Le Raisonnement par récurrence
|
|
- Odette Pruneau
- il y a 5 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Le Rasonnement par récurrence Chrstan CYRILLE 1 septembre Axome d nducton compléte Sot E une parte de N vérfant les deux condtons suvantes : 1. 0 E. s n E alors n + 1 E alors E = N. Théorème de récurrence fable Sot P r une proprété que peut vérfer un enter naturel k (ce que l on notera P r(k)) Sot n 0 un enter naturel. 1. S P r(n 0 ) est vrae (c est-à-dre que la proprété P r est vrae en n 0 ). S pour tout k enter n 0, l mplcaton P r(k) P r(k + 1) est vrae (c est-à-dre que la proprété est hérédtare ) Alors pour tout n n 0, P r(n) est vrae..1 Démonstraton. On fat cette démonstraton dans le cas où n 0 = 0. Sot E = {n N / P r(n) est vrae } E car P r(0) est vrae.. s n E alors n + 1 E pusque P r(n) P r(n + 1) donc d après l axome d nducton complète, on a : E = N. 1
2 . Attenton! Il y a deux étapes dans ce type de démonstraton. Dans l étape 1, l faut vérfer que la proprété est vrae unquement en n 0 Dans l étape, en consdérant la table de vérté de l mplcaton logque p q p q V V V V F F F V V F F V Comme l faut démontrer que l mplcaton est vrae, on procédera ans : On supposera que pr(k) est vrae (c est ce que l on appelle l hypothèse de récurrence) et on rasonnera jusqu à prouver que pr(k +1) est vrae. On aura ans démontré que l mplcaton (P r(k) P r(k + 1)) est vrae 3 Théorème de récurrence double Sot P r une proprété que peut vérfer un enter naturel k (ce que l on notera P r(k)). Sot n 0 un enter naturel. 1. S P r(n 0 ) et P r(n 0 + 1) sont vraes. S pour tout k enter n 0, l mplcaton P r(k)et P r(k+1)) P r(k+) est vrae (c est-à-dre que la proprété est doublement hérédtare ) Alors pour tout n n 0, P r(n) est vrae. 4 Théorème de récurrence forte Sot P r une proprété que peut vérfer un enter naturel k (ce que l on notera P r(k)). Sot n 0 un enter naturel. 1. S P r(n 0 ). S pour tout k enter n 0, l mplcaton P r(n 0 ) et P r(n 0 + 1) et et P r(k) P r(k + 1) est vrae (c est-à-dre que la proprété est doublement hérédtare ) Alors pour tout n n 0, P r(n) est vrae.
3 5 Exercces 5.1 Cardnal de P (E) 1. Détermner l ensemble des partes de E noté P(E) dans les cas suvants E 1 = {a} ; E = {a; b} ; E 3 = {a; b; c}. Démontrer par récurrence que s E est un ensemble fn ayant n éléments alors l ensemble P(E) de ses partes a n éléments 3. En dédure P( ) ; P(P( )) ; P(P(P( ))) ; Card(P(P(P(P( )))) corrgé 1. Pour créer l ensemble des partes P(E) d un ensemble E, on place d abord la seule parte à 0 éléments qu est l ensemble vde pus les partes à 1 élément qu on appelle les sngletons, les partes à éléments qu on appelle les pares, celles à 3 éléments,... celles à n 1 éléments et enfn la seule parte à n éléments, la parte plene c est-à-dre l ensemble E lu-même. Par conséquent, s E 1 = {a} alors P(E 1 ) = { ; {a}} s E = {a; b} alors E = E 1 {b} et P(E ) = { ; {a}; {b}; {a; b}} s E 3 = {a; b; c} alors E 3 = E {c} et P(E) = { ; {a}; {b}; {c}; {a; b}; {a; c}; {b; c}; {a; b; c}} On peut donc remarquer que lorsque l on ajoute un élément rouge à un ensemble E, alors l ensemble des partes du nouvel ensemble E {x} est formé de toutes les ancennes partes de E auxquelles on ajoute de nouvelles partes qu sont en fat formées des ancennes partes auxquelles on ajoute le nouveau élément rouge {x}. Donc l y a autant de nouvelles partes ayant ce nouvel élément rouge x que d ancennes partes n ayant pas x.. On pose pr(n) :" le nombre de partes d un ensemble ayant n éléments est n " (a) Etape 1 : ntalsaton A-t-on pr(0)? c est-à-dre a-t-on le nombre de partes d un ensemble ayant 0 éléments est 0? 3
