Synthèse de cours (Terminale S) Dérivation : rappels et compléments

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Léon Rochon
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1 Synthèse de cours (Terminle S) Dérivtion : rppels et compléments Rppels de 1ère Nombre dérivé Soit f une fonction définie sur un intervlle I et un élément de I. f ( + h) f ( ) Si l limite lim existe, on l note «f '( )» et on l ppelle «nombre h dérivé de l fonction f en». Dns ce cs, on dit que «l fonction f est dérivble en». Interpréttion géométrique Soit f une fonction définie sur un intervlle I et un élément de I. Soit C f l courbe représenttive de f dns un repère. ( ) Si f est dérivble en lors C f dmet une tngente u point ; ( ) tngente est : On en tire l éqution réduite de l tngente : y = f '( )( x ) + f ( ) ( ) ( ) ( ) y = f '. x+ f f '. f et une éqution de cette y y = f '( )( x ) + f ( ) f ( ) C f x PnMths [1-6] Août 008

Interpréttion géométrique Soit f une fonction définie sur un intervlle I et un élément de I. Soit C f l courbe représenttive de f dns un repère.

2 Remrque : L écriture lim ( + ) ( ) f h f h ( ) = f ' équivut à : ( ) ( ) '( ) ε ( ) f + h = f + f h+ h h Avec : ε ( h) lim = 0. Pour h petit, on pourr lors écrire : f ( + h) f ( ) + f '( ) h, l quntité f ( ) + f '( ) h étnt ppelée «pproximtion ffine de f ( + h) u voisinge de ( ) f». Dérivbilité et continuité On le théorème fondmentl suivnt : Soit f une fonction définie sur un intervlle I et un élément de I. Si f est dérivble en (sur I) lors f est continue en (sur I). Remrque : l réciproque est fusse (pour s en convincre, on pourr considérer l fonction vleur bsolue en 0). Fonction dérivée Soit f une fonction définie sur un intervlle I. Si f est dérivble pour tout x de I, lors on dit que «l fonction f est dérivble sur I» et on note «f» l fonction définie pr : I x f ' x ( ) L fonction f est ppelée «fonction dérivée de l fonction f». Remrque (peut être lissée de côté en première lecture) : L nottion «f '» est due à Newton ( ) et est courmment utilisée en mthémtiques (en prticulier dns le secondire). Il en existe une utre, cette fois due à Leibniz ( ), qui est elle fréquemment utilisée en physique, en économie Il s git de «dy dx». PnMths [-6] Août 008

Dérivbilité et continuité On le théorème fondmentl suivnt : Soit f une fonction définie sur un intervlle I et un élément de I. Si f est dérivble en (sur I) lors f est continue en (sur I).

3 Cette nottion, dite «différentielle», exprime l idée d un rpport entre deux quntités f ( + h) f ( ) (différences) infinitésimles et doit donc être rpprochée de lim puisque h f ( + h) f ( ) cette limite peut être écrite : lim. ( + h) dy En toute rigueur, on écririt pour le nombre dérivé : f '( ) =. dx x = L nottion de Leibniz présente de nombreux vntges. Si, u lieu de considérer des quntités infinitésimles, nous considérons de petites différences (nous les notons lors Δ x et Δ y en lieu et plce, respectivement, de dx et dy ), nous pouvons Δy Δy écrire : f '( ) (ou, plus générlement f '( x) ), soit encore : Δ ( ) Δx Δx y f ' Δ x. On retrouve insi l idée fondmentle de l pproximtion ffine : une petite vrition sur les bscisses entrîner, en première pproximtion, une petite vrition sur les ordonnées qui lui est proportionnelle, le coefficient de proportionnlité n étnt rien d utre que le nombre dérivé. y f h f Δ x = + h = h, on retrouve : En posnt lors : Δ = ( + ) ( ) et ( ) f ( + h) f ( ) f ( ) h, soit : ( ) ( ) '( ) f + h f + f h. Fonctions dérivées des fonctions usuelles Les fonctions rtionnelles (dont les fonctions polynômes et l fonction inverse), l fonction rcine crrée et les fonctions trigonométriques sont dérivbles sur tout intervlle inclus dns leur ensemble de définition (ATTENTION! Ce résultt n est ps vlble pour l fonction rcine crrée en 0). Fonction Dérivée Intervlle I (mximl) x k ( k ) x 0 x x x 1 x x x x 1 1 x x x x * +* ou x x 1 x x + * n x x (si n > 0 ) n 1 * x nx * +* ( n ) ou (si n < 0 ) sin cos cos sin tn 1 π 1+ tn = \ ( k 1 ), k + cos PnMths [3-6] Août 008

