MÉCANIQUE DU SOLIDE HERVÉ OUDIN

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1 MÉCNIQUE U SOLIE HERVÉ OUIN

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3 Table des matières I INTROUCTION... I- CONSIÉRTIONS GÉNÉRLES... I- NOTION E RÉFÉRENTIEL ESPCE - TEMPS...3 L espace...3 Le temps...4 I-3 NOTION E MSSE...4 I-4 NOTION E FORCE...5 I-5 PRINCIPE FONMENTL E L YNMIQUE «PF»...5 I-6 PRINCIPE ES TRVUX VIRTUELS «PTV»...7 BIBLIOGRPHIE...7 NOTES PERSONNELLES...8 II BSES MTHÉMTIQUES...9 II- VECTEURS...9 II-. Prpriétés de E...9 II-. Ntatins : vectrielle, matricielle, indicielle... II-.3 Changement de bases... II-.4 Prduits de vecteurs...5 II- CHMPS E VECTEURS TORSEURS...7 II-. éfinitins...7 II-. Prpriétés des trseurs...8 II-.3 Classificatin des trseurs...9 II-3 ÉRIVÉES - IFFÉRENTIELLES... II-3. Fnctin à une variable... II-3. Fnctin à plusieurs variables... II-4 CLCUL ES INTÉGRLES... II-4. Les vlumes... II-4. Les surfaces... II-4.3 Les lignes planes...3 II-4.4 pplicatin à la gémétrie des masses...3 BIBLIOGRPHIE...5 NOTES PERSONNELLES...6 III CTIONS MÉCNIQUES - PRMÉTRGE...7 III- CTIONS MÉCNIQUES...7 III-. Classificatin...7 III-. Petits rappels sur le champ de gravitatin et pesanteur...9 Le champ de Gravitatin...9 Champ de Gravitatin terrestre...9 Champ de Pesanteur terrestre...3 III-. Liaisns gémétriques élémentaires...3 Liaisns simples parfaites...3 III-. Liaisns cmpsées...33 III- PRMÉTRGE ESCRIPTION ES MOUVEMENTS...34 III-. Paramètres & paramétrage...34 III-. Vitesse et déplacements virtuels...37 III-3 PUISSNCE - TRVIL - ÉNERGIE...38 III-3. Puissance - Travail...38 III-3. Énergies...39 III-3.3 Puissance dans les liaisns mécaniques...4 BIBLIOGRPHIE...43 NOTES PERSONNELLES...44

4 IV CINÉMTIQUE...45 IV- NOTION E MOUVEMENT...45 IV-. éfinitins - prpriétés...45 IV-. Pints gémétriques pints liés à un espace...46 IV-.3 Cmpsitin des muvements...47 IV- NOTIONS E VITESSE...48 IV-. éfinitin - prpriétés...48 Cmpsitin des vitesses...5 IV-. Trseur cinématique...5 IV-.3 érivatin vectrielle...54 IV-3 CCÉLÉRTION...54 IV-3. éfinitin - calcul pratique...54 IV-3. Cmpsitin des accélératins...55 IV-4 MÉTHOOLOGIE POUR LES CLCULS E CINÉMTIQUE...56 BIBLIOGRPHIE...58 NOTES PERSONNELLES...58 V ÉLÉMENTS E CINÉTIQUE...59 V- CRCTÉRISTIQUES MÉCNIQUES UN SOLIE...59 V-. Ntin de masse...59 V-. Centre de masse...6 V-.3 Opérateur d'inertie...6 V- QUNTITÉS E MOUVEMENT ET CCÉLÉRTION...65 V-. éfinitins...65 V-. Prpriétés générales...66 V-.3 Mment cinétique d un slide...67 V-.4 Mment dynamique...68 V-3 ÉNERGIE CINÉTIQUE...69 V-4 EXERCICES...7 NOTES PERSONNELLES...7 VI PRINCIPE FONMENTL E L YNMIQUE «PF»...73 VI- ÉNONCÉ U PF...73 VI-. Thérème de l'actin - réactin...74 VI-. Thérèmes généraux de la dynamique...74 VI-.3 Thérème de l'énergie...74 VI- RÉFÉRENTIELS GLILÉENS...75 VI-. Exemples de repère galiléen...76 VI-. Relatin entre pesanteur et gravitatin...77 VI-3 ÉQUTIONS PRINCIPLES UN PROBLÈME...8 VI-3. nalyse d un prblème de mécanique...8 VI-3. Recherche des équatins du muvement...85 VI-3.3 Intégrales premières du muvement...87 VI-3.4 Calcul d'effrts...9 VI-4 EUX PPLICTIONS INUSTRIELLES...9 VI-4. Équilibrage d'un rtr...9 VI-4. Gyrscpes...93 VI-5 QUELQUES EXERCICES E COURS...96 NOTES PERSONNELLES...98 VII PRINCIPE ES TRVUX VIRTUELS...99 VII- ÉNONCÉ U PTV... VII-. Équivalence PTV - PF... VII-. Cnséquence : le Thérème de l énergie... VII- ÉQUTIONS E LGRNGE :... VII-. Frme pratique des équatins de Lagrange... VII-3 NLYSE UN PROBLÈME PR LGRNGE...4 VII-3. Méthdlgie...5 VII-4 PPLICTION...5 VII-4. Recherche des équatins du muvement...5

5 VII-4. Calcul d un cuple mteur...8 VII-4.3 Calcul d un effrt de liaisn...9 VII-5 EXERCICES E COURS... NOTES PERSONNELLES...4 VIII LOIS E FROTTEMENT...5 VIII- EXEMPLE PRÉLIMINIRE...5 VIII- RÉSISTNCE U GLISSEMENT...6 VIII-. Énncé des lis de culmb...7 VIII-. Puissance dissipée par frttement... VIII-3 RÉSISTNCE U ROULEMENT ET U PIVOTEMENT... VIII-4 PROBLÈMES E STTIQUE... VIII-5 PROBLÈME E YNMIQUE...6 nalyse du prblème par le PF...7 Écriture et mise en frme des équatins principales...8 Réslutin...8 NOTES PERSONNELLES...3