4 Ou car s Card(E) = 0 c est que E = donc P(E) = P( ) = { }. P(E) n a donc qu un seul élément. Par conséquent pr(0) est vrae. (b) Etape : hérédté Sot un certan enter k 0. A-t-on pr(k) = pr(k + 1)? c est-à-dre a-t-on le nombre de partes d un ensemble ayant k éléments est k = que le nombre de partes d un ensemble ayant k + 1 éléments est k+1 Supposons que l hypothèse de récurrence suvante " le nombre de partes d un ensemble ayant k éléments est k " sot vrae. Sot un ensemble F ayant k + 1 éléments. Isolons un élément x de F. Par conséquent F = E {x} où E a k éléments. Alors l ensemble des partes du nouvel ensemble F = E {x} est formé de toutes les ancennes partes de E auxquelles on ajoute de nouvelles partes qu sont en fat formées des ancennes partes auxquelles on ajoute le nouveau élément rouge {x}. Or d après l hypothèse de récurrence, Card(P(E)) = k et de plus l y a autant de nouvelles partes ayant ce nouvel élément rouge que d ancennes partes n ayant pas {x} donc Card(P(F )) = k + k = ( k ) = 1+k CQFD. (c) Concluson pr est ntalsé en 0 et pr est hérédtare donc pour tout enter naturel n, s Card(E) = n alors Card(P(E)) = n " 3. P( ) = { } P(P( )) = P({ }) = { ; { }} P(P(P( ))) = P({ ; { }}) = { ; { }; {{ }}; { ; { }}} Comme card(p(p(p( ))) = 4 alors Card(P(P(P(P( )))) = 4 = 1 4
5 5. Inégalté de Bernoull Sot a un réel > Démontrer par récurrence que pour tout enter naturel n, l on a : (1 + a) n 1 + na. Redémontrer cette négalté en utlsant la formule du bnôme de Newton c-dessous : S a et b sont des réels alors pour tout enter naturel n (a + b) n = n a n k b k k 5..1 corrgé 1. On pose pr(n) : (1 + a) n 1 + na (a) Etape 1 : ntalsaton A-t-on pr(0)? c est-à-dre a-t-on (1+a) 0 1+0a? c est-à-dre a-t-on 1 1? Ou. Par conséquent pr(0) est vrae. (b) Etape : hérédté Sot un certan enter k 0. A-t-on pr(k) = pr(k + 1)? c est-à-dre a-t-on (1 + a) k 1 + ka = (1 + a) k (k + 1)a Supposons donc que (1+a) k 1+ka. Or (1+a) k+1 = (1+a) k (1+a). Comme (1 + a) k (1 + ka) comme (1 + a) > 0 car a > 0 donc (1 + a) k (1 + a) (1 + ka)(1 + a) d où (1 + a) k ka + a + ka Mas ka 0 pusque k 0 et a > 0 donc 1 + ka + a + ka 1 + a + ka. d où (1 + a) k (k + 1)a (c) Concluson pr est ntalsé en 0 et pr est hérédtare donc pr est vrae pour tout enter naturel n. D après la formule du bnôme de Newton, n n (1 + a) n = 1 n k a k = 1 n a 0 + k 0 n n car = 1 et = n. 0 1 n Or (1 + a) n = 1 n k a k = k k= k= n 1 1 n 1 a 1 + k= n 1 n k a k = 1 + na + k n a k 0 donc (1 + a) n 1 + na k k= n 1 n k a k k 5
6 5.3 Quelques sommes remarquables Démontrer par récurrence que : 1. S 1 = k = n =. S = 3. S 3 = n(n + 1) k = n = n(n + 1)(n + 1) k 3 = n 3 = S1 = n (n + 1) (k + 1) = (n + 1) = (n + 1) k(k!) = 1(1!) + (!) + 3(3!) + + n(n!) = (n + 1)! 1. Sot une sute (u n ) n N telle que : ( n n 1 u n > 0 et u 3 k = k ) Démontrer avec une récurrence forte que n 1 4 u n = n corrgé 1. Notons pr(n) : k = n = (a) Etape 1 : Intalsaton A-t-on pr(1)? 1 c est-à-dre a-t-on k = 1 = 1(1 + 1) n(n + 1)? Ou car 1(1 + 1) (b) Etape : Hérédté Supposons que pour un certan enter n 1 l on at pr(n) c est-à-dre n(n + 1) que n =. Alors n + (n + 1) = ( n)) + (n + 1) = n(n + 1) n(n + 1) + (n + 1) + (n + 1) = (n + 1)(n + ) = donc pr(n + 1) est vrae. (c) Concluson { : pr est ntalsée en 1 donc n N pr est hérédtare pr(n) est vrae. Par conséquent, n N n(n + 1) S 1 = k = n = = 1
7 . Notons pr(n) : k = n = (a) Etape 1 : Intalsaton A-t-on pr(1)? c est-à-dre a-t-on 1 k = 1 = n(n + 1)(n + 1) 1(1 + 1)((1) + 1) 1(1 + 1)((1) + 1) Ou car = 1 (b) Etape : Hérédté Supposons que pour un certan enter n 1 l on at pr(n) c est-à-dre que n n(n + 1)(n + 1) =. Alors n + (n + 1) = ( n ) ) + (n + 1) n(n + 1)(n + 1) = + (n + 1) n(n + 1)(n + 1) + (n + 1) (n + 1) (n(n + 1) + (n + 1)) = = = (n + 1) ( n + 7n + ) (n + 1)(n + )(n + 3) = donc pr(n + 1) est vrae. (c) Concluson { : pr est ntalsée en 1 donc n N pr est hérédtare pr(n) est vrae. Par conséquent, S = k = n n(n + 1)(n + 1) = 3. Notons pr(n) : k 3 = n 3 = n (n + 1) 4 (a) Etape 1 : Intalsaton A-t-on pr(1)? c est-à-dre a-t-on 1 k 3 = 1 = 1 (1 + 1)? Ou car 4 1 (1 + 1) = 1 4 (b) Etape : Hérédté Supposons que pour un certan enter n 1 l on at pr(n) c est-à-dre que n 3 = n (n + 1). 4 Alors n 3 + (n + 1) 3 = ( n 3 ) ) + (n + 1) 3 = n (n + 1) +(n+1) 3 = n (n + 1) + 4(n + 1) 3 = (n + ( 1) n + 4n + 1 ) = (n + 1) (n + ) donc pr(n + 1) est vrae. 4 (c) Concluson { : pr est ntalsée en 1 donc n N pr est hérédtare pr(n) est vrae. Par conséquent, S 3 = k 3 = n 3 = S1 = n (n + 1) = S1 4 7?