Si, u lieu de considérer des quntités infinitésimles, nous considérons de petites différences (nous les notons lors Δ x et Δ y en lieu et plce, respectivement, de dx et dy ), nous pouvons Δy Δy

4 Opértions et dérivtion Si f et g sont deux fonctions dérivbles sur un intervlle I, l fonction g ne s nnulnt ps sur I, et si k est un réel lors : L fonction f + g est dérivble sur I et on : ( f + g)' = f ' + g' ; L fonction kf est dérivble sur I et on : ( kf )' = kf ' ; L fonction fg est dérivble sur I et on : ( fg)' = f ' g+ fg' ; L fonction 1 ' g est dérivble sur I et on : 1 g ' = ; g g L fonction f ' g est dérivble sur I et on : f f ' g fg' =. g g Remrque : à prtir de l formule donnnt l dérivée de f g, on retrouve rpidement l expression de l dérivée de 1 g Fonctions dérivbles et sens de vrition On suppose que f est une fonction dérivble sur un intervlle I. Si f est croissnte sur I lors ' x I, f ' x 0 ) ; Si f est décroissnte sur I lors ' Si f est constnte sur I lors ' f est positive sur I ( ( ) f est négtive sur I ( x f ( x) f est nulle sur I ( x I, f '( x) = 0 ) ; I, ' 0 ) ; Remrque : une fonction f peut être strictement croissnte sur un intervlle et s dérivée s y 3 nnuler On considèrer, pr exemple, l fonction x x. Elle est strictement croissnte sur et s dérivée s nnule en 0 On suppose que f est une fonction dérivble sur un intervlle I. Si ' x I, f ' x 0 ) lors f est (strictement) f est (strictement) positive sur I ( ( ) croissnte sur I ; Si ' f est (strictement) négtive sur I ( x f ( x) décroissnte sur I ; Si ' f est nulle sur I ( x f ( x) I, ' 0 ) lors f est (strictement) I, ' = 0 ) lors f est constnte sur I ; PnMths [4-6] Août 008

fonction f ' g est dérivble sur I et on : f f ' g fg' =.

5 Dérivée d une fonction composée Propriété Soit f une fonction dérivble sur un intervlle I et prennt ses vleurs dns un ensemble inclus dns un intervlle J. Soit g une fonction dérivble sur l intervlle J. Dns ces conditions, l fonction gof est dérivble sur l intervlle I et on : Soit : On en prticulier : Soit et b deux réels, étnt non nul. ( gof )' = f ' ( g ' of ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) gof ' x = f ' x g ' of x = f ' x g '( f x ) Soit f définie et dérivble sur I et soit g l fonction définie pr g: x f ( x+ b) donc définie pour tout x tel que x + b pprtient à I). Dns ces conditions, l fonction g est dérivble et on : ( ) = '( + ) g ' x f x b (l fonction g est l composée des fonctions x x + b et f). (elle est Formulire Pour toute fonction u définie et dérivble sur un intervlle I (et, éventuellement, ne s nnulnt ps sur I), on : Fonction Dérivée n x u ( x) n 1 x nu. '( x). u ( x) x u( x) u' ( x) x u( x) Remrques : dns le deuxième cs, l fonction u est à vleurs strictement positives. PnMths [5-6] Août 008

( gof )' = f ' ( g ' of ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) gof ' x = f ' x g ' of x = f ' x g '( f x ) Soit f définie et dérivble sur I et soit g l fonction définie pr g: x f ( x+ b) donc définie pour tout

6 Utilistion de l dérivée pour l recherche d un extremum locl Notion d extremum locl Soit f définie sur un intervlle I et soit un élément de I. On dir que «f dmet un mximum (minimum) en» s il existe un intervlle ouvert I x I, f x f f x f ). contennt et inclus dns I tel que : ( ) ( ) ( ( ) ( ) On ppelle «extremum locl de f» tout minimum locl ou mximum locl pour l fonction f. Théorème Soit f définie et dérivble sur un intervlle I et soit un élément de I. f ' = 0. Si f dmet un extremum locl en lors ( ) 3 L réciproque est fusse et l fonction x x nous donne encore un contre-exemple : s dérivée s nnule en 0 mis elle n y dmet ps un extremum locl! On cependnt : Soit f définie et dérivble sur un intervlle I et soit un élément de I. f ' = 0 et si f ' chnge de signe en lors f dmet un extremum locl en. Si ( ) f '( ) = 0 C f f '( b ) = 0 f '( x ) > 0 f '( x ) < 0 ( ) f ' x > 0 b PnMths [6-6] Août 008

contennt et inclus dns I tel que : ( ) ( ) ( ( ) ( ) On ppelle «extremum locl de f» tout minimum locl ou mximum locl pour l fonction f.

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