Stage de remise à niveau - Terminale S

Transcription

1 Stge de remise à niveu - Terminle S L correction de nombreux exercices bordés ici est disponible à cette dresse : http :// dns l rubrique nnles. A A A Exercice Extrit de Nouvelle Clédonie mrs 0 n considère les nombres complexes z n définis, pour tout entier nturel n, pr ) z 0 = et z n+ = + i z n. n note A n le point d ffixe z n dns le repère orthonormé L objet de cet exercice est d étudier l construction des points A n.. ) Vérifier que + i = e i π. b) En déduire z et z sous forme exponentielle.. ) Montrer que pour tout entier nturel n, ) n z n = e in π., u, ) v de l nnexe. b) Pour quelles vleurs de n, les points, A 0 et A n sont-ils lignés?. Pour tout entier nturel n, on pose d n = z n+ z n. A d) Justifier cette construction. Exercice Extrit de Nouvelle Clédonie mrs 0 n considère les fonctions f et g définies sur l intervlle [0 ; ] pr v A A 0 u fx) = lnx + ) et gx) = lnx + ) + cosx). Dns un repère du pln, ı, ) ȷ, on note C f et C g les courbes représenttives des fonctions f et g. Ces courbes sont données en nnexe. Comprer les ires des deux surfces hchurées sur ce grphique. ) Interpréter géométriquement d n. b) Clculer d 0. c) Montrer que pour tout entier nturel n non nul, ) z n+ z n+ = + i z n+ z n). d) En déduire que l suite d n ) n 0 est géométrique puis que pour tout entier nturel n, Cg Cf A B. ) Montrer que pour tout entier nturel n, ) n d n =. z n+ = z n + d n. b) En déduire que, pour tout entier nturel n, le tringle A na n+ est rectngle en A n. c) Construire, à l règle non grduée et u comps, le point A sur l figure : Exercice Extrits Amérique du sud - Novembre 0 Le chikunguny est une mldie virle trnsmise d un être humin à l utre pr les piqûres de moustiques femelles infectées. Un test été mis u point pour le dépistge de ce virus. Le lbortoire fbriqunt ce test fournit les crctéristiques suivntes : l probbilité qu une personne tteinte pr le virus it un test positif est de 0, ;

2 l probbilité qu une personne non tteinte pr le virus it un test positif est de 0, 0. n procède à un test de dépistge systémtique dns une popultion «cible». Un individu est choisi u hsrd dns cette popultion. n ppelle : M l évènement : «L individu choisi est tteint du chikunguny» T l évènement : «Le test de l individu choisi est positif» n noter M respectivement T ) l évènement contrire de l évènement M respectivement T ). n note p 0 p ) l proportion de personnes tteintes pr l mldie dns l popultion cible.. Exprimer P M T ), P M T ) puis P T ) en fonction de p.. ) Démontrer que l probbilité de M schnt T est donnée pr l fonction f définie sur [0 ; ] pr : fp) = b) Étudier les vritions de l fonction f. p p +.. n considère que le test est fible lorsque l probbilité qu une personne ynt un test positif soit réellement tteinte du chikunguny est supérieure à 0,. En utilisnt les résultts de l question., à prtir de quelle proportion p de mldes dns l popultion le test est-il fible? Exercice Extrits de Nouvelle Clédonie - Novembre 0 Une usine produit de l eu minérle en bouteilles. Lorsque le tux de clcium dns une bouteille est inférieur à, mg pr litre, on dit que l eu de cette bouteille est très peu clcire. Dns cet exercice les résultts pprochés seront rrondis u millième. Prtie A L eu minérle provient de deux sources, notées «source A» et «source B». L probbilité que l eu d une bouteille prélevée u hsrd dns l production d une journée de l source A soit très peu clcire est 0,. L probbilité que l eu d une bouteille prélevée u hsrd dns l production d une journée de l source B soit très peu clcire est 0, 0. L source A fournit 0 % de l production quotidienne totle des bouteilles d eu et l source B le reste de cette production. n prélève u hsrd une bouteille d eu dns l production totle de l journée. n considère les évènements suivnts : A : «L bouteille d eu provient de l source A» B : «L bouteille d eu provient de l source B» S : «L eu contenue dns l bouteille d eu est très peu clcire». Prtie B n note X l vrible létoire qui, à chque bouteille prélevée u hsrd dns l production d une journée de l source A, ssocie le tux de clcium de l eu qu elle contient. n suppose que X suit l loi normle de moyenne et d écrt-type,. n note Y l vrible létoire qui, à chque bouteille prélevée u hsrd dns l production d une journée de l source B, ssocie le tux de clcium qu elle contient. n suppose que Y suit l loi normle de moyenne et d écrt-type σ.. Déterminer l probbilité pour que le tux de clcium mesuré dns une bouteille prise u hsrd dns l production d une journée de l source A soit compris entre, mg et, mg.. Clculer l probbilité px, ).. Déterminer σ schnt que l probbilité qu une bouteille prélevée u hsrd dns l production d une journée de l source B contienne de l eu très peu clcire est 0,. Prtie C Le service commercil dopté pour les étiquettes des bouteilles l forme représentée ci-dessous dns un repère orthonormé du pln. L forme de ces[ étiquettes est délimitée pr l xe des bscisses et l courbe C d éqution y = cos x vec x π ; π ] et un réel strictement positif. Un disque situé à l intérieur est destiné à recevoir les informtions données ux cheteurs. n ) considère le disque de centre le point A de coordonnées 0 ; et de ryon. n dmettr que ce disque se trouve entièrement en dessous de l courbe C pour des vleurs de inférieures à,.. Justifier que l ire du domine compris entre l xe des bscisses, les droites d éqution x = π et x = π, et l courbe C est égle à unités d ire.. Pour des risons esthétiques, on souhite que l ire du disque soit égle à l ire de l surfce grisée. Quelle vleur fut-il donner u réel pour respecter cette contrinte?. Déterminer l probbilité de l évènement A S.. Montrer que l probbilité de l évènement S vut 0,.. Clculer l probbilité que l eu contenue dns une bouteille provienne de l source A schnt qu elle est très peu clcire.. Le lendemin d une forte pluie, l usine prélève un échntillon de 000 bouteilles provennt de l source A. Prmi ces bouteilles, contiennent de l eu très peu clcire. Donner un intervlle permettnt d estimer u seuil de % l proportion de bouteilles contennt de l eu très peu clcire sur l ensemble de l production de l source A près cette intempérie. π C A π