8 4. 5. (k + 1) = (n + 1) = (n + 1) k(k!) = 1(1!) + (!) + 3(3!) + + n(n!) = (n + 1)! 1. Sot la proprété pr(n) : u n = n (a) Etape 1 Intalsaton : Démontrons que pr(1) est vrae c est-à-dre que u 1 = 1. ( 1 1 Comme u 3 k = k) donc u 3 1 = u 1 donc u 3 1 u 1 = 0 d où u 1(u 1 1) = 0. or u 1 > 0 car u 1 > 0 pusque n 1 u n > 0. Par conséquent u 1 1 = 0 donc u 1 = 1. CQFD. (b) Sot un certan n 1. Supposons que pour tout enter naturel k n, l mplcaton pr(k) est vrae. Démontrons qu alors pr(k + 1) est vrae. ( n+1 n+1 ) On sat que u 3 k = k donc u u u 3 n + u 3 n+1 = (u 1 + u + + u n + u n+1 ) d où (u 1 + u + + u n ) + u 3 n+1 = (u 1 + u + + u n ) + (u 1 + u + + u n )(u n+1 ) + u n+1 Alors u 3 n+1 = (u 1 + u + + u n )(u n+1 ) + u n+1 Par conséquent, ( u 3 n+1 u n+1 ( n)(u n+1 ) = 0 d où u n+1 u n+1 u n+1 n(n + 1) ) = 0 Posons X = u n+1. Nous devons donc résoudre l équaton X X n(n + 1) = 0 δ = ( 1) 4( n(n + 1)) = 1 + 4n(n + 1) = 4n + 4n + 1 = (n + 1) L équaton du second degré admet donc solutons : X 1 (n + 1) = = n = n 1 + (n + 1) X = = n + = n + 1 Comme u n+1 > 0 alors on rejette X donc u n+1 = X = n+1 CQFD. (c) pr est ntalsée en 1 et pr est ben hérédtare donc pr est vrae pour tout enter naturel n 1 8
9 5.4 Fausse récurrence Sot la proprété pr(n) : «5 n + 1 est un multple non nul de 4» 1. Cette proprété est-elle vrae pour n = 0?. Démontrer que pour tout enter naturel k, l mplcaton pr(k) pr(k+ 1) est vrae. 3. Concluson? corrgé Sot la proprété pr(n) : «5 n + 1 est un multple non nul de 4» 1. pr(0) est fausse car = n est pas un multple non nul de 4. Et pourtant, pour tout enter naturel k, l mplcaton pr(k) pr(k + 1) est vrae. en effet, supposons que pour un certan enter k 0 l on at pr(k) c està-dre que 5 k + 1 est un multple non nul de 4 donc q Z tel que 5 k + 1 = 4q d où 5 k = 4q 1 Alors 5 k = 5(5 k ) + 1 = 5(4q 1) + 1 = 0q = 0q 4 = 4(5q 1) = 5q où q = 5q 1 Z. Donc pr(k + 1) est vrae CQFD. 3. On est en présence d une fausse récurrence car pr est ben hérédtare mas n est pas ntalsée en 0 9
10 5.5 Encore une fausse récurrence 1. Démontrer par récurrence que pour tout enter naturel n la proprété suvante :"10 n 1 est un multple de 9" est vrae.. On s ntéresse mantenant à une autre proprété :"10 n + 1 est dvsble par 9" (a) Démontrer que, pour tout enter naturel n, l mplcaton suvante : " 10 n + 1 est dvsble par 9 10 n est dvsble par 9 " est vrae. (b) Dédure du 1 ) que, pour tout enter naturel n la proprété "10 n +1 est dvsble par 9" n est jamas vrae. (c) Concluson? Corrgé 1. Démontrons par récurrence que pour tout enter naturel n la proprété suvante :"10 n 1 est un multple de 9" est vrae. Notons pr(n) : 10 n 1 est un multple de 9. (a) Intalsaton : = 1 1 = 0 = 9 0 donc la proprété pr est ntalsée en n = 0 (b) Hérédté : Supposons que pour un certan n N l on at pr(n) alors k N 10 n 1 = 9k Par conséquent, 10 n+1 1 = 10(10 n ) 1 = 10(9k + 1) 1 = 90k = 90k + 9 = 9(10k + 1) = 9k où k N donc pr(n + 1) est vrae. (c) Concluson : pr est ntalsée en 0 et pr est hérédtare donc pr est vrae pour tout enter naturel n N (d) On s ntéresse mantenant à une autre proprété :"10 n +1 est dvsble par 9". Supposons que pour un certan n N l on at k N 10 n 1 = 9k Par conséquent, 10 n+1 1 = 10(10 n ) 1 = 10(9k + 1) 1 = 90k = 90k + 9 = 9(10k + 1) = 9k où k N l mplcaton suvante : " 10 n + 1 est dvsble par 9 10 n est dvsble par 9 " est vrae.. Pour tout enter naturel n la proprété "10 n + 1 est dvsble par 9" n est jamas vrae car 10 n + 1 = 10 n 1 + = 9k +. En concluson, pour la proprété "10 n + 1 est dvsble par 9"on a une fausse récurrence. 10
11 5. Le nombre de dagonales d un polygône convexe Sot un polygône convexe de n côtés. Démontrer par récurrence que s n est n(n 3) un enter supéreur ou égal à 3 alors le nombre de dagonales est NB Un polygone est convexe lorsque quelques soent les ponts M et N stués dans l ntéreur de ce polygône, le segment [MN] est nclus dans cet ntéreur corrgé Notons D n le nombre de dagonales. Sot la proprété pr(n) : " D n = " n(n 3) 3(3 3) 1. pr(3) est vrae car D 3 = 0 =. Dans un trangle, l n y a aucune dagonale. k(k 3). Supposons que pour un certan enter k 3 l on at D k =. Consdérons alors un polygône R convexe de k+1 côtés. Donc ce polygône R a k + 1 sommets. Notons ces sommets A 1, A,, A k, A k+1. Sot Q le polygône A 1, A,, A k. Ce polygône Q a donc D k dagonales. On construt R à partr de Q en ajoutant le sommet A k+1. On trace les segments [A 1 A k+1 ] et [A k A k+1 ]. Mas alors l ancen côté [A 1 A k ] de Q devent alors une dagonale de R. Le nombre D k+1 de R est D k +k +1 où (a) D k est le nombre de dagonales de Q (b) k : le nombre de segments partant de A k+1 vers les k autres sommets A 1, A,, A k. (c) l faut enlever correspondants aux deux nouveau côtés [A 1 A k+1 ] et [A k A k+1 ] (d) l faut rajouter +1 correspondant à la nouvelle dagonale [A 1 A k ] k(k 3) Or D k +k +1 = +k 1 = k 3k + k = k k + k = (k + 1)(k ) (k + 1)(k + 1 3). Par conséquent, D k+1 =. CQFD. 3. La proprété est ntalsée en 3 et hérédtare donc elle est vrae pour tout enter naturel n 3 11
