COURS DE MECANIQUE. 2ème année AVANT-PROPOS. Catherine POTEL, Philippe GATIGNOL. Chapitre 2. LIAISONS MECANIQUES - MODELISATION

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1 AVANT-PROPOS COURS DE MECANQUE ème nnée A nte que l numéttn es pgphes ptée c est clquée su celle u cus l fn e fclte le su u cus mgstl, ms ne épn ps u nmes e pésenttn usuelles 'un cument éct. Cthene POTEL, Phlppe GATGNOL Chpte. LASONS MECANQUES - MODELSATON Unesté u Mne - UR Scences et Technques Cthene Ptel, Phlppe Gtgnl Unesté u Mne, Le Mns Cthene Ptel, Phlppe Gtgnl Unesté u Mne, Le Mns

2 Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS NTRODUCTON Un sstème mécnque est en génél sums à un cetn nmbe 'ctns tennt à ssue sn équlbe u à mfe sn muement, p ppt à un epèe 'bsetn. A nte échelle hbtuelle, qu est celle e l'étue e l plupt es mchnes et mécnsmes, n peut stngue eu tpes 'ctns : - les ctns à stnce, telles que l'ttctn e l Tee su un stellte, u tut smplement l'ctn e pesnteu à l sufce e l Tee, u ence les ctns mgnétques, électsttques... - les ctns p cntct ues à l pésence et u muement es bjets snnts, lés à l'bjet étué p es lsns mécnques : chussée ctn e l chussée su l ue ue p eemple, l'ctn e l chussée su les ues 'une tue, e l belle su le lebequn (fgue.). gue. Ces ctns e cntct peuent uss ête ues à l pésence et u muement 'un flue ns lequel l'bjet est stué : pussée 'Achmèe pu un pssn, ésstnce e l' pu un n, p eemple. P lleus, pu un tpe cmme pu l'ute, n peut stngue les ctns pnctuelles, qu s'eecent en un pnt pécs u sstème, et les ctns éptes su un lume u su une sufce (éentuellement le lng 'une lgne, fgue.). Cntct lnée ectlgne Cntct lnée ccule gue. Cette enèe stnctn épen en génél e l mélstn gémétque u sstème mécnque : ) b) L T M me Pstn Cctéstn u muement Répttn e l msse Actns eecées Rele les ctns u muement gue.3 Objet éel t t t t t S l ue 'une tue est schémtsée p un sque néfmble, l'ctn e l chussée s'eece u pnt e cntct (fgue.3-). Ms s l'n tent cmpte e l'écsement u pneu, l'ctn est épte su l sufce e cntct (fgue.3-b). Etpe gémétque Etpe cnémtque Etpe cnétque Etpe phsque Etpe nmque Equtns gue.4 Repésenttn technlgque Vecteus, ngles Repége sptl nctns ectelles Tjectes Chmps e tesses Accélétn Géméte es msse nete Eléments cnétques (msse + tesse) Ls phsques : ttctn es cps électmgnétsme fttement Pncpe fnment Dnmque Sttque Pnt mtéel Sle ge Cthene Ptel -. - Unesté u Mne - Le Mns Cthene Ptel -. - Unesté u Mne - Le Mns

3 Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS EXEMPLE DU JONT DE CARDAN DEGRES DE LBERTE Défntn : Un jnt e cn pemet l tnsmssn 'un muement e ttn ente eu bes cncunts. l est cmpsé e eu chpes et 'un cslln. Remque : n peut églement ppele "fuches" les chpes. C'est une chîne femée à qute éléments (fgue.5): S 0 : Bât (csse e l tue) S : uche qu tune à ω t S : Cslln ec eu es e ttn S 3 : uche qu tune à ω t ω t (ues) S' 0 S 0 ω : Bât b g = cnstnte sns glsse (mteu e l tue) b g Mntge à eu jnts smples (gue.6) 3 S 0 ω O 3 gue.5 O 3 3 θ ω 3 3 θ ω 3 b g θ ' et 3 : Abes elés et 3 : Chpes u fuches : Cslln 4 es cncunts en O chque cn peut ête mélsé p 4 lsns pt 'es cncunts. 3 ' ω ' ' ' S' 0 gue.6 Le secn jnt cge les égultés e tesse u peme jnt en pésentnt le même éfut, ms en sens ppsé. L tnsmssn est ls hmcnétque :, ω t = ' t. (.) S' 0 () () t ω Décmpstn u éplcement 'un sle ns un epèe T gue.7 - Rttn R utu e Oe,, Oe, - Tnsltn T sunt Oe,. Oe, T e R O e R e (S) T R b g en éplcement quelcnque ns l'espce Un sle S ffne est epéé p un epèe R = Oe,, e, e (fgue.7). Sn éplcement peut se écmpse, ns un e quelcnque, en s éplcements élémentes qu snt :, ttn R utu e Oe,, ttn R utu e, tnsltn T sunt Oe,, tnsltn T sunt Degés e lbeté 'un sle (l) : p éfntn, les l 'un sle snt ces éplcements élémentes Dns l'espce : s l : ts ttns ts tnsltns Dns le pln : ts l : une ttn eu tnsltns Degés e lbeté 'une lsn - egé e lsn et S est céée p le cntct 'une sufce Une lsn élémente ente eu sles S sscée u sle S su une sufce sscée à S. Pu cctése l ntue e leu lsn, l fut étue les les muements eltfs e S p ppt à S. Défntns : Le egé e lbeté (l) 'une lsn est le nmbe e éplcements élémentes népennts utsés p cette lsn. P ppstn, le egé e lsn (ln) est le nmbe e éplcements élémentes ntets. Cthene Ptel Unesté u Mne - Le Mns Cthene Ptel Unesté u Mne - Le Mns

