Chapitre I Introduction aux problèmes variationnels

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre I Introduction aux problèmes variationnels"

Transcription

1 Chpitre I Introduction ux problèmes vritionnels I.1. Introduction. Le clcul des vritions concerne l recherche d extrems (minimums ou mximums), et peut être considéré comme une brnche de l optimistion. On rppeller u Chpitre 2 les principes de l recherche d extrems pour les fonctions d une ou plusieurs vribles réelles. Le clcul des vritions est une générlistion de ces principes. Soit Y un ensemble de fonctions y : [,b] R, et une ppliction J : Y R. On ppeler une telle ppliction une fonctionnelle. (Une fonctionnelle est simplement une fonction (u sens hbituel du terme) définie sur un ensemble de fonctions). On peut donner quelques exemples de fonctionnelles. (1) Si Y est un ensemble de fonctions convenble, l ppliction qui à une fonction y : [,b] R ssocie y(c) vec c [,b] est une fonctionnelle. (2) Sur l ensemble des fonctions intégrbles sur l intervlle [, b], l ppliction y(x)dx définit une fonctionnelle. (3) Sur l ensemble des courbes lisses, on peut ssocier à une courbe s longueur. Pr exemple pour un courbe γ : [,1] R 2, s longueur est donnée pr : 1 l(γ) = x (t) 2 +y (t) 2 dt (4) On considère tous les chemins possibles relint les points A et B du pln, et une prticule qui peut suivre un chemin. Si l prticule une vitesse v(x,y) u point (x,y), on peut ssocier à chque chemin, le temps de trjet de A à B. (5) Sur l ensemble des fonctions C 1 ([,b]), on peut définir (pr exemple) une fonctionnelle pr : y C 1 (y (x)) 2 ([,b]) dx y(x) On noter prfois l rgument d une fonctionnelle entre crochet pour le distinguer d une fonction usuelle. (6) Plus générlement, soit F : R 3 R une fonction continue, lors l expression : F(x,y(x),y (x))dx définit une fonctionnelle. Cet exemple englobe de très nombreux problèmes vritionnels que nous rencontrerons pr l suite. 1

2 2 Le clcul des vritions est l recherche de l existence et l détermintion de fonctions y qui soient telles que l vleur de J[y ] soit minimle ou mximle ou encore ce que nous ppelerons vleur sttionnire. L résolution de ce genre de problème nécessite des outils nouveux pr rpport u cs des fonctions de plusieurs vribles. Pour bien comprendre le nécessité de ces nouveux outils pour clculer les extremums de fonctionnelles, exminons une problème issu de l optique géométrique : I.2. Trjet de l lumière. I.2.1. dimension 1. On suppose que dns un milieu homogène d indice n, l lumière se déplce en ligne droite à l vitesse c n. On considère un chngement de milieu de n 1 en n 2 sur l droite x = l. On demnde de trouver le chemin le plus rpide pour ller du point (,) u point (L, H), c est-à-dire trouver quel doit être le point d incidence (l, h) qui minimise le temps de trjet. On peut ussi formuler cel comme trouver l fonction ffine pr morceux qui minimise le temps de trjet. Le temps de trjet de l lumière est l somme du temps de trjet dns le milieu n 1 et du temps de trjet dns le milieu n 2. On trouve donc : l2 +h T(h) = 2 (L l)2 +(H h) n n 2 c c C est un problème clssique de recherche de minimum d une fonction d une seule vrible réelle h. Pour résoudre ce problème, il suffit de chercher les vleurs de x pour lesquelles l dérivée s nnule. En effet, en un extremum l dérivée s nnule (on reviendr un peu plus loin sur l question). Execrice : Constter qu on retrouve l loi de Descrtes pour l refrction, c est-à-dire : n 1 sin(i 1 ) = n 2 sin(i 2 ) où i 1 et i 2 sont les ngles d incidence des ryons lumineux u point (l,h). I.2.2. dimension p. Imginons mintennt qu on p chngement d indices ux bcisses l 1 et l p. Le temps de trjet v lors dépendre des p ordonnées des points d incidence du ryon lumineux que l on noter h 1,...,h p. On pose l = h = et l p+1 = L et h p+1 = H. Le temps de trjet est l somme des p+1 temps de trjet dns chque milieu n i

3 3 T(h 1,...,h p ) = p T i (h i,h i+1 ) Avec T i (x,y) = (l i+1 l i ) 2 +(y x) 2 c n i est le temps de prcours dns le milieu n i. C est ici un problème clssique de recherche d un extremum d une fonction de plusieurs vribles. Ici on v chercher les points où le grdient s nnule. (Voir chpitre 2) I.2.3. dimension infinie. Imginons mintennt que l indice chnge de fçon continue entre et L, et que l indice est donné pr une fonction continue n(x). L lumière v suivre l courbe u(x) qui minimise le temps de trjet entre le point de déprt et le point d rrivée. Dns ce cs le temps de trjet est donné pr : l 1 T[u] = c n(u(x)) 1+(u (x)) 2 dx Le but est donc de trouver l fonction u telle que cette intégrle soit minimle. Ceci est un problème clssique de clcul des vritions. L ppliction T est une fonctionnelle qui prends en rgument une courbe continue qui lie les points (,) et (L,H). En reprennt les nottions précédentes on voit que l fontion F est : F(x,y,z) = n(y) 1+z 2 Nous verrons que le principe de résolution de ce problème est similire u cs de l dimension finie, c est à dire qu on v chercher les points (ici des fonctions) où une certine quntité s nnule. Cependnt, l éqution qui pprit n est plus une éqution dont les inconnues sont des vribles réelles, mis elle devient une éqution différentielle. I.3. Bestiire des problèmes vritionnels. On donne ici un perçu non exhustif des problèmes clssiques du clcul des vritions. Pour le moment, nous ne nous intéressons qu à l forme de ces différents problèmes et non à l fçon de les résoudre. I.3.1. Points u bord fixés. (1) Géodésiques On cherche l courbe ynt l plus courte longueur prmi les courbes relint le point (,A) u point (b,b) dns le pln. Ici on peut se restreindre à l ensemble des fonctions dérivbles sur [,b] telles que u() = A et u(b) = B. L longueur de l courbe définie pr une fonction y est donnée pr l formule. 1+(y (x)) 2 dx Le problème revient donc à trouver l (ou les) fonction(s) qui minimisent l fonctionnelle J. L expression de l longueur d une courbe en fonction de l vitesse est dépendnte de l métrique dns lquelle on se trouve. Dns le pln euclidien, l bcisse curviligne d une courbe γ(t) = (x(t),y(t)) est donnée pr ds 2 = dx 2 +dy 2.