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7 I - Intrductin I Intrductin Le premier chapitre de ce curs présente les principales ntins sur lesquelles snt cnstruits tus les mdèles dans le cadre de la mécanique classique. Cette intrductin sera l ccasin de satisfaire vtre curisité sur quelques hmmes qui nt cntribués à l histire de la mécanique. I- Cnsidératins générales Le terme Mécanique vient du grec «μεκανη (mékanè» qui signifie machine. La mécanique est la science du muvement, c est une science d rigine expérimentale. Très tôt l hmme a su utiliser leviers, plans inclinés, rndins pur déplacer et mettre en place d énrmes blcs de pierre. Mais il a fallu des siècles de réflexin pur expliquer les phénmènes mis en jeu. Petite histire de la mécanique classique Premier almanach sus le règne de Nabuchdnsr (5 av JC. Naissance de l écle inienne sus l influence de THLÈS puis grande péride hellénistique avec de nmbreuses écles : PYTHGORE et ses disciples qui répandirent les premiers l idée que la terre était sphérique, plngée dans un univers vide et infini, RISTOTE qui effectua une classificatin de l ensemble des sciences et étudia les relatins entre elles, EUCLIE célèbre gémètre d lexandrie dnt les travaux snt à la base de la gémétrie, thérie de l équilibre d RCHIMÈE (87 av JC qui affirmait que tut crps pesant avait un barycentre bien défini. Il faut nter qu avant tut rchimède était un mathématicien, il n a quasiment pas réalisé d expériences, la plupart de ses travaux snt le fruit de démnstratins basées sur un principe de départ. Cette péride grecque se termine avec PTOLÉMÉE ( p JC qui vulut cnstruire à tut prix un système cncrdant avec ce qui était bservé depuis la terre. Il prpse tut un système gécentrique ù la terre est fixe au centre de l univers, ce fut la référence eurpéenne incntestée en matière d astrnmie jusqu au quatrzième siècle. Pendant tut le Myen Âge ce snt les rabes qui nt prduit le plus de résultats tant au niveau des bservatins (bservatires de amas, Bagdad, Maraga, Samarkand L- BTTNI (858-99, qu au niveau des mathématiques IBN L-HYTHM ( En Occident il faut attendre l étude du muvement des astres par COPERNIC ( pur ser ôter à la terre sa psitin centrale dans l univers. Mais n écrivait-il pas lui même : «ne cnfier les secrets de la philsphie qu à des amis fidèles et à des prches, et ne pas mettre ces secrets par écrit, ni les révéler à n imprte qui». KEPLER (59 63 met en évidence la prprtinnalité frce accélératin. Ces travaux snt repris et diffusés par GLILÉE ( qui aspirait à cnstruire une science mathématisée du muvement «la philsphie est écrite dans ce très vaste livre qui cnstamment se tient uvert devant ns yeux. Mais n ne peut le cmprendre si d abrd n n apprend à cmprendre la langue et à cnnaître les caractères dans lesquels il est écrit. Or il est écrit en langue mathématique et ces caractères snt les triangles, les cercles, et autres figures gémétriques sans lesquelles il est abslument impssible d en cmprendre un mt.». ESCRTES ( intrduisit l utilisatin de l algèbre dans la gémétrie et HUYGENS ( dévelppa la thérie du pendule et s intéressa aux cllisins élastiques. vec NEWTON (64 76 les principes qui snt la base de la mécanique classique actuelle snt psés sus frme de tris

8 Mécanique du slide lis dnt celle de la gravitatin. ans la lignée de Newtn nus truvns tus les grands mécaniciens mathématiciens des dix-huitième et dix-neuvième siècles BERNOULLI (7 78, EULER (77 783, d LEMBERT (77 783, LGRNGE ( vec eux, la mécanique s affranchit des cnsidératins philsphiques pur parvenir à un expsé analytique fndement du dévelppement frmel de la mécanique ù les équatins différentielles ccupent une place privilégiée. Pur en savir plus sur tus ces savants, vus puvez cnsulter «es Physiciens de à Z», ndré Russet & Jules Six, Ed ellipses (. ujurd hui nus dispsns d un système parfaitement rdnné, clair et pratique, qui permet de prévir les phénmènes mécaniques à partir d un certain nmbre de principes (u lis qui snt les bases de la mécanique thérique (u ratinnelle. ans ce curs nus nus limiterns à ce qu il est cnvenu d appeler la mécanique classique (u galiléenne, par ppsitin aux mécaniques nuvelles : la mécanique statistique (limites dues aux grands nmbres, la mécanique relativiste (limites dues aux grandes vitesses, la mécanique ndulatire (limites dues aux petites dimensins, la mécanique quantique (limites dues aux discntinuités de certaines grandeurs. Les phénmènes que peut décrire la mécanique classique snt dnc limités. Ils frment cependant l immense majrité des phénmènes curants au milieu desquels nus vivns, et que nus bservns du pint de vue macrscpique. Ce snt ces phénmènes qui nus intéressent dans le cadre de la mécanique industrielle. «C» est la vitesse de la lumière dans le vide. C C/ Vitesse Mécanique quantique relativiste Mécanique quantique C,998 8 m/s Mécanique relativiste Mécanique classique Csmlgie relativiste Csmlgie dimensin en m Ntez que cette figure n est pas à l échelle, elle dnne simplement une idée du dmaine d applicatin à l intérieur duquel nus allns travailler. Ce curs est rienté vers l applicatin des lis de la mécanique classique à des prblèmes de calcul des muvements u des effrts relatifs à des systèmes mécaniques simples tels que peut les rencntrer un futur ingénieur. Ce champ d actin est cnsidérable, aussi plutôt que d expser les principes et aximes qui cmbinés cnduisent aux lis générales à appliquer, nus énncerns directement ces lis et insisterns sur la démarche permettant leur utilisatin rigureuse dans le cadre de la mécanique industrielle. vant d entrer dans le vif du sujet, essayns de dnner une vue d ensemble des ntins intervenant dans la frmulatin des lis qui régissent la mécanique classique, telles que les ntins d espace de temps, de masse et de frce.

9 I - Intrductin I- Ntin de référentiel espace - temps L espace Ntre espace est mdélisé par un espace affine E de dimensin 3. Cet espace est l espace physique, il cntient l ensemble des pints que nus puvns bserver. Sur cet espace il est impssible d établir de lis mathématiques, et d effectuer des calculs. C est ntre espace d bservatin et de mesure. En chisissant une rigine O nus allns lui asscier un espace vectriel E. Cet espace est l espace mathématique sur lequel sernt frmulées les lis de la mécanique. C est dans cet espace que nus travaillns pur établir ns mdèles, rechercher et écrire les équatins du prblème. Cet espace est muni d un prduit scalaire (nrme et a une structure d espace vectriel euclidien. Chisissns à présent une base (de tris vecteurs de ntre espace vectriel. Tut vecteur peut être alrs représenté par ses cmpsantes sur cette base. Ce snt des nmbres réels avec lesquels nus puvns effectuer tus ns calculs. C est l'espace de travail pur tutes ns applicatins numériques. Maths : Espace affine Espace vectriel Nmbres réels En pratique : Chix d'une Chix d'une ε 3 rigine O E base b 3 P (Pint O P 3 R (Vecteur (Crdnnées de P Espace physique Espace mathématique Espace de travail Observatins et Mesures Frmulatin des Prblèmes Recherche des équatins x i Expressins litérales pplicatins numériques Calculs Nus venns d intrduire la ntin de repère qui est fndamentale, car tut en mécanique repse sur la gémétrie euclidienne. Par abus et lrsqu il n y aura aucune ambiguïté, il nus arrivera pur simplifier la présentatin de cnfndre l espace réel E et le repère R(,b qui lui est asscié. La décmpsitin que nus précnisns ici est très utile en pratique, pur abrder et traiter un prblème de mécanique :. cmprendre le prblème (espace physique. le frmuler crrectement (espace mathématique 3. le résudre numériquement (espace de travail 4. analyser les résultats / physique Suivre cette démarche permet d abrder les difficultés séparément et peut vus éviter de turner en rnd en cherchant à résudre un prblème qui n aurait pas été crrectement frmulé. En pratique la base sera chisie rthnrmée et rientée dans le sens direct 3

