϕ() = c, ϕ() = c et ϕ(c) =. En effet, pour définir un tel morphisme, on remrquer qu il suffit de se donner l imge de lettres. On, pr exemple, ϕ(c) = ϕ()ϕ()ϕ()ϕ(c) = ccc. 2 pour tout x A, f(x) = f(ea x) = f(e A) f(x). D où l conclusion en multiplint pr f(x) 1.

8 4 Chpitre I. Mots et lngges Voici à présent quelques propriétés clssiques de comintoire des mots (clssifiction 68R15 de l Americn Mthemticl Society). On s intéresse principlement ux configurtions des lettres, des fcteurs ou encore des motifs pouvnt pprître dns un cdre non commuttif (crctère inévitle, fréquence d pprition, etc.). Voir, pr exemple, l excellent survol [10]. Proposition I Sur un lphet inire, tout mot de longueur u moins 4 contient un crré, i.e., un fcteur de l forme uu, u ε. Cette propriété trivile montre donc que l pprition d un crré est inévitle sur un lphet de deux lettres. Pr contre, sur trois lettres, il n en est rien. Ainsi, l clssifiction des motifs évitles ou non est loin d être isée. Un mot infini sur un lphet Σ est simplement une ppliction w : N Σ (i.e., une suite de lettres indexée pr N). On peut munir l ensemle Σ ω des mots infinis sur Σ d une distnce d : Σ ω Σ ω R définie comme suit. Si x et y sont deux mots infinis, lors x y désigne leur plus long préfixe commun. Si x = y, lors on pose d(x, y) = 0, sinon d(x, y) = 2 x y. On vérifier isément qu il s git ien d une distnce. Cette distnce possède une propriété supplémentire, elle est ultrmétrique 3 (on utilise prfois le terme non-rchimédienne) : x, y, z Σ ω : d(x, z) mx{d(x, y), d(y, z)}. Aynt à notre disposition un espce métrique (Σ ω, d), on peut prler de suites convergentes de mots infinis, etc. Soit c une lettre n pprtennt ps à Σ. On peut plonger Σ dns (Σ {c}) ω en identifint le mot fini w Σ vec le mot infini wccc (Σ {c}) ω. Cette identifiction fite, il est licite de prler d une suite de mots finis convergent vers un mot infini limite. Proposition I Le mot infini ϕ ω () où ϕ() = c, ϕ() = c et ϕ(c) =, est sns crré. On remrque fcilement que ϕ n () est préfixe de ϕ n+1 () pour tout n 0. Il suffit de procéder pr récurrence. Si ϕ n+1 () = ϕ n ()u, lors ϕ n+2 () = ϕ n+1 ()ϕ(u). De plus, l suite ( ϕ n () ) n 0 est strictement croissnte. Pour ces deux risons et vec l topologie ssociée à l métrique présentée précédemment, on peut dire que l suite (ϕ n ()) n 0 converge vers un mot infini limite. 3 On rencontre notmment ce type de propriété en nlyse p-dique. L topologie ssociée est intéressnte : tout point d une oule en est le centre, deux oules ont une intersection non vide si et seulement si l une est incluse dns l utre, tout tringle est isocèle, etc.

9 I.1. Premières définitions 5 ϕ 0 () = ϕ 1 () = c ϕ 2 () = cc ϕ 3 () = cccc. L démonstrtion du fit que le mot infini limite ϕ ω () est sns crré 4 ser donnée en fin de section. En prticulier, sur un lphet de trois lettres, il existe des mots (finis) ritrirement longs sns crré. Pour otenir ce résultt, nous montrerons d ord qu il existe, sur deux lettres, des mots ritrirement longs sns chevuchement. Proposition I Deux mots u et v commutent s ils sont puissnces d un même troisième, i.e., s il existe un mot w et des entiers i, j tels que u = w i et v = w j. Démonstrtion. On procède pr récurrence sur l longueur de uv. Si uv = 0, le résultt est immédit. Supposons à présent le résultt stisfit pour uv < n. Soient u, v tels que uv = n. On peut même considérer que u ε et v ε cr sinon, le résultt serit trivil. Si u = v, lors il est immédit que u = v. Sinon, on peut supposer que u < v (voir figure I.1). Dès lors, il existe u tel que v = u u et u < v. Ainsi, u v v u u Figure I.1. uv = vu. uv = uu u = vu = u uu et donc on trouve u u = uu. Puisque uu < uv, on peut ppliquer l hypothèse de récurrence. Il existe un mot w et des entiers p, q tels que u = w p et u = w q. Pour conclure, on remrque que v = u u = w p+q. Remrque I Noter que l réciproque du résultt ci-dessus est trivile. On églement le résultt plus générl suivnt (dont l réciproque est elle ussi immédite). Proposition I Si x, y, z sont des mots tels que xy = yz 4 cf. pr exemple, M. Lothire, Comintorics on words, Cmridge Mthemticl Lirry, Cmridge University Press, Cmridge, 1997.

10 6 Chpitre I. Mots et lngges vec x non vide, lors il existe des mots u, v et un entier k 0 tels que x = uv, y = (uv) k u = u(vu) k et z = vu. Démonstrtion. Si x y, lors nous vons l sitution suivnte. Ainsi, y v y x z y Figure I.2. xy = yz, x y. il existe un mot v tel que x = yv (si x = y, lors v = ε). Dns ce cs, on peut prendre u = y et k = 0. Si 0 < x < y, on procède pr récurrence sur y. Si y = 2 et x = z = 1, on x y 1 y 2 = y 1 y 2 z, x, z, y 1, y 2 Σ et on en déduit que x = y 1 = y 2 = z. Donc, u = y 1, v = ε et k = 1 conviennent. Supposons à présent l propriété stisfite pour y n et vérifions-l pour y = n + 1. Puisque x < y, il existe un mot w tel que x y y z x w y = xw. Ainsi, xy = yz se réécrit Figure I.3. xy = yz, x < y. xxw = xwz. De là, on tire xw = wz vec w < y cr x > 0. Soit x w et on pplique l première prtie de l preuve, soit x < w et on peut dès lors ppliquer l hypothèse de récurrence : il existe des mots u, v et un entier k tels que x = uv, w = (uv) k u = u(vu) k et z = vu. Pour conclure, on remrque que y = xw = uv(uv) k u = (uv) k+1 u. Définition I Soit w = w 1 w l un mot, vec w i Σ pour tout i. L entier k 1 est une période de w si w i = w i+k, i = 1,..., l k.