4 4 Sur l sphère de ryon 1, on se plce en coordonnées sphériques vec les ngles (u, v). une courbe est lors donnée prles deux fonctions(u(t), v(t)). Son expression dns R 3 est donnée pr : γ(t) = (sin(u(t)) cos(v(t)), sin(u(t)) sin(v(t)), cos(u(t))) L longueur infinitésimle est lors ds 2 = du 2 + sin 2 (u)dv 2. L fonctionnelle à minimiser est donc L[γ] = 1 (u (t)) 2 +(v (t)) 2 sin 2 (u(t))dt. Ici l solution est une fonction de R dns R 2 qui minimise cette intégrle. On peut églement imginer une utre métrique qui n est ps l métrique euclidienne. Pr exemple dns le demi-pln supérieur muni de l métrique hyperbolique ds 2 = dx2 +dy 2 y 2. Dns ce cs l fonctionnelle devient : 1+(y (x)) 2 dx y(x) (2) Cténire On considère un cble flexible suspendu u sommet de deux mts distnt de d. Quelle v être l forme du cble u repos, c est à dire l position qui minimise l energie potentielle du cble. Si le cble suit une courbe y : [,d] R, l énergie potentielle pour un élément de longueur infinitésiml est mgy(s)ds, où s est l bcisse curviligne du cble, et y(s) représente l huteur du cble à s unité de longueur le long du cble. On donc l énergie potentielle E p [y] = L mgy(s)ds vec L l longueur du cble. Dns l formultion du problème L est inconnu, il fut donc trduire cette expression en coordonnées crtésiennes. On dns ce cs

5 ds = 1+y (x)dx ce qui nous donne : E p [y] = d mgy(x) 1+y (x)dx Le problème est donc équivlent à trouver le minimum de l fonctionnelle donnée pr : d F(x,y(x),y (x))dx vec F(x,y,z) = y 1+z 2. On cherche les solutions prmi les fonctions telles que y() = y et y(d) = y 1, c est pourquoi on ppelle ce genre de problème conditions u bord fixées. I.3.2. Problèmes isopérimétriques. (1) Probleme de Didon : Didon étit une reine de Crthge qui débrqu sur une côte d Afrique du nord. Elle demnde sile u chef locl qui ne lui concède que ce que pourrit couvrir l peu d un boeuf. Astucieuse, elle découpe l peu en si fines lnières qu elle obtient, bout à bout, une longueur fntstique : près de 4 km. Elle encercle lors un grnd domine délimité pr l mer d un côté qui deviendr l ville de Byrs. Le problème uquel été confronté l reine Didon est de trouver l forme de l courbe qui délimite son territoire (l peu de boeuf) de telle sorte que l ire du territoire soit mximle, schnt que l longueur de l courbe est fixée (ici 4km pr exemple). Modélisons le problème pr le dessin suivnt : 5 L courbe est déterminée pr l fonction f(x). L longueur de l courbe est donnée pr l[f] = 1+(f (x)) 2 dx = L Et l ire de l courbe est donnée pr A[f] = f(x)dx

6 6 Le problème est donc de mximiser l fonctionnelle A schnt que l fonction stisfit l[f] = L. C est un exemple d éqution vec contrintes. (2) Problèmes isopérimétriques : Plus générlement, si on deux fonctionnelles de l forme : I[y] = G(x,y(x),y (x))dx et G(x,y(x),y (x))dx On cherche à mximiser l fonctionnelle J vec l contrinte qu une solution y doit stisfire l éqution I[y ] = L. On ppelle ces contrintes, isopérimétriques. I.3.3. Formultion Hmiltonienne de l mécnique. On considère ici le mouvement d une prticule dns R 3 donné pr r(t) = (x(t),y(t),z(t)). L énergie cinétique de l prticule est donnée pr T(r) = 1 2 m ṙ(t) 2 Et le point mtériel est soumis à une force F = V(t,x,y,z). C est à dire que l énergie potentielle est donnée pr V. Le Lgrngien de l prticule est l fonction donnée pr Soit lors l fonctionnelle L = T V t1 J[r] = L(t,r(t),ṙ(t))dt t Cette fonctionnelle est ppelée l intégrle d ction ou encore l ction. Le principe de Hmilton, ussi ppelé principe de moindre ction nous dit que le mouvement d une prticule soumise à l force F, entre le point r(t ) et r(t 1 ) est telle que l fonctionnelle J est sttionnire. Sttionnire veut dire que l vrition s nnule en ce point, mis que ce point n,est ps nécessirement un extremum. I.3.4. Points ux bord vribles. (1) Cténire vec un seul côté ttché On reprend le problème du cténire vec un cble de longueur L qui est ttché d un coté u sommet d un mt, et de l utre est libre de se déplcer le long de l xe x = d. Le but est toujours de minimiser l énergie potentielle E p [y] = d mgy(x) 1+y (x)dx Mis sur l espce des fonctions y : [,d] R telles que y() = y. Le degré de liberté supplémentire est compensé pr le fit que le cble une longueur fixée L, c est à dire que : d l[y] = 1+y (x)dx = L Ici encore, c est une contrinte de type isopérimétrique.