10 Mécanique du slide Le temps Suivant le même schéma, le temps «τ» peut être mdélisé par un espace affine de dimensin rienté. Le chix d une rigine définit l espace vectriel des durées τ - τ ο, puis celui d une base e l espace réel des dates t. L rientatin initiale crrespnd à l rdre chrnlgique, elle s appuie sur l irréversibilité fndamentale de l évlutin de tus les phénmènes physiques, cnséquence du deuxième principe de la thermdynamique. Pstulat : Pur tut bservateur (cuple «E,τ» les prpriétés du référentiel Espace-Temps snt identiques Ce mdèle cntient le principe de simultanéité, u principe d universalité du temps qui revient à admettre l existence d un signal de synchrnisatin puvant se prpager à une vitesse infinie. Cela exclue la mécanique relativiste. yant défini l espace et le temps il est pssible d étudier les muvements au curs du temps d un système matériel (ensemble de pints par rapprt à un espace d bservatin. C est l bjet du chapitre de cinématique. I-3 Ntin de masse Nus regardns les bjets du pint de vue macrscpique, excluant de ce fait les mécaniques quantique, statistique et ndulatire. Ntre mdèle est fndé sur l hypthèse de la cntinuité de la matière qui ccupe un dmaine cnnu de l espace. Pstulat : tut crps de la nature il est pssible de faire crrespndre un nmbre psitif invariable sa masse. Ntns M ρ dv la masse d'un système matériel. Ce mdèle fait appel à la ntin de masse cnservative, c est-à-dire que l n suit les particules au curs du temps. Nus smmes dans une descriptin Lagrangienne des muvements. L intérêt d une telle descriptin est de puvir caractériser un slide indéfrmable par tris grandeurs sa masse, sn centre de masse et sn pérateur d inertie. La cnséquence directe du pstulat des systèmes à masse cnservative est de puvir permuter dérivée et intégrale par rapprt à la distributin de masse : d df ( P, t P t f dv (, ρ ρ Ces ntins sernt précisées dans le chapitre de cinétique qui s intéresse à la descriptin des masses en muvement et fait appel à la gémétrie des masses. dv 4

11 I - Intrductin I-4 Ntin de frce Lngtemps les hmmes nt buté sur la distinctin entre deux ntins : frce et muvement. Il est encre curant d entendre parler de frce d inertie! Nus utiliserns exclusivement la ntin de frce et plus généralement celle d effrt pur caractériser les actins mécaniques. Pstulat : Les diverses causes mdifiant les muvements d'un système matériel peuvent être représentées par des actins mécaniques de cntact u à distance qui tutes snt mdélisées par des vecteurs (frces u cuples. Ce pstulat est à la base de tute mdélisatin mécanique. L ingénieur dit analyser le prblème à traiter et décider du dmaine à étudier. Sur ce dmaine il devra représenter (mdéliser les actins mécaniques par des systèmes de vecteurs (trseurs. Si ces effrts snt suppsés cnnus et se situent à la frntière du dmaine nus parlns de cnditins aux limites en frce (u cnditins naturelles. Si ce snt des effrts de vlume nus parlns de champ, exemple le champ de pesanteur. Là ù les déplacements snt impsés les effrts snt des incnnues du prblème, nus parlns de cnditins aux limites en déplacement. Ces ntins de mdélisatin sernt précisées dans le chapitre sur les liaisns mécaniques et utilisées dans les chapitres d applicatin des principes de la mécanique que nus allns présenter maintenant. I-5 Principe Fndamental de la ynamique «PF» Il est pssible de recnstruire le PF à partir d aximes fndamentaux tels que le principe du déterminisme, le principe de causalité, le principe d inertie (première li de Newtn, le principe de l actin réactin (trisième li de Newtn. La frme simplifiée du PF appliqué au pint matériel «f ma» est la deuxième li de Newtn. Ces tris lis nt été refrmulées pur btenir la frme actuelle du PF qui est un principe d existence qui stipule l existence de repères privilégiés sans dire cmment les chisir. Enncé : Il existe des référentiels privilégiés dit référentiels galiléens, tels que à tut instant et pur tut système matériel cnsidéré, le champ de vecteur des effrts extérieurs appliqués à ce système et le champ des quantités d accélératin du système snt égaux : Rg Σ t F ma { ext / Σ} { Σ/ Rg} Les 6 équatins qui déculent de l écriture de ce principe snt nmmées «équatins de Newtn» par référence histrique aux tris lis du muvement. ans le chapitre sur les applicatins du PF nus préciserns cette ntin de référentiel galiléen, puis nus nus attacherns à définir une démarche méthdlgique pur abrder et pser crrectement les prblèmes de mécanique industrielle. La réslutin des équatins n est pssible que pur des prblèmes académiques. es utils de simulatin numérique existent et 5

12 Mécanique du slide snt curamment utilisés pur traiter les prblèmes plus cmplexes et analyser les résultats des études industrielles. Citns quelques dmaines d applicatin en mécanique industrielle Rbtique & Mécanique du crps humain Trajectire des (planètes, Fusées, satellites sumis à des frces gravitatinnelles. Mécanique du vl (études aérdynamique ynamique des navires Calcul d effrts sur les pièces mécaniques Le dcument suivant est une reprductin d un extrait «des Principes Mathématiques de la Philsphie Naturelle» dans une traductin de la Marquise du Châtelet de

13 I - Intrductin I-6 Principe es Travaux Virtuels «PTV» Histriquement, nus puvns accrder à d lembert la paternité de ce principe. ans sn traité de dynamique (743 il fait la synthèse des travaux de Newtn et d'euler en dnnant une place essentielle à la ntin d énergie. Il existe plusieurs présentatins pssibles de ce principe sit sus la frme de Travaux Virtuels sit sus celle de Puissances Virtuelles. Pur les ngl-saxns c est le Principe d'hamiltn (87 qui intrduit la ntin de fnctin caractéristique et le principe de mindre actin, dnnant naissance aux méthdes variatinnelles actuelles. Enncé : Il existe au mins un référentiel galiléen, tel que à tut instant et pur tut système matériel cnsidéré le travail virtuel de tus les effrts appliqués à ce système est égal au travail virtuel des quantités d accélératin du système, et ceci quelque sit le champ de déplacement virtuel, Sit : Rg Σ δ q δt δ ( Σ ( Σ/ Rg Ce principe est basé sur l utilisatin de la ntin de déplacement virtuel. Le PTV et le PF snt deux principes équivalents du pint de vue mécanique, c est seulement la façn d abrder et de traiter le prblème qui sera différente. vec le PF nus aurns une apprche physique qui se traduira par des équatins vectrielles. vec le PTV nus aurns une apprche variatinnelle d une grandeur énergétique qui se traduira par des équatins scalaires. Il est difficile de ne pas citer les équatins de Lagrange en même temps que le PTV. En effet c est sn uvrage de synthèse sur le traitement mathématique de la mécanique (788 qui dnna naissance à ce qu il est cnvenu d appeler la mécanique analytique enseignée de ns jurs. Ce snt ces équatins que nus utiliserns pur appliquer le PTV à un système matériel de N slides indéfrmables. Pur cnclure cette vue d ensemble des principales ntins et principes présentés dans le cadre de ce curs de mécanique, il imprte de rappeler que la mécanique est cmplexe. Elle emprunte ses prcédés aux mathématiques pures, ce qui nécessite de la part des étudiants et étudiantes de la rigueur dans les raisnnements et les calculs. Mais elle est aussi, de par sa nature et ses applicatins, une science physique qui nécessite de cmprendre les phénmènes pur appliquer avec un maximum d efficacité les méthdes et démarches d analyse que nus allns vus enseigner en L et L. Bibligraphie ndré Russet & Jules Six «es Physiciens de à Z», Ed ellipses (. Pur en savir plus sur tus les savants qui nt laissé leurs nms à une méthde, une li, un principe, Ce livre permet de mieux cnnaître ces femmes et ces hmmes. Sur le Web Rechercher mécanique (science Isaac Newtn d lembert Lagrange etc 7