11 I.1. Premières définitions 7 On dit ussi que w est k-périodique. Un mot 1-périodiqe est constnt. Pr exemple, le mot est 3-périodique. Au vu de cette définition, un mot de longueur l est p- périodique pour tout p l. Lemme I Soient p, q deux entiers. Si w est (p.q)-périodique vec w p.q et si le préfixe de w de longueur p.q est p-périodique, lors w est lui-même p-périodique. Démonstrtion. C est évident. Théorème I.1.23 (Fine-Wilf 5 ). Si un mot w possède deux périodes p et q et si w p + q pgcd(p, q), lors pgcd(p, q) est ussi une période de w. Commençons pr un lemme tritnt d un cs prticulier du théorème. Lemme I Si un mot w de longueur p + q 1 possède deux périodes p et q premières entre elles, lors w est constnt, i.e., 1-périodique. Démonstrtion. Soit w = w 1 w p+q 1 de longueur p + q 1 vec pgcd(p, q) = 1. Soit l ppliction f : {0,..., p + q 1} {0,..., p + q 1} définie 6 pr { x + p si 0 x < q f(x) = x q si q x p + q 1. On remrque que f est en fit une permuttion de {0,..., p + q 1} qui envoie [0, q 1] (resp. [q, p + q 1]) sur [p, p + q 1] (resp. [0, p 1]). Montrons à présent que {f i (0) i 0} décrit {0,..., p + q 1}. Soit j > 0 tel que f j (0) = 0 (un tel j existe toujours cr f est une permuttion et se décompose donc en produit de cycles). Pr définition même de f, cel signifie qu il existe, N tels que j = + et p q = 0. Puisque p = q et que p et q sont premiers entre eux, on en conclut que p, q et donc j p + q. Pr conséquent, l permuttion de {0,..., p + q 1} induite pr f se compose d un unique cycle de longueur p + q. Remrquons à présent que l ppliction f est en reltion étroite vec nos hypothèses de périodicité : w i = w i+p pour tout 1 i < q et w j = w j q pour tout q < j p + q 1. De ce qui précède, on tire que w est un mot constnt (i.e., 1-périodique). En effet, on otient en fit w f(0) = w f 2 (0) = = w f p+q 1 (0) et {f(0),..., f p+q 1 (0)} = {1,..., p + q 1}. 5 N. J. Fine, H. S. Wilf, Uniqueness theorems for periodic functions, Proc. Amer. Mth. Soc. 16 (1965), Définir f sur {0,..., p + q 1} et non sur {1,..., p + q 1} comme cel urit pu semler nturel, nous ser ien utile. Au vu de l preuve, pourquoi?

12 8 Chpitre I. Mots et lngges Nous pouvons à présent procéder à l preuve du théorème de Fine et Wilf. Démonstrtion. On peut supposer que w = p + q pgcd(p, q). En fit, si le mot w est plus long, on considère son préfixe v de longueur p + q pgcd(p, q). Si l on montre que v possède pgcd(p, q) comme période, lors grâce u lemme I.1.22, le résultt s étend à w tout entier cr w possède déjà p ou q comme période. On peut de plus supposer que d = pgcd(p, q) = 1, cr sinon, en prennt une lettre sur d dns w, on est présence de d mots de longueur k = p/d + q/d 1 w i w i+d w i+(k 1)d, i = 1,..., d et de périodes p/d et q/d premières entre elles. Au vu du lemme I.1.24, chcun des d mots est constnt et on en tire l d-périodicité de w. Exemple I L orne donnée dns le théorème de Fine et Wilf est optimle : } {{ } } {{ } } {{ } est 5-périodique, 13-périodique mis est de longueur 16 = 5+13 pgcd(5, 13) 1. Pour terminer cette section, on définit, pr récurrence sur l longueur de w, l opértion miroir 7 de l mnière suivnte : si w = 0, lors w = ε et w R = ε; sinon w > 0 et w = σu, σ Σ, u Σ et w R = u R σ. Si w est tel que w R = w, lors w est un plindrome. Définition I Un mot fini de l forme uu où u Σ et Σ est un chevuchement (en nglis, overlp). u u On remrque que tout chevuchement contient un crré. De même, un cue (i.e., mot de l forme uuu) est un chevuchement prticulier. Nous vons vu que sur un lphet inire, tout mot de longueur 4 contient un crré. Le fit de contenir un chevuchement est une propriété plus forte. Cette propriété est-elle évitle sur deux lettres? Proposition I Le mot de Thue-Morse, défini comme t = f ω () où f() = et f() =, est un mot infini sns chevuchement. 7 On utilise l lettre R cr l terminologie nglo-sxonne fit souvent référence u mot reversl ou reverse. Dns l littérture, on trouve prfois l nottion ew.

13 I.1. Premières définitions 9 t = L preuve de ce résultt est clquée sur celle présentée dns [21]. Pour des pplictions du mot de Thue-Morse, on lir [4]. Lemme I Soit X = {, }. Si x pprtient à X, lors x et x n pprtiennent ps à X. Démonstrtion. On procède pr récurrence sur x. Si x = ε, il est clir que, X. Supposons le résultt vérifié pour les mots de longueur < n. Soit x X, un mot de longueur n. Procédons pr l surde et supposons que u = x X (on procède de mnière semlle vec x). Dns ce cs, u = y vec y = x 2. Puisque y X, on en conclut, pr hypothèse de récurrence, que y = x n pprtient ps à X. Ceci est une contrdiction. Lemme I Soient w {, } + et f :, le morphisme de Thue-Morse. Si w est sns chevuchement, lors f(w) ussi. Démonstrtion. Montrons que si f(w) possède un chevuchement, lors w ussi. Supposons que f(w) se fctorise en f(w) = x c v c v c y, c {, }, x, v, y {, }. Puisqe f est 2-uniforme (i.e., f() = f() = 2), f(w) est pir. On remrque que cvcvc = v est impir. Pr conséquent, xy est impir. Montrons à présent que v est impir. Si x est pir, lors x, cvcv et cy pprtiennent à {, }. Dès lors, si v étit pir, lors cvc et v pprtiendrient à {, }. Ceci est en contrdiction vec le lemme précédent. Si x est impir, lors xc, vcvc et y pprtiennent à {, }. Si v étit pir, on outirit à l même contrdiction. Nous pouvons à présent conclure, en discutnt une fois encore sur l prité de x. Si x est pir, lors, puisque v est impir, on f(w) = x }{{} pir impir {}}{ v } c {{ } pir cv }{{} pir cy {, } et x, cv, cy pprtiennent à {, }. Il existe r, s, t tels que f(r) = x, f(s) = cv, f(t) = cy et w = rsst. Or f(s) et f(t) déutent pr l même lettre, donc s et t ussi (vu l définition de f). Pr conséquent, sst déute pr un chevuchement.