7 (2) Récolte optimle On considère un problème de recherche de strtégie de pêche pour mximiser le profit. Soit P(t) le nombre totl de poisson à un instnt t. L croissnce de l popultion du poisson stisfit une éqution différentielle du type : P = f(t,p) Dns les modèles les plus simples, f est simplement une fonction linéire en y. L popultion de déprt est P() = P. On suppose qu on pêche les poissons à un rythme de w(t) poissons pr unité de temps. L éqution gouvernnt l popultion de poissons est mintennt : P = f(t,p) w(t) Le coût de de l pêche est fonction du temps (selon l sison pr exemple), de l popultion de poisson (moins il y de poissons, et plus c est difficile) et églement du tux uquel on veut pécher les poissons (ller vite coute plus cher). Soit donc le cout c(t,p,w). Le poisson est vendu à un prix p(t). Le profit totl sur l période de temps T est donc donné pr : G(y,w) = T (p(t) c(t, y, w))w(t)dt On ici un problème vritionnel où on recherche un couple de fonctions vec contrintes (donné pr l éqution différentielle) vec une condition initile, mis ps de condition finle. 7

Théorème de Rolle et formules de Taylor

Théorème de Rolle et formules de Taylor Théorème de Rolle et formules de Tylor 1 Extrémums des fonctions différentibles à vleurs réelles 1. Soient K un compct d un espce vectoriel normé (E, ) et f une fonction définie sur K à vleurs dns R. Montrer

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Dérivation : rappels et compléments

Synthèse de cours (Terminale S) Dérivation : rappels et compléments Synthèse de cours (Terminle S) Dérivtion : rppels et compléments Rppels de 1ère Nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervlle I et un élément de I. f ( + h) f ( ) Si l limite lim existe, on

Plus en détail

LE PUITS DOUBLE L EXEMPLE STANDARD DE LA MOLECULE D AMMONIAC I. EXERCICE PRELIMINAIRE: EFFET TUNNEL

LE PUITS DOUBLE L EXEMPLE STANDARD DE LA MOLECULE D AMMONIAC I. EXERCICE PRELIMINAIRE: EFFET TUNNEL Préceptort de Mécnique Quntique 1 ère nnée Florent Krzkl, PCT, Bureu F.3-14 LE PUITS DOUBLE L EXEMPLE STANDARD DE LA MOLECULE D AMMONIAC I. EXERCICE PRELIMINAIRE: EFFET TUNNEL I-1/ Soit une brrière de

Plus en détail

Lois de probabilité à densité

Lois de probabilité à densité Lois de probbilité à densité Christophe ROSSIGNOL Année scolire 0/03 Tble des mtières Loi à densité sur un intervlle I. Deux exemples pour comprendre..................................... Densité de probbilité...........................................3

Plus en détail

Primitive et intégrale d une fonction continue

Primitive et intégrale d une fonction continue Primitive et intégrle d une fonction continue O. Simon, Université de Rennes I 24 mi 2005 Avertissement : Ceci n est ps le contenu d une leçon de CAPES. Dns le progrmme 2002 de terminles S, on introduit

Plus en détail

Les intégrales. f(x) dx. f(x) dx est appelée intégrale définie, c est un nombre. La variable x ne sert qu à décrire la fonction f, on a b

Les intégrales. f(x) dx. f(x) dx est appelée intégrale définie, c est un nombre. La variable x ne sert qu à décrire la fonction f, on a b Les intégrles Introduction Etnt donnée une fonction positive f définie sur un intervlle borné [, b], on veut évluer l ire comprise entre l e des bscisses, l courbe représentnt f et les verticles = et =

Plus en détail

CCP 2007. Filière MP. Mathématiques 1. Corrigé pour serveur UPS de JL. Lamard (jean-louis.lamard@prepas.org)

CCP 2007. Filière MP. Mathématiques 1. Corrigé pour serveur UPS de JL. Lamard (jean-louis.lamard@prepas.org) CCP 27. Filière MP. Mthémtiques. Corrigé pour serveur UPS de JL. Lmrd (jen-louis.lmrd@preps.org EXERCCE.. f est continue (en tnt de frction rtionnelle dont le dénominteur ne s nnule ps sur le compct F

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

Majorations de l erreur dans les calculs classiques de valeurs approchées d intégrale. Notes pour la préparation au CAPES - Strasbourg- février 2006

Majorations de l erreur dans les calculs classiques de valeurs approchées d intégrale. Notes pour la préparation au CAPES - Strasbourg- février 2006 Mjortions de l erreur dns les clculs clssiques de vleurs pprochées d intégrle Notes pour l préprtion u CAPES - Strsbourg- février 00 On trouve dns différents ouvrges élémentires des démonstrtions à coup

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

Calcul int egral. 15 d ecembre 2008

Calcul int egral. 15 d ecembre 2008 Clcul intégrl. 15 décembre 2008 2 Tble des mtières I Intégrles multiples 5 1 Rppels sur l intégrle définie des fonctions d une vrible. 7 1.1 Motivtions................................ 7 1.1.1 Cs des fonctions

Plus en détail

Théorie des Langages Formels Chapitre 5 : Automates minimaux

Théorie des Langages Formels Chapitre 5 : Automates minimaux 1/29 Théorie des Lngges Formels Chpitre 5 : Automtes minimux Florence Levé Florence.Leve@u-picrdie.fr Année 2014-2015 2/29 Introduction Les lgorithmes vus précédemment peuvent mener à des utomtes reltivement

Plus en détail

Fonctions : variations et extremums. Fonctions affines

Fonctions : variations et extremums. Fonctions affines Fonctions : vritions et extremums. Fonctions ffines Clsse de seconde I. Sens de vrition d'une fonction... 1) Fonctions croissntes... ) Fonctions décroissntes... II. Tbleu de vritions...3 III. Mximum, minimum...3

Plus en détail

Espaces métriques, espaces vectoriels normés. Tewfik Sari. L2 Math

Espaces métriques, espaces vectoriels normés. Tewfik Sari. L2 Math Espces métriques, espces vectoriels normés Tewfik Sri L2 Mth Avertissement : ces notes sont l rédction, progressive et provisoire, d un résumé du cours d espces métriques de d espces vectoriels normés

Plus en détail

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a

Intégration. Rappels. Définition 3. Soit I un intervalle réel et f : I E. On dit que F : I E est. f(x) f(a) x a Intégrtion Les fonctions considérées ci-dessous sont des fonctions définies sur un intervlle réel I, à vleurs réelles ou complees ou, plus générlement, à vleurs dns un espce vectoriel normé de dimension