14 Mécanique du slide Ntes persnnelles 8

15 II Bases mathématiques II Bases mathématiques Ce chapitre présente un rappel des éléments de mathématiques indispensables pur abrder le curs de mécanique. Cmme nus le verrns rapidement la gémétrie «vecteurs et champ de vecteurs» snt essentiels à la frmulatin d un prblème de mécanique. Les ntins de dérivées et différentielles nus permettent d écrire les équatins, et celles d intégrales sernt utiles pur calculer les caractéristiques mécaniques des slides. Il est indispensable de cnnaître et de savir utiliser les utils mathématiques présentés ici. Ntre bjectif n est pas de prpser un curs de mathématiques, mais de rappeler quelques ntins de base essentielles pur prendre un bn départ en mécanique. N hésitez pas à raffermir u cmpléter vs cnnaissances dans ce dmaine en cnsultant vs curs de mathématiques. II- Vecteurs Cmme nus l avns présenté dans l intrductin tut vecteur d un espace vectriel E de dimensin n peut être représenté sur une base (b par n cmpsantes dans R n. La base (b est un système de n vecteurs indépendants de l espace vectriel E. n a i b i i En mécanique classique nus travaillns dans un espace E 3 de dimensin 3. Sus certaines cnditins nus puvns réduire la dimensin de l espace : hypthèse des muvements plan E u muvement rectiligne E. II-. Prpriétés de E L espace vectriel est muni d un prduit scalaire (li de cmpsitin externe de E*E R. Il a une structure d espace vectriel euclidien. La nrme d un vecteur est définie par :. la nrme est asscié la ntin de distance : d (, B B B Les bases sernt tujurs chisies rthnrmées et rientées dans le sens direct défini par la cnventin de la figure ci-cntre. si i j ( bi, bj ( b bi. bj δij si i j b b O b 3 R( O, b 9

16 Mécanique du slide II-. Ntatins : vectrielle, matricielle, indicielle a - Ntatins vectrielles R ( O, b (P (P P P Les vecteurs liés snt essentiels en mécanique Vitesse ccélératin Frces mments,. vecteur (indépendant de la base E3 (P vecteur lié : c est un cuple ( P, ( P E3 ttentin : ( P ( P R ( O, b ans ce curs les cmpsantes du vecteur b sur la base b snt ntées : {} b Il existe d autres ntatins : { }, { } b u encre plus rapide b, b ttentin : Il ne faut pas cnfndre b et { } Ces deux éléments n'appartiennent pas aux mêmes espaces. est un élément de l espace vectriel. Nus travaillns avec les vecteurs du pint de vue thérique (c est ntre espace mathématique car ils snt indépendants du chix de la base, n parle de grandeurs intrinsèques. b est un élément de R 3 (c est ntre espace de calcul. u chix de la base {} dépendra la simplificatin u nn des calculs. En pratique pur simplifier l écriture des équatins lrs des calculs n nte suvent par abus : a a b a au lieu de {} a pur s'écnmiser a b 3 a3 a b Rappels : {} a ab + ab + a3b3 b a 3 3 a3 b b a a xp b Si OP {} y p crdnnées du pint P b z p xb x b Si B {} yb y zb z b P P V ( P V ( P

17 II Bases mathématiques Exemple : les 3 systèmes de crdnnées les plus utilisées en gémétrie e z Crdnnées cartésiennes OP x e + y e + z e 3 paramètres de psitin : 3 lngueurs e x Crdnnées cylindriques OP r e ( θ + z e 3 paramètres: r x y z lngueurs : r, z angle : θ rientatin de e r z b e x O y e z O θ r P z P z x e r e y e y Crdnnées sphériques OP ρ e ρ ( θ, ϕ e e 3 z P lngueur : ρ 3 paramètres: ρ angles : θ, ϕ rientatin de eρ O ϕ e θ x e r b e ρ e θ e y Exercice II. On pse b ( e, e, e b Exprimer { OP} x y z en fnctin de ( x, y, z puis de ( r,θ, z et ( ρ, θ, ϕ. b - Ntatins matricielles Une matrice [ ] est un tableau rectangulaire de cefficients [ a ij ]. Le cefficient a ij (ntatin indicielle se situe à la ligne n i, et la clnne n j. Remarque : un vecteur est représenté par une matrice à une clnne i j aij Opératins matricielles élémentaires : La matrice transpsée [ ] T est le tableau rectangulaire des cefficients a ji, cette pératin crrespnd à une permutatin des lignes et des clnnes. Si [ ] T [ ] [ ] symétrique : a ij a ji Si [ ] T [ ] [ ] antisymétrique : a a et a Remarque : la transpsée d un vecteur clnne { } T est un vecteur ligne que nus nterns artificiellement avec des < > { } T < > L bjectif de cette ntatin est de simplifier la lecture des pératins matricielles, mais elle n est pas indispensable. ij ji ii

18 Mécanique du slide Le prduit de deux matrices [ C] [ ][ B] s effectue en multipliant terme à terme les cefficient de la ligne i par ceux de la clnne j pur btenir le cefficient c ij c ij k Remarque : le nmbre de clnnes de dit être égal au nmbre de lignes de B L inverse d une matrice carrée est ntée [ ] Si est inversible ( det(, nus avns : [ ] [ ] [ ][ ] [ ] a ik b kj Exercice II. 3 On pse [ ] 3 4 et [ ] B 3 Calculer le prduit [ C] [ ][ B] ; Les matrices inverses [ ], [ B] et [ C] Vérifier que [ C] [ B] [ ] En pratique n n effectuera ces calculs à la main que pur des matrices de dimensin inférieure u égale à 3. ans tus les autres cas il faut utiliser les utils de mathématiques en libre service dispnibles sur Internet. II-.3 Changement de bases Sit b et b deux bases rthnrmées directes d'un espace vectriel E. Tut vecteur de E peut s'exprimer sur l'une u l'autre de ces bases. La relatin matricielle entre les cmpsantes sur chaque base est la suivante: b b b P Prpriétés : { } [ ] b { } b avec [ ] P matrice de passage de b à b b La matrice de passage dépend au plus de tris paramètres indépendants (en pratique n utilise 3 rtatins. b L'expressin de la matrice de passage [ ] P b peut être btenue à partir des cmpsantes des vecteurs de b exprimées sur b : b b [ P] b { b } Il est simple de vérifier les relatins suivantes: b [ ] b P [ P] b [ P] T b b b Elles snt suvent utilisées en pratique. La matrice de passage entre deux bases est btenue en effectuant le prduit des matrices de rtatin plane successives permettant de passer d une base à l autre. b b b P P * P [ ] [ ] [ ] b b b