4 Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS Le egé e lbeté est nc une ble qu peut pene eu étts uquels n peut ssce : le chffe 0 lsque le egé e lbeté est mpssble. le chffe lsque le egé e lbeté est pssble. A un egé e lbeté suppmé cespn un egé e lsn : egé e lbeté (l) + egé e lsn (ln) = 6. (.) MODELSATON DES LASONS BNARES PRNCPALES. Les ne lsns bnes pncples A chque cntct utsnt es éplcements ente eu ensembles mtéels S et S, n éfnt un epèe ppelé epèe lcl él qu pemet 'epme smplement les ppétés e cntct. gne A : pnt plégé e l géméte e cntct (pptent en génél à un élément e sméte e l sufce e cntct). e pncpl : e e sméte plégé e l sufce e cntct, s'l este. Les eu utes es snt tels que le epèe st thnmé ect. Le tbleu pge sunte ésume les ttns (R) u tnsltns (T) pemses pu les ne lsns usuelles : - Lsn encstement - Lsn pt - Lsn glssèe - Lsn hélcïle - Lsn pt glssnt - Lsn sphéque à gt - Lsn tule u sphéque - Lsn ppu pln - Lsn lnée nnule - Lsn lnée ectlgne - Lsn pnctuelle Le nmbe e ns le tbleu nne nc le nmbe e egés e lbeté e l lsn.! L lsn hélcïle n'utse qu'un seul egé e lbeté ben que le tbleu cmpte eu "". En effet, l ttn utu e l'e e et l tnsltn sunt cet e snt cnjugués : s l'n nte p le ps e l lsn, n l eltn sunte : T = R p, ec R en n. (.3) π gue.8 Cthene Ptel Unesté u Mne - Le Mns Cthene Ptel Unesté u Mne - Le Mns

5 Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS. Eemples e slutns technlgques Répttn es chges su un ulement ) Les ulements Défntn : Un ulement est un gne qu ssue une lsn mble ente eu éléments 'un mécnsme ulnt l'un su l'ute. l pemet leu ttn elte, sus chge, ec pécsn et un fttement mnml. Eléments cnstuctfs (fgue.9) - Bgue etéeue sle u meu - Bgue ntéeue sle e l'be 3 - Elément e ulement 4 - Cge Eléments e ulement : Blles Ruleu Agulles gue.9 Un ulement est éfn p eu cctéstques essentelles : le tpe et les mensns. Pncpu tpes e ulements On se epte à l plnche pu l mélstn e ces ulements sus fme e lsn. Rulements à blles : - ngée e blles - ngées e blles Rulements à uleu : - clnques - cnques - sphéques gue.0 Rulements à gulles Butées : - à blles - à uleu - à gulles Chge le : chge pepencule à l'e e l'be (l lgne e chge est le p ppt à l'e). Cthene Ptel Unesté u Mne - Le Mns Cthene Ptel Unesté u Mne - Le Mns