Plus en détail

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3

Relations binaires. Table des matières. Marc SAGE. 18 octobre 2007. 1 Amuse gueule 2. 2 Combinatoire dans les quotients 2. 3 Problème d extréma 3 Reltions binires Mrc SAGE 8 octobre 007 Tble des mtières Amuse gueule Combintoire dns les quotients 3 Problème d extrém 3 4 Un théorème de point xe 3 5 Sur l conjugisons dns R 3 6 Sur les corps totlement

Plus en détail

LE RESEAU RECIPROQUE solution

LE RESEAU RECIPROQUE solution LE RESEU RECIPROQUE solution L pge 85 de votre poly de physique est conscrée à l définition du réseu réciproque, un concept initilement introduit pr J.W. Gibbs (189-190). Ce concept, plutôt bstrit, est

Plus en détail

CHAPITRE 4 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER

CHAPITRE 4 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER CHAPITRE 4 LA TRANSFORMÉE DE F OURIER 4. Fonctions loclement intégrbles Soit I un intervlle de R et soit f : R R une ppliction. Définition 4.. On dit que f est loclement intégrble sur I si f est intégrble

Plus en détail

6.1 STRUCTURES PLANES FORMEES DE POUTRES RELATIONS ENTRE CHARGES ET ELEMENTS DE REDUCTION

6.1 STRUCTURES PLANES FORMEES DE POUTRES RELATIONS ENTRE CHARGES ET ELEMENTS DE REDUCTION 6.1 STRUTURES PLES FOREES DE POUTRES RELTIOS ETRE HRGES ET ELEETS DE REDUTIO Les vritions des éléments de réduction,,, lorsqu'on psse d'une section à l'utre, sont liées pr des reltions fondmentles que

Plus en détail

(surface d'un cercle : S = pd2 4 )

(surface d'un cercle : S = pd2 4 ) Les cordes sont de dimètres vribles. Si on les remplce pr deux cordes de même dimètre, le dimètre moyen, le résultt devrit être le même. Ici le résultt, c est sns doute l résistnce qui est proportionnelle

Plus en détail

Chapitre 11 : L inductance

Chapitre 11 : L inductance Chpitre : inductnce Exercices E. On donne A πr 4π 4 metn N 8 spires/m. () Selon l exemple., µ n A 4π 7 (8) 4π 4 (,5) 5 µh (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 4 3 5 6 6,3 A/s E. On donne A πr,5π 4

Plus en détail

Zéros des fonctions. 1. La dichotomie. Exo7. 1.1. Principe de la dichotomie

Zéros des fonctions. 1. La dichotomie. Exo7. 1.1. Principe de la dichotomie Exo7 Zéros des fonctions Vidéo prtie 1. L dichotomie Vidéo prtie. L méthode de l sécnte Vidéo prtie 3. L méthode de Newton Dns ce chpitre nous llons ppliquer toutes les notions précédentes sur les suites

Plus en détail

CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES

CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES Primitives et intégrles Cours CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES. Primitives d une fonction Définition Soit f une fonction définie sur un intervlle I. Une fonction F est une primitive de f sur I, si

Plus en détail

Formation et Analyse d'images. La Vision Stéréoscopique

Formation et Analyse d'images. La Vision Stéréoscopique Formtion et Anlyse d'imges Jmes L. Crowley ENSIMAG 3 Premier Bimestre 2007/2008 Sénce 11 21 décemre 2007 Pln de l Sénce : L Vision Stéréoscopique L Vision Stéréoscopique...2 Les Techniques d'appriement...2

Plus en détail

STRUCTURE CRISTALLINE THEORIE DES RESEAUX DE BRAVAIS

STRUCTURE CRISTALLINE THEORIE DES RESEAUX DE BRAVAIS CHAPITRE 1 STRUCTURE CRISTALLINE THEORIE DES RESEAUX DE BRAVAIS Objectifs Comme les liquides et les gz, les solides jouent un rôle très importnt en chimie. Or l pluprt des solides sont des solides cristllins.

Plus en détail

Cours de mathématiques. Chapitre 12 : Calcul Intégral

Cours de mathématiques. Chapitre 12 : Calcul Intégral Cours de mthémtiques Terminle S1 Chpitre 12 : Clcul Intégrl Année scolire 2008-2009 mise à jour 5 mi 2009 Fig. 1 Henri-Léon Leesgue et Bernhrd Riemnn n les confond prfois 1 Tle des mtières I Chpitre 12

Plus en détail

Chapitre 6 : Fonctions affines -28-01-12- Seconde 7, 2010-2011, Y. Angeli

Chapitre 6 : Fonctions affines -28-01-12- Seconde 7, 2010-2011, Y. Angeli Chpitre 6 : Fonctions ffines -8-01-1- Seconde 7, 010-011, Y. Angeli 1. Éqution réduite d une droite Théorème. Dns un repère, soient A(x A ;y A ) et B(x B ;y B ) tels que x A x B. Alors l droite (AB) est

Plus en détail

I. Que sont les partitions?

I. Que sont les partitions? Cours de mthémtiques frfelues LES FRACTIONS CASSÉES Prémule Voici un cours de mthémtiques qui n ur jmis s plce dns une slle de clsse un utre jour que le er vril. Son sujet : les frctions cssées, ou prtitions,

Plus en détail

Chapitre VI Contraintes holonomiques

Chapitre VI Contraintes holonomiques 55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce

Plus en détail

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville

Théorème de Lax Milgram Application au problème de Dirichlet pour l équation de Sturm Liouville Théorème de Lx Milgrm Appliction u problème de Dirichlet pour l éqution de Sturm Liouville Résumé du cours de MEDP Mîtrise de mthémtiques 2000 2001 2001nov18 (medp-lx-milgrm.tex) Dns ce chpitre, on se

Plus en détail

Formation et Analyse d'images. Stéreo et la Géometrie Epipolaire

Formation et Analyse d'images. Stéreo et la Géometrie Epipolaire Formtion et Anlyse d'imges Jmes L. Crowley ENSIMAG 3 Premier Bimestre 2002/2003 Sénce 7 21 novmre 2002 Stéreo et l Géometrie Epipolire Pln de l Sénce: L Vision Stéréoscopique...2 Les Techniques d'appriement...2