12 5.7 Multples de 11 Démontrer par récurrence que pour tout enter naturel n, 10 n ( 1) n est un multple de Corrgé On pose pr(n) : 10 n ( 1) n = 11q où q Z 1. Etape 1 : ntalsaton A-t-on pr(0)? c est-à-dre a-t-on 10 0 ( 1) 0 = 11q? c est-à-dre a-t-on 1 1 = 11q? c est-à-dre a-t-on 0 = 11q? Ou car 0 = 11 0 Par conséquent pr(0) est vrae.. Etape : hérédté Sot un certan enter k 0. A-t-on pr(k) = pr(k + 1)? c est-à-dre a-t-on q Z 10 k ( 1) k = 11q = q Z 10 k+1 ( 1) k+1 = 11q Supposons donc que 10 k ( 1) k = 11q. Alors 10 k+1 ( 1) k+1 = 10(10 k ) ( 1) k ( 1) = 10[11q+( 1) k ]+( 1) k = 10 11q + 11( 1) k = 11[10q + ( 1) k ] = 11q où q = 10q + ( 1) k est un enter car ( 1) k est un enter qu vaut sot 1 sot 1 et 10q est un enter relatf car q est un enter relatf. 3. Concluson pr est ntalsé en 0 et pr est hérédtare donc pr est vrae pour tout enter naturel n 5.9 Inégalté Démontrer par récurrence que pour tout enter naturel n 3 que n > n Corrgé 1. Etape 1 : ntalsaton A-t-on pr(3)? c est-à-dre a-t-on 3 > (3)+1? c est-à-dre a-t-on 9 > 7? Ou, par conséquent pr(3) est vrae.. Etape : hérédté Sot un certan enter k 3. A-t-on pr(k) = pr(k + 1)? c est-à-dre a-t-on n > n + 1 = (n + 1) > (n + 1) + 1 Supposons donc que n > n + 1. Alors (n + 1) = n + n + 1. Comme n > n + 1 alors (n + 1) > n n + 1. Or n 3 donc n donc n > 1 donc 1 + n + 1 > Par conséquent n n + 1 > n + 3 donc (n + 1) > n + 3 CQFD. 3. Concluson pr est ntalsé en 3 et pr est hérédtare donc pr est vrae pour tout enter naturel n 3 1
13 5.10 Graphe orenté Son consdère n vlles A 1, A,, An où n. On suppose qu entre deux vlles quelconques, l y a toujours une route à sens unque. Démontrer par récurrence que pour tout enter naturel n l exste toujours au mons une vlle notée Cn parm ces n vlles à laquelle on peut aller en partant de toutes les autres vlles, sot à l ade d un chemn drect, sot en vstant une seule vlle ntermédare corrgé Sot pr la proprété recherchée. 1. Etape 1 : ntalsaton A-t-on pr()? ou car entre vlles A1 et A l y a deux cas possbles : ou ben le chemn va de A1 vers A donc C = A ou ben le chemn va de A vers A1 donc C = A1. Etape : hérédté Sot un certan enter n. Supposons donc qu l exste toujours au mons une vlle notée Cn parm n vlles à laquelle on peut aller en partant de toutes les autres vlles, sot à l ade d un chemn drect, sot en vstant une seule vlle ntermédare. Consdérons une vlle supplémentare An+1 Il y a un chemn de An+1 vers Cn ou ben le chemn va de An+1 vers Cn donc Cn+1 = Cn ou ben le chemn va de Cn vers An+1 donc Cn+1 = An+1 CQFD. 3. Concluson pr est ntalsé en et pr est hérédtare donc pr est vrae pour tout enter naturel n 13
14 5.11 Sute de Fbonacc alas Léonard de Pse Sot une sute (u n ) défne par : u 1 = 1 u = 1 n enter 3 u n = u n 1 + u n 1. Résoudre l équaton d nconnue x réelle : x = x + 1. On note Φ la soluton postve et Ψ l autre soluton.. Démontrer par une récurrence double que pour tout enter naturel n : u n = 1 (Φ n Ψ n ) 5 Corrgé : 1. Sot l équaton : x x 1 = 0 d nconnue réelle x. (a) Le dscrmnant = b 4ac = ( 1) 4(1)( 1) = 5. Comme > 0 alors cette équaton a deux solutons réelles : Φ = et Ψ = 1 5 (b) Φ + Ψ = b a = 1, ΦΨ = c a = 1, Φ Ψ = = 5 (c) Comme Φ est soluton de x x 1 = 0 alors Φ = Φ + 1. (d) Comme Ψ est soluton de x x 1 = 0 alors Ψ = Ψ Démontrer par récurrence que pour tout enter naturel n : u n = 1 (Φ n Ψ n ) 5 (a) Intalsaton double : La proprété recherchée est vrae pour les deux premères valeurs : 1 (Φ 1 Ψ 1 ) = 1 (Φ Ψ) = 1 5 = 1 = u (Φ Ψ ) = 1 ((Φ + 1) (Ψ + 1)) = 1 (Φ Ψ) = 1 = u (b) Hérédté : supposons que pour un certan enter k 1 l on a : u k = 1 (Φ k Ψ k ) et u k+1 = 1 (Φ k+1 Ψ k+1 ) 5 5 alors u k+ = u k + u k+1 = 1 5 (Φ k Ψ k ) (Φ k+1 Ψ k+1 ) donc u k+ = 1 5 ((Φ k + Φ k+1 ) (Ψ k + Ψ k+1 )) = 1 5 ((Φ k (1 + Φ) Ψ k (1 + Ψ)) Or 1 + Φ = Φ et 1 + Ψ = Ψ donc u k+ = 1 5 (Φ k+ Ψ k+ ) (c) On a démontré par récurrence que pour tout enter naturel n 1 l on a : u n = 1 5 (Φ n Ψ n ) 14
15 5.1 Pussance d une matrce 1 1 Sot la matrce A =. 0 1 Démontrer ( par ) récurrence que pour tout enter naturel n 0 l on a : 1 n A n = corrgé Notons pr(n) : A n = 1 n Intalsaton ( : ) 1 1 A 1 = A = donc la proprété pr est ntalsée en n = Hérédté : 1 n Supposons que pour un certan n N l on at pr(n) alors A n = n 1 n + 1 Par conséquent, A n+1 = AA n = = donc pr(n + 1) est vrae. 3. Concluson : pr est ntalsé en 1 et pr est hérédtare donc pr est vrae pour tout enter naturel n N 15