14 10 Chpitre I. Mots et lngges Si x est impir, lors, puisque v est impir, on f(w) = xc }{{} pir impir {}}{ } v{{ } c pir vc }{{} pir y {, } et il existe r, s, t tels que f(r) = xc, f(s) = vc, f(t) = y. conclusion est identique. L Nous pouvons à présent démontrer l proposition I Démonstrtion. Supposons que t possède un chevuchement. En prticulier, ce chevuchement pprît dns le préfixe f k () pour un certin k. Or étnt sns chevuchement, le lemme précédent stipule que f() est sns chevuchement et donc, en itérnt, f k () ne peut possèder de chevuchement. Nous pouvons à présent reconsidérer l proposition I.1.17 et s preuve. Remrque I Soit r un mot infini sur {, } sns chevuchement et commençnt pr. Alors r se fctorise de mnière unique sous l forme 8 r = y 1 y 2 où pour tout i 1, y i {,, }. En effet, r ne contennt ucun cue, il ne peut contenir le fcteur ou. Soit le morphisme g : {,, c} {, } défini pr g :. c Si r un mot infini sur {, } sns chevuchement et déutnt pr, lors il existe un unique mot infini s sur {,, c} tel que g(s) = r. Proposition I Soit t un mot infini sur {, } sns chevuchement et déutnt pr (comme le mot de Thue-Morse). Soit s l unique mot infini {,, c} tel que g(s) = t. Alors s est un mot infini sur trois lettres sns crré. Démonstrtion. Supposons que s contienne un crré : s = x u u σy vec u non vide, σ une lettre et y un mot infini. Alors g(s) contient le fcteur g(u)g(u)g(σ) qui déute pr un chevuchement cr g(u) et g(σ) déutent pr l même lettre. 2. Lngges Nous en vons terminé vec notre rève introduction à l comintoire des mots. Pssons à l théorie des lngges formels. 8 On remrquer que {,, } est un code.

15 I.2. Lngges 11 Définition I.2.1. Un lngge sur Σ est simplement un ensemle (fini ou infini) de mots sur Σ. En d utres termes, un lngge est une prtie de Σ. On distingue en prticulier le lngge vide 9. Exemple I.2.2. Considérons l lphet Σ = {,, c}. L ensemle {,, c, ccc, } est un lngge fini. L ensemle L 2 des mots sur Σ comprennt un nomre pir de est ussi un lngge (infini), L 2 = {ε,, c,,, c, c, cc,, c,, c,..., c,...}. L ensemle Pl(Σ ) formé des plindromes de Σ est ussi un lngge infini, Pl(Σ ) = {ε,,, c,,, cc,,, c,,, c, cc, cc, ccc,,, cc,,, cc, cc, cc, cccc,...}. Soit l lphet = {0, 1}. L ensemle constitué des écritures inires 10 des entiers positifs pirs est un lngge sur {10, 100, 110, 1000, 1010, 1100, 1110,...} de même que le lngge formé des écritures inires des nomres premiers {10, 11, 101, 111, 1011, 1101, 10001,...}. Pssons à présent en revue quelques opértions sur les lngges. Tout d ord, puisqu un lngge est un ensemle, on dispose des opértions ensemlistes usuelles comme l union, l intersection ou encore l complémenttion. Définition I.2.3. Soient L, M Σ deux lngges. L concténtion des lngges L et M est le lngge LM = {uv u L, v M}. En prticulier, on peut définir l puissnce n-ième d un lngge L, n > 0, pr L n = {w 1 w n i {1,..., n}, w i L} et on pose L 0 = {ε}. Pr exemple, si L = {,,, c}, lors L 2 = {,,, c,,, c,,,, c, c, c, c, cc}. 9 Ne ps confondre le lngge vide ne contennt ucun élément et le lngge {ε} contennt uniquement le mot vide. 10 Un mot w = wl w 0 {0, 1} représente l entier n si n = P l i=0 wi2i. En générl, on ne considère que des mots dont le premier symole w l diffère de 0. Pr convention, l entier zéro est lors représenté pr le mot vide.

16 12 Chpitre I. Mots et lngges Remrque I.2.4. Soit n 0. L ensemle des mots de longueur n sur Σ est Σ n. Notons ussi que si un mot uv pprtient à LM vec u L et v M, cette fctoristion n est ps nécessirement unique. Pr exemple, vec L = {,, }, L 2 contient le mot qui se fctorise en () et (). Demnder l unicité de l fctoristion déouche sur l notion de code. Ainsi, X Σ est un code, si tout mot de X se fctorise de mnière unique comme concténtion de mots de X. Proposition I.2.5. L concténtion de lngges est une opértion ssocitive, elle possède {ε} pour neutre, pour sornt et est distriutive à droite et à guche pour l union, i.e., si L 1, L 2, L 3 sont des lngges Démonstrtion. C est immédit. L 1 (L 2 L 3 ) = (L 1 L 2 )L 3, L 1 {ε} = {ε}l 1 = L 1, L 1 = L 1 =, L 1 (L 2 L 3 ) = (L 1 L 2 ) (L 1 L 3 ), (L 1 L 2 )L 3 = (L 1 L 3 ) (L 2 L 3 ). Définition I.2.6. Soit L Σ. L étoile de Kleene 11 L = i 0 L i. de L est donnée pr Ainsi, les mots de L sont exctement les mots otenus en concténnt un nomre ritrire de mots de L. Remrque I.2.7. On remrque que l nottion Σ introduite précédemment est cohérente puisqu il s git en fit de l étoile de Kleene du lngge fini Σ. On dit prfois que Σ est le monoïde lire engendré pr Σ. On rencontre prfois l opértion L + définie pr L + = i 1 L i. Pr exemple, si Σ est un lphet, lors Σ + = Σ \ {ε}. D une mnière générle, si L est un lngge ne contennt ps le mot vide, lors L + = L \ {ε}. Proposition I.2.8. Soit L Σ un lngge. Le lngge L est le plus petit 12 lngge M tel que ε M, L M et M 2 M. 11 Stephen Cole Kleene ( ), logicien, est, vec K. Gödel, A. Turing, A. Church, E. Post, l un des pères fondteurs de l informtique théorique. On lui doit notmment le concept d expression régulière. S.C. Kleene, Representtion of Events in Nerve Nets nd Finite Automt, Automt Studies, Princeton, Princeton University Press, (1956) Ed. C. Shnnon, J. McCrthy. 12 Le plus petit pour l inclusion.

