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1 PCSI Chatre 4 : Produts scalares-résumé Das ce chatre E est u -ev. Produts scalares. Défto et exemles de référeces Def: O aelle rodut scalare sur E toute alcato de E² das est bléare. est symétrque: x,ye, (x,y) = (y,x) est défe ostve: xe, (x,x) 0 et (x,x) = 0 x=0 E vérfat: Notato: Lorsque est u rodut scalare sur E o eut oter (x,y) = < x y > = (x y) = < x,y >. Vocabulare : Lorsque E est mu d u rodut scalare, o dt qu l est réhlberte réel. Exemles de référece: E =, défe sur E² ar: x, ye, avec x = (x,...x ) et y = (y,...y ), (x,y) = x y est u rodut scalare. E = [X], défe sur E² ar: P,QE avec P = a X et Q = b X, 0 0 (P,Q) = E = ([a,b], (f,g) = ab est u rodut scalare. 0 ), défe sur E² ar: f,ge, b f( t)g( t)dt est u rodut scalare. a Vocabulare: Ce sot les roduts scalares caoques ou usuels. Preuve à savor refare. Prorétés Proosto 4-: Iégalté de Cauchy Schwarz: Sot E u esace réhlberte réel, x,y E, < x,y >² < x,x >.< y,y > et l'égalté a leu ss x et y sot lés Das la ratque: O a la formulato équvalete: x, y x, x. y, y Alcato aux roduts scalares usuels : x,, x, y,, y, x y x y f,g([a,b], ), b b b f(t) g(t)dt f²(t)dt g²(t) dt a a a N. Véro-LMB-ju 05

2 .3 Norme et dstace PCSI Def: Sot E u -ev, o aelle orme sur E toute alcato N de E das + vérfat xe, N(x) = 0 x = 0. xe,, N(x) = N(x) x,ye, N(x + y) N(x) + N(y) égalté tragulare Vocabulare: u vecteur x de E est dt ormé ou utare ss N(x) = Proosto 4-: Sot E u esace réhlberte réel, l'alcato N: x x,x est ue orme sur E aelée orme eucldee assocée au rodut scalare et otée N(x) = x Exemles: O rered les roduts scalares usuels Sur mu de sa structure eucldee caoque, x = x Sur ([a,b]) mu de sa structure eucldee caoque., f = b a f²(t)dt O eut réécrre l'égalté de C.S. à l'ade de la orme assocée: x, y x. y Atteto : la orme eucldee déed du chox du rodut scalare Corollare : Iégalté de Mows: Sot E mu d'u rodut scalare et o a x y x y, avec égalté das le membre de drote ss +, y = x la orme assocée, Preuve: Il s'agt d'ue autre écrture de l'égalté tragulare Le cas d'égalté revet au cas d'égalté das Cauchy-Schwarz. O jectat y = x avec das l'égalté <x,y> = x,x y, y, o obtet <x,y> 0 et doc 0, la récroque est évdete. Proosto 4-3 et défto: S E est mu d'ue orme N, l'alcato d:e² défe ar (x,y)e², d(x,y) = N(x - y) = x y vérfe, x, y, ze, d(x,y) = 0 x = y d(x,y) = d(y,x) d(x,z) d(x,y) + d(y,z) d est la dstace assocée à N sur E. S de lus N est ue orme eucldee alors d est ue dstace eucldee. Alcato aux roduts scalares usuels x, y, d(x, y) = x y (x y )² f, g([a,b], ), d(f, g) = b f g (f(t) g(t))²(t)dt a Proosto 4-4: Sot E u égaltés suvates, x,ye -ev mu d'u rodut scalare et. la orme assocée, o a les N. Véro-LMB-ju 05

3 x y ² x ² y ² x, y x y ² x ² y ² x, y PCSI x, y x y ² x ² y ² ère detté de olarsato x, y x y ² x y ² ème detté de olarsato 4 x y ² x y ² x ² y ² Idetté du arallélogramme. Orthogoalté Das ce qu sut, o ote <, > le rodut scalare et sa orme assocée.. Vecteurs orthogoaux. Def: Sot E u esace réhlberte réel et x,y deux vecteurs de E. x et y sot orthogoaux ss <x,y> = 0. O ote xy Remarque: 0 E est orthogoal à tous les vecteurs de E Atteto : L orthogoalté déed du rodut scalare. Def: Sot E u -ev mu d'u rodut scalare et F = (x,...x ) ue famlle de vecteurs de E. F est orthogoale ss (,j), ², j < x, x j > = 0 F est orthoormale ss F est orthogoale et,, x est utare ss (,j), ², < x, x j > =,j Théorème de Pythagore: Sot E u esace réhlberte réel. Sot x,ye, (xy) x y ² x ² y ² Sot ue famlle F = (x,...x ) de E, F est orthogoale x x ² Atteto: Das le cas d'ue famlle de vecteurs, la récroque est fausse: reos x = (,0), x = (-,0) et x 3 = (-,) das ² mu du rodut scalare usuel Proosto 4-6 : Toute famlle orthogoale, e coteat as le vecteur ul est lbre das E. Sous-esaces vectorels orthogoaux, orthogoal d u sev Def: Sot E u esace réhlberte réel, F et G deux sev de E. F et G sot orthogoaux ss xf, yg, <x,y> = 0 Sot F u sev de E, o aelle orthogoal de F et o ote F la arte de E défe ar F = { xe, ya, < x,y > = 0 } Exemle et rorétés mmédates : O doe F = Vect((,,), (-,,0)) das 3, détermer F. S A = {0 E} alors A = E S A = E alors A = {0 E}. N. Véro-LMB-ju 05