6 Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS b) Lsn encstement ) Lsn ppu pln Les slutns technlgques cespnnt à un encstement peuent ête : - suge - justement seé - gujnnge, etc... butées à blles butées à uleu j) Lsn pnctuelle c) Lsn pt blle ns l sus sscée à un nteu. ulement à eu ngées e blles V MODELSATON DES EORTS MECANQUES ) Lsn glssèe guge ec ptns à gulle guge ec cges à gulle cletge ulles à blles e) Lsn hélcïle s à blles f) Lsn pt glssnt clnnes à blles spstf cmbné g) Lsn sphéque à un gt jnt e cn ccuplement à egts h) Lsn tule ulements à blles tule uleu cnques nsuffsnce es ecteus lbes en mécnque Lsque l'n eece un efft su un bjet, n peut epésente gémétquement cet efft p une lngueu, pptnnelle à l'ntensté e l'efft et nque églement, p une ectn e te entée, l ectn et le sens ns lesquels cet efft s'eece. Ces éléments éfnent un ecteu lbe. Cepennt, ce ecteu lbe est nsuffsnt pu epésente l'efft cmplètement. En effet, l cnent e pécse e plus l'ent ù s'eece cet efft, c'est-à-e sn "pnt 'pplctn". L'eemple u sege 'un écu (fgue.) mnte ben que les effts epésentés p les eu ecteus équpllents AA' et AA ', epésentnts u même ecteu lbe, n'unt ps le même effet mécnque. A A' A A' B B' gue. On put ls pense que le bn cncept est celu e ecteu lé. Cepennt, s u leu 'pplque l'efft u pnt A n l'pplque u pnt B, p eemple u men 'un câble AB, l'effet e sege se le même que pu une pplctn ecte en A. Les eu ecteus lés AA' et BB ' nt nc un effet mécnque équlent, ms fféent e celu e AA '. Cthene Ptel Unesté u Mne - Le Mns Cthene Ptel Unesté u Mne - Le Mns

7 Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS Ce qu ent 'ête t écule 'une bsetn e l e cunte, ms l epse en élté su le pncpe même e l nmque, que nus étuens plus t u chpte 4. Ans, un efft se epésenté gémétquement p une te entée (l lgne 'ctn et le sens e l'ctn) et p une lngueu pptnnelle à l'ntensté e l'efft. Mthémtquement, un efft pplqué u pnt A se epésenté p le glsseu A,. S B est un ute pnt e l lgne 'ctn, ls A, = B, Dmensn phsque 'un fce : Eemple e fce : le ps P= mg m en kg mensn smblsée p M g en m / s. mensn smblsée p LT nc = mg = MLT L'unté 'une fce est le Newtn, c'est-à-e : N = kg. m. s Ts pmètes nt nc nteen : - l'ntensté (mule) e l fce pplquée :. - l'ngle e l lgne 'ctn (suppt) e ec l'e e l clé : α = ( PA, ). L'effccté est mmle pu α = π. - l lngueu e l clé : PA = PA. Une mesue e l'effccté u sege pu nc ête nnée p le put e ces ts qunttés : PA sn( PA, ). On emque que ce put n'est ute que le mule u put ectel PA. Ans, ce put ectel est ppelé à jue un ôle mptnt ns l'ppéctn e l'effccté 'une fce nt l lgne 'ctn psse p A. Défntn : Etnt nné un glsseu ( A, ) et un pnt P e l'espce, n ppelle mment u glsseu ( A, ) u pnt P le ecteu lbe éfn p le put ectel : M = P ( A, ) PA. (.4) Mment 'un glsseu en un pnt - ntn e cuple Repenns l'eemple u sege 'un écu (fgue.). On t ben su l'eemple e l fgue c-essus, que pu une même ntensté e l fce, le sege ne se ps uss effcce seln que l lgne 'ctn e l fce est pepencule à ( PA ) u ps. Ntn e cuple : Cnséns l'ctn eecée su un "tune à guche" bsg p sn utlsteu bug (fgue.3). P A A α A gue.3 O C - B gue. Cthene Ptel -. - Unesté u Mne - Le Mns Cthene Ptel -. - Unesté u Mne - Le Mns