17 I.2. Lngges 13 Démonstrtion. Il est clir que L vérifie les trois propriétés. Si M stisfit les propriétés indiquées, nous devons montrer que L M. Puisque L M et M 2 M, on en conclut que L 2 M. De proche en proche, on s perçoit que L i M, i > 0. Ceci conclut l preuve. Le résultt suivnt concerne les lngges sur un lphet unire et trduit en fit une propriété rithmétique élémentire. Théorème I.2.9. Soit L un lngge ritrire sur un lphet unire. Il existe un lngge fini F tel que L = F. Démonstrtion. Si L est fini, le résultt est immédit. Il suffit de prendre F = L. Sinon, considérons le mot non vide p le plus court, p 1, pprtennt à L. Il est évident que { p } L. Si cette inclusion est une églité, lors le résultt est démontré (F = { p }). Sinon, soit q 1 le mot le plus court pprtennt à L \ { p }. Dès lors, q 1 = t 1 p + r 1, vec 0 < r 1 < p et t 1 1. En effet, q 1 > p et q 1 ne peut être multiple de p. Nous vons à présent que { p, q 1 } L. On effectue le même risonnement. Si { p, q 1 } L, il existe un mot le plus court q 2 pprtennt à L \ { p, q 1 } tel que q 2 = t 2 p + r 2, vec 0 < r 2 < p, r 2 r 1 et t 2 t 1. En effet, q 2 > q 1 et si r 2 = r 1, lors on urit q 2 = (t 2 t 1 ) p + t 1 p + r } {{ } 1. =q 1 Cel signifierit lors que q 2 pprtient à { p, q 1 }. On peut lors effectuer l même démrche vec { p, q 1, q 2 } et définir q 3 si L { p, q 1, q 2 }. Cependnt, on remrque qu il y u plus p 1 restes non nuls distincts lors d une division euclidienne pr p. Pr conséquent, on ne surit effectuer ce risonnement indéfiniment et finlement L = { p, q 1,..., qs } vec s p 1. Définition I On peut étendre les opértions d otention de préfixes, suffixes et fcteurs ux lngges. Soit L un lngge. On définit Pref(L) = w L Pref(w) comme l ensemle des préfixes des mots du lngge L. De l même mnière, on pose Suff(L) = Suff(w) et Fc(L) = Fc(w). w L w L

18 14 Chpitre I. Mots et lngges Enfin, un lngge L est préfixiel si Pref(L) = L. Il suffit donc de vérifier que tout préfixe d un mot de L est encore un mot de L. De l même mnière, L est suffixiel (resp. fctoriel) si Suff(L) = L (resp. Fc(L) = L). Définition I Soit f un morphisme de monoïdes entre Σ et Γ. On remrque que f est complètement crctérisé pr les imges de f sur les symoles de Σ. Si L est un lngge sur Σ, lors l imge de L pr le morphisme f est f(l) = {f(u) Γ u L}. De l même mnière, si M est un lngge sur Γ, lors l imge inverse de M pr le morphisme f est f 1 (M) = {u Σ f(u) M}. Exemple I Soient Σ = {,, c}, Γ = {µ, ν} et f le morphisme défini pr f() = µ, f() = ν, f(c) = ν. Si L = {, c, c,, c}, lors Si M = {µν, νµ, νµν}, lors f(l) = {µν, νν, µµµν}. f 1 (M) = {, c,, c,, c, c, cc}. Dns notre exemple, pour tout σ Σ, f(σ) = 1. Nénmoins, on peut en toute générlité considérer un morphisme dont les imges des lettres de l lphet d origine serient de longueurs différentes. Remrque I Il rrive, dns de nomreuses situtions, qu on distingue le cs où il existe σ Σ tel que f(σ) = ε (on prle de morphisme effçnt ), du cs où, pour tout σ Σ, f(σ) ε (on utilise dès lors l expression morphisme non effçnt ). Dns l section précédente, on introduit le miroir d un mot. opértion s étend nturellement ux lngges. Cette Définition I Le miroir d un lngge L est L R = {u R u L}. On peut voir L = L R sns pour utnt que les mots de L soient tous des plindromes. Définition I L clôture commuttive d un lngge L Σ est définie pr Com(L) = {w Σ u L : σ Σ, w σ = u σ }. Cel signifie que Com(L) contient les mots otenus en permutnt les lettres des mots de L. Pr exemple, si L = {, c, ccc}, lors Com(L) = {,, c, c, c, c, c, c, ccc}.

19 I.3. Expressions régulières et lngges ssociés 15 En utilisnt l fonction de Prikh introduite à l définition I.1.4, il est clir que Com(L) = ψ 1 ψ(l). Si L est un lngge tel que Com(L) = L, lors L est dit commuttif. Voici une dernière opértion sur les mots et les lngges. Définition I Le shuffle 13 de deux mots u et v est le lngge u v = {u 1 v 1 u n v n u = u 1 u n, v = v 1 v n, u i, v i Σ, n 1}. Pr exemple 14, si u = et v = cde, lors u v = {cde, cde, cde, cde, cde, cde, cde, cde, cde, cde}. Le shuffle de deux lngges se définit comme suit, L M = u v. u L, v M 3. Expressions régulières et lngges ssociés L notion d expression régulière est d usge fréquent en informtique. En effet, on souvent recours ux expressions régulières lorsqu on désire rechercher certins motifs récurrents. Un exemple nl est celui d un répertoire contennt divers fichiers : > ls monrepertoire/ memoire.ux memoire.tex picture001.jpg rpsody.jpg memoire.dvi picture001.jpg presenttion.exe rw.jpg memoire.old picture002.jpg price-list.txt memoire.log picture003.jpg tches.txt Si l utilisteur désire fficher uniquement les imges u formt JPEG et comportnt l extension.jpg, il ur pr exemple recours à une commnde comme ls *.jpg De l même mnière, s il veut effcer tous les fichiers reltifs à memoire, il exécuter rm m* On pourrit imginer, dns un répertoire plus fourni, vouloir sélectionner des fichiers dont les noms stisfont à des critères plus fins. Nous llons voir comment définir ce genre de critères dns le formlisme développé lors des précédentes sections. 13 On pourrit tenter de trduire ce terme pr mélnge. Nous vons choisi de conserver l dénomintion nglo-sxonne. 14 Nous vons pris ici deux mots n ynt ucune lettre en commun pour rendre l exemple plus simple. En toute générlité, on peut ien sûr prendre des mots possédnt les mêmes lettres.