Plus en détail

Résumé sur les Intégrales Impropres & exercices supplémentaires

Résumé sur les Intégrales Impropres & exercices supplémentaires L-MATH II-(25-26). Résumé sur les Intégrles Impropres & eercices supplémentires Une fonction définie sur un intervlle I est dite loclement intégrble sur I si f est Riemnnintégrble sur tout intervlle [,

Plus en détail

Chapitre 3 Dérivées et Primitives

Chapitre 3 Dérivées et Primitives Cours de Mthémtiques Clsse de Terminle STI - Chpitre : Dérivées et Primitives Chpitre Dérivées et Primitives A) Rppels de première et compléments ) Dérivées usuelles Fonction définie sur Fonction f() =

Plus en détail

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4

Calcul intégral. II Intégrale d une fonction 4 BTS DOMOTIQUE Clcul intégrl 8- Clcul intégrl Tble des mtières I Primitives I. Définitions............................................... I. Clculs de primitives.........................................

Plus en détail

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre

Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Document créé le 28 novembre 2013 Lien vers l dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chpitre Chpitre 20 Intégrtion Sommire 20.1 Continuité uniforme.................................

Plus en détail

Cours d Analyse II. Filières : SMP /SMC (Deuxième semestre, première. Notes rédigées par : M. BENELKOURCHI Slimane

Cours d Analyse II. Filières : SMP /SMC (Deuxième semestre, première. Notes rédigées par : M. BENELKOURCHI Slimane Déprtement de Mthémtiques Fculté des Sciences Université Ibn Tofïl Kénitr Cours d Anlyse II S2 Filières : SMP /SMC (Deuxième semestre, première nnée) Notes rédigées pr : M. BENELKOURCHI Slimne Professeur

Plus en détail

Lycée Faidherbe, Lille MP1 Cours d informatique 2013 2014. Automates

Lycée Faidherbe, Lille MP1 Cours d informatique 2013 2014. Automates Lycée Fidhere, Lille MP Cours d informtique 203 204 Automtes I Déterministes........................... 2 Définitions 2 Exemple 2 Action des mots 3 Lngge reconnu 3 II Incomplets.............................

Plus en détail

Fonctions affines ; Equations et inéquations

Fonctions affines ; Equations et inéquations Fonctions ffines ; Equtions et inéqutions I. Fonctions ffines.. Définition Définition d une fonction ffine : on ppelle fonction ffine toute fonction définie sur pr f ( ) où et sont des réels tels que.

Plus en détail

Intégration (suite) 1 Champs de vecteurs et intégrales curvilignes

Intégration (suite) 1 Champs de vecteurs et intégrales curvilignes . Intégrtion (suite) e qui suit comporte trois prties : l première correspond à peu près à ce qui été trité lors du dernier cours, certins exemples du cours et d utres clculs sont présentés dns l deuxième,

Plus en détail

Automates et langages: quelques algorithmes

Automates et langages: quelques algorithmes Automtes et lngges: quelques lgorithmes Eugene Asrin Sddek Benslem Avertissement Dns l étt ctuel ce document est rchi-sec et peut servir seulement d un ide-mémoire. Pour comprendre les lgorithmes ci-dessous

Plus en détail

Théorie des Langages Épisode 2 Automates finis

Théorie des Langages Épisode 2 Automates finis AFD AFN Opértions Lemme de pompge 1/ 36 Théorie des Lngges Épisode 2 Automtes finis Thoms Pietrzk Université Pul Verline Metz AFD AFN Opértions Lemme de pompge Reconnisseur Définition Configurtion Accepttion

Plus en détail

Chapitre 7. Primitives et Intégrales. 7.1 Primitive d une fonction. 7.2 Propriétés des primitives. 7.3 Intégrale définie ou Intégrale de Riemannn)

Chapitre 7. Primitives et Intégrales. 7.1 Primitive d une fonction. 7.2 Propriétés des primitives. 7.3 Intégrale définie ou Intégrale de Riemannn) Chpitre 7 Primitives et Intégrles 7. Primitive d une fonction Soit f une fonction définie sur un intervlle K de R. On ppelle primitive de f, une fonction F dont l dérivée est f : F (x) = f(x). On note

Plus en détail

MP1 Janson DS6 du 17 janvier 2014/2015. 1 n x.

MP1 Janson DS6 du 17 janvier 2014/2015. 1 n x. MP Jnson DS6 du 7 jnvier 24/25 Problème (CCP) Toutes les fonctions de ce problème sont à vleurs réelles. PARTE PRÉLMNARE Les résultts de cette prtie seront utilisés plusieurs fois dns le problème.. Fonction

Plus en détail

Marc Chemillier Master M2 Atiam (Ircam), 2011-2012

Marc Chemillier Master M2 Atiam (Ircam), 2011-2012 MMIM Modèles mthémtiques en informtique musicle Mrc Chemillier Mster M2 Atim (Ircm), 2011-2012 Notions théoriques sur les lngges formels - Définitions générles o Mots, lngges o Monoïdes - Notion d utomte

Plus en détail

1 Projection tache Airy sur mode propre capillaire

1 Projection tache Airy sur mode propre capillaire 1 Projection tche Airy sur mode propre cpillire Dns l pproximtion prxile (petits ngles) le chmp électrique d une onde de fréquence ω polrisée rectilignement suivnt ~u x se propgent à l intérieur d un cpillire

Plus en détail

Examen Final Corrigé rédigé par Paul Brunet et Laure Gonnord

Examen Final Corrigé rédigé par Paul Brunet et Laure Gonnord Mster Info - 2014-2015 MIF15 Complexité et Clculbilité Exmen Finl Corrigé rédigé pr Pul Brunet et Lure Gonnord Durée 1H30 Notes de cours et de TD utorisées. Livres et ppreils électroniques interdits. Le

Plus en détail

Prospection électrique. Guy Marquis, EOST Strasbourg

Prospection électrique. Guy Marquis, EOST Strasbourg Prospection électrique Guy Mrquis, EOST Strsbourg Le 9 Avril 005 Chpitre Bses physiques L prospection électrique est l une des plus nciennes méthodes de prospection géophysique. S mise en oeuvre est reltivement