16 5.13 Formule du bnôme de Newton(14-177) Soent a et b des nombres réels donc ab = ba. Alors : ( n Or = p) n donc n p n N (a + b) n = n N (a + b) n = j=0 en effectuant le changement d ndce j = n ( n ) a b n n a n j b j j Corrgé Notons pr(n) : (a + b) n = ( n ) a b n. 1. Intalsaton : elle ( est vrae en n = 0 car : 0 (a + b) 0 = 1 = a 0) 0 b 0 0. Hérédté : Supposons que la proprété est vrae pour un enter fxé k 0 c est-à-dre que : ( (a + b) k k = a ) k b n k Alors (a + b) k+1 = (a + b)(a + b) k k = (a + b)[ a k b n k ] k k k k = (a+b)( a 0 0 b k + a 1 1 b k a b k + + a k 1 k 1 b 1 + ( k a k) k b 0 ) ( ( k k k = (a+b)(b k + a 1) 1 b k a ) b k + + a k 1 k 1 b 1 +a k ) ( ( k k k = (ab k + a 1) b k a ) +1 b k + + a k 1 k b 1 + a k+1 ( ( k k k +b k+1 + a 1) 1 b k + + a ) b k a k 1 k 1 b + a k b) ( ( ( ( ( k k k k k = b k+1 + ab k [ + ] + a 1) 0) b k 1 [ + ] + + a ) 1) b k +1 [ + ) ( ( k k k k k ]+a 1 +1 b k [ + ]+ +a ) + 1 k b 1 [ + ]+a k) k 1 k+1 k + 1 k + 1 k + 1 = b k+1 + ab k + a 1 b k a b k +1 + ( ) k + 1 k + 1 a +1 b k + + a + 1 k b 1 + a k k+1 1
17 k + 1 k + 1 k + 1 k + 1 = a 0 0 b k+1 +ab k +a 1 b k 1 + +a b k +1 + k + 1 k + 1 k + 1 a +1 b k + + a + 1 k b 1 + a k k + 1 k+1 b 0 3. Concluson : pr étant ntalsée en 0 et étant hérédtare est donc vrae pour tout enter naturel n 0 Cette formule est valable pour tous éléments a et b d un anneau à condton que ces éléments soent commutables c est-à-dre que ab = ba. C est le cas pour des matrces carrées d ordre n : A et B à condton d avor vérfé que AB = BA. Souvent A = I la matrce de l dentté donc IB = B et BI = B donc IB = BI donc n N (I + B) n = j=0 n I n j B j = j j=0 n I B j = j S en plus, B est nlpotente par exemple, s B 3 = O donc n 3( B n = B 3 ( B n 3 = O( d où n n n (I + B) n = B 0) 0 + B 1) 1 + B ) n(n 1) = I + nb + B j=0 n B j j 17
18 5.14 Formule de Lebnz Soent des fonctons f et g dérvables ndéfnment sur R. Alors leur produt fg est auss ndéfnment dérvable sur R et n N (fg) (n) = ( n ) f () g (n ) Corrgé Notons pr(n) : (fg) (n) = n n f () g (n ). 1. Intalsaton : elle est ( vrae en n = 1 car ( : (fg) = fg + f 1 g = f 0) (0) g (1 0) 1 + f 1) (1) g (1 1) = 1 ( 1 ) f () g (1 ). Hérédté : Supposons que la proprété est vrae pour un enter fxé k 1 c est-à-dre que : (fg) (k) k = f () g (k ). ( Alors (fg) (k+1) = [(fg) (k) ] k ( = [ f ) () g (k ) ] k = [ f ) () g (k ) ]. = = ( k ) [f () g (k ) ] = ( k k+1 = j=1 ) f (+1) g (k ) + ( k j 1 ( k [ [f ) (+1) g (k ) + f () g (k +1) ] ( k ) f (j) g (k j+1) + j=0 ) f () g (k +1) ( k j) f (j) g (k+1 j) en effectuant le changement d ndce j = + 1 dans la premère somme et j = dans la deuxème somme. ( Donc (fg) (k+1) k ( ( = f 0) (0) g (k+1) k k + [ + ]f j 1 j) (j) g (k+1 j) k + f k) (k+1) g (0) j=1 (fg) (k+1) k + 1 = f (0) g (k+1) k f (j) g (k+1 j) k f (k+1) g (0) 0 j k + 1 j=1 n+1 n + 1 f () g (n+1 ) donc pr(n + 1) est vrae. 3. Concluson : pr étant ntalsée en 1 et étant hérédtare est donc vrae pour tout enter naturel n 1 Applcatons : On vérfe asément cette formule sur quelques cas partculers : 1. (fg) = f g + fg. (fg) = (f g + fg ) = f g + f g + f g + fg = f g + f g + fg 3. (fg) (3) = ((fg) ) = f g + f g + f g + f g + f g + fg = f g + 3f g + 3f g + fg 18
19 5.15 Factorsaton de a n b n 1. Soent a et b des réels. Démontrer par récurrence que pour tout enter n l on a : a n b n = (a b)(a n 1 + a n b + a n 3 b + + a b n 3 + ab n + b n 1 ) Indcaton : pour l hérédté, on pourra utlser l astuce suvante : a k+1 b k+1 = aa k ab k + ab k bb k. En dédure une factorsaton de 1 x n pour tout enter n 3. Sot un enter n, soent la foncton numérque f d une varable réelle défne par f(x) = 1 + x + x + + x n et la foncton numérque g défne par g(x) = 1 + x + 3x + + nx n 1 (a) Quel est l ensemble de défnton de f? Quel est l ensemble de défnton de g? (b) S l on suppose que x = 1, que vaut f(x) et que vaut g(x)? (c) S l on suppose que x 1 : Détermner une expresson smplfée de f(x) sous forme d un quotent. Détermner une expresson smplfée de g(x) sous forme d un quotent. En utlsant le produt xf(x) retrouver l expresson smplfée de f(x) Corrgé 1. Soent a et b des réels. Démontrer par récurrence que pour tout enter n l on a : a n b n = (a b)(a n 1 + a n b + a n 3 b + + a b n 3 + ab n + b n 1 ) Etape 1 : pour n =, comme a b = (a b)(a+b) alors la proprété est vrae au rang n = Etape : sot un enter n tel que l on a : a n b n = (a b)(a n 1 +a n b+a n 3 b + +a b n 3 +ab n +b n 1 ) Alors a n+1 b n+1 = aa n ab n + ab n bb n = a(a n b n ) + (a b)b n = a(a b)(a n 1 + a n b + a n 3 b + + a b n 3 + ab n + b n 1 ) + (a b)b n = (a b)(a n +a n 1 b+a n b + +a 3 b n 3 +a b n +ab n 1 )+(a b)b n = (a b)(a n + a n 1 b + a n b + + a 3 b n 3 + a b n + ab n 1 + b n ) donc la proprété est vrae au rang n + 1 La proprété étant ntalsée en et étant hérédtare est donc vrae pour tout enter n. En dédure une factorsaton de 1 x n pour tout enter n On en dédut en posant a = 1 et b = x et étant tenant compte du fat que k 1 k = 1 1 x n = (1 x)(1 + x + x + + x n 3 + x n + x n 1 ) 3. Sot un enter n, soent la foncton numérque f d une varable réelle défne par 19