20 16 Chpitre I. Mots et lngges Définition I.3.1. Soit Σ un lphet. Supposons que 0, e, +,., (, ), sont des symoles n pprtennt ps à Σ. L ensemle R Σ des expressions régulières sur Σ est défini récursivement pr 0 et e pprtiennent à R Σ, pour tout σ Σ, σ pprtient à R Σ, si φ et ψ pprtiennent à R Σ, lors (φ + ψ) pprtient à R Σ, (φ.ψ) pprtient à R Σ, φ pprtient à R Σ. Exemple I.3.2. Si Σ = {, }, voici quelques exemples d expressions régulières : α 1 = (e + (.)), pr α 2 = (((.).) + ), α 3 = (( + ).(.)). A une expression régulière, on ssocie un lngge grâce à l ppliction 15 L : R Σ 2 Σ L(0) =, L(e) = {ε}, si σ Σ, lors L(σ) = {σ}, si φ et ψ sont des expressions régulières, L[(φ + ψ)] = L(φ) L(ψ), L[(φ.ψ)] = L(φ)L(ψ), L(φ ) = (L(φ)). Exemple I.3.3. Poursuivons l exemple I.3.2. On L(α 1 ) = {ε, }, L(α 2 ) = ({} {} ), L(α 3 ) = {, } {}. Définition I.3.4. Un lngge L sur Σ est régulier s il existe une expression régulière φ R Σ telle que L = L(φ). Si φ et ψ sont deux expressions régulières telles que L(φ) = L(ψ), lors on dit que φ et ψ sont équivlentes. Remrque I.3.5. Dns l suite, on s utoriser à confondre une expression régulière et le lngge qu elle représente. Si ucune confusion n est possile, on s utoriser églement à enlever les prenthèses ou utres symoles superflus. Pr exemple, (((.).(.)). ) = ( ) 15 L nottion 2 Σ désigne l ensemle des prties de Σ, c est-à-dire l ensemle des lngges sur Σ. On trouve prfois l nottion P(Σ ).

21 I.3. Expressions régulières et lngges ssociés 17 représente le lngge formé des mots sur {, } comprennt un nomre pir de. On se convinc isément que ce lngge est ussi représenté pr l expression ( ). Proposition I.3.6. L ensemle L(R Σ ) des lngges réguliers sur Σ est l plus petite fmille de lngges contennt le lngge vide, les lngges {σ} réduits à une lettre (σ Σ) et qui est stle pour les opértions d union, de concténtion et d étoile de Kleene. Démonstrtion. Pr définition de R Σ et de L, il est clir que l ensemle des lngges réguliers sur Σ vérifie les propriétés énoncées. Soit A un ensemle de lngges stisfisnt les propriétés énoncées. Nous devons vérifier que L(R Σ ) A. Soit L un lngge régulier. Il existe ψ R Σ tel que L(ψ) = L. On procède pr récurrence sur l longueur 16 de l expression régulière ψ : Si ψ vut 0, e ou σ (σ Σ), lors L(ψ) vut, {ε} = ou {σ}. Pr conséquent, L pprtient à A. Si ψ = (φ + µ) vec φ et µ des expressions régulières sur Σ de longueur inférieure à celle de ψ, lors on L(ψ) = L(φ) L(µ). Pr hypothèse de récurrence, L(φ) et L(µ) pprtiennent à A. Puisque A est stle pour l union, on en conclut que L pprtient à A. Si ψ = (φ.µ) ou ψ = φ, on utilise le même risonnement. Remrque I.3.7. Dns l proposition précédente, on urit pu remplcer lngges {σ} réduits à une lettre pr lngges finis. C est équivlent, u vu des propriétés de stilité énoncées. Puisque nous vons décidé de sustituer des lngges ux expressions régulières, les reltions suivntes sont immédites. Proposition I.3.8. Soit ψ une expression régulière. On ψ + ψ = ψ, e ψ = ψ e = ψ, 0 ψ = ψ 0 = 0, (ψ ) = ψ, ψ = ψ 0 + ψ ψ k + ψ k+1 ψ, (ψ + φ) = (ψ φ) ψ. Dns le cs prticulier d un lphet unire (i.e., contennt un seul symole), on dispose d une crctéristion des lngges réguliers. 16 On peut définir l longueur d une expression régulière de l mnière suivnte. Soient ψ, φ deux expressions régulières. Si ψ = 0, e ou σ (σ Σ), lors ψ = 1. De plus, (ψ + φ) = ψ + φ + 1, (ψ.φ) = ψ + φ + 1 et φ = φ + 1.

22 18 Chpitre I. Mots et lngges Proposition I.3.9. Soit Σ = {σ}. exctement les lngges de l forme {σ i i A} Les lngges réguliers sur Σ sont où A N est une union finie de progressions rithmétiques. Rppelons qu une progression rithmétique est un ensemle de l forme p + N.q = {p + n.q n N} vec p, q N. Démonstrtion. Nous vons déjà remrqué (cf. exemple I.1.14) que l ppliction longueur est un morphisme de monoïdes entre (Σ,.) et (N, +). Ici, l ppliction : {σ} N : σ n n est même un isomorphisme 17 de monoïdes. L ensemle P des unions finies de progressions rithmétiques jouit des propriétés suivntes : P (cs de l union vide), {1} P cr {1} = 1 + N.0, l union de deux éléments de P est encore un élément de P (en effet, l union de deux unions finies de progressions rithmétiques est encore une union finie de progressions rithmétiques), l somme de deux éléments de P est encore un élément de P. Pour le vérifier, puisque P est stle pour l union, il suffit de considérer le cs de deux progressions rithmétiques p + N.q et r + N.s. Si q = 0, lors (p + N.q) + (r + N.s) = (r + p) + N.s P. Si q > 0, lors (p + N.q) + (r + N.s) = 0 i<q ((p + r + i s) + N.q) P. Il est clir que le memre de droite est inclus dns le memre de guche. Montrons l utre inclusion. Soit t (p + N.q) + (r + N.s). Il existe m, n N tels que t = p + r + m q + n s. Si on effectue l division euclidienne de n pr q, il existe l et i tels que Pr conséquent, n = l q + i, 0 i < q. t = p + r + m q + (l q + i) s = p + r + i s + (m + l s) q vec 0 i < q. 17 Un isomorphisme est un morphisme ijectif. Il est clir que nous vons une ijection uniquement dns le cs d un lphet unire. En effet, si Σ = {, }, lors = = 2 mis et l ppliction longueur n est donc ps injective.