3 Exercice Extrit de Pondichéry 0 A A Le pln complexe est muni d un repère orthonormé, u, ) v. Pour tout entier nturel n, on note A n le point d ffixe z n défini pr : A A z 0 = et z n+ = ) + i z n. n définit l suite r n ) pr r n = z n pour tout entier nturel n. A A0. Donner l forme exponentielle du nombre complexe + i.. ) Montrer que l suite r n) est géométrique de rison b) En déduire l expression de r n en fonction de n. c) Que dire de l longueur A n lorsque n tend vers +?. n considère l lgorithme suivnt : Vribles n entier nturel R réel P réel strictement positif Entrée Demnder l vleur de P Tritement R prend l vleur n prend l vleur 0 Tnt que R > P n prend l vleur n + R prend l vleur R Fin tnt que Sortie Afficher n. ) Quelle est l vleur ffichée pr l lgorithme pour P = 0,? b) Pour P = 0, 0 on obtient n =. Quel est le rôle de cet lgorithme?. ) Démontrer que le tringle A na n+ est rectngle en A n+. b) n dmet que z n = r n e í nπ. Déterminer les vleurs de n pour lesquelles A n est un point de l xe des ordonnées. c) Compléter l figure donnée en nnexe, à rendre vec l copie, en représentnt les points A, A, A et A. Les trits de construction seront pprents. Exercice Extrit de Amérique du Nord - Mi 0 n considère l suite u n ) définie pr u 0 = et, pour tout entier nturel n,. n considère l lgorithme suivnt : u n+ = u n. Vribles : n est un entier nturel u est un réel positif Initilistion : Demnder l vleur de n Affecter à u l vleur Tritement : Pour i vrint de à n : Affecter à u l vleur u Fin de Pour Sortie : Afficher u ) Donner une vleur pprochée à 0 près du résultt qu ffiche cet lgorithme lorsque l on choisit n =. b) Que permet de clculer cet lgorithme? c) Le tbleu ci-dessous donne des vleurs pprochées obtenues à l ide de cet lgorithme pour certines vleurs de n. n 0 0 Vleur ffichée,,,,, Quelles conjectures peut-on émettre concernnt l suite u n )?. ) Démontrer que, pour tout entier nturel n, 0 < u n. b) Déterminer le sens de vrition de l suite u n ). c) Démontrer que l suite u n ) est convergente. n ne demnde ps l vleur de s limite.. n considère l suite v n ) définie, pour tout entier nturel n, pr v n = ln u n ln. ) Démontrer que l suite v n ) est l suite géométrique de rison et de premier terme v 0 = ln.