20 f(x) = 1 + x + x + + x n et la foncton numérque g défne par g(x) = 1 + x + 3x + + nx n 1 (a) Quel est l ensemble de défnton de f? Quel est l ensemble de défnton de g? f est une foncton polynôme de degré n donc est défne sur R g est une foncton polynôme de degré n 1 donc est défne sur R (b) S l on suppose que x = 1, que vaut f(x) et que vaut g(x)? f(1) = n = = n + 1 n(n + 1) g(1) = n = (c) S l on suppose que x 1 : Détermner une expresson smplfée de f(x) sous forme d un quotent. Comme 1 x n = (1 x)(1 + x + x + + x n 3 + x n + x n 1 ) alors 1 x n+1 = (1 x)(1 + x + x + + x n 3 + x n + x n 1 + x n ) f(x) = 1 xn+1 car x 1 1 x Détermner une expresson smplfée de g(x) sous forme d un quotent. Comme f est une foncton polynôme de degré n alors f est dérvable sur R et f (x) = g(x) donc g(x) = (n + 1)xn (1 x) ( 1)(1 x n+1 ) (1 x) En smplfant g(x) = xn ( n 1 + nx) + 1 (1 x) En utlsant le produt xf(x) retrouver l expresson smplfée de f(x) f(x) = 1 + x + x + + x n xf(x) = x + x + x x n + x n+1 donc f(x) xf(x) = 1 x n+1 d où f(x)(1 x) = 1 x n+1 donc f(x) = 1 xn+1 1 x car x 1 0
21 5.1 Exponentelle Sot un réel x 0. Démontrer par récurrence que n N x k k! ex Corrgé Notons pr(n) : n N x k k! ex 1. Etape 1 : Intalsaton en n = 0 : A-t-on pr(0)? c est-à-dre a-t-on n N 0 x k k! ex? c est-à-dre a-ton x0 0! ex c est-à-dre a-t-on 1 e x? ou car comme x 0 alors exp étant une foncton crossante alors exp(x) exp(0) donc e x 1. La proprété est vrae au rang n = 0. Etape : Hérédté : Sot un enter n 0. Supposons que pr(n) est vrae c est-à-dre que Démontrons que pr(n + 1) est vrae c est-à-dre que Notons P n (x) = n+1 P n+1(x) = k xk 1 k! x k n+1 k! alors P n+1(x) = = n+1 D après l hypothèse de récurrence : x k 1 n (k 1)! = j=0 x k k! ex. n+1 x k k! P n+1(x) = [ x j j! x k k! ex. n+1 en posant j = k 1 x k k! ex donc P n+1(x) e x Posons f(x) = P n+1 (x) e x alors f (x) = P n+1 e x 0 d où x 0 + f (x) 0 f(x) x k n+1 k! ] = n+1 k! ] = [ xk k xk 1 k! car f(0) = P n+1 (0) e 0 = 1 1 = 0. Par conséquent, f(x) 0 donc P n+1 e x donc pr(n + 1) est vrae. 3. Concluson : pr étant ntalsée en 0 et étant hérédtare est donc vrae pour tout enter naturel n 0 1
22 5.17 Sute Sot une sute (u n ) défne pour tout enter naturel n par : u 0 = a et u n+1 = { un s n est par u n + 1 s n est mpar 1. Détermner les 8 premers termes de cette sute.. Détermner par récurrence que pour tout enter naturel p : u p = a p + p 1 u p+1 = p 1 a p+1 + p 1 p
Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2
Exo7 Nombres complexes Vdéo parte. Les nombres complexes, défntons et opératons Vdéo parte. Racnes carrées, équaton du second degré Vdéo parte 3. Argument et trgonométre Vdéo parte 4. Nombres complexes
Plus en détailLes jeunes économistes
Chaptre1 : les ntérêts smples 1. défnton et calcul pratque : Défnton : Dans le cas de l ntérêt smple, le captal reste nvarable pendant toute la durée du prêt. L emprunteur dot verser, à la fn de chaque
Plus en détailExercices d Électrocinétique
ercces d Électrocnétque Intensté et densté de courant -1.1 Vtesse des porteurs de charges : On dssout une masse m = 20g de chlorure de sodum NaCl dans un bac électrolytque de longueur l = 20cm et de secton
Plus en détailGénéralités sur les fonctions 1ES
Généraltés sur les fonctons ES GENERALITES SUR LES FNCTINS I. RAPPELS a. Vocabulare Défnton Une foncton est un procédé qu permet d assocer à un nombre x appartenant à un ensemble D un nombre y n note :
Plus en détailRemboursement d un emprunt par annuités constantes
Sére STG Journées de formaton Janver 2006 Remboursement d un emprunt par annutés constantes Le prncpe Utlsaton du tableur Un emprunteur s adresse à un prêteur pour obtenr une somme d argent (la dette)
Plus en détailCorrigé du problème de Mathématiques générales 2010. - Partie I - 0 0 0. 0.
Corrgé du problème de Mathématques générales 2010 - Parte I - 1(a. Sot X S A. La matrce A est un polynôme en X donc commute avec X. 1(b. On a : 0 = m A (A = m A (X n ; le polynôme m A (x n est annulateur
Plus en détailChapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie électromagnétique
Spécale PSI - Cours "Electromagnétsme" 1 Inducton électromagnétque Chaptre IV : Inductance propre, nductance mutuelle. Energe électromagnétque Objectfs: Coecents d nductance propre L et mutuelle M Blan
Plus en détailCalcul de tableaux d amortissement
Calcul de tableaux d amortssement 1 Tableau d amortssement Un emprunt est caractérsé par : une somme empruntée notée ; un taux annuel, en %, noté ; une pérodcté qu correspond à la fréquence de remboursement,
Plus en détailLE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe
Plus en détailPlan. Gestion des stocks. Les opérations de gestions des stocks. Les opérations de gestions des stocks
Plan Geston des stocks Abdellah El Fallah Ensa de Tétouan 2011 Les opératons de gestons des stocks Les coûts assocés à la geston des stocks Le rôle des stocks Modèle de la quantté économque Geston calendare
Plus en détail1 Introduction. 2 Définitions des sources de tension et de courant : Cours. Date : A2 Analyser le système Conversion statique de l énergie. 2 h.