23 I.3. Expressions régulières et lngges ssociés 19 On peut définir l étoile d une prtie A de N pr A = { n n N et i {1,..., n}, i A}. En prticulier, 0 pprtient toujours à A et ce, quel que soit A N. Ainsi, l ensemle P jouit encore d une cinquième propriété. Si A P, lors A P. Il suffit de le vérifier pour une progression rithmétique cr si A, B N, lors, puisque l ddition dns N est commuttive, (A B) = A + B et on vu que P étit stle pr ddition. Pr définition, il vient (p + N.q) = {p + n 1 q + + p + n j q n 1,..., n j N, j > 0} {0}. Si p = 0, (N.q) = {q} = N.q P. Si p > 0, (p + N.q) = {0} ((p + i q) + N.p). 0 i<p Il est clir que le memre de droite est inclus dns le memre de guche. Vérifions l utre inclusion. Soit j > 0. On p + n 1 q + + p + n j q = p + (j 1) p + (n n j ) q. En effectunt l division euclidienne de n 1 + +n j pr p, on trouve et donc n n j = m p + i, vec 0 i < p p + n 1 q + + p + n j q = p + i q + (j 1 + m q) p vec 0 i < p. Supposons à présent que Q 2 N est une fmille de prties de N qui contient et {1} et qui est stle pour l union, l somme et l étoile. Montrons que P Q. Puisque Q est stle pour l union, il suffit de montrer que les progressions rithmétiques de l forme p + N.q, p, q N, pprtiennent à Q. Puisque Q, on = {0} Q. En outre, {1} Q et en utilisnt le fit que Q est stle pour l ddition, on voit que {r} pprtient à Q pour tout r > 0. On en déduit que, pour tous p, q N, p + N.q = {p} + {q} pprtient à Q. On conclut en utilisnt l proposition I.3.6 et le fit que l ppliction longueur est un isomorphisme entre (N, +) et ({σ},.). L contrposée du corollire suivnt permet prfois de vérifier que certins lngges ne sont ps réguliers.

24 20 Chpitre I. Mots et lngges Corollire I Si L Σ est un lngge régulier sur un lphet fini ritrire, lors l ensemle L = { w : w L} N est une union finie de progressions rithmétiques. Démonstrtion. Soit σ une lettre de Σ. On définit le morphisme ϕ : Σ {σ} pr ϕ(α) = σ pour tout α Σ. Il est évident que ϕ(l) = {ϕ(w) w L} est un lngge régulier sur un lphet unire et L = ϕ(l). On conclut grâce à l proposition précédente. Définition I Une prtie X N est dite ultimement périodique s il existe N 0 et p > 0 tels que n N, n X n + p X. Le plus petit entier p stisfisnt une telle propriété est ppelé l période de X et le plus petit N correspondnt est prfois ppelé l prépériode. Proposition I Une prtie X N est ultimement périodique si et seulement si X est une union finie de progressions rithmétiques. Démonstrtion. Supposons qu il existe N 0 et p > 0 tels que n N, n X n + p X. Dès lors, X s exprime comme une union finie de progressions rithmétiques, ( ) ( ) X = {x} (x + N.p). Réciproquement, si x X x<n X = x X N x<n+p n (q i + N.p i ), i=1 lors en posnt p = ppcm i=1,...,n p i et N = mx i=1,...,n q i, il est clir que n N, n X n + p X N p Figure I.4. Prépériode et période.

25 I.3. Expressions régulières et lngges ssociés 21 Exemple I Utilisons l proposition I.3.9 pour montrer que le lngge L = { n2 n N} n est ps régulier. En effet, si ce lngge étit régulier, lors L = {n 2 n N} serit une union finie de progressions rithmétiques de l forme I A = r i + N.s i i=1 vec u moins un des s i non nul. Il est clir que l différence entre deux éléments consécutifs de A est mjorée pr une constnte C sup{r 1,..., r I, s 1,..., s I } lors que l différence entre deux éléments consécutifs (n + 1) 2 et n 2 de A est 2n + 1, si n. On peut fcilement étendre ce risonnement à un lngge de l forme { P (n) n N} où P est un polynôme à coefficients nturels de degré u moins deux. Exemple I Le lngge L = { n n premier} n est ps régulier. En effet, s il l étit, l ensemle des nomres premiers devrit être ultimement périodique 18, disons de période p et de prépériode N. Donc pour tout n p + 1 suffismment grnd (i.e., n N), l intervlle [n! + 2, n! + p + 1] devrit contenir un nomre premier. Or sont tous des nomres composés. n! + 2, n! + 3,..., n! + p + 1 Remrque I En fit, plutôt que de prler de lngges réguliers (ssociés à l notion d expression régulière), on emploie souvent le vocle de lngges rtionnels sur Σ. L ensemle de ces derniers, noté Rt(Σ ) est défini comme étnt le plus petit ensemle de lngges contennt, les lngges finis et qui est stle pour les opértions rtionnelles d union, de concténtion (produit considéré sur le monoïde Σ ) et d étoile de Kleene. Autrement dit, un lngge rtionnel s otient à prtir de lngges finis en ppliqunt un nomre fini de fois des opértions rtionnelles. Cette notion de rtionnlité s étend ux prties d un monoïde (M,, 1 M ) ritrire (comme dns l preuve de l proposition I.3.9 où l on effectivement considéré le monoïde (N, +, 0)). Ainsi, l ensemle Rt(M) des prties rtionnelles d un monoïde (M,, 1 M ) est le plus petit ensemle de 2 M 18 Ben Green et Terence To ont récemment (2004) démontré que l ensemle des nomres premiers contient des progressions rithmétiques ritrirement longues, i.e., pour tout k, il existe d tels que p, p + d,..., p + k d soient premiers.