Plus en détail

Quantification et échantillonnage

Quantification et échantillonnage numérique à l et échntillonnge Signl physique (onde lumineuse, onde sonore) : vrition d une grndeur physique (éclirement, pression) en temps et/ou espce Sénce 4 et échntillonnge Contrintes de l représenttion

Plus en détail

Fonctions de référence

Fonctions de référence Chpitre 7 Clsse de Seconde Fonctions de référence Ce que dit le progrmme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Fonctions de référence Fonctions linéires et fonctions ffines Vritions de l fonction

Plus en détail

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion

Plus en détail

Transformations géodésiques en France Métropolitaine

Transformations géodésiques en France Métropolitaine Trnsformtions géodésiques en Frnce Métropolitine 1 Processus de chngement de système... 1.1 Définitions... 1. Similitude 3D à 7 prmètres... 1.3 Modèle «à 7 prmètres»... 3 1.4 Coordonnées géogrphiques (,,h)

Plus en détail

OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 2011 ACADEMIE DE BESANÇON

OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 2011 ACADEMIE DE BESANÇON OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 2011 ACADEMIE DE BESANÇON Durée : 4 heures Les clcultrices sont utorisées. Le sujet comprend qutre exercices indépendnts qui peuvent être trités dns l'ordre que

Plus en détail

1 Langages reconnaissables

1 Langages reconnaissables 8INF713 Informtique théorique Automne 2014 Exercices 1 Lngges reconnissles 1.1 Considérez les deux utomtes suivnts et répondez ux questions suivntes : q 3, q 3 q 4 () A 1 () A 2 Figure 1 () Quel est l

Plus en détail

Dynamique des systèmes et automates à états

Dynamique des systèmes et automates à états Chpitre 8 Dynmique des systèmes et utomtes à étts L modélistion sttique s intéresse à ce qu il y dns le système, à s structure, etc. L modélistion de l dynmique trite de l évolution du système dns le temps.

Plus en détail

COMPARAISON DE FONCTIONS

COMPARAISON DE FONCTIONS Lurent Grcin MPSI Lycée Jen-Bptiste Corot COMPARAISON DE FONCTIONS 1 Notion de voisinge Définition 1.1 Voisinge Soit R = R {± }. On ppelle voisinge de une prtie de R contennt un intervlle de l forme :

Plus en détail

Chapitre 9: Primitives et intégrales

Chapitre 9: Primitives et intégrales PRIMITIVES ET INTEGRALES 7 Chpitre 9: Primitives et intégrles Prérequis: Limites, dérivées Requis pour: Emen de mturité 9. «À quoi ç sert?» Un peu d histoire Isc Newton (64-77) Les clculs d ire de figures

Plus en détail

Théorie de la mesure et intégration. J.C. Pardo

Théorie de la mesure et intégration. J.C. Pardo Feuille de TD 6. Théorie de l mesure et intégrtion. J.C. Prdo Exercices. Exo. 72 Soit f une fonction sur. On considère muni de l tribu B des boréliens et d une mesure λ sur B. On suppose que f est λ-loclement

Plus en détail

TOUT SUR LE TRIANGLE

TOUT SUR LE TRIANGLE PROBLEME de niveu sup rédigé pr R. Ferreol ferreol@mthcurve.com TOUT SUR LE TRIANGLE. DONNÉES ET NOTATIONS 3 points A, B, C non lignés d un pln ffine euclidien P orienté de fçon à ce que (AB, AC ) soit

Plus en détail

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1

Exercices corrigés 9325 = 2 4662 + 1 4662 = 2 2331 + 0 2331 = 2 1165 + 1 Grenoble INP Pgor 1ère nnée Exercices corrigés Anlyse numérique NB : Les exercices corrigés ici sont les exercices proposés durnt les sénces de cours. Les corrections données sont des corrections plus

Plus en détail

ICNA - SESSION 2009 ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE CORRIGÉ

ICNA - SESSION 2009 ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE CORRIGÉ ICNA - SESSION 9 ÉPREUVE OPTIONNEE DE PHYSIQUE CORRIGÉ Diffusion thermique dns un câble électrique.. puissnce volumique dissipée pr effet Joule dns le conducteur est donnée pr P. Je J J.E e γ I e vecteur

Plus en détail

Recherche des paramètres de préréglage en injection. 1 COURS SUR LA RECHERCHE DES PARAMETRES POUR LE CHOIX ET LE PREREGLAGE DES PRESSES A INJECTER

Recherche des paramètres de préréglage en injection. 1 COURS SUR LA RECHERCHE DES PARAMETRES POUR LE CHOIX ET LE PREREGLAGE DES PRESSES A INJECTER Recherche des prmètres de préréglge en injection. 1 COURS SUR LA RECHERCHE DES PARAMETRES POUR LE CHOIX ET LE PREREGLAGE DES PRESSES A INJECTER Appliction et utilistion des préréglges : Les données de

Plus en détail

THÉORIE DE LA MESURE. Notes de cours de B.Demange

THÉORIE DE LA MESURE. Notes de cours de B.Demange THÉORIE DE LA MESURE Notes de cours de B.Demnge Cours donné en 212-213 2 INTRODUCTION Ce cours pour but de donner une bonne définition de l intégrle de fonctions d une ou plusieurs vribles réelles, qui

Plus en détail

Table des matières. Avant propos

Table des matières. Avant propos Tble des mtières Avnt propos ii 1 Intégrle de Riemnn 1 1.1 Intégrle des fonctions en esclier............ 2 1.2 Fonctions intégrbles u sens de Riemnn........ 6 1.3 Propriétés générles de l intégrle de Riemnn......