A2 Analyser le système Converson statque de l énerge Date : Nom : Cours 2 h 1 Introducton Un ConVertsseur Statque d énerge (CVS) est un montage utlsant des nterrupteurs à semconducteurs permettant par
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailMontage émetteur commun
tour au menu ontage émetteur commun Polarsaton d un transstor. ôle de la polarsaton La polarsaton a pour rôle de placer le pont de fonctonnement du transstor dans une zone où ses caractérstques sont lnéares.
Plus en détailBTS GPN 2EME ANNEE-MATHEMATIQUES-MATHS FINANCIERES MATHEMATIQUES FINANCIERES
MATHEMATIQUES FINANCIERES I. Concepts généraux. Le référentel précse : Cette parte du module M4 «Acquérr des outls mathématques de base nécessares à l'analyse de données économques» est en relaton avec
Plus en détailDistribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités
Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements
Plus en détailCalculer le coût amorti d une obligation sur chaque exercice et présenter les écritures dans les comptes individuels de la société Plumeria.
1 CAS nédt d applcaton sur les normes IAS/IFRS Coût amort sur oblgatons à taux varable ou révsable La socété Plumera présente ses comptes annuels dans le référentel IFRS. Elle détent dans son portefeulle
Plus en détailTD 1. Statistiques à une variable.
Danel Abécasss. Année unverstare 2010/2011 Prépa-L1 TD de bostatstques. Exercce 1. On consdère la sére suvante : TD 1. Statstques à une varable. 1. Calculer la moyenne et l écart type. 2. Calculer la médane
Plus en détailMesure avec une règle
Mesure avec une règle par Matheu ROUAUD Professeur de Scences Physques en prépa, Dplômé en Physque Théorque. Lycée Alan-Fourner 8000 Bourges ecrre@ncerttudes.fr RÉSUMÉ La mesure d'une grandeur par un système
Plus en détailDirigeant de SAS : Laisser le choix du statut social
Drgeant de SAS : Lasser le chox du statut socal Résumé de notre proposton : Ouvrr le chox du statut socal du drgeant de SAS avec 2 solutons possbles : apprécer la stuaton socale des drgeants de SAS comme
Plus en détailMODÈLE D ISING À UNE ET DEUX DIMENSIONS.
Chapter MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS.. ITRODUCTIO. ous commençons, dans ce chaptre, létude dun problème de mécanque statstque de la matère condensée où leffet des nteractons est mportant. Le modèle
Plus en détailÉLÉMENTS DE THÉORIE DE L INFORMATION POUR LES COMMUNICATIONS.
ÉLÉMETS DE THÉORIE DE L IFORMATIO POUR LES COMMUICATIOS. L a théore de l nformaton est une dscplne qu s appue non seulement sur les (télé-) communcatons, mas auss sur l nformatque, la statstque, la physque
Plus en détailÉconométrie. Annexes : exercices et corrigés. 5 e édition. William Greene New York University
Économétre 5 e édton Annexes : exercces et corrgés Wllam Greene New York Unversty Édton françase drgée par Dder Schlacther, IEP Pars, unversté Pars II Traducton : Stéphane Monjon, unversté Pars I Panthéon-Sorbonne
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailSTATISTIQUE AVEC EXCEL
STATISTIQUE AVEC EXCEL Excel offre d nnombrables possbltés de recuellr des données statstques, de les classer, de les analyser et de les représenter graphquement. Ce sont prncpalement les tros éléments
Plus en détailAssurance maladie et aléa de moralité ex-ante : L incidence de l hétérogénéité de la perte sanitaire
Assurance malade et aléa de moralté ex-ante : L ncdence de l hétérogénété de la perte santare Davd Alary 1 et Franck Ben 2 Cet artcle examne l ncdence de l hétérogénété de la perte santare sur les contrats
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailIDEI Report # 18. Transport. December 2010. Elasticités de la demande de transport ferroviaire: définitions et mesures
IDEI Report # 18 Transport December 2010 Elastctés de la demande de transport ferrovare: défntons et mesures Elastctés de la demande de transport ferrovare : Défntons et mesures Marc Ivald Toulouse School
Plus en détailGrandeur physique, chiffres significatifs
Grandeur physque, chffres sgnfcatfs I) Donner le résultat d une mesure en correspondance avec l nstrument utlsé : S avec un nstrument, ren n est ndqué sur l ncerttude absolue X d une mesure X, on consdère
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailPage 5 TABLE DES MATIÈRES
Page 5 TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE I LES POURCENTAGES 1. LES OBJECTIFS 12 2. LES DÉFINITIONS 14 1. La varaton absolue d'une grandeur 2. La varaton moyenne d'une grandeur (par unté de temps) 3. Le coeffcent
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailCoefficients binomiaux
Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailL ALGORITHMIQUE. Algorithme
L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailMÉTHODES DE SONDAGES UTILISÉES DANS LES PROGRAMMES D ÉVALUATIONS DES ÉLÈVES
MÉTHODES DE SONDAGES UTILISÉES DANS LES PROGRAMMES D ÉVALUATIONS DES ÉLÈVES Émle Garca, Maron Le Cam et Therry Rocher MENESR-DEPP, bureau de l évaluaton des élèves Cet artcle porte sur les méthodes de
Plus en détailCHAPITRE DEUX : FORMALISME GEOMETRIQUE
CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE. CHPITRE DEUX : FORMLISME GEOMETRIQUE verson.3, -8 I. GEOMETRIE DNS L ESPCE-TEMPS ) Prncpe de relatvté Le prncpe de relatvté peut s exprmer ans : toutes les los physques
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailEditions ENI. Project 2010. Collection Référence Bureautique. Extrait
Edtons ENI Project 2010 Collecton Référence Bureautque Extrat Défnton des tâches Défnton des tâches Project 2010 Sasr les tâches d'un projet Les tâches représentent le traval à accomplr pour attendre l'objectf
Plus en détailGEA I Mathématiques nancières Poly. de révision. Lionel Darondeau
GEA I Mathématques nancères Poly de révson Lonel Darondeau Intérêts smples et composés Voc la lste des exercces à révser, corrgés en cours : Exercce 2 Exercce 3 Exercce 5 Exercce 6 Exercce 7 Exercce 8
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailProjet de fin d études
Unversté Franços Rabelas Tours Ecole Polytechnque Unverstare de Tours Département Informatque Projet de fn d études Ordonnancement Juste à Temps avec geston des stocks Chopn Antone Mrault Arnaud 3ème année
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailContrats prévoyance des TNS : Clarifier les règles pour sécuriser les prestations
Contrats prévoyance des TNS : Clarfer les règles pour sécurser les prestatons Résumé de notre proposton : A - Amélorer l nformaton des souscrpteurs B Prévor plus de souplesse dans l apprécaton des revenus
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailMESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours
MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................