26 22 Chpitre I. Mots et lngges contennt, les prties finies de M et qui est stle pour les opértions rtionnelles d union, de produit (du monoïde) et d étoile de Kleene où pour tout A M, A = { 1 p p 1, 1 i p, i A} {1 M }, i.e., A est le sous-monoïde de M engendré pr A. On prle ussi de l clôture rtionnelle des prties finies de M. Autrement dit, une prtie rtionnelle de M s otient à prtir de sous-ensemles finis de M en ppliqunt un nomre fini de fois des opértions rtionnelles. L proposition I.3.9 montre que Rt(N) est exctement l ensemle des prties ultimement périodiques de N Mots et lngges. 4. Exercices Exercice I.4.1. On définit le miroir d un mot w Σ, pr récurrence sur l longueur de w, de l mnière suivnte : si w = ε, lors w R = ε; sinon, il existe σ Σ et v Σ tels que w = σv et w R = v R σ. Montrer que cette définition est équivlente à celle qui suit : si w = ε, lors w R = ε; sinon, il existe σ Σ et v Σ tels que w = vσ et w R = σv R. Démontrer que pour tous u, v, w Σ, (w R ) R = w et (uv) R = v R u R. Exercice I.4.2. Démontrer que pour tous u, v, w Σ, on uw = vw u = v et wu = wv u = v. Exercice I.4.3. Soient x, y, u, v des mots sur un lphet Σ tels que xy = uv. Démontrer que si x > u, lors il existe w ε tel que x = uw et v = wy, si x = u, lors x = u et y = v, si x < u, lors il existe w ε tel que u = xw et y = wv. Exercice I.4.4. Il est clir que pour tout mot w, #(Pref(w)) = w + 1. Quelles sont les ornes (inférieures et supérieures) exctes pour #(Fc(w)). Exercice I.4.5. Soit Σ = {, } un lphet. Quels sont les mots w Σ pour lesquels w 2 = w 3? Exercice I.4.6. Soit Σ = {, } un lphet. Quels sont les mots w Σ pour lesquels il existe v Σ tel que w 3 = v 2? Exercice I.4.7. Crctériser les mots w tels que w = w R (i.e., les plindromes). Exercice I.4.8. Soit L Σ un lngge. Si L = L R, cel implique-t-il que tous les mots du lngge sont des plindromes? Justifier votre réponse et envisger églement le cs prticulier d un lphet Σ unire.

27 I.4. Exercices 23 Exercice I.4.9. Soit le lngge L {, } défini récursivement pr les trois conditions : ε L, si u pprtient à L, lors u pprtient à L, un mot pprtient à L seulement s il peut être otenu à prtir de l première règle et d un nomre fini d pplictions de l deuxième règle. Donner une définition implicite du lngge L. Exercice I Soient Σ un lphet et L Σ le lngge défini récursivement pr les trois conditions : ε L et pour tout σ Σ, σ L, si w pprtient à L, lors pour tout σ Σ, σwσ pprtient à L, un mot pprtient à L seulement s il peut être otenu à prtir de l première règle et d un nomre fini d pplictions de l deuxième règle. Quel est ce lngge L? Exercice I Soit L Σ un lngge. Démontrer que (L ) = L, L L = L, L L {ε} = L = LL {ε}. A-t-on toujours LL = L? Exercice I Soient L, M, N des lngges sur un lphet Σ. Montrer que L(M N) LM LN. Montrer qu en générl, l utre inclusion est fusse. Exercice I Soient L = {, } et M = {ε,, }. Enumérer les mots de LM et L M. Enumérer les mots de M de longueur u plus trois. Comien de mots de longueur 6 possède le lngge L? Comien de mots de longueur n N possède le lngge L? Exercice I Soient L et M deux lngges finis. A-t-on toujours Justifier votre réponse. #L.#M = #(LM)? Exercice I Soient des lphets disjoints Σ et Γ. Pour m, n N, on note t(m, n) := #(u v), u Σ m, v Γ n. Montrer que t(m, n) = t(m, n 1) + t(m 1, n), m, n > 0 et que t(m, 0) = t(0, m) = 1. Utiliser cette formule pour en déduire l vleur de #( cd).

28 24 Chpitre I. Mots et lngges Pour clculer t(m, n) u moyen de l formule donnée ci-dessus, comien d étpes sont nécessires? Exercice I Soit Σ = {, } un lphet inire. Un mot w Σ est sns crré s il ne contient ucun fcteur de l forme xx vec x un mot non vide. Enumérer tous les mots sns crré de Σ. (Que se psse-t-il dns le cs d un lphet contennt plus de deux lettres?) Exercice I Soit Σ un lphet. Un mot w Σ est primitif si l éqution w = u i, u Σ n est stisfite pour ucun exposnt i 2. On ppelle rcine primitive de w, le plus petit mot u Σ tel que w = u i, pour un i 1. Démontrer qu un mot est primitif si et seulement si il est égl à s propre rcine primitive. Exercice I Deux mots u et v sur Σ sont conjugués s il existe x, y Σ tels que u = xy et v = yx. Enumérer tous les conjugués du mot. Montrer que l reltion être conjugué est une reltion d équivlence sur Σ. Démontrer que si w est primitif, lors ses conjugués le sont ussi. Exercice I Soit l lphet {,,, } où chque flèche représente un déplcement d une unité dns le pln muni d un repère orthonormé. Crctériser l ensemle des mots correspondnt à un déplcement du point de coordonnées (0, 0) u point de coordonnées (1, 1). Même question, mis cette fois, on se restreint u déplcements dns le premier qudrnt (on ne peut se trouver en un point dont une des coordonnées serit strictement négtive) Expressions régulières. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots de longueur u moins 2 sur {, } pour lesquels tous les éventuellement présents précèdent les (éventuellement présents). Exercice I Même question que l précédente, mis cette fois, le mot vide pprtient u lngge. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } qui ne contiennent ps le fcteur. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } qui contiennent simultnément le fcteur et le fcteur. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } qui contiennent le fcteur ou le fcteur, mis ps ces deux fcteurs simultnément. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } qui contiennent exctement deux fois le fcteur. (Suggestion : ttention u fcteur ).