4 b) Déterminer, pour tout entier nturel n, l expression de v n en fonction de n, puis de u n en fonction de n. 0 Sitution c) Déterminer l limite de l suite u n ). C d) Recopier l lgorithme ci-dessous et le compléter pr les instructions du tritement et de l sortie, de fçon à fficher en sortie l plus petite vleur de n telle que u n >,. C Vribles : n est un entier nturel u est un réel Initilistion : Affecter à n l vleur 0 Affecter à u l vleur Tritement : Sortie : Exercice Extrits Pondichéry 0 Prtie A f est une fonction définie et dérivble sur R. f est l fonction dérivée de l fonction f. Dns le pln muni d un repère orthogonl, on nomme C l courbe représenttive de l fonction f et C l courbe représenttive de l fonction f. Le point A de coordonnées 0 ; ) pprtient à l courbe C. Le point B de coordonnées 0 ; ) pprtient à l courbe C.. Déterminer l éqution réduite de l droite tngente à l courbe C en A.. n sit que pour tout réel x, fx) = e x + x + b où et b sont deux nombres réels. ) Déterminer l vleur de b en utilisnt les renseignements donnés pr l énoncé. b) Prouver que =.. Étudier les vritions de l fonction f sur R.. Déterminer l limite de l fonction f en +. Prtie B Soit g l fonction définie sur R pr gx) = fx) x + ). figure. ) Montrer que l fonction g dmet 0 comme minimum sur R. figure b) En déduire l position de l courbe C pr rpport à l droite. L figure ci-dessous représente le logo d une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créteur s est servi de l courbe C et de l droite, comme l indique l figure ci-dessous. Afin d estimer les coûts de peinture, il souhite déterminer l ire de l prtie colorée en gris.. Dns les trois situtions ci-dessous, on dessiné l courbe représenttive C de l fonction f. Sur l une d entre elles, l courbe C de l fonction dérivée f est trcée convenblement. Lquelle? Expliquer le choix effectué. G F C Sitution 0 C Sitution C est une droite) 0 C Le contour du logo est représenté pr le trpèze DEFG où : - D est le point de coordonnées ; 0), - E est le point de coordonnées ; 0), D ȷ ı E

5 - F est le point d bscisse de l courbe C, - G est le point d bscisse de l courbe C. L prtie du logo colorée en gris correspond à l surfce située entre l droite, l courbe C, l droite d éqution x = et l droite d éqution x =.. Clculer, en unités d ire, l ire de l prtie du logo colorée en gris on donner l vleur excte puis l vleur rrondie à 0 du résultt). Exercice Extrits - Pondichéry 0 Prtie n s intéresse à l évolution de l huteur d un plnt de mïs en fonction du temps. Le grphique en nnexe représente cette évolution. L huteur est en mètres et le temps en jours. n décide de modéliser cette croissnce pr une fonction logistique du type : ht) = + be 0,0t où et b sont des constntes réelles positives, t est l vrible temps exprimée en jours et ht) désigne l huteur du plnt, exprimée en mètres. n sit qu initilement, pour t = 0, le plnt mesure 0, m et que s huteur tend vers une huteur limite de m. Déterminer les constntes et b fin que l fonction h corresponde à l croissnce du plnt de mïs étudié.,0,,,,,0 0, 0, 0, 0, huteur en mètres) y = temps t en jours) Prtie n considère désormis que l croissnce du plnt de mïs est donnée pr l fonction f définie sur [0 ; 0] pr ft) = + e 0,0t. Déterminer f t) en fonction de t f désignnt l fonction dérivée de l fonction f). En déduire les vritions de l fonction f sur l intervlle [0 ; 0].. Clculer le temps nécessire pour que le plnt de mïs tteigne une huteur supérieure à, m.. ) Vérifier que pour tout réel t pprtennt à l intervlle [0 ; 0] on ft) = e0,0t e 0,0t +. Montrer que l fonction F définie sur l intervlle [0 ; 0] pr F t) = 0 ln e 0,0t + ) est une primitive de l fonction f. b) Déterminer l vleur moyenne de f sur l intervlle [0 ; 00]. En donner une vleur pprochée à 0 près et interpréter ce résultt.. n s intéresse à l vitesse de croissnce du plnt de mïs ; elle est donnée pr l fonction dérivée de l fonction f. L vitesse de croissnce est mximle pour une vleur de t. En utilisnt le grphique donné en nnexe, déterminer une vleur pprochée de celle-ci. Estimer lors l huteur du plnt.