19 II Bases mathématiques Rtatins planes : Il y a tris rtatins planes pssibles, chacune par rapprt à un des 3 axes du trièdre rthnrmé direct. Les matrices suivantes crrespndent chacune à une rtatin plane suivant un de ces axes. Les figures de calcul divent être systématiquement faites pur un angle de rtatin cmpris entre et Pi/ dans le sens direct. Cette précautin est indispensable pur ne pas cmmettre d'erreur de signe sur les prjectins. Rtatin / au premier axe Figure de calcul [ ] [ Rtα e ] b P b Rtatin / au secnd axe / [ ] [ Rtβ e ] b P b Rtatin / au trisième axe / [ ] [ Rtγ e ] b P b / 3 csα sinα cs β sin β csγ sin γ sinα csα sin γ csγ sin β cs β Figure de calcul b α b β b b ttentin au signe sur la figure Figure de calcul Les matrices de rtatin plane nt tujurs la même frme, de ce fait elles snt très largement utilisées pur le calcul numérique, car les pératins snt systématiques et ne nécessitent pas de réflexin. u pint de vue pratique (pur les calculs à la main nus précnisns les figures de calcul qui snt beaucup plus rapide d utilisatin que la cnstructin d une matrice suivie d un prduit matriciel. pplicatins dans le plan e θ e y θ e r e x θ / e z Sit le vecteur cnnu par ses cmpsantes sur la base Cherchns ses cmpsantes sur la base b b : { } a r a θ b b ( e, e, e x y z ( e, e, r θ e z b b : { } a a x y b γ b 3

20 Mécanique du slide a x e + a x b y e y csθ sinθ b sinθ csθ b { } ax csθ + ay sinθ ax sinθ + ay csθ b csθ sinθ ax { } sinθ csθ ay Il faut bien cmprendre l'écriture matricielle. Remarques : b d'ù { b } [ P b ] { b } avec b [ P b ] { e x} { e y} b b b La démarche inverse permet de cnstruire [ P ] csθ sinθ sinθ csθ b T P b b b et vus purrez vérifier [ P] [ ] Nus venns d exprimer les relatins entre a, a, a aθ pplicatins dans l espace b x y r, Exercice II.3 Sit le système de repérage d un slide défini par les 3 rtatins planes suivantes ( ψ, θ, ϕ (angles d Euler. La précessin : rtatin par rapprt au 3 ième axe La nutatin : rtatin par rapprt au ier axe du ième repère La rtatin prpre par rapprt au 3 ième axe du dernier repère z x ϕ θ ψ O éfinitin des bases b z ψ / z n ( n, u, z θ / n n y ϕ / z v s ( x, y, z ( n, v, z ( x, y, z liée à S Exprimer sur la base b les cmpsantes du vecteur rtatin instantanée défini par Ω ψ z n + θ + ϕ z. En utilisant la matrice de passage partir des figures de calcul 3 Quelle est la base la plus judicieuse? 4

21 II Bases mathématiques Exercice II.4 Sit les angles de l hydrdynamique (cap, tangage, et rulis ( χ, β, φ définis par la figure suivante. éfinitin des bases z b ( x, y, z z s y χ / z y s φ O / y b ( x, y, z β y x χ x β x φ / x b ( xs, y, z s s bs ( xs, ys, zs Le vecteur rtatin instantanée est défini par : Ω χ z + β y + φ xs Quelle snt les bases les plus judicieuses pur exprimer ce vecteur? Exprimer Ω sur ces bases. Quelques cnseils pur cnclure Les calculs snt en général suffisamment lngs pur ne pas se "vautrer" dans des changements de bases en calculant des termes inutiles! Pur tus les prblèmes tridimensinnels faisant intervenir plusieurs bases, utilisez systématiquement le schéma de définitin des rtatins planes successives pur cnstruire les figures de calcul. Vus apprécierez très rapidement le gain de pensée que cela représente de ne pas avir recurs à une vue tridimensinnelle cmplète du système étudié. En pratique il est suvent plus rapide de calculer par étapes successives les cmpsantes d'un vecteur sur une base dnnée à partir des figures de calcul, plutôt que d'utiliser les matrices de passage. II-.4 Prduits de vecteurs Prduit scalaire. B B cs(, B Ce prduit est cmmutatif et distributif par rapprt à la smme. C est une grandeur intrinsèque, il est indépendant de la base de référence.. B avec ( et B B et B étant exprimé sur une même base : pplicatin en mécanique :. B 3 i a i b i Calcul d une distance (nrme B B B. B Cmpsante d un vecteur sur une directin u unitaire : a. u u 5

22 Mécanique du slide Calcul de la puissance (travail en mécanique analytique (TH de l énergie. écmpsitin d un vecteur en cmpsante nrmale + vecteur tangent F F Pur les prblèmes de cntact : T n F Fn n + F T avec : F F n F n. cmpsante nrmale n d ù F F F n vecteur tangent Prduit vectriel W Λ B Ce prduit est anticmmutatif : B Λ Λ B et distributif par rapprt à la smme. C est un vecteur, il dépend de la base de calcul. n W B W B sin(, B aire du parallélgramme avec W et W B et (, B, W trièdre direct et B étant exprimés sur une même base a b a b3 a3b b { W} a Λ b a3b ab3 a3 b3 ab a b pplicatin en mécanique : Calcul du mment d une frce / un pint : M ( O, F ( P OP Λ F ( P éfinitin de la surface élémentaire : ds dx Λ dx Calcul du prduit mixte et du duble prduit vectriel. Prduit mixte : C.( Λ B Ce prduit est un scalaire qui représente le vlume du parallélépipède généré par les tris vecteurs. W S n Sit W Λ B W S (ire h C lrs W. C S h Vlume B Il est invariant pur tute permutatin circulaire des tris vecteurs. Il est nul si deux des vecteurs snt parallèles (vlume d'une surface. uble prduit vectriel : Λ ( B Λ C Ce prduit permet de calculer la prjectin d un vecteur sur un plan de nrmale n T n 6

23 II Bases mathématiques n V V n Λ ( V Λ n V ( n. V n P V n Λ V de plus n mntre que : Λ ( B Λ C (C. B (. B C Exercice II.5 Exercice II.6 éterminer λ tel que B avec : 5x + 4y + 3z B λx y + z éterminer la prjectin de a + c a x + y + z sur b avec : b x y + z c x + 3y 4z éterminer l intensité de la frce en pur que le système ci-dessus sit à l équilibre F β a z O α b y g M II- Champs de vecteurs Trseurs II-. éfinitins Système vectriel Sit un dmaine de l espace E. En tut pint P de snt suppsés définis, un vecteur lié : φ (P et une densité : dμ (P. Le champ des vecteurs liés φ (P dμ (P ainsi défini cnstitue un système vectriel. Trseur asscié à un système vectriel Le trseur Τ asscié à un système vectriel v est défini par ses éléments de réductin qui snt sa résultante R v et un mment résultant en un pint quelcnque M v (. { v ( } { R v, M Rv Τ v ( } avec : M ( v i FPi + f v P Λ F i i (P Pi d + P Λ f v (P d 7