29 I.4. Exercices 25 Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {,, c} qui ne contiennent ps deux consécutifs. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } qui contiennent le fcteur exctement une fois. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {,, c} qui déutent pr, contiennent exctement deux et se terminent pr cc. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {,, c} qui contiennent un nomre de divisile pr 3. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } de longueur impire et qui contiennent le fcteur. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {, } ynt u plus trois. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des mots sur {,, c} qui contiennent un nomre impir d occurences du fcteur. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des représenttions en se 3 des nomres pirs. Exercice I Donner une expression régulière du lngge formé des représenttions en se 10 des nomres multiples de 5. Exercice I Soit Σ un lphet. Dns les expressions régulières données ci-dessous, on s utorise à utiliser l expression ϕ + (vec ϕ R Σ ) qui est telle que L(ϕ + ) = (L(ϕ)) + = i>0 (L(ϕ)) i. Démontrer que () + ( + ) = () + ( + e), + ( + e) = ( + e) +, ( + ) = ( + ), ( + ) = ( + ), ( + ) = ( ( + e) ). Exercice I Soit Σ = {, }. Vérifier que () + = (Σ Σ ) \ (Σ Σ + Σ Σ ) Lngges réguliers sur un lphet unire. Exercice I Exprimer L(ϕ) comme une union finie de progressions rithmétiques lorsque ϕ = () +, ϕ = (( ) + ), ϕ = ()(c( + )), ϕ = (c).

30 26 Chpitre I. Mots et lngges Exercice I Construire une expression régulière ϕ telle que L(ϕ) = 5 + N.3, L(ϕ) = N.7 (4 + N.5). Exercice I Le lngge { n3 +2n+1 n N} est-il régulier? Justifier. Exercice I Le lngge { 2n+1 n N} est-il régulier? Justifier. Exercice I Le lngge { n n P} où P désigne l ensemle des nomres premiers est-il régulier? Justifier. Remrque I Le résultt otenu à l exercice précédent n est en rien incomptile vec le célère théorème de Dirichlet qui stipule que si et sont premiers entre eux (i.e., pgcd(, ) = 1), lors l progression rithmétique + N. contient une infinité de nomres premiers.

31 CHAPITRE II Automtes Nous vons vu u premier chpitre que les expressions régulières permettent de générer ce que l on décidé d ppeler les lngges réguliers. Les utomtes que nous llons introduire ici sont des mchines permettnt de reconnître exctement ces lngges. En d utres termes, l ensemle des lngges cceptés pr utomte fini coïncide vec l ensemle des lngges réguliers. 1. Automtes finis déterministes Définition II.1.1. Un utomte fini déterministe (ou AFD) est l donnée d un quintuple A = (Q, q 0, F, Σ, δ) où Q est un ensemle fini dont les éléments sont les étts de A, q 0 Q est un étt privilégié ppelé étt initil, F Q désigne l ensemle des étts finls, Σ est l lphet de l utomte, δ : Q Σ Q est l fonction de trnsition de A. Nous supposerons que δ est une fonction totle, i.e., que δ est défini pour tout couple (q, σ) Q Σ (on prle lors d AFD complet). Nous représentons un AFD A de l mnière suivnte. Les étts de A sont les sommets d un grphe orienté et sont représentés pr des cercles. Si δ(q, σ) = q, q, q Q, σ Σ, lors on trce un rc orienté de q vers q et de lel σ q σ q. Les étts finls sont repérés grâce à un doule cercle et l étt initil est désigné pr une flèche entrnte sns lel. Enfin, si deux lettres σ et σ sont telles que δ(q, σ) = q et δ(q, σ ) = q, on s utorise à dessiner un unique rc portnt deux lels séprés pr une virgule, q σ,σ q. Cette convention s dpte isément à plus de deux lettres. 27

32 28 Chpitre II. Automtes Exemple II.1.2. L utomte A = (Q, q 0, F, Σ, δ) où Q = {1, 2, 3}, q 0 = 1, F = {1, 2}, Σ = {, } et où l fonction de trnsition est donnée pr est représenté à l figure II.1. δ Figure II.1. Un AFD. Définition II.1.3. Soit A = (Q, q 0, F, Σ, δ) un AFD. On étend nturellement l fonction de trnsition δ à Q Σ de l mnière suivnte : et Le lngge ccepté pr A est lors δ(q, ε) = q δ(q, σw) = δ(δ(q, σ), w), σ Σ, w Σ. L(A) = {w Σ δ(q 0, w) F }. Si w L(A), on dit encore que A ccepte le mot w (ou que w est ccepté pr A). Ainsi, le rôle fondmentl d un utomte est d ccepter ou de rejeter des mots. Un utomte prtitionne l ensemle des mots sur Σ en deux sous-ensemles L(A) et Σ \ L(A). Exemple II.1.4. Si on poursuit l exemple précédent, l utomte A de l figure II.1 ccepte le mot cr on, prtnt de l étt initil, le prcours suivnt u sein de A : Pr contre, n est ps ccepté pr A cr F. 2 F. Exemple II.1.5. L utomte A représenté à l figure II.2 ccepte exctement le lngge formé des mots sur l lphet {, } et contennt un nomre impir de. L(A) = {w {, } : w 1 (mod 2)}.

33 II.2. Automtes non déterministes Figure II.2. Un utomte fini déterministe. Remrque II.1.6. Pour simplifier les nottions, on s utorise à écrire q.w u lieu de δ(q, w) si ucune confusion n est possile. Définition II.1.7. A tout mot w de Σ correspond une unique suite d étts de A correspondnt u chemin prcouru lors de l lecture de w dns A. Cette suite s ppelle l exécution 1 de w sur A. Ainsi, si w = w 0 w k, vec w i Σ, lors l exécution de w sur A est (q 0, q 0.w 0, q 0.w 0 w 1,..., q 0.w 0 w k 1, q 0.w 0 w k ). Remrque II.1.8. On urit pu ussi introduire des utomtes infinis en n imposnt ps l restriction à l ensemle d étts Q d être fini (mis nous supposerons qund même que l lphet reste fini). Les notions d exécution ou de lngge ccepté se trnsposent sns peine à ce cdre plus générl. (Nous verrons un peu plus loin que l notion d utomte miniml ne spécifie priori rien sur le crctère fini de l ensemle d étts.) 2. Automtes non déterministes Le modèle d utomte fini non déterministe générlise le cs des AFD. Comme nous le verrons ientôt, le non-déterminisme permet une plus grnde souplesse ien utile dns certines situtions. Définition II.2.1. Un utomte fini non déterministe (AFND) est l donnée d un quintuple A = (Q, I, F, Σ, ) où Q est un ensemle fini dont les éléments sont les étts de A, I Q est l ensemle des étts initiux, F Q désigne l ensemle des étts finls, Σ est l lphet de l utomte, Q Σ Q est une reltion de trnsition (qu on supposer finie). On peut dès à présent noter plusieurs différences entre les AFD et AFND. Dns le cs non déterministe, il est possile d voir plus d un étt intil; les lels des rcs ne sont plus nécessirement des lettres mis ien des mots 1 L terminologie nglo-sxonne conscre le mot run.