8 Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS L'ensemble es fces eecées su le sstème est une fce nulle : + = 0. MO+ MO = OA + OB = B 0 B 0 B 0 B = = 0 = e B B B On ppelle ce mment un cuple. Dmensns phsques 'un mment : M = = MLT L L'unté 'un mment u 'un cuple est N.m 3 Repésenttn mthémtque 'un ctn mécnque Une ctn mécnque est mélsée p un tseu, éfn p ses éléments e éuctn en un pnt. A (S) ) Applctn - nttns A A Sent n fces pplquées u pnts A 'un sle bsg (fgue.4). L'ensemble e ces fces est nté. gue.4 Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS Nttns : Dns le cs ù l'n eut eplcte un tseu p s ésultnte et sn mment, l fu ls pécse le pnt en lequel n clcule sn mment, et l'n pu ls nte : R l q S U T b g b gv W S = R S, M P S. (.7) P l est quelquefs cmme 'eplcte les cmpsntes e Rb Sg et u mment M S P R S b g su l bse B. Dns ce cs, n peut emple l nttn sunte : b Sg X M Pb Sg L Y et B Z M ls n peut uss nte B N R S T U V W X L l Sq = Y M. (.9) P Z N B b) Tseu stbuteu es tesses On u u chpte que le tseu stbuteu es tesses V = VR / R, ence ppelé pfs tseu cnémtque, u epèe R ns sn muement p ppt à R à l'nstnt t pu éléments e éuctn en un pnt P : RbVg= ΩB / B, M P bvg= VP / R. (.0) S Ω B / B ω ω B ω et VP / R B ls V = P R S T ω ω ω U V W B (.) D'pès ce que l'n u u, n cmpen ben que le tseu stbuteu es tesses est epésenttf es egés e lbetés u sle S p ppt u sle S. L fme ptculèe u tseu stbuteu es tesses, ns le cs e chque lsn, se éut nc u tbleu.8. b g est : Le tseu es ctns e su le sle S l Sq= A,, L, A n, nt R R b Sg= + L+ ec S n T Mb Sg= PA + L+ PA qu snt les éléments e éuctn u tseu u pnt P. P n n (.5) (.6) c) Tseu tnsmssble Seln l ntue e l lsn ente eu sles S et S, le tseu ns ppelé tseu tnsmssble, u une fme ptculèe : RS S X/ M P S S L / R X S Y / et M / ls ns S s= S Y B Z B N P Z / / T S s, pfs L M N U V W / / / / / / B Cthene Ptel Unesté u Mne - Le Mns Cthene Ptel Unesté u Mne - Le Mns

9 Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS V CAS DES LASONS PARATES. Pussnce es effts pplqués à un sle ge (A mette, p ntcptn su le chpte 5) L pussnce es ctns e S su S, eltement u epèe R est éfne p P S S / R = S S V R R, (.) ( ) { } ( / ) st P ( S S / R ) = R ( S S ) V( P / R ) + M P ( S S ) Ω( B / B) st ( S S / R ) = X + Y + Z + Lω + Mω + Nω, (.3) P. (.4). Lsn pfte (sns fttement) Une lsn pfte ne cnsmmnt ps 'énege, P ( S / R ) 0 l'équtn : ec : { S } ( R / R ) 0 S = S =. Cel se tut p V, (.5) X + Y + Z ω, ω, ω, V. (.6) { } ( ) S = = + ω + ω + ω S R / R 0 L M N,, Cel eent à tue l cmplémentté ente l cnémtque e l lsn (l) et l'ctn mécnque qu'elle peut tnsmette. Cette cmplémentté se tut p une cetne cespnnce ente les cmpsntes nulles es eu tseus. L lsn hélcïle epésente tutefs un cs ptcule qu est étllé c-essus. Le tbleu.5 nne les fmes ptculèes e ces eu tseus pu les lsns pftes usuelles éjà étuées. Eplctns ns Ss ns le cs 'une lsn hélcïle : Rω U RX L U / / nsss VR / R= S 0 0V S Y / M / V AT 0 0W B AT Z / N / W B = ω L / + X / n s nc S S = 0 L X 0 H G V R / R ω, ω, ω,,, K J ω / + / = ec Y /, Z /, M /, N / quelcnques On nc une eltn ente L / et X / : X / = ω L / p O = ω, 'ù X / = k L / ec k = π, p étnt le ps e l lsn. π p gue.5 Cthene Ptel Unesté u Mne - Le Mns Cthene Ptel Unesté u Mne - Le Mns