4 Proosto 4-5: Sot F et G deux sev de E F est u sev de E S F G alors G F A F (F ) PCSI.3 Algorthme d orthoormalsato de Gram-schmdt But de l'algorthme: Sot F u sev de dmeso fe de E de base B = (u,...u ), o va costrure ue base orthogoale (f,...f ) de F us la ormer our obter B' = (e,...e ) ue BON de F. Algorthme de Gram-Schmdt Etrée : B = (u,...u ) base de F Varables : (f,...f ) et (e,...e ) deux famlles de vecteurs de E et (,... ) f u Pour allat de à Pour j allat de à - j u,f f f u - f Pour allat de à e f f Sorte: (e,...e ) j j Das la ratque : O retrouve l exresso des coeffcets, e cherchat (,... -) - tel que f = u - f sot orthogoal à f j our tout j,-. Coséquece : Tout sev F de dmeso fe de E admet ue BON. 3. Projecto orthogoale sur u sous-esace vectorel de dmeso fe E désge u esace réhlberte réel. 3. Projecto orthogoale, sulémetare orthogoal Proosto 4-9 et défto: Sot F u sev de dmeso fe et B = (e,..., e ) ue BON de F. Pour tout x de E, exste u uque vecteur x F de F tel que (x x F) F x F = x,e e x F est le rojeté orthogoal de x sur F et F : E E x xf est la rojecto orthogoale sur F Proosto 4-0:Sot Sot F u sev de dmeso fe de E. F est le rojecteur sur F arallèlemet à F. FF = E Vocabulare: F est aelé le sulémetare orthogoal de F das E N. Véro-LMB-ju 05

5 Proosto 4. : Iégalté de Bessel : Sot F u sev de E, et F la rojecto orthogoale sur F, x E, F ( x) x Démo : Sot x E, o a x = (x) + (x (x)). o a (x) F et (x (x)) F doc (x) (x (x)). D arès le théorème de Pythagore, x ² (x) ² x (x) ², doc ( x) ² x ² e ef ( x) x Proosto 4- et défto: Sot F u sev de E, xe et F la rojecto orthogoale sur F, o a: x ( x) f x y F. Ce réel ostf est la dstace de x à F. yf Démo : Sot y F, o a x y = x - (x) + (x) - y o a ((x) y) F et (x (x)) F doc ((x) y) (x (x)). D arès le théorème de Pythagore, x y ² x (x) ² (x) y ², doc x ( x) ² x y ² e ef x ( x) x y. x ( x) more { x y 3. Symétre orthogoale (comlémet), y F} et est attet e y = (x) doc x ( x) f x y. S F est u sev de dmeso fe de E esace réhlberte réel, o déft la symétre orthogoale s F sur F comme la symétre vectorelle ar raort à F, das la drecto de so sulémetare orthogoal F. O a : s F = F Id E. yf PCSI 4. Esaces eucldes 4. Défto et exemles Def: O aelle esace euclde u -ev de dmeso fe mu d'u rodut scalare. Exemles:, [X]. Atteto, das ce qu sut les résultats e sot vras que our les esaces eucldes c'est à dre uquemet e dmeso fe. 4. Bases orthogoales et bases orthoormales Défto: Sot E u esace euclde de dmeso. Toute famlle orthogoale coteat vecteurs o uls est ue base de E aelée base orthogoale de E (BOG). Toute famlle orthoormale de E coteat vecteurs est ue base de E aelée base orthoormale de E (BON). Exemles: Les bases caoques de et [X] sot orthoormales our les structures eucldees caoques. Proosto 4-7: Sot B = (e,...e ) ue BON de E. xe, x = x,ye avec x = x e x, e e et x e et y = y e, <x,y> = x x x, e ² x y N. Véro-LMB-ju 05

6 Das la ratque: Das ue BON, les calculs de roduts scalares et de ormes se fot drectemet à artr des coordoées. S o ose X = x x rerésetatves de x et y das ue BON alors, <x,y> = t X.Y. et Y = y y les matrces PCSI Proosto 4-8: Sot E u esace euclde de dmeso, E ossède au mos ue base orthoormale. Démo : E ossède ue base B à laquelle o eut alquer l algorthme récédet. Coséqueces: Das u esace euclde, toute famlle orthoormale eut être comlétée e ue base orthoormale. Cette famlle est lbre, d'arès le théorème de la base comlète, elle eut être comlétée e ue base de E que l'o eut orthoormalser. La matrce de assage de B à B obteue ar l algorthme est tragulare. 4. Sulémetare orthogoal e dmeso fe Proosto 4. : Sot F u sev de E. dm F + dm F = dm E. F = (F ) N. Véro-LMB-ju 05

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