24 Mécanique du slide En pratique les densités vectrielles snt suppsées avir tutes les prpriétés mathématiques requises pur que les intégrales sur l intérieur du dmaine et sur sa frntière existent. F i F V P i d V d d S F S F Ntatins : F i : Système discret de vecteurs aux pints P i i F v dv : intégrale de vlume... V F S ds : intégrale de surface... S F d : intégrale linéique... Remarques : tut champ vectriel n peut asscier un trseur. Les éléments de réductin du trseur définissent un champ de vecteurs équivalent au champ vectriel cnsidéré. L intérêt est évident, au lieu de travailler sur un ensemble cmplexe de vecteurs, n travaille sur les 6 cmpsantes du trseur asscié. Tut champ de vecteurs n est pas un trseur. En mécanique, le seul champ vectriel qui sit un trseur est le champ des vitesses d un slide indéfrmable (trseur cinématique. Les autres trseurs utilisés en mécanique snt : le trseur Cinétique asscié au champ des quantités de muvement le trseur ynamique asscié au champ des quantités d accélératin le trseur des effrts asscié aux actins mécaniques sur le système. II-. Prpriétés des trseurs Transprt des mments émnstratin : B P ( f (P, B M v(b M v( + Rv Λ B C est une des frmules les plus utilisées lrs des calculs. P M (, f M ( B, f ( P ( P P Λ f BP Λ f ( P ( P B + P M ( B, f ( P B Λ f ( P + M (, f ( P En intégrant sur le dmaine M (B M ( + R Λ B Cqfd v Équiprjectivité, B B. M v(b B. M v( émnstratin immédiate en utilisant la frmule du transprt. Utilisatin pratique : On peut calculer un mment par rapprt à un axe (, Δ, en passant par n'imprte quel pint de l'axe. v v 8

25 II Bases mathématiques B Chisissez le pint de l'axe le plus intéressant pur simplifier les calculs. P f (P B axe, Δ M (, f. Δ M ( B, f ( ( P ( P. Δ Cmment de deux trseurs P { Τ }{ Τ } R. M ( + R. M ( Le cmment (prduit de trseurs est indépendant du pint. C est un invariant scalaire En mécanique le cmment sert à calculer la puissance et le travail. II-.3 Classificatin des trseurs Sit C l invariant scalaire défini par : C R. M( Si C avec R n parle de cuple, le champ de mment est cnstant. R n parle de glisseur. Étude des glisseurs - En tut pint le champ de mment est à la résultante. - Pur tut glisseur il existe une drite unique ( parallèle à R passant par un pint I tel que M ( I. La drite ( est l axe du glisseur. - En tut pint P de ( le mment est nul. Pur déterminer l axe d un glisseur il suffit de truver deux pints pur lesquels le mment est nul. Exercice II.7 éterminer les éléments de réductin en O des effrts dus à la pressin hydrstatique exercée sur la vanne d écluse représentée sur la figure cidessus. Calculer la psitin du centre de pussée (pint pur lequel le mment des frces de pressin est nul. eau y x h éclus e a O b z Pur traiter cet exercice il faut calculer des intégrales de surface, les rappels sur ces calculs snt faits un peu plus lin. Exercice II.8 Mntrer qu un système de vecteurs situés dans un même plan de résultante nn nulle est un glisseur (exemple : champ des vitesses d un slide ayant des m vts plans. Mntrer qu un système de vecteurs parallèles de résultante nn nulle est un glisseur (exemple : champ de pesanteur. 9

26 Mécanique du slide Exercice II.9 éterminatin de l axe d un glisseur. Sit { R, M ( } les éléments de réductin du glisseur. R Λ M( Mntrer que le pint I défini par I est la prjectin R rthgnale de sur l axe du glisseur Vus puvez vus aider de la figure ci-dessus qui représente l axe du glisseur M ( R R I II-3 érivées - différentielles II-3. Fnctin à une variable Sit une fnctin f(x la dérivée de f en un pint x est définie par : f ( x f ( x f ' ( x lim x x x x f (x est le cefficient directeur de la tangente de la fnctin f en M. La différentielle de f au pint x est définie par df f '( x dx n ( n d f Plus généralement la dérivée u différentielle d rdre n est ntée : f ( x n dx Prpriétés : Pur les dérivées usuelles reprtez vus à vs frmulaires, nus vus rappelns ci-dessus les frmules pur les prduits, smmes, fractins et puissances de fnctins. ( u + v' u' + v' ( uv' uv' + u' v pplicatins u v ' u' v uv' v ( u m ' mu Études de fnctins Thérèmes des accrissements finis évelppement de Taylr d une fnctin au visinage d un pint n x a ( x a ( n f ( x f ( a + f ' ( a f ( a + ( x! n! f est suppsée suffisamment dérivable. m u'

27 II Bases mathématiques II-3. Fnctin à plusieurs variables Sit F(t une fnctin de n variables q i (t, F( t f ( q ( t nus avns : df n f qi q t i i En mécanique les q i snt les paramètres du muvement et t le temps. Nus utiliserns la ntatin suivante : n df ( qi f q i q i i i Exercice II. Sit l expressin de l énergie cinétique d un système matériel exprimée en fnctin de 3 paramètres q i (t ( ψ, θ, ϕ E ( 7 θ ( 7 sin θ ψ ( ϕ + c ma ψ csθ Calculer les termes suivants pur chaque paramètre q i : d E c Ec et q i qi ttentin dans ce calcul q et q snt des variables indépendantes i Remarque :cet exercice crrespnd aux calculs nécessaires à l écriture des équatins de Lagrange i II-4 Calcul des intégrales Nus ne nus intéressns ici qu au calcul des intégrales relatives à la gémétrie des masses, c est-à-dire au calcul de l intégrale d une fnctin vectrielle définie sur un dmaine gémétrique. Les grandeurs que nus aurns à calculer snt des vlumes, des centres de masse et des pérateurs d inertie. Pur fixer les idées nus dnnns ci-dessus les expressins à calculer pur un slide hmgène : V dv, OG V OP dv, J ( G, Δ M V OPΛ( ΔΛOP dv Les ntins de base du calcul intégral, la ntin de primitive ainsi que les primitives des fnctins usuelles snt suppsées cnnues. Nus vus rappelns ci-dessus les tris prpriétés les plus utilisées en calcul intégral : Primitive d une fnctin f : F ( x F( a b b a x a f F( b F( a α ( b α ( b Changement de variable : ( f α α' f [ F] α ( a a α ( a f [ F] b a