10 Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS V ACTON MECANQUE TRANSMSE PAR UN CONTACT PONCTUEL. Ls u cntct pnctuel. Anlse gémétque et cnémtque Deu sles ges bg S et bs g en cntct l'un ec l'ute u cus u temps, unt en génél à chque nstnt t un pnt cmmun, et, en ce pnt, un pln tngent cmmun et p sute une nmle cmmune.en ce leu e cntct, ts pnts snt cnfnus à cet nstnt, ms snt sépés u nstnts sns t + t. l s'gt : Le cntct pnctuel ente bg S et bs g pque es ctns e chcun es sles su l'ute. Les ls u cntct s'epment e l mnèe sunte : - l'ctn u sle bg S su le sle bs g, ue u cntct pnctuel u pnt, est epésentble p une fce S S b g nt l lgne 'ctn psse p le pnt e cntct. R 0 (S ) gue.6 (S ) - u pnt gémétque ù leu le cntct, pnt que nus enns e nte. - u pnt u sle S qu se tue en ce leu e cntct à l'nstnt t. - u pnt u sle S qu se tue en ce leu e cntct à l'nstnt t. - le cntct ne punt ête mntenu qu s chcun es sles "pusse" su l'ute, cette fce t ête gée e S es S. S l'n ntut le ecteu unte nml n gé e bg S es bs g, cette cntn se tut p l'néglté : S b Sg. n > (.7) 0 Cette cntn pécse nc le sgne, su l nmle entée seln l'e, e l cmpsnte nmle e l fce. S l'n écmpse cette fce su l ectn nmle et su le pln tngent : Au cus 'un muement, ces ts pnts nt en génél es tesses fféentes p ppt à un epèe 'bsetn R 0 quelcnque. L fgue.6 mnte ces ts pnts à l'nstnt ù b g b g b g (.8) S S = NS S + TSS ls cïncent. Muement e ptement e S p ppt à S : muement e ttn utu e l'e n,. Muement e ulement e S p ppt à S : muement e ttn utu 'un e pssnt p et cntenu ns le pln tngent cmmun. (S S ) φ N(S S ) (S ) b g : NbS S g NbS S g. n NS S = > cmpsnte nmle 0 TS b Sg :cmpsnte tngentelle ence ppelée fce e fttement. (S S ) N(S S ) ptement T(S S ) (S ) pln tngent cmmun (S ) n (S ) ulement gue.7 N S S S S V /R gue.8 (S ) (S ) T S S Eemple : gue.9 Cthene Ptel Unesté u Mne - Le Mns Cthene Ptel Unesté u Mne - Le Mns

11 Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS 3. Ls e fttement (ls e Culmb) b g e l'ctn S b Sg - Pemèe l e Culmb : l pjectn tngentelle TSS epésente l ésstnce qu'ppse bg S u muement e glssement e bs g p ppt à bg. S On l'ppelle pfs "fce e fttement". TSS V /R = (.9) b g 0 TS b Sg. V /R < 0 ù V / R epésente l tesse e glssement e S - Deuème l e Culmb : s glssement TS S = f NSS s ps e glssement TS S f NS S ec p ppt à S. (.0) b g b g (.) b g b g (.) s f : ceffcent e fttement nmque f s : ceffcent e fttement sttque Ces gneus snt sns mensn et leu leu est epésentée p un nmbe sns unté. ) Cône e fttement. n (S S ) N(S S ) φ gue.0 (S ) (S ) Lsque le ceffcent e fttement f n'est ps nul, l euème l e Culmb pu le cntct ec glssement epme que le ecteu S b Sg est stué su le cône e élutn nt le smmet est le pnt e cntct (fgue.0), nt l'e est l nmle en u pln tngent cmmun u eu sufces et nt le em-ngle u smmet φ est lé u ceffcent f p : tg φ = f. (.3) Ce cône est ppelé cône e fttement u pnt e cntct. Chpte Lsns mécnques - mélstn DEUST VAS Dns le cs 'un cntct sns glssement, le ecteu S b Sg est stué à l'ntéeu u cône e fttement. Détemntn epémentle (fgue.) f s f f gue. Ntue es mtéu f s f V( / ) R en cntct à sec lubfé à sec lubfé Ace su ce Ace su fnte à 0.08 Ace su bne Téfln su ce nte su bne à 0.08 Nln su ce Bs su bs à à 0.6 Métu su bs 0.5 à à à 0.08 Métl su glce 0.0 Pneu tue su ute su sl mullé à 0.3 ( ) b) Cntct sns fttement. S les sufces en cntct snt pftement ples, le ceffcent peut ête cnséé cmme nul. L pjectn tngentelle TbSSg e l fce e cntct S b Sg est nc nulle : l'ctn e cntct (S ) s'eeçnt u pnt est ls nmle u pln tngent cmmun en. C'est une stutn élsée que nus encntens suent ntmment pu es lsns e ntue gémétque plus cmplee. (S ) gue. Cthene Ptel Unesté u Mne - Le Mns Cthene Ptel Unesté u Mne - Le Mns