Plus en détailTriangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailLe Prêt Efficience Fioul
Le Prêt Effcence Foul EMPRUNTEUR M. Mme CO-EMPRUNTEUR M. Mlle Mme Mlle (CONJOINT, PACSÉ, CONCUBIN ) Départ. de nass. Nature de la pèce d dentté : Natonalté : CNI Passeport Ttre de séjour N : Salaré Stuaton
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailBUREAU D'APPLICATION DES METHODES STATISTIQUES ET INFORMATIQUES
BUREAU DAPPLICATION DES METHODES STATISTIQUES ET INFORMATIQUES BAMSI REPRINT 04/2003 Introducton à l analyse des données Samuel AMBAPOUR BAMSSI I BAMSI B.P. 13734 Brazzavlle BAMSI REPRINT 04/2003 Introducton
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détail1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailLE RÉGIME DE RETRAITE DU PERSONNEL CANADIEN DE LA CANADA-VIE (le «régime») INFORMATION IMPORTANTE CONCERNANT LE RECOURS COLLECTIF
1 LE RÉGIME DE RETRAITE DU PERSONNEL CANADIEN DE LA CANADA-VIE (le «régme») INFORMATION IMPORTANTE CONCERNANT LE RECOURS COLLECTIF AVIS AUX RETRAITÉS ET AUX PARTICIPANTS AVEC DROITS ACQUIS DIFFÉRÉS Expédteurs
Plus en détailDéveloppements limités
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre
Plus en détailCours de Probabilités et de Statistique
Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailPrêt de groupe et sanction sociale Group lending and social fine
Prêt de roupe et sancton socale Group lendn and socal fne Davd Alary Résumé Dans cet artcle, nous présentons un modèle d antsélecton sur un marché concurrentel du crédt. Nous consdérons l ntroducton de
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailSemestre : 4 Module : Méthodes Quantitatives III Elément : Mathématiques Financières Enseignant : Mme BENOMAR
Semestre : 4 Module : Méthodes Quattatves III Elémet : Mathématques Facères Esegat : Mme BENOMAR Elémets du cours Itérêts smples, précompte, escompte et compte courat Itérêts composés Autés Amortssemets
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailCHAPITRE IV. L axiome du choix
CHAPITRE IV L axiome du choix Résumé. L axiome du choix AC affirme qu il est légitime de construire des objets mathématiques en répétant un nombre infini de fois l opération de choisir un élément dans
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailTests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA
Tests d indépendance en analyse multivariée et tests de normalité dans les modèles ARMA Soutenance de doctorat, sous la direction de Pr. Bilodeau, M. et Pr. Ducharme, G. Université de Montréal et Université
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailINTRODUCTION. Jean-Pierre MAGNAN Chef de la section des ouvrages en terre Département des sols et fondations Laboratoire central
Etude numérque de la consoldaton undmensonnelle en tenant compte des varatons de la perméablté et de la compressblté du sol, du fluage et de la non-saturaton Jean-Perre MAGNAN Chef de la secton des ouvrages
Plus en détailREPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE. MEMOIRE Présentée à
REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE MEMOIRE Présentée à L Unversté de Batna Faculté des Scences Département de Physque
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailSciences Industrielles Précision des systèmes asservis Papanicola Robert Lycée Jacques Amyot
Scence Indutrelle Précon de ytème erv Pncol Robert Lycée Jcque Amyot I - PRECISION DES SYSTEMES ASSERVIS A. Poton du roblème 1. Préentton On vu que le rôle d un ytème erv et de fre uvre à l orte (t) une
Plus en détailCorrections adiabatiques et nonadiabatiques dans les systèmes diatomiques par calculs ab-initio
Correctons adabatques et nonadabatques dans les systèmes datomques par calculs ab-nto Compte rendu du traval réalsé dans le cadre d un stage de quatre mos au sen du Groupe de Spectroscope Moléculare et
Plus en détail1.0 Probabilité vs statistique...1. 1.1 Expérience aléatoire et espace échantillonnal...1. 1.2 Événement...2
- robabltés - haptre : Introducton à la théore des probabltés.0 robablté vs statstque.... Expérence aléatore et espace échantllonnal.... Événement.... xomes défnton de probablté..... Quelques théorèmes
Plus en détailEvaluation de performances d'ethernet commuté pour des applications temps réel
Evaluaton de performances d'ethernet commuté pour des applcatons temps réel Ans Koubâa, Ye-Qong Song LORIA-INRIA-INPL, Avenue de la Forêt de Haye - 5456 Vandoeuvre - France Emal : akoubaa@lorafr, song@lorafr
Plus en détailLes déterminants de la détention et de l usage de la carte de débit : une analyse empirique sur données individuelles françaises
Les détermnants de la détenton et de l usage de la carte de débt : une analyse emprque sur données ndvduelles françases Davd Boune Marc Bourreau Abel Franços Jun 2006 Département Scences Economques et
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailLes déterminants de la détention et de l usage de la carte de débit : une analyse empirique sur données individuelles françaises
Les détermnants de la détenton et de l usage de la carte de débt : une analyse emprque sur données ndvduelles françases Davd Boune a, Marc Bourreau a,b et Abel Franços a,c a Télécom ParsTech, Département
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailRelation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices
Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation
Plus en détailDynamique du point matériel
Chaptre III Dynaqe d pont atérel I Généraltés La cnéatqe a por objet l étde des oveents des corps en foncton d teps, sans tenr copte des cases q les provoqent La dynaqe est la scence q étde (o déterne)
Plus en détail