28 Mécanique du slide b Intégratin par parties : u v' [ u v] a b a Pur les primitives usuelles vus avez sûrement vtre frmulaire. Pur le reste calculer des intégrales sur un dmaine cnsiste à chisir le mieux pssible l élément d intégratin dv et à définir les brnes d intégratin crrespndantes. b a u' v II-4. Les vlumes Cas général En crdnnées cartésiennes dv dx dy dz En crdnnées cylindriques En crdnnées sphériques dv r dr dθ dz fdv fdv dv ρ csϕ dρ dθ dϕ vec les ntatins définies au début de ce chapitre. Il reste alrs à calculer l intégrale triple en définissant les brnes d intégratin de chaque variable de façn à décrire le dmaine ccupé par la matière. Vlume de révlutin z O Pur les slides pssédant une symétrie de révlutin il est intéressant d utiliser cmme élément de vlume un disque d épaisseur dz pur se ramener au calcul d une intégrale simple. dv π r ( z dz fdv f h ( z π r ( z dz Il faut puvir exprimer f(z II-4. Les surfaces Surfaces planes Surfaces sphériques En crdnnées cartésiennes En crdnnées plaires ds R csθ dθ dϕ ds dxdy rdrdθ ds fds Il reste alrs à calculer l intégrale duble en définissant les brnes d intégratin de chaque variable de façn à décrire le dmaine ccupé par la matière. Surfaces de révlutin Pur les surfaces pssédant une symétrie de révlutin il est intéressant d utiliser cmme élément d intégratin une surface d appui dl pur se ramener au calcul d une intégrale simple. S fds

29 II Bases mathématiques z ds π r ( z d fdv f h ( z π r ( z d Il faut puvir exprimer dl en fnctin de dz et f(z O II-4.3 Les lignes planes y y a d dx d r dθ r (θ x b x En crdnnées cartésiennes b dy d dx + dy dx + dx fdv a En crdnnées plaires : d rdθ fdv θ θ f ( θ r ( θ dθ f ( x dx II-4.4 pplicatin à la gémétrie des masses Les exercices que nus vus prpsns snt relatifs à des calculs que l n rencntre en gémétrie des masses. C est l ccasin pur nus d btenir des résultats dnt nus nus resservirns ultérieurement. Pur les mments d inertie par rapprt aux tris axes du trièdre nus utilisns la ntatin suivante : I Ox, I Oy, I Oz Exercice II. Sit un quart de cerceau de rayn R représenté par une ligne matérielle de masse M. Calculer les grandeurs suivantes en utilisant cmme élément d intégratin d Rdθ y Lngueur : L d R Centre de masse G : OG OP d L x M Mment d inertie : I Oz (x + y d L 3

30 Mécanique du slide Exercice II. Sit la plaque Trapézïdale hmgène de masse M représentée ci-dessus. Calculer les grandeurs suivantes en utilisant cmme élément d intégratin ds dx dy y Surface : S ds H h a Centre de masse G : OG S x OP ds Exercice II.3 Sit une plaque hmgène de masse M ayant la frme du secteur angulaire de rayn R, représentée ci-dessus. Calculer les grandeurs suivantes en utilisant cmme élément d intégratin ds rdrdθ R Surface : S ds α x Centre de masse G : OG OP ds S M Mment d inertie : IOz (x + y ds S Exercice II.4 Sit la surface hémisphérique de masse M, de centre O. Calculer les grandeurs suivantes en utilisant cmme élément d intégratin ds R csϕ dθ dϕ z Surface : S ds y x R Centre de masse G : OG OP ds S Mments d inertie : M M C' z ds et IOz S (x + y S ds II.4 bis Mêmes questins pur une hémisphère pleine de masse M (il faut calculer des intégrales de vlume avec des éléments d intégratin dv 4

31 II Bases mathématiques Exercice II.5 Sit un cône de smmet O, de base circulaire et de rayn R. Calculer les grandeurs suivantes en utilisant cmme élément d intégratin dv π r ( z dz u dv r dr dθ dz h z Surface : V dv O R Centre de masse G : Mments d inertie : M C' V OG V z OP dv II.5 bis Mêmes questins pur une surface cnique de masse M. Bibligraphie M dv et IOz (x + y V Sur le Web Rechercher Vecteurs, Trseurs, Matrice (algèbre, érivée, ifférentielle, Intégrales Rechercher Lgiciel maths, vus truverez des lgiciels en libre service qui vus permettrnt d effectuer bn nmbre de calculs mathématiques. Maths terminale, vus truverez des curs et exercices en libre service qui vus permettrnt d affermir vs cnnaissances en mathématiques. J ai bien aimé le site suivant : Si vus avez les myens je vus recmmande les lgiciels suivants (ils snt utilisés à l ECN MPLE pur le calcul frmel : MTLB pur tus les calculs scientifiques dv 5

32 Mécanique du slide Ntes persnnelles 6

33 III ctins mécaniques Paramétrage III ctins mécaniques - Paramétrage III- ctins Mécaniques Les deux seules actins à distance que nus cnnaissns snt la gravitatin, et l électrmagnétisme. Les lis régissant ces deux phénmènes physiques snt cnnues, ces actins sernt dnc mdélisées par des champs de vecteurs dnnés et caractérisées par un trseur. Les actins de cntact snt elles beaucup plus cmplexes à mdéliser, ce snt des actins entre slides (liaisns mécaniques - cntact, entre slide et fluide (liquide u gaz : hydr et aér dynamique. Le plus suvent elles fernt intervenir des lis empiriques basées sur l expérience et des mesures. Seln le cas nus sernt amenés à les mdéliser par des effrts dnnés u des déplacements impsés sur la frntière du dmaine. III-. Classificatin Nus venns de faire apparaître une première classificatin des actins mécaniques en : Effrts dnnés : caractérisés par un trseur nté { Τ } On y truve les champs de pesanteur et électrmagnétique, ainsi que les pressins suppsées cnnues puvant s exercer sur une partie de la frntière du dmaine. Effrts incnnus : caractérisés par un trseur nté { Τ } Ces effrts snt des incnnues du prblème, ils crrespndent aux liaisns mécaniques mdélisées par des déplacements u des vitesses impsées, ces liaisns snt appelées «liaisns cinématiques». Cette classificatin est d rigine physique, elle est essentielle du pint de vue de l analyse d un prblème mécanique, car elle cnditinne ntre apprche. Cependant cette classificatin est insuffisante pur traiter un prblème de mécanique, car une secnde classificatin thérique vient s y superpser. Elle crrespnd à la frmulatin deux principes de la mécanique : le principe fndamental de la dynamique qui ne cnsidère que les effrts extérieurs au système, et les principes énergétiques (Th de l énergie, frmulatins variatinnelles qui prennent en cmpte tus les effrts exercés sur le système. Nus devns dnc puvir différentier les effrts intérieurs et extérieurs à un système matériel. Effrts intérieurs : caractérisés par un trseur nté { Τ } int Le trseur des effrts intérieurs qui caractérise tutes les actins mécaniques qui agissent entre les différents éléments matériels du système cnsidéré. Effrts extérieurs : caractérisés par un trseur nté { } ext Τ Le trseur des effrts extérieurs qui caractérise tutes les actins mécaniques qui prviennent d éléments extérieurs au système matériel cnsidéré. Fd / S FI / S 7