Plus en détail

DISTANCES DE LA TERRE A LA LUNE ET AU SOLEIL

DISTANCES DE LA TERRE A LA LUNE ET AU SOLEIL Première Distnces de l Terre à l Lune et u Soleil Pge 1 TRAVAUX DIRIGES DISTANCES DE LA TERRE A LA LUNE ET AU SOLEIL -80 II ème siècle p J-C 153 1609 1666 1916 199 ARISTARQUE de Smos donne une mesure de

Plus en détail

Electromagne tisme 2 : Induction

Electromagne tisme 2 : Induction Electromgne tisme : Induction Induction de Neumnn Eercice 1 : Clcul d une force électromotrice induite n dispose d'un cdre crré fie de côté comportnt N spires d'un fil conducteur d'etrémités A et C dns

Plus en détail

Séries, intégrales et probabilités

Séries, intégrales et probabilités Séries, intégrles et probbilités Thierry MEYRE Préprtion à l grégtion interne. Année 2014-2015. Université Pris Diderot. IREM. http://www.prob.jussieu.fr/pgeperso/meyre 2 BIBLIOGRAPHIE. Les ouvrges de

Plus en détail

Ater Lucis. La lumière maîtrisée

Ater Lucis. La lumière maîtrisée Ater Lucis L lumière mîtrisée 09/2009 Contenu A propos de Bonhomme Bâtiments Industriels Ater Lucis Démrche Qulités Focus pr modèle Circeo Xelios Arboris A propos de Bonhomme Bâtiments Industriels Bonhomme

Plus en détail

Savoir-faire expérimentaux.

Savoir-faire expérimentaux. LYCEE LOUIS DE CORMONTAIGNE. 12 Plce Cormontigne BP 70624. 57010 METZ Cedex 1 Tél.: 03 87 31 85 31 Fx : 03 87 31 85 36 Sciences Appliquées. Svoir-fire expérimentux.. Référentiel.. :. S5 Sciences. Appliquées......

Plus en détail

Chapitre 7: Bandes d énergie. On ne fera pas le modèle de Kronig-Penney: p. 165-7,171-2

Chapitre 7: Bandes d énergie. On ne fera pas le modèle de Kronig-Penney: p. 165-7,171-2 Chpitre 7: Bndes d énergie On ne fer ps le modèle de Kronig-Penney: p. 165-7,171- ppel Gz d électrons libres: Modèle le plus simple pour un métl Électrons libres dns une boîte de LLL On résout l éqution

Plus en détail

ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES

ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES ESTIMER LA PRÉCISION DES MESURES I. Précision d'une mesure directe Une mesure directe est une mesure lue sur un ppreil de mesure. Le résultt d'une mesure directe n'est jmis connu de fçon prfitement excte.

Plus en détail

Chapitre 13 : intégration sur un intervalle quelconque : théorie

Chapitre 13 : intégration sur un intervalle quelconque : théorie Mth Spé MP Chpitre 13 : intégrtion sur un intervlle quelconque : théorie 19/1/2012 1 Cs des onctions à vleurs dns R + Déinition : onction continue pr morceux sur un intervlle : Une onction : K où (K =

Plus en détail

Analyse 1 L1-mathématiques

Analyse 1 L1-mathématiques Anlyse L-mthémtiques Renud Leplideur Année 3-4 UBO Tble des mtières Inéglités et clculs 3. Nombres..................................... 3.. Les ensembles N, Z, Q et R...................... 3.. Les intervlles

Plus en détail

Développement d un Code de Calcul Permettant l Optimisation des Systèmes de Chauffage de Planchers ou Sols à l Aide de Tubes Enterrés 1.

Développement d un Code de Calcul Permettant l Optimisation des Systèmes de Chauffage de Planchers ou Sols à l Aide de Tubes Enterrés 1. Rev Ener Ren : Journées de Thermique (001) 85-90 éveloppement d un Code de Clcul Permettnt l Optimistion des Systèmes de Chuffe de Plnchers ou Sols à l Aide de Tubes Enterrés O Guerri 1, A Hrhd et K Bouhdef

Plus en détail

Programmation des éléments nis P1 en 1D

Programmation des éléments nis P1 en 1D Notes du cours d'équtions ux Dérivées Prtielles de l'isima, deuxième nnée http://wwwisimfr/leborgne Progrmmtion des éléments nis P1 en 1D Gilles Leborgne 8 mrs 2005 Tble des mtières 1 Le problème 2 11

Plus en détail

Kit de survie - Bac ES

Kit de survie - Bac ES Kit de survie - Bc ES. Étude du signe d une expression ) Signe de x + Ü Ü ½ Ò µ¼ Ò ½ 0) On détermine l vleur de x qui nnule x +, puis on pplique l règle : «signe de près le 0». ) Signe de x + x + c ܾ

Plus en détail

Cours de DEUG Méthodes mathématiques pour les sciences de la vie I. Avner Bar-Hen

Cours de DEUG Méthodes mathématiques pour les sciences de la vie I. Avner Bar-Hen Cours de DEUG Méthodes mthémtiques pour les sciences de l vie I Avner Br-Hen Université Aix-Mrseille III 3 Tble des mtières Tble des mtières i Fonctions, limites, continuité Fonction, représenttion grphique......................

Plus en détail

Cours de Mathématique - Statistique Calcul Matriciel

Cours de Mathématique - Statistique Calcul Matriciel L - Mth Stt Cours de Mthémtique - Sttistique Clcul Mtriciel F. SEYTE : Mître de conférences HDR en sciences économiques Université de Montpellier I M. TERRZ : Professeur de sciences économiques Université

Plus en détail

Théorie de langages, TD3

Théorie de langages, TD3 Théorie de lngges, TD3 Octoer 6, 25 Automtes finis. Definitions Un utomte fini déterministe (DFA deterministic finite utomton) est une mchine de clcul A qui peut être définie pr les cinq éléments suivnts.

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail

1. Contribution au raccordement

1. Contribution au raccordement TARIFS 215 CHAUFFAGE A DISTANCE CONTRIBUTIONS AU RACCORDEMENT 1. Contribution u rccordement 1.1 L contribution u rccordement est clculée en fonction des kw th souscrits dns le cdre des puissnces normlisées.