34 Mécanique du slide Cette classificatin est dnc relative au système que l n cnsidère. Une des difficultés d applicatin du PF sera de chisir intelligemment le système à isler pur faire apparaître la u les équatins principales du prblème. Exemple Cnsidérns un système Σ cnstitué de deux slides indéfrmables S et S reliés entre eux par une liaisn mécanique de cntact. L ensemble est placé dans un champ de pesanteur, de plus S est en cntact avec un bâti S Une représentatin pratique du prblème est la schématisatin suivante : (S Liaisn - g Liaisn - (S R ( O, b (S Islns S : g ctins de --> (S ctins de --> Tutes les actins mécaniques snt des actins extérieures, il n y a aucune actin intérieure car S est suppsé indéfrmable. Cnsidérns le système S + S : (S (S ctins de --> Ce snt les seules actins mécaniques extérieures actins de S S ans ce cas la liaisn intérieure prend en cmpte actins de S S Remarques : g Pur un tel système le PF nus permettra d écrire 8 équatins (6 pur S, 6 pur S, 6 pur Σ, il faudra savir chisir parmi tutes ces équatins, car elles ne sernt pas indépendantes les unes des autres. Le Thérème de l actin-réactin (u trisième li de Newtn entraîne que : { Τ } { Τ } S S S S 8

35 III ctins mécaniques Paramétrage III-. Petits rappels sur le champ de gravitatin et pesanteur Le champ de Gravitatin La li de Gravitatin de Newtn fait intervenir la ntin de masse, ntin présentée dans le chapitre d intrductin et sur laquelle nus reviendrns dans le chapitre de cinétique. Li de la Gravitatin Sit deux crps pnctuels et B de masses m et m B. Elles exercent l une sur l autre des frces d attractin égales et ppsées, dirigées suivant la drite (B. B B F B FB K m mb 3 (B F avec K 6,67 - N.m.Kg - B K est la cnstante universelle de Gravitatin FB La valeur de K dnnée est la valeur apprchée définie par la nrme FNOR. Remarques : Les frces de gravitatin s exercent aussi bien entre les atmes et nyaux, qu entre des systèmes slaires. Le fait de cnsidérer les crps pnctuels sera d autant mieux vérifié que la distance entre les éléments matériels sera grande devant leurs dimensins respectives. Newtn a démntré que tut bjet ayant une répartitin de masse sphérique de centre O crée en tut pint extérieur un champ gravitatinnel identique à celui d un crps pnctuel placé en de même masse ( le champ est dit centripète. Champ de Gravitatin terrestre En première apprximatin la terre peut être cnsidérée cmme un crps ayant une répartitin de masse sphérique. En un pint P de sa surface, le champ de gravitatin a pur valeur g. MT OP g K u avec u F M g T M R OP pplicatin numérique M R Kg 4 T 5,98 g 9,8m. s 6 myen 6,38 m Remarques : La variatin de g avec l altitude n est que de % pur une altitude de 3 km G varie aussi du fait que la terre n est ni rigureusement sphérique, ni hmgène. Exercice III. Mntrez qu au visinage immédiat de la Terre les actins gravitatinnelles des autres astres (en particulier Lune, Sleil snt négligeables. Quelques dnnées utiles : Sleil : masse,98 3 Kg ; rayn 6,96 8 m Lune : masse 7,4 Kg ; rayn,74 6 m istance Terre - Sleil :,5 m istance Terre - Lune : 3,84 8 m Calculer la cnstante gravitatinnelle de la Lune. 9

36 Mécanique du slide Champ de Pesanteur terrestre Cmme nus le verrns dans le chapitre d applicatin du PF la directin indiqué par le fil à plmb n est pas la directin du champ de gravitatin car au champ gravitatinnel viennent se superpser les effets de l accélératin due au muvement de rtatin de la terre. Cependant pur la plus grande partie des prblèmes de l ingénieur n purra cnfndre le champ de gravitatin et le champ de pesanteur indiqué par le fil à plmb. C est à dire que l n négligera les muvements de la terre. III-. Liaisns gémétriques élémentaires La mdélisatin des liaisns mécaniques passe par un mdèle de référence thérique qui suppse la liaisn sans dimensin, sans masse, sans frttement, sans jeux, en bref parfaite. Il faut dnc que les dimensins de la liaisn sient petites devant les dimensins du système mécanique étudié. Par exemple une butée à billes sera mdélisé par un pivt parfait si n s intéresse aux muvements du système mécanique auquel appartient cette butée, la butée sera alrs mdélisé par pivt situé en sn centre. Mais n peut tut aussi bien s intéresser aux muvements des billes dans la cage en quel cas se snt les cntacts arbre bille et cage bille qui sernt mdélisés. Le reste du mécanisme sera sans dute remplacé par des effrts appliqués sur l arbre. Cmme nus le vyns tut dépend du prblème psé à l ingénieur, il devra faire des chix pur définir sn mdèle mathématique. Liaisns simples parfaites ans un premier temps nus allns caractériser un ensemble de liaisns gémétriques élémentaires à partir des quelles ils sera pssible de cnstruire d autres liaisns gémétriques cmpsées. Tutes les liaisns que nus décrivns ci-dessus snt suppsées parfaites. Chacune est caractérisée par : Sa définitin mathématique Ses mbilités : muvements relatifs que la liaisn autrise Le trseur des actins de cntact de la liaisn Le premier grupe de liaisns gémétriques crrespnd aux 6 liaisns réalisées par cntact de deux éléments gémétriques (mathématique du tableau suivant POINT LIGNE PLN POINT Rtule Linéaire annulaire ppui pnctuel LIGNE Pivt glissant ppui linéique PLN ppui plan Nus y adjindrns les deux liaisns élémentaires : le pivt et la glissière. Les fiches suivantes dnnent pur chacune de ces liaisns : la définitin mathématique, une représentatin physique par rapprt à un bâti S, les mbilités de la liaisn («rtatins p,q,r» et «translatins u,v,w» ainsi que les effrts de liaisn qui snt définis dans une base relative ( x, y, z fixe par rapprt à S, la figure de drite est une façn de représenter la mdélisatin mathématique de la liaisn dans un prblème. La généralisatin à une liaisn entre deux slides S et S est simple. 3

37 III ctins mécaniques Paramétrage Rtule parfaite éfinitin : les deux slides restent cnstamment en un même pint. z 3 Mbilités de rtatin (p, q, r R (S x y Effrts de liaisn de R sur (S : FR quelcnque S { T } R S M R S ( 3 incnnues F S R M R S (S Linéaire annulaire parfaite éfinitin : Un pint d un slide reste cnstamment en cntact avec une ligne d un autre slide. z 3 rtatins ( p, q, r 4 Mbilités : y (S translatin u F S x R R x Effrts de liaisn de R sur (S : FR S.x { T } R S M R S ( incnnues M ppui Pnctuel parfait éfinitin : les deux slides restent cnstamment en cntact en un pint gémétrique, le plan de cntact est défini par le plan tangent en aux deux slides. z 3 rtatins ( p, q, r 5 Mbilités : (S translatins ( u, v z (S Effrts de liaisn de R sur (S : FR S y FR S N z { T } R S M R S ( M R S R x incnnue Pivt glissant parfait éfinitin : Une drite d un slide reste cnstamment en cntact avec une ligne d un autre slide. z rtatins r (S Mbilités : translatin w z y (S Effrts de liaisn de R sur (S : R x F. z F z R S R S { TR S} M R S (. z 4 incnnues M R S z R S (S x 3