Plus en détail

IFT 615 : Devoir 4 Travail individuel

IFT 615 : Devoir 4 Travail individuel IFT 615 : Devoir 4 Trvil individuel Remise : 1 vril 01, 16h0 (u plus trd) 1. [ points] Dns le cours, nous vons vu différents types de problèmes d intelligence rtificielle insi que plusieurs solutions possibles

Plus en détail

Cours de mécanique M14-travail-énergies

Cours de mécanique M14-travail-énergies Cours de mécanique M14-travail-énergies 1 Introduction L objectif de ce chapitre est de présenter les outils énergétiques utilisés en mécanique pour résoudre des problèmes. En effet, parfois le principe

Plus en détail

Université de Marseille Licence de Mathématiques, 1ere année, Analyse (limites, continuité, dérivées, intégration) T. Gallouët

Université de Marseille Licence de Mathématiques, 1ere année, Analyse (limites, continuité, dérivées, intégration) T. Gallouët Université de Mrseille Licence de Mthémtiques, ere nnée, Anlyse (limites, continuité, dérivées, intégrtion) T. Gllouët July 29, 205 Tble des mtières Limites 3. Définition et propriétés......................................

Plus en détail

SPONSORING SUPPORTS DE COMMUNICATION LE MARQUE-PAGE GRANDEUR NATURE

SPONSORING SUPPORTS DE COMMUNICATION LE MARQUE-PAGE GRANDEUR NATURE SUPPORTS DE COMMUNICATION SPONSORING Dns s démrche de prtenrit, l ssocition Grndeur Nture dispose d offre de sponsoring. Au-delà de l intérêt personnel que vous pouvez voir pour l culture ou certines ctions

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (

Plus en détail

Compléments d intégration

Compléments d intégration ISA BTP, nnée ANNÉE UNIVERSITAIRE - CONTRÔLE CONTINU Compléments d intégrtion Durée : h Les clcultrices sont utorisées. Tous les exercices sont indépendnts. Il ser tenu compte de l rédction et de l présenttion.

Plus en détail

LOIS A DENSITE (Partie 1)

LOIS A DENSITE (Partie 1) LOIS A DENSITE (Prtie ) I. Loi de probbilité à densité ) Rppel Eemple : Soit l'epérience létoire : "On lnce un dé à si fces et on regrde le résultt." L'ensemble de toutes les issues possibles Ω = {; ;

Plus en détail

Stage olympique de Cachan Géométrie

Stage olympique de Cachan Géométrie Stge olympique de chn Géométrie Exercices du vendredi 20 février 2015 1 Quelques définitions et résultts utiles éfinition (Nottions) Soit un tringle non plt. On utiliser usuellement les nottions suivntes

Plus en détail

gfaubert septembre 2010 1

gfaubert septembre 2010 1 Notes de cours Pour l e secondire Compiltion et/ou crétion Guyline Fuert Septemre 00 gfuert septemre 00 Géométrie------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Plus en détail

Equations d'état, travail et chaleur

Equations d'état, travail et chaleur Equtions d'étt, trvil et chleur Exercice On donne R 8, SI. ) Quelle est l'éqution d'étt de n moles d'un gz prfit dns l'étt,,? En déduire l'unité de R. ) Clculer numériquement l vleur du volume molire d'un

Plus en détail

Notion de qualité de l énergie

Notion de qualité de l énergie BULLEIN DE L UNION DES PHYSICIENS 509 Notion de qulité de l énergie pr Pul ROUX et JenRobert SEIGNE Lycée Clude Furiel 42022 SintÉtienne Cedex RÉSUMÉ L conservtion de l énergie est insuffisnte pour ustifier

Plus en détail

FAQ sur l utilisation d Ecoline-solo

FAQ sur l utilisation d Ecoline-solo FAQ sur l utilistion d Ecoline-solo De quel mtériel i-je esoin pour compléter les informtions demndées dns Ecoline-solo? Pour remplir rpidement toutes les informtions demndées dns Ecoline-solo, vous devez,

Plus en détail

TP 10 : Lois de Kepler

TP 10 : Lois de Kepler TP 10 : Lois de Kepler Objectifs : - Estimer l msse de Jupiter à prtir de l troisième loi de Kepler. - Utiliser Stellrium, un simulteur de plnétrium «photo-réel». Compétences trvillées : - Démontrer que,

Plus en détail

(b). Calculons les dérivées partielles de f. Nous obtenons f x (x, y) = 2x(1 + x2 + y 2 ) 4x(x 2 + y 2 ) (1 + x 2 + y 2 ) 3 4x 2

(b). Calculons les dérivées partielles de f. Nous obtenons f x (x, y) = 2x(1 + x2 + y 2 ) 4x(x 2 + y 2 ) (1 + x 2 + y 2 ) 3 4x 2 CORRECTION DU MODÈLE D EXAMEN 2 Exercice 1 (). L fonction f est un quotient de deux fonctions polynomiles et le dénominteur ne s nnulle ps sur R 2, donc f est de clsse C et en prticulier de clsse C 2.

Plus en détail

2. Formules d addition.

2. Formules d addition. IX. Trigonométrie 1. Rppels 1.1 Définitions : Dns le cercle trigonométrique C ( O, 1 ), si nous fixons un point P correspondnt à un ngle d mplitude nous vons défini : = bscisse du point P sin = ordonnée

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

FICHES DE MATHÉMATIQUES

FICHES DE MATHÉMATIQUES FICHES DE MATHÉMATIQUES Clsse de PT Pr Mxime CHUPIN Ces fiches sont issues des cours de Jen-Michel SARLAT et de Christin RIEFFEL, professeurs de mthémtiques u lycée LOUIS-ARMAND de Poitiers. 1 Tble des

Plus en détail

1 Cinématique du solide

1 Cinématique du solide TBLE DES MTIÈRES 1 Cinématique du solide 1 1.1 Coordonnées d un point dans l espace......................... 1 1.1.1 Repère et référentiel................................ 1 1.1.2 Sens trigonométrique...............................

Plus en détail

Calcul des variations

Calcul des variations Clcul des vritions 0. Prérequis 0.1. Clcul différentiel et intégrl d une et plusieurs vribles 0.2. Intégrtion pr prties : f (x)g(x)dx = f (b)g(b) f ()g() f (x)g (x)dx 0.3. Règle de l chîne, pr exemple

Plus en détail

Kit de survie - Bac S

Kit de survie - Bac S Kit de survie - Bc S. Inéglités - Étude du signe d une expression Opértions sur les inéglités Règles usuelles : Pour tout x < y x + < y + même sens Pour tout k > : x < y kx < ky même sens Pour tout k

Plus en détail